Algebra Lineal ( Jesus Rojo )

Contents ofJ. Rojo

Algebra lineal. 2a edicin corregida o Editorial AC, Madrid, 1991 563 pp.

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Algebra lineal

Jess ROJO u

Doctor en Matemticas a Departamento de Matemtica Aplicada a E.T.S. de Ingenieros Industriales de Valladolid

Jess ROJO u

Algebra lineal

AMS Subject Classi cation: 15-01

Clasi cacin Decimal: 512.5 o

Jess ROJO u

Departamento de Matemtica Aplicada a E.T.S. de Ingenieros Industriales Paseo del Cauce, s n 47011 VALLADOLID , Espa~a n

ContenidoContenido Prlogo. o Notas para el lector. 1 Nociones bsicas. a1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14

Teora de conjuntos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Funciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Relaciones. Relacin de orden. : : : : : : : : : : : : : : : o Los nmeros naturales. Principio de induccin. : : : : : : u o Conjuntos nitos y numerables. : : : : : : : : : : : : : : : Relacin de equivalencia. Conjunto cociente. : : : : : : : : o Operaciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Estructuras algebraicas con operaciones internas. : : : : : Subgrupos, ideales, subanillos, subcuerpos. : : : : : : : : : Grupo y anillo cociente. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : El orden de los nmeros reales. : : : : : : : : : : : : : : : u Conjugado, mdulo y argumento de un nmero complejo. o u Polinomios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Permutaciones. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

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v ix xi 12 09 13 17 21 25 27 31 35 37 41 43 47 49

2 Espacios vectoriales.

2.1 Espacios vectoriales, aplicaciones lineales. 2.1.13 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : 2.2 Producto de espacios; subespacios. : : : : 2.2.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : 2.3 Espacio cociente; suma de subespacios. : : 2.3.27 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : 2.4 Bases de un espacio vectorial. : : : : : : : 2.4.39 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : 2.5 Dimensin de un subespacio. : : : : : : : o 2.5.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : v

53

53 60 61 66 69 76 77 87 89 94

vi

Contenido

3 Aplicaciones lineales y matrices.

3.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. : : : : 3.1.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.2 Matrices. Matriz de una aplicacin lineal. : : : o 3.2.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.3 Los espacios vectoriales LE; E y Mn; m. : 3.3.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.4 Los anillos LE y Mn. Matrices inversibles. 3.4.38 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.5 Matrices y coordenadas. : : : : : : : : : : : : : 3.5.33 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.6 Dual de un espacio vectorial. : : : : : : : : : : 3.6.40 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : :0

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096

096 104 108 114 115 119 121 133 139 150 153 167

4 Determinantes.

4.1 Formas n-lineales alternadas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.1.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 Determinantes. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2.24 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.3 Clculo de un determinante. Determinantes e inversin de matrices. a o 4.3.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.4 Determinantes y rango. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.4.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.1 Estudio general de un sistema. : : : : : : : 5.1.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : 5.2 Obtencin de las soluciones de un sistema. : o 5.2.12 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

170

170 182 185 195 197 206 208 214 216 224 226 233

5 Sistemas de ecuaciones lineales.

216

6 Diagonalizacin de endomor smos y matrices. o

6.1 Subespacios invariantes. Vectores y valores propios. : 6.1.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.2 Polinomio caracterstico. : : : : : : : : : : : : : : : : 6.2.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.3 Diagonalizacin: condiciones. : : : : : : : : : : : : : o 6.3.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.4 Forma triangular de endomor smos y matrices. : : : 6.4.6 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.5 Polinomios que anulan una matriz. : : : : : : : : : : 6.5.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.6 Forma cannica de endomor smos y matrices. : : : : : o 6.6.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

237

237 245 247 253 254 261 262 268 269 276 277 304

Contenido

vii

7 Formas bilineales y formas sesquilineales.

7.1 Formas bilineales sobre un espacio vectorial. : : : : : : : : : : : : : 7.1.22 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.2 Ncleo y rango de una forma bilineal. : : : : : : : : : : : : : : : : u 7.2.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.3 Formas cuadrticas. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a 7.3.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.4 Bases ortogonales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.4.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.5 Formas bilineales positivas y producto escalar real. : : : : : : : : 7.5.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.6 Formas sesquilineales, formas hermticas y producto escalar com plejo. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.6.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.7 Matrices positivas y estrictamente positivas. : : : : : : : : : : : : : 7.7.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

309

309 321 323 329 330 335 336 349 350 356

358 370 374 383

8 Espacios eucldeos y espacios unitarios.

8.1 Espacios eucldeos y espacios unitarios. : : : : : : : : 8.1.19 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2 Bases ortogonales y ortonormales. : : : : : : : : : : 8.2.24 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.3 La proyeccin ortogonal. : : : : : : : : : : : : : : : : o 8.3.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.4 Endomor smos en un espacio con producto escalar. : 8.4.32 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5 Endomor smos autoadjuntos. : : : : : : : : : : : : : 8.5.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.6 Endomor smos normales. : : : : : : : : : : : : : : : 8.6.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.7 Isometras. Automor smos unitarios y ortogonales. : 8.7.15 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.8 Endomor smos positivos. : : : : : : : : : : : : : : : 8.8.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

384

384 391 394 406 409 420 424 443 450 457 460 465 468 472 474 478

Libros cuya lectura se recomienda. Problemas. Soluciones de ejercicios y problemas. ndice de smbolos. I Indice

481 485 519 553 557

viii

Contenido

Captulo 6

Diagonalizacin de endomor smos y o matrices.Adems de la diagonalizacin propiamente dicha, este captulo estudia la reduccin a la a o o forma triangular y a la forma de Jordan. Este ultimo aspecto es el que requerir mayor a esfuerzo, puesto que algunos razonamientos que se emplean son difciles. El lector deber a poner tambin atencin a la cuestin del cuerpo IR o C en el que se reduce una matriz, e o o y a la diferencia entre valor propio y raz del polinimio caracterstico, estudiando con particular atencin los apartados 6.2.11 y 6.2.12. o Nota. En este captulo y los siguientes, IK representa siempre IR o C. Por lo que a este captulo se re ere, la limitacin a estos casos tiene por objeto la utilizacin de o o los resultados que se exponen en 1.13.11 y 1.13.12, ya que, si bien no son sencillos de probar, al menos sern resultados conocidos para el lector de este libro. La extensin a o de algunos resultados de este captulo a cuerpos diferentes requiere substituir C por un cuerpo `algebraicamente cerrado', es decir, un cuerpo para el que todo polinomio no constante posea una raz.

6.1 Subespacios invariantes. Vectores y valores propios.

6.1.1 Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo IK y f : E ! E un endo-

mor smo de E. Un subespacio invariante para f es un subespacio F de E tal que fF F ; o sea, tal que x 2 F fx 2 F : Ejemplos sencillos de tales subespacios son f0g, E, Imf y Ker f, que son invariantes independientemente de la naturaleza del endomor smo f. Si F es un subespacio invariante para f, podemos considerar la aplicacin o F !F x ! fx 237

238

6. Diagonalizacin de endomor smos y matrices o

que enva cada vector x de F a su imagen por f; esta aplicacin es un endomor smo o de F, el `endomor smo inducido' por f en F . Es habitual representar tambin e por f el endomor smo inducido.

6.1.2 Sea E un e.v. y f 2 LE. Supongamos que E = F Fp ;1

donde F1 ; : : :; Fp son subespacios invariantes para f, con dimensiones n1 ; : : :; np diferentes de 0. Si a1 ; : : :; an1 es una base de F1, an1 +1 ; : : :; an1+n2 una base de F2 , etc., y consideramos la base de E a1 ; : : :; an1 ; an1+1 ; : : :; an1+n2 ; : : : formada por la reunin de dichas bases v. 2.5.7b, entonces la matriz de f en esta o base es de la forma 2 3 A1 6 7 A2 7 f; ai = 6 6 7 ... 4 5 Ap o sea, lo que se suele llamar una matriz diagonal por bloques vase el ejercicio 4 de e la seccin 3.2. La matriz A1 es la matriz del endomor smo inducido por f en F1 o representado en la base a1; : : :; an1 , la matriz A2 es la matriz del endomor smo inducido por f en F2 representado en la base an1 +1 ; : : :; an1+n2 , etc.

6.1.3 Ejemplo. Consideremos el endomor smo de IR dado por fx; y; z = 4x + 2y + z; ,2x , z; ,x , y + z ;3

es decir, por la matriz Consideremos los vectores Es fcil comprobar que a

2

A=4

4: 2: 1: ,2: 0 ,1: ,1: ,1: 1:

3 5

:

a1 = 1; ,1; 0 ; a2 = 1; 0; ,1 y a3 = ,1; 1; 1 : fa1 = 2; ,2; 0 = 2a1 fa2 = 3; ,1; ,2 = a1 + 2a2 fa3 = ,1; 1; 1 = a3 : Los subespacios F1 = ha1 ; a2i y F2 = ha3i

6.1. Vectores y valores propios

239

son invariantes; a1 ; a2 y a3 son bases de F1 y F2 y a1; a2; a3 es una base de IR3 luego IR3 = F1 F2 . La matriz de f en la base a1 ; a2; a3 es 2 3 2: 1: 0 A0 = 4 0 2: 0 5 : 0 0 1:

6.1.4 El objeto de este captulo es representar endomor smos mediante matrices

sencillas, entendiendo por tales, matrices con gran nmero de ceros. Las matrices u diagonales por bloques son las ms interesantes; lo son an ms cuando se trata a u a de matrices pura y simplemente diagonales. Vamos a estudiar el caso en que un endomor smo se puede representar por una matriz diagonal, dejando para ms a tarde las matrices diagonales por bloques, que constituyen un caso ms general. a El ejemplo siguiente nos muestra una situacin en la que es posible representar un o endomor smo mediante una matriz diagonal.

6.1.5 Ejemplo. Consideremos el endomor smo de IR dado por fe = , e , 6e + 2e fe = 3e + 8e , 2e fe = 6e + 16e , 4e ;3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

cuya matriz en la base cannica es o

,1: A = 4 ,6:

2

3: 6: 8: 16: 2: ,2: ,4:

3 5

:

Para la base a1 ; a2; a3 de IR3 formada por los vectores a1 = 0; ,2; 1 ; a2 = 3; ,2; 2 y a3 = 1; 1; 0 ; la matriz de f es 2 3 0 0 0 A0 = 4 0 1: 0 5 0 0 2: puesto que fa1 = 0 fa2 = a2 fa3 = 2a3 : En esta base, f se representa por una matriz diagonal. La matriz A0 pone en evidencia algunos aspectos de f que no eran fciles de ver con la matriz A. As, a ahora es evidente que rg f = 2 ; Imf = ha2 ; a3i y Ker f = ha1i :

240


6.1.6 A la vista del ejemplo precedente, el problema se centra en dos aspectos:| averiguar si existe alguna base en la que el endomor smo se represente por una matriz diagonal, y | encontrar, cuando exista, una de tales bases. Ntese que los tres vectores de la base del ejemplo precedente veri can que o fai = i ai para escalares i que son, en ese caso, 1 = 0 ; 2 = 1 y 3 = 2 : Es a partir de esta propiedad como trataremos de resolver los dos problemas planteados.

6.1.7 DEFINICION. Sea E un e.v. sobre IK y f 2 LE; sea x 2 E. Decimosque x es un vector propio de f cuando vcp 9 2 IK fx = x .

pios de f. Hay una in nidad de vectores propios de f; comprubese, por ejeme plo, que lo son todos los vectores de la forma ai cualesquiera que sean 2 IK y i = 1; 2; 3.

6.1.8 Ejemplo. En el ejemplo 6.1.5, los vectores a ; a y a son vectores pro1 2 3

6.1.9 El vector 0 es siempre un vector propio, puesto quef0 = 0 = 0 cualquiera que sea 2 IK; todos los escalares hacen pues cierta la igualdad de vcp para el vector 0. No ocurre lo mismo para vectores no nulos; si x 6= 0 y fx = x y fx = x, entonces x , x = 0, luego , x = 0 y, como x 6= 0, resulta que = . Para cada vector propio x no nulo, existe exactamente un escalar tal que fx = x. El mtodo para encontrar los vectores propios de f es el estudio de los escalares e que sirven para realizar las igualdades del tipo fx = x.

6.1.10 DEFINICION. Sea E un e.v. sobre IK y f 2 LE; sea 2 IK. Deci-

mos que es un valor propio de f cuando vlp 9x 2 E; x 6= 0 fx = x . La condicin x 6= 0 que exigimos en vlp es importante puesto que, si no, cualo quier elemento de IK sera un valor propio.


241

de f.

6.1.11 Ejemplo. En el ejemplo 6.1.5 los escalares 0; 1 y 2 son valores propios

6.1.12 Es tambin util otra forma de considerar los valores propios. Si f 2 LE e y 2 IK, representamos por V el subconjunto de E dado por V = fx 2 E j fx = xg : Ya hemos visto que 0 2 V . Es sencillo probar que V es un subespaciovectorial de E; es justamente el subespacio Kerf , idE ; ncleo del endomor smo f , idE v. 2.1.11. Decimos que V es el subespacio u propio de f asociado a . Podemos expresar vlp es las siguientes formas equivalentes: es un valor propio de f si y slo si o vlp1 V 6= f0g , y tambin si y slo si e o vlp2 el endomor smo f , id no es inyectivo. Si 6= , entonces V V = f0g ; como se ve utilizando los argumentos de 6.1.9.

6.1.13 Ejemplo. En el ejemplo 6.1.5 se tiene V 0 = Ker f = ha i V 1 = Kerf , id = ha i V 2 = Kerf , 2 id = ha i ;1 2 3

como se comprueba con facilidad. Se puede comprobar tambin que, si es distinto e de 0; 1 y 2, entonces V = Kerf , id = f0g ; lo que indica que no hay ms valores propios que estos tres. a

6.1.14 PROPOSICIONSea f 2 LE y sean 1; : : :; p valores propios de f, todos distintos entre s. Si x1 2 V 1 ; : : :; xp 2 V p , y x1 6= 0; : : :; xp 6= 0, entonces x1; : : :; xp es un sistema libre.

242


Lo probaremos por induccin sobre el nmero p. El resultado es evidente cuando o u p = 1. Supongamos hiptesis de recurrencia que el resultado es cierto para p , 1; o sean entonces x1; : : :; xp p vectores que cumplen las hiptesis del enunciado. Si o1 1

x + 2x2 + + p xp = 0 ;

tenemos, por una parte, que f 1 x1 + 2x2 + + pxp = 0 ; o sea,1

fx1 + 2fx2 + + p fxp = 0 ;1 1 1

x + 22 x2 + + p p xp = 0 : Por otra parte, 1 0 = 0, o sea, 1 1x1 + 2x2 + + pxp = 0 ; 1 1x1 + 1 2x2 + + 1 p xp = 0 : Restando ambas expresiones obtenemos 2 , 1 2 x2 + + p , 1 p xp = 0 ; y como, por la hiptesis de recurrencia, el sistema x2; : : :; xp de p , 1 vectores o es libre, resulta que 2 , 1 2 = = p , 1 p = 0 ; luego que = = p = 0 ya que todos los i son distintos. Por n, resulta que2 1 1

luego

luego

x =0

y que 1 = 0. El sistema x1; x2; : : :; xp es libre; el resultado es tambin cierto e para p, y esto concluye la demostracin. o

6.1.15 Si E es un e.v. de dimensin n y f 2 LE, resulta inmediatamente de ola proposicin anterior que f posee a lo sumo n valores propios. o


243

6.1.16 PROPOSICIONSea f 2 LE y sean 1; : : :; p valores propios de f, todos distintos entre s. Entonces V 1 + + V p = V 1 V p : Si 0 = x 1 + + xp con x1 2 V 1 ; : : :; xp 2 V p , entonces x1 = = xp = 0, pues, en caso contrario, llamando xi1 ; : : :; xir a aquellos vectores que no fuesen nulos, resultara que 0 = xi1 + + xir ; esto es imposible, ya que el sistema xi1 ; : : :; xir es libre, como consecuencia de la proposicin anterior. o Sea entonces x un vector de V 1 + + V p y supongamos que x = x1 + + xp y x = x01 + + x0p ; con x1; x01 2 V 1 ; : : :; xp ; x0p 2 V p ; se tiene 0 = x1 , x01 + + xp , x0p y, como acabamos de ver, esto signi ca que x1 = x01; : : :; xp = x0p : El subespacio suma es, pues, suma directa v. 2.3.22.

6.1.17 TEOREMASea E un e.v. de dimensin n 6= 0, a1 ; : : :; an una base de E, o f 2 LE y A = f; ai . Sea 2 IK; las proposiciones siguientes son equivalentes: i es un valor propio de f ; ii el endomor smo f , id no es inversible; iii detA , In = 0 : Decir que f , id no es inversible equivale a decir que no es inyectivo, puesto que E es de dimensin nita v. 3.1.24; se tiene as la equivalencia de i y ii o v. 6.1.12. La equivalencia de ii y iii proviene de que A , In es la matriz de f , id en la base a1 ; : : :; an.

244


6.1.18 DEFINICION. Si A es una matriz cuadrada con elementos en IK, los escalares 2 IK tales que detA , In = 0reciben el nombre de valores propios de la matriz A. Lo que demuestra el teorema precedente es que los valores propios de un endomor smo f de un espacio vectorial de dimensin nita son los valores propios o de cualquier matriz asociada a f en una base del espacio. Dos endomor smos del e.v. E que se representen en bases diferentes por la misma matriz poseen entonces los mismos valores propios. Otra consecuencia an ms importante es que dos matrices semejantes poseen u a los mismos valores propios v. 3.5.29.

6.1.19 Ejemplo. La matriz,1: A = 4 ,6:2

3: 6: 8: 16: 2: ,2: ,4:

3 5

asociada al endomor smo del ejemplo 6.1.5 posee como valores propios 0; 1 y 2. Comprubese que stos son los unicos valores 2 IR para los que el determinante e e de 2 3 ,1: , 3: 6: A , I3 = 4 ,6: 8: , 16: 5 2: ,2: ,4: , es nulo.

6.1.20 nSea A 2 MIKn. Los valores propios de A son los del endomor smo f 2 LIK dado por A v. 3.5.1, es decir, los escalares 2 IK para los que existe un vector x 2 IKn , x = 0, tal que 6Ax = x: Se suele hablar de vectores propios de A para referirse a los vectores x 2 IKn tales que Ax = x para algn 2 IK, o sea, a los vectores propios del endomor smo dado por A. u Si 2 IK, el subespacio V = fx 2 IKn j Ax = xg de IKn se suele denominar subespacio propio de A correspondiente a .


245

6.1.21 Ejercicios.Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0, f 2 LE y F un subespacio, no trivial, o invariante para f . Se considera una base a1 ; : : : ; ap de F y se la extiende a una base a1 ; : : : ; ap ; ap+1 ; : : : ; an de E . Demustrese que la matriz f; ai es triangular por e bloques vase el ejercicio 4 de la seccin 3.2. e o1 2

Para el endomor smo

vase el ejercicio 9 de la seccin 2.1 de derivacin formal de polinomios, demustrese e o o e que los subespacios IRn X v. 2.2.6 son invariantes. Siendo F1 y F2 dos subespacios invariantes para un endomor smo f 2 LE , prue bese que los subespacios F1 + F2 y F1 F2 son tambin invariantes. e3 4

D : IR X ! IR X

Para el endomor smo f 2 LIR2 dado por f x;y = x; 0 ; cules son los subespacios invariantes? a

5 Siendo f; g 2 LE dos endomor smos del e.v. E tales que f g = g f , prubese e que Im g y Ker g son subespacios invariantes para f .

Sea E un e.v. Una proyeccin de E es un endomor smo p 2 LE tal que o p2 = p recurdese que p2 = p p. Demustrese que, si p es una proyeccin de E , entonces: e e o a Im p = fx 2 E j px = xg , b para todo x 2 E , x = px + z con z 2 Ker p , c E = Im p Ker p , d si E es de dimensin n 6= 0, existe una base de E en la que la la matriz de p es o diagonal.6

Sea E un e.v. y F1 y F2 dos subespacios de E tales que E = F1 F2 ; de nimos dos aplicaciones p; q : E ! E de la manera siguiente: si x 2 E , se considera la unica descomposicin x = x1 + x2 , con o x1 2 F1 y x2 2 F2, y se pone px = x1 y qx = x2 ; Decimos que p es la `proyeccin de E sobre F1 paralela a F2 ' y que q es la `proyeccin o o de E sobre F2 paralela a F1'. a Demustrese que p y q son endomor smos de E . e b Demustrese que p2 = p y q2 = q esto es, que p y q son proyecciones, que e p + q = idE y que p q = q p = 0.7

246


c Demustrese que Im p = F1 , Ker p = F2 , Im q = F2 y Ker q = F1 . e d Demustrese que F1 y F2 son subespacios invariantes para p y q. e e Siendo E de dimensin nita y a1 ; : : : ; ar ; ar+1 ; : : : ; an una base formada por o reunin de dos bases a1 ; : : : ; ar y ar+1 ; : : : ; an de F1 y F2 , calclense las matrices de o u p y q en dicha base de E . f Consideremos el isomor smo q : E=F1 ! F2 correspondiente a la descomposicin cannica de q v. 3.1.17 y el isomor smo o o g : F2 ! E=F1 x!x _ que vimos en 2.3.18. Demustrese que q y g son inversos uno del otro. e g Para la suma directa IR2 = F1 F2 ; donde F1 = fx; y j x = yg y F2 = fx; y j y = 0g, y las correspondientes proyecciones p y q, calclense las imgenes px; y y qx; y de un vector x; y 2 IR2 . u a h Sean E y E 0 dos e.v., f 2 LE; E 0 una aplicacin lineal y F un subespacio de E o tal que E = Ker f F : Se consideran las proyecciones p y q de E , correspondientes a esta suma directa. Demustrese que f p = 0 y f q = f . e Sea p una proyeccin de E vase el ejercicio 6 de esta seccin. Demustrese que o e o e p es justamente la proyeccin sobre Im p paralela a Ker p vase tambin el ejercicio o e e8

precedente.9

Sea E un e.v. de dimensin nita y F1 y F2 subespacios de E tales que o E = F1 F2 ; sean p y q las proyecciones correspondientes vase el ejercicio 7 de esta seccin. Se e o tiene que E = F1? F2? vase el ejercicio 10 de la seccin 3.6; consideremos tambin las proyecciones p0 y q0 e o e de E correspondientes a esta suma directa. Demustrese que, para todo x 2 E , e pt x 2 F2? ; qt x 2 F1? y pt x + qt x = x : Demustrese que q0 = pt y p0 = qt . e Sea E un e.v. y F1 y F2 subespacios de E tales que E = F1 F2 ; y sean p y q las correspondientes proyecciones vase el ejercicio 7 de esta seccin. Siendo e o f 2 LE , demustrese la equivalencia de: e i F1 y F2 son invariantes para f , y ii f p = p f y f q = q f .10

6.1. Vectores y valores propios11

247

Siendo f 2 LE y x 2 E , prubese la equivalencia de: e i x es un vector propio, y ii el subespacio hxi es invariante.

12

Sea f 2 LE , 2 IK y V el correspondiente subespacio propio. Demustrese e que V es un subespacio invariante para f . Demustrese que el endomor smo inducido e por f en V es una homotecia de razn vase el ejercicio 5 de la seccin 3.4. o e o13

Sea f 2 LE y sean 1 ; : : : ; p valores propios de f , todos distintos entre s. Demustrese que el subespacio V 1 V p es invariante. e14

En este ejercicio, f representa un endomor smo de un e.v. E sobre IK y A representa una matriz n n con elementos en IK. Recurdense las de niciones de f r v. 3.4.8 e y Ar v. 3.4.29 cuando r = 0; 1; 2; : : : ; recurdense tambin las de niciones de pf e e y pA cuando pX 2 IK X es un polinomio con coe cientes en IK. Demustrense los e resultados que siguen: a Si 2 IK es un valor propio de f de A, entonces 2 es un valor propio de f 2 de A2 . b Si 2 IK es un valor propio de f de A, entonces r es un valor propio de f r de Ar . Utilcese el principio de induccin para r. o c Si 2 IK es un valor propio de f de A y pX 2 IK X , entonces p es un valor propio de pf de pA. Utilcese el principio de induccin para el grado del o polinomio. d Sea pX 2 IK X un polinomio que anula f que anula A, o sea, tal que pf = 0 pA = 0. Si 2 IK es un valor propio de f de A, entonces es una raz del polinomio pX . e Si f 2 = id A2 = In y 2 IK es un valor propio de f de A, entonces = 1 o = ,1. f Si f 2 = 0 A2 = 0 y 2 IK es un valor propio de f de A, entonces = 0.15

Sea A 2 MIK n; vamos a considererar el siguiente endomor smo del espacio vectorial MIK n: f : MIK n ! MIK n

B ! AB : Prubese que los valores propios de A y los de f coinciden. e

16 En el e.v. SIK SIR o S C , formado por las sucesiones de nmeros reales o complejos u segn el caso, se consideran los endomor smos L; R 2 LSIK de nidos como sigue. L es u el `desplazamiento a la izquierda' de las sucesiones, esto es, Lx1 ; x2 ; x3 ; : : : = x2 ; x3 ; x4 ; : : : : R es el `desplazamiento a la derecha' de las sucesiones, esto es, Rx1 ; x2 ; x3 ; : : : = 0; x1 ; x2 ; : : : : Por otra parte se consideran los subespacios c00 ; l1 ; c0 ; c y l1 de SIK , de nidos en 2.2.7 y en el ejercicio 11 de la seccin 2.2. o

248


Prubese que todos estos subespacios son invariantes para L y para R. e Esto permite considerara L y R como endomor smos de cualquiera de estos espacios v. 6.1.1. Calclense los valores propios de L y de R cuando se consideran como endomor smos u de c00 ; l1 ; c0 ; c; l1 y SIK . Para cada que sea valor propio en cada caso, descrbase el subespacio propio V y calclese la dimensin de V . u o

6.2 Polinomio caracterstico.

Parece, sin embargo, ms di cil encontrar todos los valores propios de A, puesto a que no podemos efectuar dicha comprobacin para todos los elementos de IK, si o ste posee una cantidad in nita de elementos lo que es normal. Lo que se hace e entonces es calcular detA , In sin precisar el valor de , y tratar de ver a continuacin para qu valores de se anula. o e

6.2.1 Sea A 2 MIKn una matriz cuadrada. Es sencillo averiguar cuando un elemento 2 IK es un valor propio de A; basta comprobar que detA , In = 0 :

6.2.2 Ejemplo. Para la matriz de elementos realestenemos y A = 2: 2: 1: 1:

, A , In = 2: 1: 1: 2: ,

detA , In = 2 , 1 , , 2 = 2 , 3 ; expresin que se anula para = 0 y = 3; los valores propios de A son entonces o 0 y 3.

6.2.3 Sea A =

consideramos la matriz A , X In =

j i

2 MIK n una matriz cuadrada. Siendo X un smbolo,

2 6 6 6 6 6 41 1

,X.. .2 1 3 1

2 2

,X.. .3 2

1 2

3 ,X 31 3 2 3

1

n1

n2

.. .

n3

cuyos elementos son polinomios en la indeterminada X con coe cientes en IK v. 1.13.1. Aun cuando los elementos diagonales de A , X In no pertenecen al cuerpo IK, calculamos el determinante de esta matriz operando con los polinomios i , X como si se tratase de elementos de IK. Una explicacin ms formalizada o a i sobrepasa el propsito de este libro. o det A , X In es un polinomio en X, con coe cientes en IK, y de grado n.

n,X n

.. .

n 2 n 3 n

3 7 7 7 7 7 5

6.2. Polinomio caracterstico

nomio caracterstico de A y representamos por pAX al polinomio

249

6.2.4 DEFINICION. Sea A 2 MIKn una matriz cuadrada. Llamamos polipA X = det A , X In : Si 2 IK, tenemos que pA = det A , In : A = 2: 2: 1: 1:

6.2.5 Ejemplo. Sientonces como vimos en 6.2.2. Si entonces pA X =

pA X = X 2 , 3X ;

,2: 4: 5: A = 4 ,3: 5: 5:0 0 1:

2

3 5

0 0 1: , X = ,2 , X5 , X1 , X + 121 , X = ,X 3 + 4X 2 , 5X + 2 ;

,2: , X 4: ,3: 5: , X

5: 5:

6.2.6 Algunas consideraciones sencillas nos van a permitir calcular ciertos tre minos de pA X. Los trminos de grado n y n , 1 provienen exclusivamente del e producto de los elementos diagonales de A , X In , o sea, de , X , X n , X : n Esto se debe a que en el resto de los n! productos de la frmula 3 de 4.2.4 o interviene algn j con i = j, luego no intervienen ii , X y j , X; el resto de u i 6 j los productos son entonces polinomios de grado menor o igual que n , 2.1 1 2 2

Como

1 , X 2 , X n , X = 1 2 n = ,1n X n + ,1n,1 1 + 2 + + nX n,1 + ; 1 2 n resulta que el trmino de grado n de pA X es e ,1n X n ; y el de grado n , 1 es ,1n,1 1 + 2 + + nX n,1 ; 1 2 n

250


o bien donde el escalar

,1n,1 tr A X n,1 ;

tr A = 1 + 2 + + n ; 1 2 n suma de los elementos diagonales de A, es lo que llamamos traza de la matriz A. Por otra parte, el trmino independiente de pA X vale e pA 0 = detA , 0 In = det A ; pA X es entonces de la forma pA X = ,1n X n + ,1n,1 tr A X n,1 + + det A :

6.2.7 PROPOSICIONSi A; A0 2 MIK n son dos matrices semejantes, entonces pA X = pA0 X y, en particular, tr A = tr A0 : A0 = P ,1A P ; luego A0 , X In = P ,1A P , X In = P ,1A P , X In P ,1P y, como X In conmuta con cualquier matriz de MIK n v. 3.4.28, A0 , X In = P ,1A P , P ,1X In P = P ,1A , X InP : Entonces pA0 X = detA0 , X In = detP ,1pA X det P = pA X :

Existe una matriz P , n n e inversible, tal que

6.2.8 Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0 y f 2 LE. Llamamos polinomio ocaracterstico de f y traza de f al polinomio caracterstico y la traza de una

matriz cualquiera asociada a f; los representamos por pf X y tr f. La proposicin o precedente nos garantiza que esta de nicin no depende de la matriz asociada a f o que se elija. Recordando la de nicin de det f v. 4.2.21 se tiene que o pf X = ,1n X n + ,1n,1 tr f X n,1 + + det f :


251

6.2.9 TEOREMAa Sea A 2 MIK n y 2 IK IR o C. Entonces es un valor propio de A si y slo si es una raz de pA X. o b Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0 sobre IK IR o C, f 2 LE o y 2 IK. Entonces es un valor propio de f si y slo si es una raz o de pf X. a es un valor propio de A si y slo si o pA = detA , In = 0 ; o sea, si y slo si es raz de pA X. o b es una consecuencia de a, pues los valores propios de f son los de una matriz cualquiera asociada a f.

6.2.10 Se deduce del teorema precedente que una matriz n n posee a lo sumon valores propios, y que un endomor smo de un e.v. de dimensin n posee a lo o sumo n valores propios.

6.2.11 Cuando IK = IR, es importante suponer en el teorema precedente que 2 IR. En el caso real pueden existir races de pf X que no sean elementos de IR; dichas races no sern, sin embargo, valores propios de f. a 6.2.12 Ejemplo. El endomor smo f de IR dado por la matriz 0 ,1: A=2

1:

0

tiene como polinomio caracterstico pf X = X 2 + 1 ; polinomio cuyas races son los nmeros complejos +i y ,i , que no son valores u propios de f. Sin embargo, el endomor smo g de C2 dado por la misma matriz posee +i y ,i como valores propios. Obsrvese que e 0 ,1: 1 = i 1 ; o sea, g1; ,i = i 1; ,i 1: 0 ,i ,i y que 0 ,1: 1 = ,i 1 ; o sea, g1; i = ,i 1; i ; 1: 0 i i

e luego que 1; ,i y 1; i son vectores de C2 propios de g. Comprubese que no existe ningn vector de IR2 propio de f, excepcin hecha del vector 0; 0. u o

252


6.2.13 PROPOSICIONSea E un e.v. sobre IK de dimensin n 6= 0, f 2 LE; sea 2 IK un o valor propio de f. Hemos visto que es raz de pf X. Si k es el orden de multiplicidad de como raz v. 1.13.9, entonces 1 dimV k : Como es un valor propio de f, entonces V 6= f0g, luego dimV 1. Representemos por h la dimensin de V ; vamos a probar que h k. o Para ello completamos una base a1 ; : : :; ah de V hasta formar una base a1 ; : : :; ah; ah+1 ; : : :; an de E. La matriz A = f; ai es de la forma h n,h 3 2 6 ... A0 7 h 7 A=6 7 6 5 4 0 A00 n,h luego2

A , X In = 6 6 4

6

,X

3

... 0

,X

A0 A00 , X In,h

7 7 7 5

;

y entonces v. 4.2.14 pf X = pA X = detA , X In 2 ,X 6 ... = det 4 , Xh qX ;

3 7 5

= donde qX es un polinomio de grado n , h el polinomio caracterstico de A00. Resulta as que es raz de pf X con multiplicidad h , o sea, k h.

,X

detA00 , X In,h

6.2.14 Ejemplo. Es posible, sin embargo, quedimV k : As, si f es el endomor smo de IR2 dado por la matriz 1: A = 0 1: ; 1:


253

1 es un valor propio de f y es una raz de multiplicidad 2 del polinomio pf X = 1 , X2 : Pero luego dimV 1 = 1. V 1 = fx; y 2 IR2 j y = 0g = h1; 0i ;

6.2.15 Ejercicios.1

a Sea f el endomor smo de IR3 dado por la matriz"

A=

4: 0 ,20: 2: 0 ,10: 1: ,1: ,2:

:

Calclese el polinomio caracterstico de f y sus valores propios. Calclese un vector u u propio no nulo de IR3 para cada valor propio. b Sea g el endomor smo de C3 dado por la misma matriz del apartado anterior. Calclese el polinomio caracterstico de g y sus valores propios. Calclese un vector u u propio no nulo de C3 para cada valor propio. Utilcese la proposicin 6.1.14 para o e buscar una base de C3 formada por vectores propios de g. Comprubese que la matriz de g en dicha base es diagonal y que sus elementos diagonales son los valores propios de g. Siendo f un endomor smo de IR2 , prubese la equivalencia de las proposiciones e siguientes:2

i los unicos subespacios invariantes para f son los triviales; ii f no posee valores propios. Bsquese un endomor smo que veri que tales condiciones. u3 Demustrese que, si A es una matriz triangular, sus valores propios son los elementos e diagonales de A.

Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0. Calclese el polinomio caracterstico de la o u homotecia h , de razn vase el ejercicio 5 de la seccin 3.4; calclense los polinomios o e o u caractersticos del endomor smo 0 y de idE .

4 5

Prubese que las matrices e"

A=

2:

"

2:

2:

y B=

2: 0 3: 2: ,1: 2:

de MIR 3 poseen el mismo polinomio caracterstico y que, sin embargo, no son semejantes v. 3.5.27.

2546


Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada y sea 2 IK un valor propio de A. Demuse trese que la dimensin del subespacio propio V es n , r, donde r el el rango de la o matriz A , In . Siendo A;B 2 MIK n y 2 IK, prubese que e trA + B = tr A + tr B y que trA = tr A pero que, en general, trAB 6= tr A tr B : Prubese que e trAB = trBA :7

Sea A 2 M n una matriz cuadrada real o compleja y 1 ; : : : ; n las races complejas iguales o distintas del polinomio caracterstico pA X . Demustrese que e tr A = 1 + + n y det A = 1 n :8

Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0, f 2 LE , F un subespacio no trivial e invariante o para f , r su dimensin. Se representa por fF el endomor smo inducido por f en F o v. 6.1.1. Prubese que e pf X = pfF X qX ; donde qX es un polinomio de grado n , r. Utilcese el ejercicio 1 de la seccin 6.1 . o9

6.3 Diagonalizacin: condiciones. o

6.3.1 Estamos ahora en condiciones de responder a las dos cuestiones planteadasen 6.1.6. Comencemos por proporcionarnos una forma breve de expresar el problema.

base a1 ; : : :; an de E tal que la matriz f; ai que representa a f en dicha base es una matriz diagonal. Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada recordemos que IK = IR o C. Decimos que A es diagonalizable en IK cuando A es semejante a una matriz diagonal de MIK n, esto es, cuando existe P 2 MIK n inversible y tal que P ,1A P es una matriz diagonal con elementos de IK.

6.3.2 DEFINICION. Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0 sobre IK y o f 2 LE. Decimos que el endomor smo f es diagonalizable cuando existe una

6.3.3 Las dos nociones precedentes estn profundamente relacionadas. Si f a

es un endomor smo diagonalizable, a1 ; : : :; an una base de E y A = f; ai , entonces la matriz A es diagonalizable. En efecto, sabemos que existe una base b1 ; : : :; bn de E tal que la matriz B = f; bi

6.3. Diagonalizacin: condiciones o

255

es diagonal; como

B = P ,1A P ; donde P es la matriz de paso de la base ai a la base bi , resulta que A es diagonalizable.

6.3.4 Recprocamente, si A 2 MIK n es una matriz diagonalizable, cualquier

f; ai = A : Puesto que A es diagonalizable, existe P 2 MIK n inversible y tal que P ,1A P es diagonal. Llamemos b1; : : :; bn a la base de E tal que P = bi ; ai ; entonces f; bi = P ,1A P ; lo que demuestra que f es diagonalizable.

endomor smo que se represente por A es diagonalizable en particular lo es el endomor smo de IKn dado por A. En efecto; sea E un e.v. de dimensin n o sobre IK, f 2 LE y a1 ; : : :; an una base de E, de tal manera que

6.3.5 Un endomor smo f de E es diagonalizable si y slo si existe una base ofa1 = 1 a1 :: ::: :: :: :: :: : fan = n an ; pero entonces2

a1 ; : : :; an de E formada por vectores propios de f. En efecto; si a1 ; : : :; an es una base de E formada por vectores propios, existen escalares 1 ; : : :; n tales que

f; ai = 6 4

1

3

...

luego f es diagonalizable. Recprocamente, si f es diagonalizable, existe una base a1 ; : : :; an de E tal que 2 3 1 7 ... f; ai = 6 4 5 n y, como esto signi ca que fa1 = 1 a1 :: ::: :: :: :: :: : fan = n an ; resulta que los elementos de la base son vectores propios.

n

7 5

;

256


6.3.6 TEOREMASea E un e.v. sobre IK IR o C, de dimensin n 6= 0; sea f 2 LE. o El endomor smo f es diagonalizable si y slo si se veri can las dos o propiedades siguientes d1 pf X posee n races en IK, iguales o distintas ms a exactamente, posee races en IK cuyos rdenes de multiplici o dad suman n, propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C, y d2 para cada raz 2 IK de pf X, dimV = k ; donde k es el orden de multiplicidad de . El mismo resultado es cierto para una matriz A 2 MIK n, substituyendo pf X por pA X. Supongamos en primer lugar que f es diagonalizable; existe entonces una base a1 ; : : :; an de E tal que f; ai es diagonal, o sea,2

f; ai = 6 4 Resulta as que

1

3

...

n

7 5

:

pf X = 1 , X2 , X n , X ; luego pf X posee n races, 1 ; 2; : : :; n , en IK no necesariamente diferentes, lo que prueba d1. Si es una de estas races y k su orden de multiplicidad, entonces i1 = i2 = = ik = para k ndices i1 ; : : :; ik 2 f1; : : :; ng. Los correspondientes vectores de la base veri can, pues, fai1 = i1 ai1 = ai1 : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: faik = ik aik = aik ; es decir, ai1 ; : : :; aik 2 V ; luego dimV k :


257

Como por otra parte dimV k v. 6.2.13, tenemos la igualdad dimV = k ; lo que prueba d2. Recprocamente, supongamos que se veri can d1 y d2. Por la primera sabemos que existen elementos 1 ; : : :; p que son races de pf X y que sus ordenes de multiplicidad, k1 ; : : :; kp , suman k1 + + kp = n : Los i son valores propios de f y cada subespacio V i es de dimensin ki , puesto o que se cumple d2. La suma directa v. 6.1.16 V 1 V p es un subespacio de dimensin k1 + + kp = n v. 2.5.7, o sea, o V 1 V p = E : Reuniendo bases de V 1 ; : : :; V p , obtenemos entonces una base de E, base que estar formada por vectores propios. El endomor smo f es, pues, diagonalia zable. El resultado para matrices es evidente, teniendo en cuenta que A es diagonalizable si y slo si lo es el endomor smo de IKn dado por A v. 6.3.3 y 6.3.4. o

6.3.7 La demostracin del teorema precedente nos indica adems un procedio a

miento para obtener una base a1 ; : : :; an en la que un endomor smo diagonalizable f tenga asociada una matriz diagonal. Tal base se puede formar reuniendo bases de los subespacios V i , para los valores propios i de f.

6.3.8 COROLARIOSea E un e.v. sobre IK IR o C, de dimensin n 6= 0; sea f 2 LE. o Si pf X tiene n races distintas en IK, entonces f es diagonalizable. El mismo resultado es cierto para una matriz A 2 MIK n, substituyendo pf X por pA X. Si pf X posee n races distintas, 1 ; : : :; n , en IK, se veri ca la propiedad d1 del teorema precedente. Adems cada i es de multiplicidad 1, luego v. 6.2.13 a 1 dimV i 1 ; o sea, dimV i = 1; se veri ca tambin d2. e

2583


6.3.9 Ejemplo. Sea f 2 LIR el endomor smo dado por la matriz 2 3 ,2: 4: 5: A = 4 ,3: 5: 5: 5 :0 0 1: Tenemos que 0 0 1: , X = 1 , X 5 , X,2 , X + 12 = 1 , XX 2 , 3X + 2 y las races de este polinomio son 1 con multiplicidad 2 y 2 con multiplicidad 1 ; se veri ca entonces d1. Vamos a estudiar los subespacios propios. V 1 = Kerf , id, luego x; y; z 2 V 1 cuando 2 3 2 3 x 0 A , I3 4 y 5 = 4 0 5 ; z 0 o sea, 2 32 3 2 3 ,3: 4: 5: x 0 4 ,3: 4: 5: 5 4 y 5 = 4 0 5 ; 0 0 0 z 0 la solucin de este sistema es o x; y; z = 4 + 5; 3; 3 y por consiguiente V 1 = h4; 3; 0; 5; 0;3i : V 1 es de dimensin 2. Se cumple tambin d2, pues ya sabemos que la dimeno e sin de V 2 no puede ser sino 1. El endomor smo f es diagonalizable. o Para encontrar una base en la que corresponda a f una matriz diagonal, tenemos que calcular tambin V 2. e V 2 = Kerf , 2 id, luego x; y; z 2 V 2 cuando 2 3 2 3 x 0 A , 2 I3 4 y 5 = 4 0 5 ; z 0 o sea, 3 2 3 32 2 0 x ,4: 4: 5: 4 ,3: 3: 5: 5 4 y 5 = 4 0 5 ; 0 z 0 0 ,1: pf X =

,2: , X 4: ,3: 5: , X

5: 5:


259

la solucin de este sistema es o x; y; z = ; ; 0 ; luego En la base de IR3

V 2 = h1; 1; 0i :

4; 3; 0; 5; 0; 3; 1;1; 0 f se representa por la matriz diagonal 2 3 1: 4 5: 1: 2: La matriz A es diagonalizable en IR y 2 3 1: 5 ; 1: P ,1A P = 4 2: siendo P la matriz 2 3 4: 5: 1: P = 4 3: 0 1: 5 : 0 3: 0 Comprubese este hecho, teniendo en cuenta que e 2 3 3: ,3: ,5: 1 P ,1 = 3: 4 0 0 1: 5 : ,9: 12: 15:

6.3.10 Ejemplo. Sea f 2 LIR el endomor smo dado por la matriz 2 3 2: ,2: 1:3

A = 4 1: 3: 1: 5 : 0 1: 2: Su polinomio caracterstico vale 2: , X ,2: 1: 1: 3: , X 1: pf X = 0 1: 2: , X 2 = 2 , X 3 , X + 1 , 2 , X + 22 , X = 2 , X2 3 , X + 3 , X = 3 , X 2 , X2 + 1 = 3 , XX 2 , 4X + 5 ; las races son 3, 2 + i y 2 , i . pf X posee unicamente una raz en IR, luego d1 no se cumple y f no es diagonalizable.

260

6. Diagonalizacin de endomor smos y matrices o3

6.3.11 Ejemplo. Sea f 2 LIR el endomor smo dado por la matriz2

A=4 Tenemos que

3: 2: 4: 0 1: 0 ,2: 0 ,3:

3 5

:

pf X =

con races 1 con multiplicidad 2 y ,1 con multiplicidad 1; se veri ca entonces d1. V 1 = Kerf , id, luego x; y; z 2 V 1 cuando 2 32 3 2 3 2: 2: 4: x 0 4 0 0 0 54 y 5 = 4 0 5 ; ,2: 0 ,4: z 0 la solucin de este sistema es o x; y; z = ,2; 0; y por consiguiente V 1 = h,2; 0; 1i ; V 1 es de dimensin 1 y no se veri ca d2. f no es diagonalizable. o

3: , X 2: 4: 0 1: , X 0 ,2: 0 ,3: , X = 1 , X 3 , X,3 , X + 8 = 1 , XX 2 , 1

6.3.12 Ejemplo. Sea f 2 LIR el endomor smo del ejemplo 6.1.5, dado por la matriz 2 3 ,1: 3: 6: A = 4 ,6: 8: 16: 5 : 2: ,2: ,4:3

Vimos en dicho ejemplo que f es diagonalizable, puesto que encontramos una base en la que la matriz de f es diagonal. El polinomio caracterstico de f es ,1: , X 3: 6: pf X = ,6: 8: , X 16: 2: ,2: ,4: , X = ,1 , X8 , X,4 , X + 96 + 72 ,128 , X + 18,4 , X + 32,1 , X = ,X 3 + 3X 2 , 2X = ,XX 2 , 3X + 2


261

de races 0, 1 y 2. Utilizando el corolario 6.3.8 se puede llegar tambin a la e conclusin de que f es diagonalizable. o

6.3.13 Ejemplo. Los endomor smos f y g del ejemplo 6.2.12 se comportande manera diferente a pesar de venir dados por la misma matriz 1: A = 0 ,0 : 1:

El endomor smo g 2 LC2 es diagonalizable; en la base 1; ,i; 1; i de C2 , la matriz de g es i ,i : Sin embargo, el endomor smo f 2 LIR2 no es diagonalizable. La matriz A es diagonalizable en C, puesto que 1: 1: ,1 0 ,1: ,i i 1: 0

1: 1: i ,i i = ,i

comprubese este hecho. Sin embargo, A no es diagonalizable en IR, puesto que e no existe ninguna matriz P 2 MIR2 con elementos reales! inversible y tal que P ,1A P sea diagonal con elementos reales.

6.3.14 Ejercicios.Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0 y h una homotecia de E vase el ejercicio 5 de o e la seccin 3.4. Prubese que, cualquiera que sea la base de E , f se representa por una o e matriz diagonal.1

Demustrese que si A es una matriz diagonalizable, entonces A2 lo es tambin; si e e adems A es inversible, prubese que A,1 es tambin diagonalizable. a e e2 3

Demustrese que la matriz de M 2 e

1 A = 0 : 1:: 1 no es diagonalizable ni en IR ni en C.4

a Sea A una matriz n n con un solo valor propio de multiplicidad n. Demustrese e que A es diagonalizable si y slo si A es la matriz escalar o2

A=6 4en cuyo caso ya es diagonal.

3 7 5

. ..

262


b Sea f 2 LE , donde E es un e.v. de dimensin n 6= 0. Demustrese que, si todo o e subespacio de E es invariante para f , entonces f es una homotecia vase el ejercicio 5 e de la seccin 3.4. o5

Demustrese que la matriz de MIR3 e"

A=

7: ,10: 0 3: ,4: 0 1: ,2: 2:

es diagonalizable en IR. Bsquese una matriz inversible P 2 MIR 3 tal que A0 = P ,1 A P u sea diagonal y dgase cunto vale A0 . a6

Demustrese que la matriz de M 3 e"

A=no es diagonalizable ni en IR ni en C.7

4: 1: ,4: ,3: 0 3: 3: 1: ,3:

Consideremos la matriz"

A=

4: 0 ,20: 2: 0 ,10: 1: ,1: ,2:

:

Demustrese que no existe ninguna matriz inversible P 2 MIR 3 tal que P ,1 A P sea e diagonal. Calclese, sin embargo, una matriz inversible P 2 M C 3 tal que A0 = P ,1 A P u sea diagonal y dgase cunto vale A0 . a Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0 y a1 ; : : : ; an una base de E ; sean f y g dos o endomor smos de E . a Demustrese que si los vectores a1 ; : : : ; an son vectores propios a la vez de f y e de g, entonces f g = g f . b Demustrese que si A y B son matrices n n, diagonalizables mediante una e misma matriz inversible P o sea, tales que P ,1 A P y P ,1 B P son diagonales, entonces AB = BA. c Supngase que los vectores a1 ; : : : ; an son vectores propios de f correspondientes o a valores propios 1 ; : : : ; n , todos diferentes entre s, y que f g = g f . Prubese que, e entonces, los vectores a1 ; : : : ; an son tambin vectores propios de g. e d Demustrese que si A y B son matrices n n tales que AB = BA, y si A tiene n e valores propios diferentes, existe una matriz inversible P tal que P ,1 A P y P ,1 B P son diagonales.8 9

Prubese que toda matriz A 2 MIR 2, simtrica, es diagonalizable en IR. e e

6.4. Forma triangular de endomor smos y matrices

263

6.4.1 Cuando no es posible diagonalizar un endomor smo se recurre a represen-

6.4 Forma triangular de endomor smos y matrices.

tarlo por una matriz sencilla de otro tipo. La forma alternativa ms importante a es la llamada forma cannica o forma de Jordan; las matrices de este tipo son o triangulares y casi-diagonales. Trataremos este tema en la seccin 6.6. En algunas o ocasiones basta con reducir el endomor smo o la matriz a la forma triangular; esta ser la posibilidad que estudiaremos ahora. a

6.4.2 Sea E un e.v. sobre IK IR o C jde dimensin n 6= 0 y f 2 LE; sea opf X = 1 , X 2 , X n , X ; 1 2 n

a1 ; : : :; an una base de E y f; ai = i la matriz de f en dicha base. Si la matriz es triangular, los elementos diagonales, 1; : : :; n , son los valores propios 1 n de f. En efecto

y basta aplicar 6.2.9. Sea A 2 MIK n y supongamos que existe una matriz inversible P 2 MIK n tal que la matriz A0 = P ,1A P es triangular con elementos en IK. Entonces los elementos diagonales de A0 son los valores propios de A, como se prueba con un razonamiento idntico al anterior. e

6.4.3 PROPOSICIONa Sea E un e.v. sobre IK IR o C de dimensin n 6= 0 y f 2 LE. o Para que exista una base a1; : : :; an de E tal que la matriz f; ai es triangular superior, es condicin necesaria y su ciente que se veri que o d1 pf X posee n races en IK, iguales o distintas, propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. b Sea A 2 MIK n, IK = IR o C. Para que A sea semejante en IK a una matriz triangular superior, es condicin necesaria y su ciente que o se veri que d1 pA X posee n races en IK, iguales o distintas, propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. Toda matriz cuadrada compleja es semejante a una matriz triangular superior de nu meros complejos. c Los resultados precedentes son tambin ciertos cuando substituimos e `triangular superior' por `triangular inferior'. Veamos primero el resultado para matrices.

264


El razonamiento del apartado 6.4.2 prueba que la condicin d1 es necesaria. o Recprocamente, supongamos que A veri ca d1. Vamos a probar que enton ces A es semejante a una matriz triangular superior. Lo probaremos por induccin o sobre la dimensin n de la matriz. Para n = 1 el resultado es evidente, puesto que o toda matriz 1 1 es triangular superior. Supongamos cierto el resultado para n hiptesis de recurrencia y sea A 2 MIK n + 1 una matriz tal que pA X posee o n + 1 races en IK. Llamemos a una de estas races; es un valor propio de A y del endomor smo f 2 LIKn+1 dado por A, luego existe a1 2 IKn+1, a1 6= 0, tal que fa1 = a1 : Existen vectores a2 ; : : :; an+1 2 IKn+1 tales que a1 ; a2; : : :; an+1 es una base de IKn+1 . La matriz A0 = f; ai es A0 = Q,1A Q ; donde Q = ai ; ei , y es de la forma 2 3 01 0n 6 0 7 7 A0 = 6 .. 6 7 A1 4 . 5 0 con A1 2 MIK n. Calculando su polinomio caracterstico, que coincide con el de A, resulta pA X = pA0 X = , X detA1 , X In = , XpA1 X : El polinomio pA1 X posee entonces n races en IK. Utilizando la hiptesis de o recurrencia, existe una matriz inversible Q1 2 MIK n tal que la matriz A01 = Q,1A1 Q1 1 es triangular superior. Pongamos ahora 0 P =Q 1 Q ; 0 1 la matriz P es inversible y su inversa es ,1 = 1 0 1 Q,1 : P 0 Q, 1 Adems, a ,1A P = 1 0 1 Q,1A Q 1 0 P 0 Q1 0 Q, 1 0 = 1 Q0 1 A0 1 Q 0 1 0 , 1


265

1 0 01 0n 1 0 ,1 0 A1 0 Q1 0 Q1 1 n = 1 Q0 1 0 A1 Q1 0 , 1 1 = Q,1A Q n 0 1 1 1 1 n = 0 A01 y esta matriz es triangular superior, puesto que A01 lo es. Esto termina la recurrencia y la demostracin de b. o Utilizando b y el mismo argumento que en 6.3.4 se prueba sin di cultad el apartado a. Finalmente, si f; a1 ; a2; : : :; an es triangular superior inferior, entonces f; an ; : : :; a2; a1 es triangular inferior superior. Se obtiene as el resultado c para endomor smos. El correspondiente resultado para matrices se sigue de ste e con el mismo argumento que en 6.3.3. =

3: 2: 4: A = 4 0 1: 0 5 ,2: 0 ,3: de MIR 3 del ejemplo 6.3.11 no es diagonalizable ni en IR ni en C, pero veri ca d1; es entonces semejante en IR a una matriz triangular superior. Sus valores propios son, como vimos, 1 y ,1 el primero con multiplicidad 2; vimos tambin que e ,2; 0; 1 2 V 1 : ,2; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1 es una base de IR3 ; la matriz 2 3 ,2: 0 0 Q = 4 0 1: 0 5 1: 0 1: es inversible, con 2 3 1: 1 4 0 ,0 0 5 ; 2: 0 Q,1 = ,2: ,1: 0 ,2: y se tiene 2 3 1: ,1: ,2: A0 = Q,1A Q = 4 0 1: 0 5 : 0 1: ,1: Ponemos A1 = 1: ,0 ; 1: 1:

6.4.4 Ejemplo. La matriz

2

3

266


pA X = pA0 X = 1 , XpA1 X ; ya sabemos que los valores propios de A1 son 1 y ,1 ahora ambos con multiplicidad 1. El subespacio V 1 de IR2 , correspondiente a la matriz A1 , es V 1 = h2; 1i : 2; 1; 0; 1 es una base de IR2 ; la matriz Q1 = 2: 0 1: 1: es inversible, con 1: 0 ; ,1 = 1 Q1 2: ,1: 2: y se tiene que A01 = Q,1 A1 Q1 = 12

como

1: 0 0 5 P = Q4 0 Q1 0 2 32 3 ,2: 0 0 1: 0 0 = 4 0 1: 0 5 4 0 2: 0 5 1: 0 1: 0 1: 1: 2 3 ,2: 0 0 = 4 0 2: 0 5 : 1: 1: 1: La matriz P es inversible y 2 3 1: ,4: ,2: P ,1A P = 4 0 1: 0 5 ; 0 0 ,1: como se comprueba fcilmente. a En el tratamiento de este ejemplo hemos seguido paso a paso el desarrollo realizado en la demostracin de la proposicin anterior. De hecho se puede proceder o o de forma ms rpida si en cada paso se reduce lo ms posible el tama~o de la a a a n siguiente matriz a triangularizar. Esto es lo que haremos en el ejemplo que sigue.

Calculamos entonces

1: 0 0 ,1: :3

6.4.5 Ejemplo. Consideremos la matriz2

2: 1: 1: 2: 6 2: 1: 1: A = 6 1: 0 ,0 ,0 4 1: 1: ,2: 0 1:

3 7 7 5


267

de MIR 4. Su polinomio caracterstico pAX = X , 23 X + 2 posee races 2 con multiplicidad 3 y ,2. Es fcil comprobar que dimV 2 = 1 y que A no es diagonalizable ni en IR ni a en C; sin embargo, A es triangularizable en IR. Tenemos que 1; 1; 1; ,1 2 V 2 y 1; ,1; ,1; ,1 2 V ,2 : 1; 1; 1; ,1; 1; ,1; ,1; ,1;0; 0; 1; 0; 0; 0; 0;1 es una base de IR4 ; la matriz2

Q=6 4 es inversible, con

6

1: 1: 0 1: ,1: 0 1: ,1: 1: ,1: ,1: 02

0 0 0 1: 0 0 0 2:

3 7 7 5

16 Q,1 = 2: 6 4 y se tiene

1: 1: 0 1: ,1: 0 0 ,2: 2: 2: 0 02 6

3 7 7 5

;3 7 7 5

A0 = Q,1A Q = 6 4 Ponemos como

2: 0 0 ,2: 0 0 0 0

0 1: 1: 1: 1: ,1: 1: 3:

:

A1 = 1: ,1: ; 1: 3:

pA X = pA0 X = 2 , X,2 , XpA1 X ; el unico valor propio de A1 es 2, ahora con multiplicidad 2. Para el subespacio V 2 de IR2 , correspondiente a la matriz A1 , se tiene que 1; ,1 2 V 2 : 1; ,1; 0; 1 es una base de IR2; la matriz Q1 = ,1: 0 1: 1: es inversible, con Q,1 = 1: 0 1 1: 1:

268


y se tiene Ponemos entonces

2: A01 = Q,1 A1 Q1 = 0 ,1: : 1 2:2

P = Q42

1: 0

1:

= =

6 6 4 2 6 6 4

1: 1: 1: ,1: 1: 1: 1: ,1:

1: ,1: ,1: ,1: 1: ,1: ,1: ,1:2

0 5 Q1 32 0 0 1: 0 0 76 0 76 1: 0 5 4 0 0 1: 0 3 0 0 0 0 7: 7 1: 0 5 ,1: 1:

3

0 0 1: 0 0 1: 0 ,1:

0 0 0 1:

3 7 7 5

La matriz P es inversible y 2: 0 ,1: 1: 6 0 2: P ,1A P = 6 0 ,0 0 ,1: 4 2: 1: 0 0 0 2: como puede comprobarse.3 7 7 5

;

6.4.6 Ejercicios.Sea E un e.v. de dimensin n 6= 0, f 2 LE y a1 ; : : : ; an una base de E . Demuso e trese que la matriz f; ai es triangular superior si y slo si los subespacios o1

ha1 i ; ha1 ; a2 i ; : : : ; ha1 ; a2 ; : : : ; ar i ; : : : ; ha1 ; a2 ; : : : ; an ison todos invariantes.2

Demustrese que la matriz e"

A=

4: 1: ,4: ,3: 0 3: 3: 1: ,3:

de MIR 3 del ejercicio 6 de la seccin 6.3 es semejante en IR a una matriz triangular. o Bsquese una matriz inversible P 2 MIR3 tal que A0 = P ,1 A P sea triangular superior, u y dgase cuanto vale A0 .

6.5. Polinomios que anulan una matrizDemustrese que la matriz e2

269

1: 0 0 1: 3 A = 6 ,2:: ,0 : 1:: 2:: 7 4 1 1 2 1 5 ,1: 0 0 3: de MIR 4 no es diagonalizable ni en IR ni en C. Prubese que es triangularizable en IR y e bsquese una matriz inversible P 2 MIR 4 tal que A0 = P ,1 A P sea triangular superior, u y dgase cuanto vale A0 .

3

A = ,1:: 1:: 1 1 no es semejante a ninguna matriz triangular real. Prubese que A es semejante a una e matriz compleja A0 , triangular superior, y calclese A0 . u4 Prubese que, si A 2 MC 2, entonces es, o bien diagonalizable, o bien semejante a e una matriz de la forma 1: ;

Prubese que la matriz e

con 2 C.

6.5.1 Vamos a dedicar esta seccin a desarrollar brevemente una idea que teno dremos que utilizar en la construccin de las formas cannicas. Conviene que o o el lector recuerde lo que signi can pf y pA cuando p es un polinomio, f un endomor smo y A una matriz cuadrada v. 3.4.8 y 3.4.29. 6.5.2 Si A y A0 son matrices semejantes, o sea, si A0 = P , A P para una1

6.5 Polinomios que anulan una matriz.

matriz inversible P, y si pX es un polinomio, entonces pA y pA0 son tambin e matrices semejantes. Ms exactamente, se tiene a pA0 = P ,1pA P : La demostracin de este hecho no presenta problemas. Se procede por induccin o o v. 1.4.5 para probar que A0n = P ,1An P para todo n 2 IN, y luego se extiende el resultado a los polinomios.

6.5.3 Si pX es un polinomio y2 6

A1

3

A=6 6 4

A2

...

Ak

7 7 7 5

270


una matriz cuadrada diagonal por bloques se entiende que los bloques Ai son cuadrados, entonces 2 3 pA1 6 7 pA2 7 pA = 6 6 7: ... 4 5 pAk Esto se puede probar tambin por induccin para potencias cualesquiera de A, e o pasando luego a polinomios.

6.5.4 Sea A una matriz n n con elementos en IK IR o C. No es evidente

que A sea `raiz' de algn polinomio, esto es, que u pA = 0 para algn polinomio p 2 IK X que no sea, claro est, el polinomio 0. Sin embargo u a existen in nitos polinomios que anulan A; si pA = 0 es claro que tambis ser e a qA = 0 para todo polinomio, qX = rX pX, que sea mltiplo de p. Basta u pues encontrar un polinomio que anule A para tener una in nidad de ellos. Veamos una primera forma de probar la existencia de un polinomioque anula A. Las n2 + 1 matrices I; A; A2; : : :; An2 , constituyen un sistema ligado de Mn, puesto que la dimensin de este espacio es n2 . En consecuencia, existen escalares o 0 ; 1 ; 2; : : :; n2 , no todos nulos y tales que0

I + 1A + 2 A2 + + n2 An = 0 ;2 2

esto es, el polinomio pX = 0 + 1X + 2X 2 + + n2 X n veri ca que pA = 0. Ntese que, como los i no son todos nulos, el polinomio o pX no es idnticamente nulo. e Este resultado puede ser un punto de partida, pero en s mismo no es muy util. En primer lugar, p puede ser de grado n2 y veremos que se pueden encontrar polinomios que anulen A y tengan menor grado. Pero, adems, no sabemos cul a a es el polinomio p, ni an conociendo la matriz A. Veremos inmediatamente un u resultado que permite rebajar el grado del polinomio que anula A y calcular este polinomio. Conviene recordar que, si A y A0 son semejantes, lo son pA y pA0 para todo polinomio p. En consecuencia, dos matrices semejantes son anuladas por los mismos polinomios. Se pueden hacer idnticas consideraciones para un endomor smo f 2 LE de e un espacio E de dimensin nita. Para ello basta recordar que, si A representa a f o en una base, pA representa en la misma base a pf. Esto signi ca en particular que un endomor smo y la matriz que lo representa son anulados por los mismos polinomios.

6.5. Polinomios que anulan una matriz

2713 5

6.5.5 Ejemplo. Para la matriz

,2: 4: 5: A = 4 ,3: 5: 5:0 0 1:

2

del ejemplo 6.3.9, el lector podr comprobar que a A2 , 3A + 2 I = 0 ; o sea, pA = 0 para pX = X 2 , 3X + 2 = X , 1X , 2 : Para llegar a esta conclusin no es siquiera necesario realizar el clculo de o a A2 , 3A + 2 I. Basta recordar de 6.3.9 que A es semejante a 2 3 1: 5 ; D=4 1: 2: observar que pD = D , ID , 2 I = 0 , y utilizar el hecho de que pA y pD son semejantes. Ntese que el polinomio p es un divisor del polinomio caracterstico de A ya o que pA X = ,X , 1 pX : En consecuencia pA A = ,A , I pA = 0 : Probaremos ahora que esto es lo que ocurre para todas las matrices.

6.5.6 TEOREMA de Cayley-Hamilton 1

Toda matriz A 2 MIK n IK = IR o C es raz de su polinomio carac terstico, es decir, pA A = 0. Todo endomor smo f 2 LE, de un espacio nito-dimensional real o complejo, cumple que pf f = 0, donde pf es el polinomio caracters tico de f. La demostracin para el caso real es indirecta y se basa en el caso complejo. o Comenzaremos entonces por este ultimo, suponiendo que f es un endomor smo del espacio complejo E de dimensin n 6= 0. La prueba servir al mismo tiempo o a para el enunciado con una matriz compleja A, denotando por f en ese caso el endomor smo de Cn dado por A.

1 As llamado en honor del matemtico ingls Arthur Cayley 1821-1895 y del astrnomo y a e o matemtico irlands William Rowan Hamilton 1805-1865. a e

272


Sea pf X el polinomio caracterstico de f y 1 ; 2; : : :; n sus races no ne cesariamente distintas. Entonces pf X = ,1n X , 1 X , 2 X , n : Por lo tanto v. 3.4.8, pf f = ,1n f , 1 idE f , 2 idE f , n idE ; lo que abreviaremos, poniendo gi = f , i idE , como pf f = ,1n g1 g2 gn : Los endomor smos gi conmutan entre s, puesto que todos ellos son polinomios de f. Adems, esta conmutatividad se puede comprobar sin di cultad en este a caso concreto. Denotemos por a1 ; a2; : : :; an una base de E en la que la matriz de f sea triangular superior v. 6.4.3, o sea, 2 3 1 1 1 2 n 6 2 2 7 n 7 f; ai = 6 6 . . . ... 7 : 4 5 n Vamos a probar por induccin v. 1.4.12 que, para todo k = 1; 2; : : :; n, el o endomor smo g1 g2 gk se anula en los vectores a1 ; a2; : : :; ak . En primer lugar g1 a1 = f , 1 ida1 = fa1 , 1 a1 = 1 a1 , 1 a1 = 0 : Si ahora suponemos que g1 g2 gk con k n , 1 se anula en a1 ; a2; : : :; ak , entonces, para i = 1; 2; : : :; k , g1 gk gk+1 ai = gk+1 g1 gk ai = gk+1 0 = 0 ; mientras que para ak+1 , teniendo en cuenta que fak+1 = 1 +1a1 + + k+1ak + k k k+1 ak+1 , se tiene tambin que e g1 gk gk+1ak+1 = g1 gk f , k+1 idak+1 = g1 gk fak+1 , k+1 ak+1 = g1 gk 1 +1a1 + + k+1ak k k = 0: Esto termina la prueba por induccin. o Para k = n, lo que acabamos de ver signi ca que g1 g2 gn se anula en todos los vectores de la base a1 ; a2; : : :; an; lo mismo ocurre con el endomor smo pf f = ,1n g1 g2 gn , que, por lo tanto, es nulo. O sea, pf f = 0. Si A es una matriz compleja n n y f es el endomor smo de Cn dado por A, se tiene que pA f = pf f = 0, luego pA A = 0. Ocupmonos ahora del caso real. Si A es una matriz real n n, es tambin una e e matriz compleja y, por lo tanto, pA A = 0. Finalmente, si f es un endomor smo de un espacio real E y A es la matriz de f en una base cualquiera, tenemos que pf A = pA A = 0, luego pf f = 0.


273

6.5.7 Obsrvese que, en el caso real, pA y pf son polinomios con coe cientes e

reales. Lo que impide hacer en el caso real la misma demostracin directa del caso o complejo es que pA y pf pueden no admitir una descomposicin o pf X = ,1n X , 1 X , 2 X , n con nmeros i reales, porque son polinomios que pueden tener races complejas u no reales.

6.5.8 Al margen de la utilizacin que muy pronto haremos del teorema preceo dente, existen algunas aplicaciones inmediatas que es interesante citar. Si A es una matriz n n, pA A = 0, o sea, ,1n An + ,1n, tr A An, + + det A I = 0 :1 1

De la igualdad anterior se puede despejar An , con lo que se obtiene An como un polinomio de A de grado igual o menor a n , 1. Lo mismo se puede hacer a continuacin con las potencias An+1 ; An+2; : : : o Resulta as que cualquier potencia de A y, ms generalmente, cualquier poli a nomio de A coincide con un polinomio de A de grado igual o menor que n , 1.

6.5.9 Ejemplo. La matriz

A = ,5: ,4: 2: 1: tiene por polinomio caracterstico pA X = X 2 , 4X + 3 luego A2 , 4A + 3 I = 0 y A2 = 4A , 3 I : En consecuencia, cualquier potencia de A es de la forma An = n A + n I : Por ejemplo, A3 = A2A = 4A , 3 IA = 4A2 , 3A = 44A , 3 I , 3A = 13A , 12 I : Es fcil obtener una relacin de recurrencia entre los coe cientes n y n y los a o y n+1 . Como n+1 An+1 = AnA = nA + n IA = nA2 + n A = n4A , 3 I + n A = 4 n + n A , 3 n I ;

274

6. Diagonalizacin de endomor smos y matrices on+1 = 4 n + n

resulta que

y n+1 = ,3 n : Sabemos adems que 0 = 0, 0 = 1, 1 = 1 y 1 = 0. Se puede probar fcilmente a a por induccin que, para todo n, o ,3n + 3 : 3n , 1 y n= 2 n= 2 Por lo tanto, para todo n 2 IN, n, n An = 3 2 1 A + ,3 2+ 3 I ; o sea, n, 3n , An = 2 3n + 11 2 33n + 22 : , ,

6.5.10 Supongamos ahora que A es una matriz n n inversible; denotemos por pA X = n X n + n, X n, + + X + el polinomio caracterstico de A. Sabemos que nAn + n, An, + + A + I = 0 :1 1 1 0

Multiplicando por A,1 obtenemos n An,1 + n,1An,2 + + y, como0

1

1

1

0

1

= det A 6= 0, podemos despejar A,1 A,1 = , 1 An,1 + An,2 + +0

I + 0A,1 = 01

n

n,1

I :

Resulta as la inversa de A como un polinomio de A de grado n , 1. 2: 2: 1: A = 4 4: 4: 1: 5 1: 0 0 es la misma que en el ejemplo 3.4.36 el polinomio caracterstico vale pA X = ,X 3 + 6X 2 + X , 2 ; luego ,A3 + 6A2 + A , 2 I = 0 ; ,A2 + 6A + I , 2A,1 = 0 ; y, por tanto, A,1 = 1 ,A2 + 6A + I : 2 Se puede comprobar que, efectivamente, se obtiene as la inversa que ya fue calcu lada en 3.4.36.

6.5.11 Ejemplo. Para la matriz

2

3


275

6.5.12 Sea A una matriz n n. El polinomio caracterstico pAX anula A,

pero puede no ser el polinomio de menor grado que lo hace. Por ejemplo, si A es diagonalizable y tiene valores propios repetidos se produce esta situacin. Es lo que ocurre con la matriz de los ejemplos 6.3.9 y 6.5.5. Su o polinomio caracterstico es pA X = ,X 3 + 4X 2 , 5X + 2 = 1 , X2 2 , X y pA anula A, pero tambin anula A el polinomio e pX = X 2 , 3X + 2 = 1 , X2 , X ; como ya vimos. La descripcin de los polinomios que anulan una matriz cuadrada A se puede o resumir en los dos puntos siguientes: | Existe un unico polinomio salvo multiplicacin por constantes de o entre los que anulan A que posee grado mnimo. Se denomina polinomio minimal de A. | Los polinomios que anulan A son exactamente los mltiplos del u polinomio minimal. A pesar de que no es particularmente difcil, no nos detendremos en justi car estas a rmaciones, ya que no vamos a utilizarlas en el posterior desarrollo del tema. Naturalmente, si pX es un polinomio minimal de A, tambin lo es pX e para cualquier 6= 0. A veces se acuerda tomar como polinomio minimal el que tiene coe ciente 1 en el trmino de mayor grado, pero, generalmente, la expresin e o `polinomio minimal' sirve para designar a cualquiera de ellos. Dos matrices semejantes poseen el mismo polinomio minimal, puesto que son anuladas por los mismos polinomios v. 6.5.2. Como el polinomio caracterstico anula la matriz, resulta que es un mltiplo u del polinomio minimal coincidente a veces con l. e El principal inconveniente del polinomio minimal es la inexistencia de un me todo sencillo y general para el clculo de este polinomio, al contrario de lo que a ocurre con el polinomio caracterstico. En los casos sencillos se puede encontrar por tanteo, sabiendo que divide al polinomio caracterstico y que posee sus mismas races vase el ejercicio 14 de la e seccin 6.1. Es decir, si el polinomio caracterstico de A es o pA X = 1 , Xk1 2 , Xk2 p , Xkp con 1 ; 2; : : :; p distintos, entonces el polinomio minimal de A es de la forma pX = 1 , Xl1 2 , Xl2 p , Xlp con 1 li ki .

276


6.5.13 Ejemplo. La matriz de los ejemplos 6.3.9 y 6.5.5 tiene por polinomiocaracterstico pA X = ,X 3 + 4X 2 , 5X + 2 = 1 , X2 2 , X ; luego el polinomio minimal es o bien pA X o bien pX = 1 , X2 , X. Como ya hemos comprobado, este ultimo anula A, luego es el polinomio minimal de A.

6.5.14 Ejercicios.1

Siendo pX un polinomio y

B M= A D 0

una matriz cuadrada triangular por bloques, con bloques A y D cuadrados, comprubese e que la matriz pM tiene la forma

A B0 pM = p0 pD :2

Bsquese una frmula que proporciones las sucesivas potencias de la matriz u o

A = ,2:: ,2:: 2 3en funcin de las matrices A e I . o3

Utilcese el procedimiento basado en el teorema de Cayley-Hamilton v. 6.5.10 para calcular la inversa de la matriz " 4: 2: 5: 2: 2: ,1: : 0 ,1: 4: a Calclese el polinomio minimal de una matriz diagonal arbitraria. Vase tambin u e e el ejercicio 13 de la seccin 6.6. o b Bsquense dos matrices que posean el mismo polinomio minimal y no sean semeu jantes.4 5

Calclese el polinomio minimal de la matriz n n u2 6 6 6 6 6 4

1 . ..

3 7 7 7 7 7 5

... ...

:

1

Vase tambin el ejercicio 13 de la seccin 6.6. e e o

6.6. Forma cannica de endomor smos y matrices o

277

6.6 Forma cannica de endomor smos y matrices. o6.6.1 Lo que pretendemos en esta seccin es conseguir representar los endomorosmos mediante matrices diagonales por bloques2 6

A1

3

A=6 6 4

A2

...

Ap3 7 7 7 7 7 7 5

7 7 7 5

;

en las que cada bloque diagonal tenga la forma2 6 6 6 6 6 6 4

1 ... ... ... 1

:

Una matriz diagonal por bloques con bloques de este tipo se llama matriz de Jordan 2 . Las matrices de la forma2 6 6 6 6 6 6 4

1 ... ... ... 1

3 7 7 7 7 7 7 5

se denominan cajas elementales de Jordan. As pues, lo que llamaremos matriz de Jordan es una matriz diagonal por bloques cuyos bloques diagonales sean cajas elementales. En 6.1.3 vimos un ejemplo de matriz de Jordan con dos cajas elementales en la diagonal. Ntese que una matriz de Jordan es triangular superior. Adems los unicos o a elementos que pueden no ser nulos son los diagonales y los de la superdiagonal los j con i = j + 1; estos ultimos sern 1 o 0 segn correspondan al interior de a u i una caja elemental o a la separacin entre dos de estas cajas. Como las matrices o de Jordan son triangulares, sus elementos diagonales sern los valores propios de a la matriz. Ya vimos en 6.1.2 la idea esencial para conseguir matrices diagonales por bloques; estudiaremos ahora la forma de conseguir que los bloques diagonales sean cajas elementales de Jordan.2 del ingeniero francs Camille Jordan 1838-1921. e

278


6.6.2 Concentremos nuestra atencin en una caja elemental con diagonal nula, o es decir en una matriz n n de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 ... 6 7 6 ... ... 7 : A=6 7 6 7 4 0 15 0 Si f es un endomor smo que se representa por esta matriz, entonces f n = 0, o sea An = 0. En efecto, si f; ai = A, fa1 = 0 ; fa2 = a1 ; : : :; fan = an,1 ; luego fa1 = 0 ; f 2 a2 = 0 ; : : :; f n an = 0 ; y, en consecuencia, f n ai = 0 ; i = 1; 2; : : :; n : Por lo tanto f n = 0. Ntese que la base a1; : : :; an en la que f; ai = A es una base formada por o las imgenes sucesivas a f n,1 an ; : : :; f 2an ; fan ; an ; del vector an. 6.6.3 DEFINICION. Sea E un e.v. sobre IK y f 2 LE; decimos que f es un endomor smo nilpotente cuando f p = 0 para algn p 2 IN. Obviamente, si u f p = 0, entonces f p = f p = = 0. Si f es nilpotente, existe un unico p 2 IN tal que f p, = 0 y f p = 0 ; 6+1 +2 1

se dice entonces que f es nilpotente de orden p. Si f k = 0, el orden de f es igual o menor que k. Si A es una matriz cuadrada y Ap = 0 para algn p 2 IN, se dice que A es una u matriz nilpotente. Si p es tal que Ap,1 6= 0 y Ap = 0 ; se dice que A es nilpotente de orden p. Cuando A representa a f en alguna base, Ak representa en la misma base a f k , luego f es nilpotente si y slo si lo es A, y, en ese caso, lo son del mismo orden. o todo endomor smo representado por una matriz de ese tipo es nilpotente; y no es difcil ver que lo es de orden n v. 6.6.24. La a rmacin ms o menos recproca de sta ser el primer resultado imporo a e a tante de esta seccin v. 6.6.8. Vamos a anteponer algunos resultados sencillos o que tendremos que utilizar.

6.6.4 Hemos visto en 6.6.2 que toda caja elemental n n de diagonal nula y


279

6.6.5 PROPOSICIONSi f 2 LE, x 2 E, f k,1 x 6= 0 y f k x = 0, el sistema x; fx; : : :; f k,1x es libre. En efecto, los vectores x; fx; : : :; f k,1x son no nulos y si x + 1fx + + k,1f k,1 x = 0 ; aplicando sucesivamente f k,1; f k,2 ; : : :; f a ambos miembros de la igualdad, se obtiene que 0 = 0, 1 = 0, etc.0

6.6.6 PROPOSICIONSi f 2 LE, entonces

f0g = Ker f 0 Ker f Ker f 2 y E = Imf 0 Imf Imf 2

La demostracin es un ejercicio sencillo. Para Ker f 0 e Imf 0 , recurdese que o e f 0 = idE .

6.6.7 Si f es nilpotente de orden p se tiene adems a Ker f p, 6 Ker f p = E = Ker f p = Ker f p = 1 +1 +2

y

Imf p,1 6 Imf p = f0g = Imf p+1 = Imf p+2 =

6.6.8 Obtencin de la matriz de Jordan de un endomor smo nilpotente. o Sea E un espacio de dimensin n = 0 y f 2 LE un endomor smo nilpotente o 6de orden p. Pongamos Ki = Ker f i , i = 0; 1; : : :; p; sabemos que Los nmeros ni = dimKi , i = 0; 1; : : :; p veri can que u 0 = n0 n1 n2 np,1 np = n ;

f0g = K0 K1 K2 Kp,1 Kp = E :

280


sus diferencias di = ni , ni,1 , i = 1; : : :; p , cumplen d1 + d2 + + dp = n . Ntese que d1 = n1 . Por otra parte, como f p,1 6= 0, Kp,1 6= E y np,1 n, luego o dp 1 . Consideremos un suplementario, Gp , de Kp,1 en Kp = E, o sea, E = Kp = Gp Kp,1 ; Gp ser de dimensin dp . Tomemos una base a1; : : :; adp de Gp . Los vectores a o fa1 ; : : :; fadp pertenecen a Kp,1 , forman un sistema libre y hfa1 ; : : :; fadp i Kp,2 = f0g : La primera a rmacin se comprueba sin di cultad. Para la segunda, supongamos o que 1 fa1 + + dp fadp = 0 ; entonces f p,1 1a1 + + dp adp = f p,2 1fa1 + + dp fadp = f p,2 0 = 0 ; luego 1a1 + + dp adp 2 Kp,1 y entonces 1a1 + + dp adp = 0 , lo que signi ca que 1 = = dp = 0 . Para probar la tercera de las a rmaciones, supongamos que 1 fa1 + + dp fadp = x 2 Kp,2 ; se obtiene como en el caso anterior que f p,1 1 a1 + + dp adp = 0 y que 1 = = dp = 0 , lo que signi ca que x = 0. Consideremos ahora el subespacio hfa1 ; : : :; fadp i Kp,2 de Kp,1 ; ntese o que forzosamente dp + np,2 np,1 , o sea, dp dp,1 . Denotemos por Gp,1 un suplementario en Kp,1 de dicho subespacio, es decir Kp,1 = Gp,1 hfa1 ; : : :; fadp i Kp,2 : Ahora es posible que Gp,1 = f0g, si es que dp = dp,1 . Tomemos una base adp +1 ; : : :; adp,1 de Gp,1 , que estar formada por dp,1 , dp vectores. Los veca tores f 2 a1 ; : : :; f 2 adp ; fadp +1 ; : : :; fadp,1 pertenecen a Kp,2 , forman un sistema libre y hf 2 a1 ; : : :; fadp,1 i Kp,3 = f0g : La comprobacin de estos hechos es muy parecida a la que hemos detallado ms o a arriba.


281

El proceso contina de la misma manera hasta que se obtiene el ultimo supleu mentario G1 , K1 = G1 hf p,1 a1 ; : : :; fad2 i recurdese que K0 = f0g, suplementario que tendr dimensin d1 , d2 . Se elige e a o nalmente una base ad2 +1 ; : : :; ad1 de G1 . Consideremos ahora los dp + dp,1 + + d2 + d1 = n vectores que hemos ido obteniendo a1 adp fa1 fadp adp +1 adp,1 .. .. .. .. . . . . f p,2 a1 f p,2 adp f p,3 adp +1 f p,3 adp,1 ad2 f p,1 a1 f p,1 adp f p,2 adp +1 f p,2 adp,1 fad2 ad2 +1 ad1 organizados en p las y en d1 = n1 columnas. En cada columna gura un vector y sus imgenes sucesivas; ntese que, en cada caso, la imagen del vector por la a o siguiente potencia de f ya es nula. El nmero de columnas de las diferentes alturas u es dp ; dp,1 ,dp ; : : :; d1 ,d2 ; sabemos que dp 1, pero las otras cantidades pueden ser nulas todas ellas. En este conjunto de n vectores, la ultima la constituye una base de K1 ; al reunirla con la penltima se obtiene una base de K2 , y as sucesivamente. La u reunin de todas ellas forma una base de Kp = E. o Los vectores ai ; fai ; f 2 ai ; : : :; f k ai, de una misma columna, forman una base de un subespacio que es invariante para f. Si se considera la restriccin de f o a este subespacio, y la base formada por los vectores de la columna en el orden f k ai ; : : :; f 2 ai ; fai ; ai ; la matriz en esta base es una caja elemental de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 ... 6 7 6 ... ... 7 : 6 7 6 7 4 0 15 0 En consecuencia, si se toma la base de E que hemos obtenido, en el orden f p,1 a1; : : :; fa1 ; a1 ; : : :; fad2 ; ad2 ; ad2 +1 ; : : :; ad1 ; la matriz del endomor smo nilpotente f resulta ser 2 3 A1 6 7 ... 4 5; Ad1

282


diagonal por bloques, con bloques diagonales de tama~o decreciente que son cajas n elementales con ceros en la diagonal. Ntese que la base puede ser costosa de obtener, pero el nmero de las cajas o u y los tama~os de las cajas resultan de un simple estudio de los rangos de las n potencias de f, que proporcionan las dimensiones ni y las diferencias di.

6.6.9 Ejemplo. El endomor smo f de IR 2 ,1: 1: 6 ,1: 0 A = 6 ,1: 0 4 ,1: 0

4

dado por la matriz 3 0 0 1: 0 7 7 1: 0 5 1: 0

es nilpotente de orden 3, ya que se tiene que 2 3 0 ,1: 1: 0 6 7 A2 = 6 0 ,1: 1: 0 7 4 0 ,1: 1: 0 5 0 ,1: 1: 0 y que A3 = 0. Como rg A = 2 y rg A2 = 1, tenemos utilizando las notaciones del apartado precedente que n0 = 0 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 4 d1 = 2 d2 = 1 d3 = 1 : La base de IR4 que buscamos tendr la estructura a a1 fa1 f 2 a1 a2 ; y al ordenarla como f 2 a1 ; fa1 ; a1; a2 la matriz de f es esta base ser a 2 3 0 1 6 7 0 1 6 7 6 7 : 4 5 0 0 Busquemos ahora los vectores a1 y a2 apropiados. K2 = Ker f 2 es el subespacio de dimensin 3 o K2 = fx; y; z; t 2 IR4 j , y + z = 0g : Basta tomar como a1 cualquier vector no nulo que no pertenezca a K2 , ya que entonces IR4 = ha1i K2 :


283

Tomaremos, por ejemplo, Este vector tiene por imagen

a1 = 0; 1; 0; 0 : fa1 = 1; 0; 0; 0 :

K1 = Ker f es el subespacio de dimensin 2 con ecuacin o o

,x + y =0 ,x +z=0:En este nivel no hay que escoger ningn vector ya que u K2 = hfa1 i K1 ; como sabemos por el estudio de las dimensiones, aunque el lector puede comprobar directamente este hecho. La columna se completa con el vector f 2 a1 = ffa1 = ,1; ,1; ,1; ,1 : El vector a2 es cualquier vector que forme con f 2 a1 una base de K1 . Tomaremos, por ejemplo, a2 = 0; 0; 0; 1 : En la base ,1; ,1; ,1; ,1; 1; 0; 0;0; 0; 1;0; 0; 0;0; 0; 1 el endomor smo f tendr la matriz que hemos descrito antes. El lector podr a a comprobar que, para 2 3 ,1 1: 0 0 6 7 1: P = 6 ,1 0 0 0 7 ; 4 ,1 0 0 5 ,1 0 0 1: se tiene que 2 3 0 1 6 7 7 P ,1A P = 6 0 1 6 7 : 4 5 0 0

6.6.10 Obtencin de la matriz de Jordan de un endomor smo con un slo o o valor propio de multiplicidad igual a la dimensin del espacio. o o Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensin n 6= 0 y f 2 LE un endomorsmo. Supondremos que f posee un solo valor propio 2 IK de multiplicidad n. El polinomio caracterstico de f es entonces

pf X = ,1n X , n :

284


De acuerdo con el teorema de Cayley-Hamilton se tiene que pf f = 0, o sea, f , idE n = 0 : El endomor smo g = f , idE es nilpotente de orden igual o menor que n. El mtodo que hemos explicado en 6.6.8 permite entonces obtener una base e a1 ; : : :; an en la que la matriz de g es diagonal por bloques 2 3 A1 7 ... g; ai = 6 4 5; Ap con bloques diagonales Ai de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 ... 6 7 6 ... ... 7 : 6 7 6 7 4 0 15 0 Como f = g + idE , es inmediato comprobar que la matriz de f en la misma base es diagonal por bloques, 2 3 B1 7 ... f; ai = 6 4 5; Bp con bloques diagonales Bi de la forma 2 3 1 6 7 6 7 ... 6 7 6 ... ... 7 : 6 7 6 7 4 15 La matriz f; ai es pues una matriz de Jordan.

6.6.11 Ejemplo. El endomor smo f de IR dado por la matriz4

0 1: 0 0 6 ,1: 1: 1: 0 A = 6 ,1: 0 2: 0 4 ,1: 0 1: 1: tiene como polinomio caracterstico pf X = X , 14 ;

2

3 7 7 5


285

luego un solo valor propio, 1, de multiplicidad 4. El endomor smo g = f , id viene dado por la matriz

,1: 6 ,1: 6 B = 4 ,1: ,1:

2

1: 0 0 0

0 1: 1: 1:

0 0 0 0

3 7 7 5

;

o sea, es el mismo endomor smo nilpotente que fue estudiado en el ejemplo 6.6.9. Para la base ,1; ,1; ,1; ,1; 1; 0; 0;0; 0; 1;0; 0; 0;0; 0; 1 de IR4, la matriz de g es2 6 6 6 4

0 luego la matriz de f = g + id en esa misma base es2 6 6 6 4

0 1 0 1 0

3 7 7 7 5

;

1 1 1 1 1

3 7 7 7 5

:

1

6.6.12 Nos queda por ver lo que ocurre en el caso general. Para ello necesitamos un resultado esencial, que es el que presentamos en 6.6.14. Sea E un espacio sobre IK de dimensin n 6= 0 y f 2 LE un endomor smo. o Supongamos que pf X posee n races en IK, iguales o distintas. Denotemos por 1 ; : : :; p 2 IK las races de pf y por k1; : : :; kp sus multiplicidades, que sumarn a k1 + + kp = n . Si V 1 ; : : :; V p son los correspondientes subespacios propios, la suma directa v. 6.1.16 V 1 V p puede ser todo E cuando f es diagonalizable v. 6.3.6 pero, cuando f no es diagonalizable, es un subespacio diferente de E. Lo que se puede hacer es substituir cada subespacio propio V i , que es Kerf , i idE , por alguno de los ncleos Kerf , i idE r , que son mayores u v. 6.6.6; se suele dar el nombre de subespacios propios generalizados a estos ncleos. Veremos que los que sirven son justamente los uFi = Kerf , i idE ki ; donde el exponente ki es la multiplicidad de i como raz.

286


Comenzaremos por algn resultado sencillo, para terminar probando la propou sicin 6.6.14, que es el resultado de demostracin ms difcil de entre los que se o o a proponen en esta seccin. o Los subespacios generalizados, Kerf , i idE r , son invariantes para f. En efecto, si x 2 Kerf , i idr , entonces, teniendo en cuenta que f y f , i id conmutan, resulta para fx que f , i idr fx = f , i idr fx = f f , i idr x = f0 = 0 ; por lo que fx 2 Kerf , i idr . El resultado que anunciamos ahora es una generalizacin de 6.2.13. o

6.6.13 PROPOSICIONSea E un e.v. sobre IK de dimensin n 6= 0, f 2 LE; sea 2 IK o un valor propio de f. Denotemos por k el orden de multiplicidad de como raz de pf X. Si r 2 IN, entonces el subespacio Kerf , idE r veri ca que 1 dimKerf , idE r k : Pongamos F = Kerf , idr . Como V = Kerf , id Kerf , idr = F y es un valor propio, F 6= f0g y dimF 1. Denotemos por h la dimensin de F; vamos a probar que h k. El endoo mor smo inducido por f en F veri ca que f , idr = 0, a causa de la propia de nicin de F. Si g es el endomor smo de F dado por g = f , id , g es nilpotente o y existe una base a1; : : :; ah de F tal que2 6 6 6 6 6 6 4

0

3

g; a1 ; : : :; ah =

0 ... ... ... 0

1

h,1

0

7 7 7 7 7 7 5

;

donde los i valen 0 o 1. Para esta misma base, 2 1 6 . 6 .. 6 ... ... f; a1 ; : : :; ah = 6 6 6 4

3 7 7 7 7 7 7 5

:

h,1


287

Completemos a1 ; : : :; ah hasta formar una base a1 ; : : :; ah ; : : :; an de E. La matriz de f en esta base de E es de la forma 2 3 1 6 7 6 7 ... 6 7 6 ... ... A0 7 ; 6 7 6 7 6 7 h,1 6 7 4 5 00 0 A por lo que, siguiendo el mismo razonamiento que en 6.2.13, pf X = , Xh qX ; lo que demuestra que k multiplicidad de la raz es igual o mayor que h.

6.6.14 PROPOSICIONSea E un e.v. sobre IK IR o C de dimensin n 6= 0 y f 2 LE. o Supongamos que el polinomio caracterstico pf X posee n races en IK, iguales o distintas. Denotemos por 1; : : :; p las races diferentes de pf X y por k1; : : :; kp sus multiplicidades. Pongamos Fi = Kerf , i idE ki ; i = 1; : : :; p : Entonces se tiene que dimFi = ki ; i = 1; : : :; p y que los subespacios F1 ; : : :; Fp son invariantes y veri can E = F1 Fp : El polinomio caracterstico de f ser a pf X = ,1n X , 1k1 X , p kp ; y el teorema de Cayley-Hamilton nos garantiza que pf f = 0. Recordemos la conmutatividad entre dos polinomios cualesquiera del endomorsmo f v. 3.4.8; tendremos que utilizarla varias veces a lo largo de la demostracin. o Denotemos por pi X los polinomios ,1n f pi X = X ,p X ; i = 1; : : :; p ; i ki

288


resultantes de suprimir el factor X , i ki en el polinomio caracterstico. Se tiene para todo i = 1; : : :; p que X , i ki pi X = ,1n pf X ; luego f , i idki pi f = 0 : Observemos tambin que, si x 2 Fi = Kerf , i idki , entonces e

1

2 pj fx = 0 ; para j 6= i ; ya que pj f = qf f , i idki , donde q es un polinomio.

Como 1 ; : : :; p son diferentes, los polinomios p1 X; : : :; ppX son primos entre s v. 1.13.14; en consecuencia, existen polinomios q1X; : : :; qp X tales que q1Xp1 X + + qp Xpp X = 1 : Resulta as que

3

q1f p1 f + + qpf pp f = idE : E = F1 + + Fp :

Comencemos por probar que Sea x 2 E. Por la igualdad 3 x = q1f p1fx + + qp f pp fx = x1 + + xp ; donde hemos puesto xi = qif pi fx ; i = 1; : : :; p : La imagen de xi por f , i idki vale f , i idki xi = = = f , i idki qif pi fx qif f , i idki pi fx 0;

como consecuencia de 1. As pues xi 2 Kerf , i idki = Fi : Esto demuestra que la suma de los subespacios Fi es E. Para probar que la suma es directa bastar con que mostremos que si a 0 = x1 + + xp


289

con x1 2 F1 ; : : :; xp 2 Fp , necesariamente x1 = = xp = 0. Veamos que eso es lo que ocurre efectivamente. Tomemos uno cualquiera de los xi y apliquemos el endomor smo pi f a la igualdad 0 = x1 + + xp ; el resultado es 0 = pifx1 + + pi fxi + + pi fxp y, utilizando 2 y la igualdad precedente, se obtiene que 0 = pi fxi : Utilizando ahora 3, xi = q1f p1 fxi + + qi f pi fxi + + qpf pp fxi = 0 ; puesto que todos los trminos son 0 a consecuencia de 2 y de la igualdad que e acabamos de obtener. Por lo tanto, la suma es directa. Ya hemos visto en 6.6.12 que los subespacios Fi son invariantes. Las dimensiones de los Fi veri can dimF1 + + dimFp = n ; adems dimFi ki para todo i, y, por hiptesis, k1 + +kp = n. En consecuencia a o debe ser dimFi = ki para todo i.

de hecho es algo que sucede con frecuencia.

6.6.15 El que la dimensin de Kerf , i idki coincida con el orden ki de o multiplicidad de i signi ca que Fi es el mayor de todos los subespacios propios generalizados Kerf , i idr . Por lo tanto no se puede aumentar el subespacio aumentando la potencia r por encima de la multiplicidad de i . Por otra parte, es posible que Fi se obtenga como Kerf , i idr para r ki ;

6.6.16 Obtencin de la matriz de Jordan de un endomor smo caso o general. Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensin n 6= 0 y f 2 LE un o endomor smo. Supongamos que el polinomio caracterstico pf X posee n races en IK, iguales o distintas. Denotemos por 1 ; : : :; p las races diferentes de pf X y por k1; : : :; kp sus multiplicidades. Hemos visto que los subespacios Fi = Kerf , i idE ki ; i = 1; : : :; p ; son invariantes, de dimensin ki , y E = F1 Fp . o Eligiendo una base de E que sea reunin de bases de los subespacios Fi , obteo nemos para f una matriz diagonal por bloques, 2 3 A1 7 ... A=6 4 5; Ap

290


donde cada bloque Ai es la matriz del endomor smo que f induce en Fi . Ahora bien, en cada subespacio Fi podemos emplear el procedimiento de 6.6.8 para el endomor smo g = f , i id , que es nilpotente ya que gki = 0 sobre Fi . Obtendremos as una base de Fi en la que la matriz de g ser una matriz de Jordan a con 0 en la diagonal, mientras que la matriz de f ser igual pero con el valor i a en la diagonal. Si son stas las bases que se renen, cada uno de los bloques Ai es una matriz e u de Jordan con el valor i en todos los lugares de la diagonal, 2 3 i 1 6 7 6 7 i . . . 6 7 6 7 ... ... 6 7 6 7 A=6 7 : i 1 6 7 6 7 i 6 7 6 7 ... 4 5 i Por lo tanto, la matriz A ser una matriz de Jordan con los valores 1 ; : : :; p en a la diagonal. Hemos obtenido as el resultado que enunciamos seguidamente:

6.6.17 TEOREMAa Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensin n 6= 0 y f 2 LE. o Para que exista una base a1 ; : : :; an de E en la que la matriz f; ai sea una matriz de Jordan es condicin necesaria y su ciente que se o veri que d1 pf X posee n races en IK, iguales o distintas, propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. b Sea A 2 MIK n IK = IR o C. Para que A sea semejante a una matriz de Jordan es condicin necesaria y su ciente que se veri que o d1 pAX posee n races en IK, iguales o distintas, propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. Toda matriz cuadrada compleja es semejante a una matriz de Jordan. a Ya hemos visto que la con

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Algebra Lineal ( Jesus Rojo )