Algorithmes d’approximation pour l’optimisation en ligne

Algorithmes d’approximation pour l’optimisation en ligned’ordonnancements et de structures de communications

Nicolas Thibault

Thèse préparée au laboratoire IBISC de l’université d’Évry Val d’Essonne,sous la direction de Christian Laforest

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Introduction

Introduction

Réseau de communications : ensemble de liens qui connectent des membres

→ Méthodes on-line avec garanties sur la qualité des solutions

Comment réserver les liens du réseau de la meilleure façon possible ?

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Dans chaque partie : • définition des modèles on-line • proposition d’algorithmes avec garanties de performance

1.

2. Quels liens du réseau réserver ? → Groupes dynamiques dans un graphe

1. Comment réserver les sous-canaux d’un lien réseau ? → Ordonnancements on-line

Ordonnancements on-lineComment réserver les sous-canaux d’un lien réseau ?

3 / 22Ordonnancements on-line

Ordonnancements on-line : introduction

Opérateur : gère le lienClients : utilisent le lien

temps

Problème on-line : lorsque la demande d’un client est révélée, l’opérateur peut• la rejeter ou• l’ordonnancer (puis éventuellement l’interrompre)

Objectif : satisfaire• l’opérateur : maximisation du poids (somme des longueurs des tâches ordonnancés)


• les clients : principe de dédommagement pour chaque tâche interrompue

Poids d’une tâche = (r,d,p) : w() = p

Compétitivité : Un algorithme est c-compétitif si à chaque étape, c . wp(S) w(S*)

Poids avec pénalités

Poids d’une tâche avec pénalités : wp() = w() - . w(’)’ : ’ interrompue par

Objectif : Maximiser wp(S)

constante de pénalité

Poids d’un ordonnancement S avec pénalités : wp(S) = wp() S

Une tâche : définie par un triplet (r,d,p)r d

p d – r

Exemple : si = 0.2, l’opérateur rembourse 120 % du poids des tâches interrompues (100 % de remboursement + 20 % de pénalité)


Résultat : un algorithme f() – compétitif (avec la constante de pénalité)

Rôle de : lien entre les modèles on-lines avec et sans interruption. Il n’existe pas d’algorithme compétitif sans interruption [Lipton et al. 1994 ].


f()

0.2 100

810

14.6

0

13.3

Compétitivité

[Woeginger 1994 ][Bar-Noy et al. 2001 ][Bar-Noy et al. 1999 ]notre contribution

on-line tâches nombre de machines pénalités

xx

xxx

k = 1

k 3k quelconquek quelconque x

r dr d

Soit une constante choisie par l’opérateur (en fonction de ) Lorsque = (r, d, p) est révélée :

SI peut être ordonnancé en interrompant • aucune tâche ou• un ensemble de tâches E satisfaisant . w(E) w()

ALORS ordonnancer SINON rejeter

m1

m2

Exemple, avec = 2 :

L’algorithme


Notations :

• T l’historique de S (tâches acceptées par l’algorithme)

• S* = S*A S*B (S*A et S*B sont disjoints)

• S*A les tâches de S* acceptées par l’algorithme (appartenant à T)• S*B les tâches de S* rejetées par l’algorithme (n’appartenant pas à T)

Compétitivité : idée de la preuve ( 1 / 6 )

Première étape : comparaison de w(T) et w(S*B)


Sj*B

Tj ()

w() 2 w(Tj ())

Sur chaque machine j , avec = 2 et = 0 :


w() 2

w() 2


Sj*B

Tj

Sj*B, w() 2 w(Tj ())

w(S*B) 8 w(T)


Sur chaque machine j :


w(S*) 9 w(T)

w(S*) 9 w(S*A) ou bien w(S*) > 9 w(S*A)

comme S*A T, on a w(S*A) w(T)

w(S*) 9 w(T)

w(S*) 9 w(T)

w(S*B) 8 w(T)


Deux cas possibles :

w(S*) w(S*B)98

comme w(S*) = w(S*A) + w(S*B)

w(S*) w(S*) + w(S*B)19


Comparaison entre S et T :

T

S

w(T) 2 w(S) w(S*) 18 w(S)


w(S*) 9 w(T)


Raffinement de la preuve et prise en compte du poids avec pénalités wp :

le gain est de - fois le poids des tâches interrompues (au lieu de 2)


w(S*) 18 w(S) (2 + 3) 1 + +( -

1 - - 1)w(S*) wp(S)

Remarque : résultat valable quelque soit l’ordre de présentation des tâches


Résultat présenté : Un algorithme d’ordonnancement on-line sur k machines• avec prise en compte

• de l’opérateur (poids)• des clients (pénalités)

• avec un rapport de compétitivité• constant• paramétrable

Résultats

Autres résultats :• maximisation on-line de la taille (nombre de tâches ordonnancées)• résultat bicritère on-line dans le cas particulier des intervalles


[B.B.L.T. COCOON 05 ] [B.B.L.T. Euro-Par 05 ] [T.L. ISPAN 05 ]

Groupes dynamiques dans un graphe

Quels liens du réseau réserver ?

15 / 22Groupes dynamiques dans un graphe

Groupes dynamiques : ajout de membres

Données :• un réseau (représenté par un graphe fixé)• des membres dévoilés un par un, au fur et à mesure (online)

Objectif : incrémenter une structure couvrante


Contraintes à chaque étape :• contrainte arbre → facilite la gestion des communications• contrainte emboîtement (pas de réarrangement dans l’arbre) → ne perturbe pas les communications en cours

Modèle sans reconstruction

Objectif : minimiser la distance moyenne entre les membres dans l’arbre

Théorème : Tout algorithme est (i) - compétitif (avec i le nombre de membres révélés).

modèle sans reconstruction trop contraignant


Compétitivité : Un algorithme est r - compétitif, si à chaque étape CT(M) r . CT*(M)avec :

• T l’arbre couvrant M• T* l’arbre optimal couvrant M• CT(M) la somme des distances de M dans T

remise en cause de la contrainte emboîtementObjectif : minimiser le nombre d’étapes critiques (nécessitant la remise en cause de l’arbre) → une étape critique perturbe les communications en cours

Modèle avec reconstructions

Contraintes à chaque étape :• contrainte arbre• contrainte qualité : les arbres successifs doivent vérifier

CT(M) c . CT*(M) avec c constant

Ti -1

Exemple d’étape critique :

Ti -1 Ti


Théorème : Pour toute constante de qualité c fixée, il existe un graphe et une séquence d’ajouts tels que tout algorithme respectant les contraintes arbre et qualité implique (log i) étapes critiques.

Question : Est-ce que O(log i) étapes critiques est un bon résultat ?

Évaluation : L’algorithme induit O(log i) étapes critiques (ième groupe : i = 2R R = log2 i ).

Résultats

Notre algorithme pour c = 12 :• reconstruit totalement l’arbre lorsque la taille du groupe double• sinon, ajoute un plus court chemin entre le nouveau membre et le médian du groupe de la dernière reconstruction.

Qualité de l’arbre construit : respecte la contrainte qualité avec c = 12.


c+1

(log i) étapes critiques : idée de la preuve


c+1c+1

2

s1

c+1

4 s2

c+1

sj

2j

c+1c+1c+1c+1c+1

c+1

2j

2j+1

CT(M) (c+1)22j

c+1

CT(M) (c+1)22j

CT* (M) 22j

2j

2j+1

c+1

CT(M) (c+1)22j+2Rc

CT* (M) 22j+2Rc

2j+R(c+1)

2j+1+R(c+1)

i 2(c+1)+2+R(c+1) = a2bR (a,b constants)

R (log i)

Remarque : résultat indépendant de la non connaissance du futur

Résultats

ajouts Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques)

retraits

ajouts et retraits

Somme des distances

(i)

(i)

(i) (log i) et O(log i) (log i) et O(i)

(i)


ajouts Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques)

retraits

ajouts et retraits

Diamètre

(i)

(i)

2 0

(i)

(log i) et O(log i)

[T.L. AWIN – Globecom workshop 04 ] [T.L. SIROCCO 06 ] [T.L. Journal of Interconnection Networks 06 ]

[Imaze and Waxman 1991 ] : Minimisation du poids de l’arbre (arbre de Steiner dynamique)

Conclusion générale

Synthèse : Pour chaque partie, nous avons proposé

• des algorithmes on-line à garanties de performance• principe de remise en cause maîtrisée de la solution courante :

• maximisation du poids avec pénalité• minimisation du nombre d’étapes critiques

Principales perspectives :

• amélioration des bornes supérieures et inférieures

22 / 22Conclusion générale

• l’ordonnancement on-line bicritère d’intervalles• la minimisation simultanée du diamètre et de la somme des distances

Nous avons déjà des résultats pour :• résultats analytiques plus fins que dans le pire cas

• approche multicritère des problèmes on-line.

• étudier les versions incrémentales des problèmes d’optimisation• identification plus fine des difficultés • proposition de modèles intermédiaires entre off-line et on-line

[K.L.P.T. AOR 06 ]

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