Algebraic number theoryFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abels irreducibility theorem 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Abelian extension 22.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Abhyankars inequality 33.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Abhyankars lemma 44.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Abstract analytic number theory 55.1 Arithmetic semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.1 Additive number systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3 Methods and techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.3.1 Arithmetical formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 Additive polynomial 86.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Adele ring 107.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3 Idele group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Adelic algebraic group 138.1 Ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.2 Tamagawa numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.3 History of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Adjunction (eld theory) 159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10 AlbertBrauerHasseNoether theorem 1710.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Algebraic closure 1911.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.2 Existence of an algebraic closure and splitting elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911.3 Separable closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12 Algebraic extension 2112.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13 Algebraic function eld 2313.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2 Category structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.3 Function elds arising from varieties, curves and Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CONTENTS iii

13.4 Number elds and nite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.5 Field of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.6 Valuations and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14 Algebraic number eld 2514.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.1.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.3 Algebraicity and ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.3.1 Unique factorization and class number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.3.2 -functions, L-functions and class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.4 Bases for number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.1 Integral basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.4.2 Power basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

14.5 Regular representation, trace and determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.6 Places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.1 Archimedean places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.2 Nonarchimedean or ultrametric places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.6.3 Prime ideals in OF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.7 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.7.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.7.2 Dedekind discriminant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14.8 Galois groups and Galois cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.9 Local-global principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

14.9.1 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.2 Hasse principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.9.3 Adeles and ideles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3414.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15 Algebraic number theory 3615.1 History of algebraic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15.1.1 Diophantus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.2 Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.1.4 Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv CONTENTS

15.1.6 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3715.1.7 Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.1.8 Modern theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15.2 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.1 Unique factorization and the ideal class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.2 Factoring prime ideals in extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.2.3 Primes and places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.4 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3915.2.5 Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.3 Major results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.1 Finiteness of the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.2 Dirichlets unit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.3 Reciprocity laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.4 Class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15.4 Related areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.7.1 Introductory texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.2 Intermediate texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215.7.3 Graduate level accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

16 Algebraically closed eld 4416.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2 Equivalent properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16.2.1 The only irreducible polynomials are those of degree one . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.2 Every polynomial is a product of rst degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4416.2.3 Polynomials of prime degree have roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.4 The eld has no proper algebraic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.5 The eld has no proper nite extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.6 Every endomorphism of Fn has some eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.7 Decomposition of rational expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2.8 Relatively prime polynomials and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17 All one polynomial 4717.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

CONTENTS v

17.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18 Archimedean property 4918.1 History and origin of the name of the Archimedean property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.2 Denition for linearly ordered groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

18.2.1 Ordered elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.3 Denition for normed elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.4 Examples and non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

18.4.1 Archimedean property of the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.4.2 Non-Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.4.3 Non-Archimedean valued elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.4.4 Equivalent denitions of Archimedean ordered eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

18.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19 Arithmetic and geometric Frobenius 5419.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

20 Arithmetic dynamics 5520.1 Denitions and notation from discrete dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.2 Number theoretic properties of preperiodic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.3 Integer points in orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.4 Dynamically dened points lying on subvarieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.5 p-adic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.7 Other areas in which number theory and dynamics interact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.9 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

21 Artin L-function 5921.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.2 Functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5921.3 The Artin conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

22 Artin reciprocity law 6222.1 Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6222.2 Finite extensions of global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

vi CONTENTS

22.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6322.2.2 Relation to quadratic reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

22.3 Cohomological interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6322.4 Alternative statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6422.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6422.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

23 Artin transfer (group theory) 6623.1 Transversals of a subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6623.2 Permutation representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6623.3 Artin transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

23.3.1 Independence of the transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6723.3.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6723.3.3 Wreath product of H and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6823.3.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6823.3.5 Wreath product of S(m) and S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6823.3.6 Cycle decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6923.3.7 Normal subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

23.4 Computational implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6923.4.1 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7023.4.2 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

23.5 Transfer kernels and targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7023.6 Abelianization of type (p,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7123.7 Abelianization of type (p2,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

23.7.1 First layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7223.7.2 Second layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7223.7.3 Transfer kernel type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7223.7.4 Connections between layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

23.8 Inheritance from quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323.8.1 Passing through the abelianization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323.8.2 TTT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7423.8.3 TKT singulets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.8.4 TTT and TKT multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.8.5 Inherited automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

23.9 Stabilization criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7823.10Structured descendant trees (SDTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8023.11Pattern recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

23.11.1 Historical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8123.12Commutator calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8223.13Systematic library of SDTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

23.13.1 Coclass 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.13.2 Coclass 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

CONTENTS vii

23.13.3 Coclass 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8823.14Arithmetical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

23.14.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9023.14.2 Comparison of various primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

23.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

24 Artins conjecture on primitive roots 9624.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9624.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9624.3 Proof attempts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9724.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9724.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

25 Biquadratic eld 9825.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

26 Brauer group 9926.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9926.3 Brauer group and class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10026.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10026.5 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10026.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10126.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10226.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

27 BrauerWall group 10327.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10327.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10327.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10327.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

28 BrumerStark conjecture 10528.1 Statement of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.2 Progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10528.3 Function eld analogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10628.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

29 Carlitz exponential 10729.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.2 Relation to the Carlitz module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

viii CONTENTS

30 Characteristic (algebra) 10930.1 Other equivalent characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10930.2 Case of rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.3 Case of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11030.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

31 Class eld theory 11231.1 Formulation in contemporary language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.2 Prime ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.3 Generalizations of class eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

32 Class formation 11632.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.2 Examples of class formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.3 The rst inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11732.4 The second inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11732.5 The Brauer group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11832.6 Tates theorem and the Artin map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11932.7 The Takagi existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11932.8 Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

33 Class number formula 12233.1 General statement of the class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.3 Dirichlet class number formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333.4 Galois extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333.5 Abelian extensions of the rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12433.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

34 Class number problem 12534.1 Gausss original conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12534.2 Status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12534.3 Lists of discriminants of class number 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.4 Modern developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.5 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12634.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12734.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12734.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

CONTENTS ix

34.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

35 CM-eld 12835.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12835.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

36 Compatible system of -adic representations 13036.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.3 Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13036.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

37 Complete eld 13137.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

38 Complex multiplication 13238.1 Example of the imaginary quadratic eld extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.2 Abstract theory of endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.3 Kronecker and abelian extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.4 Sample consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.5 Singular moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13638.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13638.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

39 Composite eld (mathematics) 13739.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

40 Conductor (class eld theory) 13840.1 Local conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

40.1.1 More general elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13840.1.2 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

40.2 Global conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13940.2.1 Algebraic number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

40.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13940.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

41 Conductor of an abelian variety 14141.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14141.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

x CONTENTS

41.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

42 Conductor-discriminant formula 14342.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14342.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14342.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14342.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

43 Conjugate element (eld theory) 14543.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14543.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14543.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14643.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

44 Cubic eld 14744.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14744.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14744.3 Galois closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14844.4 Associated quadratic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14844.5 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14844.6 Unit group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14944.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14944.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

45 Cubic reciprocity 15245.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15245.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

45.2.1 Primes 1 (mod 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15345.2.2 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15345.2.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15445.2.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15445.2.5 Other theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

45.3 Eisenstein integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15545.3.2 Facts and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.3.3 Cubic residue character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15745.3.4 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

45.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15845.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15845.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

45.6.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16045.6.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16045.6.3 Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

CONTENTS xi

45.6.4 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16145.6.5 Modern authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

45.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

46 Cyclotomic character 16246.1 p-adic cyclotomic character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16246.2 As a compatible system of -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16246.3 Geometric realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16346.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16346.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16346.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

47 Cyclotomic eld 16447.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.2 Relation with regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.3 Relation with Fermats Last Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

47.3.1 List of Class Numbers to Cyclotomic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

48 Cyclotomic unit 16748.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16748.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

49 Dedekind domain 16949.1 The prehistory of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16949.2 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17049.3 Some examples of Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17049.4 Fractional ideals and the class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17149.5 Finitely generated modules over a Dedekind domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17249.6 Locally Dedekind rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17349.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

50 Dedekind zeta function 17450.1 Denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

50.1.1 Euler product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17450.1.2 Analytic continuation and functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

50.2 Special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17550.3 Relations to other L-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

xii CONTENTS

50.4 Arithmetically equivalent elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17650.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17650.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

51 Degree of a eld extension 17751.1 Denition and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17751.2 The multiplicativity formula for degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

51.2.1 Proof of the multiplicativity formula in the nite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17851.2.2 Proof of the formula in the innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

51.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17951.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17951.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

52 Dierent ideal 18052.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18052.2 Relative dierent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18052.3 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18152.4 Local computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18152.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18152.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

53 Dierential Galois theory 18353.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18353.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

54 Discrete valuation 18554.1 Discrete valuation rings and valuations on elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18554.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18554.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

55 Discriminant 18755.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18755.2 Formulas for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18855.3 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18955.4 Quadratic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19155.5 Discriminant of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19155.6 Nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

55.6.1 Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19355.6.2 Cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19355.6.3 Higher degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

55.7 Discriminant of a polynomial over a commutative ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CONTENTS xiii

55.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19455.8.1 Discriminant of a conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19455.8.2 Discriminant of a quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19455.8.3 Discriminant of an algebraic number eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

55.9 Alternating polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19555.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19555.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

56 Discriminant of an algebraic number eld 19756.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19856.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19856.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19956.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19956.5 Relative discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

56.5.1 Ramication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20156.6 Root discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20156.7 Relation to other quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20156.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20156.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

56.9.1 Primary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20256.9.2 Secondary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

56.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

57 Drinfeld module 20457.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

57.1.1 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.1.2 Denition of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20457.1.3 Examples of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

57.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20557.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20557.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

57.4.1 Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20657.4.2 Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

58 Dual basis in a eld extension 207

59 Eisenstein reciprocity 20859.1 Background and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

59.1.1 Primary numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20859.1.2 m-th power residue symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

59.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.2.1 First supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.2.2 Second supplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

xiv CONTENTS

59.2.3 Eisenstein reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20959.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

59.5.1 First case of Fermats last theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21059.5.2 Powers mod most primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

59.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21059.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21059.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

60 Eisenstein sum 21260.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21260.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

61 Eisensteins criterion 21361.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

61.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21461.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21461.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21561.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21561.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

61.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21761.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21761.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

62 Elementary number 21862.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

63 Elliptic Gauss sum 21963.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21963.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

64 Elliptic unit 22164.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22164.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

65 Embedding problem 22265.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22265.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

66 Equally spaced polynomial 22466.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22466.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

CONTENTS xv

67 Equivariant L-function 22567.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

68 Euclidean eld 22668.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22668.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22668.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22668.4 Euclidean closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22668.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22768.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

69 Euler system 22869.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22869.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

69.2.1 Cyclotomic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22869.2.2 Gauss sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.2.3 Elliptic units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.2.4 Heegner points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.2.5 Katos Euler system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

69.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

70 Explicit reciprocity law 23170.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23170.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

70.2.1 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23170.2.2 Unramied case: the tame Hilbert symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23170.2.3 Ramied case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

70.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23270.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23270.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23270.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

71 Exponential eld 23471.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23471.2 Trivial exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23471.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.4 Exponential rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.5 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

xvi CONTENTS

72 Exponentially closed eld 23772.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23772.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

73 Extension and contraction of ideals 23973.1 Extension of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23973.2 Contraction of an ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23973.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23973.4 Extension of prime ideals in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24073.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24073.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

74 Field (mathematics) 24174.1 Denition and illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

74.1.1 First example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24274.1.2 Second example: a eld with four elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24374.1.3 Alternative axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

74.2 Related algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24374.2.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

74.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24474.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

74.4.1 Rationals and algebraic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24474.4.2 Reals, complex numbers, and p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24474.4.3 Constructible numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24574.4.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24574.4.5 Archimedean elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24674.4.6 Field of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24674.4.7 Local and global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

74.5 Some rst theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24674.6 Constructing elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

74.6.1 Closure operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24774.6.2 Subelds and eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24774.6.3 Rings vs elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.6.4 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

74.7 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24874.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

74.8.1 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24974.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24974.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24974.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

CONTENTS xvii

74.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.13Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

75 Field extension 25275.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25275.2 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25275.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.5 Algebraic and transcendental elements and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25375.6 Normal, separable and Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25475.7 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.8 Extension of scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25575.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

76 Field norm 25676.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25676.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25676.3 Properties of the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25776.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25776.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25876.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25876.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25876.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

77 Field of fractions 25977.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26077.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26077.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

78 Field trace 26178.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26178.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26178.3 Properties of the trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26278.4 Finite elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

78.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26278.5 Trace form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

xviii CONTENTS

78.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26378.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

79 Finite extensions of local elds 26579.1 Unramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26579.2 Totally ramied extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26579.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26579.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

80 Formal group 26780.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26780.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26880.3 Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26880.4 The logarithm of a commutative formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26980.5 The formal group ring of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26980.6 Formal group laws as functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27080.7 The height of a formal group law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27080.8 Lazard ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27080.9 Formal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27180.10LubinTate formal group laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27280.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27280.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

81 Formally real eld 27481.1 Alternative Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27481.2 Real Closed Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27481.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27481.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

82 Fractional ideal 27682.1 Denition and basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27682.2 Dedekind domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27682.3 Divisorial ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27682.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27782.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27782.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

83 Frobenius endomorphism 27883.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27883.2 Fixed points of the Frobenius endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27983.3 As a generator of Galois groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27983.4 Frobenius for schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

CONTENTS xix

83.4.1 The absolute Frobenius morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28083.4.2 Restriction and extension of scalars by Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28083.4.3 Relative Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28283.4.4 Arithmetic Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28283.4.5 Geometric Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28383.4.6 Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

83.5 Frobenius for local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28483.6 Frobenius for global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28583.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28583.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28683.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

84 Function eld sieve 28784.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

85 Fundamental discriminant 28885.1 Connection with quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28885.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28985.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28985.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

86 Fundamental theorem of algebra 29086.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29086.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

86.2.1 Complex-analytic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29186.2.2 Topological proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29386.2.3 Algebraic proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29386.2.4 Geometric proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

86.3 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29586.4 Bounds on the zeros of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29686.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29686.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

86.6.1 Historic sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29786.6.2 Recent literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

86.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

87 Fundamental theorem of Galois theory 30087.1 Explicit description of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30087.2 Properties of the correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30087.3 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30187.4 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30287.5 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30387.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

xx CONTENTS

87.7 Innite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30387.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

88 Fundamental unit (number theory) 30488.1 Real quadratic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30488.2 Cubic elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30588.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30588.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30588.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

89 Galois cohomology 30689.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30689.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

90 Galois extension 30890.1 Characterization of Galois extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30890.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30890.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30990.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

91 Galois module 31091.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

91.1.1 Ramication theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31091.2 Galois module structure of algebraic integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31091.3 Galois representations in number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

91.3.1 Artin representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.3.2 -adic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.3.3 Mod representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31191.3.4 Local conditions on representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

91.4 Representations of the Weil group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31291.4.1 WeilDeligne representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

91.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31391.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

92 Generic polynomial 31492.1 Groups with generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31492.2 Examples of generic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31592.3 Generic Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31592.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

93 Genus character 31693.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

CONTENTS xxi

94 Genus eld 31794.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31794.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

95 Global eld 31895.1 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31895.2 Analogies between the two classes of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31895.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

95.3.1 Hasse-Minkowski theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31995.3.2 Artin reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

95.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31995.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

96 Glossary of eld theory 32196.1 Denition of a eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32196.2 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32196.3 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32296.4 Types of elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32296.5 Field extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32396.6 Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32496.7 Extensions of Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32596.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

97 GolodShafarevich theorem 32797.1 The inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32797.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32797.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

98 Grothendiecks Galois theory 32998.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

99 Ground eld 33199.1 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33199.2 In linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

99.2.1 In algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33199.2.2 In Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33199.2.3 In Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33199.2.4 In Diophantine geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

99.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

100Group cohomology 333100.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333100.2Formal constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

100.2.1 Long exact sequence of cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

xxii CONTENTS

100.2.2 Cochain complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334100.2.3 The functors Extn and formal denition of group cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . 335100.2.4 Group homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

100.3Functorial maps in terms of cochains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337100.3.1 Connecting homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

100.4Non-abelian group cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337100.5Connections with topological cohomology theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337100.6Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

100.6.1 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.6.2 H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.6.3 H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.6.4 Change of group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338100.6.5 Cohomology of nite groups is torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

100.7History and relation to other elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339100.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339100.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

101GrunwaldWang theorem 341101.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341101.2Wangs counter-example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

101.2.1 An element that is an nth power almost everywhere locally but not everywhere locally . . . . 341101.2.2 An element that is an nth power everywhere locally but not globally . . . . . . . . . . . . . 342

101.3A consequence of Wangs counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342101.4Special elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342101.5Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342101.6Explanation of Wangs counter-example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343101.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343101.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343101.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

102Hardy eld 344102.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344102.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344102.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344102.4In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345102.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

103Hasse invariant of an algebra 346103.1Local elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346103.2Global elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346103.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347103.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

CONTENTS xxiii

104Hasse norm theorem 348104.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348104.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

105Hasse principle 349105.1Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349105.2Forms representing 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

105.2.1 Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349105.2.2 Cubic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349105.2.3 Forms of higher degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

105.3AlbertBrauerHasseNoether theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350105.4Hasse principle for algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350105.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350105.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350105.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351105.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

106Heegner number 352106.1Eulers prime-generating polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352106.2Almost integers and Ramanujans constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

106.2.1 Detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353106.3Pi formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353106.4Other Heegner numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354106.5Consecutive primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355106.6Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355106.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

107Heegner point 357107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

108Herbrand quotient 358108.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

108.1.1 Alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358108.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359108.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

109Hermites problem 360109.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360109.2Hermites question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361109.3Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361109.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

110Higher local eld 362

xxiv CONTENTS

110.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362110.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362110.3Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363110.4Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .