Análise de placas Prof. Pedro Sá UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Livro Texto: Theory of Plates and Shells – Timoshenko and Woinowsky-Krieger

análise de placasProf. Pedro Sá

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

Livro Texto: Theory of Plates and Shells – Timoshenko and Woinowsky-Krieger



Flexão de Placas Longas Retangulares

Seja a placa da figura 1, carregada transversalmente.

A deformada de uma faixa de largura elementar assemelha-se a de um a viga fletida.

h = espessura da placal = largura da placax-y: plano médio da placa

A faixa de largura elementar pode ser considerada uma viga de comprimento l e seção retangular de altura h.

Assim, x-y é a superfície neutra da placa fletida.

2

2

dx

wdz

dx

dθz

dx

du yx

Fig.1

Fig.2




Pela Lei de Hooke,

onde E é o módulo de Young e n o coeficiente de Poisson.

EEyx

x

0

EExy

y

e

xy e

Ex

x

21 ou 21

x

x

E

Logo,2

2

21 dx

wdEzx

2

2

dx

wdz

dx

dθz

dx

du yx

Fig.1

Fig.2




O momento resultante por unidade de comprimento na faixa de largura elementar é (figura 2):

ou

2

2

2

22

2

2

3

2

2

2

2

112

1

h

h

h

h dx

wdEhMdz

dx

wdEzMdzzMm xy

D

M

dx

wd

2

2

onde 2

3

112

EhD

é a Rigidez à Flexão da Placa, equivalente ao produto EIx para as vigas.

2

2

21 dx

wdEzx

De fato, para uma viga ( n = 0) de seção retangular e largura unitária,

12

3hI x

Fig.2




equivale, nas placas, à equação diferencial da LE das vigas.D

M

dx

wd

2

2

Em princípio, portanto, basta integrar esta equação para obter as flechas w.

No entanto, como os apoios da laje não se movem, surgem reações horizontais S à medida que aparecem flechas verticais na laje submetida a cargas transversais. (figura 3)

Em suma, o problema converte-se em determinar os deslocamentos e, consequentemente, os esforços, na faixa de largura elementar submetida a cargas transversais e, simultaneamente, a cargas axiais que dependem das flechas.

Fig.3




Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente

Swqx

xql

M 22

2

Seja q a carga uniformemente distribuída.

O momento fletor numa seção qualquer distante x do apoio esquerdo (figura 3) é:

Assim, a equação diferencial fica:

22

2

2xlx

D

qw

D

S

dx

wd

Se , a equação ficaD

Slu

4

22 2

2

2

2

2

2

4xlx

D

qw

l

u

dx

wd

D

M

dx

wd

2

2

Fig.3





A solução geral desta equação é

Logo,

Du

ql

Du

xql

Du

xql

l

uxC

l

uxCw

4

4

2

22

2

3

21 1688

2cosh

2senh

22

2

2

2

2

4xlx

D

qw

l

u

dx

wd

Du

xql

Du

ql

l

uxC

l

u

l

uxC

l

u

dx

dw2

2

2

3

21 48

2senh

22cosh

2

Du

ql

l

uxC

l

u

l

uxC

l

u

dx

wd2

2

22

2

12

2

2

2

4

2cosh

42senh

4

e

D

M

dx

wd

2

2

2cosh e

2senh

tttt eet

eet

onde C1 e C2 são constantes de integração.





De fato, substituindo-se estes valores na equação diferencial, tem-se:D

M

dx

wd

2

2

2

4 22

2

2

2

xlxD

qw

l

u

dx

wd

24

4

2

22

2

3

212

2

2

2

22

2

12

2

21688

2cosh

2senh

4

4

2cosh

42senh

4

xlxD

q

Du

ql

Du

xql

Du

xql

l

uxC

l

uxC

l

u

Du

ql

l

uxC

l

u

l

uxC

l

u





0w

As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno (condições de apoio):

em e

u

u

Du

qlC

2senh

2cosh1

16 4

4

1

0x lx

Du

qlC

4

4

2 16 e

xlDu

xql

l

ux

l

ux

u

u

Du

qlw

2

2

4

4

81

2cosh

2senh

2senh

2cosh1

16

A solução, então, fica:

D

M

dx

wd

2

2

Fig.3





Substituindo-se

xlDu

xql

l

ux

l

ux

u

u

Du

qlw

2

2

4

4

81

2cosh

2senh

2senh

2cosh1

16

uuuu 222 senh21senhcosh2cosh e

uuu cosh.senh22senh

tem-se:

xlDu

xql

ul

uxu

l

uxu

Du

qlw

2

2

4

4

81

cosh

2cosh.cosh

2senh.senh

16

Fig.3





ou

xlDu

xql

u

l

xu

Du

qlw

2

2

4

4

81

cosh

21cosh

16

Daí se conclui que w depende de u que, por sua vez depende da força S.

D

Slu

4

22

Fig.3





Como determinar S?

dxdx

dwl

l2

02

1

Como

O alongamento da faixa elementar Dl provocado pela força S é a diferença entre o comprimento da linha elástica e a sua corda:

Eh

Sl

E

lll x

x

22 11

então dxdx

dw

l

EhS

l2

0212

Fig.3





Substituindo-se w na expressão de S, tem-se:

Como e a equação acima fica

466

2

722

62

384

1

256

5

256

tanh

256

tanh5

12 uuu

u

u

u

D

lEhqS

2

3

112

EhD2

2

4u

l

DS

0

18

9

16

135

16

tanh27

16

tanh1358

222

2

688

2

9

l

h

q

E

uuu

u

u

u

(equação em u)

O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.





Em suma, determinando-se a variável u, obtém-se:

22

4u

l

DS

wu

l

DxlqxSw

qxx

qlM 2

2

2 4

222

xlDu

xql

u

l

xu

Du

qlw

2

2

4

4

81

cosh

21cosh

16





Tensões Normais Máximas:

221

4u

hl

D

h

S

2

22

2 4

8 lxmáx wul

DqlM

22

6

h

M máx

constante ao longo do comprimento da faixa

em x = l/2

D

M

dx

wd

2

2

24

4

2

4

4

4

21sech2

32321

cosh

1

16uu

Du

ql

Du

ql

uDu

qlw

lx

2

2

2

82 sech12

81

1sech2

88 u

uql

u

uqlqlM máx

Fig.3






22

6

h

M máx em x = l/2

2

2 sech12

8 u

uqlM máx

Obs.: À medida que u cresce em valor absoluto, o momento tende a zero (Fig. 4); se u = 0, 82qlM máx

221

4u

hl

D

h

S constante ao longo do comprimento da faixa

-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19

00.20.40.60.8

11.2

[2(1-sech(u))/u2] x u

Fig.4






2

22 sech12

3

h

lu

u

q e

2

2

2

1 13

l

hEu

21 máx

Substituindo-se D e Mmáx em s1 e s2, tem-se

A flecha máxima pode ser escrita como

4

242

4

4

2 5

1sech212

384

51sech2

32 u

uu

D

qluu

Du

qlw

lx

-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

12{2[sech(u)-1]+u2}/(5u4)

Fig.5

(ver Fig.5)




Placas biengastadas carregadas uniformemente


Fig.6

0

2

22MSw

qxx

qlM

D

Mxlx

D

qw

D

S

dx

wd 022

2

2

D

M

dx

wd

2

2De acordo com a Fig. 6,

Du

lM

Du

ql

Du

xql

Du

xql

l

uxC

l

uxCw

2

20

4

4

2

22

2

3

21 41688

2cosh

2senh





Fig.60dx

dw

D

M

dx

wd

2

2

As condições de apoio são:Du

lM

Du

ql

Du

xql

Du

xql

l

uxC

l

uxCw

2

20

4

4

2

22

2

3

21 41688

2cosh

2senh

0w em e e0x lx

em e 0x lx

Du

qlC

3

4

1 16 u

Du

qlC coth

16 3

4

2 Daí que: ,

uu

uuqlu

u

ql

u

qlM

tanh

tanh3

12coth

44 2

22

2

2

0





Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:

xlDu

xql

u

l

xu

uDu

qlw

2

2

3

4

81

cosh

21cosh

tanh16

D

Slu

4

22 Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, ( e ),

tem-se dxdx

dw

l

EhS

l2

0212

4624522

62

384

1

64

1

senh256

1

tanh256

3

1 uuuuuuD

lEhqS





Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:

0

18

9

4

27

senh16

27

tanh16

818

222

2

68267

l

h

q

E

uuuuuu

O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.

4624522

62

384

1

64

1

senh256

1

tanh256

3

1 uuuuuuD

lEhqS

Como e a equação acima fica 2

3

112

EhD2

2

4u

l

DS






2

22 tanh

tanh3

2

h

l

uu

uuq e

2

2

2

1 13

l

hEu

21 máx

A flecha máxima é

u

u

u

uu

uD

ql

u

u

u

uu

Du

qlw

lx tanhsenh2

24

384tanhsenh216

2

4

42

4

4

2(ver Fig.7)

-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

24(u2/2+u/senh(u)-u/tanh(u))/u4

Fig. 7




Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente


D

M

D

qxx

lD

M

D

qlw

D

S

dx

wd 02

02

2

22

D

M

dx

wd

2

2De acordo com a Fig. 8,

0

20

22MSw

qxx

l

MqlM

Du

lM

Du

ql

Du

xqlx

Du

lMql

l

uxC

l

uxCw

2

20

4

4

2

22

20

3

21 41688

22cosh

2senh

wS S x

z

0M

l

Mql 0

2

l

Mql 0

2

Fig. 8

l




Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente

0dx

dw

D

M

dx

wd

2

2

As condições de apoio são:

0w em e e0x lx

em 0xw

S S x

z

0M

l

Mql 0

2

l

Mql 0

2

Fig. 8

l

Du

lM

Du

ql

Du

xqlx

Du

lMql

l

uxC

l

uxCw

2

20

4

4

2

22

20

3

21 41688

22cosh

2senh

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