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7/23/2019 Algebra Lineal 5. Determinantes
1/21
DETERMINANTES
DEFINICIN 1. Determinante de 3 x 3. Sea A = . Entonces
det A = A = a11 a22 a23 - a12 a21 a23 a13 a21 a22a32 a 33 a31 a 33 a31 a32
E!EM"#$ 1 . C%&c'&o de 'n determinante de 3x3. Sea A = . Ca&c'&e A .
3 ( 2A = ) 2 3 = 3 2 3 - ( ) 3 2 ) 2 = 3*2 -(*1+ 2*1, = -+ -1 2 ) 2 ) -1 ) -1 2
E!EM"#$ 2. C%&c'&o de 'n determinante de 3x3. Ca&c'&e A 2 -3 ( 1 , ) 3 -3 +
2 -3 (1 , ) = 2 , ) --3/ 1 ) ( 1 , = 2*12 3-3/ (-3/ = ,3 -3 + -3 + 3 + 3 -3
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a 33
3 (2
) 23-1 2
)
1
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DETERMINANTES
Existe otro m0todo ara ca&c'&ar determinantes de 3 x 3. Se escrie A se &e ad4'ntans's rimeras dos co&'mnas5
a11 a12 a13 a11 a12 Des'0s se ca&c'&an &os seis rod'ctos6 oniendo si7nomenos antes de &os
a21 a22 a23 a21 a22 rod'ctos con 8ec9a 9acia arria6 se s'man todos.
a31 a32 a 33 a31 a32
E!EM"#$ 3. C%&c'&o de 'n determinante de 3x3 'sando e& n'e:o m0todo. Ca&c'&e 3 (
2 'sando e&
n'e:o m0todo.) 2 3
-1 2 )A& escriir 3 ( 2 3 ( m'&ti&icar como indican &as 8ec9as se otiene ) 2 3 ) 2 -1 2 ) -1 2 A = 3/2/)/ (/3/-1/ 2/)/2/ - -1/2/2/ -
)/)/(/ == 2)-1(1)-1;- ;, = - +
N$TA5 ESTE MET$D$ N$ F de 3 x 3. Sea A = .
- - -
2 -1 ), 1
( 3
-)
2
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DETERMINANTES
E&iminando e& rimer ren7&@n &a tercera co&'mna de A se otiene M13 = . De manerasimi&ar6 si se
e&imina e& tercer ren7&@n &a se7'nda co&'mna se otiene M32 =
EJEMPLO 5. C%&c'&o de dos menores de 'na matri> de )x ). Sea A = .Enc'entre M32 M2).
M32 = M2) =
DEFINICIN. Cofactor. Se A 'na matri> de n x n. E& coactor i4 de A6 denotado or Ai46 est%dado or
Aij = (-1)i + j Mij
EJEMPLO 6. C%&c'&o de dos coactores de 'na matri> de )x ). En e& e4em&o ( se tiene
A 32= -1/ 32B M32B = - 1 ( = - ; A2) = -1/ 2)B M2)B = 1 -3 ( = -1+2
! " 1 5 # $ % $ !
, 1 3
2 ), (
1 -3 (
2 ) ,3
1 ( +-2
) , 2
1 (
2 ,
3) 2
1 -3(
1 (
+) ,2
3
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DETERMINANTES
DEFINICIN $. D&t&r'iat& . Sea A 'na matri> de n x n. Entonces e&determinante de A6 denotado or det A o BAB6 est% dado or
D&t A = *A* = a11A11+ a1A1+ a1"A1"+ + a1A1
EJEMPLO %. C%&c'&o de& determinante de 'na matri> de )x ). Ca&c'&e det A6 donde A =
= 1 -" + 5
-
= 1(-#) , "(-%!) + 5() , (-16) = 16!
DEFINICIN 5. Matri tria/0ar. a 'atri c/a2ra2a 3& 00a'a tria/0ar3/4&rior 3i to2o3 3/3 co'4o&t&3 2&ajo 2& 0a 2iaoa0 3o c&ro. E3 /a'atri tria/0ar if&rior 3i to2o3 3/3 co'4o&t&3 arria 2& 0a 2iaoa03o c&ro. a 'atri 3& 00a'a 2iaoa0 3i to2o3 0o3 &0&'&to3 /& o &3t73or& 0a 2iaoa0 3o c&ro.
1 3 (
2, -1 3)
2 1 +
3 2 );
1 3 (2
, -1 3)
2 1 +
3 2 );
-1 3)
1 +
2 );
, 3
) 2 +
3 );
, -1
) 2 1
3 2;
, -1
3 2 1+
3 2)
)
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DETERMINANTES
E!EM"#$ ;. Seis matrices trian7'&ares. #as matrices A = =son trian7'&ares s'eriores
C = D = son trian7'&ares ineriores I &a matri> identidad/ E = son
dia7oan&es
TE$REMA 1. Sea A = aij ) /a 'atri 2& tria/0ar 3/4&rior o if&rior.Etoc&3 2&t A = a11aa""a
E3to &38 &0 2&t&r'iat& 2& /a 'atri tria/0ar &3 i/a0 a0 4ro2/cto 2& 3/3co'4o&t&3 & 0a 2iaoa0.
EJEMPLO 1!. D&t&r'iat&3 2& 3&i3 'atric&3 tria/0ar&3. Lo3 2&t&r'iat&3
2& 0a3 3&i3 'atric&3 tria/0ar&3 & &0 &j&'40o 9 3o *A* = ::1 = $; *
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"R$#EMAS 2.1
En &os ro&emas 1 a& 1, ca&c'&e e& determinante.1. 2. 3.
).
(. . .;.
+. 1,.
1 ,
3 , 1
) 2 1
,
-1 1
, 2 1
) 1 (
3 -1
) 3(
2 -1
-1 ,
, 2)
1 2-3
-2 31
) (
, 21
-1 1,
2 1) 1 (
2 , 31
, 1 )2, , 1
(1 2 3
,
-3 , ,,
-) ,,( ; -1
,2 3 ,
-2 , ,
1 2 -1)
3 , -1() 2 3
,
2 3 -1 )(
, 1 ;2
, , ) -1(
, , , -2;
, , , ,
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTES
EO>EMA 1. Sean A dos matrices de n x n. Entonces5 2&t A< = 2&t A2&t EMA $. 2&t At= 2&t AEO>EMA 5. Se 'ede ca&c'&ar det A or coactores en c'a&G'ier ren7&@n o co&'mna de A.EJEMPLO 1. I0/3traciB 2& 2&t A< = 2&tA 2&t
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTES
A = det A= )A21 2A22 3A23 = )-1/21 2-1/22 3-1/23
det A = -)1/ 21)/ ? 311/ = - + SEJ
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTES
P>OPIEDAD ". S'on7a G'e A6 C son id0nticas exceto or &a co&'mna 4 G'e &aco&'mna 4 de C es &a s'ma de &as 4-0simas co&'mnas de A . Entonces6 det C = det A det . #a misma armaci@n es cierta ara ren7&ones.
EJEMPLO 9. I&'straci@n de &a roiedad 3. Sea A = 6 = C= .
Entonces det A = 16 det = 1,; det C = 12) = det A det .P>OPIEDAD $. E& intercamio de c'a&esG'iera dos ren7&ones o co&'mnas/ distintos de A
tiene e& eecto de m'&ti&icar det A or -1.
EJEMPLO #. I&'straci@n de &a roiedad ). Sea A = . A& intercamiar &osren7&ones 1 3 se otiene
= .
A& intercamiar &as co&'mnas 1 2 de A se otiene C = . Entonces6 9aciendo&os c%&c'&os directos6 se enc'entran G'e e& det A = 1
e& det = det C = -1
P>OPIEDAD 5. Si A tiene dos ren7&ones o co&'mnas i7'a&es6 entonces det A = ,.EJEMPLO 1!. I&'straci@n de &a roiedad (. Mediante e& c%&c'&o directo6 se 'ede :ericar
G'e araA = Kdos ren7&ones i7'a&esL = Kdos co&'mnas i7'a&esL6 det
A = det = ,
1 -1
23 1)
, -2(
1 -2
3 2)
, )(
1 -
23 3)
, 2(
1 -12
3 1), -2
(
, -2
(3 1
)1 -1
2
-1 12
1 3)
-2 ,
(
1 -12
( 3
1 -1
2
( 22
3 -1-1
-2 )
)+
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTES
P>OPIEDAD 6. Si 'n ren7&@n co&'mna/ de A es 'n m&ti&o esca&ar de otro ren7&@nco&'mna/6 entonces
det A =,EJEMPLO 11. I&'straci@n de &a roiedad . = , a G'e e& tercer
ren7&@n es i7'a& a -2 :eces e& rimero.
EJEMPLO 1. $tra i&'straci@n de &a roiedad . = , orG'e&a c'arta co&'mna es i7'a& a tres :eces &a se7'nda.
P>OPIEDAD %. Si se s'ma 'n m&ti&o esca&ar de 'n ren7&@n de A a otro ren7&@nco&'mna/ de A6 entonces e& determinante no camia.
E!EM"#$ 13. I&'straci@n de &a roiedad . Sea A = . Entonces det A =1. Si se m'&ti&ica e& tercer ren7&@n or ) se s'ma a& se7'ndo
ren7&@n6 se otiene 'na n'e:a matri> dada or = = e& det = 1= det A
2 -3( 1
2 -)
-1,
2 ) 112
-1 1 ,
3, -1 +
-3 3
+
1 -12
3 1)
, -2(1 -1 2
3 ),/ 1 )-2/) ()/
, -2 (
1 -1
23 -
2), -2
(
1,
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTESE!EM"#$ 1). trian7'&ar s'erior BAB = -11/-1/1/1,/ = -1/-1,/ = 1,
1 3 (2
, -1 3)
2 1 +
3 2 );
1 3 (2
, -1 3
), -( -1
2, - -11
2
1 3 (2
, -1 3)
, , -1-1;, , -32
-2
1 3 (2
, -1 3)
, , 1+O;
, , -32
1 3 (2
, -1 3)
, , 1+O;
, , ,1,
11
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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTESE!EM"#$ 1(. a &a red'cci@n en ese ren7&@n. Se m'&ti&ica &a se7'nda co&'mna or 2 or -) se s'ma a &a rimera c'arta co&'mnas6 resecti:amente. Se
m'&ti&ica &ase7'nda
co&'mnaBAB = Se intercamian &as rimeras BAB = or -( or -
se dos co&'mnas . s'ma a &a
tercera c'arta
co&'mnas6
resecti:amente.
BAB = Como &a c'arta co&'mna es i7'a& a &a tercera ero con si7no contrario6 entonces BAB = ,
E!EM"#$ 1.
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"R$#EMAS 2.2
En &os ro&emas 1 a& 2, e:a&e e& determinante 'sando &os m0todos de esta [email protected]. 2. 3. ).
(.
. . ;. +.
1,. 11. 12.13.
1). 1(. 1.1.
13
3-(
2
)1,-3
-1 ,2
3 1)
2 ,-
2 1-1
3 -2,
( 1
-3 2)
1 -12
-1 ),
, -23
1 2-3
) ,(
-2 3
) 1;
-2 ,,
2 -13
) ,
( -23
1 -1 2)
, -3 (
1 ) ,3, ( -
2 -3 1), -2 ,
,3 -1
2
) 1 -3;
1 1 -1,-3 )
,2 ( -1
3
) , 3,
3 -1 21) 3 1
-2-1 , 2
3
2 (2
2 , ,,
, , 3,
, -1 ,,
, , ,)
, a ,,
, ,,
, , ,c
, , d,
1 2 ,,
3 -2 ,,
, , 1-(
, , 2
a ,,
c d ,,
, , a-
, , cd
2 -1 , )13 1 -1 2
,3 2 -2 (
1
, , ) -1
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"R$#EMAS 2.21;. 1+.
2,.
1)
1 -1 2 ,,
3 1 ) ,
,2 -1 ( ,
,, , , 2
3, , ,
-1 )
a , , ,,
, , ,,
, , , ,c
, , , d,
, e , ,,
2 ( - ;,
, 1 - ,, , , )
,, 2 1 (
1
) -1 ( 3,
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DETERMINANTES E INHERSAS
TE$REMA 1. Si A es in:erti&e6 entonces det A P , det A-1= 1Odet ADEFINICIN 1. #a Ad4'nta. Sea A 'na matri> de nxn sea 6 dada or =
6 &a matri> de s's coactores. Entonces &a ad4'nta de A6 escrito ad4 A6 es &a
trans'esta de &a matri> de nxn es decir6
ad4 A = t=
E!EM"#$ 1. C%&c'&o de &a ad4'nta de 'na matri> de 3x3. Sea A = . Ca&c'&ead4 A.
Se tiene A11= = 126 A12= - = -36 A13= = -36 A21= -136A22= (6 A23= 26 A31= -6
A32= 26 A33 = 2. AsQ6 = ad4 A = t= .
1(
A11 A12 An1A21 A22 An2
A31 A32 AnnA11 A21 An1A12 A22 An2
A1n A2n Ann2 )
3, 1
-13 (
1 -1
(
, -1
3
, 1
3 (12 -3
-3
-13 (2- 2
2
12 -13-
-3 (2
-3 2 2
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DETERMINANTES E INHERSAS
E!EM"#$ 2. C%&c'&o de &a ad4'nta de 'na matri> de )x). Sea A =. Ca&c'&e ad4 A.
A12= - = -16 A2)= = -2 A)3= - = 3. A&com&etar estos c%&c'&os se
enc'entra G'e = ad4 A = t=
TE$REMA 3. Sea A 'na matri> de nxn. Entonces A es in:erti&e si s@&o si det A P ,. Sidet A P ,6 entonces
A-1= 1Odet A/ ad4 A/
1
1 -3 ,-2
3 -12 -2-
-2 1, 2
(-1 13 3 -2
- -2 2
( -1 1
3
1 -3,
-2 1,2
-1
1
1 -3-2
3 -12-
-2 1,
(
, -1 ,2
-1 1 -1-2, 2 -3
-3-2 -2 3
2
, -1 ,
-2-1 1 2-2
, -1 -33
2 -2 -32
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DETERMINANTES E INHERSAS
E!EM"#$ ). de )x) 'sando e& determinante &aad4'nta. Sea
A = . Determine si A es in:erti&e 6 si &o es6 ca&c'&e A-1.
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"R$#EMAS 2.)
En &os ro&emas 1 a& 12 'ti&ice &os m0todos de esta secci@n ara determinar si &a matri>dada es in:erti&e. Si &o es6 ca&c'&e &a in:ersa.
1. 2. 3. ). (..
. ;. +. 1,.11.
12. 1). "ara A = 6 :eriG'e G'e e& det A-1 =1Odet A
1. "ara G'0 :a&ores de U &a matri> es no in:erti&eV
1;
3 21 2
3
-) -;
, 11 ,
1 11
, 23( (
1
3 21
, 22, 1
-1
1 11
, 11, ,
11 23
1 12
, 12
3 1,
1 -12
1 11
2 -1)
-1 ,(
-1+ -3
1 2-2 3 ( 12
-)
1 1 11
1 2 -12
1 -1 211 3 3
2
1 -3 ,-2
3 -12 -2-
-2 1, 2(
-1 13
1 12 (
U -3
) 1-U
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REJ#A DE CRAMERTE$REMA 1. Re7&a de Cramer. Sea A 'na matri> de nxn s'on7a G'e det A P ,. Entonces &a
so&'ci@n nica a& sistema Ax = est% dada or
x1= D1OD6 x2= D2OD6 . . . 6 x i= DiOD6 . . . . 6 xn= DnOD
E!EM"#$ 1. So&'ci@n de 'n sistema de 3x3 'sando &a re7&a de Cramer. Res'e&:a e& sistema 'sando&a re7&a de Cramer5 2x1 )x2 x3= 1;
)x1 (x2 x3= 2) 1/
3x1 x2- 2x3= )
D = = P , D1= =2) Se s'stit'e &a rimera co&'mnade D or &os
:a&ores de 1;6 2)6 )/ de&sistema de ec'aciones
de 1/
D2= = -12 #a se7'nda co&'mna de D se s'stit'e or &os :a&ores de 1;62)6)/
D3= = 1; #a tercera co&'mna de D se s'stit'e or &os :a&ores de 1;62)6)/. "or &a tanto6
1= D1D = $6 = $ = DD = -16 = - "= D"D =196 ="
1+
2 ) ) (
3 1
-2
1; ) 2) (
) 1
-2 2 1;
) 2)
3 )
-2 2 )1;
) (2)
3 1)
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20/21
REJ#A DE CRAMERE!EM"#$ 2. so&'ci@n de 'n sistema de )x) 'sando &a re7&a de Cramer. Dem'estre G'e e&
sistema tiene 'na so&'ci@n nica enc'0ntre&a 'sando &a re7&a de Cramer.
BAB = = 1, P ,
E& sistema tiene 'na so&'ci@n nica. "ara encontrar&a se ca&c'&a D1= -)) D2= 2;, D3= -( D)= 112.
AsQ1= D1D = -$6$16!
= DD = 9!16!
"= D"D = -5616! $= D$D = 1116!
2,
1x1 3x2 (x3 2x)= 2 -x
2
3x3
)x)
= , 1/
2x1 x2 +x3 x)= -33x1 2x2 )x3 ;x)= -1
1 3 (2
, -1 3
)2 1 +
3 2 );
7/23/2019 Algebra Lineal 5. Determinantes
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"R$#EMAS 2.)En &os ro&emas 1 a& + res'e&:a e& sistema dado 'sando &a re7&a de Cramer.
1. 1+ "= -1 . "1- = ! ".1+ + "= 6
-%1+ $ = $% $1+ = 5"1- - ""= 5
91+ + 5"= 11
$. 1 + + "= 9 5. 1 + + "= %6. 1 + 5 - "= -1
$- "= - 1+ + "= !$1+ + ""= "
"1- + "= ! -1 + + ""= 1-1+ = !
%. 1 + - "= $ 9. 1+ + "+ $= 6#. 1 - $= %
1+ "= 1 - "- $= $+ " =
-+ 5"= 1 ""+ 6$= "$1, = -"
1 - $= 5""- 5$ =
21