Ampliacion de Matematicas

Grado en Ingenierıa en Tecnologıas Industriales

Ampliacion de Matematicas

Manuel Castillo Lopez

2 de septiembre de 2013

Indice general

1. EDP’s de primer orden 5

1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Problema bien planteado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Soluciones debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. Solucion debil de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Solucion debil de ut +F(u)x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3. Problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.4. Formacion de ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.5. Unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1. Aproximacion de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2. Esquemas de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3. Esquema para una ley de conservacion no lineal . . . . . . 16

2. Difusion 19

2.1. La ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Condiciones de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Principio del maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Metodos numericos para la ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. Esquema explıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2. Esquema implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3. Metodo de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Ecuacion de Ondas 25

3.1. Conservacion de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Conservacion de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . 26

3

INDICE GENERAL

3.3. Las ecuaciones linealizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. La ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5. Dominio de influencia y de dependencia . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6. El problema no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7. Metodos numericos para la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . 31

4. Metodo de volumenes finitos 33

4.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Aproximacion numerica de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3. Consistencia, convergencia y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.1. Flujo inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.2. Metodo de Lax-Friedrichs (LxF) . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.3. Metodo de Richtmyer para Lax-Wendroff . . . . . . . . . . 36

4.5. Metodos upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Metodo de Elementos Finitos (MEF) 39

5.1. El problema 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1. Interpretacion fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2. Aplicacion de MEF al problema . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2. El problema 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1. Interpretacion Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2. Aplicacion de MEF al problema . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 I.C.Cabrones

ingenierocontracabrones.blogspot.com

Capıtulo 1

EDP’s de primer orden

1.1. Generalidades

Se llaman ecuaciones en derivadas parciales (EDP) a aquellas ecuaciones diferen-

ciales en las que la funcion incognita depende de mas de una variable indepen-

diente.

El orden de una EDP viene dado por el orden de la mayor de la funcion incognita

que aparece.

Ejemplo:

u = u(x, t);∂u∂t− ∂

2u

∂x2 = 0 [Notacion] −→ ut −uxx = 0 (Orden 2)

Se dice que u es solucion estricta de la ecuacion en un conjunto G si u es continua

y derivable hasta el orden de la ecuacion y sus derivadas satisfacen la ecuacion

en todo punto de G, es decir:

u[estricto en G]⇐⇒ u ∈ Cm(G) satisfaciendo la ecuacion ∀(x,y,z) ∈ G

5

CAPITULO 1. EDP’S DE PRIMER ORDEN

1.2. Problema bien planteado

Para que un problema este ”bien planteado” debe satisfacer:

Debe haber un conjunto de condiciones bajo las cuales existe solucion.

Bajo estas condiciones la solucion es unica en alguna clase de funcion.

La solucion debe depender de manera continua de los datos ( por lo que en

el caso de que aproximemos los errores se propagaran de manera controla-

da)

1.3. Resolucion

Nos centraremos en el estudio de las siguientes ecuaciones:

1. PVI con curvas caracterısticas dadas

F(u,ux,ut,x, t) = 0 rc ≡ x(t) = g(t)

Tendremos que crear una funcion v(t) = u(x(t), t) particularizada en las rec-

tas caracterısticas. Posteriormente calculamos v′(t) relacionandola con la

ecuacion del PVI. Por ejemplo:

Sea el PVIut + cux = xt rc ≡ x = x0 + ct =⇒ x0 = x − ct

u(x,0) = f (x)

Definamos v(t) = u(x0 + ct, t)

v′(t) = ux(x0 + ct, t)c+ut(x0 + ct, t) = (x0 + ct)t =⇒ v(t) = c3t

3 + x02 t

2 + k;

v(0) = u(x0,0) = f (x0) =⇒ v(t) = c3t

3 + x02 t

2 + f (x0) = u(x0 + ct, t);

u(x, t) = c3t

3 + x−ct2 t2 + f (x − ct)

2. Ecuacion de transporte unidimensional:

ut + a(x, t)ux = 0

3. Ley de conservacion unidimensional:

ut + (F(u))x = 0 =⇒ ut +F′(u)ux = 0

6 I.C.Cabrones


1.3. RESOLUCION

Estas dos ultimas se pueden unificar para obtener una solucion con el mismo

procedimiento:

ut + c(x, t,u)ux = 0

Obtengamos la solucion al PVI: ut + c(x, t,u)ux = 0 con u = u(x, t)

u(x,0) = f (x)

Si escribimos la ecuacion en forma vectorial nos queda:

(ux,ut) • (c(x, t,u),1) =−→∇u • (c(x, t,u),1) = 0

Puesto que la derivada direccional de u en la direccion del vector (c(x, t,u),1) es

cero, u es constante a lo largo de las curvas tangentes a esa direccion en cada

punto. A esas curvas se les denominan curvas caracterısticas.

t

x

g(t)

x0

(c(x,t,u),1)

Sea la curva x(t) = g(t). La pendiente de la recta tangente a la curva es c(x, t,u),

por lo que las curvas caracterısticas quedan definidas por:dx(t)dt = c(x, t,u)

xt=0 = x0

Llamemos v(t) a u particularizado en la ecuacion de la curva caracterıstica x(t).

Como u es constante recorriendo dicha curva:

v(t) = u(x(t), t) = u(x(0),0) = u(x0,0) = f (x0)

7 I.C.Cabrones



Por lo que el sistema anterior quedarıa como:dx(t)dt = c(x, t, f (x0))

xt=0 = x0

=⇒ x = g(t)

En general, si queremos obtener u ∀ x, t tendrıamos que x = θ(x0, t) ∀ x0, t, tenien-

do ası dos opciones para representar las soluciones:

1. Despejar x0 = h(x, t), de manera que:

u(θ(x0, t), t) = f (x0) =⇒ u(x, t) = f (h(x, t))

u(x,t)

x

t

2. Hacer un cambio de coordenadas representando [θ(x0, t), t, u(θ(x0, t))], con

u(θ(x0, t), t) = f (x0), que sera la mas utilizada en general ya que no siempre

obtenemos x0 = h(x, t) explıcitamente.

u(θ(x0,t),t)

θ(x0,t)

t

8 I.C.Cabrones


1.4. LINEALIZACION

1.4. Linealizacion

Queremos comparar el comportamiento de la ecuacion ut + cux = 0 (1) con las

soluciones de la ecuacion no lineal ut + c(u)ux = 0 (2). Las soluciones de (1) man-

tienen la forma del dato inicial mientras que las soluciones de (2) no. Al metodo

de intentar aproximar las soluciones de (2) mediante soluciones de (1) se le llama

linealizacion. Veamos el siguiente caso: ut + c(u)ux = 0 (3)

u(x,0) = f (x)

Supongamos que la condicion inicial es constante f (x) = u0, entonces la solucion

sera u(x, t) = u0. Si anadimos una pequena desviacion a la condicion inicial tal

que f (x) = u0 + g(x). La solucion se vera afectada por otra pequena perturbacion

u(x, t) = u0 +v(x, t). Veamos si la solucion con la perturbacion anadida satisface el

PVI: vt + c(u0 + v(x, t))vx = 0 (4)

v(x,0) = g(x)

Tomemos el desarrollo de Taylor de c(u) en u = u0:

c(u) = c(u0)+c′(u0)(u−u0)+c′′(u0)

2!(δ−u0)2 = c(u0)+c′(u0)v+O(v2) con δ ∈ [u,u0]

Sustituyendo en (4) nos queda:

vt + c(u0)vx + c′(u0)vxv +O(v2v) = 0 =⇒ vt + c(u0)vx ≈ 0

Ya que despreciamos los terminos de segundo orden. Por tanto el PVI linealizado

sera: wt + c(u0)wx = 0 (4)

w(x,0) = g(x)=⇒ w(x, t) = g(x − c(u0)t)

Quedando como solucion aproximada:

u(x, t) ≈ u0 +w(x, t) = u0 + g(x − c(u)t)

9 I.C.Cabrones



1.5. Soluciones debiles

El uso estricto de una solucion de un EDP ut + F(x,u)x = 0 requiere que u ∈ C1

para que la ecuacion tenga sentido. Pero esta nocion de solucion no es valida para

al menos dos situaciones:

1. Cuando F(x,u)=cu la ecuacion es lineal y la solucion es de la forma u(x, t) =

f (x − ct), siendo valido incluso si f es discontinua.

2. En el caso en que la F(x,u)=F(u) con c(u)=F’(u) (no lineal). La ecuacion re-

sultante es ut + c(u)ux = 0. Aunque el dato inicial sea muy regular puede

suceder que la solucion deje de existir a partir de un tiempo t = t∗ donde al

menos un punto de la solucion tiene pendiente infinita y a partir del cual la

solucion deja de ser una funcion.

Para superar estas dificultades debemos introducir un concepto mas amplio de

solucion (solucion debil). Veamos el concepto de solucion debil con un ejemplo

de EDO para despues extrapolarlo a una EDP:

1.5.1. Solucion debil de una EDO

Supongamos que y ∈ C1(R) solucion de y′(x) = f (x) (1).

Sea ϕ ∈ C1(R) una funcion (funcion test) cualquiera de modo que ϕ = 0 fuera

de un determinado intervalo finito. Para obtener la ecuacion que verifique si una

solucion es solucion debil multiplicamos la EDO por la funcion test e integramos:∫R

f (x)ϕ(x)dx =∫R

y′(x)ϕ(x)dx = por partes = [ϕ(x)y(x)]∞−∞ −∫R

y(x)ϕ′(x)dx

Quedando: ∫R

f (x)ϕ(x)dx = −∫R

y(x)ϕ′(x)dx (2).

No exigiendo ası que y(x) sea derivable. A las soluciones que cumplen (2) pero no

(1) se les llama soluciones debiles.

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1.5. SOLUCIONES DEBILES

1.5.2. Solucion debil de ut +F(u)x = 0

Ahora u = u(x,t). La funcion test ϕ ∈ C1(R2) seran tales que ϕ = 0 fuera de cierto

rectangulo finito Q. Si multiplicamos por la funcion test e integramos:"R

2[utϕ +F(u)xϕ]dxdt =

"Q

[utϕ +F(u)xϕ]dxdt

Aplicando el teorema de la divergencia:"G∇ · f dxdt =

∫∂Gn · f

Si f = (u(x, t) · v(x, t),0) se puede demostrar que:"Guxvdxdt =

∫∂Gn1uvds −

"Guvxdxdt

De la misma manera"Gutvdxdt =

∫∂Gn2uvds −

"Guvtdxdt

Por tanto: "Gutϕdxdt = −

"Guϕtdxdt"

GF(x,u)xϕdxdt = −

"GF(x,u)ϕxdxdt

Ya que ϕ = 0 en ∂G

En nuestro caso la Finalmente obtenemos:"R

2[utϕ +F(u)xϕ]dxdt = −

"R

2[uϕt +F(x,u)ϕx]dxdt = 0

Dada una solucion de la ecuacion integral que no cumple la ecuacion diferencial,

esta es solucion debil de la misma. Pudiendo ser u no diferenciable en cualquiera

de sus variables ya que las derivadas de u no estan implicadas en la ecuacion

integral.

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1.5.3. Problema de Riemann

Para ver como una funcion discontinua puede ser una solucion debil de la ley de

conservacion consideremos el problema de Riemann:

ut +F(u)x = 0, u(x,0) = f (x) =

ul x < 0

ur x > 0ul > ur

Proponemos como solucion debil:

u(x, t) =

ul x < st

ur x > stDonde s es la velocidad de la singularidad.

Determinemos s a partir de la ley de conservacion en forma integral:

ddt

∫ b

au(x, t)dx = F(u(a, t))−F(u(b, t))

y sea t ∈ [a,b] ∫ st

auldx+

∫ b

sturdx = ul(st − a) +ur(b − st)

por lo que:

ddt

∫ b

au(x, t)dx = s(ul−ur) = F(u(a, t))−F(u(b, t)) =⇒ s =

F(u(a, t))−F(u(b, t))ul −ur

=F(ul)−F(ur)ul −ur

1.5.4. Formacion de ondas de choque

Las singularidades nombradas en el apartado anterior se les llama ondas de cho-

que en el caso de la ecuacion de conservacion. Si un punto ha alcanzado el estado

de choque no podremos continuar su estudio analıtico y se propagara a la velo-

cidad del choque. Para encontrar el primer punto en el que se produce el choque

tenemos que acudir a la funcion inicial. El choque se producira en un tiempo t∗

tal que:

t∗ =1

max(−f ′(x))

y llamaremos x∗ a la x para la cual t = t∗. El tiempo t∗∗ y el espacio x∗∗ para los

cuales la solucion completa se encuentra en choque se produce en el punto en el

que se cortan las rectas caracterısticas que separan los intervalos de velocidades

ul y ur .

12 I.C.Cabrones


1.6. METODOS NUMERICOS

1.5.5. Unicidad de soluciones

Cuando generalizamos el concepto de solucion e introducimos el de solucion

debil podemos perder la unicidad de solucion. En el caso de que obtengamos

mas de una solucion tomaremos como valida aquella que tenga sentido fısico en

nuestro problema.

1.6. Metodos numericos

1.6.1. Aproximacion de la derivada

Sea f ∈ C2. Calculemos su polinomio de Taylor de f centrado en x=a.

f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2!(x − a)2 + · · · ;

Sea (x − a) un incremento de x fijo h = (x − a)

f (x+ h) = f (x) + f ′(x)h+12f ′′(ξ)h2,

De esta forma despejamos f ′(x) y obtenemos:

f ′(x) =f (x+ h)− f (x)

h− 1

2f ′′(ξ)h;

Por lo que el cociente se aproxima con un error O(h).

De esta manera podemos obtener las siguientes aproximaciones en diferencias:

f ′(x) =f (x+ h)− f (x)

h+O(h); Diferencias progresivas.

f ′(x) =f (x)− f (x − h)

h+O(h); Diferencias regresivas

f ′(x) =f (x+ h)− f (x − h)

2h+O(h2); Diferencias centradas.

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1.6.2. Esquemas de diferencias finitas

Hallemos el esquema de diferencias finitas para la ecuacion de transporte lineal:ut + cux = 0 Elegimos un ∆x y un ∆t y definimos una malla en espacio

u(x,0) = f (x) y tiempo tal que xj = j∆x y tn = n∆t.

t

xΔx

Δt

(xj,tn)

1. Esquema descentrado progresivo:

Reemplazamos ux y ut por diferencias finitas progresivas:

ut(x, t) ≈u(x, t +∆t)−u(x, t)

∆tux(x, t) ≈

u(x+∆x, t)−u(x, t)∆x

Reescribiendo la ecuacion para un punto (xj , tn):

uj,n+1 −uj,n∆t

+ cuj+1,n −uj,n

∆x= 0 =⇒ uj,n+1 = uj,n − c

∆t∆x

(uj+1,n −uj,n);

uj,n+1 = uj,n − cρ(uj+1,n −uj,n) con ρ = ∆x

∆t

14 I.C.Cabrones



Δt

Δx

uj,n+1

uj,n uj+1,n

rc

Diagrama Stencil de esquema progresivo

2. Esquema descentrado upwind:

Realizamos esquemas de diferencias finitas progresivas en el tiempo y re-

gresivas en el espacio. De la misma manera obtenemos:

uj,n+1 = uj,n − cρ(uj,n −uj−1,n)

Δt

Δx

uj,n+1

uj,nuj-1,n

rc

Diagrama Stencil de esquema upwind

3. Esquema en diferencias finitas centradas:

uj,n+1 = uj,n − c2ρ(uj+1,n −uj−1,n)

Δt

Δx

uj,n+1

uj,nuj-1,n

rc

uj+1,n

Diagrama Stencil de esquema centrado

15 I.C.Cabrones



Ademas de esto tenemos que asegurar que la velocidad de propagacion del es-

quema sea al menos la velocidad de propagacion del problema. Normalmente se

fija ∆x y se escoge ∆t tal que se cumpla la condicion:

cρ≤ 1 =⇒ c ≤ ∆x

∆t

Denominada condicion CFL.

Convergencia y Estabilidad de esquemas

Un esquema es convergente⇐⇒ Limn→∞uj,n = K K ∈R

Concepto de Esquema consistente

Un esquema es consistente cuando el error de truncamiento tiende a cero cuando

tomamos ∆x y ∆t proximos a cero.

Teorema de Equivalencia de Lax

Para una ecuacion lineal ut+cux = 0, un esquema en diferencias finitas consistente

verifica:

Convergente⇐⇒ Estable

1.6.3. Esquema para una ley de conservacion no lineal

Consideremos la ecuacion ut + c(u)ux = 0. Supongamos que c(u) ≥ 0. Basandonos

en los esquemas que hemos visto construimos un esquema usando diferencias

regresivas para x y progresivas para t.

Hay que tener en cuenta que c no es constante y, por tanto la condicion CFL se ve

alterada debiendo cumplirse que:

cmax ≤∆x∆t

cmax =max|c(u)| =max|c(f (x))|

Ademas a la hora de obtener nuestro esquema tenemos que evaluar c(u), por lo

que escribimos la ecuacion de la forma ut + F(u)x = 0. Construyendo el esquema

upwind de la siguiente manera:

uj,n+1 = uj,n −1ρ

[F(uj,n)−F(uj−1,n)]

16 I.C.Cabrones



En el caso de que c(u) cambie de signo tendremos que usar esquemas numericos

que cojan informacion a ambos lados de xj . Usaremos diferencias finitas centra-

das, en particular los esquemas de Lax-Friedrichs y Lax-Wendroff.

1. Esquema de Lax-Friedrichs:

uj,n+1 = 12(uj+1,n +uj−1,n)− c

2ρ(uj+1,n −uj−1,n)

2. Esquema de Lax-Wendroff:

uj,n+1 = uj,n − c2ρ[(uj+1,n +uj−1,n)− c

ρ(uj+1,n − 2uj,n +uj−1,n)]

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18 I.C.Cabrones


Capıtulo 2

Difusion

2.1. La ecuacion del calor

Supongamos que tenemos una barra infinita de seccion constante. Sea u(x,t) la

temperatura de la barra en (x,t) y c = c(x) el calor especıfico del material. Si ρ =

ρ(x) la densidad del material, la energıa contenida en un trozo de la barra a ≤ x ≤b es: ∫ b

au(x, t)c(x)ρ(x)dx (J/m)

Supongamos que la barra esta aislada. Sea F(x, t) el flujo al que la energıa calorıfi-

ca pasa por un punto x en el instante t.

ddt

∫ b

au(x, t)c(x)ρ(x)dx = F(a, t)−F(b, t)

Tomando como referencia que el flujo va en el mismo sentido que el eje x y u/F ∈C1 entonces:∫ b

ac(x)ρ(x)ut(x, t)dx = −

∫ b

aFx(x, t)dx =⇒ c(x)ρ(x)ut(x, t) +Fx(x, t) = 0

Para las leyes de conservacion el flujo dependıa de u. Ahora el flujo de calor

sera funcion del gradiente de temperatura, ux. Esto lo vamos a expresar usan-

do la Ley de Fourier:

F(x, t) = −κ(x)ux(x, t) Con κ: conductividad termica del material.

19

CAPITULO 2. DIFUSION

Por lo que tendremos:

c(x)ρ(x)ut(x, t) +∂∂x

(−κ(x)ux(x, t)) = 0

Tambien podemos anadir un termino fuente, quedando:

ut(x, t) =1

c(x)ρ(x)∂x(κ(x)ux(x, t)) + q(x, t)

En el caso de un material uniforme(c(x),ρ(x),κ constantes), la ecuacion se simpli-

fica:

ut = kuxx + q con k =κcρ

2.2. Condiciones de salto

Supongamos que tenemos una barra compuesta por dos materiales separados en

x = 0. Entonces:

c(x) =

cl x < 0

cr x > 0ρ(x) =

ρl x < 0

ρr x > 0

κ(x) =

κl x < 0

κr x > 0k =

kl = κlρlcl

x < 0

kr = κrρrcr

x > 0

El flujo de calor vendra dado por dos ecuaciones con determinadas condiciones

en la zona interfaz entre los dos materiales. En el caso de que no haya aporte de

calor:

ut =

kluxx x < 0

kruxx x > 0

A esto se le sumarıan las condiciones de continuidad en la temperatura y en el

flujo:

ul(0, t) = ur(0, t)

kl∂2

∂x2ul(0, t) = kr∂2

∂x2ur(0, t)

20 I.C.Cabrones


2.3. PRINCIPIO DEL MAXIMO

2.3. Principio del maximo

Sea Q = (x, t) ∈ R2 /a < x < b, t > 0. Sea u(x, t) la solucion de la ecuacion del

calor homogenea en Q. Supongamos que u tiene un maximo local en (x0, t0) ∈ Qcon uxx(x0, t0) < 0. Entonces, aplicando la ecuacion del calor tenemos, ut(x0, t0) =

kuxx(x0, t0) < 0, es decir, que la temperatura decrece con el tiempo. Por tanto, lle-

gamos a una contradiccion porque habıamos supuesto que (x0, t0) era un maximo

local.

En conclusion, la temperatura en una barra a ≤ x ≤ b nunca puede exceder el

maximo de la temperatura inicial o la temperatura maxima de los extremos. Por

tanto, si tenemos el problema de valor inicial:ut = kuxx

u(x,0) = f (x)entonces, u(x, t) ≤max(f (x))

2.4. Metodos numericos para la ecuacion del calor

Vamos a aplicar metodos de diferencias finitas para la ecuacion del calor:ut = kuxx

u(x,0) = f (x)xj = j∆x tn = n∆t uj,n ' u(xj , tn)

2.4.1. Esquema explıcito

Tomamos esquemas en diferencias progresivas en tiempo y centrada en espacio:

ut 'uj,n+1 −uj,n

∆tuxx '

uj+1,n − 2uj,n +uj−1,n

∆x2

Llamando a s = k ∆t∆x2 y sustituyendo en la ecuacion del calor obtenemos el si-

guiente esquema explıcito:

uj,n+1 = uj,n + s(uj+1,n − 2uj,n +uj−1,n)

Que tambien podemos reagruparlo de la siguiente manera:

uj,n+1 = (1− 2s)uj,n + s(uj+1,n +uj−1,n)

Este esquema es condicionalmente estable. Esta condicion se obtiene del princi-

pio del maximo, y concluye que para que dicho esquema sea estable s ≤ 1/2. Lo

21 I.C.Cabrones



cual no es muy practico puesto que si suponemos que tomamos ∆x = 0,1 y k = 1,

para que sea estable ∆t ≤ 0,005.

2.4.2. Esquema implıcito

Tomamos esquemas en diferencias progresivas en tiempo y centrada en espacio,

pero en el tiempo siguiente:

ut 'uj,n+1−uj,n

∆tuxx '

uj+1,n+1 − 2uj,n+1 +uj−1,n+1

∆x2

Llamando a s = k ∆t∆x2 y sustituyendo en la ecuacion del calor obtenemos el si-

guiente esquema implıcito:

uj,n+1 = uj,n + s(uj+1,n+1 − 2uj,n+1 +uj−1,n+1)

A la hora de resolver este esquema hay que hacer un sistema de j ecuaciones

con j incognitas para cada paso en tiempo. Para ello es mas sencillo expresar el

esquema de esta manera:

uj,n = −suj−1,n+1 + (1 + 2s)uj,n+1 − suj+1,n+1

Este esquema para un caso sencillo de 5 puntos, conocidas las condiciones inicia-

les y de contorno (uj,0, u0,n y u4,n) tendrıamos el siguiente sistema de ecuaciones

para n = 0: j = 1) u1,0 = −su0,1 + (1 + 2s)u1,1 − su2,1

j = 2) u2,0 = −su1,1 + (1 + 2s)u2,1 − su3,1

j = 3) u3,0 = −su2,1 + (1 + 2s)u3,1 − su4,1

Si lo construimos en forma matricial tendrıamos:1 + 2s −s 0

−s 1 + 2s −s0 −s 1 + 2s

u1,1

u2,1

u3,1

=

u1,0 + su0,1

u2,0

u3,0 + su4,1

Observamos que nos queda una matriz tridiagonal, por lo que solo tendrıamos

que extender la matriz a mayor dimension para problemas de mayor envergadu-

ra.

Para programar su resolucion debemos descomponer la primera matriz mediante

la descomposicion LU. Expliquemos dicha descomposicion con un ejemplo:

22 I.C.Cabrones


2.4. METODOS NUMERICOS PARA LA ECUACION DEL CALOR

Sea una matriz A tal que Ax = B. Si descomponemos A en dos matrices A = L ·Unos queda L·Ux = B. Siendo L una matriz triangular inferior y U una matriz trian-

gular superior (Lower y Upper respectivamente). De esta manera descomponemos

la ecuacion matricial en un sistema de dos ecuaciones matriciales tales que:y =Ux

Ly = B

De esta manera, simplificamos el problema computacionalmente ya que:

Ly = B =⇒

a 0 0

b d 0

c e f

y1

y2

y3

=

b1

b2

b3

Ası, obtenemos la y de manera inmediata mediante la sustitucion progresiva (de

arriba a abajo).

Ux = y =⇒

a b c

0 d e

0 0 f

x1

x2

x3

=

y1

y2

y3

Con esta ultima ecuacion matricial obtenemos la x mediante sustitucion regresiva

(de abajo a arriba).

Condiciones de contorno

Supongamos que tenemos una barra de longitud L. Los tipos de condiciones de

contorno que se nos presentaran seran:

Condiciones de tipo Dirichlet:

Conocemos u(0, t) y u(L,t), por tanto obtenemos el esquema implicito ante-

rior: 1 + 2s −s 0

−s 1 + 2s −s0 −s 1 + 2s

u1,1

u2,1

u3,1

=

u1,0 + su0,1

u2,0

u3,0 + su4,1

Condiciones de tipo Neumann (homogeneo):

ux(0, t) = 0 = ux(L,t)

23 I.C.Cabrones



En este caso tendremos que discretizar la derivada para obtener una condi-

cion que pueda ser utilizada en nuestro esquema:

u1,n −u−1,n

2∆x= 0 =⇒ u1,n = u−1,n =⇒ uL+1,n = uL−1,n

Por tanto, nos quedara un esquema implıcito de mayor orden ya que los

extremos no son conocidos:

1 + 2s −2s 0 0 0

−s 1 + 2s −s 0 0

0 −s 1 + 2s −s 0

0 0 −s 1 + 2s −s0 0 0 −2s 1 + 2s

u0,1

u1,1

u2,1

u3,1

u4,1

=

u0,0

u1,0

u2,0

u3,0

u4,0

Tanto con las condiciones de tipo Dirichlet como Neumann la matriz es tridiago-

nal y el sistema se descompondra en producto de matrices LU. Ademas el metodo

implıcito es estable y convergente ∀s ≥ 0.

2.4.3. Metodo de Crank-Nicolson

esquema explıcito e implıcito Es posible mejorar la precision de las aproximacio-

nes anteriores usando un promedio del esquema explıcito e implıcito, quedando

el esquema siguiente:

−suj−1,n+1 + (1 + 2s)uj,n+1 − suj+1,n+1 = (1− 2s)uj,n + s(uj+1,n +uj−1,n)

Con s = 12k

∆t∆x2

Todo esto (para el caso sencillo que vimos anteriormente) en forma matricial que-

darıa:1 + 2s −s 0

−s 1 + 2s −s0 −s 1 + 2s

u1,1

u2,1

u3,1

=

1− 2s s 0

s 1− 2s s

0 s 1− 2s

u1,0

u2,0

u3,0

+

su0,0 + su0,1

0

su4,0 + su4,1

24 I.C.Cabrones


Capıtulo 3

Ecuacion de Ondas

3.1. Conservacion de la masa

Supongamos un gas que ocupa un tubo recto de pequena seccion de modo que

la velocidad de las partıculas (u), la densidad (ρ), y la presion (p) dependan solo

de la posicion y del tiempo. Consideremos una porcion de gas que se desplaza

contenido en un intervalo a(t) ≤ x ≤ b(t). Asumimos a′(t) = u(a(t), t) y b′(t) =

u(b(t), t), es decir, los extremos se desplazan a la velocidad de las partıculas, por

lo que la masa contenida en el intervalo no varıa:

ddt

∫ b(t)

a(t)ρ(x, t)dx = 0 Ley de conservacion de la masa.

Intentemos obtener la forma diferencial de la ecuacion anterior:

Propiedad: Se puede demostrar que:

ddt

∫ b(t)

a(t)f (x, t)dx =

ddt

∫ b(t)

a(t)

∂f

∂t(x, t)dx+ f (b(t), t)b′(t)− f (a(t), t)a′(t)

En nuestro caso sera:

ddt

∫ b(t)

a(t)ρ(x, t)dx =

ddt

∫ b(t)

a(t)ρt(x, t)dx+ ρ(b(t), t)b′(t)− ρ(a(t), t)a′(t)

Ademas a′(t) = u(a(t), t) y b′(t) = u(b(t), t), por lo que:

ρ(b(t), t)b′(t)− ρ(a(t), t)a′(t) = uρ(b(t), t)−uρ(a(t), t) = TFC =∫ b(t)

a(t)(uρ)xdx

25

CAPITULO 3. ECUACION DE ONDAS

Obteniendo ası la forma diferencial de la ley de conservacion de la masa (ecua-

cion de continuidad):∫ b(t)

a(t)ρt(x, t)dx+

∫ b(t)

a(t)(uρ)xdx = 0 =⇒ ρt + (uρ)x = 0

3.2. Conservacion de la cantidad de movimiento

El momento de la porcion de gas considerada anteriormente viene dado por:∫ b(t)

a(t)ρ(x, t)u(x, t)dx

Por la segunda ley de Newton:

ddt

∫ b(t)

a(t)ρ(x, t)u(x, t)dx = A[p(a(t), t)− p(b(t), t)] = −A

∫ b(t)

a(t)px(x, t)dx

Aplicando la propiedad de diferenciacion de una integral:

ddt

∫ b(t)

a(t)ρ(x, t)u(x, t)dx =

∫ b(t)

a(t)(ρu)t(x, t)dx+ b′(t)(ρu)(b(t), t)︸︷︷︸

ρu2(b(t),t)

−a′(t)(ρu)(a(t), t)︸︷︷︸ρu2(a(t),t)

;

∫ b(t)

a(t)(ρu)t(x, t)dx+ ρu2(b(t), t)− ρu2(a(t), t) +A

∫ b(t)

a(t)px(x, t) = 0;

Si tomamos A = 1, entonces:∫ b(t)

a(t)[(ρu)t + (ρu2)x + px]dx = 0 =⇒ (ρu)t + (ρu2)x + px = 0

Desarrollando la ecuacion anterior y combinandola con la ecuacion de continui-

dad nos queda:ρt + (ρu)x = 0 −→ Ecuacion de continuidad

ρ[ut +uux] + px = 0 −→ Ecuacion de cantidad de movimiento

26 I.C.Cabrones


3.3. LAS ECUACIONES LINEALIZADAS

Para poder cerrar el sistema en u y ρ vamos a suponer que el flujo es isentropico,

por lo que p = p(ρ). Si ademas es gas ideal tenemos que p(ρ) = Aργ , siendo A la

seccion transversal. En general llegaremos al sistema:ρt + (ρu)x = 0

ρ[ut +uux] + p′(ρ)ρx = 0

Este sistema no es lineal, por lo que en la mayorıa de los casos, tendremos que

buscar una solucion linealizada del problema.

3.3. Las ecuaciones linealizadas

Observemos que ρ0 = k/k ∈ R y u ≡ 0 son soluciones del sistema anterior. Vamos

a estudiar que ecuaciones satisface una pequena perturbacion aplicada a esta so-

lucion constante:

ρ(x, t) = ρ0(1 + δ(x, t)) donde δ(x, t) se le denomina condensacion.

Supondremos que Γ = max|δ(x, t)| 1. Sea c0 =√p′(ρ0) la velocidad de propa-

gacion del sonido en el gas. En el caso de un gas ideal c20 = Aγρ

γ−10 . Sea U =

max|u(x, t)| la velocidad maxima de una partıcula del gas. Supondremos que:

M ≡ Uc0 1 −→ M es el numero de Mach.

Por tanto, escribiremos la velocidad perturbada como u(x, t) = c0v(x, t). Donde

v(x, t) es una cantidad pequena del orden del numero de Mach. Para hallar el

sistema linealizado debemos sustituir ρ = ρ0(1+δ) y u = c0v en el sistema original,

quedando:δt + c0vx + c0δvx + c0δxv = 0

vt + c0vvx + c0δx = 0 −→ Considerando 1 + δ ' 1 y usando p′(ρ0) = c20

Por consistencia debemos suponer δt, c0vx, vt y c0δx son cantidades aproxima-

damente de la misma magnitud. De este modo en la primera ecuacion c0δvx y

c0δxv son despreciables en comparacion con δt y c0vx. En la segunda podemos

27 I.C.Cabrones



despreciar c0vvx, por lo que resulta es siguiente sistema lineal:δt + c0vx = 0

vt + c0δx = 0

Para obtener las ecuaciones lineales de ondas es preciso resolver el sistema. Para

ello tenemos dos opciones:

1. Derivar la primera ecuacion respecto de t y la segunda respecto de x, obte-

niendo:

δtt − c20δxx = 0

2. Derivar la segunda ecuacion respecto de t y la primera respecto de x, obte-

niendo:

vtt − c20vxx = 0

En el contexto de dinamica de gases a las soluciones de estas ecuaciones lineales

de ondas se llaman ondas acusticas.

3.4. La ecuacion de ondas

La formula de D’Alembert

Consideremos el siguiente PVI:utt = c2uxx

u(x,0) = f (x) ∀x, t ∈R

ut(x,0) = g(x)

Usando operadores diferenciales, esta ecuacion la podemos escribir como:

(∂tt − c2∂xx)u = 0 =⇒ ∂xt = ∂tx ⇐⇒ (∂t + c∂x)(∂t − c∂x)u = 0

(∂t + c∂x)︸︷︷︸∗

(ut − cux)︸︷︷︸∗

= 0 Ecuaciones de transporte lineal.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacion seran de la forma:

u = ϕ(x − ct) y u = ϕ(x+ ct)

28 I.C.Cabrones


3.4. LA ECUACION DE ONDAS

Apareciendo ası ondas que se desplazan en ambas direcciones. Por lo tanto, ten-

dremos dos conjuntos de caracterısticas: x − ct = cte y x + ct = cte. Para obtener la

solucion general tendremos que hacer el siguiente cambio de variable:

ξ = x − ct

η = x+ ct

De este modo w(ξ,η) sera u expresado en estos ejes coorde-

nados.

u(x, t) = w(x − ct,x+ ct) = w(ξ,η)

¿Satisface w la ecuacion de ondas?

utt = c2wξξ − 2c2wξη + c2wηη

uxx = wξξ + 2wξη + cwηη

utt − c2uxx = −4c2wξη

Por lo que w satisface la ecuacion de ondas si wξη = 0. Veamos como son estas

soluciones. Para ello, integramos la ecuacion en η y ξ quedando:

w(ξ,η) = F(ξ) +G(η) = F(x − ct) +G(x+ ct) = u(x, t)

Ahora impongamos las restricciones de modo que F y G satisfagan las condicio-

nes iniciales:

u(x,0) = f (x)⇐⇒ F(x) +G(x) = f (x)

ut(x,0) = g(x)⇐⇒−cF′(x) + cG′(x) = g(x)

Resolviendo el sistema obtenemos:F(x) = 12f (x)− 1

2c

∫ x0g(y)dy +C1

G(x) = 12f (x) + 1

2c

∫ x0g(y)dy +C2

Por lo tanto la formula de D’Alembert para el PVI planteado es:

u(x, t) = F(x − ct) +G(x+ ct) =12

[f (x+ ct) + f (x − ct)] +12c

∫ x+ct

x−ctg(y)dy +

0 con las c.i.K

Ademas se puede demostrar que podemos estimar la magnitud de la solucion en

termino de los datos iniciales:

maxx∈R|u(x, t)| ≤maxx∈R|f (x)|+ t ·maxx∈R|g(x)|

29 I.C.Cabrones



Si∫R|g(x)|dx es finita obtenemos una estimacion mejor:

maxx∈R|u(x, t)| ≤maxx∈R|f (x)|+ 12c

∫R

|g(x)|dx

3.5. Dominio de influencia y de dependencia

Por la formula de D’Alembert u(x0, t0) contiene a los valores x0− ct0 y x0 + ct0 y al

intervalo[x0− ct0,x0 + ct0]. Este intervalo es el dominio de dependencia del punto

(x0, t0).

x0+ctx0-ct

(x0, t0 =0)

Dominio de dependencia de (x0, t0)

t

x

En el caso de un intervalo [a,b] su dominio de influencia sera [a − ct0,b + ct0]. Se

le llama dominio de influencia a la union de todos los dominios de dependencia

de cada punto del intervalo.

3.6. El problema no homogeneo

Consideremos el PVI:

utt − c2uxx = q(x, t) x, t ∈R

u(x,0) = f (x)

ut(x,0) = g(x)

q(x, t) puede representar tanto una fuen-

te acustica como una fuerza externa en

caso de una cuerda vibrante.

30 I.C.Cabrones


3.7. METODOS NUMERICOS PARA LA ECUACION DE ONDAS

Utilizando el principio de Duhamel:

u(x, t) =12

∫ t

0

∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)q(y,s)dyds =

12c

∫T (x,t)

q(y,s)dyds

T (x, t) = (y,s) : |y − x| ≤ c(t − s), 0 ≤ s ≤ tDonde T (x, t) es la region de in-

fluencia del termino fuente q(x, t).

3.7. Metodos numericos para la ecuacion de ondas

Para obtener un esquema explıcito de la ecuacion utt = c2uxx discretizamos las

derivadas con diferencias centradas:

utt(xj , tn) 'uj,n+1 − 2uj,n +uj,n−1

∆t2uxx(xj , tn) '

uj+1,n − 2uj,n +uj−1,n

∆x2

Sustituyendo en la ecuacion y despejando uj,n+1:

uj,n+1 = 2(1− s)uj,n + s(uj+1,n +uj−1,n)−uj,n−1

Observamos que para hallar uj,n+1 necesitamos uj,n y uj,n−1. Por tanto, para nues-

tro esquema necesitamos los valores aproximados en t0 = 0 y t1 = ∆t. Por las

condiciones iniciales sabemos que uj,0 = f (xj) = f (j∆x). Para calcular los valores

en t = t1 usaremos un desarrollo de Taylor:

u(x,∆t) = u(x,0) +ut(x,0)∆t + utt(x,0)︸︷︷︸c2uxx(x,0)︸︷︷︸

c2f ′′ (x)

∆t2

2

Si conocemos f (xj) y g(xj) se obtiene:

uj,1 = f (xj) +∆t · g(xj) +c2∆t2

2f ′′(xj)

Si no conocemos explıcitamente f(x) sino sus valores puntuales tomaremos la si-

guiente aproximacion:

f ′′(xj) 'f (xj+1)− 2f (xj) + f (xj−1)

∆x2

31 I.C.Cabrones



Por lo tanto obtenemos:

uj,1 = f (xj) +∆t · g(xj) +s2

[f (xj+1)− 2f (xj) + f (xj−1)] con s =(c∆t∆x

)2

En este caso para que la condicion CFL se cumpla [xj−∆x,xj+∆x] debe contener al

intervalo de dependencia de la solucion exacta [xj−c∆t,xj+c∆t], es decir que c∆t∆x ≤

1, aunque en nuestro caso exigiremos ( c∆t∆x )2 ≤ 1 puesto que nuestra velocidad de

propagacion puede ser negativa.

Notas:

Se puede obtener un esquema implıcito centrando la aproximacion de uxx

en el punto (xj , tn1), es decir:

uxx(xj , tn) 'uj+1,n+1 − 2uj,n+1 +uj−1,n+1

∆x2

Esto nos dara un sistema de ecuaciones para cada iteracion en tiempo. El

esquema resultante es incondicionalmente estable.

Tambien se puede tomar (como en la ecuacion del calor) la media de los es-

quemas implıcito y explıcito, obteniendo ası el esquema de Crank-Nicolson.

32 I.C.Cabrones


Capıtulo 4

Metodo de volumenes finitos

4.1. Definicion

El metodo de volumenes finitos consiste en un esquema numerico en el cual, a

diferencia de los esquemas en diferencias finitas, se divide el plano (x, t) en celdas.

t

xxi-1 xi-1/2 xi xi+1/2

tn+1

tn+2

Ci: Celda correspondiente a xi

Ci

Llamamos Ci = (xi−1/2,xi+1/2) a la celda correspondiente a xi . Por lo tanto el valor

ui,n sera el promedio de u en la celda Ci en el tiempo tn.

ui,n =1∆x

∫ xi+1/2

xi−1/2

u(x, tn)dx

Siendo ∆x la longitud de la celda (igual al ancho de paso en x).

33

CAPITULO 4. METODO DE VOLUMENES FINITOS

Supondremos que ∆x y ∆t van a ser constantes. Ası las condiciones iniciales

vendran dadas por:

ui,0 =1∆x

∫Ci

u(x,0)dx =1∆x

∫Ci

f (x)dx

4.2. Aproximacion numerica de integrales

En general no podremos resolver analıticamente las integrales propuestas ante-

riormente, por lo que recurriremos a dos metodos de aproximacion de integrales:

Metodo del punto medio:

Consideramos la solucion constante en toda la celda e igual al valor en el

centro de la misma:∫ xi+1/2

xi−1/2u(x, tn)dx ' ∆x ·u(xi , tn)

Con un error de orden O(∆x2)

Metodo del trapecio:

Tomamos la media de las soluciones en los extremos de la celda:∫ xi+1/2

xi−1/2u(x, tn)dx ' ∆x

2 (u(xi−1/2, tn) +u(xi+1/2, tn)

Con un error de orden O(∆x2)

Mediante las ecuaciones de conservacion podemos montar un esquema numerico

de la forma:

ui,n+1 = ui,n −∆t∆x

(Fi+1/2,n −Fi−1/2,n)

Siendo Fi+1/2,n y Fi−1/2,n las aproximaciones del flujo promedio en xi+1/2 y xi−1/2

respectivamente:

Fi−1/2,n '1∆x

∫ tn+1

tn

F[u(xi−1/2, t)]dt

Como en nuestros casos la informacion se propaga a una velocidad finita podre-

mos obtener Fi−1/2,n en funcion de ui−1,n y ui,n, de manera que:

Fi−1/2,n =H(ui−1,n,ui,n) Fi+1/2,n =H(ui,n,ui+1,n)

Por lo que nuestro esquema tendra el aspecto:


(H(ui,n,ui+1,n)−H(ui−1,n,ui,n))

34 I.C.Cabrones


4.3. CONSISTENCIA, CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

A H se le da el nombre de funcion flujo numerico.

4.3. Consistencia, convergencia y estabilidad

La solucion numerica de los esquemas que vamos a construir debe converger a

ala solucion exacta cuando el ∆x→ 0 y el ∆t→ 0. Para ello es necesario:

1. El metodo debe ser consistente con la ecuacion que aproxima.

2. El metodo debe ser estable. Para que se den estas condiciones, al igual que

en diferencias finitas, es necesario que se cumpla la condicion CFL. Por tan-

to, tenemos que verificar que:

ν = cmax∆t∆x ≤ 1 con cmax =max|c|, siendo valido para c ≤ 0

4.4. Metodos numericos

4.4.1. Flujo inestable

Vamos a definir el flujo numerico como:

H(ui−1,n,ui,n) =12

[F(ui−1,n) +F(ui,n)]

Sustituyendo en el esquema numerico definido anteriormente obtenemos:

ui,n+1 = ui,n −∆t

2∆x[F(ui+1,n)−F(ui−1,n)]

Este metodo es inestable incluso verificando la condicion CFL.

4.4.2. Metodo de Lax-Friedrichs (LxF)

Este metodo utiliza el mismo flujo numerico que el anterior variando el esquema

numerico al sustituir ui,n por el promedio de la solucion en las celdas vecinas,

quedando:

ui,n+1 =12

(ui−1,n +ui+1,n)− ∆t2∆x

[F(ui+1,n)−F(ui−1,n)]

Convirtiendo ası un esquema inestable en estable.

35 I.C.Cabrones



4.4.3. Metodo de Richtmyer para Lax-Wendroff

Podemos obtener un esquema de mayor orden que el anterior si aproximamos

mejor Fi−1/2,n. Una posible mejora es aproximar u en el punto medio tn+1/2 =

tn + ∆t2 y evaluar el flujo en ese punto, de manera que:

Fi−1/2,n = F(ui−1/2,n+1/2) donde

ui−1/2,n+1/2 = 12(ui−1,n +ui,n)− ∆t

2∆x[F(ui,n)−F(ui−1,n)]

Observese que ui−1/2,n+1/2 se ha obtenido a partir del esquema de LxF en la inter-

celda, pero tomando ∆x2 y ∆t

2 . Finalmente resultando:


(Fi+1/2,n −Fi−1/2,n)

Por lo tanto el proceso de implementacion serıa:

1. Tenemos ui,n

2. Calculamos ui−1/2,n+1/2 y ui+1/2,n+1/2:

ui−1/2,n+1/2 = 12(ui−1,n +ui,n)− ∆t

2∆x[F(ui,n)−F(ui−1,n)]

ui+1/2,n+1/2 = 12(ui,n +ui+1,n)− ∆t

2∆x[F(ui+1,n)−F(ui,n)]

3. Calculamos Fi+1/2,n y Fi−1/2,n:

Fi−1/2,n = F(ui−1/2,n+1/2)

Fi+1/2,n = F(ui+1/2,n+1/2)

4. Obtenemos ui,n+1:

ui,n+1 = ui,n − ∆t∆x(Fi+1/2,n −Fi−1/2,n)

36 I.C.Cabrones


4.5. METODOS UPWIND

4.5. Metodos upwind

Consideremos la ecuacion diferencial:ut + cux = 0

u(x,0) = f (x)Por tanto, Fi−1/2,n = cui−1,n

Esto nos lleva al siguiente esquema:

ui,n+1 = ui,n −c∆t∆x

(ui,n −ui−1,n) = (1− c∆t∆x

)ui,n +c∆t∆x

ui−1,n

Esto es un reparto proporcional entre ui,n y ui−1,n

Este esquema lo podemos reescribir en termino de saltos:

Llamamos wi−1/2 = ui,n −ui−1,n

Vamos a enfocar el problema como una onda de choque que se mueve de Ci−1 a

Ci . Entonces, el esquema anterior quedarıa:

ui,n+1 = ui,n −c∆t∆x

wi−1/2

¿Como podemos definir Fi−1/2,n para que sea valido tanto para el caso c > 0 como

para c < 0?

Si c > 0 ; Fi−1/2 = cui−1,n

Si c < 0 ; Fi−1/2 = cui,nVamos a definir:

Fi−1/2,n = c−ui,n + c+ui−1,n donde c+ =max(c,0) y c− =min(c,0)

De esta manera escribimos el esquema anterior como:


(c+wi−1/2 + c−wi+1/2)

37 I.C.Cabrones



38 I.C.Cabrones


Capıtulo 5

Metodo de Elementos Finitos (MEF)

5.1. El problema 1D

Nos vamos a centrar en problemas de contorno formulados para ecuaciones di-

ferenciales que se pueden escribir de la siguiente forma: Au = f , donde A es un

operador diferencial que actua sobre la funcion incognita u. Para ello nos apoya-

remos en dos ejemplos: Un problema unidimensional y su posterior extension a

bidimensional. El problema unidimensional describira el estado estacionario de

la temperatura de una barra ideal:

Supongamos que queremos calcular una funcion u = u(x) ∀x ∈ [0,1] que verifi-

que:

−d2udx = 1 en(0,1)

u(0) = 1; dudx (1) = 0

(P1)

5.1.1. Interpretacion fısica

La solucion representa la distribucion de temperatura en una barra que esta sien-

do calentada con intensidad constante e igual a 1, de la cual se conoce su tempe-

ratura en un extremo (x=0) y para la que el flujo de calor en el punto x=1 es nulo.

Tomemos como ejemplo el siguiente caso:

−u′′ = 1 =⇒−u′ = x+C =⇒ u = −x2

2 −Cx −Du(0) = 1 =⇒D = −1u′(1) = 0 =⇒ C = −1

Por tanto: u(x) = −x2

2 + x+ 1

39

CAPITULO 5. METODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)

5.1.2. Aplicacion de MEF al problema

Etapa 1: Deduccion de la ecuacion variacional asociada

Esta etapa esta basada en calculos, en principio formales, para los que habra que

suponer que el problema de contorno considerado tiene solucion y que dicha

solucion es lo ”suficientemente regular” como para que las manipulaciones ”for-

males” que hagamos esten justificadas. En nuestro caso esto esta perfectamente

justificado porque no conocemos la solucion analıtica del problema. Para llevar a

cabo la formulacion variacional seguiremos estos pasos:

1. Multiplicamos la ecuacion diferencial por una funcion test. Una funcion

test sera, en nuestro caso, una funcion ”suficientemente regular” v : [0,1]→R, arbitraria de forma que se anule en los extremos donde se hayan blo-

queado (es decir, donde se conozcan los valores de u) las condiciones de

contorno. En nuestro caso tendremos que exigir que v(0) = 0.

2. Integrar en el intervalo (0,1)

∫ 1

0(−d

2u

dx2 )vdx = por partes =

*0[

v

(−dudx

)]1

0+∫ 1

0

dudxdv

Integrando por partes y haciendo uso de las condiciones de contorno se

tiene:∫ 1

0

dudxdv =

∫ 1

0

dudxdvdxdx = por partes =

∫ 1

0vdx ∀v funcion test

Por tanto, el problema variacional asociado a (P 1) se puede escribir como:

Hallar u ”suficientemente regular” con u(0)=1 tal que:∫ 1

0

dudxdvdxdx =

∫ 1

0vdx ∀v funcion test (P2)

Observacion:

Para precisar que se entiende por ”suficientemente regular” y conocer la defini-

cion exacta de las funciones test debemos recurrir a los espacios de Sobolev. Esto

se sale del marco del curso ası que no se explicara.

40 I.C.Cabrones


5.1. EL PROBLEMA 1D

Etapa 2: Aproximacion de la ecuacion variacional

Elegimos una particion Ph del intervalo [0,1] con n+1 puntos de forma que:

x0 = 0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = 1. Sea hi = xi − xi−1 y h =max1≤i≤nhiConstruimos el espacio vectorial de dimension finita:

Wh = wh ∈ C0([0,1])/wh|[xi−1,xi ]∈ P1 ∀i = 1,2, . . . ,n

Donde P1 designa el espacio vectorial de las soluciones polinomicas de grado 1.

La dimension de Wh es igual al numero de puntos de la particion (n+1).

Una funcion dewh ∈Wh queda perfectamente determinada si se conocen los valo-

res de wh en los puntos xi / 0 ≤ i ≤ n. En particular, dados α0,α1, . . . ,αn ∈R existe

una unica wh ∈Wh/ wh(xi) = αi . Podemos considerar una base de Wh formada por

funciones ϕi caracterizadas por verificar:

1. ϕi(xj) = δij =

0 i , j

1 i = j

2. Es lineal en cada subintervalo.

3. ϕi ∈ C0([0,1])

Esta es la base canonica de Wh.

x

φi

xi-1 xi xi+1

φ

1

Introducimos el espacio vectorial Vh = vh ∈ wh / vh(0) = 0. Por tanto, su dimen-

sion sera h. Un abase de Vh esta constituida por ϕi y una funcion en Vh queda

totalmente determinada por sus coordenadas en la base ϕi, es decir:

vh =n∑i=1

vh(xi)ϕi ∀ n ∈ Vh

41 I.C.Cabrones



Por tanto, buscamos una solucion aproximada del problema (P2), uh ∈Wh y que

se podra escribir de la forma:

uh = ϕ0 +n∑i=1

uh(xi)ϕi (5.1)

Por tanto, podemos introducir el problema variacional aproximado:

Encontrar uh ∈ wh tal que:∫ 1

0

duhdx

dvhdx

dx =∫ 1

0vhdx ∀ vh ∈ Vh (P3)

Exigir que se tenga la condicion anterior ∀ vh ∈ Vh equivale a exigir que se verifi-

que la misma propiedad para todas las funciones de base ϕi , es decir:∫ 1

0

duhdx

dϕidx

dx =∫ 1

0ϕidx ∀ i = 1, . . . ,n (5.2)

Vamos a verificar el problema (P 3) para toda funcion ϕj de base Vh. Para ello,

introducimos la ecuacion (1.1) en la (1.2), obteniendo:∫ 1

0

(d(ϕ0)dx

dϕidx

)dx+

∫ 1

0

n∑j=1

uh(xj)︸︷︷︸uj

dϕjdx

dϕidx

dx =∫ 1

0ϕidx ∀i = 1, . . . ,n

Por tanto, podemos reescribir (P3) como:

n∑j=1

[∫ 1

0

(dϕjdx

dϕidx

)dx

]uj =

∫ 1

0ϕidx −

∫ 1

0

dϕ0

dx

dϕidx

dx

42 I.C.Cabrones


5.1. EL PROBLEMA 1D

Queremos encontrar u1,u2, . . . ,un ∈ R tales que verifiquen la expresion anterior.

Para ello, la expresamos en forma matricial:

∫ 10dϕ1dx

dϕ1dx dx

∫ 10dϕ1dx

dϕ2dx dx

∫ 1

0dϕ1dx

dϕ3dx dx · · ·

∫ 1

0dϕ1dx

dϕndx dx∫ 1

0dϕ2dx

dϕ1dx dx

∫ 10dϕ2dx

dϕ2dx dx

∫ 10dϕ2dx

dϕ3dx dx · · ·

∫ 1

0dϕ2dx

dϕndx dx

∫ 10dϕ3dx

dϕ1dx dx

∫ 10dϕ3dx

dϕ2dx dx

∫ 10dϕ3dx

dϕ3dx dx · · · ...

...∫ 1

0dϕn−1dx

dϕndx dx

∫ 10dϕndx

dϕ1dx dx · · · · · ·

∫ 10dϕndx

dϕn−1dx dx

∫ 10dϕndx

dϕndx dx

u1

u2

u3...

un

=

∫ 10ϕ1dx −

∫ 10dϕ0dx

dϕ1dx dx∫ 1

0ϕ2dx −

∫ 1

0dϕ0dx

dϕ2dx dx∫ 1

0ϕ3dx −

∫ 1

0dϕ0dx

dϕ3dx dx

...∫ 10ϕndx −

∫ 1

0dϕ0dx

dϕndx dx

Con lo que nos queda por resolver una ecuacion matricial en la que la matriz de

coeficientes es tridiagonal debido a que el producto las funciones ϕ solo tienen

interseccion positiva entre sus vecinas, ocurriendo lo mismo con sus derivadas.

Por tanto:dϕidx·dϕjdx

= 0 ∀ i, j / (j < i − 1) ∪ (j > i + 1)

En ocasiones posteriores usaremos la notacion:

aij =∫ 1

0

dϕidx

dϕjdx

dx ; bi =∫ 1

0ϕidx −

∫ 1

0

dϕ0

dx

dϕidx

dx

Etapa 3: Resolucion del sistema

Vamos a tomar una particion de n+1 puntos equidistantes en [0,1], de manera

que el ancho de paso sera h = 1n . Una funcion ϕi de base verificara:

ϕi(x) =x − xi−1

h=⇒

dϕidx

=1h

si x ∈ [xi−1,xi]

ϕi(x) =xi+1 − xh

=⇒dϕidx

= −1h

si x ∈ [xi ,xi+1]

Por tanto:

aii =∫ 1

0

(dϕidx

)2

dx =∫ xi+1

xi−1

(dϕidx

)2

dx =∫ xi

xi−1

(1h

)2dx+

∫ xi+1

xi

(−1h

)2dx =

2h

43 I.C.Cabrones



En el caso de ann la integral solo va desde xi−1 a xi , por lo que ann = 1h .

ai,i+1 = ai,i−1 =∫ 1

0

(dϕidx

dϕi+1

dx

)dx =

∫ xi+1

xi

(−1h· 1h

)dx = −1

h

∫ 1

0ϕidx =

∫ xi+1

xi−1

ϕidx = 2h12

= h

Por tanto la ecuacion matricial queda:

2h −1

h 0 · · · 0

−1h

2h −1

h · · · 0

0 −1h

2h

. . ....

.... . . . . . −1

h

0 0 · · · −1h

1h

u1

u2

u3...

un

= h ·

1 + 1h2

1

1...12

Definicion:

Cada terna [xi−1,xi], P 1, xi−1,xi se denomina elemento finito.

Por lo tanto el problema se resuelve a una ecuacion matricial Au = B, donde:

A −→ Se le denomina matriz de rigidez del problema.

B −→ Se le denomina matriz de esfuerzos.

u −→ Matriz cuya dimension designa los grados de libertad de la solucion

aproximada.

44 I.C.Cabrones


5.2. EL PROBLEMA 2D

5.2. El problema 2D

Sea Ω = (x,y) ∈R2 / 0 < x,y < 1Sea Ω = (x,y) ∈R2 / 0 ≤ x,y ≤ 1Buscamos u = u(x,y) definida ∀(x,y) ∈Ω:

−∆u = −∇2u = −∂2u

∂x2 −∂2u

∂y2 = 0 (P1)

Ejemplos de condiciones de contorno pueden ser:

1. Condicion de tipo Dirichlet: u = 0 sobre Γ1 donde:

Γ1 = (x,1) / x ∈R, 0 ≤ x ≤ 1 ∪ (1, y) / y ∈R, 0 ≤ y ≤ 1

2. Condicion de tipo Neumann: ∂u∂n = y − 1 sobre Γ2:

Γ2 = (0, y) / y ∈R, 0 ≤ y ≤ 1

3. Condicion de tipo Fourier: ∂u∂n +n = 0 sobre Γ3:

Γ3 = (x,0) / x ∈R, 0 ≤ x ≤ 1

Observese que Γ1,Γ2,Γ3 es una particion de la frontera ∂Ω.

5.2.1. Interpretacion Fısica

El problema de contorno (P1) se puede ver como el calculo de la temperatura en

una placa (de espesor despreciable) en las siguientes condiciones:

Estado estacionario

EDP homogenea (sin termino fuente).

En este caso, solo recibe energıa calorıfica a traves de su frontera, donde conoce-

mos:

Los valores de la temperatura en Γ1.

El flujo de calor en Γ2: El flujo de calor en la direccion normal exterior en el

punto (0, y) es y − 1.

45 I.C.Cabrones



Se conoce la ley que rige el intercambio de calor con el medio exterior a

traves de Γ3: El flujo de calor normal exterior en un punto (x,o) mas la tem-

peratura en dicho punto vale 0.

Ademas, el problema (P1) tiene una solucion analıtica:

u(x,y) = (x − 1)(y − 1) ∀(x,y) ∈Ω

5.2.2. Aplicacion de MEF al problema

Etapa 1: Deduccion de la ecuacion variacional asociada

Supondremos que el problema (P1) tiene solucion y es ”suficientemente regular”.

Inciso: Formula de Green.

−"

Ω

(∆F)Gdxdy ="

Ω

(−−→∇F )(

−−→∇G )dxdy −

∫∂Ω

∂F∂nGdσ

Multiplicamos la ecuacion por una funcion test(v)arbitraria, de modo que veri-

fique v|Γ1=0. Recordamos que la funcion test se anula en las fronteras donde la

condicion de contorno esta bloqueada (C. Dirichlet). Integrando por partes (F. de

Green) se obtiene:

−"

Ω

(∆u)vdxdy ="

Ω

(−−→∇u )(

−−→∇v )dxdy −

∫∂Ω

∂u∂nvdσ

∫∂Ω

∂u∂nvdσ =

∫Γ1

∂u∂n

0vdσ +

∫Γ2

∂u∂n︸︷︷︸

(∂u∂n )Γ2

=y−1

vdσ +∫Γ3

∂u∂n︸︷︷︸

(∂u∂n )Γ3

=−u

vdσ

Por tanto, el problema variacional (P2) asociado a (P1) sera:

Hallar u ”suficientemente regular” con u|Γ1= 0 tal que:"

Ω

(−−→∇u )(

−−→∇v )dxdy +

∫Γ3

uvdσ =∫Γ2

(y − 1)vdσ ∀ v funcion test (P2)

46 I.C.Cabrones


5.2. EL PROBLEMA 2D

Etapa 2: Aproximacion de la ecuacion variacional

Concepto de triangulacion de Ω Sea D ∈Rn un dominio poliedrico de frontera ∂D.

Para n=2 (3) se llama triangulacion (tetraedrizacion) de D a una coleccion de

triangulos (tetraedros) τh con las siguientes propiedades:

1. UT =D con T ∈ τh

2. Dados dos triangulos (tetraedros), T , T ′ ∈ τh se ha de verificar:

T ∩ T ′ =

- Un vertice en comun a T y T ′

- Un lado (cara) en comun.

- ∅.

Una vez fijada una triangulacion τh de Ω introducimos el espacio vectorial de

dimension finita Wh:

Wh = wh / wh ∈ C0(Ω), wh|T ∈ P1∀T ∈ τh

Donde P1 es el espacio vectorial de las funciones polinomicas de grado ≤ 1 en x y

en y. Wh se llama una aproximacion P1-Lagrange.

La base canonica deWh viene dada por ϕ1, . . . ,ϕn dondeϕi ∈Wh, verificando que

para cada vertice aij de la triangulacion ϕi(aj) = δij ∀i, j = 1, . . . ,n. Introducimos

Vh el espacio de funciones test para el problema aproximado:

Vh = vh / vh ∈Wh, vh(ak) = 0 ∀ ak ∈ Γ1

El problema variacional aproximado sera:

Hallar uh ∈ Vh tal que:"Ω

(−−−→∇uh )(

−−−→∇vh )dxdy +

∫Γ3

uhvhdσ =∫Γ2

(y − 1)vhdσ (P3)

Para resolver el problema como un sistema lineal escribimos uh en tnerminos de

ϕj y tomaremos como vh = ϕi ∀i:

uh =n∑j=1

uh(aj)ϕj n: nº de vertices de τh

47 I.C.Cabrones



Teniendo: "Ω

(−−−→∇uh )(

−−−→∇ϕi )dxdy =

n∑j=1

"Ω

(−−−→∇ϕj )(

−−−→∇ϕi )dxdy

∫Γ3

uhϕidσ =n∑j=1

uj

∫Γ3

ϕjϕidσ

Llamando :

aij ="

Ω

(−−−→∇ϕj )(

−−−→∇ϕi )dxdy +

∫Γ3

ϕjϕidσ

bi =∫Γ2

(y − 1)ϕidσ

De modo que A = (aij), u = (ui) y B = (bi).

Para el calculo de aij y bi tendremos en cuenta lo siguiente:

Cada aij se escribe como aij =∑aTij .

aTij ="

T(−−−→∇ϕj )(

−−−→∇ϕi )dxdy +

∫Γ3∩T

ϕjϕidσ T ∈ τh

Solo un numero reducido de coeficientes aTij es distinto de cero, concreta-

mente, aquellos para los cuales ai y aj son vertices del triangulo T.

De forma analoga podemos utilizar las igualdades:

aij =∑

aTij bTi =∫Γ2∩T

(y − 1)ϕidσ T ∈ τh

Como mucho, los tres segundos coeficientes bTi corresponden a los 3 vertices

del triangulo T.

48 I.C.Cabrones


5.2. EL PROBLEMA 2D

Etapa 3: Resolucion del sistema

Aspectos practicos

La matriz A tal y como esta definida tiene tamano (n×n). Ademas:

Es simetrica

Es matriz sparse (hueca)

Enumerados los vertices adecuadamente se puede construir como matriz

banda, ya que los productos entre funciones test solo tienen interseccion no

nula entre las vecinas.

49 I.C.Cabrones


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