ANALISE MATEMATICA I

Exercıcios das Aulas Praticas

Escola Superior de Tecnologia de Tomar

Ano lectivo 2007/2008 - 1º Semestre

Conteudo

1 Numeros Reais 3

2 Funcoes Reais de Variavel Real 14

3 Limites e Continuidade 22

4 Calculo Diferencial 24

5 Calculo Integral 32

2

Capıtulo 1

Numeros Reais

1. Apresente sob a forma de uma unica potencia :

(a) 23 × (−√8)3

; (b) ( 1√3)5 : ( 1√

3)5 : (−2)7;

(c)(√

10)23; (d) (5)3 × (− 15 )−3;

(e) 3−5 × 3−5 × (12 )5; (f) ( 2

3 )−7 : ( 32 )6 × (3

2 )−1;(g)

[( 12 )−1 + ( 1

2 )−2]− 52; (h) 3× 2−2 + ( 1

16 )5 : 2−18 − (−20)18;(i) (

√5)−6 × 26 : ( 1

2

√5)−8; (j)

√3 + (

√3)5 : ( 1√

3)−3.

2. Averigue o valor logico da proposicao:

0.00006× 106

0.02× 10−2+ 0.01×

(110

)−2

> 3.15× 105

.

3. Coloque os numeros seguintes por ordem crescente:

(a) − 25 ; (− 2

5 )−3; (− 25 )0; (− 2

5 )−2; (− 25 )4.

(b) (− 73 )3; (− 7

3 )−2; (− 73 )−6; (− 7

3 )5.

4. Calcule:

(a)√

5 + 3√−1; (b) 3

√−18

+

√14; (c)

3√−10 +

√4;

(d)√

18−√4; (e)√

2√

7− 3√

14; (f) 5√

4 5√

2 5√

4;

(g) 3√

5× 3√

25− ( 4√

25 + 1)( 4√

25− 1); (h) 7√

20 : 7√

5− 13

7√

4; (i)√

125 + 2√

5− (1−√5)2.

5. Calcule o valor numerico de

(a) 2x2 + xy para x =√

3, y =√

2;

(b) −4a + a2 para a = 2−√3.

6. Complete de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) ( 3√

5)3 = . . .;

(b) (−√10)2 = . . .;

(c) ( 7√−28)7 = . . .;

(d) (−√3)4 = . . ..

3

7. Diga se e par o numero

(a) 25000× 10−2 − 1.36× 102;

(b) 1250× 10−1 + 0.05× 104.

8. Determine os valores inteiros p tais que:

(a)75 × 72p = 7−3; (b)73 × 49−p = 173 ;

(c) 23 × 25−2p < 215 e p ∈ Z−; (d)( 12 )p > 1

32 e p ∈ N.

9. Transforme as seguintes quantidades em radicais de ındice 3:

(a) (2 3√

5)2;

(b) ( 3√

2× 9√

5)3;

(c) 2√

2 3√

2;

(d) 15√

2.

10. Escreva sob a forma de fraccao de denominador racional:

(a) 12−√7

; (b)√

22+√

7; (c)

√3

4−2√

5;

(d) 34+2

√5; (e) 1

3√2; (f) 7

5 3√2.

11. Mostre que (2−√7)(2 +√

7) e (4− 2√

5)(4 + 2√

5) sao numeros inteiros.

12. Simplifique as seguintes expressoes:

(a)√

32 −

√23 ; (b)

√12 +

√8; (c)

√√3− 8

√9;

(d) 8√√

8−√8; (e)√

8√

9 + 6√

36 : 8√

2; (f) 12√

7−√7;

(g) 4√

167; (h) 5√

0.00032; (i)√

7 +√

4;

(j)√

13 +√

7 +√

4; (k)

√21 +

√13 +

√7 +

√4; (l)

√2 8√2× 8√16

6√

5.

13. Reduza a um radical cada uma das expressoes:

(a) 2 8√

5; (b)12

8√

7; (c) 10√

2;

(d) 0.1√

15; (e) 3 4√

2; (f) 23

√32 ;

(g) 2 8√

2 8√

4 8√

8; (h) 5√

30 :√

5; (i) 5√

2√

2.

14. Simplifique as seguintes expressoes:

(a) a−5.a−5.(

12

)5; (b) 3y−2 3√

y; (c)√

x +(√

x)5 :

(1√x

)−3

;

(d) 3√

a√

b : 6√

a.b; (e) 3

√− 1

a3 +√

1a2 ; (f) xa.

(− 1

x

)−a

;

(g) x−7 :(

1x

)6 × (1x

)−1 ; (h) y3 ×(−

√y3

)3

; (i) z−2 ×(zk+2 :

(1z

)−k).

15. Simplifique as seguintes expressoes:

(a)(

1a

)n

×(

1a

)m

, (m,n ∈ N, a > 0);

(b) (−a)n + (−a)m : ap, (m,n ∈ N, a > 0);

(c) (−a)0 −(

1b

)n

:(

1b

)n

, (n ∈ N, a, b > 0);

(d) (−a)n : an +(ak

)0, (n, k ∈ N, a > 0);

4

(e)

(−ab

)n : an

(1b

)p , (n, p ∈ N, a, b > 0);

(f) −a0 −(

b

c

)−n

:(

d

c

)−n

, (n ∈ N, a, b, c, d > 0);

(g)((−a)−n

)−p

−((−a)0

)k

, (k, n, p ∈ N, a > 0);

(h)2−6 × a−3 × b4

4−2 × a−1 × b2, (a, b 6= 0).

16. Simplifique as seguintes expressoes:

(a)1a×

√a2 × 3

√a− 6

√a, (a > 0);

(b)m√

n√

bk

p√

b, (k, m, n, p ∈ N, b > 0);

(c)√

4√

a3, (a > 0);

(d)√

a(1−

√4a

), (a > 0);

(e) (a− b√

c)(a + b√

c), (a, b ∈ R, c > 0);

(f) a 3√

a3√

2a3√

3a, (a > 0);

(g)√

a√

b×√a, (a, b > 0);

(h) 3√

a×√

b4√

a, (a, b > 0);

(i) a× 3√

a2 − 2× 6√

a−√

3√

a, (a > 0);

(j)3√

a√

a× 4√

b√ab

, (a, b > 0);

(k)

√3√

a× 9√√

b3

3√

b, (a, b > 0).

17. Desenvolva e ordene, segundo as potencias decrescentes de x, os polinomios:

(a) (x− 1)2(x2 + x + 1)2;(b) (x2 + 1)3 − 2(x2 + x)(x− 1)− 3(x + 1)3.

18. Determine o termo de maior grau do polinomio

(x2 + x + 1)2 − 3(x2 − 7)(x + 2)2 + x4 + 2.

19. f e g sao funcoes definidas em R por:

f : x 7−→ (x− 2)2

g : x 7−→ 5(x− 2)(3x− 5)

(a) Determine, sob a forma de um polinomio, a expressao da funcao f(x) + g(x).(b) Considere k(x) = f(x)− g(x). Factorize k(x).

20. Encontre os zeros dos seguintes polinomios e factorize quando possıvel:(a) x3 + x2 − 10x + 8 = 0 sabendo que x = 1 e um zero;(b) 2x3 − 9x + 2 = 0 sabendo que x = 2 e um zero;(c) x4 + x3 − x2 − x = 0 sabendo que x = −1 e um zero;(d) x3 − 5x− 2 = 0 sabendo que x = −2 e um zero.

5

21. Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisao de:

(a) x3 + 2x2 − 1 por x + 3;

(b) 2x4 − 3x− x2 + 2 por 2x− 1;

(c) 2x3 − 3x4 + 1 por x− 1;

(d) −18x2 +

12x4 − 3x + 1 por x +

12;

(e) x− 10− 3x2 + 2x3 por 3x− 9;

(f) 2x5 + 30x2 − 40x + 100 por 2x + 6;

(g) x3 − 5x + 3 por 2− x.

22. Utilizando o algoritmo da divisao, determine o quociente e o resto da divisao de :

(a) 4x2 − 2x + 3 por x− 1;

(b) 4x− 2x4 + 6x2 por 2x2 + x− 1;

(c)12x2 − 3x3 + 2x por 3x− 2;

(d) 4x3 − 3x2 + 13x + x5 por 3− 2x + x2;

(e) 2− x6 + x5 por x3 − x + 1;

(f) 5x− 3 por x2 − 3x + 1.

23. (a) Indique a expressao geral dos polinomios do 3º grau que admitem as raızes 1, 2 e 3.

(b) Existe algum polinomio do 3º grau que admita 1, 2, 3 e 4 como raızes?

24. (a) Calcule a e b de modo que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1), para todo o x real.

(b) Um polinomio factorizavel tem sempre raızes reais?

25. Determine uma relacao entre m e n de modo que a expressao (m−1)x4−2x3−3nx2 +x+1se transforme num polinomio em x divisıvel por x− 1.

26. Determine os numeros reais a e b de modo que o polinomio

x4 − ax3 + bx2 + 3x + 1

seja divisıvel por (x− 1)(x + 1).

27. Determine os numeros reais a e b de modo que o polinomio

x4 + ax3 + 3bx2 + 2x + 1

seja um quadrado perfeito.

28. Quatro cubos tem, respectivamente, por arestas, medidas em centımetros, x, x + 1, x + 2 ex + 3, em que x e um numero natural.Determine o valor de x de modo que a capacidade dos tres cubos de arestas x, x + 1 e x + 2seja exactamente igual a capacidade do cubo de aresta x + 3.

29. Calcule m, n e p de modo que sejam equivalentes as seguintes expressoes em x:3x3 − (m + n)x2 + 3x− 1 e (p + 5)x3 − px2 + (n + p)x− 1.

6

30. Resolva em ,R, as seguintes equacoes:

(a) x− 7 = 0; (b) 8x + 16 = 0;(c) −3x + 4 = 0; (d) −5x− 2 = −3x;(e) 5x(x− 6) = 0; (f) x2 + x− 2 = 0;(g) 3x2 + 5x + 2 = 0; (h) 8x2 − 5x = 0;(i) (3x− 2)(2x + 3) = 0; (j) 3x2 + 4 = 0;(k) 2x3 − x2 + x− 2 = 0; (l) 25x2 − 4 = 0;(m) 9x2 − 30x + 25 = 0; (n) 12x2 + 12x + 3 = 0;(o) 16x2 − 12x = 12x− 9; (p) x(x + 5) = 3(x + 5);(q) 5x2 − x + 1 = 0; (r) x2 − 2x + 1 = 0;(s) (x2 − 9)(2x− 5) = 0; (t) x2 + 4x + 2 = 0;(u) x(2x + 4)(5− x) = 0; (v) (x2 − 3x)(3x− 6) = 0;(x) (4x3 − x)x = 0; (z) (7x− 2)(x + 1) = 5(x + 1);(aa)x2(4x− 3)(4x2 + 3) = 0; (ab) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;(ac)4x3 − 2x2 = 0; (ad) x3 = 2x;(ae)x3 − 2x2 + x− 2 = 0; (af) 5x3 − 4x + 1 = 0;(ag)x4 + x2 − 6 = 0; (ah) x6 − 2x3 + 1 = 0;(ai)

√3x + 1 = 2x; (aj)

√x2 − 6 =

√x.

31. Resolva em R as equacoes seguintes, aplicando a lei do anulamento do produto :

(a) (3x− 2)(2x + 3) = 0; (b) 5x(x− 6) = 0;(c) x(2x + 4)(5− x) = 0; (d) x2(4x− 3)(4x2 + 3) = 0;(e) 25x2 − 4 = 0; (f) 9x2 − 30x + 25 = 0;(g) 12x2 + 12x + 3 = 0; (h) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;(i) 0, 01x2 = 1; (j) 16x2 − 12x = 12x− 9;(k) x(x + 5) = 3(x + 5); (l) (7x− 2)(x + 1) = 5(x + 1);(m) (3 + x2)(x2 − 10x + 25)(x2 − 1) = 0; (n) x3 = 2x.

32. Resolva em R as seguintes equacoes:(a) (x2 − 1)(x− 3) + (3x + 3)(x− 3) = 0; (b)(x2 − 1)(x− 3) + (3x + 3)(x− 1) = 0;

(c) x3 − 5x2 + 6x = 0; (d) (54x2 − x− 3)2 = 0;

(e)1

x− 1+

1x + 1

=2x2

x2 − 1; (f)

1x2 − 4x + 3

=2

x− 3;

(g) (x2 + 1)(x4 + 2x2 + 1) = 1 .

33. Considere a equacao 4x(x + 6) = (x− 5)(x + 6).

(a) A equacao e equivalente a 4x = x− 5 ? Justifique.

(b) Determine o seu conjunto-solucao.

34. Determine dois numeros inteiros consecutivos, sabendo que o seu produto e igual ao quıntuplodo menor numero.

35. Determine a medida do comprimento do lado de um quadrado, sabendo que a area e operımetro sao expressos pelo mesmo valor (em cm e cm2, respectivamente).

36. Num rectangulo, o comprimento e triplo da largura. Determine as dimensoes do rectangulo,sabendo que tem 0, 75 cm2 de area.

37. O produto de dois numeros ımpares consecutivos excede o dobro do menor em nove unidades.Quais sao os numeros?

38. As idades de tres irmaos sao numeros pares consecutivos. O produto das idades que os doismais novos terao daqui a quatro anos e doze vezes a idade que o mais velho tera daqui adois anos. Determine a idade de cada um deles.

7

39. Na figura estao representados um losango e um quadrado.

Determine a area da regiao sombreada, supondo que:

(a) O comprimento da diagonal maior excede o da menor em 4 cm e a area do losangoexcede a do quadrado em 5 cm2.

(b) A diagonal maior do losango e dupla da menor.

40. O quadrado da soma de dois numeros e igual a diferenca entre a soma dos seus quadrados e−5. Qual e o produto dos numeros?

41. Simplifique as seguintes fraccoes

(a)x− 1x2 − 1

; (b)(x + 1)2

x2 − 1; (c)

x2 − 4x2 + x− 6

;

(d)x3 + 3x2 − 4x

(x− 1)2; (e)

x

x2 − 1+

1x− 1

; (f)1

x2 − 4+

22− x

− 3x + 2

;

(g)4

x2 + 1+

4x2 − 1

.

42. Considere a funcao polinomial

f : x 7−→ 5x3 − 72x2 +

14

(a) Verifique que12

e raız de f .

(b) Para todo o x real, tem-se que f(x) = (x− 12)·g(x).

Encontre o polinomio g(x).

(c) Resolva a equacao f(x) = 0.

43. Considere o polinomio p(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + 1.

(a) Determine o polinomio q(x) de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x).

(b) Resolva a equacao p(x) = 0.

44. Indique o conjunto solucao de:

(a) 2x5 − 3√

2 = 0; (b)0 = x6 + 3√

2;(c) 0 = x7 −√3x; (d)x6 − 3

√2 = 0.

45. Determine o conjunto solucao de:

(a) x3= −27; (b) x3= 5; (c) x291= −1;(d) x51= 0; (e) x8 + 1= 0; (f) 64x6 − 1= 0;(g) x4 − 81= 0; (h) x2 − 15= 0; (i) x3 + 15= 0;(j) x8 + 9x2= 0; (k) x5 = −32; (l) x3= 10.

8

46. Transforme cada uma das inequacoes seguintes noutra equivalente em que o primeiro membroseja x:

(a) 3x < 6; (b) −3x < 6;(c) −3x < −6; (d) 3x < −6;

(e) x− 7 < 2; (f) −x +12≥ 3;

(g) 4x + 5 ≤ −2; (h)32− 5x ≤ −1;

(i) 3(x− 25) < 2x; (j) −(5x− 2) + 6x > 7;

(k)23x− 1 < x− 2; (l)

x− 72

− x >34x− 2;

(m)x− 3

2− x− 5

3> 3x− 1

6; (n)

3x− 54

− x > 1− 4− x

2;

(o) −(x− (3− x)) + 5x ≤ 4.

47. Resolva, em R, cada uma das seguintes inequacoes:

(a)(x + 3)(x− 2) < 0; (b) (2− 3x)(x + 3) < 0;(c) (x− 1)(5x + 4) > 0; (d) (2− x)(5x + 7) > 0;(e) 3x ≤ x2; (f) 3x2 < −8x;(g) (x2 + 6)(3x + 5) < 0; (h) (x2 − 9)(x2 + x) < 0;(i) (2x + 5)(3− x)(x + 2) ≥ 0; (j) (x− 1)(4− x2)(x2 − 3x) < 0;(k) (3x− 1)(x− 1)2(x− 3)3 > 0; (l) (x2 − 10x + 21)(−x2 + 6) ≥ 0;(m) −2x3 − 4x < −6x2; (n) −3x2 + 2x > 5;(o) x2(−x + 2)(x2 − x− 6) > 0.

48. Qual sera a medida do lado dos quadrados para o qual o valor do dobro da area e maior quea medida do lado subtraıda de uma unidade?

49. Considere o polinomio p(x) = 2x3 + 12x2 + qx− 84.

(a) Determine o numero real q de modo que -2 seja raiz do polinomio.

(b) Resolva a inequacao p(x) ≥ 0.

50. Considere a funcao polinomial

g : x 7−→ x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15

(a) Prove que 1 e −1 sao raızes de g(x).

(b) Determine os valores de x que satisfazem a condicao g(x) = 0.

(c) Indique, recorrendo a intervalos de numeros reais, o conjunto-solucao da condicaog(3x) ≥ 0.

51. Determine o domınio de cada uma das seguintes expressoes designatorias:

(a)2x√

x2 − 3; (b)

3√

x2 + x

1− x2; (c) 3

√1− x

3x− 1;

(d)√

2 +√

x + 1; (e) 3

√49− x2

(x− 1)2; (f)

√−(x + 1)2;

(g)

√x2 − x

x+ 3; (h)

√3− x

5x− 3; (i)

√x− 1

3√

x + 3;

(j)3√

x− 4x2 + 1√x(x− 3)2

.

9

52. Defina, com a forma de intervalos de numeros reais, o conjunto solucao das seguintescondicoes:

(a)3

2x + 3≥ 0; (b)

2x + 1

≥ x; (c)x− 12− 3x

≥ 0;

(d)1x

> x; (e)x2 + 52− 3x

< 0; (f)x2 − 25x2 + 25

≥ 0;

(g)√

x− 3x− 4

> 0; (h)x2 − 9x2 + 4x

≤ 0; (i)x2

(x− 3)(4 + x)≥ 0;

(j)1

3x + 1≥ 1

x; (k)

(x− 1)3

x2(x + 3)2≤ 0; (l)

(x + 1)5

3x2 − x4≥ 0;

(m)−(x− 3)4

x2 − 1≥ 0; (n) 1 >

1x− 3

; (o)x2 − 2x + 32x2 − 3x + 1

≤ 1;

(p)−x2 + 5x− 6x2 − 10x + 16

≥ 0; (q) 1 +5− x

x− 2>

x + 5x + 2

; (r)x + 5√x− 2

< 0;

(s) 3

√1− 2x2

3x2 + 1≥ 0.

53. Resolva as seguintes inequacoes:

(a)x− 31− x

≥ 0; (b)x2 − 4x2 − 5x

< 0;

(c)x2 − 5x + 6

x≥ 0; (d) 5 +

√x < 1;

(e) x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0; (f) −2x3 + 6x2 − 4x < 0.

54. Complete com = ou 6= de forma a obter proposicoes verdadeiras:

(a) | − 3| . . . 3;

(b) |3− π| . . . 3− π;

(c) |π −√5| . . . π −√5;

(d) | − 2√

10 +√

7| . . . 2√10−√7;

(e) | − 3−√8| . . . 3 +√

8.

55. Das afirmacoes seguintes, quais as verdadeiras e quais as falsas? Em cada caso expliqueporque.

(a) |x| = | − x|, para todo o x ∈ R.

(b) Qualquer que seja o x ∈ R, |x| ≥ 0.

(c) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| < 0.

(d) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| ≤ 0.

(e) |x1| > |x2| entao x1 > x2, para todo x1, x2 ∈ R.

56. Mostre que:

(a) x ≤ |x|, ∀x ∈ R;

(b) |x + y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R.

57. Resolva, em R, as seguintes equacoes:(a) |2x + 3| = 9; (b) |3x− 5| = 7; (c) |6x− 9| = 0;(d) |4x− 5| = −9; (e) |2x + 3| = 4x− 1; (f) |3x− 2| = 5x + 4;(g) |x− 3| = x; (h) |2x− 1| = 2x + 1; (i) |x2 + 4x− 1| = 4;(j) |x2 + 2x− 9| = 6; (k) |x2 − 5x + 1| = 3; (l) |x− 2| = |3x− 1|;(m) |12x2 + 5x− 7| = 4; (n) | x− 1

3x + 4| = 2; (o)|x(x + 4)| = |1− 2x|.

10

58. Nas colunas seguintes cada condicao (ai) (i = 1, . . . , 10) e equivalente a uma e uma socondicao (bj) (j = 1, . . . , 10). Indique todos os pares equivalentes.

(a1) |x| < 4 (b1) 4 < x < 6;(a2) |x− 1| < 3 (b2) x > 3 ∨ x < −1;(a3) |3− 2x| < 1 (b3) −4 < x < 4;(a4) |1 + 2x| ≤ 1 (b4) x > 2;(a5) |x− 1| > 2 (b5) −2 < x < 4;(a6) |x + 2| ≥ 5 (b6) (−√3 ≤ x ≤ 1) ∨ (1 ≤ x ≤ √

3);

(a7) |5− 1x| < 1 (b7) 1 < x < 2;

(a8) |x− 5| < |x + 1| (b8) x ≤ −7 ∨ x ≥ 3;

(a9) |x2 − 2| ≤ 1 (b9)16

< x <14;

(a10) x < x2 − 12 < 4x (b10) −1 ≤ x ≤ 0.

59. Represente,com intervalos de numeros reais, o conjunto-solucao de cada uma das condicoes:(a) |2x− 3| ≥ 1; (b) |3x− 1| ≤ 5; (c) |5− 4x| ≥ 2;

(d)|1− 2x| ≤ 1; (e) |x2 − 2| > 1; (f) | 1x

+ 2| ≥ x;

(g) |3x + 1x + 1

| < 3; (h) |x2 − x + 2x− 4

| ≥ 2; (i)x− 1|x| − 3

≥ 0;

(j)|x + 1| − 3

x− 4≤ 0; (k)

|x|x2 − 1

≥ 0; (l)4− x2

|x|+ 3≥ 0;

(m)x2

|x− 3| − 5≤ 0; (n) |x4 − 4x2| ≤ 0; (o) |x− 6

x| > 5;

(p) |3− 6x2 + 12x2 − 4x + 1

| < 3.

60. Aplique as propriedades das funcoes exponencial e logaritmo e simplifique as expressoes:

(a) log 2 + log 5; (b) log 6− log 3 + elog 5; (c) elog 5+log |x|;(d) 32 log3 |x+1|; (e) 16log4 |x−1|; (f) 2log4(x−2)2 + log3 9(x−1);(g) log 1

2( 18 )(2−x); (h) (ex)log 2; (i) log e(x+2);

(j) 2(x− 3) log4 2; (k)log3 |x + 1|

log3 5; (l) log |x2 − 1| − log 3

√x− 1;

(m)log 2

3( 49 )(x−

√5)

x2 − 5; (n) 9(log3 |x+4|+2); (o) a(2−loga |x|)/3, a ∈ R+ \ {1}.

61. Mostre que: loga x = log xlog a , ∀x > 0, ∀a ∈]0, 1[∪]1,+∞[.

62. Simplifique as seguintes fraccoes

(a)e2x − 1ex + 1

; (b)e2x + ex − 2

ex − 1;

(c)log2 x− 3 log x

log x; (d)

log x + 2log2 x + 2 log x

;

(e)2e3x − e2x − 6ex

e2x − 4; (f)

e3x + 2e2x − ex − 2e2x − 1

;

(g)x2 − 1

elog x − 1.

63. Resolva em ordem a x as seguintes equacoes:

(a) y =x

2− x; (b) y = −3 + log2(

x2 ); (c) y = 1 +

e4x

4;

(d) e2x+3 = 5; (e) y = log(x + 1)32 ; (f) log(

1x− 1) = 2;

(g) (x2 − 4)5x+2 = 0; (h) e2x − 5ex + 6 = 0; (i) 7xx2 − 7x5x = 0.

11

64. Resolva em R:(a) loga(x

√2 +

√x) = − loga(x

√2−√x); (b)log3 x = 1

2 + log9(4x + 15);(c) ex + 4e−x = 5; (d)7xx2 − 7x5x = 0;(e) x10x + 10x5 > 0; (f) xex − 2ex < 0;

(g)ex − 1x2 + 1

> 0; (h) ex+2 log x− 2ex+2 > 0;

(i) 41−x > 16; (j) (2 + log x) log x ≤ 0;(k) log2 x− log x− 2 ≥ 0; (l) log(x2 − 4)− log(x− 1) ≥ 0;(m) (x− 3) log 1

2(x + 1) < 0; (n) (2− log x) log(x− 1) ≤ 0;

(o) log 13(1− x) < 2; (p) (x2 − 1) log2 x ≥ 0.

65. Calcule:

(a) arcsin( 12 ); (b) arcsin(−

√2

2 ); (c) 2 arcsin(−1); (d) cos(arcsin 12 );

(e) arccos(−√

32 ); (f) sin(arcsin( 1

2 )); (g) sin(arccos 35 ); (h) arcsin(sin(2π

3 ));(i) sin(π

3 − arcsin 45 ); (j) π

2 + arccos(√

22 ); (k) cos(2 arccos(− 5

13 )); (l) arctan(tan(π));(m) 2arccot(−1); (n) arcsin(sin(−

√5

4 π)); (o) sin(arctan 2); (p) cos(arccos(√

32 ));

(q) arccos(sin 5π4 ); (r) sin(arcsin 12

13 + arcsin 45 ); (s) cos(arccos 15

17 − arccos 725 ); (t) sin( 1

2 arccos 45 ).

66. Simplifique as seguintes fraccoes

(a)sinx + 1sin2 x− 1

; (b)cos x + 24− cos2 x

;

(c)sin x

sin2 x + sin x; (d)

sin2 x− 3 sinx

cos x(sinx− 3);

(e)sin4 x− 1

(sinx + 1)2; (f)

1− sin2 x

cos2 x + 2 cos x;

(g)sin2 x− 9sinx + 3

; (h)cos3 x− 2 cos2 x− 3 cos x

cos2 x + cos x.

67. Simplifique as seguintes expressoes:

(a) 1 +sin2 x

cos2 x; (b)

1− cos2 x

sin x;

(c) sin(x + π) + sin(x− 3π); (d)18− 1

8cos(2x + 2);

(e) − sin(x + 3π2 ) + cos( 27π

2 − x) + sin(x + 3π)− cos(7π − x); (f) cos(x + 2π)− cos(π − x);

(g)2 sin(5π − x) + 2 tan(3π − x) + 2 sin(x− 3π) + 3 tan(x− 7π) ; (h)14

+14

cos(2x) ;

(i) tan(x + π) + tan(x− π); (j) 1− 11− sin2 x

;

(k)x

sin x+

2cos x

; (l)1

sin2 x+

11− sin2 x

;

(m)1

1 + sin2 x− 1

1− sin4 x; (n)

cosh2 x− sinh2 x

1− tanh2 x;

(o) 1 +1

1 + sinh2 x; (p)

cosh x sinhx− sinh x

cosh2 x− 1;

(q)1

cosh x− 1

cosh x− cosh3 x; (r)

1 + sinh2 x

1 + cosh(2x).

12

68. Verifique as seguintes igualdades:(a) sin(x + π

4 ) sin(x− π4 ) = sin2 x− 1

2 , ∀x ∈ R;(b) sin(3x) = 3 sin x− 4 sin3 x, ∀x ∈ R;(c) cos(x) + cos(x + 2π

3 ) + cos(x− 2π3 ) = 0, ∀x ∈ R;

(d) cos(3x) = 4 cos3 x− 3 cos x, ∀x ∈ R;(e) [cos(x) + cos(2x)]2 + [sin(x) + sin(2x)]2 = 2 + 2 cos(x), ∀x ∈ R;(f) 1 + cos

(x2

)= 2 cos2

(x4

), ∀x ∈ R;

(g)tan(2x) =1

1− tan(x)− 1

1 + tan(x);

(h)arctanx = arcsin(

x√1 + x2

);

(i) sinh(3x) = 3 sinh x + 4 sinh3 x;(j)cosh(3x) = 4 cosh3 x− 3 cosh x;(k) 1 + cosh

(x2

)= 2 cosh2

(x4

);

(l) tanh(

x2

)= sinh x

1+cosh x .

69. Mostre que:(a) sinh(−x) = − sinhx; (b) cosh(−x) = cosh x;(c) cosh2 x− sinh2 x = 1; (d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y coshx;(e)cosh2 x = 1

2 [1 + cosh(2x)]; (f)cosh x cosh y = 12 [cosh(x + y) + cosh(x− y)];

(g) sinh2 x = 12 [cosh(2x)− 1]; (h) (coshx + sinh x)n = cosh(nx) + sinh(nx), n ∈ N;

(i) arg tanh = 12 log

(1+x1−x

), x ∈]− 1, 1[; (j) arg sinh x = log(x +

√x2 + 1);

(k) arg cosh x = log(x +√

x2 − 1), x ≥ 1.

70. Resolva as seguintes equacoes:

(a) 2 sin x = −√

3; (b) sin(2x) + sin π4 = 0;

(c) 1− tan(

x3

)= 2; (d) cos x = sin2 x− cos2 x;

(e) 3(1− cos x) = sin2 x; (f) cos x + sin(2x) = 0;(g) sin x = cos x; (h) 2 sin2 x− sin(2x) = 0;(i) 3 cos2 x− 1 = −2 sin2 x + 2 cos x; (j) cos x cos(4x) = cos(2x) cos(3x);(k) 2 cos x + 3 = 4 cos x

2 ; (l) 3sin x+sin x tan x = 1;(m) log 1

2( 12 sin(3x− 2)) = 1; (n) log2(sinx + 1)− 1 = 0 ;

(o) cos x− tanx = 1cos x ; (p) 2 cos2 x + 3 = 3 sin2 x + 4 cos x;

(q)sin x

1 + cos x− cos x

sinx= 1; (r)log2(arctanx) + 3 log(arctan x) + 2 = 0;

(s) | arcsin(x + 1)| = π4 ; (t) sinh x = 5;

(u) cosh x + sinh x = 3; (v) 1 + sinh2 x = 3 cosh x;(w) e2 tanh x+tanh x cosh x = 1; (x) sinh2 x− 2 sinh x + 1 = 0.

71. Resolva as seguintes inequacoes:

(a) log(1− x) arctan(x + 2) ≤ 0; (b)(log x + 1)(2x − 3)

arctanx− π4

≥ 0 ;

(c)(x2 + x− 2)(ex − 2)

arcsin x≤ 0 ; (d) (log x− 1)(arcsinx + π

4 ) ≥ 0;

(e)arctanx + π

6

log(x + 2)− 3≥ 0 ; (f) | log(x− 1)

2 log(x− 1) + 1| ≤ 1;

(g)earcsin x(x2 − 5x + 4)

arccosx< 0 ; (h)

e2x − 4ex + 3(x2 − 1)(arccos x− π

2 )≤ 0 ;

(i)log x + 1arcsin x

> 0; (j)x2 − 1

arg cosh(x + 3)< 0;

(k) log(cosh x) ≥ 0; (l)earg sinh x(x− 1)

coshx + 2≥ 0;

(m) | sinh x− 3| < 2.

13

Capıtulo 2

Funcoes Reais de Variavel Real

1. Dadas as funcoes reais de variavel real, m e p, definidas por

m(x) =2

x + 2e p(x) = 1− 2x

(a) Calcule o domınio e o contradomınio das funcoes.

(b) Calcule (m ◦ p)(1) e (p ◦m)(0).

(c) Caracterize as funcoes (m ◦ p) e (p ◦m).

2. Sendo f e g duas funcoes reais de variavel real definidas por

f(x) =√

x− 4 e g(x) = 3 + x2

(a) Calcule o domınio e o contradomınio das funcoes.

(b) Caracterize as funcoes (f ◦ g) e (g ◦ f).

(c) Mostre que (f ◦ g) tem dois zeros e que (g ◦ f) nao tem zeros.

3. Sendo f e g funcoes reais de variavel real definidas por f(x) =√

x e g(x) = x2 − 2.Determine expressoes para as funcoes compostas (f ◦ f), (g ◦ f), (f ◦ g), (g ◦ g) e indique odomınio de cada uma dessas funcoes.

4. Sendo f , g e h funcoes reais de variavel real definidas por

f(x) = x + 1, g(x) = x2 e h(x) =√

x− 1,

caracterize as funcoes (f ◦ g), (f ◦ f), (g ◦ h), (h ◦ g).

5. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) = x2 − 4

(a) Indique o domınio e o contradomınio de f .

(b) A funcao f e injectiva? Justifique.

(c) Caracterize uma restricao g de f , injectiva e cujo domınio seja R+0 .

6. Dadas as funcoes f e g, reais de variavel real, definidas por

f(x) =x + 1x− 3

e g(x) = x2 − 3x

(a) Calcule o domınio de f e g.

14

(b) Indique, justificando , o valor logico de cada uma das seguintes proposicoes:i. ∀ y ∈ R\{1}, ∃ x ∈ Df : f(x) = y;ii. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : g(x) = y.

(c) As funcoes f e g sao sobrejectivas? Justifique.

7. Dadas as funcoes reais de variavel real definidas por:(i) f(x) = 3− x2; (ii) h(x) = 2−√1− x;

(iii) s(x) = 3x+3 ; (iv) g(x) =

{2− 1

2 ln(x) se x > 1√5− x se x ≤ 1 .

(a) Calcule o domınio, o contradomınio e os zeros de cada uma das funcoes.(b) Classifique-as quanto a injectividade e sobrejectividade.

8. Considere as correspondencias definidas por:(i) f : R\N −→ R\Q (ii) f : R\N −→ R (iii) f : R\]0, 2] −→ R\]1, 10]

x −→ −√27−3x x −→ 1

3−x com f(x) ={ −x se x ≤ 0−5x se x > 0

Para cada alınea verifique se:(i) f e uma funcao; (ii) f e injectiva; (iii) f e sobrejectiva.

9. Das seguintes afirmacoes indique, justificando, as verdadeiras e as falsas:

(a) Seja f : R→ R tal que f(2) = f(3); entao f e injectiva;(b) Seja f : R→ R tal que f(2) = f(2); entao f nao e injectiva;(c) Seja f : R→ R tal que f(2) nao existe; entao f nao e injectiva;(d) Seja f : R→ R tal que f(2) 6= f(3); entao f e injectiva;

(e) Seja f : R→ R tal que f(x) = |x|x ; entao f e injectiva;

(f) Seja f : R→ R tal que f(2) ≥ f(3); entao f e injectiva;(g) Seja f : R→ R tal que f(R) = R; entao f e sobrejectiva;(h) Seja f : R→ R tal que f(R) = ∅; entao f e sobrejectiva.

10. Dadas as funcoes reais de variavel real,

f(x) =x

2− 4; g(x) =

8x + 2

; h(x) =√

2− x2; j(x) =1

1−√x2 + 2.

(a) Determine os seus domınios.(b) Indique os contradomınios das funcoes g(x) e h(x).(c) Indique as funcoes que sao injectivas.(d) Indique as funcoes que sao bijectivas.(e) Caracterize, explicitando o domınio e a expressao analıtica, a aplicacao inversa de g(x).(f) Caracterize a aplicacao (h ◦ g)(x).

11. Indique, justificando, se as seguintes funcoes tem inversa:

(a)

x

y

(b)

x

y

15

(c)

x

y

(d)

x

y

12. Diga, justificando, quais das seguintes funcoes sao limitadas.

(i) f(x) = x, x ∈ R; (ii) f(x) = x, x ∈ R+;

(iii) f(x) = x, x ∈ [0, 126]; (iv) f(x) =2

cos(x)− 7, x ∈ R.

13. Estude as funcoes seguintes quanto a paridade.

(i) f(x) = x11 + 3x3 − x, x ∈ R; (ii) f(x) = x100 − 5x50 + 1, x ∈ R;

(iii) f(x) =x− 1x + 1

, x ∈ R\{−1}; (iv) f(x) = |x + 1|, x ∈ R;

(v) f(x) =x3 − x

x + 1, x ∈ R\{−1}; (vi) f(x) =

√|1− x2|, x ∈ R.

14. Diga quais das seguintes funcoes sao periodicas e indique o perıodo:

(i) f(x) = sin(2x + 5), x ∈ R; (ii) g(x) =2

x + 6, x ∈ R\{−6}; (iii) h(x) = sin

(x

π

), x ∈ R.

15. A figura mostra a parte situada a direita do eixo dos yy do grafico de uma funcao f(x).

x

y

(a) Complete o grafico se f(x) e uma funcao par.

(b) Complete o grafico se f(x) e uma funcao ımpar.

16

16. A figura representa o grafico de uma funcao f(x).

x

y

(a) Esboce o grafico da funcao g(x) definida por g(x) = |f(x)|.(b) Esboce o grafico de −f(x).

(c) Esboce o grafico da funcao h(x) = f(−x).

(d) Esboce o grafico da funcao i(x) = −f(−x).

17. Considere a funcao real de variavel real f definida por f(x) =√

x + 1 + 3

(a) Indique o domınio e o contradomınio de f .

(b) Averıgue se f e injectiva.

(c) Caso seja possıvel, determine a funcao inversa f .

(d) Esboce, no mesmo referencial, os graficos de f e f (−1).

18. Determine, caso seja possıvel, a funcao inversa, domınio, contradomınio e expressao analıticada funcao definida por:

(i) f(x) = 3− 2x; (ii) f(x) = x2 − 1; (iii) f(x) = x2−x ; (iv) f(x) = 1 + e4x

4 ;

(v) f(x) =1− 2x

1 + x; (vi) f(x) = −3 + ln

(x32

); (vii) f(x) =

12 + log2(3− x)

; (viii) f(x) = 1 +2x

5;

19. Considere a funcao g, real de variavel real definida por g(x) = 2− log5(x− 3).

(a) Determine o domınio e o contradomınio de g.

(b) Calcule, se existirem, os zeros da funcao.

(c) Caracterize a funcao inversa de g.

20. Seja t a funcao real de variavel real definida por t(x) = log2(9− x2).

(a) Indique o domınio e o contradomınio de t.

(b) Justifique que a funcao nao tem inversa.

21. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) = ln(

2+x2−x

).

(a) Indique o domınio de f .

(b) Prove que f e ımpar.

(c) Caracterize a funcao inversa de f , caso exista.

17

22. G1, G2, G3 e G4 sao graficos (mas nao necessariamente por esta ordem) das funcoes reaisde variavel real, definidas como se segue:

x

y

G2 G3

G1

G4

f(x) = |x|+ αg(x) = |x− β|h(x) = |x + β|i(x) = | − x− β|j(x) = | − x|+ αl(x) = | − x + β|m(x) = |αx|com α e β pertencentes a R+. Faca corresponder a cada funcao o respectivo grafico.

23. Represente geometricamente a funcao inversa das seguintes funcoes:

(a)

x

y

(b)

x

y

18

(c)

x

y

(d)

x

y

24. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) =

x + 3 se x > 2|x|+ 1 se −2 ≤ x ≤ 2−x + 3 se x < −2

.

(a) Represente graficamente uma restricao de f ao intervalo [−4, 4].

(b) Verifique graficamente e prove analiticamente que f e uma funcao par.

(c) Sendo g a funcao definida por g(x) ={ −1 se x ∈ R\[−2, 2]

1 se x ∈ [−2, 2] caracterize analitica-

mente (f + g) e esboce o seu grafico.

25. Represente graficamente cada uma das funcoes reais de variavel real definidas por:

(a) f(x) = x2 − 6x + 10;

(b) g(x) = 2x2 + 12x + 16;

(c) h(x) = |x + 1|;

(d) i(x) =

2x− 1 se x ≤ 0

−x

2se 0 < x ≤ 5

22x− 5 se x ≥ 3

;

(e) j(x) ={

2 se x < 0x2 se x ≥ 0 ;

(f) l(x) ={ |2− x| se x ≤ 3

(x− 4)2 se x > 3 .

19

26. Dadas as funcoes f e g, reais de variavel real, definidas por f(x) = 1−√x + 1 e g(x) =x− 1x + 1

.

(a) Calcule o domınio de f e g.

(b) Determine os zeros de (f ◦ g).

(c) Caracterize as funcoes (f + g), (f − g), (f × g) e fg .

27. Determine o domınio e o contradomınio das funcoes definidas por:

(a) f(x) = −3 + arcsin(3x); (b) f(x) = −2 + arcsin( 1x+1 ); (c) f(x) = arcsin(x2−1

2 );(d) f(x) = 2

3 arccos(x2 − 3); (e) f(x) = π + arccos( 1−x2

2 ); (f) f(x) = arctan( 1x+5 ).

28. Caracterize a funcao inversa de cada uma das funcoes definidas por:

(a) f(x) = 2 sin(3x); (b) f(x) = 3 arcsin(2x− 1); (c) f(x) =−1 + arccos(3x)

2;

(d) f(x) = 5− 3 arccos(x−13 ); (e) f(x) = 2 cot(x + π

3 ); (f) f(x) = tan(π4 )− arctan(x

3 ).

29. Considere a funcao real de variavel real f definida por f(x) = 12 arcsin(3x− 2).

(a) Determine o domınio de f .

(b) Calcule f(1) + 2f(13)− f(

4 +√

26

).

(c) Determine os zeros de f .

(d) Caracterize a funcao inversa de f .

30. Considere a funcao real de variavel real definida por g(x) = π2 − 3 arccos(x + 1).

(a) Calcule g(−1)− g(−32).

(b) Determine o domınio e o contradomınio da funcao.

(c) Calcule os zeros de g, se existirem.

(d) Caracterize a funcao inversa de g.

31. Considere a funcao real de variavel real definida por h(x) = −π4 + arctan(2x− x2).

(a) Calcule h(0) + h(1).

(b) Determine o domınio e o contradomınio de h.

(c) Analise a existencia de zeros para a funcao.

32. Seja f a funcao real de variavel real definida por f(x) = 1 + arccot( 1x+1 ).

(a) Calcule f(0) + f(−2).

(b) Determine o domınio, o contradomınio e, se existirem, os zeros de f .

(c) Caracterize a funcao inversa de f .

33. Seja g a funcao real de variavel real definida por g(x) =1

sin(2x− π2 )

(Considere a restricao

principal).

(a) Caracterize a funcao inversa de g.

(b) Calcule g(arcsin( 25 )).

34. Determine x sabendo que x = sin(arccos( 1161 )).

20

35. Seja g a funcao real de variavel real definida por g(x) =1

1− tan(x2 )

.

(a) Determine o domınio de g.

(b) Calcule g(π3 ).

(c) Averigue qual o valor logico da proposicao: ∀ x ∈ Dg, g(x + 2π) = g(x).

(d) Sabendo que g(a) =23

e que3π

2< a < 2π, calcule cos(

a

2).

36. Considere a funcao real de variavel real definida por f(x) = arccos(3√

22

− 2x).

(a) Determine o domınio e o contradomınio de f .

(b) Caracterize a funcao inversa de f .

(c) Resolva a equacao f(x) =π

4.

21

Capıtulo 3

Limites e Continuidade

1. Considere a funcao:

f(x) ={ |x− a| se x 6= a

2 se x = a.

Mostre que limx→a

f(x) = 0.

2. Considere as funcoes:

f(x) = x +1

(x− 3)2e g(x) =

7(x2 − 9)(x− 3)

.

Determine limx→3

(f(x)− g(x)).

3. Considere as funcoes:

u(x) =√

x + 5 e v(x) =√

x− 1 .

Calcule limx→+∞

(u(x)− v(x)).

4. Considere as funcoes:

u(x) =1x2

e v(x) = x3 − 2x2 .

Calcule limx→0

u(x).v(x).

5. Investigue a existencia de limite, ou limites laterais, no ponto indicado, para cada uma dasfuncoes definidas pelas expressoes analıticas seguintes:

(a)1x5

, x = −1; (b)3x2 − x + 4

x5 − 7, x = 2;

(c) −|x + 2|, x = −2; (d){ |x− 1| se x ≤ 2

x2 se x > 2 , x = 2;

(e)1 +1

x + 2, x = −2 (f)

1 + x2 − x3

1 + x4, x = +∞;

(g)√

2x + 3− 3x− 3

, x = 3; (h)1x

, x = 0.

22

6. Estude a continuidade das funcoes e classifique as descontinuidades, se existirem.

(a) f(x) =

x2 − 4x + 3x− 3

se x 6= 3

2 se x = 3; (b) f(x) =

{ex se x < 2

x2 + 1 se x ≥ 2 ;

(c)f(x) =

{ 1x− 1

se x < 1

ex se x ≥ 1; (d) f(x) =

{ 1x

se x < 0

ln(1 + x) se x ≥ 0.

7. Considere a funcao:

f(x) =

{2x2 − k se x < 3

x +1x

se x ≥ 3.

Determine k de forma que a funcao seja contınua em x = 3.

8. Considere a funcao:

f(x) =

x sin(

1x

)se x 6= 0

5 se x = 0.

(a) Mostre que f(x) nao e contınua em x = 0.

(b) O que seria necessario alterar para que a funcao passasse a ser contınua em x = 0.

9. Discuta a continuidade de f(x) =√

x2 − 9x− 3

.

23

Capıtulo 4

Calculo Diferencial

1. Calcule as seguintes derivadas, por definicao:

(a) f(x) =2x

, no ponto x = 1;

(b) f(x) =x− 12− x

, no ponto x = 0;

(c) f(x) = ln x, no ponto x = 2.

2. Determine, usando a definicao, f ′(x0) nos seguintes casos:

(a) f(x) =1x

, x0 ∈ R\{0};

(b) f(x) =√

x, x0 ∈ R+;

(c) f(x) = ln x, x0 ∈ R+.

3. Calcule, se existirem, as derivadas laterais de cada uma das seguintes funcoes:

(a) f(x) =

x2

2+ 1 se x < 2

2x− 1 se x ≥ 2, no ponto x = 2;

(b) f(x) ={

(x− 3)2 + 1 se 0 ≤ x < 32x− 5 se 3 ≤ x ≤ 5 , no ponto x = 3;

(c) f(x) =

{ x

1 + e1x

se x 6= 0

0 se x = 0, no ponto x = 0 .

24

4. Calcule a funcao derivada das seguintes funcoes reais:

(1) f(x) = 3x(2x + 1)(2− 3x); (2) f(x) =1

(x + 1)2+

x

x + 2;

(3)f(x) = 4(3− x) ; (4)f(x) = (3x2 + 5x)3;

(5)f(x) = (x2 + 1)3(3− x)2 ; (6)f(x) =2x + 13− x

;

(7)f(x) =

√x + 12− x

; (8)f(x) = 4√

x3 + 2x;

(9)f(x) = e3x ; (10)f(x) = 21x ;

(11)f(x) = 3√

x ; (12)f(x) = ex+1x−1 ;

(13)f(x) = xx ; (14)f(x) =ln (x) + 1ln x− 1

;

(15)f(x) = sin3(2x) ; (16)f(x) = ln (ln (√

x));(17)f(x) = ln (arctan (3x)) ; (18)f(x) = 7

√(x3 + x2)6;

(19)f(x) = sin (x) tan (x2) + cos ( 3√

x) ; (20)f(x) = ln

(√1 + sin x

1− sin x

);

(21)f(x) = (sin x)ln(tan x) ; (22)f(x) = 5x

x−1 ;

(23)f(x) = ln(sin2 x) + sin(ln(x)) ; (24)f(x) = arctan(

ex − e−x

2

);

(25)f(x) = (xx)x ; (26)f(x) = 31

ln x ;

(27)f(x) =ex−1

1 + ex; (28)f(x) = ex − (1− x2);

(29)f(x) =ln(lnx)arccosx

; (30)f(x) = sinh x;

(31)f(x) = cosh x ; (32)f(x) = tanh x;

(33)f(x) = tan(

12x

)− cosh(

√x + 1) ; (34)f(x) = sinh(ln x);

(35)f(x) = ex cos x ; (36)f(x) = ln(tan (x5));

(37)f(x) = ln(

2x

1 + 3x2

); (38)f(x) = cosh(x2) ln(sinhx) .

5. Mostre que se y = c1e2x + c2xe2x + ex, c1 e c2 constantes, entao y′′ − 4y′ + 4y = ex

6. Calcule a derivada de ordem n das seguintes funcoes.

(a) f(x) = xm; (b) f(x) = sin x; (c) f(x) =1x

.

7. Mostre que a derivada de ordem n da funcao f(x) = xe−x e dada por f (n)(x) = (−1)n(x− n)e−x.

8. Mostre que, a derivada de ordem n da funcao f(x) = ln(ax + b), e dada por

f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1) !an

(ax + b)n, para todo o n natural.

9. Em cada uma das alıneas, calcule a derivada da funcao h(x) = (fog)(x) utilizando o Teorema daDerivada da Funcao Composta:

(a) f(x) = 3x2 + 1 e g(x) = x2 −√x;

(b) f(x) = 3√

x e g(x) = cos x;

(c) f(x) = 3x2 − 2 e g(x) = cos x;

25

(d) f(x) = x3 − 3x2 e g(x) =√

x− 1.

10. Determine as equacoes da recta tangente e da recta normal as seguintes curvas, nos pontosindicados.

(a) f(x) = x3 − 3x + 2, x0 = 2;

(b) f(x) = 2x3 − 4, x0 = 2;

(c) f(x) = ln x, x0 = 5;

(d) f(x) = x2, x0 = 0;

(e) f(x) =√

4− x2, x0 = 0;

(f) f(x) = x2 − ln(2x− 5), x0 = 3.

11. Escreva a equacao da recta tangente a x2 − xy + y2 = 1 no ponto (−1, 0).

12. Seja y = f(x) definida implicitamente por√

x +√

y = 2. Escreva a equacao da recta normalao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.

13. Considere a funcao y = f(x), definida implicitamente por arcsin(x− y) = tan(y − 1).

(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da funcao y = f(x).

(b) Escreva a equacao da recta tangente ao grafico da funcao no ponto de ordenada y = 1.

14. Considere a funcao y = f(x), definida implicitamente por y3x2+1 + arctan (x2y) = ln(e + y − 1).

(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da funcao y = f(x).

(b) Escreva a equacao da recta tangente a curva no ponto de ordenada y = 1.

15. Seja y = f(x), definida implicitamente por ey2−1 + arctan(x2y) = ln(e + y − 1). Escreva aequacao da recta normal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.

16. Seja y = f(x) definida implicitamente por arctan(xy) +√

y = 1. Escreva a equacao da rectanormal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.

17. Seja y = f(x) definida implicitamente por arcsin y +√

x + y = 1. Escreva a equacao da rectanormal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 0.

18. Seja y = f(x) a funcao definida implicitamente pela equacao xy = y2.

(a) Determine a equacao da recta normal ao grafico da funcao no ponto de ordenada −1.

(b) Calcule (Fof)′(1) sabendo que F ′(−1) =1e

19. Seja y = f(x) definida parametricamente por x = arg sinh(3t + t3) e y = tanh t, (t ∈ R).Calcule f ′(0).

26

20. Calcule f ′(0) e escreva uma equacao da recta tangente ao grafico da funcao y = f(x), no

ponto x = 0, sendo f definida parametricamente por

x =e3t − e−3t

e3t + e−3t

y =2

e3t + e−3t

, (t ∈ R).

21. Um objecto rola num plano inclinado de tal modo que a distancia s(t) (em metros) que elepercorre, em t segundos, e dada por s(t) = 5t2 + 2.

(a) Qual a sua velocidade apos um segundo?

(b) Quando e que a sua velocidade sera de 28m/s?

22. A funcao posicao s(t), de um ponto em movimento rectilıneo, e dada por

s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t− 10,

com t medido em segundos e s em metros.

(a) Determine a aceleracao quando a velocidade e de 12m/s.

(b) Determine a velocidade quando a aceleracao e de 10m/s2.

23. Prove que f(x) = x3 − 8x − 5 verifica a hipotese do Teorema do Valor Medio em [1, 4] edetermine c ∈]1, 4[ que satisfaz a conclusao do referido Teorema.

24. Se f(x) = |x|, mostre que f(1) = f(−1) ,mas f ′(c) 6= 0, ∀c ∈]− 1, 1[. Porque nao contradiztal facto o Teorema de Rolle?

25. Mostre que f(x) = 3x2 − 12x + 11 satisfaz a hipotese do Teorema de Rolle em [0, 4].

26. Verifique se a funcao f(x) =1

(x− 1)2satisfaz a hipotese do Teorema do Valor Medio em

[0, 2].

27. Prove que a funcao f(x) = 5sin(x) − 20 log3π(x + 1) tem pelo menos um zero no intervalo[0, 3π] e determine-o com duas casas decimais correctas.

28. Calcule os limites:

(a) limx→0

2−√4− x

x, (b) lim

x→−∞x + 1

x, (c) lim

x→0

x− cos(x)x + cos(x)

;

(d) limx→0

7 sin(x)− 2x− x2

sin(x)− 2x, (e) lim

x→+∞4x3 + 2x2 + 1

3x3 − 5, (f) lim

x→+∞x2 + x− 1

2x + 5;

(g) limx→0

√1 + x2 − 1

x, (h) lim

x→−∞

(x + 1

x

)x

, (i) limx→0

x sin(x)1− cos(x)

;

(j) limx→0

eαx − eβx

sin(αx)− sin(βx), (k) lim

x→0

sin(x)x

, (l) limx→+∞

xe−x;

(m) limx→π

2

(1− sin(x))cos2(x).

29. (a) Enuncie e faca a interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange (Valor Medio).

(b) Dada a funcao f(x) = 1√x−1

, verifique se o teorema anterior garante a existencia de

c ∈]1, 2[,tal que f ′(c) = f(2)−f(1)2−1 .

27

30. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por:

f(x) =

sin(π

2x)

, x ≤ 1

ln(2− x)2− 2x

, x > 1

.

(a) Indique o domınio da funcao.

(b) Estude a continuidade da funcao no seu domınio.

31. Calcule limx→0

ln(cos(x))x2

.

32. Estude as seguintes funcoes, reais de variavel real, quanto a monotonia e determine o seucontradomınio, calculando em seguida, se existir, a inversa.

(a) f(x) = x2, (b) f(x) =x

ln(x), (c) f(x) =

1 + x

1− x;

(d) f(x) =x + 1

x, (e) f(x) = |x + 1|, (f) f(x) = ln(x2).

33. Determine os maximos e mınimos locais das seguintes funcoes.

(a) f(x) =√

8 + x−√8− x, (b) f(x) =√

1− x2, (c) f(x) = xe−x;

(d) f(x) = |x + 1x− 3

|, (e) f(x) = x2 +1x

, (f) f(x) = sin(x) +x

2.

34. Estude as seguintes funcoes quanto ao sentido da concavidade e determine eventuais pontosde inflexao.

(a) f(x) = x3 − 3x2, (b) f(x) =x2 − 2x + 2

x− 1, (c) f(x) = xx;

(d) f(x) = sin(x) + cos(x), (e) f(x) =x√

x2 − 1, (f) f(x) = cos(3x).

35. Determine as assımptotas de curvas representativas, das seguintes funcoes reais de variavelreal.

(a) f(x) =2x

1− x2, (b) f(x) = e−x + x, (c) f(x) =

sin(x)x

;

(d) f(x) =x3

x4 + 1, (e) f(x) =

11− ex

, (f) f(x) = ln(x2).

28

36. Faca o estudo completo das seguintes funcoes reais de variavel real.

(a) f(x) = 2− x2; (b) f(x) =2

x− 5; (c) f(x) = x3 − 2x2;

(d) f(x) = ln(x + 1); (e) f(x) =x2 + |2x + 1|

x; (f) f(x) = sin(x) + cos(x);

(g) f(x) = e−x cos(x); (h) f(x) = | ln |x||; (i) f(x) = arctan(sin(x) + cos(x));

(j) f(x) =

√−x , x < 0

ln(x + 1) , x ≥ 0.

37. Considere a funcao

f(x) =

x2 − 4 se x < 2

ln(x− 1) se x ≥ 2.

Indique, justificando, o valor logico das seguintes proposicoes

(a) o domınio de f e ]1,+∞[.

(b) f e contınua em x = 2.

(c) f ′(2) = 1.

(d) f tem um mınimo local em x = 0.

(e) f tem concavidade voltada para baixo em [2,+∞[.

38. Na figura seguinte esta representado o grafico de uma funcao real de variavel real, parax ∈ [−4, 4].

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

Faca um esboco grafico da respectiva derivada.

39. De entre dois numeros reais positivos, cuja soma e 40, determine aqueles cujo produto emaximo.

40. De entre os rectangulos de perımetro P, qual o de maior area?

41. Uma pista de atletismo, com perımetro de 400m, e formada por duas semicircunferenciasiguais e dois segmentos de recta iguais. Quais sao as dimensoes da pista (comprimento dossegmentos de recta e raio da circunferencia) que compreendem area maxima?

29

42. Mostre que se a soma de dois numeros e constante, a soma dos seus quadrados e mınimaquando estes dois numeros sao iguais.

43. As medidas sucessivas duma grandeza x (que varia em R) deram os seguintes resultados:

x1, x2, x3, · · · , xn−1, xn

Minimize a soma dos quadrados dos desvios

S(x) = (x− x1)2 + (x− x2)2 + · · ·+ (x− xn)2.

44. Calcule o diferencial das seguintes funcoes, nos pontos indicados, para os acrescimos referidos:(a) 5

√x, x = 1, dx = 0.1;

(b) y = ln(x) + x2, x = 1, dx = 0.01;

(c) y = ex2−1, x = 0, dx = 0.2;

(d) y = 4√

x, x = 16, dx = 0.1.

45. Calcule o valor aproximado de:(a) 4

√1.02, (b) 5

√0.98, (c)

√9.002.

46. Obtenha, por meio de diferenciais, o aumento aproximado novolume de um cubo, se o com-primento de cada aresta varia de 10 cm a 10.1 cm. Qual a variacao exacta do volume?

47. A medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha conica cuja altura esempre igual ao raio. Se em dado instante, o raio e de 10 cm, use diferenciais para aproximara variacao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.

48. Pretende-se construir uma caixa rectangular fechada com altura igual a largura e com 2 m3

de volume. Se os custos por metro quadrado de material, para os lados, o fundo e a tampasao, respectivamente, 2 euros, 3 euros e 1 euro, determine as dimensoes que minimizam ocusto total da caixa.

49. A soma dos lados AC e BC do triangulo da figura e dada por:

f(x) =√

(x + a)2 + h2 +√

(x− a)2 + h2.

xO

y

h

xBA

−a a

C(x,y)

De todos os triangulos com base e area fixa, procure o que tem menor perımetro.

30

50. O Sr. Manuel pretende alugar uma casa. Se ele viver a x quilometros do seu local detrabalho, o custo do seu transporte sera de cx euros por mes. Por outro lado, a sua renda

sera25c

x + 1euros. A que distancia do seu trabalho ele devera viver, de forma que as suas

despesas, de transporte e renda, sejam mınimas.

31

Capıtulo 5

Calculo Integral

1. Calcule:

(a)∫

3x dx; (b)∫−x2 − x4

3− 4 dx; (c)

∫x2

3− 2x3 + x5 + 2 dx;

(d)∫

x2 − x + 1− 1x + 1

dx; (e)∫

e3x − 2x + 3

dx; (f)∫

(ex7 − e−

x7 )2 dx;

(g)∫

ex cot(ex) dx; (h)∫

e4x

√3− e4x

dx; (i)∫

1x(1 + ln(x))2

dx;

(j)∫

earctan(x)

1 + x2dx; (k)

∫4xe−x2

dx; (l)∫

2 cos(x) sin(x)√1 + sin2(x)

dx;

(m)∫

sin(3x)√1− cos2(3x)

dx; (n)∫

tan(x)cos2(x)

dx; (o)∫

12(sin(5x) + sin(x)) dx;

(p)∫

32x dx; (q)∫

13(cos(6x) + cos(−2x)) dx; (r)

∫23x − 1

x− 5+√

1− x dx.

2. Calcule:

(a)∫

x3 + x2 − 3x + 4 dx; (b)∫

2a√x− b

x2− 3k

3√

x2 dx; (c)∫

tan2(x) sec2(x) dx;

(d)∫

x2

√a2 + x3

dx; (e)∫ −3x

x4 + 54dx; (f)

∫1

x2 + 2x + 5dx;

(g)∫

1(x− a)n

dx, n 6= 1; (h)∫

11 + cos(x)

dx; (i)∫

1x2 + a2

dx;

(j)∫

x− 1√a2 − x2

dx; (k)∫

1√1 + x− x2

dx; (l)∫

1√a2 − (x + b)2

dx;

(m)∫

arcsin(x)√1− x2

dx; (n)∫

sin(2x) cos(4x) dx; (o)∫

cos(6x) cos(5x) dx;

(p)∫

etan(x)

cos2(x)dx; (q)

∫ln(x)

xdx; (r)

∫tan(2x) cos(2x) sin(

32x) dx.

32

3. Calcule, utilizando o metodo de Primitivacao por Partes:

(a)∫

x ln(x) dx; (b)∫

ex cos(x) dx; (c)∫

sin(ln(x)) dx;

(d)∫

xe−x dx; (e)∫

x2ex dx; (f)∫

2x3ex dx;

(g)∫

x sin(x) dx; (h)∫

2x ln2(x) dx; (i)∫

3xex−1 dx;

(j)∫

x

cos2(x)dx; (k)

∫ln(x) dx; (l)

∫ln(2x) dx;

(m)∫

cos(ln(x)) dx; (n)∫

arctan(x) dx; (o)∫

sin(3x) cos(x) dx;

(p)∫

x cos(x) dx; (q)∫

arccos(x) dx; (r)∫

x√1− x2

arcsin(x) dx;

(s)∫

(x2 − 1) cos(x) dx; (t)∫

1sin2(x) cos2(x)

dx; (u)∫

(x + 1)10(2x + 1) dx;

(v)∫

x5x dx; (x)∫

ln2(x)x2

dx.

4. Calcule as seguintes primitivas de potencias de funcoes trigonometricas:

(a)∫

cos3(x) dx; (b)∫

sin5(x) dx; (c)∫

sin2(x) dx; (d)∫

cos2(x) dx;

e)∫

sin4(x) dx; (f)∫

cot3(x) dx; (g)∫

tan3(x) dx; (h)∫

tan2(x) dx;

(i)∫

cot4(x) dx.

5. Calcule as seguintes primitivas de funcoes racionais:

(a)∫

1(x− 2)(x− 3)

dx; (b)∫

x + 1x(x− 1)2

dx; (c)∫

1(x− 2)(x + 2)

dx;

(d)∫

2(x + 1)(x− 3)

dx; (e)∫

x + 1x(x− 1)

dx; (f)∫

2x + 44x2 + 2x

dx;

(g)∫

x4 + 3x3

x2 − 3x + 2dx; (h)

∫x + 2

(x− 1)2dx; (i)

∫x + 1

x(x− 2)3dx;

(j)∫

1(x− 1)2(x + 1)2

dx; (k)∫ −x3 − 5x + 9

(x− 1)3(x + 2)dx; (l)

∫1

(x2 + 1)(x− 1)dx;

(m)∫

x + 1(3x2 + 5)2(x− 1)

dx; (n)∫

x + 3x(x2 + 1)2

dx; (o)∫

(x + 1)2

x2(x2 + 1)dx.

33

6. Calcule as seguintes primitivas efectuando a mudanca de variavel adequada:

(a)∫

x3

x8 + 5dx; (b)

∫1

(1− x2)√

1− x2dx; (c)

∫1√

x(3− x)dx;

(d)∫

x3

√1− x2

dx; (e)∫

1(4 + x2)

√4 + x2

dx; (f)∫ √

x− 1√x

dx;

(g)∫

3x

32x − 3x − 2dx; (h)

∫ √4− 4x2 dx; (i)

∫ √4− x2 dx;

(j)∫

sin5(x)√cos(x)

dx; (k)∫ √

1− x

1 + xdx; (l)

∫1√

x2 − 9dx.

7. Calcule as seguintes primitivas:

(a)∫

ex − 4e2x − 1

dx; (b)∫

2ex

2 + ex + e−xdx; (c)

∫x5 dx;

(d)∫

x2

√x

dx; (e)∫

ln(x)x

dx; (f)∫

1x ln(x)

dx;

(g)∫

x ln(x) dx; (h)∫

x

(x + 3)(x + 1)(x + 5)dx; (i)

∫cos(a + bx) dx;

(j)∫

arcsin(x) dx; (k)∫

sin3(x) dx; (l)∫

x arctan(x) dx;

(m)∫

5x

53x + 5−xdx; (n)

∫ √e2x

ex + 1dx; (o)

∫sin(x)

cos(x) + cos2(x)dx.

(p)∫

x sin(x) cos(x) dx; (q)∫

1(2x− 1)

√1− 2x

dx; (r)∫

arccos(x); dx;

(s)∫

1√x + x1/3

dx; (t)∫

sin(x) cos(x)1 + sin4(x)

dx; (u)∫

x + 1√x

dx.

8. Seja h(x) = ex − 2x− 2

(a) Escreva a equacao da recta tangente ao grafico de h em x = 0.

(b) Prove que o grafico da funcao dada intersecta a recta de equacao y = −2x + 1 em pelomenos um ponto do intervalo ]0, 2[.

(c) Determine a funcao H, primitiva de h, tal que H(0) = 0.

34

9. Calcule os seguintes integrais definidos:

(a)∫ 1

0

5x3 dx; (b)∫ 5

3

4x2 − 12x dx; (c)∫ −1

−2

3x dx;

(d)∫ 2

1

x3 dx; (e)∫ e

1

2x

dx; (f)∫ 2

π

1π

x−2 sin(1x

) dx;

(g)∫ 5

−2

|x− 3| dx; (h)∫ 1

−2

x(x2 − 1)9 dx; (i)∫ π

2

0

cos3(x) dx;

(j)∫ −1

2

(x + 1)(x3 + 2) dx; (k)∫ e

1

ln(x) dx; (l)∫ 2

4

x3 + 1x2 − 1

dx.

10. Calcule a medida da area da regiao plana limitada pelos graficos das equacoes:

(a) y = 0 e y = 4x− x2; (b) y = x2 − 7x + 6, y = 0, x = 2 e x = 6;

(c) x = 8 + 2y − y2, x = 0, y = 1 e y = 3; (d) y = x3 − 6x2 + 8x e y = 0;

(e) x = 4− y2 e x = 0; (f) y = 6x− x2 e y = x2 − 2x;

(g) y2 = 4x e y = 2x− 4; (h) y = ex, y =√

x, x = 0 e x = 1;

(i) y = e−x, xy = 1, x = 1 e x = 2; (j) y = 2x, x + y = 1 e x = 1;

(k) y = e2x, y =x

x2 + 1, x = 0 e x = 1; (l) y = sin(x), y = cos(x), x = −π

2e x =

π

6.

11. Calcule a medida da area da menor regiao limitada pelo cırculo x2 + y2 = 25 e pela rectax = 3.

12. Determine a medida da area de superfıcie comum aos cırculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x.

13. Calcule a area da regiao plana fechada, delimitada por y = x2 e y = |x|.14. Calcule a area da regiao plana fechada, compreendida entre as curvas y = x3, y + x = 2 e

y + 1 = 0.

15. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = x, y = 2x e y = x2 roda em tornodo eixo dos xx. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.

16. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = x3 e y2 = x roda em torno do eixodos xx. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.

17. Determine o volume do solido gerado pela revolucao em torno do eixo xx

(a) da elipse b2x2 + a2y2 = a2b2;

(b) da regiao sob o grafico da y = sin(x), x = 0 e x = π.

18. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = e−x2, y = 0, x = 0 e x = 1 roda em

torno do eixo dos yy. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.

19. Determine o volume do corpo gerado pela rotacao da catenaria y =a

2(e

xa + e−

xa ) em torno

do eixo dos xx entre os planos x = 0 e x = a.

35

20. Determine o volume do toro gerado pela rotacao do cırculo x2 + (y − b)2 = a2 em torno doeixo das abcissas (supoe-se que b ≥ a).

21. A figura delimitada pela curva y = xex e pelas rectas y = 0 e x = 1, roda em torno do eixodas abcissas. Determine o volume do solido de revolucao gerado.

22. Calcule o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao, em torno do eixo dos yy, daregiao limitada pela circunferencia x2 + y2 − 2y = 0.

23. Determine a natureza dos seguintes integrais improprios:

(a)∫ 1

0

ln(x) dx; (b)∫ +∞

0

e−x dx; (c)∫ 2

1

x3 + 1x2 − 1

dx;

(d)∫ +∞

1

e−√

x

√x

dx; (e)∫ +∞

−∞sin(x) dx; (f)

∫ 0

−∞

1x + 1

dx;

(g)∫ 0

−1

1x

dx; (h)∫ +∞

−∞e2x dx; (i)

∫ +∞

0

1x− 2

dx;

(j)∫ +∞

1

x

1 + x2dx; (k)

∫ b

a

1(x− a)

32

dx; (l)∫ 4

−1

1x− 4

dx;

(m)∫ b

a

1√b− x

dx (a < b); (n)∫ 1

−1

1x2

dx; (o)∫ +∞

a

x7 dx (a > 0);

(p)∫ 1

−∞

1√1− x

dx; (q)∫ +∞

0

2x + 1x2 + 1

dx; (r)∫ 2

0

2√x

+1√

2− xdx.

36