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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO

A GOST O

A G O S T O


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ÁLGEBRA

• División de monomios

- Cuadrado de un binomio

-

• División de un polinomio entre un monomio

• Productos notables

Cubo de un binomio


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RESEÑA HISTÓRICA

Carl Friedrich Gauss, nació el 30de abril de 1777 y murió el 23 defebrero de 1855, fue unmatemático alemán quiendominó la comunidad matemáticadurante y después de su vida. Fueun niño prodigio ya que, Gaussaprendió a leer y calcular a la

aritmética a la edad de tres años.Al reconocer su talento, el Duquede Brunswick en 1792 le proveyócon un sueldo para así permitirleseguir su educación. Mientrastodavía asistía a la Universidad deCaroline (1792-95), Gaussformuló el método de los mínimos

GAUSS, CARL

cuadrados y una conjetura en la distribución de números primos entretodos los números; el más reciente fue probado por Jacques Hadamarden 1896. Durante este período Gauss no tenía acceso a una buena biblioteca matemática y por eso redescubrió muchos teoremas ya

aceptados. La situación cambió en 1795, cuando fue a Göttingen con suexcelente biblioteca.

En 1795 Gauss descubrió el teorema fundamental de residuoscuadráticos, que tratan del concepto de congruencia en la teoría delnúmero.


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En 1796 hizo su primera marca como un matemáticoserio por probar la posibilidad de construir un polígonoregular de 17 lados usando sólo una regla y un compás.Los próximos 4 años le fueron muy productivos. Levenían ideas tan rápidamente que podría seguir sóloalgunas de ellas. En 1799 la Universidad de Helmstedt

le concedió a Gauss un Ph.D. grado por una disertaciónque dio la primera prueba del teorema fundamental delálgebra.

Gauss tuvo dos realizaciones mayores en 1801. La primera fue la publicación de su , un tratado en teoría delnúmero, que contuvo sus soluciones a muchos problemas sin liquidar.Este libro fija bases para investigaciones futuras dándole un mayor reconocimiento entre los matemáticos de su tiempo. La segunda fuedebido al descubrimiento del asteroide Ceres. Se había observado brevemente en el enero de 1801 pero entonces había desaparecido de

vista. Gauss calculó la órbita usando una mejor teoría y predijo dónde ycuándo Ceres reaparecería. Cuando la predicción fue probada correcta,la fama de Gauss se extendió a lo lejos y ancho. Subsiguientementeaceptó una segura posición financiera como astrónomo en elObservatorio Göttingen.

Para cumplir su sentido de responsabilidad cívica, Gaussemprendió un estudio geógrafo de su país el cual le dio mucho campo detrabajo. En su “trabajo teórico en topografía”, Gauss desarrolló resultadosque requirió de estadísticas y geometría diferencial. Durante los 1820 conla colaboración del físico Wilhelm Weber, exploró muchas áreas de Física,incluso magnetismo, mecánica, acústica, y óptica. En 1833 construyó el primer telégrafo. Se pulieron las publicaciones de Gauss y se finalizaronalgunos de sus trabajos lo que abrió nuevos caminos para la investigacióny sembró semillas para mucho trabajo en el futuro. Hasta la fecha se han publicado 12 volúmenes de su trabajo.

Disquisiciones Aritméticas


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Sabías que... Las áreas de las figuras geométricas nos permiten "demostrar" identidadesalgebraicas.Ejemplo:

a

a

a–b

a

a–b= a –

b

2 2

a b (a b)(a b)

DIVISIÓNDEMONOMIOS

Para dividir monomios, procedemos a dividir los coeficientes y aplicamos la teoría de exponen-tes (división de bases iguales) para la parte literal.

Ejemplo: 5 8 102 6 0 2 6

3 2 10

65

13 135

x y z

x y z x y x y z

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

El procedimiento para dividir un polinomio entre un monomio es el mismo que realizamos en ladivisión entre monomios sólo que ahora el monomio dividirá a cada término del polinomio.

Ejemplo: 5 9 4 7 10 15 5 9 4 7 10 15

3 5 3 5 3 5 3 5

2 4 1 2 7 10

30 10 4 30 10 4

2 2 2 2

15 5 2

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

4 5 3 4 5 3

3 3 3 3

2 0

2

16 24 32 16 24 32

8 8 8 8

2 3 4

2 3 4

x x x x x x

x x x x

x x x

x x

Recuerda:

Leyde

signos:


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242


PRACTIQUEMOSDivide:

1.2

a ab

a2.

2 3 2 4

2

9 6

3

x y x y

x

3.3 2 2 33 – 5 – 6

– a ab a b

a4.

8 6 4

3

4 –10 – 6

2

x x x

x

5.

10 15 16 10 8 12

4 820 –18 142a b a b a b

a b 6.

6 12 10 18 8 20

4 10

16 – 20 32

–4

x y x y x y

x y

7.6 4 5 12 10 13

4 3

5 –10 5

5

x y x y x y

x y

8.

12 18 10 16 12 17

7 12

24 – 18 10

2

x y x y x y

x y

9.5 9 10 8 3 4

3 4

30 15 – 5

5

x y x y x y

x y 10.

6 7 3 10 5 4

2

4 – 2 8

2

x y x y x y

x y


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TRABAJEMOSENCASA

Divide:

1.7 5 6 7 7 6

2

12 – 6 15

3

x y x y x y

x y

2.

4 12 9 10 6 7

3 6

44 – 24 16

–4

x y x y x y

x y

3.6 7 12 18 18 12 7 9

2 5

10 – 5 15 – 20

5

x y x y x y x y

x y

4.

5 6 6 10 4 5

3 4

2 – 8 4

2

x y x y x y

x y

5.6 5 4 6 3 5

3

10 –15 5

5

x y x y x y

xy

6.

5 6 9 15 7 10

4 5

12 – 48 6

6

x y x y x y

x y

7.4 5 3 9 7 10

4

20 –12 16

4

x y x y x y

xy

8.

10 12 25 17 12 10

7 8

32 –64 16

8

x y x y x y

x y

9.8 7

5 2

16

2

x y

x y 10.

5 7

6

9

3

x y

xy


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PRODUCTOSNOTABLES

Son aquellos productos que al presentar cierta forma particular, evita que se efectúe la ope-

ración de multiplicación escribiendo directamente el resultado.

I . CUADRADO DE UN BINOMIO

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

Ejemplos:

1. 2 2 2

2

5 2 5 5

10 25

x x x

x x

2. 2 2 2

2

3 2 3 3

6 9

y y y

y y

3. 2 2 23 3 3

6 3

3 2 3 3

6 9

z z z

z z

4. 2 2 2

2 2

2 3 2 2 2 3 3

4 12 9

a b a a b b

a ab b

5. 2 2 23 3 3

6 3 2

2 5 2 2 2 5 5

4 20 25

a y a a y y

a a y y


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PRACTIQUEMOSEfectuar:

1. ( x + 1)2 =

2. (m – 8)2 =

3. ( x 4 + 3)2 =

4. (4 x + y )2 =

5. (2a – b)2 =

6. (3a3 + 8b)2 =

7. ( x 7 – 6)2 =

8. (2a + 6b)2 =

9. (2a3 + 4b4)2 =

10. ( x 4 – 3y 3)2 =


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TRABAJEMOSENCASA

Resuelve en tu cuaderno:

1. (3 x + 8b)2 2. (7 x + 11)2 3. (a2 + 10b)2 4. (m + n)2

5. (y + 4)2 6. (6 + a)2 7. (2a – b2)2 8. (10m3 – 8y 5)2

9. ( x – 3)2 10. (m3 – 4)2

I I . CUBO DE UN BINOMIO

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

+ = + 3 + 3 +

= – 3 + 3 –

a b a a b ab b

a – b a a b ab b

Ejemplos:

1. 3 3 2 2 3

3 2

3 3 3 3 3 3

9 27 27

y y y y

y y y

2. 3 3 2 2 3

3 2

4 3 4 3 4 4

12 48 64

m m m m

m m m

3. 3 3 2 2 3

3 2 2 3

4 2 4 3 4 2 3 4 2 2

64 96 48 8

x y x x y x y y

x x y xy y

4. 3 2 2 2 33 3 3 3

6 6 3 2 3

2 3 2 3 2 2

6 12 8

x b x x b x b b

x x b x b b


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PRACTIQUEMOS1. (4 x + 5)3 =

2. (a + 3)3

=

3. (2m + 3n)3 =

4. (a2 – 2b)3 =

5. (2a + x )3 =


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6 . (1 + x )3 =

7. (a2 + 8)3 =

8. (a2 + 2b)3 =

9. (1 – b2)3 =

10. (1 – 3m)3 =

TRABAJEMOSENCASA

Resuelve en tu cuaderno:

1. ( x – 1)3 2. ( x – 2)3 3. (4a + 5)3 4. (m2 – 3n)3

5. (n + 2)3 6. (a – 1)3 7. ( x + 3)3 8. (a – 4)3

9. (2 x + 1)3 10. (4c – 3)3


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1. Divide:

5 6 6 10 4 5

3 42 8 4

2

x y x y x y

x y

2. Divide:

8 6 4

38 12 8

4

x x x

x

3. Efectuar el binomio:

25 2 y

4. Efectue el binomio:

24 2 x y

HELICOREPAS


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15/28

251


S E T I E M B R E


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ÁLGEBRA

• Factorización

* Factor común monomio

* Factor común polinomio

* Diferencia de cuadrados


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RESEÑA HISTÓRICA

Richard Dedekind, nació el 6 deoctubre de 1831 y murió el 12 deFebrero de 1916, fue unmatemático alemán conocido por su estudio de la continuidad y ladefinición de los números reales por los «cortes» de Dedekind; suanálisis de la naturaleza de los

números e inducción matemática,incluso la definición de losconjuntos finitos e infinitos; y sutrabajo influyente en la teoría delnúmero, particularmente en elc a m p o d e l o s n ú m e r o sa l g e b r a i c o s . E n t r e s u scontribuciones más notables en lamatemática estuvieron susediciones en los trabajos reunidos por Pedro Dirichlet, Carl Gauss, yGeorg Riemann. El estudio de

DEDEKIND, RICHARD

Dedekind del trabajo de Dirichlet lo llevó a su estudio propio de camposde números algebraicos, tan satisfactorio como su introducción deideales. Desarrolló este concepto en una teoría de números ideales queson de una importancia fundamental en el álgebra moderna. Dedekindtambién introdujo tales conceptos como anillos.


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F ACTORIZACIÓN

El fin primordial de la factorización es transformar un polinomio en una multiplicación de dos

o más factores.

I . FACTOR COMÚN MONOMIOEs el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio, está formado por elMCD de los coeficientes y las variables comunes elevadas a su menor exponente.

Ejemplos:

Factorizar:

1 . 8 x 2y + 6 x 3yz – 10 xy 2w

Solución: a) Hallamos el MCD de 8; 6 y 10.

8 6 10 24 3 5

MCD = 2

b) El menor exponente con el que aparecen las variables comunes x e y son 1; 1 respectivamente. Por lo tanto el FACTOR COMÚN es 2 xy.

8 + 6 – 10 = 2 ( 4 + 3 – 5 ) x y x yz xy w xy x x z yw2 3 2 2

FACTOR COMÚN

2* Dividimos 8 x y 2 = 4 xy x

3 2

2

* Dividimos 6 2 = 3 x yz xy x z

* Dividimos 10 2 = 5 xy z xy yw

c) El factor común divide a cada término del polinomio.

x y x yz xy w xy x x z yw2 3 2 2

8 6 10 2 (4 3 5 )


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2 . x y z x yz x y z x y z 3 2 3 2 3 2 3 4 3 5 312 15 6 9

Solución: a) Hallamos el MCD de 12 ; 15 ; 6 y 9.

12 15 6 9 34 5 2 3

MCD = 3

b) El menor exponente con el que aparecen las variables comunes x , y, z . son 2; 1; 3 respectivamente.

Por lo tanto el FACTOR COMÚN es 3 x 2yz 3.

12 – 15 – 6 + 9 = 3 x y z x yz x y z x y z x yz ( 4 – 5 – 2 + 3 ) xy y z xy

FACTOR COMÚN

3 2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 4 2 3 2

3 5 3 2 3 4

* Dividimos 12 3 = 4 x y z x yz xy

* Dividimos 15 3 = 5 x yz x yz

* Dividimos 6 3 = 2 x y z x yz y z

* Dividimos 9 3 = 3 x y z x yz xy

3 2 3 2 3 2 3 4 3 5 3 2 3 2 4

c) El factor común divide a cada término del polinomio.

PRACTIQUEMOS

Factorize:

1. 6 x 2y 3 – 24 xy 4 =


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2 . 20ax 2 + 36ax =

3. a3by 7 + 3a2b2y – 5a4b3y 6 =

4. 12 x 2y + 18 xy 3 – 24 xy =

5. 50a3b3 – 40a2b4 + 30ab5 =

6. 6 xy 3 – 9 x 2y 3 =

7. 18abc 2 – 54a2b3c =


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8 . 10 x 2 – 5 x + 15 x 3 =

9. a7 – a20 + a14 =

10. 12m2n5 + 24m3n2 =

TRABAJEMOSENCASA

Factoriza:

1 . 14 x 2 + 7 x 2 . 48m + 8m2 3. x 2 + x

4. a20 – a16 + a12 5. 3a2b + 6ab 6 . 3m3 – 6m2 – 9m7

7. 8a3 – 4a4 8. 6m2 + 15m3 9. 2 x 2m3 + 4 x 2m – 8 x 5m4

10. 8m2 – 12m + 14m6 11. a3 + a2 + a 12. 4a2 – 8a + 2a7


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I I . FACTOR COMÚN POLINOMIO

Consiste en identificar el factor común para luego aplicar la propiedad distributiva como enel caso anterior.

Ejemplos:

Factoriza:

1. 3 ( – 2 ) + 5 ( – 2 ) = ( – 2 ) ( 3 + 5 )a x y b x y x y a b2 2

2 2

FACTOR COMÚN: ( – 2 ) x y

* Dividimos 3 ( – 2 ) ( – 2 ) = 3a x y x y a

* Dividimos 5 ( – 2 ) ( – 2 ) = 5b x y x y b

2 23 ( 2 ) 5 ( 2 ) ( 2 )(3 5 )a x y b x y x y a b

2. 3(2 3 ) 2 3ab x y x y

FACTOR COMÚN: (2 x + 3y )

* Dividimos ab3 (2 x + 3y ) ÷ (2 x + 3y ) = ab3

* Dividimos (2 x + 3y ) ÷ (2 x + 3y ) = 1

Entonces:

ab3 (2 x + 3y ) + (2 x + 3y ) = (2 x + 3y ) (ab3 + 1)

¿Entend is te? B ien ¡ahora tú!


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259


PRACTIQUEMOSFactorize:

1. 4 x 2 (y – 1) – 9 (y – 1) =

2. 7 x (8m + 3) + (8m + 3) =

3. x + 2y – 3z ( x + 2y ) =

4. xy 2 (2 – a) + x 2y (2 – a) =

5. 8abc 3 ( x + 3y ) – 7a2bc ( x + 3y ) =

6. a (n + 1) – b (n + 1) + n + 1 =

7. c 2 + a – b (c 2 + a) =

8. 3m ( x – 2) – 2n ( x – 2) =


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260


9 . 4 x (m – n) + m – n =

10. a3 (a – b + 1) – b2 (a – b + 1) =

PRACTIQUEMOSENCASA

Factorize en tu cuaderno:1. m (a + b) + n (a + b) 2 . b ( x + 1) + x ( x + 1) 3 . 2r (a – 1) – s (a – 1)

4. 4m (a2+ x –1) + 3n ( x –1+a2) 5 . x (a + 1) – 3 (a + 1) 6 . x 5(a + 1) – 4 (a + 1)

7. 2 ( x – 1) + y ( x – 1) 8 . a ( x – y ) + ( x – y ) b 9 . 2a (n – 1) – 3b (n – 1)

10. x (a + 2) + a + 2 11. x (b + 1) + b + 1 12. x (a+2)+a+2+3(a+2)

III. DIFERENCIA DE CUADRADOS

La diferencia de cuadrados es igual a la multiplicación de la suma de los términos por ladiferencia de los mismos.

2 2a b a b a b

Ejemplos:

Factoriza los siguientes ejercicios:

1.

2 2 249 7

7 7

x x

x x

2.

2 4 2 2 4

2 2

25 5

5 5

x y x y

x y x y

3.

8 6 2 8 2 6

4 3 4 3

81 49 9 7

9 7 9 7

x x x x

x x x x


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PRACTIQUEMOS

Factorize:

1 . x 2 – 121 =

2. 64 – x 2 =

3. 36 x 2 – 16y 2 =

4. 25 x 2 – 4y 2 =

5. 25 – 36y 4 =

6. a8 – b8 =

7. a2b8 – c 2 =


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8 . 16 – 9a2 =

9. 36a8 – 25b10=

10. 1 – 9a2b4c 6d 8 =

TRABAJEMOSENCASA

Factorize en tu cuaderno:

1. a2 – b2 2. b2 – 1 3 . x 2 – 4 4 . 9 – m2

5. 1 – 4a2 6. 16 – x 2 7. m2 – 25 8 . 100 – x 2y 6

9. 1 – 25m2 10. 36 x 2 – 25y 6 11. 1 – b2 12. 9m2 – 9


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1. Factorize:

A) 2 320 25 30 x y xy xy B) 5 5 4 412 24m n m n

2. Factoriza:

A) 2 2a c b a c B) 1 1 x y y

3. Factorize:

A) 2 144a B)425 16 y

4. Factoriza:

2 236 121 x z =

HELICOREPAS


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