Aeroelasticità e Acustica Nelle Strutture Aerospaziali by de Rosa

Aeroelasticità e Acustica nelle Strutture Aerospaziali

appunti e spunti per discipline affascinanti

Torino, 2013

Sergio De Rosa �

PASTA-Lab Laboratory for Promoting experiences

in Aeronautical STructures and Acoustics Dipartimento di Ingegneria Industriale

Sezione Aerospaziale

Università degli Studi di Napoli "Federico II" Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italia

[email protected]

Indice 1)  Inquadramento Generale (Interazione Fluido-

Struttura). 2)  Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema

Lineare. 3)  Sistema Tubo e Pistone. 4)  Introduzione all’Aeroelasticità. 5)  Instabilità Supersonica di un Pannello. 6)  Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. 7)  Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. 8)  Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie 9)  Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). 10)  Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. 11)  Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. 12)  Approccio modale per interpretazioni

energetiche (EDA). 13)  Similitudini 14)  Introduzione al FEM spettrale. 15)  Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei

Velivoli 16)  Potenza Acustica Radiata da Componenti

Strutturali Piani. 17)  Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo:

risposta di pannelli sotto l’azione dello strato limite turbolento

18)  Rappresentazioni Universali dei Dati Aero-Acusto-Elastici.

1)  Inquadramento Generale (Interazione Fluido-Struttura).

2)  Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare.

3)  Sistema Tubo e Pistone. 4)  Introduzione all’Aeroelasticità. 5)  Instabilità Supersonica di un Pannello. 6)  Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. 7)  Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. 8)  Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie 9)  Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). 10)  Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. 11)  Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. 12)  Approccio modale per interpretazioni



Strutturali Piani. 17)  Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo 18)  Rappresentazioni Universali dei Dati Aero-

Acusto-Elastici.

84 R. Lohner et al.

Aero/HydroelasticityAdvanced

Aero/HydroelasticityClassic

BiomedicalApplications

ConjugateHeatTransfer

RigidWalls

CTD

Ridid Body(6 DOF)

ModalAnalysis

LinearFEM

Non!LinearFEM

Rupture/Tearing

No Fluid

AcousticsPotential/

PotentialFull

Euler

RANS

LES

DNS

CFD

PrescribedFlux/Temperature

Network Models

Linear FEM

Nonlinear FEM

CSD

Interaction

Thermal StressFatigue

Shock!Structure

Fig. 2. CFD/CSD/CTD Space

RigidWalls

CTD

Ridid Body(6 DOF)

ModalAnalysis

LinearFEM

Non!LinearFEM

Rupture/Tearing

No Fluid

AcousticsPotential/

PotentialFull

Euler

RANS

LES

DNS

CFD

PrescribedFlux/Temperature

Network Models

Linear FEM

Nonlinear FEM

CSD

Blast!Structure

Extrusion

Flutter

Galloping

High Performance Engines

Weapon Fragmentation

Material Forming

High Mach Nr. Vehicles

AerodynamicsNoise

Flutter

Arterial FlowsTentsParachutesAirbags

Chip CoolingEngine Cooling

Underhood Flows

Buzz Whipping

Fig. 3. CFD/CSD/CTD Application Areas







Acusto-Elastici.







Acusto-Elastici.

1

La risposta di un oscillatore semplice e di untubo

Si vuole analizzare l’interazione fluido-struttura tra un pistone e un tubo,valutando la variazione delle frequenze proprie del pistone per e�etto dellapresenza di un fluido all’interno del tubo. Si analizzano prima il pistone e iltubo presi singolarmente, dopodiche si analizza il sistema accoppiato.

1.1 Equazioni omogenee del sistema acustoelastico

Scriviamo le equazioni omogenee del piu semplice sistema acustoelastico,rappresentato in Figura 1.1: un oscillatore meccanico accoppiato ad un tubodi lunghezza L.

Figura 1.1: sistema acustoelastico costituito da un oscillatore meccanicoaccoppiato con tubo di lunghezza L.

L’oscillatore e rappresentato da una massa e una rigidezza concentrati,indicati rispettivamente dai simboli m e k, mentre nel tubo, allineato secondoun asse di riferimento x, e presente un fluido di velocita caratteristica c e didensita ⌦ 1.

1 Si potrebbe schematizzare anche il fluido con proprieta concentrate, perdendopero la componente spaziale che si vuole analizzare in questa trattazione.

4 1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

L’incognita meccanica e lo spostamento x del pistone mentre l’incognitaacustica e la pressione p(x, t), dove il simbolo t denota la variabile temporale.

Si osservi che stiamo analizzando un sistema strutturale a proprieta con-centrate (pistone) che interagisce con un sistema acustico a proprieta dis-tribuite (tubo) attraverso un’area A (sezione del tubo e del pistone). Il sistemadi equazioni che descrive il comportamento del sistema e

�✏

�

mx(t) + kx(t) = p(x, t)A

⌃2p(x,t)⌃x2 = 1

c2⌃2p(x,t)

⌃t2

(1.1)

Nella prima equazione del sistema (3.3) e possibile identificare l’e�ettodel fluido sulla struttura, ovvero la forza agente sul pistone generata dallapressione del fluido sulla sezione A. L’e�etto reciproco, ovvero quello dellastruttura sul fluido, si vede nella condizione al contorno del tubo alla sezionex = 0

1

⌦

dp

dx

⇤⇤⇤x=0

= �x(t). (1.2)

La (1.2) relaziona il gradiente di pressione con l’accelerazione del pistone allasezione x = 0: se il pistone accelera verso destra (x(t) > 0), a x = 0 il fluidoespande ( dpdx |x=0 < 0).

Sull’altra estremita del condotto (x = L), supponiamo che il tubo e chiuso,e quindi la seconda condizione al contorno e

dp

dx

⇤⇤⇤x=L

= 0. (1.3)

Prima di analizzare il sistema acustoelastico completo, si analizzano primail pistone ed il tubo singolarmente. In tal modo, e possibile evidenziare glie�etti che l’accoppiamento comporta sulle frequenze proprie dei due sistemi.

1.2 L’operatore strutturale: il pistone

1.2.1 Analisi modale

E opportuno richiamare brevemente i concetti base dell’oscillatore armon-ico, non soggetto ad alcuna forzante, mediante l’analisi modale.

Analisi modale reale

Nel caso di oscillatore non smorzato, l’equazione del sistema (in assenzadi forzante) e

mx(t) + kx(t) = 0. (1.4)

Scegliendo soluzioni armoniche del tipo

1.2 L’operatore strutturale: il pistone 5

x(t) = Xej⌅t (1.5)

e possibile esplicitare l’equazione secolare

�↵2mXj⌅t + kXj⌅t = 0 � �↵2m+ k = 0. (1.6)

Dalla (1.6) e possibile ricavare la pulsazione naturale dell’oscillatore ad ungrado di liberta

↵0 =

k

m(1.7)

e quindi la frequenza propria dell’oscillatore

f0 =1

2

k

m. (1.8)

Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento viscoso

Se e presente uno smorzamento viscoso (vedi Capitolo 4), l’equazioneomogenea associata diventa

mx(t) + bx+ kx(t) = 0 (1.9)

dove b e il coe⌅ciente di smorzamento viscoso. In questo caso, mediante lascelta di soluzioni armoniche complesse (p numero complesso)

x(t) = Xept (1.10)

l’equazione secolare diventa

mp2 + bp+ k = 0 � p =�b±

�b2 � 4km

2m. (1.11)

Si definisce per comodita uno smorzamento critico bcr, che permette di dis-criminare le varie possibilita di moto. Esso e funzione dei parametri strutturali,al pari della pulsazione naturale.

bcr = 2�km (1.12)

⌃ =b

bcr=

b

2�km

(1.13)

Dalla (1.13) e possibile ricavare

b

m= 2⌃↵0 (1.14)

e pertanto si riscrive la (1.11) come


p1,2 = ↵0

⌘�⌃ ±

◆⌃2 � 1

✓. (1.15)

La soluzione della (1.9) e quindi del tipo

x(t) = X1ep1t +X2e

p2t. (1.16)

Al variare del valore di ⌃, e possibile classificare le soluzioni del sistema comeriportato in Tabella 1.1.

Tabella 1.1: classificazione delle soluzioni.

Regime (⇥) Tipologia delle radici Prima radice Seconda radice

subcritico complesse coniugate ⇤0

⇧�⇥ + j

⌥1� ⇥2

⌃⇤0

⇧�⇥ � j

⌥1� ⇥2

⌃

(⇥ < 1)

critico reali coincidenti ⇤0[�⇥] ⇤0[�⇥](⇥ = 1)

supercritico reali distinte ⇤0

⇧�⇥ +

⌥⇥2 � 1

⌃⇤0

⇧�⇥ �

⌥⇥2 � 1

⌃

(⇥ > 1)

Ovviamente, le diverse tipologie di radici al variare di ⌃ comportano lavariazione del tipo di moto dell’oscillatore, come riportato in Tabella 1.2.

Tabella 1.2: risposta strutturale al variare di ⌃.

Tipo di moto (⇥) Forma risolutiva

Periodico smorzato x(t) = e(�⇤0�t)⇧X1e

(j⇤0t⇥

1��2) +X2e(�j⇤0t

⇥1��2)

⌃=

(⇥ < 1) Y1e(�⇤0�t)

⇧cos

�j⇤0t

⌥1� ⇥2

⇥+ ⌅

⌃

aperiodico x(t) = Xe(�⇤0t)

(⇥ = 1)

aperiodico x(t) = e(�⇤0�t)⇧X1e

(⇤0t⇥

�2�1) +X2e(�⇤0t

⇥�2�1)

⌃=

(⇥ > 1) e(�⇤0�t)⇧X1 cosh

⇤⇤0t

⌥⇥2 � 1

⌅+X2 sinh

⇤�⇤0t

⌥⇥2 � 1

⌅⌃

In Figura 1.2 sono rappresentati due esempi di risposta temporale di unoscillatore con smorzamento viscoso: nel caso subcritico (⌃ < 1) il sistemaoscilla per un certo tempo prima di fermarsi; nel caso supercritico (⌃ > 1) ilsistema non oscilla, ma torna in un tempo breve nelle condizioni di equilibrio.


(a) Caso subcritico, ⇥ < 1. (b) Caso supercritico, ⇥ > 1.

Figura 1.2: esempi di risposta temporale di un oscillatore con smorzamentoviscoso.

Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento strutturale

L’altro modello di smorzamento piu comune e quello cosiddetto strutturale(vedi Capitolo ??), in cui si considera lo smorzamento proporzionale allarigidezza della struttura secondo un coe⌅ciente immaginario j⌥. In questocaso, l’equazione omogenea associata dell’oscillatore e

mx(t) + k[1 + j⌥]x(t) = 0. (1.17)

Scegliendo ancora soluzioni armoniche complesse del tipo

x(t) = Xept (1.18)

l’equazione secolare diventa

mp2 + [1 + j⌥]k = 0 (1.19)

da cui si ricava

p2 =k

m[1 + j⌥] � p2 = ↵2

0 [1 + j⌥]. (1.20)

1.2.2 Risposta strutturale dell’oscillatore con forzante periodica

L’analisi della risposta strutturale serve per inquadrare un possibile pas-saggio da un modello all’altro di smorzamento.

Oscillatore non smorzato

L’equazione del sistema e

mx(t) + kx(t) = f(t). (1.21)

Scegliendo soluzioni armoniche del tipo (1.5) e una forzante armonica

f(t) = Fej⌅t (1.22)


l’equazione (1.21) diventa

(�m↵2 + k)X = F (1.23)

e quindi la risposta strutturale e

X =F

m

1

(�↵2 + ↵20)

� x(t) =Fm

(�↵2 + ↵20)ej⌅t. (1.24)

La funzione di trasferimento e

H(↵) =1

(�↵2 + ↵20). (1.25)

Oscillatore in presenza di smorzamento viscoso

Ripetendo i passaggi svolti nel caso di oscillatore non smorzato, e possibilescrivere anche la risposta strutturale del sistema in presenza di smorzamentoviscoso

x(t) =Fm

(�↵2 + ↵20) + 2j⌃↵0↵

ej⌅t. (1.26)

E interessante riportare la funzione di trasferimento per analizzare dove losmorzamento influenza la risposta dell’oscillatore. Essa e data dalla

H(↵) =Fm

(�↵2 + ↵20) + 2j⌃↵0↵

(1.27)

In Figura 1.3 e riportato l’andamento della funzione di trasferimento per unoscillatore avente una pulsazione propria ↵0 = 55rad/sec per tre valori di ⌃.

Figura 1.3: funzione di trasferimento di un oscillatore con smorzamento viscoso(↵0 = 55rad/sec) per diversi valori di ⌃.


Dall’esame della Figura 1.3, si evince che lo smorzamento e importantesolo in un intorno della frequenza risonanza. La larghezza di questo intorno,denominata �f , aumenta all’aumentare del livello di smorzamento.

Si analizzano ora le singole componenti della funzione di trasferimento inpresenza di smorzamento viscoso, per un valore fissato di ⌃. In Figura 1.4 sonorappresentate:

• h(↵, 0.02), ovvero la funzione di trasferimento completa dell’oscillatore con⌃ = 0.02;

• hK(↵, 0.02) = 1⌅2

0, ovvero la componente della funzione di trasferimento

dovuta alla rigidezza;• hM (↵, 0.02) = 1

⌅2 , ovvero la componente della funzione di trasferimentodovuta alla massa;

• hD(↵, 0.02) = 12j�⌅0⌅

, ovvero la componente della funzione di trasferimen-to dovuta allo smorzamento.

Figura 1.4: componenti della funzione di trasferimento per smorzamentoviscoso ⌃ = 0.02.

Dalla Figura 1.4 e possibile osservare che:

• per basse frequenze (↵ ⌃ ↵0), la risposta e controllata dalla rigidezza;• per alte frequenza (↵ ⌥ ↵0), e la massa a determinare il livello della

risposta;• in prossimita della frequenza di risonanza (↵ = ↵0), l’elemento determi-

nante e il livello di smorzamento.

Oscillatore in presenza di smorzamento strutturale

Nel caso di smorzamento strutturale, la risposta strutturale dell’oscillatoree


x(t) =Fm

(�↵2 + ↵20) + j⌥↵2

0

ej⌅t (1.28)

e la funzione di trasferimento e

x(t) =1

(�↵2 + ↵20) + j⌥↵2

0

. (1.29)

Valgono le stesse osservazioni fatte nel caso di smorzamento viscoso, ovverolo smorzamento influisce solo in prossimita della frequenza di risonanza.

1.2.3 Forza dissipative

Nel caso di smorzamento viscoso, la componente dissipativa delle forze dirichiamo e data da

FDV (t) = bx(t) = j↵bx(t) = 2jm⌃↵↵0x(t) (1.30)

mentre nel caso di smorzamento strutturale e

FDS(t) = j⌥kx(t) = j⌥↵20mx(t). (1.31)

E evidente che la forza dissipativa dovuta all’adozione di uno smorzamentostrutturale non dipende dalla frequenza, mentre l’adozione del modello viscosoe connessa ad una funzionalita lineare con la frequenza di eccitazione.

E interessante confrontare le due forze forze dissipative, al fine di trovareun legame che permetta il passaggio da un modello di smorzamento all’altro.Rapportando membro a membro le (1.31) e (1.30), risulta

FDS(t)

FDV (t)=

⌥↵20

2⌃↵↵0=

⌥

2⌃ ⌅⌅0

. (1.32)

Quando le due componenti dissipative si eguagliano, si ottiene la relazione perpassare da un modello di smorzamento all’altro (ovvero da ⌃ a ⌥ e viceversa):

1 =⌥

2⌃ ⌅⌅0

� ⌃ = ⌥↵0

2↵. (1.33)

In condizioni di risonanza (↵0 = ↵), risulta

⌃ =⌥

2. (1.34)

1.3 L’operatore acustico: il tubo

Il tubo e un sistema monodimensionale in cui viaggiano onde longitudinalicon una velocita c che dipende dal mezzo (per l’aria, c e la velocita del suono).L’equazione di partenza per l’analisi del problema e l’equazione delle onde

1.3 L’operatore acustico: il tubo 11

Figura 1.5: analisi del rapporto delle forze dissipative in funzione dellafrequenza.

�2p(x, t) =1

c2⌘2p(x, t)

⌘t2(1.35)

dove:

• c e la velocita caratteristica di propagazione dell’onda longitudinale;• �2 e l’operatore di Laplace;• t e la variabile temporale;• x e la variabile spaziale;• p(x, t) e la grandezza perturbata dal passaggio dell’onda, ovvero e una

variazione di pressione.

Poiche il sistema considerato e monodimensionale, la (1.35) si puo scriverecome

⌘2p(x, t)

⌘x2=

1

c2⌘2p(x, t)

⌘t2. (1.36)

Ipotizzando che il sistema tubo sia conservativo, e possibile disaccoppiarela dipendenza spaziale da quella temporale, ovvero

p(x, t) = P (x)T (t). (1.37)

Mediante la (1.37), e possibile semplificare la (1.36) in

P ⇥⇥(x)T (t) =1

c2P (x)T ⇥⇥(t) � P ⇥⇥(x)

P (x)=

1

c2T ⇥⇥(t)

T (t)(1.38)

A⌅nche sia verificata l’eguaglianza (1.38), i due rapporti devono esserecostanti, per cui

T ⇥⇥(t)

T (t)= ↵2 (1.39)


P ⇥⇥(x)

P (x)=

↵2

c2. (1.40)

Avendo supposto il sistema conservativo, e su⌅ciente analizzare solo lavariazione spaziale della pressione. La soluzione della (1.40) e del tipo

P (x) = P1 sin�↵cx⇥+P2 cos

�↵cx⇥= P1 sin(kx)+P2 cos(kx) = P1e

�jkx+P2ejkx

(1.41)dove k = ⌅

c e il numero d’onda. Le costanti P1 e P2 sono determinate dallecondizioni al contorno. In particolare, le condizioni al contorno possono essere:

• P (0) = P0, ovvero tubo aperto in x = 0;

• dPdx

⇤⇤⇤x=0

= Q0, ovvero tubo chiuso in x = 0;

• P (L) = PL, ovvero tubo aperto in x = L;

• dPdx

⇤⇤⇤x=0

= QL, ovvero tubo chiuso in x = L.

Analizziamo tre tra le quattro possibili combinazioni.

1.3.1 Caso 1: tubo chiuso-chiuso

In questo caso, le condizioni al contorno sono:

dP

dx

⇤⇤⇤x=0

= 0 (1.42)

dP

dx

⇤⇤⇤x=L

= 0 (1.43)

P ⇥(x) = kP1 cos(kx)� kP2 sin(kx) (1.44)

P ⇥(0) = kP1 cos(k0)� kP2 sin(k0) = 0 (1.45)

P ⇥(L) = kP1 cos(kL)� kP2 sin(kL) = 0 (1.46)

Dalla (1.45) si ricava che P1 = 0. Dalla (1.46), e possibile ricavare gliautovalori k.

kP2sin(kL) = 0� kL = i (1.47)

ki =i

L (1.48)

con i {0, 1, 2, . . . N}. Dalla (1.48) si calcolano le frequenze naturali delsistema tubo chiuso-chiuso

↵i =ic

L (1.49)

fi =ic

2L(1.50)

con i {0, 1, 2, . . . N}. La variazione di pressione e pertanto possibile scriverlacome

1.3 L’operatore acustico: il tubo 13

P (x) =⇣

i=0

P2,i cos(kix). (1.51)

E interessante calcolare il passo in frequenza (distanza modale) ⇧f , ovverola distanza tra un modo e quello successivo.

⇧f = fi+1 � fi =(i+ 1)� (i)

2Lc =

c

2L(1.52)

L’inverso della distanza modale e la densita modale

n =2L

c(1.53)

mediante la quale e possibile calcolare in modo statistico quanti modi risuo-nano in un dato intervallo in frequenza �f .

N = �f ·n = �f2L

c(1.54)

E evidente che, a parita di �f , il numero di modi risonanti aumenta con lalunghezza del dominio e diminuisce con l’inverso della velocita caratteristica.Ad esempio, nell’intervallo (0; 10000)Hz, un dominio monodimensionale disezione costante e lunghezza pari a L = 1m presenta all’incirca:

• 60 modi, se pieno d’aria (c ⇧ 340m/sec);• 20 modi, se pieno d’acqua (c ⇧ 1000m/sec);• 4 modi, se d’alluminio o d’acciaio (c ⇧ 5000m/sec).

1.3.2 Caso 2: tubo aperto-aperto

In questo caso, le condizioni al contorno sono:

P (0) = 0 (1.55)

P (L) = 0 (1.56)

QuindiP (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0) (1.57)

P (L) = P1 sin(kL) + P2 cos(kL) = 0 (1.58)

Dalla (1.57) si ricava che P2 = 0 e pertanto si ritrovano le condizioni (1.48),(1.49), (1.50), (1.66) del paragrafo precedente, con la sola esclusione del casoi = 0 (soluzione rigida):

P (x) =⇣

i=1

P1,i sin(kix). (1.59)


1.3.3 Caso 3: tubo aperto-chiuso

In questo caso, le condizioni al contorno sono le (1.55) e (1.43), per cui

P (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0) = 0 (1.60)

P ⇥(L) = kP1 cos(kL)� kP2 sin(kL) = 0 (1.61)

Dalla (1.60) si ricava che P2 = 0. Dalla (1.61), e possibile ricavare gliautovalori k

cos(kL) = 0� kL =

2+ i (1.62)

con i {0, 1, 2, . . . N}. Noti i numeri d’onda, e possibile calcolare le frequenzeproprie del tubo aperto-chiuso

↵i = c

L

�12+ i

⇥(1.63)

fi =c

2L

�12+ i

⇥(1.64)

con i {0, 1, 2, . . . N}. La risposta del sistema e pertanto ancora esprimibilecome

P (x) =⇣

i=0

P1,i sin(kix). (1.65)

Dal confronto degli autovalori e delle frequenze proprie del tubo aperto-chiuso con quelli del tubo aperto-aperto e chiuso-chiuso, risulta che essi sonodi�erenti. Calcolando la distanza modale tra due modi successivi anche peril sistema tubo aperto-chiuso, risulta che esso resta invariato rispetto ai casiprecedentemente analizzati.

⇧f = fi+1 � fi =c

2L

�12+ i+ 1

⇥� c

2L

�12+ i

⇥=

c

2L(1.66)

Pertanto, pur cambiando le frequenze naturali, la densita modale restaimmutata.

1.3.4 Spazio dei numeri d’onda e riepilogo delle frequenze naturali

In tutti i casi esaminati, lo spazio dei numeri d’onda puo essere rapp-resentato come una retta in cui i modi sono equispaziati, con un intervallo�k = ⇥

2L . Riepilogando le frequenze naturali per i casi analizzati:

• tubo chiuso-chiuso fi =ic2L , con i {0, 1, 2, . . . N};

• tubo aperto-aperto fi =ic2L , con i {1, 2, . . . N};

• tubo aperto-chiuso fi =c2L

⌅12 + i

⇧, con i {0, 1, 2, . . . N}.

In tutti i casi analizzati, sono costanti sia l’intervallo nello spazio dei numerid’onda �k = ⇥

2L che il passo in frequenza ⇧f = c2L .

1.4 Operatore acustoelastico 15

1.4 Operatore acustoelastico

Una volta analizzati singolarmente l’operatore strutturale e quello acusti-co, e possibile esaminare l’operatore accoppiato acustoelastico. Date la (3.3)e le condizioni al contorno (1.2) e (1.3), assumiamo soluzioni armoniche deltipo

x(t) = Xej⌅t (1.67)

p(t) = P (x)ej⌅t (1.68)

Conseguentemente

P (x) = P1 sin(kx) + P2 cos(kx) (1.69)

P ⇥(x) = kP1 cos(kx)� kP2 sin(kx) (1.70)

Dalla prima equazione del sistema accoppiato (3.3) si ricava che

X =A

m

P (0)

�↵2 + ↵20

. (1.71)

Dalle condizioni al contorno imposte sul tubo

�kP1 cos(k0)� kP2 sin(k0) = � ⇤⌅2P (0)

�⌅2+⌅20

Am

kP1 cos(kL)� kP2 sin(kL) = 0(1.72)

�kP1 +

⇤⌅2P2

�⌅2+⌅20

Am = 0

kP1 cos(kL)� kP2 sin(kL) = 0(1.73)

In conclusione, si ottiene il seguente sistema risolvente

⌦k ⇤⌅2P2

�⌅2+⌅20

Am

cos(kL) � sin(kL)

↵�P1

P2

=

�00

. (1.74)

Scartando la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’equazione secolare

�k sin(kL)� cos(kL)⌦↵2

�↵2 + ↵20

A

m= 0 � tan

�↵L

c

⇥=

⌦↵c

↵2 � ↵20

A

m. (1.75)

Poiche la (1.75) e un’equazione trascendente, non esiste la soluzione informa chiusa e pertanto bisogna studiarla graficamente. Denominando:

• ⌅(↵) = tan�↵L

c

⇥il membro dipendente dall’operatore acustico;

• q(↵) = ⇤⌅c⌅2�⌅2

0

Am il membro dipendente dall’operatore strutturale;


Figura 1.6: studio grafico dell’equazione trascendente per il calcolo degliautovalori del sistema acustoelastico.

in Figura 1.6 e riportato un andamento qualitativo di una generica risoluzionegrafica. Gli autovalori del sistema acustoelastico sono dati dall’intersezionedelle curve ⌅(↵) e q(↵).

La Tabella 1.3 riporta una semplice analisi parametrica del problema, incui la parte acustica e inalterata, mentre l’operatore strutturale viene op-portunamente variato. Cio allo scopo di parametrare le frequenze naturaliaccoppiate in funzione di

⇥ =↵20m

⌦c2L. (1.76)

Dalla tabella, si osserva chiaramente come i soli modi (e frequenze) interessatiall’accoppiamento sono sempre il modo (unico) strutturale ed uno dei modiacustici; in particolare, si genera uno split della prima frequenza acustica,mentre le altre frequenze restano praticamente inalterate. Cio e legato al fattoche l’accoppiamento qui presentato e solo dinamico, e non e presente alcunacomponente geometrica: quest’ultima entra in gioco quando anche l’operatorestrutturale e decomposto secondo frequenze proprie e modi che si dispieganonello spazio. Invece, nell’ambito della trattazione, si e considerato il pistonerigido e pertanto parliamo solo di accoppiamento dinamico.

1.5 Valutazione dell’accoppiamento

Un primo modo per valutare l’e�etto dell’accoppiamento in modo ingeg-neristico e basato sull’utilizzo di un paramentro statico, detto ⇤, che non tieneconto delle frequenze naturali disaccoppiate. Esso e cosı definito

1.5 Valutazione dell’accoppiamento 17

Tabella 1.3: e�etto dell’accoppiamento sulle frequenze naturali acustiche infunzione del parametro ⇥.

� =⇤20m

⇥c2L

Frequenze proprie [Hz]Disaccoppiate Accoppiate

Strutturali Acustiche

� = 0.045 13.7

0.0 0.0

13618.7137.3

272 272.6408 408.4544 544.3680 680.3816 816.2

� = 4.588 137.6

0.0 0.0

136127.6146.3

272 272.9408 408.5544 544.3680 680.3816 816.2

� = 13.95 240.0

0.0 0.0

136135.4238.0

272 274.7408 408.7544 544.4680 680.3816 816.2

⇤ =⌦Ac2A⌦Sc2S

(1.77)

dove i pedici A e S sono relativi rispettivamente alla parte acustica e a quellastrutturale e c e ⌦ sono rispettivamente la velocita caratteristica e la densitadell’operatore a cui si riferiscono.

Per ⇤ ⌃ 1, l’e�etto del fluido sulla struttura puo essere trascurato.Nel caso analizzato in questo capitolo, abbiamo un sistema strutturale a

proprieta concentrate ed e facile dimostrare che ⇥ e leggibile come un ⇤�1.L’introduzione del parametro ⇤ permette anche il confronto tra gli e�etti

di due fluidi di�erenti, per fissati parametri strutturali. Ad esempio, andiamoa confrontare aria (⇤ar) e acqua(⇤ac):

⇤ar =⌅ ⌦Sc2S⌦arc2ar

⇧�1(1.78)


⇤ac =⌅ ⌦Sc2S⌦acc2ac

⇧�1(1.79)

Risulta evidente che l’accoppiamento e sempre piu importante all’au-mentare della densita di massa corrispondente. Rapportando membro a mem-bro la (1.79) e la (1.78)

⇤ac

⇤ar=

⌦Sc2S⌦arc2ar

⌅ ⌦Sc2S⌦acc2ac

⇧�1=

⌦acc2ac⌦arc2ar

. (1.80)

Considerando i valori tipici di aria e acqua (cac ⇧ 3car e ⌦ac ⇧ 1000⌦ar),si ha

⇤ac

⇤ar⇧ O(104) (1.81)

da cui si deduce che l’accoppiamento tra una data struttura ed un gas equattro ordini di grandezza minore del corrispondente tra la stessa strutturaed un liquido, come era lecito e naturale aspettarsi.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata

Consideriamo ancora il sistema 3.3, le condizioni al contorno (1.2) e (1.3)e le soluzioni armoniche (1.67) e (1.68).

Nello spazio, consideriamo ora due onde armoniche, una retrocedente el’altra antecedente, in senso complessivo (senza cioe considerare la sola partereale o quella immaginaria):

P (x) = P1ej⌅x + P2e

�j⌅x (1.82)

P ⇥(x) = jkP1e⌅x � jkP2e

⌅x. (1.83)

Essendo sempre valida la (1.71), dalle condizioni al contorno del tubo epossibile scrivere

�jkP1 � jkP2 = � ⇤⌅2

�⌅2+⌅20

Am (P1 + P2)

P1ejkL � P2e�jkL = 0(1.84)

Introducendo la variabile

� =⌦↵2

�↵2 + ↵20

A

m(1.85)

si ottiene il seguente sistema risolvente⌃jk + � �jk + �ejkL �e�jkL

⌥�P1

P2

=

�00

(1.86)

Scartando ovviamente la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’e-quazione secolare.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata 19

e�jkL(� + jk) + ejkL(� � jk) = 0 �(� + jk) cos(kL)� (� + jk)j sin(kL) + (� � jk) cos(kL) + (� � jk)j sin(kL) = 0

(1.87)A questo punto, e necessario annullare contemporaneamente e separatamentela parte reale e quella immaginaria:

�� cos(kL) + k sin(kL) + � cos(kL) + k sin(kL) = 0jk cos(kL)� j� sin(kL)� jk cos(kL) + j� sin(kL) = 0

�

�2� cos(kL) + 2k sin(kL) = 00 = 0

(1.88)

Dal sistema (1.88) si ricava che

tan(kL) =�

k� tan(kL) =

⌦c↵

�↵2 + ↵20

A

m(1.89)

ritrovando, come era lecito aspettarsi, il risultato espresso dalla (1.75).







Acusto-Elastici.

Introduzione all’Aeroelasticità

Sergio De Rosa

Dipartimento di Ingegneria Industriale Sezione Aerospaziale

Università degli Studi di Napoli �Federico II�

2

Una Prima Definizione

•  L�Aeroelasticità è la disciplina che tratta lo studio degli effetti delle forze aerodinamiche sulle strutture elastiche.

•  Applicata ? Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco.

3

Risposta a Ciclo Aperto (Open Loop)

Spostamento(Output)

Struttura(Sistema)

Carico(Input)

Nei sistemi a ciclo aperto lineari, non c�è possibilità di indeterminazione: una volta assegnato il sistema, ed il suo ingresso sia una quantità nota, l�uscita è univocamente determinata.

{ } [ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }

Esempi:Risposta Statica

Risposta AeroelasticaF K x

M q K q A q q FD

=

+ = +∗ ( )

4

Risposta a Ciclo Chiuso (Closed Loop)

Carichi Sistema Risposta

Carichi Incrementali

Le condizioni finali possono essere equilibrate (quale tipo di equilibrio ?), ma possono condurre il sistema

verso una divergenza (statica e/o dinamica) della risposta.

5

Profilo Elastico Torsionalmente (1/2)

Angolo d�Attacco Profilo Rigido Portanza

Profilo Elastico

α"

θ"Rigidezza Torsionale

θ=θ0*exp(-jωt) U

α" mθ"θ"

6

Profilo Elastico Torsionalmente (2/2)

•  Momento Aerodinamico dovuto all�incremento di Portanza: ΔM =ΔL*a •  Momento di Richiamo Elastico: ΔMθ=mθ*θ"

A) ΔM e ΔMθ hanno lo stesso verso (Effetto Stabilizzante)"B) ΔMθ =0 (Indifferenza dell�Effetto) C) ΔM e ΔMθ hanno verso opposto (Effetto Instabilizzante)

C1) ΔM < ΔMθ (il profilo raggiunge l�equilibrio)"C2) ΔM = ΔMθ (il profilo è in equilibrio indifferente)"C3) ΔM > ΔMθ (il profilo diverge)""

""

7

Schema Funzionale in una Generica Condizione di Volo

Comportamento Dinamico delle

Strutture Forze Aerodinamiche Instazionarie

da Flusso Separato (sulle superfici portanti)

Meccanismo d�Interazione Aeroelastica di tipo Dinamico

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato

(raffiche, turbolenze, ecc.)

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

8

Meccanismi Funzionali: Flutter (Vibrazione Autoeccitata)


Strutture


9

Meccanismi Funzionali: Risposta Dinamica


Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato

(raffiche, turbolenze, ecc.)


10

Meccanismi Fuzionali: Buffetting


Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Separato

(sulle superfici portanti)


11

Il Concetto di Operatore

•  Semplicisticamente l�operatore è un algoritmo matematico che trasforma una grandezza in ingresso in una in uscita.

•  Suddivisione degli Operatori: – Strutturale –  Inerziale – Smorzamento – Aerodinamico

Operatore Aeroelastico

12

Operatori Strutturali Lineari

•  Classificazione degli operatori lineari: –  strutturale: esplicita la risposta del sistema per la

parte proporzionale agli spostamenti –  inerziale: esplicita la risposta del sistema per la

parte proporzionale alle accelerazioni –  smorzamento viscoso: esplicita la risposta del

sistema per la parte proporzionale alle velocità

F mx cx kx= + +

13

Triangolo dell�Aeroelasticità di Collar (1946)

A

E I

14

Ramo A-E

! D Divergenza

! EC Efficacia dei Comandi

! IC Inversione dei Comandi

! DCE Distribuzione del Carico sul Velivolo Elastico

! SSE Stabilità Statica del Velivolo Elastico

15

Punto A e Ramo A-I

! DCR Distribuzione del Carico sul Velivolo

Rigido

! SSR Stabilità Statica del Velivolo Rigido

! SDR Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido

16

Ramo I-E

! ID Impatto Dinamico

! V Dinamica delle Strutture o Meccanica

Vibratoria

17

. . . si entra nel triangolo AEI

! F Flutter

! B Buffetting

! RD Risposta Dinamica

! SDE Stabilità Dinamica del Velivolo

Elastico

18

Triangolo dell�Aeroservoelasticità

A

E S

aero

elasti

cità servoelasticità

aeroservodinamica

19

Triangolo dell�Aeroacustoelasticità

A

S A

aero

elasti

cità aeroacustica

acustoelasticità

20

Tetraedro Aerotermoelastico di Garrick

A

E I H

HEI Influenza della Temperatura sulla Dinamica delle Strutture

AHI Influenza della Temperatura sulla Stabilità del Velivolo AHE

Influenza della Temperatura sull�Aeroelasticità Statica

21

Formulazione Simbolica dell�Equazione Generale dell�Aeroelasticità (1/3)

•  A(q) d2q/dt2+ B(q) dq/dt + C(q) q=A(q) q+QD

– A è l�operatore inerziale – B è l�operatore di smorzamento – C è l�operatore di rigidezza – A è l�operatore aerodinamico – Q è l�operatore di disturbo (non dipende da q) –  q è la coordinata generalizzata.

•  Non è stata fatta alcuna ipotesi restrittiva per questa rappresentazione formale

22

Equazione Generale dell�Aeroelasticità (2/3)

Ipotesi : Linearità degli Operatori A,B, e C

(A+B+C)q=A(q)q+QD ed esplicitando le funzionalità col tempo:

Si può anche esplicitare analogamente l’operatore aerodinamico:

Ad2qdt2+Bdqdt+Cq = A( q )q+QD

( ) ( ) ( )Ad qdt

Bdqdt

C q QD− + − + − =A B C2

2

23

Equazione Generale dell�Aeroelasticità (3/3)

[ ] [ ]( ){ }[ ] [ ]( ){ }

[ ] [ ]( ){ }{ }

A qB q

C qQD

−

+ −

+ −

=

AB

C

Formulazione Matriciale:

In corsivo è sempre indicato l�operatore aerodinamico corrispondente.

24

Esempi di Specializzazioni in Forma Matriciale

[ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( ){ }A q B q C q− + − + − =A B C 0Flutter

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }A q B q C q QD + + =Dinamica delle Strutture

Divergenza [ ] [ ]( ){ }C q− =C 0

[ ] [ ]( ){ } { }C q QD− =CAeroelasticità Statica

[ ] [ ]( ){ } [ ]{ } [ ]{ } { }A q q q QD− − − =A B C

Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido (a e b)

[ ]{ } [ ]{ } { }A q q QD = +C







Acusto-Elastici.

2

L’instabilita dinamica (flutter supersonico) diun pannello

Si vuole analizzare la risposta di un pannello sottile lambito da un latoda un flusso supersonico, mentre dall’altro c’e un volume in quiete. Si parladi aeroelasticita non portante poiche il flusso lambisce una sola faccia delpannello, e quindi non puo generare portanza.

Si scriveranno prima le equazioni del pannello isolato e successivamente siinserira l’aerodinamica per risolvere il problema aeroelastico.

Questo schema e stato sviluppato con la collaborazione dell’Ing. ErnestoMonaco.

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile

Scriviamo le equazioni del moto per un pannello sottile non smorzato,caricato da una distribuzione di pressione generica p(x, y, t). Sia il pannellosottile di lati di lunghezza a e b, lungo gli assi x e y rispettivamente, in unsistema di riferimento cartesiano ortogonale O

xyz

.

Figura 2.1: pannello aeroelastico e relativo sistema di riferimento.

L’equazione del pannello sottile e

22 2 L’instabilita dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Dh⇣ @4

@x4

+@4

@x2@y2+

@4

@y4

⌘

w(x, y, t)i

+ ⇢sh@2w(x, y, t)

@t2+ p(x, y, t) = 0 (2.1)

o equivalentemente

Dr4w(x, y, t) +m@2w(x, y, t)

@t2+ p(x, y, t) = 0 (2.2)

dove:

• w(x, y, t) e lo spostamento incognito del pannello;• x e y sono le coordinate spaziali;• t e la coordinata temporale;• ⇢s e la densita di massa del pannello;• h e lo spessore del pannello;• D e la rigidezza flessionale del pannello per unita di apertura;• p(x, y, t) e il carico di pressione che agisce sul pannello;• m = ⇢sh e la massa del pannello.

2.1.1 Soluzione dell’equazione omogenea associata

Supponendo che il pannello sia incernierato sui quattro lati (spostamenti eloro derivate seconde nulli), gli spostamenti del pannello sono cosı esprimibili:

w(x, y, t) =1X

p=1

1X

r=1

sin⇣p⇡x

a

⌘

sin⇣r⇡y

b

⌘

qpr(t) (2.3)

o equivalentemente

w(x, y, t) =1X

p=1

1X

r=1

pr(x, y)qpr(t) (2.4)

dove pr(x, y) l’autovettore del problema omogeneo. Dalla (2.4) si comprendecome si sia passati da una variabile tridimensionale w(x, y, t) al prodotto didue variabili:

• pr(x, y) sono gli autovettori, che sono noti (avendo imposto le condizionial contorno);

• qpr(t) e la variabile lagrangiana modale, dipendente solo dal tempo.

Gli autovettori soddisfano ovviamente l’equazione omogenea associata

Dr4 pr(x, y)� !2

prm pr(x, y) = 0 (2.5)

dove gli autovalori !pr (pulsazioni proprie) sono dati da

!2

pr =

s

D

⇢sh

h⇣p⇡

a

⌘

2

+⇣r⇡

b

⌘

2

i

(2.6)

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile 23

con p, r 2 {1, 2, . . . , N}.Si osservi che per denotare un singolo autovettore pr(x, y) occorre una

coppia di interi (p, r), che definisce in modo univoco un modo proprio divibrare del pannello e la corrispondente pulsazione propria. In particolare lacoppia d’interi (p, r) rappresenta il numero di semionde flessionali sviluppatesecondo gli assi x e y, rispettivamente, come mostrato nella Figura 2.2.

Figura 2.2: autovettore p=1,r=3

(x, y)

L’espansione modale qui presentata e applicabile anche a casi in cui le con-dizioni al contorno del pannello siano diverse da quelle del semplice appoggio.In tal caso, l’intero procedimento e approssimato (sviluppo di Rayleigh - Ritz)in quanto sia l’espansione dei modi spaziali sia le autosoluzioni temporali sonograndezze approssimate.

Si noti inoltre che spesso e arduo classificare i modi propri mediante il con-teggio delle semionde in due direzioni ortogonali: basti pensare che il pannello,in generale, potrebbe non essere dotato di regolarita geometrica.

Pertanto, l’espansione modale esatta presentata in questo capitolo e pos-sibile solo in pochi casi.

2.1.2 Soluzione dell’equazione completa

Nel paragrafo precedente, si e delineata una procedura per modellare l’op-eratore strutturale, trovando una soluzione per l’equazione omogenea associ-ata. Si cercano ora soluzioni modali anche per l’equazione completa, in cui epresente un generico carico di pressione p(x, y, t). I passi da eseguire sono, insequenza:

1. sostituire l’espansione modale (2.3) nell’equazione del moto (2.1);2. moltiplicare l’equazione cosı ottenuta per un nuovo autovettore mn(x, y);3. integrare sul dominio spaziale, ovvero sull’area del pannello;4. per la proprieta di ortogonalita dei modi propri, le soluzioni non nulle si

hanno solo se p = m e r = n.


Per ogni modo proprio considerato, si ottiene un’equazione del tipo

mpr qpr(t) +mpr!2

prqpr(t) = �Z a

0

Z b

0

p(x, y, t) pr(x, y) dx dy. (2.7)

Si noti che al secondo membro della (2.7) compare la capacita che la gener-ica distribuzione di pressione p(x, y, t) ha di compiere lavoro sul modo proprio mn(x, y). Al primo membro troviamo i termini modali, in particolare:

• la massa generalizzata, data da

mprmn = ⇢sh

Z a

0

Z b

0

pr(x, y) mn(x, y) dx dy =

= mpr = ⇢sh

Z a

0

Z b

0

[ pr(x, y)]2 dx dy =

1

4⇢shab.

(2.8)

Quindi, la massa generalizzata e pari ad 1

4

della massa totale del pannello;• la rigidezza generalizzata, data da

kpr = mpr!2

pr. (2.9)

2.1.3 Carico di pressione puntuale

Nello sviluppo e↵ettuato sinora, la pressione e stata considerata un caricoarbitrario e non specificato. Consideriamo il caso in cui la pressione sia diorigine meccanica e puntualmente agente sul pannello in un punto (xF , yF ),ovvero

p(x, y, t) = f(t)�(x� xF )�(y � yF ). (2.10)

Nella (2.10) si e fatto uso della funzione di Dirac �(x � xF ). In questo caso,la (2.7) diventa

mpr qpr(t) +mpr!2

prqpr(t) = �f(t)

Z a

0

Z b

0

�(x� xF )�(y � yF ) pr(x, y) dx dy.

(2.11)Risolvendo, si ottiene

mpr qpr(t) +mpr!2

prqpr(t) = �f(t) sin⇣p⇡xF

a

⌘

sin⇣r⇡yF

b

⌘

. (2.12)

A questo punto, si ricercano soluzioni armoniche per la (2.12), imponendoche:

qpr(t) = Apre�j!t (2.13)

f(t) = Fe�j!t (2.14)

con j =p�1. E facile dimostrare che la soluzione dell’equazione completa e

data dall’espansione

2.2 Aerodinamica instazionaria 25

w(x, y, t) = e�j!t1X

p=1

1X

r=1

Apr sin⇣p⇡x

a

⌘

sin⇣r⇡y

b

⌘

=

= Fe�j!t1X

p=1

1X

r=1

sin⇣

p⇡xa

⌘

sin⇣

r⇡yb

⌘

sin⇣

p⇡xF

a

⌘

sin⇣

r⇡yF

b

⌘

mpr!2

pr �mpr!2

.

(2.15)

Dato che la massa generalizzata e costante, come dimostrato nella (2.8), sipuo semplificare ulteriormente la (2.15), ottenendo in conclusione

w(x, y, t) =4F

⇢shabe�j!t

1X

p=1

1X

r=1

sin⇣

p⇡xa

⌘

sin⇣

r⇡yb

⌘

sin⇣

p⇡xF

a

⌘

sin⇣

r⇡yF

b

⌘

!2

pr � !2

.

(2.16)Per regolare il comportamento in condizioni di risonanza (! = !pr), e

necessario introdurre uno smorzamento; il metodo piu semplice per introdurrelo smorzamento del pannello nel modello analitico e quello di considerare unmodulo di elasticita complesso. Nel caso in esame, si definisce una rigidezzaflessionale complessa D(1 + ⌘), dove ⌘ il coe�ciente di smorzamento.

In tal caso, la risposta del pannello in presenza di smorzamento e pari a

w(x, y, t) =4F

⇢shabe�j!t

1X

p=1

1X

r=1

sin⇣

p⇡xa

⌘

sin⇣

r⇡yb

⌘

sin⇣

p⇡xF

a

⌘

sin⇣

r⇡yF

b

⌘

(!2

pr � !2) + j⌘!2

pr

.

(2.17)La (2.17) e l’equazione del pannello nelle ipotesi di pannello:

• isolato;• forzato, con un carico puntuale in (xF , yF );• smorzato (che e l’ipotesi piu forte per il modello di smorzamento assunto).

2.2 Aerodinamica instazionaria

Nello sviluppo presentato al paragrafo precedente, si e supposto che il cari-co di pressione sia un termine noto, indipendentemente dalla sua origine. Sicercano adesso delle espressioni che rendano il fenomeno fisico dell’accoppia-mento dei moti del pannello investito da una corrente di note proprieta. Impos-tiamo, quindi, l’operatore aerodinamico da accoppiare poi a quello strutturale,in vista del modello aeroelastico completo.

Per trovare un’espressione delle forze aerodinamiche generalizzate, ovveroil secondo membro della (2.7), bisogna scrivere l’equazione di↵erenziale cheregola il potenziale di velocita per piccoli disturbi di un fluido irrotazionale,inviscido, parallelo all’asse x. Tale equazione e

r2� =1

C

⇣@2�

@t2+ 2U

@2�

@t@x+ U2

@2�

@x2

⌘

(2.18)

dove:


• � e il potenziale di velocita;• U e la velocita della corrente asintotica;• C e la velocita della corrente asintotica.

Le condizioni al contorno per il potenziale sono:

�|z!1 = 0 condizione asintotica (2.19)

@�

@z|z!0

=

(

@w@t + U @w

@x , sul pannello

0, fuori dall’area del pannello(2.20)

A parte la condizione asintotica, e necessario so↵ermarsi sulla condizioneal contorno definita sul pannello, che risulta essere una condizione di ac-coppiamento. Essa e indicativa dell’interazione del fluido con il pannello invibrazione, poiche la vibrazione del pannello determina un disturbo sullavelocita del fluido che lo lambisce.

In particolare, la velocita sul pannello e data dalla somma di due contribu-ti:

• @w@t , dovuta alla condizione di continuita, secondo cui una particella difluido sul pannello ha una velocita pari alla velocita di vibrazione delpannello stesso;

• U @w@x , che e la componente convettiva, dovuta al fatto che c’e un flusso di

massa che lambisce il pannello con velocita U .

Al di fuori dell’area del pannello, la corrente e indisturbata, e pertanto ilpannello definisce uno schermo (ba✏e) di disturbo.

La soluzione del problema puo essere trovata adottando una doppia trasfor-mata di Fourier (una rispetto alle coordinate spaziali ed una rispetto alla co-ordinata temporale) sia dell’equazione (2.18) che delle relative condizioni alcontorno.

A questo punto, e necessario introdurre un legame tra il potenziale divelocita della corrente e la pressione, ovvero del carico aerodinamico che agiscesul pannello. Si introduce pertanto la relazione di Bernoulli

p = �⇢f⇣@�

@t+ U

@�

@x

⌘

(2.21)

dove con ⇢f si e indicata la densita di massa del fluido considerato.Nel caso di moto supersonico, in particolare per M1 > 1.5, e possibile

semplificare la relazione di Bernoulli, descrivendo la distribuzione di pressionemediante la Piston Theory, che costituisce un notevole vantaggio. La Piston

Theory e un modello locale tale che il carico agente in un punto del pan-nello e indipendente da quanto accade negli altri punti, come se su ognunodi essi agisse un pistone ad esercitare la pressione. Questo tipo di approcciofornisce una relazione tra lo spostamento w(x, y, t) del pannello, ovvero l’op-eratore strutturale, e la pressione p(x, y, t), ovvero l’operatore aerodinamico.In particolare, e possibile scrivere:

2.2 Aerodinamica instazionaria 27

not stationary piston theory p = �⇢fC⇣@w

@t+ U

@w

@x

⌘

(2.22)

stationary piston theory p = �⇢fC⇣

U@w

@x

⌘

(2.23)

Il vantaggio dell’utilizzo della Piston Theory e che, mediante alcuni pas-saggi matematici, si giunge a scrivere la parte aerodinamica associata alla vi-brazione del pannello, cioe la distribuzione di pressione, nelle stesse coordinatemodali utilizzate per l’equazione del pannello.

Utilizzando le (2.3),(2.7),(2.22), e possibile ottenere:

mpr qpr(t) +mpr!2

prqpr(t) + ⇢fU2Qpr(t) = 0 (2.24)

dove

Qpr(t) =

Z a

0

Z b

0

p(x, y, t)

⇢fU2

pr(x, y) dx dy. (2.25)

La matrice Qpr e una matrice modale, e rappresenta il lavoro che la dis-

tribuzione di pressione p(x, y, t) svolge per il modo proprio pr. E una matricepiena, nella quale:

• sulla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressione p(x, y, t)dovuta al modo ij svolge sul modo ij stesso;

• fuori dalla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressionep(x, y, t) dovuta al modo ij svolge sul modo mn, con (i, j) 6= (m,n);

Pertanto, per descrivere ogni termine della matrice Qpr sono necessari 4indici, poiche il termine Qprmn esprime il lavoro compiuto dalle forze aerod-inamiche dovute al modo pr-simo del pannello per gli spostamenti associatial modo mn-esimo. La forza generalizzata relativa al modo pr-esimo del pan-nello Qpr e data dalla somma dei contributi dei lavori compiuti dalle forzeaerodinamiche di tutti i modi mn-esimi del pannello, ovvero:

Qpr =MX

m=1

NX

n=1

Qprmn (2.26)

Grazie alla Piston Theory, la matrice Qpr puo essere scomposta in unaparte statica ed una dinamica, ottenendo

Qpr =MX

m=1

NX

n=1

h

Q(s)prmn +Q(d)

prmn

i

=MX

m=1

NX

n=1

h

qmn(t)Sprmn + qmn(t)Dprmn

i

.

(2.27)Nella (2.27), la matrice Spr e la matrice statica, legata all’e↵etto aerodinamicostazionario, ed e rappresentativa della rigidezza introdotta dalla parte aerod-inamica (si parla di matrice di rigidezza aerodinamica generalizzata); la ma-trice Dpr e la matrice dinamica, legata all’e↵etto aerodinamico instazionario,e tiene conto dello smorzamento introdotto dalla parte aerodinamica (matricedi smorzamento aerodinamico generalizzata).


Utilizzando la (2.22), e possibile andare a calcolare le matrici Spr e Dpr.Indicando con M1 il numero di Mach della corrente asintotica, e possibilescrivere:

Sprmn =1

M1

Z a

0

Z b

0

@ pr(x, y)

@x mn(x, y) dx dy =

=1

M1

"

Z b

0

sin⇣r⇡y

b

⌘

sin⇣n⇡y

b

⌘

dy

#"

p⇡

a

Z a

0

cos⇣p⇡x

a

⌘

sin⇣m⇡x

a

⌘

dx

#

(2.28)

Dprmn =1

(U)(M1)

Z a

0

Z b

0

pr(x, y) mn(x, y) dx dy =

=1

(U)(M1)

"

Z b

0

sin⇣r⇡y

b

⌘

sin⇣n⇡y

b

⌘

dy

#"

Z a

0

sin⇣p⇡x

a

⌘

sin⇣m⇡x

a

⌘

dx

#

(2.29)

Risolvendo gli integrali (2.28) e (2.29), si ottiene:

Sprmn =

(

0 se r 6= n o p = m

� pM1

⇣

b4

⌘h

(m�p) cos[⇡(m+p)]+(m+p) cos[⇡(m�p)]�2m(m�p)(m+p)

i

se r = n o p 6= m

(2.30)

Dprmn =

(

0 se r 6= n o p 6= mab

4(U)(M1)

⌘ Dpr se r = n o p = m(2.31)

La novita dell’approccio e↵ettuato sta nell’utilizzare la base modale persviluppare sia l’operatore strutturale che quello aerodinamico. Infatti, grazieall’ipotesi di lavoro della teoria del pistone, le equazioni si presentano tutte infunzione degli spostamenti del pannello, espressi dall’unica variabile modaleq(t).

2.3 Equazioni aeroelastiche

E possibile a questo punto impostare il problema aeroelastico nella suaforma piu immediata, sfruttando le relazioni sin qui ottenute. In particolare,considerando i modi del pannello con ordine massimo N lungo x ed M lungoy, e possibile scrivere un’equazione di questo tipo:

mpr qpr(t) +mpr!2

prqpr(t) + ⇢fU2

MX

m=1

NX

n=1

h

qmn(t)Sprmn + qmn(t)Dprmn

i

= 0

(2.32)

2.3 Equazioni aeroelastiche 29

con p 2 {1, 2, . . . , N} e r 2 {1, 2, . . . ,M}.Si ricorda che, anche se di di�cile lettura, il doppio indice e strettamente

necessario in quanto la coppia d’interi definisce univocamente il modo delpannello. In forma matriciale, la (2.32) diventa:

1

4ab⇢sh[I]

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

q1,1(t)......

qN,M (t)

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

+1

4ab⇢sh

2

6

6

6

6

4

!2

1,1 0 . . . 0

0. . . . . . 0

. . . . . .. . . . . .

0 0 . . . !2

N,M

3

7

7

7

7

5

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

q1,1(t)......

qN,M (t)

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

=

�⇢fU2

2

6

6

6

6

4

S1,1�1,1 . . . . . . S

1,1�N,M

.... . . . . . 0

... . . .. . .

...SN,M�1,1 . . . . . . SN,M�N,M

3

7

7

7

7

5

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

q1,1(t)......

qN,M (t)

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

� ⇢fU

M1

ab

4[I]

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

q1,1(t)......

qN,M (t)

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

(2.33)

dove [I] e la matrice identica.Dalla (2.33) e possibile notare alcuni fatti salienti:

• per U = 0 il sistema d’equazioni si disaccoppia totalmente, ottenendo tanteequazioni ad un grado di liberta quanti sono i modi del pannello scelti perla rappresentazione del fenomeno (scompare il problema aerodinamico, eresta il problema strutturale lineare);

• e solo grazie all’aerodinamica che il sistema d’equazioni di↵erenziali ordi-narie del secondo ordine omogeneo e tale;

• il sistema, in generale, ammette delle (auto)soluzioni dipendenti da U (equindi da M1);

• le matrici [S] e [D] al secondo membro, come gia accennato, possono es-sere definite rispettivamente come matrici di rigidezza e di smorzamentoaerodinamiche;

• [D] e diagonale;• [S] non e diagonale, e quindi non e possibile disaccoppiare i modi pro-

pri. L’analisi modale in questo caso non permette il disaccoppiamentodelle equazioni, ma permette comunque di esprimere anche le forze aerodi-namiche generalizzate mediante la stessa coordinata lagrangiana utilizzataper la risposta del pannello.

Si deduce pertanto che l’interazione fluido-struttura al variare della veloc-ita determina una variazione delle proprieta del pannello in termini di rigidez-za e smorzamento che puo portare ad un’instabilita aeroelastica. L’analisi del-l’instabilita aeroelastica consiste nel ricercare quelle velocita in corrispondenzadelle quali:

• si annulla la rigidezza del sistema aeroelastico, ed in questo caso parliamodi divergenza (instabilita statica);


• si annulla lo smorzamento del sistema aeroelastico, ed in questo casoparliamo di flutter (instabilita dinamica).

2.4 Sistema ad un grado di liberta

Per comprendere meglio il significato dei singoli operatori e dei calcoli dae↵ettuare, e opportuno partire dal sistema aeroelastico piu semplice, in cui siconsidera solo il primo modo del pannello (quindi con p = r = 1). L’equazionedel sistema e

1

4ab⇢shq1,1(t) +

1

4ab⇢sh!

2

1,1q1,1(t) + ⇢fU2S

1,1�1,1q1,1(t) +⇢fU

M1

ab

4q1,1(t) = 0.

(2.34)Dato che S

1,1�1,1 = 0, dividendo primo e secondo membro per ab4

eponendo per semplicita q

1,1 ⌘ q e !1,1 ⌘ ⌦, la (2.34) diventa:

⇢shq(t) + ⇢sh⌦2q(t) + ⇢fCq(t) = 0 (2.35)

dove chiaramente C = UM1

e la velocita del suono della corrente asintotica.

Si cercano soluzioni armoniche del tipo q(t) = q0

e�t.L’equazione secolare a cui si perviene e

h

�2 + �⇣⇢fC

⇢sh

⌘

+⌦2

i

q0

= 0 (2.36)

da cui si ricava

� = �1

2

⇣⇢fC

⇢sh

⌘

±

s

⇣⇢fC

⇢sh

⌘

2

� 4⌦2. (2.37)

Dall’esame della (2.37) si puo dedurre che si ottengono autovalori comp-

lessi solo se⇣

⇢fC⇢sh

2

< 4⌦2

⌘

. In tal caso, gli autovalori sono necessariamente

complessi coniugati a parte reale negativa.Allo stesso tempo, e possibile constatare che nel caso di autovalori pura-

mente reali, essi sono certamente minori di zero (al massimo nulli).Si ricordi a questo punto che per come si e sviluppata la procedura di

estrazione degli autovalori, la condizione necessaria a�nche si abbia instabilitaaeroelastica (panel flutter) e che la parte reale dell’autovalore deve esserepositiva, ovvero Re(�) > 0.

Sulla base delle precedenti considerazioni, e possibile a↵ermare che:

• non e verificabile un’instabilita instazionaria aeroelastica dei pannelli adun grado di liberta;

• il sistema in queste approssimazioni non dipende dalla velocita del flusso;• se si esplicitasse l’operatore stazionario associato alla Piston Theory, nel

caso di sistema ad un grado di liberta scomparirebbe del tutto la parteaerodinamica.

2.5 Sistema a due gradi di liberta 31

2.5 Sistema a due gradi di liberta

Si esamino ora un sistema aeroelastico instazionario in cui si consid-erano solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazione delsistema e

1

4ab⇢sh

1 00 1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

+1

4ab⇢sh

!2

1,1

0 !2

2,1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

=

� ⇢fU2

S1,1�1,1 S

1,1�2,1

S2,1�1,1 S

2,1�2,1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

� ⇢fU

M1

ab

4

1 00 1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

. (2.38)

Dato che S1,1�1,1 = S

2,1�2,1 = 0, dividendo ambo i membri per 1

4

ab⇢sh eponendo per semplicita

• q1,1 ⌘ q

1

;• q

2,1 ⌘ q2

;• !

1,1 ⌘ ⌦1

;• !

2,1 ⌘ ⌦2

;

la (2.38) diventa

⇢

q1

(t)q2

(t)

�

+⇢fC

⇢sh

⇢

q1

(t)q2

(t)

�

⌦2

1

00 ⌦2

2

�

+⇢fU2

⇢sh

4

ab

0 S1,1�2,1

S2,1�1,1 0

�

!

⇢

q1

(t)q2

(t)

�

=

⇢

00

�

.

(2.39)Si cercano ancora soluzioni del tipo q(t) = q

0

e�t. L’equazione secolare e laseguente

⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

1

⌘⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

2

⌘

�⇣⇢fU2

⇢sh

4

ab

⌘

2

S2,1�1,1S1,1�2,1 = 0.

(2.40)Dalla (2.30), e possibile calcolare S

1,1�2,1 = �S2,1�11

= 2

3

bM1

. Sostituen-do nell’equazione secolare (2.40), si ricava:

⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

1

⌘⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

2

⌘

+⇣⇢fU2

⇢sh

4

ab

⌘

2

⇣2

3

b

M1

⌘

2

= 0 (2.41)

⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

1

⌘⇣

�2 +⇢fC

⇢sh�+⌦2

2

⌘

+⇣⇢fUC

⇢sha

8

3

⌘

2

= 0 (2.42)

La (2.42) e un’equazione del quarto grado biquadratica caratterizzata dasoluzioni note e dipendenti da:

• caratteristiche del pannello;• quota (densita e velocita caratteristica del suono);• velocita asintotica.


E possibile quindi e↵ettuare analisi parametriche delle variazioni degli au-tovalori di flutter. Quella che in questo ambito si ritiene piu facilmente in-terpretabile permette di inseguire i valori delle parti reali e immaginarie deiquattro autovalori per un fissato numero di Mach al variare della velocita delfluido. In altre parole, al variare della velocita asintotica, la quota (e quindi lavelocita caratteristica del suono) varia in maniera tale che il numero di Machsi mantenga costante. Da un punto di vista matematico, cio corrisponde nelsostituire nell’equazione (2.42) C = U

M1, considerare il numero di Mach come

una costante assegnata e U unica variabile indipendente del problema.Si osservi che l’autovalore � e pari a � = ⌘ + j!.I risultati ottenuti sono mostrati dalle Figure 2.3 e 2.4, in cui sono riportati

rispettivamente gli andamenti di frequenze naturali ! = Im(�) e smorzamenti

⇣ = Re(�)Im(�) del sistema aeroelastico con la velocita asintotica.

E facilmente verificabile che i quattro autovalori del problema aeroelasticosono caratterizzati da parti reali e parti immaginarie a due a due uguali e op-poste tra loro, ovvero si ritrovano le stesse soluzioni mediante uno sfasamentodi 180 gradi. Inoltre, e immediato constatare che le due soluzioni corrispon-dono per U = 0 (operatore aerodinamico assente) agli autovalori puramentestrutturali. In tale ottica, e possibile interpretare l’analisi aeroelastica come lavariazione degli autovalori strutturali dovuta ad un disturbo esterno di tipoaerodinamico.

Dalla Figura 2.3 risulta che all’aumentare della velocita, le frequenze pro-prie del sistema convergono ad un unico valore. Giunti alla velocita di co-alescenza, i modi propri sono in grado di scambiarsi energia. Questa e unacondizione necessaria ma non su�ciente per avere panel flutter. La condizionefondamentale e riportata nella Figura 2.4: l’aumento di velocita fa cambiarecon continuita lo smorzamento aerodinamico (lo smorzamento strutturale e

Figura 2.3: frequenze naturali del sistema instazionario al variare della velocitaa Mach fissato (M1 = 2).

2.5 Sistema a due gradi di liberta 33

Figura 2.4: smorzamenti del sistema instazionario al variare della velocita aMach fissato (M = 21).

nullo in quanto si considera la struttura conservativa), ed in corrispondenzadella velocita di coalescenza uno dei due smorzamenti prima si annulla, poidiventa positivo.

La frequenza di coalescenza e la corrispondente velocita sono denominatedi flutter , ed in accordo con quanto detto prima e possibile a↵ermare che lacondizione di panel flutter si raggiunge quando il disturbo aerodinamico an-nulla lo smorzamento complessivo del sistema e porta a coalescenza le partiimmaginarie dei due autovalori (pulsazioni). Fisicamente, in corrispondenzadella velocita di flutter i modi del pannello si accoppiano per via aerodinam-ica (ad esempio, il modo (1,1) introduce una distribuzione di pressione chelavora per il modo (2,1)), e quindi sono in grado di scambiarsi energia. Diconseguenza, il fluido invece di estrarre energia dalla struttura (dissipandola),la rifornisce di quest’ultima (permettendo l’accoppiamento tra i modi) proprioin corrispondenza di una frequenza propria del sistema accoppiato, creandouna tipica situazione di instabilita dinamica.

Esaminiamo ora il sistema aeroelastico stazionario in cui si consider-ano ancora solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazionedel sistema e simile alla (2.38), con la sola di↵erenza che non e presente iltermine instazionario q.

1

4ab⇢sh

1 00 1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

+1

4ab⇢sh

!2

1,1

0 !2

2,1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

=

= �⇢fU2

S1,1�1,1 S

1,1�2,1

S2,1�1,1 S

2,1�2,1

�⇢

q1,1(t)q2,1(t)

�

(2.43)

Mediante le stesse assunzioni utilizzate per scrivere la (2.39), e possibileriscrivere la (2.43) come


Figura 2.5: frequenze naturali del sistema stazionario al variare della velocitaa Mach fissato (M = 21).

Figura 2.6: smorzamenti del sistema stazionario al variare della velocita aMach fissato (M = 21).

⇢

q1

(t)q2

(t)

�

⌦2

1

00 ⌦2

2

�

+⇢fU2

⇢sh

4

ab

0 S1,1�2,1

S2,1�1,1 0

�

!

⇢

q1

(t)q2

(t)

�

=

⇢

00

�

. (2.44)

Cercando ancora soluzioni armoniche per la (2.44), e calcolando i terminidella matrice [S], l’equazione secolare a cui si giunge e la seguente:

⇣

�2 ++⌦2

1

⌘⇣

�2 ++⌦2

2

⌘

+⇣⇢fUC

⇢sha

8

3

⌘

2

= 0. (2.45)

A questo punto, e possibile svolegere un’analisi analoga a quella fatta peril sistema instazionario, diagrammando nelle Figure 2.5 e 2.6 l’andamento di

2.6 Generalizzazione 35

pulsazioni e smorzamento in funzione della velocita del fluido (a numero diMach fissato). Le dimensioni caratteristiche del pannello e del fluido sono in-alterate rispetto al caso instazionario. I risultati dimostrano che modellandol’operatore strutturale mediante solo due gradi di liberta e possibile ricavareuna velocita d’instabilita aeroelastica anche in condizioni aerodinamiche pura-mente stazionarie. L’unica variazione significativa rispetto al caso stazionarioe che lo smorzamento non subisce variazioni fino alla velocita di flutter (datoche la struttura e conservativa e non e presente la matrice di smorzamentoaerodinamico [D]).

Limiti della trattazione del sistema a due gradi di liberta

E opportuno evidenziare che l’analisi e↵ettuata, per quanto particolar-mente utile da un punto di vista teorico per chiarire i meccanismi dell’in-stabilita in questione, potrebbe portare a deduzioni errate se non interpretateadeguatamente. L’approccio utilizzato nell’analisi parametrica delle variazionidegli autovalori consiste nel fissare il numero di Mach supersonico a priori ecollegare la variazione di velocita con quella della quota. E chiaro a questopunto che, se si andasse ad indagare a quale quota si otterrebbe la velocitadi flutter per il fissato numero di Mach, potrebbe risultare che tale fenomenoavvenga ben oltre l’atmosfera terrestre per alcune configurazioni geometrichedel pannello scelto. Un tale risultato e chiaramente privo di riscontro fisicoavendo scelto come densita del fluido quella dell’aria.

Inoltre, si deve notare che superata la frequenza di flutter una delle duesoluzioni armoniche tende a zero, ovvero il sistema si porta in una condizionedi divergenza statica (la frequenza di flutter tende ad una condizione in cuil’autovalore corrispondente e nullo): cio e un’approssimazione introdotta dalmodello a pochi gradi di liberta.

2.6 Generalizzazione

In forma matriciale, la relazione generale per un numero T = N · M dimodi presenti nel sistema e

mg[I]{q(t)}+mg[⌦]{q(t)}+ ⇢fU2[S]{q(t)}+ ⇢fU

2[D]{q(t)} = {0} (2.46)

dove con [I] si e indicata la matrice identica, con [⌦] la matrice diagonaledelle pulsazioni naturali al quadrato. Ordinando i termini, e possibile scrivere

[I]{q(t)}+ ⇢fU2

mg[D]{q(t)}+

⇣⇢fU2

mg[S] + [⌦]

⌘

{q(t)} = {0}. (2.47)

Una scrittura comoda e formalmente piu corretta e la seguente:

[I]{q(t)}+ [B(U)]{q(t)}+ [C(U)]{q(t)} = {0}. (2.48)


Riportiamo l’esame degli autovalori. Cio e possibile riscrivendo intera-mente il problema, passando pero ad un problema a 2T gradi di liberta nellospazio degli stati (raddoppia l’ordine del sistema di equazioni di↵erenziali, maci si riconduce ad un problema di estrazione degli autovalori perfettamentesimmetrico).

[0] [I][I] [B(U)]

�⇢

{q(t)}{q(t)}

�

+

�[I] [0][0] [C(U)]

�⇢

{q(t)}{q(t)}

�

=

⇢

00

�

(2.49)

Ponendo {z(t)} =

⇢

{q(t)}{q(t)}

�

= {Z}e�t, ci si riconduce al problema agli

autovalori (2.50).

�

[0] [I][I] [B(U)]

�

+

�[I] [0][0] [C(U)]

�

!

{Z} =

⇢

00

�

�

[0] [I][I] [B(U)]

��1

[0] [I][I] [B(U)]

�

+

[0] [I][I] [B(U)]

��1

�[I] [0][0] [C(U)]

�

=

⇢

00

�

�

[I] [0][0] [I]

�

=

�[B(U)] [�C(U)][I] [0]

�

=

⇢

00

�

(2.50)

Si osservi che nei passaggi precedenti si sono considerate le sub-matricicome fossero scalari. 1

L’implementazione della (2.50) in un foglio di calcolo permette di anal-izzare diversi casi di panel flutter. In particolare, nel paragrafo successivovengono riportati diversi risultati, relativi a casi di↵erenti, ottenuti medianteun foglio elettronico Mathcad.

2.7 Soluzioni di riferimento

Nel seguito sono riportate alcune soluzioni di riferimento relative ad unpannello:

• in alluminio (modulo di Young E = 7.102 · 1010Pa, modulo di Poisson⌫ = 0.33);

• di lati a = 20in, b = 14in e spessore h = 0.041in;• con smorzamento strutturale ⌘S = 0.01;• lambito da una corrente supersonica (M1 = 2) con densita ⇢f = 0.525kg/m3

e velocita caratteristica del suono pari a cf = 340m/s.

La di↵erenza tra i casi proposti sta nel tipo di modello (stazionario oinstazionario) e nel numero T di modi scelto.

1 In particolare, si ha che

0 11 b

��1

=

�b 11 0

�

2.7 Soluzioni di riferimento 37

2.7.1 Modello stazionario, T = 2

Dalla Figura 2.7, si comprende come in prossimita della velocita di flut-ter le frequenze naturali vanno a coalescenza, allontanandosi dalle frequenzestrutturali. Dalla Figura 2.8, invece, si evince come i valori degli smorzamentimodali sono inizialmente pari allo smorzamento strutturale ⌘s e non subisconovariazioni fino alla velocita di flutter, in corrispondenza della quale uno deidue diviene positivo.

Figura 2.7: frequenze naturali al variare della velocita (T = 2, stazionario).

Figura 2.8: smorzamenti al variare della velocita (T = 2, stazionario).

2.7.2 Modello instazionario, T = 2

Dal confronto tra la Figura 2.9 e la Figura 2.7, risulta che le frequenzenaturali hanno lo stesso andamento con la velocita sia nel caso di model-lo stazionario che di modello instazionario. Diverso il comportamento dello


smorzamento. Infatti, mentre nel modello stazionario alle basse velocita glismorzamenti del sistema aeroelastico restano costanti e pari allo smorzamen-to strutturale, nel caso di modello instazionario essi deviano dallo smorza-mento strutturale per e↵etto delle forze aerodinamiche che hanno un e↵ettosmorzante. Anche in questo caso, comunque, in corrispondenza della velocitadi flutter uno degli smorzamenti diventa positivo, e quindi si passa in unacondizione di instabilita aeroelastica.

Figura 2.9: frequenze naturali al variare della velocita (T = 2, instazionario).

Figura 2.10: smorzamenti al variare della velocita (T = 2, instazionario).

2.7.3 Modello stazionario, T = 6

Nella Figura 2.11 sono rappresentati le frequenze naturali relative al primo,secondo e sesto modo proprio del sistema aeroelastico. E possibile evincere che

2.7 Soluzioni di riferimento 39

quando il sistema considerato ha piu gradi di liberta, puo capitare che nontutti siano influenzati dall’aerodinamica. Si osserva infatti che la pulsazionenaturale corrispondente al sesto modo proprio di vibrare del sistema aeroe-lastico resta insensibile alle variazioni di velocita, restando constantementepari alla pulsazione naturale del pannello. Pertanto, questo modo non scam-bia energia con altri modi. Al contrario, le pulsazioni relative ai primi duemodi propri di vibrare vanno a coalescenza all’aumentare della velocita. DallaFigura 2.12, in cui sono riportati gli smorzamenti relativi ai primi due modipropri di vibrare del sistema, e possibile osservare che in corrispondenza dellavelocita di flutter, lo smorzamento del secondo modo proprio diventa positivo.La particolarita rispetto al caso proposto nel paragrafo 2.7.1 e che il gradientedi ⌘

2

e molto elevato, ed e rappresentativo di un flutter di tipo esplosivo.

Figura 2.11: frequenze naturali al variare della velocita (T = 6, stazionario).

Figura 2.12: smorzamenti al variare della velocita (T = 6, stazionario).


2.7.4 Modello instazionario, T = 6

Per quanto riguarda le frequenze, vale quanto detto nel paragrafo pre-cente. Per quanto riguarda gli smorzamenti, essendo un modello instazionario,le forze aerodinamiche hanno un e↵etto smorzante alle basse velocita. Inprossimita della velocita di flutter, l’andamento degli smorzamenti cambia,ed in particolare quello relativo al secondo modo proprio di vibrare diven-ta molto rapidamente positivo, e data l’elevata pendenza della curva si puoparlare ancora di flutter esplosivo.

Figura 2.13: frequenze naturali al variare della velocita (T = 6, instazionario).

Figura 2.14: smorzamenti al variare della velocita (T = 6, instazionario).







Acusto-Elastici.

1

Studio Aeroelastico Dinamico di un Profilo

Indice

1. INTRODUZIONE .................................................................................................... 2!1.1 Equazioni del Moto ..................................................................................................... 2!1.2 Adimensionalizzazione ................................................................................................ 4!

2. OPERATORE STRUTTURALE ............................................................................. 6!2.1 Analisi delle Autosoluzioni ......................................................................................... 6!2.2 Risposta Forzata ........................................................................................................ 10!

3. OPERATORE AERODINAMICO 2D, INCOMPRIMIBILE, INSTAZIONARIO12!3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo ..................................................... 12!3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari ................................................................. 14!

4. CONDIZIONI D’INSTABILITÀ (FLUTTER) ..................................................... 16!4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale .............................................. 16!4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale .................................................... 17!4.3 Modello di PINE per il Flutter .................................................................................... 19!4.4 Ricerca del Flutter ..................................................................................................... 20!

4.4.1 Metodo Vg ....................................................................................................................... 20!4.4.3 Metodo p-k ...................................................................................................................... 21!

APPENDICI ............................................................................................................... 22!A. Funzione di Theodorsen ...................................................................................................... 23!B. Grafico dei Coefficienti Aerodinamici Instazionari Bidimensionali Incomprimibili .......... 24!C. Funzione di Sears ................................................................................................................ 28!D. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Quasi-Stazionaria ................................... 29!E. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Completa ................................................. 29!

2

1. Introduzione

In queste note s’imposterà l’analisi di uno dei più semplici sistemi aeroelastici, in cui vi la possibilità di un’instabilità dinamica.

1.1 Equazioni del Moto

Consideriamo un’ala infinitamente lunga, in cui le uniche rigidezze siano quelle flessionale (nel piano xz) e torsionale (intorno all’asse y). Tali rigidezze siano rappresentate da elementi noti e concentrati nell’asse elastico, e denotate dai simboli kh e kα, rispettivamente.

Fig.1: Schema del Profilo e dei Centri Caratteristici

ACAE

CM

x,r

z,w

bb

O

ba h bxα

generica configurazione deformata all’istante t

configurazione di equilibrio iniziale

α(t)

h(t)

U∞

Ricordiamo che se denominiamo u, v, e w gli spostamenti dei punti dell’ala in un

riferimento Oxyz, dovremo essere capaci di ottenere la seguente relazione:

3

)q,,q,q,z,y,x(w)t,z,y,x(w)q,,q,q,z,y,x(v)t,z,y,x(v)q,,q,q,z,y,x(u)t,z,y,x(u

N21

N21

N21

…

…

…

=

=

=

. (1)

dove con N)i(con qi ∈ si è indicata l’i-ma coordinata generalizzata. Il generico spostamento secondo l’asse z, nel caso d’ala infinitamente lunga, sarà quindi

esprimibile secondo le uniche due incognite cinematiche:

))t(tan(r)t(h)t,x(w α−−= . (2)

L’ultima relazione, nel caso di piccoli disturbi (ovvero piccoli spostamenti e angoli d’attacco) diverrà:

)t(r)t(h)t,x(w0)t,x(v0)t,x(u

α−−=

=

=

. (3)

Per completezza si è riscritto l’insieme completo degli spostamenti alari. Lo spostamento flessionale h, è stato assunto positivo verso il basso, mentre la torsione α, positiva oraria. Una possibile scelta (tra le infinite) delle coordinate generalizzate o lagrangiane è data proprio da h ed α. Scriviamo le energia potenziale e cinetica del sistema in esame:

22h )t(k

21)t(hk

21)t(U α+= α , (4)

[ ]∫∫−−

α+==b

b

2b

b

2 dm)t(r)t(h21

dm)t,x(w21

)t(T . (5)

In particolare, essendo il sistema a massa omogenea, si ha:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

.S)t(h)t(dm)t(h)t(r

;)t(I21dmr)t(

21dm)t(r

21

;)t(hm21dm)t(h

21

b

b

2b

b

22b

b

2

2b

b

2

α

−

α

−−

−

α=α

α=α=α

=

∫

∫∫

∫

(6)

dove Iα è il momento d’inerzia di massa del segmento alare intorno all’asse elastico, e Sα è il

momento statico del segmento alare rispetto all’asse elastico. Si ricordi che essendo m la massa del segmento alare:

mbS

xbmxS αααα =⇒= , (7)

e quindi xα (positivo per centro di massa dietro all’asse elastico) è la distanza in semicorde tra centro di massa ed asse elastico.

Applicando le equazioni di LAGRANGE1, otterremo le volute equazioni del moto, per le due coordinate generalizzate h ed α:

1 Le equazioni di LAGRANGE per un insieme di N coordinate generalizzate, si esprimono come segue:

4

!"#

$%&

=!"#

$%&

α()

*+,

-+

!"#

$%&

α()

*+,

-

αααα

α

)t(Q)t(Q

)t()t(h

k00k

)t()t(h

ISSm hh

. (8)

Per brevità di scrittura, salvo dove strettamente necessario, si ometterà d’ora in poi di indicare la dipendenza temporale. Notiamo che le matrici dei coefficienti non sono consistenti come dimensioni2, infatti:

[m]=[ML-1], [Sα]=[M], [Iα]=[ML], [h]=[L], [kh]=[FL-2], [kα]=[F], [Qh]=[FL-1], [Qα]=[F].

1.2 Adimensionalizzazione

Prima di esplicitare gli operatori aerodinamici e di disturbo, conviene passare ad una opportuna adimensionalizzazione delle eq.(9). E’ ora conveniente esprimere le rigidezze mediante le pulsazioni naturali del sistema strutturale disaccoppiato (Sα=0):

α

αα =ω=ω

Ik

;mk 2h2

h . (9)

A questo punto dividendo la prima delle eq.(8) per il termine πρb2b e la seconda per πρb2b2, si otterrà:

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ=!"

!#$

!%

!&'

α++++

,

-

.

.

.

.

/

0

πρ

ωπρ

ω

+!"

!#$

!%

!&'

α++++

,

-

.

.

.

.

/

0

πρπρ

πρπρααααα

α

4

3h

4

2

2

2h

43

32

bQbQ

bh

bI0

0b

m

bh

bI

bS

bS

bm

. (10)

Le coordinate generalizzate sono ora entrambe adimensionali così come i coefficienti delle matrici e le forze generalizzate. Introduciamo i gruppi adimensionali:

222

4

22

4

332

mbI

r ;rbrmb

bI

xbmbx

bS

b

m

ααα

αα

ααα

=µ=πρ

=πρ

µ=πρ

=πρ

µ=πρ

. (11)

Si noti che: ρ è la densità del fluido alla quota considerata ed è [ρ]=[ML-3]; rα è il raggio d’inerzia della sezione alare misurata in semicorde; µ è il rapporto di massa della sezione alare. Si può allora riscrivere l’intero sistema come segue:

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ=!"

!#$

!%

!&'

α+,

-./

0

ω

ωµ+

!"

!#$

!%

!&'

α+,

-./

0µ

ααααα

α

4

3h

22

2h

2

bQbQ

bh

r00

bh

rxx1

. (12)

Imponiamo che la forma temporale delle soluzioni e dei termini noti siano assegnati:

{ }N2,1icon qW

qU

qT

t iii

…

∈∂

∂=

∂

∂+##$

%&&'

(

∂

∂

∂

∂

2 Ciò può non essere un problema sostanziale, ma lo è sicuramente dal punto di vista formale. Inoltre, l’utilità dei termini matriciali è proprio quella di poter comparare tra loro i singoli coefficienti, cosa che è possibile solo se essi vengono resi tutti omogenei.

5

pt0

pt0

pt0hh

pt0

eQ)t(Qe)t(eQ)t(Qeh)t(h

αα =α=α

==, (13)

con p∈C e [p]=[T-1]. In tal modo si avrà la forma definitiva delle equazioni del moto per il problema in esame:

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ=!"

!#$

!%

!&'

α++,

-../

012

345

6

ω

ωµ+1

2

345

6µ

ααααα

α

40

30h

0

0

22

2h

22

bQb

Q

bh

r00

rxx1

p . (14)

6

2. Operatore Strutturale

2.1 Analisi delle Autosoluzioni

L’operatore strutturale bidimensionale in oggetto è molto semplice e permette delle facili considerazioni. Consideriamo l’eq. omogenea associata al problema completo retto dall’eq.(15):

!"#

$%&

='!

'"#

'$

'%&

α))*

+,,-

./0

123

4

ω

ωµ+/

0

123

4µ

αααα

α

00

bh

r00

rxx1

p0

0

22

2h

22 . (15)

Per l’assenza di termini dissipativi di qualsiasi natura, le autosoluzioni non potranno che essere che di tipo armonico, tali quindi da verificare p=jω. Le soluzioni esisteranno, com’è ben noto, se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo:

0r00

rxx1

22

2h

22 =!

"

#$%

&

ω

ωµ+!

"

#$%

&µω−

αααα

α . (16)

Risolvendo l’equazione secolare (biquadratica), le soluzioni (in termini di ω2) sono le seguenti:

!"

#$%

&−

!"

#$%

&−((

)

*++,

-

ω

ω−

!!"

#

$$%

&(()

*++,

-

ω

ω+±((

)

*++,

-

ω

ω+

=ω

ω

α

α

α

αααα

2

2

2

2

2h

22

2h

2

2h

2

2h

22,1

rx

12

rx

1411

. (17)

L’annullarsi del momento statico (xα=0), il braccio sussistente tra centro di massa ed asse elastico (centro di rotazione della sezione considerata), disaccoppia completamente i due gradi di libertà strutturali, come d’altronde era già ovvio dato che xα compare solo nei termini fuori della diagonale della matrice di massa; le forze non producono alcuna rotazione elastica e viceversa, i momenti non provocano flessione. Le pulsazioni naturali sono allora date da:

!"

!#$

ω

ω=&&'

(

))*

+,,-

.//0

1

ω

ω−±,,

-

.//0

1

ω

ω+

=ω

ωα

αα

=α2h

2

2

2h

2

2h

2

0x

2h

22,1

1

2

11

. (18)

7

Per la ricerca degli autovalori, indeterminati a meno di una costante, si utilizza la prima delle eq.(16) da cui )/1)(x/1(h/b 22

h00 ωω−−=α α ; imponendo arbitrariamente che i due autovettori abbiano h0/b=1 si ha che:

!!

"

#

$$

%

&

''(

)**+

,

ω

ω−−''

(

)**+

,

ω

ω−−=Φ

αα22

2h

21

2h 1

x1

1x1

11. (19)

E’ facile altresì dimostrare che: !"

#$%

&=Φ

=α 1001

0x . Il seguente foglio Mathcad riporta un

grafico dell’eq.(18), in altre parole le pulsazioni naturali strutturali accoppiate, in forma

adimensionale. E’ stato posto, per brevità di scrittura: ξ=≡ζ≡ω

ω

α

αα

rx

;h

.

8

Studio delle Autosoluzioni Strutturali

s 1( ),ζ ξ1 ζ2 1 ζ2

2..4 ζ2 1 ξ2

.1 ξ2 2

ζ ..,0.11 0.15 9 s 2( ),ζ ξ1 ζ2 1 ζ2

2..4 ζ2 1 ξ2

.1 ξ2 2

0.1 1 100.01

0.1

1

10

100

s 1( ),ζ 0.3

s 2( ),ζ 0.3

ζ

0.1 1 100.01

0.1

1

10

100

s 1( ),ζ 0

s 2( ),ζ 0

ζ

ξ ..,0.5 0.45 0.5

0.5 0 0.50.6

0.7

0.8

0.9

1

s 2( ),1 ξ

s 2( ),3 ξ

ξ

0.5 0 0.50

5

10

15

s 1( ),1 ξ

s 1( ),3 ξ

ξ

Utilizziamo ora Mathcad per la ricerca delle autosoluzioni strutturali.

9

Studio dell'Operatore Strutturale OmogeneoORIGIN 1

µ 40 x α 0.2 r α 0.6222ωn .0

radsec

ω h .10radsec

ω α.100radsec

Matrice di Massa Matrice di Rigidezza

M1

x α

x α

r α2 K

ω h2

ωn2

ωn2

.r α2 ω α

2

D .M 1 K

eig eigenvals( )D

i ..1 2< >Φ i eigenvec ,D eigi

=eig9.93

107.628sec 2 =Φ

0.999

0.035

0.215

0.977

Matrice di Massa Generalizzata Matrice di Rigidezza Generalizzata

=..TΦ M Φ1.014

0

0

0.556=..TΦ K Φ

10.065

0

0

59.799sec 2

10

2.2 Risposta Forzata

Risposta Forzata Diretta dell'Operatore Strutturale Smorzato ORIGIN 1

µ 40 x α 0.2 r α 0.6222 ωn .0radsec

j 1

ω h .10radsec

ω α.100radsec ρ .1.225

kg

m3η 0.01

b .0.75 m

Matrice di Massa Matrice di RigidezzaF .1

newtonm Mo ..F 0.5 m

M1

x α

x α

r α2 K

ω h2

ωn2

ωn2

.r α2 ω α

2T1

F

..π ρ b3T2

Mo

..π ρ b4

Dyn( )ω ..ω2 µ M ..µ K ( )1 .j ηω ..,

ω h8

ω h7

.ω α 2res( )ω .Dyn( )ω ( )1 T

0 0.5 1 1.5 21 10 6

1 10 5

1 10 4

0.001

0.01

0.1

1Coordinate Fisiche Adimensionali

res( )ω 1

res( )ω 2

ω

ω α

11

Risposta Forzata Modale dell'Operatore Strutturale Smorzato ORIGIN 1

µ 40 x α 0.2 r α 0.6222 b .0.75 m ωn .0radsec

ρ .1.225kg

m3ω h .10radsec

ω α.100radsec

j 1

Matrice di Massa Matrice di RigidezzaF .1newton

mMo ..F 0.5 m

M1

x α

x α

r α2 K

ω h2

ωn2

ωn2

.r α2 ω α

2T1F

..π ρ b3T2

Mo

..π ρ b4

D .M 1 K eig eigenvals( )D < >Φ 1 eigenvec ,D eig1< >Φ 2 eigenvec ,D eig2

η 0.01Matrice delle Forze Generalizzate

Matrice di Massa GeneralizzataF g .TΦ T

M g ..TΦ M Φ

Matrice di Rigidezza Complessa Generalizzata K g ...TΦ ( )1 .j η K Φ

x( ),k ω

F gk

.M g ,k kω2 K g ,k k

ω ..,ω h8

ω h7

.ω α 2

0 0.5 1 1.5 20.001

0.01

0.1

1

10Coordinate Modali

x( ),1 ω

x( ),2 ω

ω

ω α

12

3. Operatore Aerodinamico 2D, Incomprimibile, Instazionario

3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo Si devono esprimere le forze aerodinamiche (la portanza ed il momento) agenti sul sistema

in esame. Si formulerà la classica ipotesi di regime incomprimibile in modo da utilizzare la rappresentazione di THEODORSEN, attraverso la sua funzione C(k). La frequenza ridotta è stata indicata come sempre con k,

Ubk ω

= . (20)

Per il sistema in esame, le forze siano considerate positive se verso l’alto e i momenti positivi se antiorari. Al secondo membro delle equazioni del moto si ha, quindi:

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ

−

≡

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρα

4

3

40

30h

bMbL

bQb

Q

. (21)

Il momento è valutato intorno all’asse elastico:

( )baLMMM h21

ACAE ++=≡ . (22)

Separiamo per entrambe le caratteristiche aerodinamiche, i due contributi dovuti al campo circolatorio e a quello a circolazione nulla:

)C()NC()C()NC( MMM ;LLL +=+= . (23)

In particolare, le forze ed i momenti assumeranno le seguenti espressioni:

( ) ( ) ]bahU)[k(UbC2L ;bahUbL h21)C(

h2)NC( α−++απρ=α−+απρ= ; (24)

( )

( ) ( )[ ]α−++α+πρ=

%&

'()

* α−α−α−+απρ=

bahU)k(CaUb2M8

bUbbahUbabM

h21

h212)C(

221

hh2)NC(

. (25)

Si noti che riscrivendo opportunamente le espressioni precedenti, si possono separare i contributi dovuti alla flessione ed alla torsione, nelle componenti di massa, rigidezza e smorzamento aerodinamici. Facciamolo solo per la portanza:

13

( )h)]k(UbC2[h]b[]U)k(UbC2[

)]k(UbC2ba[]Ub[]bba[L2

h2122

h

πρ+πρ+απρ

+απρ−+απρ+απρ−=. (26)

L’espressione precedente può facilmente essere utilizzata per estrarre i coefficienti aerodinamici quali hlhllhlll c,c,c,c,c,c ααα .In tal modo alcuni autori preferiscono esprimere le cosiddette derivative di flutter, ossia i coefficienti aerodinamici instazionari. Si noti inoltre che per ah=-1/2 (l’oscillazione avviene intorno al fuoco aerodinamico), si annulla la parte circolatoria del momento; ciò significa che la portanza (per la sua parte circolatoria) è situata effettivamente ad un quarto della corda del profilo (centro aerodinamico, il luogo nel quale il momento aerodinamico non cambia al variare dell’angolo d’attacco).

E’ il caso di riportare l’espressione della funzione C(k) e gli andamenti della parte reale e della parte immaginaria, ricordando che:

[ ] 1)2(0

)2(1

)2(1 )k(jH)k(H)k(H)k(jG)k(F)k(C

−+=+≡ .

In appendice è riportata la classica rappresentazione, come parti reale ed immaginaria in funzione della frequenza ridotta.

Imponiamo che la forma temporale delle coordinate generalizzate sia questa volta: tj

0tj

0 e)t(eh)t(h ωω α=α= , (27)

così da ottenere:

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

()

*+,

-α/

0

123

4 −++α

+()

*+,

- α+−α

ω=πρ

0hh0

02

0h0

02

3

akja

21

k1

bhj

k1)k(C2

abh

kj

bL

; (28)

!!

"

!!

#

$

!!

%

!!

&

'

()

*+,

- α/0

123

4 −++α

/0

123

4 +

+()

*+,

- α+

α−α+−

α

ω=πρ

kj

a21

kj

bh

ka

21)k(C2

8k2ja

bha

kja

bM

0h

020

h

000

2h

0h

0h

24 ; (29)

e quindi:

!"

!#$

!%

!&'

α)*

+,-

.)*

+,-

./0

123

4 −++++−ω=πρ

0

0

hh2h2

3 bh

akja

21

k1)k(C2a

kj

k1)k(C21

bL

; (30)

!"

!#$

!%

!&'

α))))

*

+

,,,,

-

.

)*

+,-

./0

123

4 −+/0

123

4 +

++−+

/0

123

4 ++−ω=πρ

0

0

h2h

2hh

hh2

4 bh

kja

21

k1a

21)k(C2

81

k2ja

kja

kja

21)k(C2a

bM

; (31)

In termini matriciali:

14

!"

!#$

!%

!&'

α)*

+,-

.ω=

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ

α

α

0

0

mmh

llh2

4

3

bh

CCCC

bMbL

. (32)

3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari Gli operatori aerodinamici cosiddetti quasi-stazionari, sono esprimibili semplicemente

considerando quelli circolatori, in cui la funzione C(k) sia posta pari ad un valore unitario reale:

!"

#$%

&α()

*+,

- −++απρ= ba21hUUb2L h

)QS( ; (33)

!"

#$%

&α()

*+,

- −++α()

*+,

- +πρ= ba21hUa

21Ub2M hh

2)QS( . (34)

Notiamo che le approssimazioni quasi-stazionarie hanno un ordine d’importanza relativa:

!!!

"

#

$$$

%

&

α()

*+,

- −++απρ=

−

−

oIIStazionariQuasi

hoIStazionariQuasioStazionari

)QS( ba21

hUUb2L , ed analogamente per il momento.

E’ facile a questo punto costruire una tabella di tali coefficienti: L(QS) M(QS)

h - - h Ub2πρ ( )h2

12 aUb2 +πρ

h - - α bU2 2πρ ( )h2

122 abU2 +πρ α ( )[ ]h2

12 aUb2 −πρ ( )2h413 aUb2 −πρ

α - - In termini matriciali, e consistentemente con quanto fatto in precedenza, avremo:

[ ]

[ ]( )

( ) ( ) ( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

!"

#$%

& −+++

−+=

()

(*+

(,

(-.

αω=

(()

((*

+

((,

((-

.

πρ

πρ

kja

k1a21

kja2

kja21

k2

kj2

A

bh

A

bMb

L

h21

2hh21

h2(QS)

0

0(QS)2

4

)QS(

3

)QS(

. (35)

Cerchiamo di capire la congruenza formale e dimensionale con le relazioni ben note dell’aerodinamica stazionaria. La portanza stazionaria per unità d’apertura è espressa come segue:

αρ=αρ=αρ= ααα l2

l2

l2)S( bcVc)b2(V

21c)c(V

21L . (36)

Considerando nel nostro caso, la portanza legata al solo angolo d’attacco:

15

απρ=απρ=αωπρ= 222

322

3)QS( bV2Vb2b

k2bL , (37)

Ricordando che il profilo, per le ipotesi fatte, è una lastra piana( π=α 2cl ), si avrà pertanto:

)QS(2l

2)S( LbV2bcVL =απρ=αρ= α , (38)

come ci si aspettava. I coefficienti aerodinamici instazionari e quasi-stazionari, resi correttamente dimensionali,

sono utilizzabili analogamente a quanto fatto nel caso stazionario. In appendice C sono riportati i grafici di tali coefficienti secondo dei fogli Mathcad.

16

4. Condizioni d’Instabilità (Flutter)

4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale

C’è un modo molto semplice per identificare ed inquadrare il fenomeno del flutter bidimensionale. Supponiamo, infatti, che il profilo sia rappresentato da una lastra piana ad angolo d’attacco nullo e che l’unico modo sia rappresentato da una flessione intorno all’asse elastico:

{ })tjexp(hRe)t(h 0 ω= . (39)

Inoltre, consideriamo la generazione di forze aerodinamiche instazionarie, nella forma più semplificata possibile, in altre parole consideriamo la variazione d’angolo d’attacco come dovuta al solo modo elastico considerato:

{ })tjexp(jhReU1

dt)t(dh

U1)t( 0 ωω==α

∞∞

. (40)

L’unico lavoro aeroelastico presente nel sistema sarà dato da:

{ } tddt)t(dhRe)t(LRe

T1dt

dtdhLdhLd

2T

0hhh ∫

ω

π=

$%&

'()−=Π⇒−=−=Π . (41)

È stata considerata come unica forza aerodinamica, la portanza. Possiamo esprimerla come rapporto, r, della portanza istantanea rispetto al quella che si otterrebbe per un moto del profilo a velocità costante, 0hh = ; inoltre si deve tenere presente che l’aerodinamica introduce uno smorzamento e ci sarà quindi un ritardo (o un anticipo) nella portanza prodotta dalla data variazione d’angolo d’attacco:

!!"

#$$%

&ρ=ψ=

∞α∞ Uh

ScU21)t(L),jexp(r)t(L)t(L 0

l2

00h

. (42)

Pertanto, risolvendo l’integrale si avrà:

ψωρπ

−=Π α∞ cosrhScU2

20l . (43)

Il segno del lavoro ci dice se l’oscillazione estrae energia dal fluido o viceversa: affinché si manifesti il flutter è necessario che sia Π>0. I valori di r e ψ sono, in generale, funzioni di REYNOLDS e MACH.

17

La funzione riportata nel grafico seguente è esprimibile grazie alle relazioni precedentemente introdotte. Si tratta, infatti, in questo caso, di esprimere solo i contributi dovuti alla flessione:

jk)k(C2k

bhbU

L 2

02+−=

πρ; jk2

bhbU

L02

)QS(

=πρ

(44)

)k(jG)k(F2jk

)k(C2jk

)jexp(rLL

)k( )QS( ++=+=ψ≡=γ ; (45)

I raggi uscenti dall’origine del sistema di riferimento definiranno in modo univoco r e ψ. Si noti che per k=0, il valore di r è unitario mentre ψ è nullo.

Fig. 2: Andamento della Funzione γ(k) sugli assi Reale ed Immaginario

0 0.5 1 1.5 2 2

1

0

1

2

Im γ kk i ( ) ( ) ( )

Re γ kk i ( ) ( ) ( )

r ψ

4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale

Atteso dal paragrafo precedente che non vi può essere un’instabilità monodimensionale per configurazioni in cui la derivata del coefficiente di portanza è positiva, esaminiamo in cui i gradi di libertà siano due. Abbiamo le deformate di flessione e torsione del profilo alla stessa frequenza d’oscillazione: si può dimostrare che questa è condizione necessaria per l’esistenza del flutter. Il lavoro che occorre considerare è quello della portanza:

∫∫ω

π=

ω

π=

α +=Π

2T

0h

2T

0

dthLdthL . (46)

Gli altri contributi della portanza sono trascurabili. Si noti che il secondo integrale nell’espressione del lavoro è sempre negativo (cfr. paragrafo precedente).

Il primo termine è nullo se h ed α sono in fase, ed è maggiore di 0 se h ed α hanno una fase di π/2. Ciò significa che solo se i due modi del profilo sono sfasati di un dato angolo sussisterà la

18

possibilità dell’insorgere del flutter. Le figure seguenti riportano in modo semplificato lo schema fisico.

Fig. 3: Fase Nulla.

)t(sin),t(sinh ω=αω=

tω

Portanza

Velocità Profilo (Lastra Piana)

0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

Fig. 4: Fase di π/2.

)t(sin),tcos(h ω=αω=

tω

Portanza

Velocità Profilo (Lastra Piana)

0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

È inevitabile che, anche in presenza di smorzamento strutturale, l’unico operatore che potrà introdurre una fase variabile tra i modi del profilo è quello aerodinamico: tale sfasamento sarà funzione della frequenza ridotta e quindi della velocità di volo.

19

4.3 Modello di PINE per il Flutter

Rinunciamo all’approccio dimensionale per seguire l’impostazione formale di Pine. In questo caso si considera come unico operatore aerodinamico, la portanza stazionaria:

!"#

$%&

='(

)*+

, −−

!"#

$%&

α'(

)*+

,+

!"#

$%&

α'(

)*+

,

α

α

ααα

α

00

Sebcl20Scl0

q)t()t(h

k00k

)t()t(h

ISSm h

, (47)

dove il simbolo q denota la pressione dinamica per unità di apertura, [FL-3]. Quindi:

!"#

$%&

=!"#

$%&

α()

*+,

-

−+

++

αααα

αα

00h

qSebcl2kpIpSqSclpSkmp

22

2h

2

, (48)

per ottenere l’equazione secolare:

=

=

=

=++

0

2

4

02

24

4

aaacon

0apapa

. (49)

Discutiamo le possibili radici in base al segno dei coefficienti: a4 >0 Δ >0 <0 a0 >0 <0 a2 >0 <0 Soluzioni pI,1 = +jω1

pI,2 = -jω1

pI,2 = +jω2

pI,2 = -jω2

pI,1 = +σ1 pI,2 = -σ1

pI,2 = +σ2

pI,2 = -σ2

pI,1 = +jσ pI,2 = -jσ

pI,2 = +jω

pI,2 = -jω

pI,1 = +jω1 pI,2 = -jω1

pI,2 = +jω2

pI,2 = -jω2 Tipo di Moto Armonico Aperiodico Aperiodico

Armonico Oscillatorio

Tipo di Stabilità Neutrale Divergenza Divergenza Controlla la tabella sulla divergenza

20

4.4 Ricerca del Flutter

4.4.1 Metodo Vg

Riscriviamo l’intero problema in forma compatta e simbolica:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }

[ ] [ ][ ] [ ]R)k,M(

)k,M(UKM

q)k,M(UqKqM

T

TTT

=

=+−

=+−

ΨΨ

ζΨΨρζΨΨζΨΨω

ρω

A

A21

A21

22

22

, (50)

e poi moltiplichiamo per l’inversa della matrice di rigidezza:

[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }⇒="#

$%&

' ρ−++ω−− 0q)k,M(U21qK)jg1(qMK 221 A

[ ] [ ]{ } [ ] { } { }qjg1qk

)k,M(Kb21qMK 22

121

ω

+="#

$%&

'ρ− −− A;

si ottiene il problema agli autovalori che cercavamo:

[ ]{ } { }

[ ]{ } { } { }0qq)k,M(D

qjg1q)k,M(D 2

=λ−⇒ω+

=. (51)

Nel nostro caso specifico avremo:

!"

!#$

!%

!&'

α!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ

πρ−

=!"

!#$

!%

!&'

α,,-

.//0

123

456

7

ω

ω+µ+2

3

456

7µω−

αααα

α

0

0

4

2

0

0

22

2h

22

bh

bMbL

bh

r00

)jg1(rxx1

; (52)

!"#

$%&

='!

'"#

'$

'%&

α''!

''"

#

''$

''%

&

πρ−πρ

,-

./0

1

ω

ω+

'!

'"#

'$

'%&

α33

4

5

66

7

8,-

./0

1

ω

ω,-

./0

1

ω

ω+µ+,

-

./0

1,-

./0

1

ω

ωµω−

−

αα

αα

−

αααα

α

−

αα

00

bh

bMbL

r00

bh

r00

r00

)jg1(rxx1

r00

0

0

4

21

22

2h

0

0

22

2h

1

22

2h

2

1

22

2h2

; (53)

21

!"

!#$

!%

!&'

αω+

=!"

!#$

!%

!&'

α****

+

,

----

.

/

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

πρ−πρ

34

567

8

ω

ω**+

,--.

/

µω−

+34

567

834

567

8

ω

ω−

αααα

α

−

αα 0

0

2

0

0

4

21

22

2h

22

1

22

2h

bh)jg1(

bh

bMbL

r001

rxx1

r00

; (54)

!"

!#$

!%

!&'

αω+

=!"

!#$

!%

!&'

α******

+

,

------

.

/

01

234

5

−−01

234

5

ω

ω**+

,--.

/µω−

+01

234

501

234

5

ω

ω

α

α

−

αα

αα

α

−

αα

0

0

2

0

0

mmh

llh

1

22

2h

2

2

1

22

2h

bh)jg1(

bh

CCCC

r001

rxx1

r00

; (55)

4.4.3 Metodo p-k

Riscriviamo l’intero problema in forma compatta e simbolica adottando l’ipotesi che la soluzione temporale sia q=q0ept, con p=σ+jω:

[ ] [ ]( ){ } [ ]{ }020

2 q)k,M(AU21qKMp ρ=+ (56)

Notiamo che possiamo anche scrivere introducendo lo smorzamento γ e la frequenza ridotta k:

( )jkkbUk

bUj

bkU

bkjU

bkUp +γ=+"

#

$%&

'γ=+"#

$%&

'ωσ

=

Nel nostro caso specifico avremo:

0)k(C)k(C)k(C)k(C

rprxxp

bh

)k(C)k(C)k(C)k(C

bh

rprxxp

mmh

llh22222

2h

2

0

0

mmh

llh2

0

0

2222

2h

2

=!"

#$%

&ω−!

"

#$%

&

ω+

ω+⇒

*+

*,-

*.

*/0

α!"

#$%

&ω=

*+

*,-

*.

*/0

α!"

#$%

&

ω+

ω+µ

α

α

αααα

α

α

α

αααα

α

; (57)

0)k(C)k(C)k(C)k(C

rprxxp

mmh

llh22222

2h

2

=!"

#$%

&ω−!

"

#$%

&

ω+

ω+⇒

α

α

αααα

α ; (58)

22

Appendici

23

A. Funzione di Theodorsen

Funzioni di Hankel del Secondo Tipoj 1

H( ),n k Jn( ),n k .j Yn( ),n k Funzione di Theodorsen

H0( )k J0( )k .j Y0( )k C( )kH( ),1 k

H( ),1 k .j H0( )k

F( )k Re( )C( )k G( )k Im( )C( )ki ..1 50 ki 10

i10

1.1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.15

0.1

0.05

0

G ki

F ki

0.001 0.01 0.1 1 100.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F ki

ki

0.001 0.01 0.1 1 100.2

0.1

0

G ki

ki

24

B. Grafico dei Coefficienti Aerodinamici Instazionari Bidimensionali Incomprimibili

Coefficienti Aerodinamici Instazionari 2D in Regime Incomprimibile: Portanzaj 1

H1( )k J1( )k .j Y1( )k H0( )k J0( )k .j Y0( )k

C( )kH1( )k

H1( )k .H0( )k jDistanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . ah.

C Lα ,k a h .k2 a h .j k ..2 C( )k 1 ..12

a h j k C Lh ,k a h k2 ...2 C( )k j k

i ..,1. 1.15 4 k( )i 10 i 1.4

0.01 0.1 1 10

0

2

4Re C Lα( ),k( )i 0.5

Im C Lα( ),k( )i 0.5

Re C Lα( ),k( )i 0.2

Im C Lα( ),k( )i 0.2

k( )i

0.01 0.1 1 106

4

2

0

2

Re C Lh( ),k( )i 0.5

Im C Lh( ),k( )i 0.5

Re C Lh( ),k( )i 0.2

Im C Lh( ),k( )i 0.2

k( )i

25

Coefficienti Aerodinamici Instazionari 2D in Regime Incomprimibile: Momentoj 1

H1( )k J1( )k .j Y1( )k H0( )k J0( )k .j Y0( )k

C( )kH1( )k

H1( )k .H0( )k jDistanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . ah.

C Mα ,k a h .18

k2 .k2 a h2 ..1

2a h j k ...2 C( )k

12

a h 1 ..12

a h j k

C Mh ,k a h ....2 C( )k12

a h j k .k2 a h

i ..,1. 1.15 4 k( )i 10 i 1.4

0.01 0.1 1 10

2

0

2

Re C Mα( ),k( )i 0.5

Im C Mα( ),k( )i 0.5

Re C Mα( ),k( )i 0.2

Im C Mα( ),k( )i 0.2

k( )i

0.01 0.1 1 101

0

1

2

3

Re C Mh( ),k( )i 0.5

Im C Mh( ),k( )i 0.5

Re C Mh( ),k( )i 0.2

Im C Mh( ),k( )i 0.2

k( )i

26

Coefficienti Aerodinamici Quasi-Stazionari 2D in Regime Incomprimibile: Momento

i ..,1. 1.15 4Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . ah.

j 1k( )i 10 i 1.4

C Mα ,k a h ..21

2a h 1 ..1

2a h j k C Mh ,k a h ...2

1

2a h j k

0.01 0.1 1 10

0.5

1

1.5

Re C Mα( ),k( )i 0.2

Im C Mα( ),k( )i 0.2

k( )i

0.01 0.1 1 10

1

2

3

Im C Mh( ),k( )i 0.2

k( )i

27

Coefficienti Aerodinamici Quasi-Stazionari 2D in Regime Incomprimibile: Portanza

i ..,1. 1.15 4Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . ah.

j 1k( )i 10 i 1.4

C Lh ,k a h..2 j kC Lα ,k a h

.2 1 ..12

a h j k

0.01 0.1 1 10

2

4

5.02377

0.00150713

Re C Lα( ),k( )i 0.5

Im C Lα( ),k( )i 0.5

Re C Lα( ),k( )i 0.2

Im C Lα( ),k( )i 0.2

2.511890.01 k( )i

0.01 0.1 1 10

2

4

Im C Lh( ),k( )i 0.5

Im C Lh( ),k( )i 0.2

k( )i

28

C. Funzione di Sears

j 1−:= H0 k( ) J0 k( ) j Y0 k( )⋅−:= H1 k( ) J1 k( ) j Y1 k( )⋅−:=

C k( )H1 k( )

H1 k( ) j H0 k( )⋅+:= φ k( ) J0 k( ) j J1 k( )⋅−( ) C k( )⋅ j J1 k( )⋅+:=

k 0.01 0.02, 10..:=

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.1

0

0.1

0.2

Funzione di Sears

Im φ k( )( )

Re φ k( )( )

29

D. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Quasi-Stazionaria

µ ωh2 −ω2( ) −µx

αω2

−µxαω2 µr

α2 ω

α2 −ω2( )

$

%

&&&

'

(

)))

h0bα0

*

+,

-,

.

/,

0,+

+ω2

2 jk

2 1k 2+12− ah

1

23

4

56jk

$

%&

'

()

2 12+ ah

1

23

4

56jk

2 12+ ah

1

23

4

561k 2+12− ah

1

23

4

56jk

$

%&

'

()

$

%

&&&&&

'

(

)))))

h0bα0

*

+,

-,

.

/,

0,= 0

0

*+,

-,

./,

0,

E. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Completa

µ ωh2 −ω2( ) −µx

αω2

−µxαω2 µr

α2 ω

α2 −ω2( )

$

%

&&&

'

(

)))

h0bα0

*

+,

-,

.

/,

0,+

+ω2

−1+ 2C(k) jk

jk+ ah + 2C(k)

1k 2+12− ah

1

23

4

56jk

$

%&

'

()

−ah + 2C(k)12+ ah

1

23

4

56jk

ahjkah2 −

j2k

+18+

+2C(k) 12+ ah

1

23

4

561k 2+12− ah

1

23

4

56jk

$

%&

'

()

$

%

&&&&&&&&&&&

'

(

)))))))))))

h0bα0

*

+,

-,

.

/,

0,= 0

0

*+,

-,

./,

0,







Acusto-Elastici.







Acusto-Elastici.







Acusto-Elastici.







Acusto-Elastici.







Acusto-Elastici.

1

Cenni Introduttivi al SEA

S. De Rosa, F. Franco, F. Ricci

2

Sommario

! Generalità sui fenomeni e sulle grandezze associate alla diminuzione della lunghezza d�onda caratteristica.

! Cenni riassuntivi sulla metodologia SEA e della sua formulazione inversa.

! Tecniche e problematiche sperimentali: " Sistema di Acquisizione " Sistema di Eccitazione " Media Spaziale " Media sulle Condizioni di Eccitazione " Media in Frequenza

3

Perché Alta Frequenza ?

! Problemi di Comfort nei Mezzi di Trasporto " Esperienze Dirette ed Indirette del D.P.A. :

# Velivoli a (Turbo)Elica # Velivoli Turbopropulsi # Elicotteri # Metropolitane # Auto # Treni (Alta Velocità) # Navi

! E� un�Indice dell�Efficacia (Efficienza) della Progettazione Meccanica

4

Alta Frequenza è un Termine Improprio

! L�improprietà nasce dal fatto che anche a basse frequenze di eccitazione, il numero di modi risuonanti in un dato intervallo in frequenza, può già essere elevato.

! Si potrebbe anche avere uno smorzamento così elevato da inibire, fin dalle prime frequenze di eccitazione, la comparsa dei modi propri nella risposta (funzione di trasferimento).

! Si dovrà parlare allora di regioni in frequenza caratterizzate da elevati valori del fattore di sovrapposizione modale. Ma cosa succede alla risposta strutturale quando aumenta la frequenza dell�eccitazione armonica ?

5

Velocità Quadratica Media, [dB], di una Piastra Flessionale in funzione della Frequenza di Eccitazione, [Hz]

1 10 100 1000 1 104140

120

100

80

60

40

logv ,,ωLx

2.1

Ly

3.1

logv ,,ωLx

.9

Ly

.87

logv ,,ωLx

.3

Ly

.7

ω.2 π

Variazione del Punto di Applicazione della Forzante (Spettro di Energia Costante)

6

Richiami delle Nozioni di Base

! Modi e Frequenze Proprie (Autosoluzioni): " Caratteristiche del Sistema Dinamico dipendenti

# dalle Condizioni di Vincolo, # dalle Proprietà Elastiche, e # dalla Proprietà Geometriche.

! Densità Modale, n: " Caratteristica del Sistema Dinamico

# dipendente dalle Proprietà Elastiche e Geometriche, # indipendente dalle Condizioni di Vincolo.

!  Smorzamento, η !  Fattore di Sovrapposizione Modale, m(f)=n(f) f η(f)

GLOBALI

LOCALI E GLOBALI

7

1 10 100 1000 1 104140

120

100

80

60

40

logv ,,ωLx

2.1

Ly

3.1

logv ,,ωLx

.9

Ly

.87

logv ,,ωLx

.3

Ly

.7

ω.2 π

10

1

0.1

. . . rileggiamo il grafico !

m

8

Classificazione dei Metodi di Analisi

Analisi Strutturale (Acusto-Strutturale)

Modi Propri

Frequenze Proprie

Smorzamento Modale

Risposta Modale

Metodi Modalim<<1

Densità Modale

Energie Medie

Potenze Trasmesse

Energie Scambiate

Metodi Energeticim>>1

MetodologieNumeriche e Sperimentali

9

S.E.A.: Statistical Energy Analysis

!  Il S.E.A. è stato oggetto di rinnovata attenzione agli inizi degli anni �90.

!  Si può parlare di una tecnica che necessita della massima integrazione tra i l modello f isico e la prova di laboratorio.

!  Il SEA è così fortemente legato alla sperimentazione che l�assenza di esperienze di laboratorio può condurre a conclusioni prive di senso (anche se apparentemente accettabili).

!  Il SEA è : semplice numericamente, complesso intellettualmente.

Anni

Interesse S.E.A.

F.E.M.

10

impedenza smorzamento

!  Il SEA stima l�energia dissipata e scambiata tra sottosistemi, in funzione della potenza ricevuta dall�esterno.

!  Le incognite sono energetiche e valgono all�interno del sottosistema.

!  Il sottosistema è un dominio spaziale caratterizzato da una singola modalità di propagazione del disturbo strutturale (o acustico): $ onde longitudinali $ onde flessionali $ onde di taglio $ onde di torsione

Cosa è il SEA ?

densità modale

potenza

11

Esempio Formulazione SEA: 2 Gradi di Libertà

!"#

$%&

!"#

$%&

'(

)*+

,ω

=⋅η+ηη−

η−η+η

2

1

2

1

PP

EE 1

21212

21121

n n1 12 2 21η η=

( ). ( )

//

η η η

η η ω1 12 1 21 2

2 21 2

1

2

1

2

1

2

1 1

2 2

1+ −

+

$

%&

'

()*+,

-./=

*+,

-./

*+,

-./=*+,

-./

n nsimm n

ee

PP

ee

E nE n;

12

Formulazione Generale del SEA

η η η η

η η η η

η η

η η η η

ω

1 12

21 1

12 2 21 2

2

1

1 21

1

1

2

1

21

+ − −

− + −

+

− − +

$

%

&&&&&&&&&&

'

(

))))))))))

*

+,,

-,,

.

/,,

0,,

=

*

+,,

-,,

.

/,,

0,,

=

= ≠

= ≠

=

−

∑

∑

∑

∑

jj

N

N

jj j

N

N

i ijj j i

N

N N N Njj

NN N

EE

E

PP

P

;

;

jijiji nn η=ηCPP (Coupling Power Proportionality)

13

Esempio Formulazione SEA: 2 Gradi di Libertà

Sottosistema 1: E1

Sottosistema 2: E2

P1 P2

P12

P21

P1, DISSIPATA P2, DISSIPATA

14

Sistemi Classici

! Vari sistemi possono essere studiati con la formulazione SEA più semplice possibile:

# Due Aste # Due Travi giunte ad angolo α # Due Pannelli giunti ad angolo α # Pannello ed Volume Acustico (Semianechoic Chamber,

Reverberant Facility)

!"#

$%&

!"#

$%&

'(

)*+

,ω

=⋅η+ηη−

η−η+η

2

1

2

1

PP

EE 1

21212

21121

15

Smorzamento Complessivo (1/2)

ηη η η

η

η

η=

+

+⇒ = +

#

$%

&

'( +

#

$%

&

'(

−E EE E

EE

EE

1 1 2 2

1 2 1

2

1

12 2

1 11 1

( )

( )

( )

aEE

bEE

cEE

:

:

:

1

2

1 2

1

22

2

11

12

0

0

= ⇒ =+

= ⇒ =

= ⇒ =

ηη η

η η

η η

16

Smorzamento Complessivo (2/2)

η

η

==

=

∑

∑

E

E

j jj

N

jj

N1

1

17

Formulazione SEA Inversa Eccitazione a Turno

!!"

!!#

$

!%

!&

'

!"

!#

$

ω=

!%

!&

'

!"

!#

$

⋅***

+

,

---

.

/

η+ηη−

η−η+η

!%

!&

'

!"

!#

$

ω=

!%

!&

'

!"

!#

$

⋅***

+

,

---

.

/

η+ηη−

η−η+η

2P01

2)2(E

1)2(E

21212

21121

01P1

2)1(E

1)1(E

21212

21121

18

Power Injection Method (Metodo dell�Iniezione di Potenza)

!"

!#

$

!%

!&

'

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

((((

)

*

++++

,

-

ω=

η

η

η

η

−

−

−

−

2P001P

1

2

21

12

1

2)2(E2

)2(E1)2(E0

02)2(E1

)2(E1)2(E

2)1(E2

)1(E1)1(E0

02)1(E1

)1(E1)1(E

{ } [ ] { }ηω

=−1 1

E Pij

ij

( )( )

( )( )

19

Obiettivo delle Prove

! Non è superfluo specificare ulteriormente l�obiettivo delle prove: " eccitare un sistema strutturale (acusto-strutturale) nel

massimo intervallo in frequenza consentito dalla apparecchiatura a disposizione;

" misurare direttamente: forze, velocità, impedenze; " realizzare una banca dati sufficientemente estesa per

l�analisi successiva dei risultati (misurazioni indirette): # analisi dei flussi, # ripetibilità dei risultati, # valutazioni degli scambi (coupling e direct loss factors), # ecc.

%  GENERALIZZAZIONE DEI RISULTATI ? 20

Sistema di Eccitazione

! Esso dovrebbe garantire: " pulizia del segnale in tutto il range in frequenza che si deve

investigare; " assicurare che il livello di potenza (interazione con la

struttura) sia sufficiente all�aumentare della frequenza di eccitazione,

" trasparenza rispetto alla prova che si sta conducendo: minore

influenza possibile sui risultati.

{ }P F vSISTEMA= ⋅∗12Re

21

Sistema di Acquisizione

! Esso dovrebbe garantire: " pulizia del segnale in tutto il range in frequenza che si deve

investigare: &  sensori non a contatto, '  sensori a contatto.

" assicurare che i livelli energetici sufficientemente leggibili all�aumentare della frequenza di eccitazione,

" trasparenza rispetto alla prova che si sta conducendo: minore influenza possibile sui risultati.

22

Media Spaziale

!  Per ogni sottosistema i punti di acquisizione dovrebbero essere scelti: (  lontano dai vincoli (δ è

funzione della frequenza di eccitazione);

(  lontano dalle linee nodali; (  sufficientemente lontano dal

punto di eccitazione (la velocità in un intorno del p u n t o d i e c c i t a z i o n e rappresen ta de i va lor i singolari)

Sottosistema: Piastra Irregolare

Acquisizione Eccitazione

δ#

23

Media sulle Condizioni di Eccitazione

!  Per ogni sottosistema i punti di eccitazione dovrebbero essere scelti: (  lontano dai vincoli (δ è

funzione della frequenza di eccitazione);

(  lontano dalle linee nodali; (  sufficientemente lontano dai

punti di acquisizione; (  v i c i n o o l o n t a n o a l l a

giunzione ?

Piastre Irregolari

Acquisizione Eccitazione

δ#

24

Generazione dei Primi Dati

Generalmente la Matrice H, per ogni sottosistema è quadrata ed è generalmente 3<N<7

Acq

uisi

zion

i

Eccitazioni

1 2 3 .. .. N

1 2 3 .. .. .. .. .. .. M H

V

! La V deve essere indipendente dall�ordine di media (righe e colonne).

! L�analisi della singola matrice H, permette una buona analisi preliminare dei dati misurati: "  facilità di individuazione delle

misure non corrette; " p o s s i b i l i t à d i e v i d e n z i a re

eventuali non omogeneità di comportamento (ad es. : il posizionamento dell�eccitazione rispetto alla giunzione);

" ecc.

25

Medie Spaziali

! In generale si avrà una media rispetto ai punti di acquisizione ed una rispetto ai punti di eccitazione.

! Che tipo di media è conveniente adottare ? Dipende dalla distribuzione dei dati (modello statistico).

! E� stato verificato che quando i dati sperimentali mostrano una sufficiente stabilità tra prova e prova, la scelta del tipo di media è ininfluente.

dB velN M v

vREF

jkk

M

j

N

( ) log*

=!

"#

$

%&

==∑∑10

1 110 2

2

11

dB velN M

vv

jk

REFk

M

j

N

( ) log=!

"#

$

%&

'

())

*

+,,==

∑∑10 1

10

2

211

Media Logaritmica

Media Aritmetica

26

Medie in Frequenza

! La necessità di lavorare in bande in frequenza (ottave e terzi d�ottava) è solo formale, in quanto è connessa alla definizione di densità modale (e quindi di fattore di sovrapposizione modale).

! In generale si lavorerà in banda stretta, quando possibile e, se necessario, si introdurrà a posteriori una ulteriore media per bande in frequenza.

! Quest�ultima media non ha alcun effetto sulla qualità dei risultati: serve solo ad uno smoothing degli andamenti.

27

Organizzazione delle Prove: Singolo Sottosistema

Misura della Potenza in Ingresso

Velocitàdel Punto di Eccitazione

Forzadel Punto di Eccitazione

Power Input

Misura dell'Energia Totale

Velocitàper N punti di Acquisizione

Velocitàper M punti di Eccitazione

Ve loc ità Me die

η ω= −P E( ) 1

ZFvn

Z= ∝

"#$

%&'

; Re1

28

Organizzazione delle Prove: Sistema Complessivo (costituito da G sottosistemi)

Misura della Potenza in Ingresso

Velocitàdel Punto di Eccitazione

Forzadel Punto di Eccitazione

Power Input

Misura dell'Energia Totale

Velocitàper N punti di Acquisizione

Velocitàper M punti di Eccitazione

Ve loc ità Me die

ZFvn n nG= = + +; 1 …

{ } [ ] { }ηω

=−1 1

E Pij

ij

( )( )

( )( )

29

Analisi delle Matrici di Varianza/Covarianza

!  I dati misurati sperimentalmente dovranno essere utilizzati per il calcolo delle grandezze cercate.

!  I dati si presenteranno sempre nella forma di un valor medio e di una deviazione standard (matrici di valori medi e matrici di deviazioni standard).

!  Poiché il metodo SEA sia nella sua formulazione diretta quanto inversa, è legato ad una formulazione algebrica, converrà sempre adottare l�analisi delle matrici di varianza/covarianza.

! Ciò consentirà un duplice obiettivo: " verificare l�omogeneità dei dati elaborati rispetto a quelli

misurati (a questo stadio, dovrebbero essere molto regolari), " controllare la possibile generalizzazione delle stime.

30

Critiche Fondamentali al SEA [Mace, 1994]

ji)i(

jij)i(

i nn η=ηIl CPP è sempre applicabile

ji)j(

jij)j(

i nn η=ηIl CPP è sempre applicabile

ji)j(

jij)i(

i nn η=ηLa generalizzazione del CPP

non sempre è applicabile

31

I Coupling Loss Factors possono essere negativi !

!  E� s t a t o d i m o s t r a t o c h e i coe f f i c i en t i d i perd i ta per accoppiamento possono diventare negativi.

!  Esso è il risultato dell�analisi di una configurazione in cui il SEA non può a rigori essere applicato.

!  Se un coefficiente ηij diventa negativo, ciò significa che i due sottosistemi interessati si trovano in una instabilità energetica (il sottosistema con maggiore energia ne cede a quello che ne ha di meno): questa situazione non è prevedibile dal SEA, ma può essere evidenziata sperimentalmente.

ηij non può essere negativo !

32 Esperie

nza

Esperienza

Esperienza Esperie

nza

Esperienza

Esperienza

Esperienza

Esperienza Strumento

Analitico

Strumento Numerico

Strumento Sperimentale

SEA

Esperienza

Esperienza Esperie

nza







Acusto-Elastici.

6

I coe�cienti di influenza energetici (dai modi

all’energia)

L’utilizzo di modelli energetici e sempre piu frequente per descrivere ilcomportamento vibrazionale alle alte frequenze di sistemi complessi. Il sis-tema e diviso in sottosistemi energetici e la risposta e descritta in terminidi energia del sottosistema mediata sul tempo E e di potenza in ingresso alsottosistema Pin. Si osservi che queste, in teoria, sono risposte in frequenzadiscrete, ma sono solitamente mediate in frequenza (in particolare in bandadi terzi d’ottava) in modo che il modello relazioni le energie dei sottosistemimediante nel tempo e in frequenza e le potenze in ingresso. Il piu importantedegli approcci energetici e il SEA (ovvero Statistical Energy Analysis) (Ref.[15],[16]), il cui sviluppo ha avuto inizio dei primi anni ’60 proprio per la neces-sita di predire il comportamento vibrazionale alle alte frequenze. In generale,il SEA stima l’energia dissipata e scambiata tra sottosistemi, in funzione del-la potenza ricevuta dall’esterno. L’applicazione del SEA coinvolge una seriedi ipotesi che vengono specificate in questo capitolo. Infatti, poiche si trattadi un’analisi statistica, e necessario analizzare quali sono le condizioni per lequali la stima e rappresentativa della risposta dell’intero sistema. Negli anni’80, l’incapacita di comprendere quali fossero le ipotesi di validita di questoapproccio aveva portato ad un rallentamento del suo sviluppo, ma negli anni’90 il SEA e stato oggetto di rinnovata attenzione grazie ai risultati raggiuntimediante una nuova tecnica energetica, l’EDA (Energy Distribution Approch)

(Ref. [14],[20]). L’EDA ha permesso innanzitutto di evidenziare quali sono leipotesi di validita del SEA, ma soprattutto consente di ricavare la rispostaenergetica del sistema a partire dai modi propri del sistema stesso. In ter-mini ingegneristici, tale a↵ermazione si traduce nel poter utilizzare i modipropri ricavati da un’analisi agli elementi finiti per un’analisi energetica allealte frequenze.

Nel corso di questo capitolo, vengono presentati le proprieta di un modelloSEA e di un modello ED, in particolar modo quali sono le condizioni checonsentono il passaggio dall’uno all’altro.

94 6 I coe�cienti di influenza energetici (dai modi all’energia)

6.1 Modello SEA

Dato un sistema strutturale, lo si suddivide in sottosistemi energetici, doveper sottosistema energetico si intende un dominio spaziale caratterizzato dauna singola modalita di propagazione del disturbo strutturale. Ogni sotto-sistema e eccitato da forze random, stazionarie e distribuite. Si assume cheil sistema sia lineare e che l’eccitazione applicata sui diversi sottosistemi sianon correlata. La risposta del sistema e descritta dalle potenze in ingressomediate nel tempo Pin e le energie dei sottosistemi E mediate su una certabanda in frequenza ⌦. Introduciamo in questo paragrafo un modello SEA,da confrontare poi con il modello ED ricavato nel paragrafo 6.2, cercando, sepossibile, le condizioni che permettono il passaggio da un modello all’altro.

Nel SEA, per ogni sottosistema r si scrive un’equazione di bilancio dipotenza del tipo

Pin,r = Pdiss,r + Pcoupl,r (6.1)

dove Pin,r e la potenza in ingresso, Pdiss,r e la potenza dissipata e Pcoupl,r

e la potenza netta scambiata dal sottosistema r con gli altri sottosistemi. InFigura 6.1 sono rappresentati gli scambi energetici che si instaurano in unsistema costituito da due sottosistemi energetici.

Figura 6.1: flussi di potenza tra due sottosistemi energetici.

6.1 Modello SEA 95

In particolare:

• Pin,r = !⌘rEr1, dove ! e la frequenza di centro banda, ⌘r e il fattore di

perdita per smorzamento (damping loss factor) del sottosistema r e Er el’energia del sottosistema r;

• Pcoupl,r =P

s Prs, dove Prs e la potenza scambiata tra il sottosistema r eil sottosistema s.

La potenza scambiata tra due sottosistemi r e s puo essere espressa come

Prs = !nr⌘rs⇣Er

nr� Es

ns

⌘

(6.2)

dove ⌘rs e il coe�ciente di perdita per accoppiamento (coupling loss factor)che regola gli scambi energetici tra i sottosistemi r e s, mentre nr e la densitamodale asintotica del sottosistema r.

La (6.2) e un’assunzione fondamentale per il SEA secondo cui la poten-za scambiata tra due sottosistemi e proporzionale alla di↵erenza di ener-gia modale ei = Ei

nidei due sottosistemi. Tale assunzione e detta princi-

pio di proporzionalita della potenza scambiata (o coupling power

proportionally o CPP). La (6.2) puo anche essere espressa come

Prs = !⌘rsEr � !⌘srEs. (6.3)

Pertanto, se il CPP e valido, i coe�cienti di perdita per accoppiamento devonoverificare la relazione di consistenza

nr⌘rs = ns⌘sr. (6.4)

Assemblando le equazioni sin qui elencate, e possibile scrivere

Pin = L·E (6.5)

dove L e la matrice dei fattori di perdita (sia di smorzamento che diaccoppiamento) data da

1 Convenzionalmente, nel SEA si assume uno smorzamento strutturale, e quindile equazioni del SEA vengono scritte in termini di fattore di perdita (dampingloss factor). Nel paragrafo 6.2, dove la risposta e scritta in termini di modi delsistema, si utilizza uno smorzamento viscoso per due ragioni. Innanzitutto, lapotenza dissipata e proporzionale all’energia cinetica, che e la quantita piu facil-mente misurabile. Inoltre, la relazione qui e approssimata ed e corretta solo incondizioni di risonanza, allorche energia cinetica e potenziale (mediate in fre-quenza) sono uguali. Per smorzamenti piccoli, e possibile passare da un modelloall’altro sostituendo ⌘ = 2⇣, dove ⇣ e il fattore di smorzamento viscoso. In pratica,si introducono errori trascurabili, e qualora questi non lo fossero l’analista nonpotrebbe applicare il SEA.


L = !· diag�

⌘j�

+!

2

6

6

6

4

⌘12

+ ⌘12

+ . . . �⌘12

�⌘12

. . .�⌘

12

⌘12

+ ⌘12

+ · · ·� ⌘12

. . .�⌘

12

�⌘12

⌘12

+ ⌘12

+ . . . . . ....

......

. . .

3

7

7

7

5

(6.6)dove diag(· ) indica una matrice diagonale. La somma degli elementi appar-tenti alle colonne della matrice dei fattori di perdita per accoppiamento e paria zero (la potenza netta scambiata in tutto il sistema e nulla). Si osservi chele equazioni del SEA sono valide in senso stretto nel senso di medie d’insieme,ovvero quando potenze ed energie sono mediate su un insieme di sistemi simili,ma leggermente di↵erenti.

Condizioni per la validita di un modello SEA

Il SEA coinvolge un determinato numero di assunzioni e approssimazioni,che possiamo suddividere in condizioni necessarie e condizioni desiderabili.Solo se sono soddisfatte tutte le condizioni, allora sicuramente e valido il CPPe la potenza scambiata tra due sottosistemi accoppiati dipende solo dalle loroenergie modali e dai fattori di perdita per accoppiamento, ovvero e possibilee↵ettuare un approccio SEA classico.

Innanzitutto, a�nche il comportamento di un sistema possa essere de-scritto da un modello SEA, i parametri di tale modello devono soddisfare duecondizioni necessarie:

• la somma dell’r-esima colonna della matrice L deve essere uguale a !⌘r,poiche deve essere soddisfatto il principio di conservazione dell’ener-gia;

• i termini fuori della diagonale devono soddisfare la condizione di consis-tenza, ovvero il principio di reciprocita.

Se sono soddisfatte le condizioni necessarie, allora e valido il CPP e la poten-za scambiata tra due sottosistemi accoppiati dipende solo dalle loro energiemodali e dai fattori di perdita per accoppiamento.

Inoltre, ci sono un certo numero di condizioni desiderabili, che permettonodi classificare il tipo di modello SEA realizzato. La prima condizione desider-abile, e la piu importante, riguarda i fattori di perdita per accoppiamentorelativi a due sottosistemi non fisicamente collegati (fattori di perdita per ac-coppiamento indiretto, o indirect coupling loss factor), che dovrebbero esserenulli. Le altre condizioni desiderabili riguardano, piu in generale, i fattori diperdita per accoppiamento, che dovrebbero essere:

• positivi;• indipendenti dai fattori di perdita per smorzamento (almeno nell’approccio

classico al SEA).

Inoltre, dato il generico fattore di perdita per accoppiamento ⌘rs, esso dovrebbedipendere solo dalle proprieta locali della giunzione tra i sottosistemi r e s e

6.2 Modello ED 97

da quei sottosistemi collegati a quella giunzione, ma non dalle proprieta dialtri sottosistemi distanti. In altre parole, dati i sottosistemi r e s, il coe�-ciente di perdita per accoppiamento ⌘rs e lo stesso sia se consideriamo i duesottosistemi isolati sia se li consideriamo parte di una struttura piu grande 2.Ovviamente, se tale condizione desiderabile e soddisfatta, l’analista guadagnaun grosso vantaggio perche puo estrarre ogni coppia di sottosistemi dalla strut-tura piu grande e calcolarne i coupling loss factor considerando tale coppiaisolata.

Se le due condizioni necessarie sono soddisfatte e i fattori di perdita peraccoppiamento indiretto sono nulli (prima condizione desiderabile), allora ilmodello ottenuto e un modello propriamente SEA (proper-SEA model) e lamatrice L e detta matrice propriamente SEA (proper-SEA matrix ). In questocaso, l’analista ne guadagna un notevole vantaggio poiche e semplice rela-zonare i parametri del SEA allo smorzamento fisico ed ai componenti di ac-coppiamento. Se invece sono valide solo le condizioni necessarie, si ottiene unmodello quasi-SEA, ed L e detta quasi-SEA matrix : in questo caso, e possi-bile eseguire, in teoria, un’analisi SEA-like, ma e necessario coinvolegere gliindirect coupling loss factor in quanto non sono piu nulli.

Vale la pena osservare che l’esistenza di fattori di perdita per accoppia-mento indiretto non nulli ⌘ri (dove r e i sono due sottosistemi fisicamentenon collegati) non implica che l’energia fluisca tra i due sottosistemi (non epossibile, non essendo collegati), ma significa che la potenza scambiata Prs

tra due sottosistemi r e s vicini e fisicamente accoppiati dipende anche dal-l’energia di un terzo sottosistema i. Ovviamente, e chiaro che in questo casola potenza scambiata Prs non e piu calcolabile dalla (6.2), e quindi il CPPnon e piu valido il CPP e di conseguenza decadono anche altre assunzioni delSEA.

6.2 Modello ED

In un modello ED, la relazione che lega le energie e le potenze in ingressoe

E = A·Pin (6.7)

dove A e la matrice dei coe�cienti di influenza energetici nella bandain frequenza considerata. Mediante la (6.7), il sistema fisico e modellato comedistribuzione di energia. L’elemento Ars e l’energia (mediata nel tempo e infrequenza) nel sottosistema r per unita di potenza (mediata nel tempo e infrequenza) in ingresso nel sottosistema s. Generalmente, la matrice A e unamatrice non simmetrica, tranne in alcune circostanze.

A questo punto, e possibile ricavare i termini della matrice A dai modi delsistema, che e la novita dell’EDA rispetto alle altre tecniche energetiche. Come

2 Cio e in contrasto con un modello ED, in quanto i coe�cienti di influenzaenergetici dipendono implicitamente dalle proprieta dell’intera struttura.


per il modello SEA, anche in questo caso, si suddivide il sistema in sottosistemiche sono eccitati da forze random, stazionarie e distribuite e si assume che ilsistema sia lineare e che l’eccitazione applicata su diversi sottosistemi sia noncorrelata. Si fa l’ipotesi di smorzamento viscoso, sebbene i modi possano averediverse larghezze di banda.

6.2.1 Risposta in frequenza discreta

Consideriamo un sistema discreto eccitata in un punto x = x1

da una forzaperiodica f(x, t) = Fej!t�(x� x

1

) (x puo essere un vettore per strutture bi-o tri-dimensionali), dove F e l’ampiezza della forza. L’ampiezza della rispostadinamica in un punto x = x

2

puo essere espressa in termini dei modi propridel sistema dalla (6.8)

W (!, x1

, x2

) =X

j

↵j(!)�j(x1

)�j(x2

)F (6.8)

dove �j(x) e l’autovettore del modo j-esimo e

↵j(!) =1

!2

j � !2 + i�j!(6.9)

e la recettanza modale del modo j-esimo (!j e la frequenza naturale del modoj-esimo). Come predetto, nella (6.9) si e assunto uno smorzamento viscoso,ovvero

�j = 2⇣j!j = ⌘j!j . (6.10)

In particolare, secondo il metodo dell’half-power bandwidth (vedi Capitolo4), si assume il fattore di smorzamento ⇣j proporzionale alla larghezza dibanda �j in cui esso agisce (dimezzando la potenza), sebbene ⇣ vari da modoa modo e quindi dipenda dalla frequenza. Alternativamente, come mostratodalla (6.10), e possibile fare l’ipotesi di smorzamento strutturale con fattore diperdita ⌘, ma cio comporta delle approssimazioni sulle equazioni che seguono(che sono esatte nelle ipotesi di smorzamento viscoso).

Si osservi che i modi del sistema sono normalizzati rispetto alla massageneralizzata, e per la proprieta di ortogonalita dei modi propri risulta esserevalida la (6.11)

Z

⇢(x)�j(x)�k(x) = �jk (6.11)

dove ⇢(

x) e la densita di massa e �jk e il delta di Kronecker (che pero, inquesto caso, deve essere dotato di opportune dimensioni).

6.2.2 Densita di energia cinetica, potenza in ingresso econservazione dell’energia

Definita la risposta del sistema, e possibile esprimere il proncipio diconservazione dell’energia in funzione delle caratteristiche modali del sistema.

6.2 Modello ED 99

La densita di energia cinetica mediata nel tempo in x = x2

e pari a

DT (!, x1

, x2

) =1

2Re

n1

2⇢(x

2

)!2WW ⇤o

=

=X

j

X

k

⇣1

4!2�jk(!)

⌘⇣

�j(x1

)�k(x2

)|F 2|⌘⇣

⇢(x2

)�j(x2

)�k(x2

)⌘

(6.12)

dove�jk(!) = Re{↵j(!)↵

⇤k(!)} (6.13)

(l’asterisco * sta ad indicare il complesso coniugato). In particolare, nella(6.12), al secondo membro e scritto il prodotto di tre termini che dipendono,nell’ordine, da frequenza, sorgente x = x

1

e ricevitore x = x2

.La potenza in ingresso mediata nel tempo e pari a

Pin =1

2Re{i!W (!, x

1

, x1

)F ⇤} =X

j

1

2!2�j�jj(!)�

2

j (x1

)|F 2| (6.14)

dove

�jj =1

h

�

!2

j � !2

�

2

+�

�j!�

2

i (6.15)

Integrando la densita di energia cinetica sull’intero sistema, e possibilecalcolare l’energia cinetica totale. Dalla proprieta di ortogonalita (6.11), segueche per ogni modo j-esimo vale

Pin,j(!) = 2�jTj (6.16)

dove Tj e l’energia cinetica associata al modo j-esimo. La (6.16) e di certo unenunciato di conservazione dell’energia scritto modo per modo. In particolare,si approssima l’energia totale al prodotto di due volte l’energia cinetica totaleper il termine �j (che puo essere sostituito da 2⇣j!j o ⌘j!j a seconda delmodello di smorzamento adottato).

6.2.3 Coe�cienti di influenza energetici

Andiamo ora ad asplicitare i coe�cienti di influenza energetici in terminidei modi del sistema. Si suppone che l’eccitazione applicata a diversi sottosis-temi sia scorrelata, e pertanto e possibile considerare le eccitazioni una allavolta. In particolare, supponiamo di applicare un’eccitazione spazialmente dis-tribuita del tipo rain-on-the-roof (pioggia sul tetto) sul sottosistema s e cheagisce su una banda di frequenza ⌦. Per sollecitazione rain-on-the-roof si in-tende un’eccitazione casuale spazialmente distribuita, che sia delta-correlatae la cui ampiezza sia proporzionale alla densita di massa locale ⇢(x) (ovveroS0f (x,!) = Sf (!)⇢(x)), mentre la densita spettrale di cross-correlazione e nul-

la. In questo modo, l’eccitazione applica delle forze modali uguali a tutti i


modi del sottosistemi e inietta energia mediante le onde in maniera egualein tutti i punti del sottosistema eccitato. In queste circostanze, il contributodella media quadratica dell’eccitazione f2 nella banda in frequenza �! e

f2 =1

2|F 2| = Sf (!)⇢(x)�!, (6.17)

dove la densita spettrale Sf (!) potrebbe essere una funzione della frequenza,ma nel corso della trattazione e considerata costante per convenienza.

Fatte le dovute considerazioni sul tipo di eccitazione, e possibile calcolarel’energia cinetica, mediata nel tempo e in frequenza, e la potenza in ingresso,mediata nel tempo.

In particolare, la media in frequenza dell’energia cinetica del sottosistema rper una potenza in ingresso nel sottosistema s e ottenuta integrando la (6.12)sul sistema sorgente s e sul sistema ricevente r (in quanto stiamo parlandodi una densita di energia), oltre che sulla banda in frequenza considerata ⌦,ovvero

T (r) =1

⌦

Z

!2⌦;x12s;x22r

DT (!, x1

, x2

)d! dx1

dx2

. (6.18)

Nel caso di eccitazione rain-on-the-roof, e possibile scrivere energia cinet-ica media nel sottosistema r e potenza in ingresso media nel sottosistema s

rispettivamente come

T (r) = 2Sf

X

j

X

k

�jk (s)jk

(r)jk (6.19)

P (r)in = 2Sf

X

j

2�j�jj (s)jj (6.20)

dove:

•�jk =

1

⌦

Z

!2⌦

1

4!2�jk(!) d! (6.21)

e la cross-modal power mobility, che dipende solo dalle frequenze naturalie dalla larghezza di banda dei modi;

• (r)jk =

Z

x2r

⇢(x)�j(x)�k(x) dx (6.22)

e il cross-mode partecipation factor, che dipende solo dalla correlazionespaziale tra il modo j-esimo e il modo k-esimo nel sottosistema r.

L’introduzione dei termini �jk e (r)jk permette di suddividere la caratter-

izzazione spaziale da quella in frequenza. Nei paragrafi successivi tali terminisono trattati piu approfonditamente.

6.2 Modello ED 101

Dalla (6.20) si evince come la potenza in ingresso sia la somma delle poten-ze in ingresso di ogni modo, mentre dalla (6.19) si evince come l’energia ci-netica sia la somma dei termini modali incrociati che coinvolgono una coppiadi modi alla volta.

A questo punto, e possibile ricavare i coe�cienti di influenza energetici.Infatti, come gia scritto all’inizio di questo paragrafo, il generico elemento Ars

e l’energia (mediata nel tempo e in frequenza) nel sottosistema r per unitadi potenza (mediata nel tempo e in frequenza) in ingresso nel sottosistema s.Pertanto, e possibile scrivere

Ars =E(r)

P (s)in

=2T (r)

P (s)in

=

P

j

P

k �jk (s)jk

(r)jk

P

j �j�jj (s)jj

. (6.23)

Si osservi che i termini Ars sono esatti, perche non e stata fatta alcun tipodi ipotesi oltre alla linearita del sistema e all’eccitazione non correlata.

Integrali di frequenza �jk e �jj

Il termine �jk (Cross-modal power mobility) e un integrale di frequenza lacui ampiezza dipende innanzitutto dalle frequenze naturali dei modi j-esimoe k-esimo. Tale integrale va calcolato su una banda in frequenza ⌦ sceltain maniera opportuna. Data la (6.21), ricordando l’espressione di �jk (6.13),e chiaro che �jk e piccolo a meno che i modi j-esimo e k-esimo non sianoentrambi risonanti in ⌦, ovvero !j ,!k 2 ⌦. Inoltre, �jk e particolarmentegrande se i modi si sovrappongono, ovvero qualora le loro larghezze di bandahalf-power giacciono l’una sull’altra. In questo caso si parla di overlap.

Figura 6.2: esempio di overlap.

La condizione analitica per avere overlap e

|!j � !k| �j ��k

2. (6.24)

Un altro termine particolarmente grande e il termine di auto power mobility

�jj nel caso in cui il modo j-esimo sia risonante in ⌦.Vediamo ora in dettaglio l’espressione analitica dei termini �jj e �jk. Nel-

l’ipotesi di smorzamento piccolo (tale da poter lavorare con modi reali) e


costante, quando i modi sono risonanti gli integrali di frequenza possono essereapprossimati come

�jj =1

⌦

⇡

8�j(6.25)

�jk =1

⌦

⇡(!j + !k)2(�j +�k)

16h

�

!2

j + !2

k

�

2

+ (�j!j +�k!k)2i (6.26)

Queste espressioni sono esatte se il limite di integrazione e (0,1), qualsiasisia il livello di smorzamento. La (6.26) puo essere ulteriormente semplificata sele larghezze di banda � dei modi j e k sono uguali. Quindi, se �j = �k = �,risulta

�jk =1

⌦

⇡

8�

1

1 +⇣

!j�!k

�

⌘

2

= �jj1

1 +⇣

!j�!k

�

⌘

2

(6.27)

dove tutti i termini �jj relativi a modi risonanti sono uguali. La (6.27) puoessere riscritta come

�jk = �jjµjk (6.28)

dove

µjk =1

1 + S2

jk

=M2

jk

1 +M2

jk

(6.29)

Sjk =|!j � !k|

�(6.30)

Mjk =1

Sjk=

�

|!j � !k|(6.31)

In particolare, Mjk e il fattore di sovrapposizione modale dei modi j e k,mentre Sjk e la separazione modale dei due modi. Il termine µjk agisce comeun filtro, che determina quali coppie di modi contribuiscono significativamentealla risposta totale: µjk e prossimo all’unita se i modi j e k si sovrappongono,altrimenti e prossimo a zero. Approssimativamente, possiamo scrivere

µjk =

(

1, se |!j � !k| < � (overlap)

0, se |!j � !k| < � (no overlap)(6.32)

Fattori di partecipazione (r)jk e (r)

jj

Il termine (r)jk (Cross-mode partecipation factor) indica la correlazione del-

la coppia di modi (jk) all’interno del sottosistema r. Per la (6.11), il principiodi ortogonalita dimostra che i modi globali �j(x) e �k(x) non si accoppiano(non scambiano energia) sull’intero sistema essendo ortogonali, e quindi ognimodo compie lavoro solo su se stesso. Diversamente, se si considera un singolosottosistema, i due modi riescono a scambiarsi energia localmente, ottenendo

6.2 Modello ED 103

proprio il fattore di partecipazione (r)jk . Per ogni sottosistema r, e possibile

individuare quali sono le coppie che si scambiano piu energia. Tale passaggio efondamentale perche i fattori di partecipazione compaiono sia nell’espressionedell’energia cinetica che in quella della potenza. In particolare, nell’espressione

di T (r) sono presenti sia (s)jk che (r)

jk , che rappresentano l’energia che i modiglobali �j(x) e �k(x) si scambiano rispettivamente nel sottosistema sorgente

s e in quello ricevente r. Nell’espressione di P (s)in , invece, compare il fattore di

auto-partecipazione modale � (s)jj , che indica come viene assorbito lo spettro di

potenza Sf dal j-esimo modo. In particolare, il termine � (s)jj fornisce un’indi-

cazione dell’energia cinetica immagazzinata nel sottosistema s dal modo j, epertanto permette di classificare se il modo j e globale o locale:

• se � (s)jj e grande per la maggior parte dei sottosistemi appartenenti al

sistema, allora il modo j-esimo e un modo globale, cioe la sua energiacinetica e estesa globalmente su tutto il sistema;

• se � (s)jj e significativo solo per pochi sottosistemi, allora il modo j-esimo

e un modo locale, cioe la sua energia cinetica tende ad essere contenutasolo in quei pochi sottosistemi.

I termini di auto partecipazione modale devono essere necessariamentepositivi, mentre i termini incrociati possono essere sia positivi che negativi.Infatti, poiche ogni sistema di modi propri e ortogonale sull’intero sistemastrutturale, se quest’ultimo e costituito da Ns sottosistemi, allora deve valerela relazione

NsX

s=1

(s)jk = �jk (6.33)

E opportuno sottolineare (Ref. [14],[27],[28]) che il valore medio (sui modipresenti) del fattore di autopartecipazione nel generico sottosistema s e parial rapporto tra la densita modale nel sottosistema s e la densita modale intutto il sistema, ovvero

E⇥

(s)jj

⇤

= ⌫s =ns

ntot(6.34)

dove ntot e la densita modale totale nel sistema (la somma delle densita modalidi tutti i sottosistemi), ns e la densita modale nel sottosistema s e quindi ⌫se la frazione di densita modale del sottosistema s.

6.2.4 Alcune proprieta dei coe�cienti di influenza energetici

Supponendo, per convenienza, che lo smorzamento sia costante per tutti imodi, i coe�cienti di influenza soddisfano due proprieta:

Ars � 0 (6.35)


X

r

Ars =1

�(6.36)

Si osservi che la (6.36), ovvero che la somma di una generica colonnadella matrice A e uguale a 1/� e una conseguenza del principio di conser-vazione dell’energia. Se invece i modi hanno diversi livelli di smorzamento,allora tale relazione non puo essere sviluppata direttamente per le energiedei sottosistemi, ma e possibile scrivere una relazione simile per le potenzedissipate.

Infine, se lo smorzamento e piccolo, tale che il contributo dei modi non riso-nanti in ⌦ possa essere trascurato, alla luce di quanto detto sinora e possibilesemplificare la (6.23) come

Ars =1

�

P

j

P

k µjk (s)jk

(r)jk

P

j (s)jj

, (6.37)

dove in questo caso si considerano solo i modi risonanti in ⌦.

6.3 Relazione tra SEA e EDA

Nei paragrafi 6.1 e 6.2 sono state analizzate le condizioni di validita di unmodello SEA e EDA, rispettivamente. In particolare, riassumendo, un modelloED per la sua validita richiede semplicemente l’ipotesi di linearita del sistemae di eccitazioni non correlate. Un modello SEA richiede un numero consid-erevole di ipotesi (oltre alle due appena citate), e pertanto non e scontato che,come si potrebbe pensare, l’inversa della matrice dei coe�cienti di influenzaenergetici A sia una matrice proper-SEA o quasi-SEA. In questo paragrafoci proponiamo di determinare sotto quali condizioni e possibile invertire lamatrice A ottenendo la matrice di un modello quasi-SEA L. Inoltre, tali con-dizioni sono indicative della possibilita di utilizzare un modello SEA-like perla descrizione del comportamento del sistema, ovvero quando i risultati SEAsono significativi.

A�nche L sia una matrice SEA e necessario che la somma dei terminidella colonna r-esima sia pari a !⌘r e che i termini al di fuori della diagonaleprincipale soddisfino il principio di consistenza.

La matrice A puo essere scritta come

A =1

!⌘(I � ↵) (6.38)

dove:

• I e la matrice unitaria;• lo smorzamento, rispettando le convenzioni del modello SEA classico, e

espresso in termini di fattore di perdita;

6.3 Relazione tra SEA e EDA 105

• i termini della matrice ↵ sono espressi da

↵rs = �rs �P

j

P

k µjk (r)jk

(s)jk

P

j (s)jj

. (6.39)

La somma delle colonne della matrice ↵, cosı espressa, e nulla.

La matrice inversa X = A�1 pertanto puo essere scritta come

X = !⌘I + !C (6.40)

C = ⌘↵(I � ↵)�1 = ⌘(↵+ ↵2 + ↵3 + . . . ). (6.41)

Poiche e nulla la somma delle colonne della matrice ↵, allora e nulla anche lasomma delle colonne della matrice C. Inoltre, riscrivendo la matrice ↵ come

↵ = �diag

1P

j (s)jj

!

(6.42)

dove � e una matrice simmetrica cosı espressa

� =X

j

(s)jj �rs �

X

j

X

k

µjk (r)jk

(s)jk (6.43)

segue che ↵2, ↵3, . . . e quindi C nella (6.41) sono ottenuti dal prodotto di unamatrice simmetrica per una matrice diagonale, come si evince dalla (6.42).

A questo punto e possibile osservare che la matrice X trovata e costituitadalla somma di due matrici, in accordo con la formulazione SEA (6.6); inparticolare, la matrice !⌘I (diagonale) e la matrice dei coe�cienti di perditadiretta legati alla dissipazione interna; la matrice C rappresenta la matrice deicoe�cienti di perdita per accoppiamento, con elementi fuori dalla diagonaleCrs = �⌘rs. Ovviamente, a�nche la trattazione sia corretta, e necessario chegli elementi di C soddisfino la relazione di consistenza, ovvero

nrCsr = nsCsr. (6.44)

La (6.44) e verificata se il rapportoP

j (r)jj /nr e costante per tutti i sot-

tosistemi, il che significa che i modi nella banda in frequenza scelta sono taliche

(r)jj = E

⇥

(r)jj

⇤

= ⌫r (6.45)

dove (r)jj e il valore medio di (r)

jj per tutti i modi nella banda in frequenza ⌦.Pertanto, il principio di reciprocita e soddisfatto se per la banda in frequenza

⌦ scelta, il valor medio (r)jj approssima su�cientemente bene la frazione

di densita modale espressa nella (6.34): ci deve essere un numero su�cientedi modi nella banda ⌦, e la loro energia cinetica deve essere, mediamente,


rappresentativa di tutti i modi del sistema, in termini di distribuzione di

energia cinetica attraverso il sistema. Inoltre, poiche (r)jj dipende solo dalle

deformate modali dei modi in ⌦, il principio di consistenza non e influenzatone dal livello di smorzamento ne dalle caratteristiche della giunzione tra isottosistemi.

Possiamo quindi concludere che la matrice X cosı determinata soddisfa siail principio di conservazione dell’energia che, nel caso in cui valga la (6.45),il principio di consistenza. Essendo soddisfatte le due condizioni necessariedel modello SEA, e possibile a↵ermare che la matrice X e una matrice quasi-

SEA. In generale, pero, la matrice X non soddisfa le cosiddette condizionidesiderabili, e quindi non e una matrice proper-SEA. In particolare, nellamatrice X e possibile che:

• i fattori di perdita per accoppiamento siano negativi;• i fattori di perdita per accoppiamento indiretto possano essere non nulli,

e quindi possano esserci termini Crs non nulli per sottosistemi r e s nonfisicamente accoppiati;

• i fattori di perdita per accoppiamento ⌘sr e ⌘rs dipendano sia dalle propri-eta globali dell’intero sistema, sia dalle proprieta locali dei due sottosistemi(specialmente se lo smorzamento e piccolo);

• i fattori di perdita per accoppiamento generalmente dipendano dal fat-tore di perdita per smorzamento ⌘, soprattutto se lo smorzamento esu�cientemente piccolo.

Riassumendo, il CPP vale e il sistema puo essere modellato utilizzando unapproccio quasi SEA, ma a di↵erenza del SEA classico e necessario tenere inconto anche le potenze scambiate tra sottosistemi non fisicamente collegati.Mediante un esempio numerico, riassumiamo quanto detto sinora, evidenzian-do quando i risultati di un’analisi SEA sono rappresentativi della risposta delsistema.

6.4 Esempio numerico

Consideriamo il sistema in Figura 6.3 che comprende quattro aste in lineasoggette a vibrazioni assiali. Le aste sono dello stesso materiale, e di↵erisconoper lunghezza e area della sezione trasversale. In particolare, le lunghezzesono state scelte in maniera tale che il rapporto tra le lunghezze di due astesia irrazionale. In Tabella 6.1 sono riportate le proprieta geometriche delleaste (le lunghezze sono riportate alla quarta cifra decimale).

La densita modale dell’intero sistema e ntot = 1, e quindi il fattore disovrapposizione modale e uguale al prodotto ⌘!. I modi propri del sistemasono calcolati mediante l’analisi modale.

La Figura 6.4 mostra i fattori di partecipazione modale (r)jj per i primi

cento modi propri per ogni sottosistema (j = 1, . . . , 100; r = 1, . . . , 4). Inoltre,per ogni sottosistema, la linea tratteggiata e rappresentativa del valore della

6.4 Esempio numerico 107

Tabella 6.1: proprieta geometriche delle aste (unita arbitrarie).

Asta Area Lunghezza ⌫

1 1 0.5171 0.16462 0.4 0.8885 0.28283 0.9 0.7072 0.22514 0.6 1.0288 0.3275

frazione di densita modale ⌫r. Dalle figure si nota che i (r)jj sono piu o meno

uniformemente distribuiti a seconda del sottosistema considerato, ma in ogni

caso si percepisce che il valor medio (r)jj coincide proprio con ⌫r. Tale conver-

genza non e verificata in assoluto, ma dipende dal numero di modi considerato,come mostrato in Figura 6.5.

La Figura 6.5 mostra che la media in frequenza dei fattori di parteci-

pazione (r)jj (rapportata alla frazione di densita modale ⌫r del sottosistema r

considerato) su una banda in frequenza ⌦ centrata sulla frequenza naturaledel 50-esimo modo proprio e una funzione del numero di modi contenuti nellabanda. In particolare, la media dei fattori di partecipazione tende alla frazionedi densita modale del sottosistema considerato solo se si considera un numerodi modi su�ciente (nel caso rappresentato, sono necessari almeno 10 modiper avere convergenza). Questa convergenza indica, in accordo con la (6.45),che e possibile utilizzare un approccio quasi-SEA solo qualora nella banda infrequenza considerata vi e un numero di modi su�ciente.

La Figura 6.6 mostra i fattori di perdita per accoppiamento diretto e indi-retto !nr⌘sr, in funzione di !⌘ per una banda in terzi d’ottava centrata sullafrequenza propria del 50-esimo modo proprio di vibrare. Tale banda contiene13 modi propri. Su questa banda in frequenza, la larghezza di banda half-power� = !⌘ e ritenuta costante, in modo tale che il fattore di sovrapposizionemodale non dipenda dalla frequenza. I risultati calcolati sono approssimati,in quanto, come precedentemente giustificato, sono ignorati gli e↵etti dei mo-di non risonanti in questa banda ed inoltre per il calcolo dei termini �jk eusata l’espressione approssimata (6.27) piuttosto che quella esatta. Gli erroriintrodotti da queste approssimazioni sono significativi solo per alti valori di� = !⌘, quando il valore del fattore di sovrapposizione modale diventa el-evato. In ogni caso, puo essere ancora adottato un approccio quasi-SEA. Inparticolare, dalla Figura 6.6 si osserva che:

Figura 6.3: sistema strutturale costituito da quattro aste in linea.


• alcuni fattori di perdita per accoppiamento indiretto sono negativi, e ten-dono asintoticamente a zero per elevati valori dei fattore di sovrapposizionemodale;

• per tutti i coe�cienti di accoppiamento (sia diretto che indiretto) valel’uguaglianza !nr⌘sr = !ns⌘rs, ovvero vale il principio di consistenzarichiesto da un approccio SEA.

Figura 6.4: fattori di partecipazione (r)jj (+) per i primi 100 modi propri e (-

- -) frazione di densita modale ⌫r per le quattro aste.

6.4 Esempio numerico 109

Da quanto detto, si puo evincere che e possibile passare da un modelloEDA ad un modello SEA quando:

• il valore del fattore di sovrapposizione modale e elevato;• la banda in frequenza ⌦ su cui sono calcolati i valori medi deve contenere

un numero su�ciente di modi.

Pertanto, i risultati statistici ottenuti da un approccio SEA sono rappre-sentativi della risposta dell’intero sistema strutturale solo se sono valide lecondizioni suddette.

Figura 6.5: andamento della media in frequenza del fattore di partecipazione

(r)jj , rapportato alla frazione di densita modale ⌫r, in funzione del numero di

modi presenti nella banda.


Figura 6.6: fattori di perdita per accoppiamento diretto e indiretto !nr⌘srfunzione del fattore di sovrapposzione modale !⌘.







Acusto-Elastici.

Author's personal copy

Letter to the Editor

Structural similitudes for the dynamic response of plates and assemblies of plates

a r t i c l e i n f o

Keywords:Structural similitudeEnergy distribution approachScaling laws

a b s t r a c t

A structural similitude is proposed for the analysis of the dynamic response of plates orassemblies of plates. The similitude is defined by invoking the energy distributionapproach which allows the representation of all the fundamental parameters. Then, thesimilitude laws are defined by looking for equalities in the structural responses. Twotest cases are herein discussed: the first involves a single plate response and the secondis related to an assembly of two plates. Only the bending waves are taken into account.If the original damping values are kept, a complete similitude is defined in both thecases which allows to enlarge or reduce independently the plate surfaces and thethickness. An approximate similitude is defined if the damping is modified: in this caseonly a mean response can be predicted in similitude.

& 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction

It is well-known that the possibility to transport the same engineering problem in different scales can offer severaladvantages. Thinking only to the geometry, a very small object could be investigated in a scale larger than the original one,so making easy the location of a given set of sensors. On the contrary, very large structural components can be analysed ina standard laboratory by using a concentrated set of excitation and acquisition instrumentation and with small surfaces tobe controlled.

The theory of the models and the analysis of the possible similitudes and analogies is a very large branch ofthe engineering literature and cannot be replicated here. An interesting summary of the similarity conditions betweena full-scale model and a scaled one, by using the modal approach, is given in [1], with specific reference to dynamicresponse. A more general view of the problem is in [2], even if the main textbooks about this subject are the workin [3,4].

The approach of the similitudes between models is largely used in the aeroelastic tests where, during the wind tunnelmeasurements, the aircraft component is designed to represent the same natural frequencies or flutter speed and/or thewind-tunnel data have to be correlated to the flight-test ones, [5].

The relationships among mode shapes, natural frequencies, damping loss factors and energies are in [6] where theenergy distribution approach (EDA) is introduced. EDA was specifically used in order to predict the original and scaledresponses of linear dynamic systems, [7–9]. In detail, some investigations for a simple plate are in [7], and the extension totwo plates is in [8]; the scaling between structural components with different modal density (a beam coupled with a plate)is introduced in [9]. The configurations were very simple but the results were very attractive when comparing them tothose obtainable with large finite element models.

In the present work, the idea is to enlarge the number of parameters in order to generate a complete similitude and toset-up similitude laws for some coefficients able to represent some of the items to be investigated.

The adopted approach would formally invoke the process of full dimensional analysis, [3], but here it is preferred towork with the energy distribution approach (EDA) that allows the investigation of a dynamic system via the modes andnatural frequencies in order to determine the power input and the energy associated to each subsystem.

The work, after these introductive remarks, presents in Section 2 a summary of EDA. This approach is then used todefine a similitude with a parent model tailored for representing some specific items under observation. Section 3 containsthe numerical investigations concerning the dynamic response of a simple bending plate and an assembly of two bendingplates.

Contents lists available at ScienceDirect

journal homepage: www.elsevier.com/locate/jnlabr/ymssp

Mechanical Systems and Signal Processing

0888-3270/$ - see front matter & 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.ymssp.2010.10.004

Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980


Despite their simplicity, the results show promising applications of the proposed similitude laws.

List of symbols

AEIC energy influence coefficient matrixA surface area of the plateAEIC

rs rsth member of the AEIC matrixcB bending wavespeedE energy vectorE Young modulef(P, t) excitation function of space, P, and time, th plate thicknessiu imaginary unitmgen generalized massn modal densityNM number of modesNP number of points of the graph (frequency resolution of the response)NS number of subsystemsPinput power input vectorPin

(r) power input to the rth subsystemSf spectral density force functionT(r) kinetic energy of the rth subsystemt time variablex spatial coordinate vectorGjk modal operator between jth and kth moded Dirac d- functionZ damping loss factorm modal overlap factorn Poisson moduler mass densityfj jth eigenvectorcjk modal spatial operator between jth and kth modeO generic frequency intervalo radian excitation frequencyoj jth eigenvalue

2. The energy distribution approach (EDA)

EDA is here recalled in order to define a similitude between original and scaled models.

2.1. Some remarks on EDA

A structural (or structural-acoustic) dynamic model can be assembled by using a deterministic model based on its modeshapes and natural frequencies. This model can be now named as original.

EDA allows using the eigensolutions (natural frequencies and global mode shapes) in order to obtain the distribution ofenergy in each subsystem. The structural subsystem is defined as a spatial domain characterised by specific waves. Thesystem can be thought as an assembly of NS subsystems in which NM modes are resonating at each excitation frequency.Then, using EDA, it is possible to estimate the energy unknown vector, E, for a given power input vector, Pinput; this is doneevaluating the energy influence coefficient matrix, AEIC:

E!AEICPinput, "1#

with

AEICrs !

Pj

PkGjkc

"s#jk c"r#jkP

jZjojGjjc"s#jj

withr,s 2 f1, . . . ,NSgj,k 2 f1, . . . ,NMg : "2#

Eq. (1) is directly evaluated by using a modal expansion theorem. Therefore, it is an exact relationship representing anenergy balance. The use of an analytical relationship strengths the successive mathematical derivation instead of an energybalance equation based on the SEA formulation.

Letter to the Editor / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980970


The energy response is defined in terms of some global parameters which depend on the modal properties of thesystem. The spatial coupling parameter for the generic rth subsystem is the following:

c!r"jk #Z

x2rr!x"fj!x"fk!x" dx: !3"

This term depends on the global mode shapes acting within the rth subsystem: specifically, the c!r"jk term measures thegeneralised work inside the rth subsystem due to interaction between the jth and kth modes. The modes can be consideredlagrangian coordinates and then the c!r"jk term expresses the work of the generalised force (represented by the jth mode) forthe generalised displacement (represented by the kth mode).

The global mode shapes are considered mass-normalised and then the cjk terms are dimensionless. Further, for a singlesystem, the only non-zero terms are the cjj thanks to the well-known orthogonality property.

The frequency dependent members are here recalled:

Gjk #1

4O

Z

o2Oo2Re

1

o2j $o2% iuZjo2

j

!1

o2k$o2% iuZko2

k

!" #do: !4"

The frequency response operators can be approximated, [6]:

Gjj&1

8Op

Zjoj, !5"

Gjk&p

16O!oj%ok"

2!Zjoj%Zkok"

!o2j $o2

k "2%!Zjo2

j %Zko2k "

2: !6"

The term O represents a generic frequency band in which the system response is interrogated for a given excitation.Two approximations can be invoked: they are named large and small terms. The first represents the situation in which

two modes well-overlap !o2j &o2

k "; the second is associated to the case in which two modes do not well-overlap,!o2

j $o2k "

2b!Zjo2j %Zko2

k "2. In the next section, both will be explicitly expressed when dealing with the similitude.

It has to be further noted that in EDA, (i) the loading was assumed to be proportional to mass density with zero cross-spectral density Sf, [6], and then (ii) being Sf represented by the dimensional product of a squared force by a velocity!F2LT$1".

The expressions of the input power to the sth subsystem and the kinetic energy for the rth subsystem complete thedynamic set for the analysis:

P!s"IN # 2Sf

X

j

2ZjojGjjc!s"jj , !7"

T!r" # 2Sf

X

j

X

k

Gjkc!s"jk c

!r"jk : !8"

The full development and complete set of equations are in [6].

2.2. Definition of the similitude

As announced, a full dimensional analysis is outside the aims of the present work. Here, it is intended to represent thefundamental variation of the few parameters that allow building an useful similitude. This similitude must be able torepresent the dynamic response. The scaled model will be different from the original one: some of the parameters areincreased, others will be reduced. It is expected to find the similitude laws for the selected parameters.

This work is based on the following choices:

' The models under investigations are represented by bending plates.' It is assumed that the material of the plates does not change: any variation of this can be interpreted as a variation in

the distribution of the natural frequencies. For a generic assembly there is the possibility, in principle, of changing thematerial of each plate. This choice enlarges the possibility of getting the same results with different similarconfigurations, but it has been preferred to neglect the possibility to introduce this parameter, too, in order to keep theanalysis as simple as possible. It is also easy to consider that in an experimental laboratory, the variation of thedimensions is a step easier than to change the material.' The plates are excited by concentrated harmonic forces, f !P,t" #F!o"d!P"e$iuot .' The structural damping is such that the system response can be obtained by using the real mode shapes and undamped

natural frequencies: more complicated models, based on the complex mode shapes, do not add further contributions tothe present developments and results.

Letter to the Editor / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980 971


The field of investigation is restricted to the analysis of the values of area, A, thickness, h, damping, Z and forces, F, sinceit is further assumed that F!o" # F. The overline will always denote the scaled items. Then, a similitude is searched withthis set:

rA #AA

, rh #hh

, rF #FF

, rZ #ZZ : !9"

It is assumed that the global mode shapes, after imposing the similitude, remain unaffected:

fj #fj: !10"

As consequence, one gets that the scaled spatial coupling parameters are equal:

c!r "jk #

Z

x2rr!x"fj!x"fk!x" dx#

Z

x2rr!x"fj!x"fk!x" dx#c!r"jk : !11"

Having assumed to work with bending plates, the natural frequencies are modified with the parameter ro, beingro # rh=rA.

The scaled auto and cross-modal frequency response operators are here defined:

Gjj$p

8OZjo j#

p8O!ZjrZ"!ojro"

#Gjj1

rZro, !12"

Gjk$p

16Or3orZ!oj%ok"

2!Zjoj%Zkok"

r4o!o2

j &o2k "

2%r4or2

Z!Zjo2j %Zko2

k "2: !13"

These cross terms cannot be directly posed in similitude: the quantities involved are different functions of the scalingparameters defined for the natural frequencies and for the modal damping. The approximations before introduced are hereused: they are named large and small terms.

The situation in which two modes well-overlap !o2j $o2

k " is as follows:

G!large"jk $

p16O!oj%ok"

2!Zjoj%Zkok"

!Zjo2j %Zko2

k "2

1rZro

, !14"

whereas if the two modes do not well-overlap, !o2j &o2

k "2b!Zjo2

j %Zko2k "

2:

G!small"jk $

p16O!oj%ok"

2!Zjoj%Zkok"

!o2j &o2

k "2

rZro: !15"

Then, the scaled auto and cross modal large and small terms are, respectively:

Gjj #1

rZroGjj, !16"

G!large"jk #

1rZro

G!large"jk , !17"

G!small"jk #

rZro

G!small"jk : !18"

It is evident the effect of a given modification of the damping between the original and scaled models. The role of thecross-modal terms is not exactly reproduced if rZa1, even for the same distribution of the natural frequencies. This wasalready studied and discussed for a number of cases in which scaled finite element models were obtained just increasingthe original damping value, [8], in order to reduce the computational efforts.

According to the choice of scaling parameters, the excitation can be scaled, [6]:

Sf # Sfr2

F

rmass, !19"

being

rmass # rArh: !20"

For the sake of completeness, it is useful to derive all the remaining parameters of the EDA with the scaling procedure:

P!s"IN # 2Sf

r2F

rmass

X

j

1rorZ

Gjj

! "!c!s"jj " # P!s"IN

r2F

rmass, !21"



T!r"#2Sf

r2F

rmass

X

j

X

k

1rorZ

Gjk

! "!c!s"jk "!c

!r"jk " $ T !r"

r2F

rmassrorZ: !22"

The scaled energy coefficients are

Ars $Ars

rorZ: !23"

Rather than discuss the overall development, it is here preferred to apply the scaling procedure to simple test cases inwhich the effect of the several parameters can be easily analysed and discussed.

3. Numerical test cases

Table 1 reports the results of the most important parameters for the plate response (or an assembly response) in termsof the given set of parameters.

3.1. The response of a single plate

A single plate undergoing bending vibration is considered. It is rectangular with simply supported edges and made of anhomogeneous material; it is located in the xy-plane of generic Oxyz reference system.

The analytical modal frequency response, the structural velocity at the point R(xR; yR), is here recalled for a mechanicalexcitation acting at the point S(xS;yS):

v!o; S,R" $iuoF!o"

mgen

X

j

fj!S"fj!R"!o2

j %o2"& iuZo2j

: !24"

The symbol mgen denotes the plate generalised mass. The natural radian frequencies can be obtained from the relation:

oj $

########################Eh2

12r!1%n2"

spjx

Lx

! "2

&pjy

Ly

! "2" #

, !25"

and the mode shapes are given by

fj!S" $ sin jxpxS

Lx

! "sin jyp

yS

Ly

! ": !26"

The jth mode is mapped into wavenumber space with the two associated integers jx and jy. It is very simple to checkthat the scaled response can be written as follows:

v!o; S,R" $rF

rmass

iuoF!o"mgen

X

j

fj!S"fj!R"!o2

j r2o%o2"& iuZo2

j !r2orZ"

; !27"

Table 1Derived parameters for single plates or assemblies of plates.

Natural frequencies later defined ro $ rh r%1A

Bending wavespeed cBph!1=2" rc $ r1=2h

Mass mpAh rmass $ rh rA

Modal densitynp

Ah

rn = rh%1 rA

Modal overlap factor mpnZ rm $ r%1h rArZ

Frequency terms Eq. (16) rG ' r%1h rAr%1

ZEq. (17) rG ' r%1

h rAr%1Z

Eq. (18) rG ' r%1h rArZ

Spectral density Eq. (19) rS $ r%1h r%1

A r2F

Energy Eq. (22) rT $ r%2h r%1

Z r2F

Square velocityv2p

Tm

rsv $ r%3h r%1

A r%1Z r2

F



the modified natural frequencies are

oj !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Eh

2

12r"1#n2$

vuut pjx

Lx

" #2

%pjy

Ly

!22

4

3

5!ojrh

rA"28$

From Eqs. (27) and (28), it descends that only for rh = rA the scaled plate will work with the same eigensolutions as theoriginal ones. To get exactly the same local response, it has to be verified that rZ ! 1 and rF ! rmass ! rhrA: this choice isunique, if only the area and the thickness are modified.

Figs. 1 and 2 illustrate the local behaviour of the dynamic response (modules of the local velocity) for two scaledmodels. In Fig. 1, the plate is larger and thicker than the original one; in Fig. 2, the similitude procedure leads to a reductionof both plate surface and thickness. On the right side of each figure, the complete set of parameters is reported: this is alsoreported in Table 2.

Fig. 1. Single plate response (I-A) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).

Fig. 2. Single plate response (I-B) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).



The variation of the damping changes the response amplitude, Fig. 3, as expected; there, the variations of the rh and rA

are still such that the natural frequencies are kept: this is true in all the frequency range. The real poles of the system arekept while the amplitudes are reduced in this case of augmented damping.

Even keeping the same material, a plate larger or smaller than the original one can be used for numerical modellingand/or for experimental purposes with the obvious advantages that each configuration can allow.

Variations of the thickness and the area such that rharA, lead to a modification of the distribution of the naturalfrequencies, Figs. 4 and 5. In both figures, the top parts present the results of the simple numerical interrogations of theoriginal and scaled models, while in the bottom ones, the re-modulated responses are shown.

Specifically, the curves referring to the similitude responses are plotted as follows:

! the frequency axis is oro;! the velocity axis presents the quantity v

!!!!!!!!!!!rh=rA

p.

Having defined a similitude according to the content of the Table 1, it is always possible to switch from a representationto another according to the scaling laws of the involved parameters. This step can be performed by modifying both the axesand thus by invoking the similitude in the reversal direction.

The test presented in [7] is a particular one obtained with: rh=1, rA " b, rZ " b#1, rF=1 and then rsv = 1. The symbol bdenotes a scaling coefficient, with bo1; all the analysis was made in terms of a given variation of b. There, the presentedresponses were not re-modulated since a reduction of the computational costs was pursued.

It has to be noted that in the Figs. 1–5, the source and the receiver points are acting in the same dimensionless locations.The results are presented by using NP points for each graph and the frequency range of analysis is the half of the naturalfrequency of the last natural mode.

The actual results allow the definition of a complete similitude, if rZ " 1. The similitude is approximate if rZa1: in such acase only a mean response can be replicated, as already shown in [7].

Table 2Configurations for the single plate response.

# rZ rA rh rF ro rmass

I-A 1 4 4 16 1 16I-B 1 0.4 0.4 0.16 1 0.16I-C 2 0.4 0.4 0.226 1 0.16I-D 1 0.7 0.5 0.296 0.714 0.35I-E 2 0.5 1.0 1 2 0.5

NP=300, NM=850, Z" 0:03. A=1.05, h=0.002, F=1.

Fig. 3. Single plate response (I-C) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).



3.2. The response of a two plates assembly

This configuration is reported in [8] and involves two rectangular plates in which only bending waves are allowed totravel. Along the common side, a pinned connection is assumed, thus allowing the continuity of the rotations and imposingnull displacements; then an analytical solution can be obtained in terms of uncoupled mode shapes; the detail is not givenhere, Fig. 6.

The results coming from the classical modal analysis, (CMA), are thus compared with those predicted by the statisticalenergy analysis (SEA), [10], and by invoking the similitude.

A further hypothesis is now necessary, since one has to work with plate 1 and 2; it is assumed that the similitudecoefficients, r, are the multiplier of each vector of parameters:

h1

h2

( )! rh

h1

h2

( ),

A1

A2

( )! rA

A1

A2

( ),

Z1

Z2

( )! rZ

Z1

Z2

( ),

F 1

F 2

( )! rF

F1

F2

( ): "29#

Fig. 4. Single plate response (I-D) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz); (a) direct response, (b) similituderesponse.



The similitude involves all the parameters in the same way; clearly, it is possible to study also the case in which each ofthe parameters, belonging to the given plate, is scaled independently, but this falls outside the aims of the present work.

The terms in Eq. (13) are the problem of any scaling choice since the Gjk do not scale as the Gjj and further, by invokingthe approximations it was shown that the terms G!small"

jk scale with different combination of ro and rZ if compared withG!large"

jk .Again, a complete similitude can be obtained only by using rZ # 1.Here, the mean square out-of-plane velocities, W1 and W2, of each plate are investigated as results of an average over

three mechanical driving points on the first plate.The results of a complete similitude are given in Figs. 7 and 8, whereas Fig. 9 presents those coming from an

approximate similitude: the latter approach was named asymptotic scaled modal analysis, [8]. Again, all the results arepresented by using NP points for each graph and the frequency range of analysis is the half of the natural frequency of thelast resonating mode. Table 3 presents a summary of the analysed configurations.

Fig. 5. Single plate response (I-E) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz); (a) direct response, (b) similituderesponse.



4. Concluding remarks

The structural similitude herein presented and discussed with analytical models, allows reproducing the local responseof plates for any given choice of area, rA, and thickness, rh. This leads to the definition of similar plates in which the onlyparameter to be evaluated is the excitation level, rF. It is always possible to switch from the original model to the parentone and to perform the reversal step, if the similitude is complete.

Specifically, in the present work the distribution of the altered natural frequencies is represented by ro ! rh=rA, whilethe cost of the simulation of the bending wavelength is r"1

o ! rA=rh. The scaled model presents only in principle a reductionof the computational costs since the re-modulation of the frequency axis requires the evaluation of an increased number ofmodes resonating in a frequency range wider than the original one.

The only way to reduce the computational costs is to work by accepting the modification of distribution of the naturalfrequencies, and then a variation of the damping can be accordingly defined in order to get the mean square response. Thiscan be done in the frequency range dominated by the high values of the modal overlap factors. In this case, one will workwith an approximated similitude: it was named ASMA, asymptotic scaled modal analysis, [8].

Fig. 6. Sketch of the two plates assembly.

Fig. 7. Two plates assembly (II-A): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).



From an experimental point of view, the defined similitude offers numerous advantages since, in case of the completeone, all the dynamic items (natural frequencies, mode shapes and modal response) can be easily reproduced on thedesired scale.

Fig. 8. Two plates assembly (II-B): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).

Fig. 9. Two plates assembly (II-C): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).



Further steps will involve the adoption of finite element models and experimental measurements in order to face withmore realistic assemblies.

References

[1] J. Wu, Prediction of the dynamic characteristics of an elastically supported full-size plate from those of its complete-similitude model, Computersand Structures 84 (2006) 102–114.

[2] P. Kroes, Structural analogies between physical systems, British Journal for the Philosophy of Science 40 (1989) 145–154.[3] E. Szucs, Similitude and Modelling, Elsevier Science Ltd, 1980, ISBN:0444997806.[4] S.J. Kline, Similitude and Approximation Theory, Springer-Verlag, 1986, ISBN:0387165185.[5] C.H. Wolowicz, J.S. Bowman, Jr., W.P. Gilbert, Similitude requirements and scaling relationships as applied to model testing, NASA Technical Paper

14–35, 1976.[6] B.R. Mace, Statistical energy analysis, energy distribution models and system modes, Journal of Sound and Vibration 264 (2003) 391–409.[7] S. De Rosa, F. Franco, A scaling procedure for the response of an isolated system with high modal overlap factor, Mechanical Systems and Signal

Processing 22 (2008) 1549–1565.[8] S. De Rosa, F. Franco, On the use of the asymptotic scaled modal analysis for time-harmonic structural analysis and for the prediction of coupling loss

factors for similar systems, Mechanical Systems and Signal Processing 24 (2010) 455–480.[9] S. De Rosa, F. Franco, T. Polito, Analysis of the short and long wavelength coupling through original and scaled models, in: NOVEM 2009, Noise and

Vibration: Emerging Methods, Keble College, Oxford (UK), April 2009, paper No. 28.[10] R.H. Lyon, R.G. De Jong, Theory and application of statistical energy analysis. Butterworth-Heinemann, ISBN: 0750691115, 1995.

S. De Rosa !, F. Franco, T. Politoælab, Vibrations and Acoustics Laboratory, Department of Aerospace Engineering, Universit !a degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’,

Via Claudio 21, 80125 Napoli, ItalyE-mail address: [email protected] (S. De Rosa)

12 April 2010

Available online 14 October 2010

Table 3Configurations for the assembly of two plates NP=150, AT=(0.198, 0.162), FT=(1,0).

# NM Z h rZ rA rh rF

II-A 135, 108 0.03, 0.03 0.001, 0.003 1 0.2 0.2 0.04II-B 570, 456 0.05, 0.05 0.001, 0.005 1 0.5 3 3.674II-C 400, 320 0.05, 0.01 0.005, 0.001 2 0.5 1 1

! Corresponding author.








Acusto-Elastici.

Waveguides of a Composite Plate by using the

Spectral Finite Element Approach

E. Barbieri

⇤

Department of Mechanical Engineering

University of Bath, BA2 7AY Bath UK

A. Cammarano, S. De Rosa, F.Franco

ælab - Vibration and Acoustics Laboratory

Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale

Universita’ degli Studi di Napoli Federico II

80125 Via Claudio, Napoli

September 27, 2007

Abstract

This work presents the extension of an existing procedure for evalu-

ating the waveguides and the dispersion curves of a laminate made up of

thin orthotropic composite plate arbitrarily oriented. The adopted ap-

proach is based on one-dimensional finite-element mesh throughout the

thickness. Sti↵ness and mass matrices available in literature for isotropic

material, are here reported in full expanded form for the selected prob-

lem. The aim of the work is the development of a tool for the simulation

of the most common composite materials. The knowledge of the wave

characteristics in a plate allows the correct sizing of the numerical mesh

for the frequency dependent analysis. The development of new sti↵ness

matrices and the analysis for di↵erent heading angles are here detailed

for taking into account the general anisotropic nature of the composite.

The procedure concerns a standard polynomial eigenvalue problem in the

⇤Corresponding Author: [email protected]

1

wavenumber variable and is focused on the evaluation of the dispersion

curves for all the propagating waves within the materials. A comparison

with an analytical approach is also shown in the results using the Classi-

cal Laminate Plate Theory (CLPT). However limits of CLPT are outlined

and SFEM can be successfully used to overcome such limitations.

Keywords : waveguides dispersion composite plate wavenumber modal

density

PACS : 43.20.Bi 43.40.Dx 43.20.Mv

1 Introduction and Statement of the Problem

The wide and increasing use of innovative materials in the transportation engi-

neering is one of the most fascinating challenges of the material science. In the

aerospace field, this challenge can be defined as always open since the manufac-

turers are continuously looking for sti↵er, robust, long-life and lighter structural

components. The need of such material performances has driven for a long time

the attention to the fiber-reinforced composite materials and now they are a

standard in several fields of transportation engineering design. One of the main

problem of these innovative materials is their vibroacoustic behavior, since some-

times the lightness requirement is in conflict with the acoustic target. Hence,

in the design phase there is the need of simulating the dynamic behavior of

innovative materials. This target can be obtained by using the deterministic

methods, (Cook et al., 1989), and energy ones, (Lyon, 1975). The deterministic

techniques, such as the Finite Element Analysis (FEA), work by discretising the

given wavelength. In principle, they can be used for evaluating the response at

any excitation frequency, but the computational cost (CPU time) can become

easily unacceptable. In absence of any analytical development, the determinis-

tic techniques model directly the wavelength, by assigning at least five solution

2

points (four elements) for each complete wave (ref.(Cook et al., 1989) and (Cre-

mer et al., 2005)). For increasing excitation frequency, the response becomes

global, that is any quadratic mean can represent the overall behavior, and the

possibility to discriminate the dynamic response among di↵erent points in space

is lost. The best technique working under these conditions is the well-known

Statistical Energy Analysis (SEA), ref.(Lyon, 1975). In (Ghinet et al., 2005) for

example, a SEA method for the transmission loss of sandwich shells is illustrated,

in which the dispersion properties of laminates are exploited. (Finnveden, 2004)

studied the waveguides in thin-walled structures with a finite element formula-

tion in order to compute group velocity and modal density as input to a SEA

model. Wave propagation in laminated composite plates and rods (Baz, 2000),

has been treated in depth by numerous authors in the past. (Datta et al., 1988)

have applied a sti↵ness method for a laminate made of transversely isotropic

laminae, while in (Nayfeh, 1991) dispersion curves for anisotropic laminates are

analitically extracted by the means of the transfer matrix method. A similiar

method can be found in (L. Wang, 2007) for the evaluation of the group velocities

and their applications in nondestructive techniques. (Chitnis et al., 2001) used

a higher-order theory displacement based formulation. In-plane elastic waves

in composite panel are investigated in (Zak et al., 2006) with a spectral finite

element approach in the time domain. (Birgersson et al., 2004) also used spec-

tral approach for modelling turbulence-induced vibration in pipes. In FEA, the

knowledge of the wavelength is absolutely mandatory for proceeding with the

mesh sizing and for selecting the proper elements; in SEA, detailed information

about the group velocity and the modal density are necessary for the charac-

terization of the specific subsystem and for later moving to analyze the energy

exchange through a wave approach. The wavenumber function vs. the excitation

frequency, (dispersion curves) for each structural wave contains the subsystem

3

properties. Very recently two authors stressed this point with great attention

(Shorter, 2004),(Mace et al., 2005). (Shorter, 2004) proposed an e�cient ap-

proach for simulating an infinite flat plate, in which a low-cost one-dimensional

finite element was used for simulating the propagating waves inside the ma-

terials. Further, (Mace et al., 2005) proposed to use directly a finite element

model assembled for evaluating the modal response for getting the dispersion

curves. Two dimensional approaches are also present in literature, (Johnson

and Kienholz, 1982), and the work by (Heron, 2002) has to be considered as

one of the first addressing the problem of the dynamic response of a generic

laminate. An extensive analysis of the related literature is reported in (Shorter,

2004). Nevertheless, it is worth mentioning the applications of spectral finite

elements in wave propagation for laminates, for example (Roy Mahapatra and

Gopalakrishnan, 2003),(Mahapatra et al., 2006),(Chakraborty and Gopalakr-

ishnan, 2006) in the frequency domain, whereas a time-domain based spectral

element with high order shape functions are used in (Kudela et al., 2007). The

present work is a straight extension of the approach proposed by (Shorter, 2004).

A one dimensional finite element model is developed for a generic plate made

by a laminate composite. The approach in (Shorter, 2004) assumes an isotropic

stress-strain relationship through the use of two independent variables for each

material. In the present work the proper sti↵ness and mass matrices are de-

veloped for each lamina introducing a local reference system, and the whole

laminate is assembled in a global reference system. At that point a Spectral

Finite Element Approach is used (SFEA), (Shorter, 2004),(Mace et al., 2005).

The spectral term refers to the fact that the method is based on the wavenum-

ber at a given excitation frequency rather than the classical analysis of natural

frequencies. The SFEA used here is the same presented in (Shorter, 2004): a

full three-dimensional displacement field within the laminate with 1D elements.

4

In the present development, a 3D orthotropic stress-strain relationship is used,

(Jones, 1999), together with the proper transformation from the local reference

system (lamina) to the global one (laminate). The problem for an homogeneous,

isotropic plate is given in the section 2. While the dispersion properties of a

homogeneous plate are indipendent from the heading angle � , for a generic

composite plate this is not true because of its anisotropic nature. Indeed, in an

2D orthotropic material for example, named x and y the principal directions of

elasticity, being Ex 6= Ey, the wavenumber at a fixed frequency changes with

the angle from x to y according to an elliptic pattern. Then, if an isotropic

plate is considered, that pattern is circular. In section 3 an analytic formulation

for a thin composite plate is derived, following the assumptions of the classical

laminate plate theory (CLPT) (Jones, 1999). A displacements 3D free wave is

then imposed to the thin plate leading to a polynomial eigenvalue problem in

k where k is the wavenumber. Bending, shear and longitudinal waves can be

easily identified from the resulting equations. Further, a spectral finite element

method (SFEM) will be used for getting the dispersion curves for a generic

composite plate and then compared to the analytical approach. These results

are showed in section 6 in form of polar patterns at fixed frequency and spectra

at fixed heading angle. The section 4 is devoted to the overall development of

the required SFEM matrices. The section 5 is centered on the solution of the

characteristic equation, and the results are presented in section 6. These results

are for both an homogeneous and a composite plates. The work has been con-

cluded in section 7 where some considerations are given about the validity of the

CLPT. It is there demonstrated how the present numerical method can work

with any configuration, overcoming the limitations of the standard theoretical

models.

5

2 The homogeneous plate

A uniform thin and flat plate is here considered, made of an homogeneous

material. From classical thin plate theory, (Leissa, 1993), it is well known that

three waves will propagate in the material of thickness h: longitudinal, shear

and bending waves. Each of these is associated with the respective wavenumber

kl, ks and kb:

k2

l =(1� ⌫2)⇢

E!2 k2

s =2(1 + ⌫)⇢

E!2 k4

b =12(1� ⌫2)⇢

Eh2

!2 (1)

It has to be noted in the Equation 1 the presence of longitudinal wave speed,

Cl(!)2 = E⇢(1�⌫2

)

, the shear wave speed, Cs(!)2 = E2⇢(1+⌫)

, and the plate bend-

ing sti↵ness D = Eh2

12⇢(1�⌫2)

. The generic group velocity and the wave length for

each wave can be defined by using the definition:

Cg =@!

@kg; � =

Cg

f(2)

and the modal density for a plate of area A (ref. (Lyon, 1975) )

ng(!) =A

2⇡2

k(!)cg(!)

(3)

By using these relationships, any information for a predictive methodology,

deterministic or energetic, can be get. In fact, the mesh of the predictive finite

element model could be designed to work up to a given excitation frequency.

The model will be completed with the boundary conditions. For the energy

methods all is known about the plate, for given material and dimensions. Both

the predictive models have to be completed with the damping information. In

the next paragraphs, a finite element method (SFEM) will be used for getting

the dispersion curves for a generic composite plate and then compared to the

6

analytical approach.

3 Analytical Structural Waveguides for a Thin

Composite Plate

According to the assumptions of the classical thin plate theory, in a plane stress

problem, the following equations of equilibrium can be written (Timoshenko

and Goodier, 1970)@Nx

@x+

@Nxy

@y� ⇢su = 0 (4)

@Nxy

@x+

@Ny

@y� ⇢sv = 0 (5)

@2Mx

@x2

+@2My

@y2

+ 2@2Mxy

@x@y� ⇢sw = 0 (6)

where Nx, Ny, Nxy are shearing forces per unit length and Mx My bending

moments per unit length and Mxy twisting moments per unit length, while ⇢s

is the surface mass density. For a composite plate, the following relationships

between forces - moments and strain - curvatures can be estabilished (Jones,

1999)

N = A✏0 + B (7)

M = B✏0 + D (8)

where ✏0 are the strains of the middle plane

✏0 =

2

66664

✏x

✏y

✏xy

3

77775=

2

666666664

@u

@x

@v

@y

@u

@y+

@v

@x

3

777777775

(9)

7

and are the curvatures of the middle plane

=

2

66664

x

y

xy

3

77775=

2

666666664

�@2w

@x2

�@2w

@y2

�2@2w

@x@y

3

777777775

(10)

The following 3D displacements wave is assumed to propagate along the plate

2

66664

u(x, y, t)

v(x, y, t)

w(x, y, t)

3

77775=

2

66664

U

V

W

3

77775ej[k(cos(�)x+sin(�)y)�!t] (11)

where � is the heading angle of the wave, u,v and w are respectively the dis-

placement fields in the x,y and z axis, whereas U ,V and W are the respective

magnitudes of the propagating wave. Substituting equations (7), (8), (10), (9)

in (4), (5) and (6) and with the assumed displacements field (11), the following

polynomial eigenproblem in k is obtained

2

66664

�k2LT AL jk3LT BP

�jk3PT BL �k4PT DP

3

77775

2

66664

U

V

W

3

77775+ ⇢s!

2I

2

66664

U

V

W

3

77775= 0 (12)

where

L =

2

66664

cos(�) 0

0 sin(�)

sin(�) cos(�)

3

77775(13)

PT =

cos2(�) sin2(�) 2 sin(�) cos(�)�

(14)

8

If a symmetric laminate is considered, then B = 0 and the polynomial problem

(12) can be de-coupled in the following 2 eigenproblems

�k2LT AL

2

64U

V

3

75 + ⇢s!2I

2

64U

V

3

75 = 0 (15)

�k4PT DP W + ⇢s!2W = 0 (16)

It can be seen from the equation (15) that, being coupled shear-longitudinal

waves, k / ! while from equation(16) for the flexural wave follows that k /p

!.

Indeed, from equation (16) directly derives that the flexural wavenumber is

kf (�, !) = 4

r⇢s

PT DPp

! (17)

For the equation (15), if ⇠l and ⇠s are the two eigenvalues of the matrix LT AL,

then

ks(�, !) =r

⇢s

⇠s(�)! ke(�, !) =

r⇢s

⇠e(�)! (18)

Using equation (2), the group velocities can be easily evaluated

Cf = 2 4

sPT DP

⇢s

p! Cs =

s⇠s(�)⇢s

Ce =

s⇠e(�)⇢s

(19)

4 Assembly of Matrices

4.1 Variational Formulation

With the intent of estabilish a finite element model, the Hamilton’s principle is

used

�

Z(T + U)dt

�= 0 (20)

9

where T is the kinetic energy and U is the strain energy. If a time average over

a period is considered, then

T =12

Z

⌦

dH ⇢ d d⌦ (21)

where d is the displacements field, ⇢ is the mass density and the superscript H

means hermitian

U =12

Z

⌦

eH s d⌦ =12

Z

⌦

eH Cx�y e d⌦ (22)

where e is the vectorized strain tensor and s is the vectorized stress tensor in

the laminate reference system, Cx�y is the stress-strain relationship matrix in

the laminate reference, ⌦ is the space domain made of a single element of length

L and an arbitrary rectangular domain in the plane xy.

4.2 Finite Element Displacement Fields

Assumed as x the direction of propagating wave (Figure 1) with frequency !,

wavenumber k and heading angle �, the displacements field can be approximated

as

d(x, y, z, t) =

2

66664

u(z)

v(z)

w(z)

3

77775ej[!t�k(cos(�)x+sin(�)y)] (23)

The equation (23) resemble the equation (11), with the only exception that

in equation (11), the displacements refer to a plane stress problem, while in

equation (23) a full 3D stress-strain problem is considered. The displacements

at x = 0 for the single element of length L can be approximated by the following

10

Figure 1: 1D mesh

one-dimensional interpolating function

2

66664

u(z)

v(z)

w(z)

3

77775=

2

66664

Ni(z) 0 0

0 Ni(z) 0

0 0 Ni(z)

3

77775

2

66664

qu

qv

qw

3

77775= N(z) · q0 (24)

with N(z) the matrix of shape functions (size 3⇥6) and q0 the vector of complex

amplitudes of nodal displacements (Cook et al., 1989)

Ni(z) =

1� zL

zL

�(25)

11

2

66664

qu

qv

qw

3

77775=

2

666666666666664

u1

u2

v1

v2

w1

w2

3

777777777777775

(26)

4.3 Definition of Sti↵ness and Mass Matrices

The strain in the element is

e(x, y, z, t) =

2

666666666666664

✏xx

✏yy

✏zz

�yz

�xz

�xy

3

777777777777775

=

2

666666666666666666664

@

@x0 0

0@

@y0

0 0@

@z@

@y

@

@x0

@

@z0

@

@x

0@

@z

@

@y

3

777777777777777777775

d (27)

By using the equation (23)

e(x, y, z, t) = F(k, �, z) · q0ej[!t�k(cos(�)x+sin(�)y)] (28)

12

where the strain-displacement matrix F(k, �, z) (size 6⇥ 6) is given by

F(k, �, z) =

2

66666666666666666664

�jk cos(�)Ni(z) 0 0

0 �jk sin(�)Ni(z) 0

0 0@Ni

@z

0@Ni

@z�jk sin(�)Ni(z)

@Ni

@z0 �jk cos(�)Ni(z)

�jk sin(�)Ni(z) �jk cos(�)Ni(z) 0

3

77777777777777777775

(29)

Now, it is necessary to introduce a stress-strain relationship for a 3D orthotropic

material in the lamina reference OxLyL. For this kind of material, 9 independent

engineering constants are needed (Jones, 1999)

sL = CL · eL CL = S�1

L (30)

SL =

2

6666666666666666664

1

E11

�⌫21E22

�⌫31E33

0 0 0�⌫12E11

1

E22

�⌫32E33

0 0 0

�⌫13E11

�⌫23E22

1

E330 0 0

0 0 0 1

G230 0

0 0 0 0 1

G310

0 0 0 0 0 1

G12

3

7777777777777777775

(31)

the matrix is simmetric, from Betti’s theorem, (Jones, 1999)

⌫ij

Eii=

⌫ji

Ejji, j = 1, 2, 3 (32)

Then the following tensorial reference transformation between lamina reference

13

Figure 2: Reference Transformation between Lamina Reference OxLyL andLaminate Reference Oxy

and laminate reference Oxy is introduced (Figure 2)

Cx�y = T(✓)�1CLRT(✓)R�1 (33)

where ✓ is the angle between xL � yL axis and x � y axis (the z � axis is the

same for both references).

T(✓) =

2

6666666666666666664

cos2(✓) sin2(✓) 0 0 0 2 sin(✓) cos(✓)

sin2(✓) cos2(✓) 0 0 0 �2 sin(✓) cos(✓)

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos(✓) � sin(✓) 0

0 0 0 sin(✓) cos(✓) 0

� sin(✓) cos(✓) sin(✓) cos(✓) 0 0 0 cos2(✓)� sin2(✓)

3

7777777777777777775

(34)

14

and

R =

2

666666666666664

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 2

3

777777777777775

(35)

Then, the time averaged kinetic and the strain energies can be evaluated as

T = �12!2qH

0

Z

⌦

N(z)T ⇢N(z)d⌦�q

0

(36)

U =12qH

0

Z

⌦

F(k, �, z)HCx�yF(k, �, z)d⌦�q

0

(37)

Substituting equation (36) and equation (37) in equation (20), it can be obtained

�

�!2

2qT

0

Mq0

+12qT

0

K(k,�)q0

�= 0 (38)

where the mass and sti↵ness matrices are defined as

M =Z L

0

N(z)T ⇢N(z)dz (39)

K(k,�) =Z L

0

FH(k, �, z)Cx�yF(k, �, z)dz (40)

where L is the length of the element. Furthermore, the equation (40) is consis-

tent, i.e. they return for ✓ = 0 ,E11

= E22

= E33

= E, ⌫12

= ⌫31

= ⌫23

= ⌫ and

G12

= G31

= G23

= E2(1+⌫)

the case for an uniform and isotropic plate. Since the

strain-displacement matrix only contains terms linear in k, the sti↵ness matrix

15

can be rewritten in the form

K(k, �) = K2(�)k2 + K1(�)k + K0(�) (41)

A single element has 6 degrees of freedom. The number of the eigenvalues that

could be extracted from such an element is then 6, which is the exact number of

the propagating waves (3 for both directions of travel). Moreover, even only one

element can give good results for the dispersive relations in a homogeneous plate,

as it will showed later. Then a rule of thumb for discretizing the thickness could

be one or two elements per layer of the laminate. Being the proposed mesh a 1D

discretization, all these matrices can be easily assembled in a straightforward

way. Indeed, given the elastic properties of each layer, the matrices K0, K1,

K2 and M are readily calculated. Afterwards, these matrices are expanded to

the size of the total number of nodes, allocated in the right position and then

all summed in order to give the assembled matrices of the whole thickness.

5 Characteristic Equation and Output Features

Using the above variational formulation, from equation (38)

�qT0

⇥�!2Mq

0

+ K(k, �)q0

⇤= 0 8�q

0

(42)

thus, the characteristic equation takes the following form

[K2(�)k2 + K1(�)k + K0(�)� !2M]q0 = 0 (43)

If � and ! are fixed, the characteristic equation is a generalized quadratic eigen-

value problem for k and the dispersion curves result in varying the frequency,

while at fixed ! the polar pattern is derived when the heading angle range be-

16

tween 0� and 360�. This kind of problem can be easily transformed in a linear

one by the positions

q1 = kq0 (44)

C2 = K2 C1 = K1 C0 = K0 � !2M (45)

so that

2

640 I

�C2�1C0 �C2

�1C1

3

75

2

64q0

q1

3

75� k

2

64I 0

0 I

3

75

2

64q0

q1

3

75 = 0 (46)

These eigenvalues can be divided in three groups:

(i) purely real

(ii) purely imaginary

(iii) complex

The (i) are referred as propagating oscillating waves, because from equation

(23), they generates terms with no exponential decay. The waves that exhibit an

exponential decay are named evanescent waves and they are of two types, non-

oscillating (eigenvalues purely imaginary) and oscillating (complex eigenvalues).

Evanescent waves are of no interest because they do not propagate along the

material, but simply extinguish with time. The sign of real and imaginary

part of the eigenvalues indicate the direction of travel of a given wave. The

eigenvectors represent the cross-sectional wave shape associated with a given

wave, at a fixed frequency. It should be noted that the eigenvectors refer to a

1D domain along the z � axis.

17

6 Results

6.1 Dispersion Curves and Eigenvector Plots

6.1.1 Homogeneous Plate

In this section the consistency with the isotropic case is shown together with the

comparison with the analytical formulas (1) for an aluminium plate of thickness

0.0012m, density 2700kgm�3, E = 71e9Pa and ⌫ = 0.3296. As it can be seen

100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010−1

100

101

102

Frequency [Hz]

Wav

enum

ber

[m]

(a)

(c)

(b)

Figure 3: Homogeneous Plate: continuous line, analytical result; dotted line, SFEMresults; (a) bending wave, (b) shear wave, (c) longitudinal wave

from Figures (3) and (4), there is a perfect agreement with the analytical results

for both spectra and polar patterns, even if only two linear elements are used;

the FE results converge using simply one element, too. It must be pointed out

that the patterns are circular, due to the isotropic nature of the material, so the

dispersion curves in Figure (3) are the same for every heading angle. This is

18

not the case for the composite plate, where a heading angle must be specified.

(a) Bending Wave Pattern at 1.5kHz (b) Shear Wave at Pattern 1.5kHz

(c) Longitudinal Wave Pattern at 1.5kHz

Figure 4: Polar Patterns for the Homogeneous Plate: Continuos Line: Analyti-cal; Diamond Line: SFEM

6.1.2 Composite Plate

The engineering properties on the plate are resumed in table 1. The transverse

properties were set in order to satisfy the assumptions of plane stress on which

the formulas used in section 3 are based. One element per layer was used in

the analysis. These results agreed with the analytical ones, again with spectra

as in Figures (5) and patterns as in Figures (6). As it can seen from these

figures, the wavenumbers are strongly dependent from the heading angle, due

19

Material A Material BE

11

65e9 Pa 145e9 PaE

22

65e9 Pa 7.79e9 PaG

12

3.86e9 Pa 4e9 Pa⌫12

0.05 0.34⇢ 1467 kgm�3 1550 kgm�3

Thickness 2.37 mm 2.37 mmLay-up Sequence [0A, 45B, 90B, 45B, 0B, 90B]S

Table 1: Engineering Properties of the Composite Plate

to the anisotropic nature of the laminate. An immediate visualization of the

wave as in Figures 7(a), (b) and (c) can be provided once the eigenvector q0

is obtained. Then, the displacement field can be get from equation (23) and

then plotted over a 3D domain in the x,y and z axis. Since the domain is

finite only in the z direction, the x and y limits of the domain can be chosen

arbitrarily. The wave depicted in Figure 7(a) is a bending wave, whereas the

one in Figure 7(b) is a shear wave and in Figure 7(c) a longitudinal wave is

showed. Using equation (2) the group velocity can be evaluated from dispersion

curves. Furthermore when area A of the rectangular flat plate is specified,

from equation (3) the modal densities curves for the propagating waves can

be computed. According to a SEA formulation, these modal densities need to

be averaged over the heading angle (Ghinet et al., 2005). Moreover, following

(Shorter, 2004) it is also possible to evaluate the structural damping loss factor

(DLF) when a DLF for each lamina is specified. However these details are not

given here.

20

(a) Dispersion Curves at � = 0�

(b) Dispersion Curves at � = 45�

(c) Dispersion Curves at � = 90�

Figure 5: Dispersion Curves for the Composite Plate: Continuos Line: Analyt-ical; Symbols Line: SFEM. (f) flexural, (s) shear, (l) longitudinal

21

(a) Bending Wave Pattern at 1.5 kHz (b) Shear Wave at Pattern 1.5 kHz

(c) Longitudinal Wave Pattern at 1.5 kHz

Figure 6: Polar Patterns for the Composite Plate: Continuos Line: Analytical;Diamond Line: SFEM

22

(a) Bending Wave at 4 kHz

(b) Shear Wave at 4 kHz

(c) Longitudinal Wave at 4 kHz

Figure 7: Eigenvector Plots for the Composite Plate at � = 0�. Axis scales areequal, the thickness is much smaller than the wavelength

23

7 Limits of Classical Laminate Plate Theory

In this section the limits of the CLPT are illustrated. At this purpose, a char-

acteristic adimensional number could be introduced

µ =h

�(47)

where h is the thickness of the plate and � is the smallest wavelength (usually

the flexural one). When µ << 1 the plate could be considered thin, since the

h is much smaller than the characteristic length of the problem, which is the

wavelength of the propagating wave. Since the � decreases with the increasing

of the frequency, at relatively high frequencies the analytical approach explained

in section 3 is inadequate to predict the dispersion properties of the laminate

plate, because the smallest wavelength is the same order of magnitude of the

thickness. The plate indeed becomes thick. The frequency limit when such

event occurs !lim is when µ ⇡ 1

k(!lim) =2⇡

h(48)

New waveforms appear when ! >> !lim as it can seen from the dispersion plot

in Figure 8 and from Figures 9. The bending wave in Figure 9(a) is slightly

di↵erent from the one in Figure 7(a) and its dispersion curve di↵ers from the

analytical theory. The wave 9(b) cannot be predicted from the CLPT since

according to the eigenproblem (12), only 6 eigenvalues (3 for both directions

of travel) are obtainable, whereas 8 eigenvalues come from the SFEM above

17 kHz. Thus, when the frequency increases, a SFEM approach is useful to

overcome the limits of the CLPT.

24

Figure 8: Dispersion Curves for the Composite Plate: Continuos Line: SFEM;Dash-dotted Line: Analytical. (s) shear, (l) longitudinal, (a) and (b) new wave-forms

25

(a)

(b)

Figure 9: Eigenvector Plots for the Composite Plate at � = 0�: New Waveformsat 27 kHz. Axis scales are equal, the thickness is comparable with the wavelength

26

8 Conclusions

An extension to anisotropic laminates of an existing FEA based waveguide pro-

cedure was illustrated. The laminate is made up of orthotropic layers arbitrarily

oriented. Using Hamilton’s variational principle, mass and sti↵ness matrices

were developed. The followed approach is based on a one dimensional finite

element discretization throughout the thickness,then a full 3D stress-strain re-

lationship is required. An orthotropic constitutive relation is used so 9 inde-

pendent variables are needed. A reference transformation between lamina and

laminate was also necessary in order to introduce the lamina orientation. The

resulting equation is expressed in terms of a quadratic eigenproblem in the

wavenumber variable at a fixed frequency and heading angle. This problem

was transformed into a linear one and easily solved with standard numerical

routines. Dispersion curves and polar patterns are obtained for the case of an

uniform isotropic and for a laminate composite plates. Comparison with ana-

lytical formulas available from the classical plate laminate theory showed good

agreement with the FE results. Nevertheless, the analytical theory fails with

the increasing of the frequency. In fact, CLPT can’t predict the appearance of

new waveforms, whereas SFEM can identify new structural waveguides. Thus

SFEM can overcome the limits of the CLPT, allowing a more satisfactory anal-

ysis of the dispersion properties at higher frequencies. The procedure can be

easily completed by including the evaluation of the resulting loss factor, given

the individual loss factor of each lamina and the group velocity curves of the

propagating waves, as well as their modal densities. All the present evaluations

and results have been obtained by using Matlab: the m-files can be requested

to the first author.

27

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30







Acusto-Elastici.

Aircraft Interior NoiseA.S. 1/6/04

Sommario• Indicatori del rumore interno• Generazione del rumore• Sorgenti di rumore:

– Il propulsore, lo strato limite turbolento, le sorgenti interne.

• Sistemi per il controllo del rumore:– sistemi passivi e sistemi attivi

• Metodi previsionali per il calcolo del rumore interno

• La messa a punto sperimentale• La campagna riduzione rumore dell’ATR



Noise Index

• Esistono numerosi indici di misura del rumore, e tra essi i più utilizzati per fornire un immagine del comfort acustico di un velivolosono:–– OASPLOASPL–– dBAdBA–– SIL3, SIL4, PSILSIL3, SIL4, PSIL


• L’OASPL e l’overall sound pressure level calcolato sullo spettro (0-10KHz) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le alte frequenze (velivoli a getto).

Noise Index


• Il dBA e l’overall calcolato sullo spettro (0-12.5 KHz) cui è applicato il filtro A (effetto orecchio umano) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le basse frequenze (velivoli a elica).

Noise Index


Spettro Lineare vs Spettro Filtrato A

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000

Frequency [Hz]

SPL

[dB

]

Pesato A Lineare


• Il SIL (Speech Interference Level) è una misura del disturbo acustico nelle frequenze del parlato:–SIL3 media aritmetica del SPL nelle

bande di Ottave 500,1K, 2K Hz–SIL4 media aritmetica del SPL nelle

bande di Ottave 500, 1K, 2K, 4K Hz• E’ generalmente utilizzato per

caratterizzare velivoli ad elevato comfort interno (Business Jet).

Noise Index


Le sorgenti di rumore esterno: il propulsore

• La maggiore sorgente esterna di rumore è il motopropulsore che sui moderni aeroplani da trasporto può essere di due tipi:––turbofanturbofan––turbopropturboprop


Il motore turbofan


Il motore turboprop


Il rumore generato da un turbofan

• Il rumore generato dai moderni motori turbofan non risulta essere particolarmente critico per il rumore interno ad eccezione delle fasi di decollo e salita in cui si trova alla massima potenza.



• In queste fasi le elevate velocità del fan e la ridotta lunghezza dell’inlet generano un sistema di onde d’urto all’interno dello stesso che sono la causa del cosiddetto “Buzzsaw Noise”.

• In alcune fasi della crociera può essere predominante il rumore del getto che viene trattato con interventi specifici locali.




Gli interventi per la riduzione del rumore generato da un turbofan


Il rumore generato da un turboprop

• Lo spettro di rumore tipico generato da un turboprop è caratterizzato da toni a bassa frequenza in cui è concentrata la maggior parte dell’energia.

PalexNumRPMBPF .60

=





Typical propeller aircraft internal noise spectrum

90 140

190

240

290

Frequency [Hz]

SPL

[dB]

10 dBpropeller tone noise

broadband noise


Sistemi per il controllo del rumore: De-Tuning della fusoliera


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione

• Gli assorbitori dinamici di vibrazione sono sono sistemi massa/molla a 1 DOF in grado di assorbire le vibrazioni delle ordinate “intonati” alle frequenze del propeller.

MKfn

p21

=




without Tuned absorbers with tuned absorbers



Noise Level Distribution @ seated passenger head levelBaseline with Tuned Vibration Absorbers

-2000.00 -1000.00 0.00 1000.00 2000.00

8500.00

9000.00

9500.00

10000.00

10500.00

11000.00

11500.00

12000.00

-2000.00 -1000.00 0.00 1000.00 2000.00

8500.00

9000.00

9500.00

10000.00

10500.00

11000.00

11500.00

12000.00

60.0062.0064.0066.0068.0070.0072.0074.0076.0078.0080.0082.0084.0086.0088.0090.0092.0094.0096.00



Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANC

• I sistemi di controllo attivo del rumore si basano sul principio di emettere un rumore in “antifase” (secondary field) rispetto al rumore da controllare (primary field) in modo che il campo risultante (residual noise) sia minimo.








• Una evoluzione dei sistemi di controllo del rumore è rappresentato dall’ Active Noise and Vibration Control, sistema che si basa sulla riduzione attiva delle vibrazioni che inducono rumore.

Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANVC




• La seconda principale sorgente di energia acustica è lo strato limite turbolento.

• La turbolenza generata all’interno dello s.l. genera delle onde di pressione che eccitano e mettono in vibrazione i pannelli della fusoliera.

Le sorgenti di rumore esterno: lo strato limite turbolento


• Il contributo dello strato limite turbolento alla generazione del rumore risulta essere predominante nel range di frequenze medio-alte (1000-5000 Hz).



• Esistono diverse possibilità per il controllo del rumore generato dallo strato limite turbolento:–Ottimizzazione strutturale (spessore

pannelli skin, spaziatura dei correnti)–Ottimizzazione del lay-up–Sistemi di sospensione attiva per il

furnishing–Sistemi attivi distribuiti sullo skin

Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolento


Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolentoThermoacoustic blanket





Damping strutturale



Damping strutturale


Le sorgenti di rumore interno

• Oltre alle sorgenti esterne, esistono sul velivolo tutta una serie di sorgenti di vibrazioni/rumore interne che contribuiscono in maniera significativa a modificare il livello di rumore interno.


Le sorgenti di rumore interno -Impianto distribuzione aria in cabina


45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

20 25 32 40 50 63 80 100

125

160

200

250

315

400

500

630

800

1000

1250

1600

2000

2500

3150

4000

5000

6300

8000

10000

12500

SPLi

[dB

]

Le sorgenti di rumore interno -Effetto dell’airconditioning noise

Airconditioning ON

Airconditioning OFF


Metodi di calcolo per il rumore interno

• Esistono diverse tipologie di metodi previsionali per la stima del rumore interno:–Metodi Deterministici (FEM, BEM)–Metodi Statistici (SEA)–Metodi Bilancio Energetico


Metodi Deterministici

• I metodi deterministici FEM/BEM sono indicati per lo studio della trasmissione del rumore a basse frequenze.

• Tale approccio è tanto più accurato quanto più è fitta la mesh del modello numerico.


Approccio FEM per il calcolo della risposta strutturale

frequenze naturali dell'ordinata di fusoliera dell' ATR-42

0

50

100

150

200

250

A2 S2 A3 S3 A4 S4 A5 S5 A6 S6modo

Hz

MSC/NASTRAN - pressurization effectMSC/NASTRAN - no pressurization effectexperimental

X Y

Z

r

tz

1.01

0.972

0.933

0.895

0.857

0.818

0.78

0.742

0.703

0.665

0.626

0.588

0.55

0.511

0.473

0.434

0.396

V1C1

Output Set: Mode 4 16.34406 HzDeformed(1.01): Total TranslationContour: Total Translation

Calcolo dei modi propri strutturali





R2 = 0.9844

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00 450.00

FEA

EMA

Correlazione Ideale Lineare (Ideale) Lineare (Correlazione)


Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] ;

000

=

Α+

Α−

Fpu

KK

pu

MM

A

s

AT

f

s

&&

&&

r

Confronto SPL medio in camera ricevente

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Frequenza [Hz]

SPL

[dB

]

Valore sperimentaleVal. numerico 1 WattVal. Numerico 10 Watt

X

Y

Z

4 . 9 4 1

4 . 6 3 3

4 . 3 2 4

4 . 0 1 5

3 . 7 0 6

3 . 3 9 7

3 . 0 8 8

2 . 7 8

2 . 4 7 1

2 . 1 6 2

1 . 8 5 3

1 . 5 4 4

1 . 2 3 5

0 . 9 2 6 5

0 . 6 1 7 7

0 . 3 0 8 8

0 .

V1

C1



X Y

Z

V1C10



Eccitazione acustica sulla fusoliera

Risposta acustica della cabina alla BPF




Metodi energetici

• I metodi energetici si basano sul bilancio di energia interna ed esterna e dell’energia che si scambiano i diversi volumi che rappresentano la nostra cavità.


VOLAdEEEEEE PROENBLoutass +++=+Eass= Acoustic Power dissipated inside each elemental volume

Eout= Outcoming Acoustic power from each elemental volume

EBL= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer

EEN= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise

EPRO= Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning

EVOLAd= Incoming Acoustic power inside the elemental volume from each elemental volume

Metodi energetici


SISIW

Sc

pW

Sc

pW

Sc

pW

Sc

pE

pi

iPp

TL

extio

avgENENi

TL

extio

avgBLBLi

TLwalli

io

avgtrai

o

avgtass

ENi

BLi

==

=

=

=

=⋅Π=

∑

−

−

−

102

102

102

2

1041

1041

1041

41

r

r

r

ar

a Dissipated Acoustic Power

Incoming and Outcoming Acoustic power from/to each elemental volume

Incoming Acoustic Power inside each elementalvolume due to turbulent boundary layer

Incoming Acoustic Power inside each elementalvolume due to propulsion noise

Acoustic Power generated inside each elementalvolume (internal sources i.e. air conditioning)

Metodi energetici


Metodi energetici

+−

⋅+⋅+

+=

−

∑

∑∑−

+−−

10

10int

10

log10

1010int

10log10

101041010log10

iwall

walliADi

i

BLiref

refp

ENiENiBLiBLi

TL

ii

i

i

TLSPLTL

IW

PWLTLSPLTLSPL

iexti

S

SSSPL

a


CO-PILOTPILOT

Metodi energetici - Modello Cockpit di un velivolo da trasporto


RISULTATI CABIN NOISE COCKPIT

100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65

VOLUMI

oasp

l

PILOTCO-PILOT

Metodi energetici - Distribuzione del rumore all’interno del Cockpit di un velivolo da trasporto


La messa a punto sperimentale

• Una volta definiti e progettati i diversi interventi per la riduzione del rumore, vengono effettuate diverse tipologie di prove per la verifica e messa a punto.



• Esistono tre diverse tipologie di prove:–prove di laboratorio su componenti

(transmission loss, absorption,insertion loss).

– prove su mock-up sperimentali full scale.

– prove in volo.


La messa a punto sperimentale: prove di transmission loss


Sommario• Indicatori del rumore interno• Generazione del rumore• Sorgenti di rumore:

– Il propulsore, lo strato limite turbolento, le sorgenti interne.

• Sistemi per il controllo del rumore:– sistemi passivi e sistemi attivi

• Metodi previsionali per il calcolo del rumore interno

• La messa a punto sperimentale• La campagna riduzione rumore dell’ATR



Noise Index

• Esistono numerosi indici di misura del rumore, e tra essi i più utilizzati per fornire un immagine del comfort acustico di un velivolosono:–– OASPLOASPL–– dBAdBA–– SIL3, SIL4, PSILSIL3, SIL4, PSIL


• L’OASPL e l’overall sound pressure level calcolato sullo spettro (0-10KHz) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le alte frequenze (velivoli a getto).

Noise Index


• Il dBA e l’overall calcolato sullo spettro (0-12.5 KHz) cui è applicato il filtro A (effetto orecchio umano) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le basse frequenze (velivoli a elica).

Noise Index


Spettro Lineare vs Spettro Filtrato A

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000 10000

Frequency [Hz]

SPL

[dB

]

Pesato A Lineare


• Il SIL (Speech Interference Level) è una misura del disturbo acustico nelle frequenze del parlato:–SIL3 media aritmetica del SPL nelle

bande di Ottave 500,1K, 2K Hz–SIL4 media aritmetica del SPL nelle

bande di Ottave 500, 1K, 2K, 4K Hz• E’ generalmente utilizzato per

caratterizzare velivoli ad elevato comfort interno (Business Jet).

Noise Index


Le sorgenti di rumore esterno: il propulsore

• La maggiore sorgente esterna di rumore è il motopropulsore che sui moderni aeroplani da trasporto può essere di due tipi:––turbofanturbofan––turbopropturboprop


Il motore turbofan


Il motore turboprop



• Il rumore generato dai moderni motori turbofan non risulta essere particolarmente critico per il rumore interno ad eccezione delle fasi di decollo e salita in cui si trova alla massima potenza.



• In queste fasi le elevate velocità del fan e la ridotta lunghezza dell’inlet generano un sistema di onde d’urto all’interno dello stesso che sono la causa del cosiddetto “Buzzsaw Noise”.

• In alcune fasi della crociera può essere predominante il rumore del getto che viene trattato con interventi specifici locali.




Gli interventi per la riduzione del rumore generato da un turbofan



• Lo spettro di rumore tipico generato da un turboprop è caratterizzato da toni a bassa frequenza in cui è concentrata la maggior parte dell’energia.

PalexNumRPMBPF .60

=





Typical propeller aircraft internal noise spectrum

90 140

190

240

290

Frequency [Hz]

SPL

[dB]

10 dBpropeller tone noise

broadband noise


Sistemi per il controllo del rumore: De-Tuning della fusoliera



• Gli assorbitori dinamici di vibrazione sono sono sistemi massa/molla a 1 DOF in grado di assorbire le vibrazioni delle ordinate “intonati” alle frequenze del propeller.

MKfn

p21

=




without Tuned absorbers with tuned absorbers



Noise Level Distribution @ seated passenger head levelBaseline with Tuned Vibration Absorbers

-2000.00 -1000.00 0.00 1000.00 2000.00

8500.00

9000.00

9500.00

10000.00

10500.00

11000.00

11500.00

12000.00

-2000.00 -1000.00 0.00 1000.00 2000.00

8500.00

9000.00

9500.00

10000.00

10500.00

11000.00

11500.00

12000.00

60.0062.0064.0066.0068.0070.0072.0074.0076.0078.0080.0082.0084.0086.0088.0090.0092.0094.0096.00




• I sistemi di controllo attivo del rumore si basano sul principio di emettere un rumore in “antifase” (secondary field) rispetto al rumore da controllare (primary field) in modo che il campo risultante (residual noise) sia minimo.








• Una evoluzione dei sistemi di controllo del rumore è rappresentato dall’ Active Noise and Vibration Control, sistema che si basa sulla riduzione attiva delle vibrazioni che inducono rumore.





• La seconda principale sorgente di energia acustica è lo strato limite turbolento.

• La turbolenza generata all’interno dello s.l. genera delle onde di pressione che eccitano e mettono in vibrazione i pannelli della fusoliera.



• Il contributo dello strato limite turbolento alla generazione del rumore risulta essere predominante nel range di frequenze medio-alte (1000-5000 Hz).



• Esistono diverse possibilità per il controllo del rumore generato dallo strato limite turbolento:–Ottimizzazione strutturale (spessore

pannelli skin, spaziatura dei correnti)–Ottimizzazione del lay-up–Sistemi di sospensione attiva per il

furnishing–Sistemi attivi distribuiti sullo skin








Damping strutturale



Damping strutturale


Le sorgenti di rumore interno

• Oltre alle sorgenti esterne, esistono sul velivolo tutta una serie di sorgenti di vibrazioni/rumore interne che contribuiscono in maniera significativa a modificare il livello di rumore interno.


Le sorgenti di rumore interno -Impianto distribuzione aria in cabina


45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

20 25 32 40 50 63 80 100

125

160

200

250

315

400

500

630

800

1000

1250

1600

2000

2500

3150

4000

5000

6300

8000

10000

12500

SPLi

[dB

]

Le sorgenti di rumore interno -Effetto dell’airconditioning noise

Airconditioning ON

Airconditioning OFF


Metodi di calcolo per il rumore interno

• Esistono diverse tipologie di metodi previsionali per la stima del rumore interno:–Metodi Deterministici (FEM, BEM)–Metodi Statistici (SEA)–Metodi Bilancio Energetico


Metodi Deterministici

• I metodi deterministici FEM/BEM sono indicati per lo studio della trasmissione del rumore a basse frequenze.

• Tale approccio è tanto più accurato quanto più è fitta la mesh del modello numerico.



frequenze naturali dell'ordinata di fusoliera dell' ATR-42

0

50

100

150

200

250

A2 S2 A3 S3 A4 S4 A5 S5 A6 S6modo

Hz

MSC/NASTRAN - pressurization effectMSC/NASTRAN - no pressurization effectexperimental

X Y

Z

r

tz

1.01

0.972

0.933

0.895

0.857

0.818

0.78

0.742

0.703

0.665

0.626

0.588

0.55

0.511

0.473

0.434

0.396

V1C1

Output Set: Mode 4 16.34406 HzDeformed(1.01): Total TranslationContour: Total Translation

Calcolo dei modi propri strutturali





R2 = 0.9844

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00 450.00

FEA

EMA

Correlazione Ideale Lineare (Ideale) Lineare (Correlazione)



[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] ;

000

=

Α+

Α−

Fpu

KK

pu

MM

A

s

AT

f

s

&&

&&

r

Confronto SPL medio in camera ricevente

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Frequenza [Hz]

SPL

[dB

]

Valore sperimentaleVal. numerico 1 WattVal. Numerico 10 Watt

X

Y

Z

4 . 9 4 1

4 . 6 3 3

4 . 3 2 4

4 . 0 1 5

3 . 7 0 6

3 . 3 9 7

3 . 0 8 8

2 . 7 8

2 . 4 7 1

2 . 1 6 2

1 . 8 5 3

1 . 5 4 4

1 . 2 3 5

0 . 9 2 6 5

0 . 6 1 7 7

0 . 3 0 8 8

0 .

V1

C1



X Y

Z

V1C10



Eccitazione acustica sulla fusoliera

Risposta acustica della cabina alla BPF




Metodi energetici

• I metodi energetici si basano sul bilancio di energia interna ed esterna e dell’energia che si scambiano i diversi volumi che rappresentano la nostra cavità.


VOLAdEEEEEE PROENBLoutass +++=+Eass= Acoustic Power dissipated inside each elemental volume

Eout= Outcoming Acoustic power from each elemental volume

EBL= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer

EEN= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise

EPRO= Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning

EVOLAd= Incoming Acoustic power inside the elemental volume from each elemental volume

Metodi energetici


SISIW

Sc

pW

Sc

pW

Sc

pW

Sc

pE

pi

iPp

TL

extio

avgENENi

TL

extio

avgBLBLi

TLwalli

io

avgtrai

o

avgtass

ENi

BLi

==

=

=

=

=⋅Π=

∑

−

−

−

102

102

102

2

1041

1041

1041

41

r

r

r

ar

a Dissipated Acoustic Power

Incoming and Outcoming Acoustic power from/to each elemental volume

Incoming Acoustic Power inside each elementalvolume due to turbulent boundary layer

Incoming Acoustic Power inside each elementalvolume due to propulsion noise

Acoustic Power generated inside each elementalvolume (internal sources i.e. air conditioning)

Metodi energetici


Metodi energetici

+−

⋅+⋅+

+=

−

∑

∑∑−

+−−

10

10int

10

log10

1010int

10log10

101041010log10

iwall

walliADi

i

BLiref

refp

ENiENiBLiBLi

TL

ii

i

i

TLSPLTL

IW

PWLTLSPLTLSPL

iexti

S

SSSPL

a


CO-PILOTPILOT

Metodi energetici - Modello Cockpit di un velivolo da trasporto


RISULTATI CABIN NOISE COCKPIT

100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65

VOLUMI

oasp

l

PILOTCO-PILOT

Metodi energetici - Distribuzione del rumore all’interno del Cockpit di un velivolo da trasporto



• Una volta definiti e progettati i diversi interventi per la riduzione del rumore, vengono effettuate diverse tipologie di prove per la verifica e messa a punto.



• Esistono tre diverse tipologie di prove:–prove di laboratorio su componenti

(transmission loss, absorption,insertion loss).

– prove su mock-up sperimentali full scale.

– prove in volo.







12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

27.00

30.00

33.00

36.00

39.00

42.00

45.00

48.00

51.00

54.00

57.00

100 1000 100001/3 O.B. f req

P2 _referenceP8_stringerTT

STRINGER TYPE EFFECT




Transmission LossDal valore ideale alla realtà


Prove di assorbimento acustico: Tubo a impedenza


Tuning dell’assorbimento acustico


La messa a punto sperimentale: prove su mock-up di fusoliera






La messa a punto sperimentale: prove di volo sul velivolo


La riduzione del rumore dell’ATR


• All’inizio degli anni 90 fu deciso di lanciare il programma di riduzione rumore del velivolo ATR che doveva confrontarsi con turboprop veloci della stessa categoria ma significativamente meno rumorosi (Fokker 50, Dornier 328, Saab 2000).



• Il target di progetto fissato fu che in crociera a 17,000 ft @303 Kts di velocità il livello medio di rumore i cabina fosse inferiore a 78 dBA e che il livello massimo in una singola posizione non eccedesse 83 dBA (partendo da un livello max di 94 dBA e un livello medio di 86 dBA)



• Il problema fu affrontato mediante definizione e applicazione di modifiche radicali:–Elica esapala con riduzione RPM– Irrigidimenti strutturali della fusoliera– Installazione TVA–Applicazione di skin damping–Definizione nuovo interior– Trattamento di tutte le sorgenti

interne



• Il programma di sviluppo è durato 2 anni con circa 150 ore di prove di volo.

• Il delta peso totale installato sul velivolo è circa 150 Kg.

• Il costo totale del progetto è stato stimato pari a 1M$ per ogni dB di riduzione.



ATR72 - CABIN NOISE IMPROVEMENT@ Standard Cruise conditionsAverage Noise Levels over four seats

68

70

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90

92

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Glo

bal d

BA le

vel

0

2

4

6

8

10

12

Window locationFlight Direction

dBA

redu

ctio

n

Interior noise level reductionATR72-500 global dBAATR72-200 global dBA

2 dBA







Acusto-Elastici.

5

La potenza acustica radiata da un pannellopiano

Si vuole caratterizzare una superficie piana dal punto di vista acustico,definendo i coe�cienti caratteristici che meglio si prestano alla descrizione delcomportamento di un pannello di materiale omogeneo soggetto ad un’ondasonora incidente. Vengono fornite prima le definizioni di base delle grandezzein gioco, e successivamente si suggerisce un approccio alle coordinate discreteper la derivazione delle stesse.

5.1 Potenza sonora incidente su componenti strutturalipiani

La potenza radiata da un operatore strutturale, posto in vibrazione pere↵etto dell’incidenza di un disturbo di pressione, e punto chiave per tutta lasua caratterizzazione acustica. Si consideri un’onda di pressione normale inci-dente su una data superficie elastica. Da essa consegue una potenza incidente,data da

⇧i(!) =1

2Re

n

Z

S

pi(!, P )v⇤(!, P ) dSo

, (5.1)

dove P e il punto della superficie S del pannello (P (xP , yP , 0) ⌘ P (xP , yP ))caratterizzato da una velocita v (l’asterisco indica l’operatore complesso coni-ugato), in cui si registra un livello di pressione pi ad una certa pulsazione !.E necessario ipotizzare un modello per la distribuzione di pressione incidente,che per una generica onda piana puo essere il seguente

pi(!, x, y) = pi(!)e�j !

c0(x sin ✓ cos�+y sin ✓ sin�), (5.2)

indicando con c0

la velocita di propagazione del disturbo e con ✓ e � le incli-nazioni dell’onda incidente polare ed azimutale rispettivamente, come indicatoin Figura 5.1.

Per questo modello di pressione incidente, la potenza ad essa legata esemplicemente data da

74 5 La potenza acustica radiata da un pannello piano

Figura 5.1: inclinazione dell’onda di pressione normale incidente sul pannello.

⇧i(!) =p2i (!)S cos ✓

⇢0

c0

(5.3)

dove ⇢0

e la densita del mezzo in cui si propaga il disturbo.

5.2 Potenza sonora radiata componenti strutturali piani

La potenza radiata dallo stesso operatore strutturale, per il quale la dis-tribuzione di velocita normale v produce il disturbo di pressione pt, e datada

⇧rad(!) =1

2Re

n

Z

S

pt(!, P )v⇤(!, P ) dSo

. (5.4)

Lord Rayleigh (Ref. [9]), nel 1896, fu il primo a studiare e definire larelazione tra velocita strutturale e livello di pressione prodotto da un radiatorepiano mediante la (5.5):

p(!, P ) =j!2⇢

0

2⇡c0

Z

S

e�jk|P�Q|

k|P �Q| v(!, Q) dS (5.5)

doveQ e un secondo punto generico preso sulla superficie vibrante (Q(xQ, yQ, 0) ⌘P (xQ, yQ)) e k = !

c0e il numero d’onda del disturbo acustico.

E immediato esprimere la potenza radiata in termini di spostamento w,essendo v(!, Q) = j!w(!, Q):

⇧rad(!) =!2

2Re

n

Z

S

j!2⇢0

2⇡c0

Z

S

e�jk|P�Q|

k|P �Q| w(!, Q)w⇤(!, P ) dS dSo

=

=!4⇢

0

4⇡c0

Ren

Z

S

Z

S

sin(k|P �Q|) + j cos(k|P �Q|)k|P �Q| w(!, Q)w⇤(!, P ) dS dS

o

.

(5.6)E possibile introdurre la cosiddetta funzione di radiazione

R(!, P,Q) =e�jk(!)|P�Q|

k(!)|P �Q| . (5.7)

5.3 Definizione degli indicatori della potenza radiata 75

Tale funzione e simmetrica, ovvero R(!, P,Q) = R(!, Q, P ), e presenta unasingolarita di primo ordine, quindi eliminabile, nel punto P ⌘ Q, essendo

lim|P�Q|!0

sin(k|P �Q|)k|P �Q| = 1. (5.8)

A questo punto, sfruttando le proprieta dei numeri complessi, e possibilescrivere:

⇧rad(!) =!4⇢

0

4⇡c0

(

R

S

R

Sw⇤(!, Q) sin(k|P�Q|)

k|P�Q| w(!, Q) dS dS, se P 6= QR

S

R

Sw⇤(!, Q)w(!, Q) dS dS, se P ⌘ Q

(5.9)Specializzando la (5.9) per un pannello rettangolare di lati a e b rispettiva-mente lungo gli assi x e y, e possibile scrivere:

⇧rad(!) =!4⇢

0

4⇡c0

8

>

<

>

:

R a

0

R b

0

R a

0

R b

0

sin

h

k(!)

p(x�⇠)2+(y�⌘)2

i

k(!)

p(x�⇠)2+(y�⌘)2

w(!, x, y)w⇤(!, ⇠, ⌘) d⌘ d⇠ dy dx, se (x, y) 6= (⇠, ⌘)R a

0

R b

0

R a

0

R b

0

w(!, x, y)w⇤(!, ⇠, ⌘) d⌘ d⇠ dy dx, se (x, y) ⌘ (⇠, ⌘)(5.10)

5.3 Definizione degli indicatori della potenza radiata

L’analisi della potenza radiata da una struttura e finalizzata alla deter-minazione di alcuni parametri capaci di fornire esaurienti informazioni rela-tive alle proprieta di trasmissione del rumore. Gli stimatori piu comunementeutilizzati per valutare la potenza radiata da una superficie piana elastica sono:

• l’e�cienza di radiazione (in inglese radiation e�ciency) �;• il potere fono-assorbente (in inglese trasmission loss) TL.

Essi dipendono sia dalla superficie vibrante considerata (materiale e condizionial contorno) che dal fluido in cui essa e immersa, e non dipendono dal volumein cui essi sono misurati.

5.3.1 E�cienza di radiazione

L’e�cienza di radiazione e un parametro che esprime la potenza acus-tica radiata da una superficie vibrante, misurata relativamente al livellovibrazionale di quest’ultima. Formalmente essa e data da:

� =⇧

⇢cv2S(5.11)

dove ⇧ e la potenza acustica radiata dalla superficie vibrante di area S chevibra con velocita v in un mezzo di densita ⇢ e velocita caratteristica c. Nella


definizione di �, pertanto, sono presenti sia la geometria della superficie con-siderata che le caratteristiche del mezzo in cui si propaga il suono. In alcunitesti, l’e�cienza di radiazione di un componente strutturale e definita comeil rapporto tra la potenza acustica radiata dallo stesso e la potenza acusticaradiata teoricamente da un pistone infinitamente rigido, avente stessa area estessa distribuzione di velocita superficiale, ovvero:

� =⇧rad

⇧piston, (5.12)

dove ⇧piston = ⇢cv2S. Tale definizione trae origine dal fatto che un pistonerigido infinito e un radiatore perfetto. Se infatti consideriamo il movimentodi un pistone rigido infinito, questo forza le particelle di fluido a muoversi sulinee parallele normali al piano del pistone: non ce divergenza, cioe non c’ealcuna forza di reazione inerziale in quanto non ci sono bordi, e quindi la forzadi reazione per unita di area (ovvero la pressione) e dovuta esclusivamente ade↵etti di compressione.

Il rapporto

R =⇧

v2(5.13)

e detto resistenza di radiazione.I parametri introdotti sinora sono globali, ovvero riferiti all’intera super-

ficie vibrante, e sono indicatori dell’accoppiamento del campo acustico conl’intero pannello.

Risulta conveniente calcolare l’e�cienza di radiazione per ogni singolo mo-do naturale del pannello, in modo tale da identificare quale modo e causa diuna maggiore radiazione di potenza acustica: in questo caso, si parla di e�-

cienza di radiazione modale (Ref. [10]). La resistenza di radiazione del modo(m,n) del pannello e espressa come

Rm,n =⇧m,n

⌦

|v(!)|2↵ (5.14)

dove ⇧m,n e la potenza acustica media radiata da un lato del pannello in se-guito al modo (m,n) e

⌦

|v(!)|2↵

e la media temporale e spaziale del quadratodella velocita vibrazionale della superficie. Wallace (Ref. [10]) esprime quin-di l’e�cienza di radiazione del modo (m,n) di un pannello semplicementeappoggiato, di lati a e b, rispettivamente lungo gli assi x e y, come

�m,n =Rm,n

⇢cab=

⇧

⇢cab⌦

|vm|2↵ (5.15)

avendo assunto per il generico modo (m,n) un modello di velocita superficialepari a

v(!) = vm sin(m⇡x

a) cos(

n⇡y

b). (5.16)


Data la simmetria dell’intensita acustica, ricavata a partire dalla (5.5), edefiniti

↵ = ka sin(✓) cos(�), (5.17)

� = kb sin(✓) sin(�), (5.18)

e possibile calcolare per un campo di↵uso:

�m,n =64k2ab

⇡6m2n2

Z

⇡2

0

Z

⇡2

0

(

cos

sin

⇣

↵2

⌘

cos

sin

⇣

�2

⌘

[(↵/m⇡)2 � 1][(�/n⇡)2 � 1]

)

2

sin ✓ d✓ d�. (5.19)

Nella (5.19), e necessario utilizzare cos⇣

↵2

⌘

se m e un intero dispari, sin⇣

↵2

⌘

se invece m e pari; analogamente, si utilizza cos⇣

�2

⌘

se n e un intero dispari,

sin⇣

�2

⌘

se invece n e pari. Nelle Figura 5.2 e mostrato l’andamento dell’ef-

ficienza di radiazione di diversi modi propri di vibrare di un pannello le cuicaratteristiche sono descritte in Tabella 5.1.

Tabella 5.1: caratteristiche geometriche e fisiche del pannello.

lato a 1 mlato b 0.5 mspessore s 0.005 m

densita ⇢ 2700 Kg/m3

modulo di Young E 71 GPamodulo di Poisson ⌫ 0.33

In particolare, si evince che qualsiasi sia il modo considerato, l’e�cienza diradiazione tende asintoticamente ad 1, ovvero tutte le deformate del pannellotendono a diventare dei radiatori perfetti ad elevata frequenza.

Resistenza di radiazione mutua

L’e�cienza di radiazione modale �m,n sinora considerata e un indicatoredel lavoro per unita di tempo che la distribuzione di pressione generata dalmodo (m,n) compie sul modo (m,n) stesso, ovvero e un coe�ciente di auto-induzione. L’utilizzo dei soli coe�cienti di auto-induzione semplifica notevol-mente il calcolo della potenza complessivamente radiata dal pannello, in quan-to ogni modo irradia una potenza acustica indipendente dalle altre deformatemodali. In realta, la distribuzione di pressione generata dal modo (m,n) svolgeun lavoro anche il modo (i, j) generico (con i 6= m e/o j 6= n), ma spesso sitende a trascurare i coe�cienti di mutua induzione �

(m,n),(i,j) a causa del-l’elevata complessita computazionale che questi comportano. Li e Gibeling


(a) Modo (1,1) (b) Modo (2,1)

(c) Modo (1,2) (d) Modo (2,2)

Figura 5.2: e�cienza di radiazione �ij(f) di diversi modi del pannello al variaredella frequenza.

(Ref. [11]) forniscono un’espressione della mutual radiation resistance e il suoimpatto dell’e�cienza di radiazione complessiva del pannello.

5.3.2 Potere fonoisolante (in inglese Trasmission Loss)

Il potere fonoisolante di una superficie, ad esempio un pannello, fornisceuna misura in decibel della potenza acustica trasmessa Pt per una data poten-za incidente Pi. Al fine di calcolare un’espressione per il trasmission loss TL,e utile considerare cosa accade quando un’onda sonora interagisce con unabarriera infinita, che divide l’ambiente in cui e posta la sorgente sonora dal-l’ambiente ricevente. La Figura 5.3 mostra come parte dell’onda viene riflessanell’ambiente sorgente, una parte assorbita dalla partizione e la restante partetrasmessa nell’ambiente ricevente attraverso la superficie stessa. Definendo

• Pi la potenza dell’onda sonora incidente;• Pr la potenza dell’onda riflessa nell’ambiente sorgente;• Pa la potenza dell’onda assorbita dalla partizione (e dissipata in calore);• Pt la potenza dell’onda trasmessa nell’ambiente ricevente (chiaramente,

Pt = Prad);


Figura 5.3: decomposizione di un’onda sonora su una partizione.

e possibile scrivere (dal bilancio dell’energia per unita di tempo):

Pi = Pr + Pa + Pt. (5.20)

Dividendo ambo i membri della (5.20) per la potenza incidente Pi, si ottiene:

1 = ⇢+ ↵+ ⌧. (5.21)

Nella (5.21) sono stati introdotti i coe�cienti adimensionali:

• ⇢ = Pr

Pi, detto coe�ciente di riflessione;

• ↵ = Pa

Pi, detto coe�ciente di assorbimento;

• ⌧ = Pt

Pi, detto coe�ciente di trasmissione;

ed ognuno di essi indica, rispettivamente, l’aliquota di potenza che e statariflessa, assorbita e trasmessa.

Il trasmission loss TL e definito a partire dal coe�ciente di trasmissione⌧ , ovvero:

TL = 10 log10

1

⌧. (5.22)

TL indica, in deciBel, l’abbattimento che il suono subisce passando attraver-so una parete, e quindi permette di quantificare la potenza persa nellatrasmissione del suono tra due ambienti separati da un divisorio.

Figura 5.4: diminuzione della potenza sonora attraverso una parete avente unpotere fonoisolante di 45dB.


Chiaramente, se ⌧ = 1 significa che tutta la potenza sonora si trasmetteattraverso la parete, il cui potere fonoisolante e nullo. Questo e il caso, adesempio, di una porta o finestra aperta in un’abitazione, per cui le onde sonorenon hanno alcuno ostacolo durante la loro propagazione. Se invece ⌧ = 0, nonc’e trasmissione di suono, ma questo e un caso puramente ideale, in quantoattraverso una partizione c’e sempre un’aliquota di potenza trasmessa, seppurpiccola.

Andamento del TL con la frequenza

Il potere fonoisolante varia al variare dalla frequenza, oltre a dipenderedalle proprieta fisiche e geometriche della parete e dalle condizioni di vincolocui questa e sottoposta. L’andamento teorico del potere fonoisolante di unpannello omogeneo e sottile e mostrato in Figura 5.5, in cui si individuanodiverse zone in ciascuna delle quali prevale un certo fattore.

Figura 5.5: andamento tipico del trasmission loss di un pannello omogeneo alvariare della frequenza.

Innanzitutto, si puo notare che il TL assume un valore minimo in cor-rispondenza della prima frequenza naturale del pannello, ovvero della frequen-za del primo modo proprio di vibrare del pannello, dopodiche nella cosiddettazona di risonanza il valore del potere fonoisolante oscilla con picchi e valli,rimanendo su valori piuttosto bassi. In particolare, il fenomeno di risonanza abasse frequenze si verifica quando la frequenza dell’onda acustica incidente e


uguale alla frequenza di uno dei modi propri: in questo caso, infatti, si verificache la deformata modale ha una lunghezza d’onda uguale a quella dell’ondaincidente, per cui il modo proprio sollecitato e trasparente al suono, e deter-mina una riduzione complessiva del potere fonoisolante del pannello. Al primomodo normale e associata la piu importante frequenza di risonanza, in cor-rispondenza della quale il TL raggiunge un minimo. Si noti come l’ampiezzadelle valli di isolamento dipenda dal valore del fattore di smorzamento ⌘: piue elevato lo smorzamento, maggiore e l’energia meccanica vibratoria dissipatain calore. In pratica, se lo smorzamento e elevato, il pannello vibra meno, equindi e meno trasparente al suono.

Per valori della frequenza inferiori alla frequenza di risonanza naturale,la trasmissione sonora dipende essenzialmente dalla rigidezza (o, equivalente-mente, dall’elasticita) della struttura, e si ha una diminuzione di TL di 6 dBogni raddoppio della frequenza. Si parla di zona della rigidezza.

Per valori della frequenza compresi tra la zona di risonanza e una certafrequenza critica, il potere fonoisolante e governato dalla cosiddetta legge della

massa: in questa zona, si ha un aumento del TL di 6 dB per raddoppio dellafrequenza e della massa, e il comportamento della struttura dipende esclu-sivamente dalla sua massa. In questa zona, e possibile utilizzare la seguenteformula di previsione:

TLML,✓ = 10 log10

h⇣⇡⇢sf cos(✓)

⇢0

c0

⌘

2

i

[dB] (5.23)

in cui ⇢s e la massa per unita di superficie del pannello; f e la frequenza; ✓ el’angolo di incidenza dell’onda sonora; ⇢

0

c0

e l’impedenza acustica caratteris-tica dell’aria. La (5.23) vale in un campo sonoro di onde piane che arrivanosulla parete con un certo angolo di incidenza, e nel caso di incidenza normale(✓ = 0) puo essere riscritta come:

TLML,✓=0

⇡ 20 log10

(⇢sf)� 42.5[dB]. (5.24)

Dalle (5.23)-(5.24) si comprende come un raddoppio della massa del pannello,a parita di altri fattori, comporti un aumento di 6 dB del potere fonoisolante.Nel caso di campo mediamente di↵uso (ovvero onde incidente da tutte ledirezioni con inclinazioni comprese tra ✓

1

= 0 e ✓2

= 78, tipico di ambientichiusi), la relazione piu comunemente utilizzata e:

TLML,diff = 10 log10

✓

0.978⇢s⇡f⇢0c0

◆

2

ln

"

1+

�

⇢s⇡f⇢0c0

�2

1+

⇥

0.208�

⇢s⇡f⇢0c0

�2⇤

# . (5.25)

La validita della legge della massa e limitata superiormente dal fenomenodella coincidenza, conseguenza del fatto che la velocita del suono nell’aria


e costante al variare della frequenza mentre la velocita delle onde flession-ali nelle strutture varia con la frequenza. Le onde flessionali sono quelle chehanno maggiore importanza nella radiazione acustica delle strutture: cio edovuto principalmente al fatto che la deflessione laterale degli elementi su cuisi propagano le onde (cioe normale al piano delle onde) e rilevante rispettoalla lunghezza d’onda, e pertanto e in grado di perturbare il fluido adiacente.Nel caso di un pannello sottile, cioe di spessore molto inferiore alla lunghezzed’onda del suono alle frequenze in analisi, su cui si abbia propagazione in en-trambe le direzioni di giacitura del pannello, la velocita di propagazione delleonde flessionali e:

cb =

v

u

u

t2⇡fs

s

E

12⇢(1� ⌫2)(5.26)

dove E e il modulo di Young del materiale, ⌫ e il coe�ciente di Poisson, ⇢ ela densita, s lo spessore del pannello e f e la frequenza. Dalla (5.26) si deduceche le onde flessionali sono dispersive, ossia la loro velocita di propagazionedipende dalla frequenza. Cio le di↵erenzia dalle onde sonore, che sono nondispersive, ed e questa la causa del fenomeno della coincidenza. Esiste, infatti,una frequenza, detta frequenza critica, in corrispondenza della quale le velocitadi propagazione del suono in aria c

0

e delle onde flessionali cb coincidono,comportando una brusca riduzione del potere fonoisolante.

Figura 5.6: variazione delle velocita di propagazione del suono in aria c e delleonde flessionali cb al variare della frequenza.

Le onde sonore piane che incidono con un certo angolo su una parete sottileinfinita originano nella parete un’onda flessionale forzata avente lunghezzad’onda �tr, pari alla lunghezza d’onda di traccia dell’onda sonora incidente

�i

sin(✓) , ovvero:

�tr =�i

sin(✓), (5.27)

dove �i e la lunghezza d’onda dell’onda incidente. Il fenomeno della coinci-denza si verifica quando, per un determinato angolo di incidenza, la lunghezzad’onda di traccia dell’onda sonora eguaglia la lunghezza d’onda �b dell’ondaflessionale libera, ossia:

�b =�i

sin(✓)= �tr. (5.28)

5.4 Formulazione in coordinate discrete 83

Figura 5.7: coincidenza della lunghezza d’onda dell’onda flessionale libera edella lunghezza d’onda di traccia dell’onda sonora.

In queste condizioni, l’onda di pressione acustica viene accompagnata nelsuo movimento di compressione e rarefazione dall’onda flessionale sulla strut-tura e la stessa viene reirradiata dalla parte opposta senza subire attenuazioni,ed ecco perche si ha una forte riduzione di TL. La frequenza piu bassa perla quale si verifica il fenomeno di coincidenza si ottiene per ✓ = 0; questafrequenza e chiamata frequenza critica ed e pari a:

fc =c20

2⇡s

r

12⇢(1� ⌫2)

E[Hz]. (5.29)

Per pannelli metallici, una formula che permette di calcolare la frequenzacritica velocemente e con buona approssimazione e:

fc =12000

s[Hz] (5.30)

dove s e lo spessore espresso in mm.Come nella zona di risonanza, la caduta di TL nella zona di coincidenza e

tanto maggiore quanto minore e lo smorzamento.Al di sopra della zona di coincidenza, il potere fonoisolante TL torna ad

aumentare con una pendenza teorica di 9 dB per raddoppio di frequenza,quindi superiore a quella che si verifica nel campo di validita della legge dellamassa.

5.4 Formulazione in coordinate discrete

Obiettivo del presente schema e fornire un approccio alle coordinate dis-crete per la caratterizzazione acustica di un pannello omogeneo. Prima di cal-colare una formulazione in coordinate discrete i coe�cienti per la descrizione


delle proprieta acustiche del pannello, si riprendono brevemente i concetti allabase dell’analisi della risposta strutturale.

5.4.1 Riepilogo della risposta strutturale in vacuo

Si consideri un generico operatore strutturale piano rappresentato in NGcoordinate discrete, ognuna delle quali rappresenta lo spostamento w(x, y)fuori dal piano in quella posizione del pannello. Si trascurano gli spostamentiu(x, y) e v(x, y) nel piano del pannello.

Figura 5.8: pannello discretizzato in NG = 40x20 coordinate adimensionali.

L’equazione del moto nel caso di sistema non smorzato e:

[M ]{q(t)}+ [K]{q(t)} = {f(t)} (5.31)

dove [M ] e la matrice di massa, [K] la matrice di rigidezza, {q(t)} il vettoredelle coordinate generalizzate e {f(t)} il vettore della forzante agente. Se siassumono una soluzione ed una forzante armonica del tipo

{q(t)} = {w(!)}e�j!t (5.32)

{f(t)} = {F (!)}e�j!t (5.33)

il sistema puo essere riscritto come segue:

[M ]{q(t)}+ [K]{q(t)} = {f(t)} )h

[K]� !2[M ]i

{w(!)} = {F (!)} (5.34)


Se presente, lo smorzamento puo essere introdotto direttamente negli oper-atori modali, o semplicemente considerando la presenza di una matrice vis-

cosa �j![B]{w(!)} oppure introducendo una matrice di rigidezza complessa⇥

1 + j⌘(!)⇤

[K]{w(!)}.Una volta caratterizzato il sistema descritto dalla (5.31) in modi e fre-

quenze proprie, e possibile passare in coordinate modali {✓(!)} mediante lamatrice modale [�], ovvero

{w(!)} = [�]{✓(!)}, (5.35)

ottenendo un set di equazioni disaccoppiate del tipo:

mi¨✓i(!) + ki✓i(!) = fi(!), con i 2 {1, 2, . . . , NM}, NM NG. (5.36)

Nella (5.36), mi e la massa generalizzata, ki la rigidezza generalizzata e fi laforza modale generalizzata, espressa dalla relazione:

fi(!) =�

�<i> T {F (!)}. (5.37)

La risposta del pannello espressa mediante gli autovettori e:

{w(!)} = [�][H(!)][�]T {F (!)}, (5.38)

dove [H] e la matrice di trasferimento; essa e diagonale, e i suoi termini sonoespressi da:

Hi(!) =1

�mi!2 + ki. (5.39)

Nel caso di sistema smorzato, e possibile tener conto del fattore di smorza-mento ⌘ modificando la matrice di trasferimento. Ad esempio, assumendo unmodello di smorzamento proporzionale (alla massa e alla rigidezza) i terminidi [H] risultano cosı modificati:

Hi(!) =1

�mi!2 + ki + j⌘i(!)ki. (5.40)

L’area equivalente nodale

L’analisi della risposta strutturale e acustica di un pannello soggetto adun carico di pressione mediante un approccio alle coordinate discrete richiedela necessita di discretizzare anche il carico di pressione stesso. Pertanto, siintroduce il concetto di area equivalente nodale per poter passare da un caricodi pressione distribuito sull’intero pannello ad una forzante avente espressione

fi(!) =�

�<i> T {F (!)}. La forza {F (!)} si esprime come:

{F (!)} = [A]{p(!)} (5.41)

dove {p(!)} e il carico di pressione agente e [A] e la matrice delle areeequivalenti nodali.


A =

2

6

6

6

4

A1

0 . . . 00 A

2

. . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ANG

3

7

7

7

5

(5.42)

La matrice [A] permette di assegnare ad ogni nodo i-esimo un’area equivalentenodale, pari a (nel caso di mesh omogenea):

Ai =a· b

(Nx � 1)(Ny � 1)(5.43)

dove a e b sono le dimensioni del pannello rispettivamente lungo le direzionix e y; analogamente, Nx e Ny sono il numero di nodi presenti sui due lati(Nx·Ny = NG).

5.4.2 Potenza radiata da un pannello in coordinate discrete

Nel paragrafo 5.1, sono calcolate le formulazioni analitiche dei parametriacustici di nostro interesse. In particolare, andiamo parimenti a fornire un’e-spressione alle coordinate discrete per ognuno di essi. Per quanto riguarda lapotenza radiata da un pannello piano, dalla (5.9) e intuitivo verificare che lasua espressione in coordinate discrete e pari a:

⇧rad(!) =!4⇢

0

4⇡c0

{w(!)}H [A][R(!)][A]{w(!)}, (5.44)

dove il pedice H indica la matrice hermitiana. Nella (5.44) si e introdotta lamatrice di resistenza di radiazione [R(!)] definita come segue:

[R(!)] =

2

6

6

6

6

6

4

1 sin(k|r1,2|)k|r1,2| . . . sin(k|r1,NG|)

k|r1,NG|sin(k|r1,2|)

k|r1,2| 1 . . . . . ....

.... . .

...sin(k|r1,NG|)

k|r1,NG| . . . . . . 1

3

7

7

7

7

7

5

, (5.45)

in cui ri,j e la distanza tra i due punti i,j. Usando le coordinate modali, epossibile esprimere il vettore degli spostamenti normali {w(!)} come:

{w(!)} = [�][H(!)][�]T {F (!)}. (5.46)

Sostituendo la (5.46) nella (5.44) si ottiene:

⇧rad(!) =!4⇢

0

4⇡c0

�

[�][H(!)][�]T {F (!)} H

[A][R(!)][A]�

[�][H(!)][�]T {F (!)}

.

(5.47)Scrivendo il prodotto centrale della (5.47) come


[⇤(!)] = [A][R(!)][A] (5.48)

e considerando che, essendo [H(!)] una matrice diagonale, [H(!)]H = [H(!)]⇤

(dove ⇤ indica il complesso coniugato), allora la (5.47) puo essere ulteriormentesemplificata:

⇧rad(!) =!4⇢

0

4⇡c0

�

{F (!)H [�][H(!)]⇤[�]T

[⇤(!)]�

[�][H(!)][�]T {F (!)}

.

(5.49)In conclusione, definendo la matrice di resistenza di radiazione modale

[Rrad(!)] =!4⇢

0

4⇡c0

[�]T [⇤(!)][�], (5.50)

l’espressione finale in coordinate discrete della potenza radiata e data da:

⇧rad(!) = {F (!)H [�][H(!)]⇤[Rrad(!)][H(!)][�]T {F (!)}. (5.51)

5.4.3 Potenza incidente su un pannello in coordinate discrete

La formulazione in coordinate discrete della (5.1) e:

⇧inc(!) =1

2Re

�

{p(!)H [A]{v(!)}

, (5.52)

per cui, una volta nota la pressione agente e la matrice delle aree equivalentinodali, ed essendo {v(!)} = j!{w(!)}, e possibile scrivere

⇧inc(!) =1

2Re

�

j!{F (!)H{w(!)}

. (5.53)

5.4.4 E�cienza di radiazione in coordinate discrete

A partire dalla (5.12), ovvero dalla definizione dell’e�cienza di radiazionecome rapporto tra la potenza radiata da un pannello piano e quella radiatada un pistone infinitamente rigido, e possibile scrivere l’equivalente relazionein coordinate discrete:

�(!) =!4⇢0

4⇡c0{w(!)}H [⇤(!)]{w(!)}

!2⇢0c02

{w(!)}H [A]{w(!)}=

!2

2⇡c20

{w(!)}H [⇤(!)]{w(!)}{w(!)}H [A]{w(!)} . (5.54)

Utilizzando le coordinate modali come descritto dalla 5.46, la (5.54) diventa:

�(!) =k(!)2

2⇡

h

{F (!)H [�][H(!)]⇤[�]Ti

[⇤(!)]h

[�][H(!)][�]T {F (!)i

h

{F (!)H [�][H(!)]⇤[�]Ti

[A]h

[�][H(!)][�]T {F (!)i . (5.55)


(a) ⌘ = 0.04 (b) ⌘ = 0.08

(c) ⌘ = 0.1 (d) ⌘ = 0.2

Figura 5.9: e�cienza di radiazione del pannello �(f) al variare della frequenzaper diversi valori dello smorzamento.

In Figura 5.9 e riportato l’andamento dell’e�cienza di radiazione del pannellodescritto in Tabella 5.1 per diversi valori dello smorzamento. La mesh uti-lizzata e quella illustrata in Figura 5.8. I grafici sono ottenuti considerandoun’onda piana normale (✓ = 0).

Dai grafici e possibile osservare che il pannello diventa un radiatore perfettoin corrispondenza della frequenza critica fc (riportata in tratteggio), qualsiasisia il valore dello smorzamento.


5.4.5 E�cienza di radiazione modale auto e mutua

In accordo con Wallace, Li e Gibeling, l’espressione (5.56) permette dicalcolare l’e�cienza di radiazione modale di una coppia di modi generica (i, j).In particolare, si presta al calcolo numerico sia delle self radiation e�ciences

(nel caso i = j) che delle cross mutual radiation e�ciences (se i 6= j).

�(!)i,j =k(!)2

2⇡

{�}<i>H

[A][R(!)][A]{�}<j>

{�}<i>H [A]{�}<j>(5.56)

Nella Figura 5.10 e riportato il confronto tra le curve dell’andamento dell’-e�cienza di radiazione calcolate secondo il modello analitico di Wallace (vediFigura 5.2) e i punti ottenuti mediante l’approccio discreto. Si considera ilpannello di Tabella 5.1 senza alcun tipo di smorzamento. La mesh utilizzatae quella illustrata in Figura 5.8. In questo caso, in analogia con Wallace, siconsidera un campo sonoro perfettamente di↵uso.

(a) Modo (1,1) (b) Modo (2,1)

(c) Modo (1,2) (d) Modo (2,2)

Figura 5.10: confronto tra l’e�cienza di radiazione modale calcolata analiti-camente (—) e quella mediante approccio discreto (⇤) per diversi modi alvariare della frequenza.


In Figura 5.11 sono riportati i coe�cienti di accoppiamento per diversecoppie modali, ed in particolare si nota che:

• ad elevate frequenze, tendono asintoticamente a zero, per cui e lecitotrascurarli e considerare solo i coe�cienti di auto-induzione;

• possono essere negativi, ovvero il modo acquista energia dal fluido.

Figura 5.11: e�cienze di radiazione auto e mutua per il primo modo delpannello in funzione della frequenza.

5.4.6 Coe�ciente di trasmissione e Trasmission Loss in coordinatediscrete

La formulazione del TL in coordinate discrete passa evidentemente at-traverso la formulazione del coe�ciente di trasmissione, che come detto e paria:

⌧ =⇧rad

⇧inc. (5.57)

Date le (5.46),(5.49) e (5.53), l’espressione del coe�ciente di trasmissionediventa:


⌧ =!4⇢0

4⇡c0

�

{F (!)H [�][H(!)]⇤[�]T

[⇤(!)]�

[�][H(!)][�]T {F (!)}

1

2

Re�

j!{F (!)H [�][H(!)][�]T {F (!)} , (5.58)

da cui si calcola il trasmission loss applicando la (5.22).In Figura 5.12 sono illustrati gli andamenti del TL con la frequenza per

diversi valori dello smorzamento per il pannello sinora analizzato. Inoltre, suogni singolo grafico e riportato l’andamento della legge (5.24) e sono evidenzi-ate anche tutte le frequenze proprie del pannello. Il modello di pressione inci-dente utilizzato e quello descritto dalla (5.3), con ✓ = 0 (onda piana normale).Dalla Figura 5.12 si vede chiaramente come un aumento dello smorzamentoriduca nettamente le oscillazioni del TL, soprattutto nelle zone di risonanzae di coincidenza. Si noti inoltre come la legge di massa descriva con buonaapprossimazione l’andamento del potere fonoisolante nella zona centrale delgrafico.







Acusto-Elastici.


Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342

Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excitedby the turbulent boundary layer

E. Ciappia, F. Magionesia, S. De Rosab,!, F. Francob

aINSEAN-Istituto Nazionale per Studi ed Esperienze di Architettura Navale, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italybælab-Acoustics and Vibration Laboratory, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Universita degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’,

Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italy

Received 4 October 2007; accepted 11 April 2008Available online 11 October 2008

Abstract

Recent studies have demonstrated that the characterisation of wall-pressure fluctuations for surface ships is of greatinterest not only for military applications but also for civil marine vehicles. A ship model towed in a towing tank is usedto perform pressure and structural measurements at high Reynolds numbers. This facility provides ideal flow conditionsbecause background turbulence and noise are almost absent. Free surface effects are naturally included in the analysis,although in the particular section chosen for the present study do not have significant consequences on pressure spectra.Scaling laws for the power spectral density are identified providing the possibility to estimate pressure spectra fordifferent flow conditions and in particular for full-scale applications. The range of validity of some theoretical modelsfor the cross-spectral density representation is analysed by direct comparison with experimental data of wall-pressurefluctuations measured in streamwise and spanwise direction. In a second phase, an indirect validation is performed bycomparing the measured vibrational response of an elastic plate inserted in the catamaran hull with that obtainednumerically using, as a forcing function, the modelled pressure load. In general, marine structures are able to acceptenergy mainly from the sub-convective components of the pressure field because the typical bending wavenumber valuesare usually lower than the convective one; thus, a model that gives an accurate description of the phenomenon at lowwavenumbers is needed. In this work, it is shown that the use of the Chase model for the description of the pressure fieldprovides a satisfactory agreement between the numerical and the experimental response of the hull plate. Theseexperimental data, although acquired at model scale, represent a significant test case also for the real ship problem.r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Keywords: Wall-pressure fluctuations; High Reynolds number flow; High-speed vessels; Theoretical models; Vibrational response

1. Introduction

Vibrations of elastic structures excited by the turbulent boundary layer (TBL) are of interest for interior and exteriornoise emission problems in aeronautical, automotive and marine applications. In particular, new requirements in termsof comfort on board high-speed ships for passenger transportation have addressed the attention of the scientificcommunity to the identification and to the characterisation of noise sources including those of hydrodynamic nature.Recent studies performed in the framework of the European RTD project NORMA (Noise Reduction for Marine

ARTICLE IN PRESS

www.elsevier.com/locate/jfs

0889-9746/$ - see front matter r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.jfluidstructs.2008.04.006

!Corresponding author: Tel.: +39081 7683581; fax: +39 081 624609.E-mail address: [email protected] (S. De Rosa).


Applications G3RD-2001-0393) demonstrated that, at least for new concept design fast ships, flow noise sources, e.g.,the TBL, play an important role above 30 knots.The typical way to characterise wall-pressure fluctuations (WPF) is via experimental tests performed in suitable

facilities like wind or water tunnels. In fact, direct numerical simulations (DNS) or large eddy simulations (LES) areoften not applicable in the case of complex geometries and realistic flow conditions (high Reynolds numbers) due to thelimitation of computational resources. DNS of WPF were performed by Choi and Moin (1990), analysing the channelflow problem for ReW ! UW/n ! 287. Furthermore, Chang et al. (1999) analysed the influence of the different TBLvelocity components on the wavenumber pressure spectra in a channel flow for a Reynolds number, based on thechannel half width, equal to 3200. Recently, Lee et al. (2005a) proposed a new methodology to calculate numericallywall-pressure spectra. The method uses the predicted mean flow field obtained from RANS calculations and a spectral

ARTICLE IN PRESS

Nomenclature

a streamwise plate lengthAreai equivalent area in finite element approachb spanwise plate lengthc speed of sound in watercB bending wave speedD flexural stiffness of the plated sensor dimensiond0 nondimensional length: d0 ! d/d*

d+ nondimensional length: d+ ! dut/nFr Froude numberg acceleration of gravityH structural transfer function diagonal matrixH shape factor: H ! d*/Wh thickness of the platei imaginary unitj index for the jth modal componentk acoustic wavenumberkc convective wavenumberkB bending wavenumberLpp length between perpendicularsm, n modal indicesme experimental added mass functionmn numerical added mass functionN shape function vector in finite element

approachNG number of grid of the finite element meshNM number of mode shapesReW Reynolds number, ReW ! UW/nRet Reynolds number, Ret ! dut/nRpp cross-correlation functionSaa plate acceleration response (auto-spectral

density)SW matrix of the cross-spectral densities of the

plate displacementSF matrix of the cross-spectral densities of the

generalised loadSFF matrix of the cross-spectral densities of the

equivalent loadu+ wall unit, u+ ! U/utut friction velocityU free-stream velocity

Uc convection velocityx streamwise reference axisy spanwise reference axisy+ wall unit, y+ ! yut/n

Greek symbols

g1 streamwise decay factorg3 spanwise decay factorG coherence functiond boundary layer thicknessd* displacement thicknessDx extension of each finite element in streamwise

directionDy extension of each finite element in spanwise

directionZ spanwise spatial separationZp plate modal damping coefficientW momentum thicknessy phase functionn kinematic viscosityx streamwise spatial separationrs plate material densityr fluid densityt time delaytw wall shear stressFpp auto-spectral density of the wall-pressure

distribution due to the turbulent boundarylayer

Fpp0 cross-spectral density of the wall-pressuredistribution due to the turbulent boundarylayer

U eigenvector matrixo circular radian frequencyoj natural circular frequency of the jth modeomn dry natural circular frequencies of the plateomn wet natural circular frequencies of the plate

Matrix and complex operators

* complex conjugate operatorT transposition operator

E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342322


correlation model, and integrates across the TBL. The method was validated both for an equilibrium flow atReW ! 3582 and for a non-equilibrium flow resulting from flow over a backward-facing step. Using the samemethodology, Lee et al. (2005b) characterised wall-pressure spectra for a surface ship model including the effects of hullcurvature and of the free surface. The comparison of the scaled spectra, obtained while varying the axial location, andthe distance from the free surface with spectra, obtained for an equilibrium flow, showed that, in several locations, theformer deviate from the canonical case.On the other hand, there are many experimental works related to WPF, most of them devoted to the identification of

the appropriate scaling laws for the auto-spectral density (ASD) for zero pressure gradient flow. The pressure ASDfrequency range is subdivided according to the boundary layer regions that give contributions to wall-pressure spectrawhere different scaling variables hold. In particular, Farabee and Casarella (1991) identified four frequency ranges intheir data: the low-frequency and the mid-frequency range where outer variables hold, the high-frequency range whereinner variables hold, and an overlap scale-independent region proportional to o"1, whose extent depends on theReynolds number. With respect to this point, Keith et al. (1992) presented the most extensive comparison among manyavailable experimental data obtained in fully developed and developing channel flow, in fully developed pipe flow and inwind tunnel, over a wide range of Reynolds numbers, with the aim of identifying the best choice for the scalingparameters in the different frequency regions. Goody (1999) performed an experimental campaign in a two-dimensionalboundary layer for ReW values ranging from 7800 to 23 400, investigating different combinations of scaling parameters.Finally, a detailed review of the state-of-the-art on this subject can be found in Bull (1996).The spatial characterisation of WPFs was first analysed by Corcos (1963) on the basis of measurements performed by

Willmarth and Wooldridge (1962). Assuming the validity of separation of variables in the streamwise and spanwisedirections, Corcos stated an exponential decay for the cross-spectral density (CSD) as a function of the similarityvariables ox/Uc and oZ/Uc, where Uc is the convection velocity, and x and Z are the streamwise and spanwise spatialseparation, respectively. Several authors have performed comparisons between measured CSD data and Corcos model(Blake, 1986; Bull, 1967); in particular, Farabee and Casarella (1991) from the analysis of their experimental dataprovided, at least in a certain nondimensional frequency range, a confirmation of this pressure behaviour for a wideseries of spatial separations in streamwise direction and for different flow velocities or local Reynolds number values.The success of the Corcos model lies in its simplicity and in its predictive character since the model parameters aresubstantially case-independent. Nevertheless, it is generally stated that Corcos model gives a correct representation ofthe WPF behaviour in the convective domain, i.e. when the wavenumbers are close to the convective wavenumberkc ! o/Uc. On the contrary, in the sub-convective domain the white Corcos spectrum largely overpredicts the realamplitude. Since for several applications and in particular in the case of underwater and surface marine vehicles, theconvective wavenumber is greater than the bending wavenumber kB ! o/cB, it is of primary importance to evaluatecorrectly the sub-convective domain of pressure spectra that corresponds to the high-sensitivity region for the structure.Several new models, some directly derived by the Corcos one (Efimtsov, 1982; Ffowcs Williams, 1982), others

overcoming the Corcos multiplicative approach such as those by Chase (1980) and Smol’yakov and Tkachenko (1991),were developed to improve the estimation of pressure spectra in this region. A comparison between the predictions ofthe radiated acoustic power by rectangular plates was carried out numerically by Graham (1997); it was performed fordifferent test conditions and applying the above models. It was there concluded that the use of sophisticated modelssuch as the Chase one is needed only for structures that do not exhibit coincidence, but that for aircraft the best model isthe one which provides an accurate description of the convective peak, thus suggesting the use of the Efimtsov model.Nonetheless, no experimental evidence supporting these conclusions was reported in Graham’s work. However, thespatial domain comparison between pressure experimental spectra and theoretical models cannot definitively indicatethe best in describing the different wavenumber regions. It is usually possible to find a set of parameters for each modelable to provide a good data fit. It is clear that most of the energy of WPF is concentrated around the convective peakand then any correlation data is mainly the representation of the convective character of the TBL. Unfortunately, onlyfew experimental data concerning direct measurements of the wavenumber-frequency spectrum are available(Abraham, 1998; Choi and Moin, 1990; Panton and Robert, 1994; Farabee and Geib, 1991; Manoha, 1996) and,among them, a big spread of the spectra magnitude at low wavenumbers is present as reported for example by Hwangand Maidanik (1990).In order to overcome the limitations of flow measurements, an indirect approach to estimate the validity of different

models for WPF representation, based on the analysis of the response of simple elastic structures to the TBL load, isproposed here. The same idea was recently applied by Finnveden et al. (2005), who compared the measured response ofa flat plate with those obtained numerically using modelled pressure loads. This work presented the first and, to theauthors’ best knowledge, the only correlation between aerodynamic and structural data measured in the same facilityand with the same set-up. They suggested a modified version of the Corcos model by introducing a frequency and flowspeed dependence on the parameters and of the Chase model by introducing two new parameters to better fit the

ARTICLE IN PRESSE. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342 323


spanwise coherence to measurements. Despite the modifications made, the conclusion was that, above the aerodynamiccoincidence (kc ! kB), only the Chase model, that does not make use of the multiplicative approach, provides a fairagreement with experimental data. In this work, the lower kB/kc ratio was 0.4 and the average difference between themodified Chase model predictions and the experimental data was 5 dB. Furthermore, Hambric et al. (2004), althoughretaining the multiplicative approach, proposed a modification of Corcos streamwise coherence to better represent thelow wavenumber domain. The model was compared with the experimental response of an elastic plate measured by Hanet al. (1999). The ratio between the structural wavenumber in flow direction and the convective wavenumber wasbetween 0.3 and 0.8 and the agreement with the experimental data was quite good. On the other hand, Han et al. (1999)chose Smol’yakov and Tkachenko to model the surface pressure field. The comparison with measurements wasperformed using the energy flow analysis method to predict the numerical plate response thus, direct information aboutthe validity of the pressure model are difficult to extract from their data.The aim of this work is to develop a general procedure based on the identification of the scaling laws and on the use of

predictive models for the surface pressure field suitable for application to full-scale problems. In particular, the capabilities ofCorcos and Chase models to predict the response of an elastic plate inserted in the hull of a ship model were investigated onthe basis of hydrodynamic and vibration data acquired, at high Reynolds numbers, in a towing tank. In a first step, pressuredata were analysed to provide their spectral characteristics. This analysis is fundamental to identify the scaling laws for theASD and the free parameters contained in the CSD wall-pressure fluctuation models. The high Reynolds number achievedwith this set-up provides an interesting extension to the previous analyses. In a second phase, a comparison between thenumerical response of the plate obtained using the two models and the experimental response is provided. Since in thepresent problem the convection velocity is very low, the ratio between the bending and the convective wavenumber issensibly lower than those previously analysed in the technical literature. This fact is fundamental for real size marineapplications for which hydrodynamic coincidence appears, even for high-speed vehicles, at very low frequency.This first section is aimed to frame the work in the proper existing literature. Section 2 presents the experimental set-

up and all the data concerning the acquisition instrumentation. The treatment of the pressure data is the specificargument of Section 3. Section 4 is fully devoted to the analysis of the structural response and the final comparisonbetween predictive and measured data. Section 5 presents the concluding remarks with some foreseen activities. For thesake of completeness, a graphic workflow has been also added in Chart 1.

2. Experimental set-up

2.1. Pressure measurements

The experiments were performed on a 1:15 scale model of the fast catamaran Jumbo CAT (Fig. 1). The scale of themodel was chosen according to Froude similarity: Fr ! U=

!!!!!!!!!!gLpp

pwhere Lpp is the length between perpendiculars, i.e.

ARTICLE IN PRESS

Chart 1. Logical workflow.



the length of the vessel along the waterline between the forward and aft perpendiculars, as depicted in Fig. 1. Themaximum model width is 1.467m, Lpp is 4.635m and its draft in calm water conditions is 0.2m.The experiments were carried out in the INSEAN towing tank no. 2 which is 220m long, 9m wide and 3.5m deep

and is equipped with a carriage that can reach a maximum speed of 8m/s. The use of this kind of facility creates idealflow conditions because background turbulence and noise are avoided. The measuring section was chosen in the sternpart of the ship bottom where the hull surface is almost flat. To perform pressure measurements a 2 cm thick rigidplexiglas plate was inserted in the hull bottom where pressure transducers were positioned.The basic set-up is presented in Fig. 2 and consisted in an array of nine transducers in streamwise direction and five

transducers in the spanwise direction flush-mounted with the plate at constant distance of 1 cm between each other.Additional tests were performed with 13 transducers mounted in streamwise direction within a maximum distance of40 cm. Thus, the first pressure sensor was located at x/Lpp ! 0.88 while the last at x/Lpp ! 0.97. The minimum distancebetween transducers was constrained by the transducers’ maximum external size while the maximum distance waschosen according to the fact that for x/d*420 the longitudinal correlation is almost zero as demonstrated by previousmeasurements (Bull, 1967; Blake, 1986). Pressure signals were acquired in calm water conditions with fixed trim andsink and for two different ship model velocities: 3.31m/s (25 knots) and 5.3m/s (40 knots) corresponding to Fr ! 0.49and 0.78, respectively. The measurement error in the carriage velocity was within 1% of the nominal mean velocity.Differential piezoresistive pressure transducers Endevco 8510-B, characterised by a maximum range of 2 psig and by

a certified flat response until 14 kHz were used to measure pressure fluctuations. The transducers were staticallycalibrated in water using known water level heights. All the transducers showed a linear trend; however, the deviationaround the regression line of the data points used for the sensitivity estimate was evaluated. The standard error ofestimate was very low for all the transducers, of the order of 1%. Moreover, the total error due to thermal sensitivity,nonlinearity and pressure hysteresis, as reported in the data sheet, is around 1%. The rectangular sensing element hasan area of 1" 0.3mm2, hence the effect of the finite size of the transducers surface can be expressed in term of thenondimensional parameters d0 ! d/d* and d+ ! dut/n, where d is the bigger sensor dimension.Pressure signals were acquired and amplified by the 16 channels acquisition system PROSIG; the sampling frequency

was 12.5 kHz, the acquisition length was 15 s. Several repetitions of the test (typically 12–15) under nominally the sameconditions were performed. The data record began a few seconds after the achievement of steady conditions. The

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Fig. 1. Catamaran model and sketch of the reference length, Lpp.

Fig. 2. Set-up for pressure measurements (left) and top view of the installation of the plexiglas plate (right).

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reaching of a stationary random process was verified by comparing the ensemble average value, autocorrelation andcross-correlation of the WPFs of different runs.Concerning the flow velocity field, the TBL mean parameters (as used in the data analysis and shown in Table 1) were

obtained by available RANS simulations performed in the past over the whole model. This solution was, in this case,preferred because the experimental evaluation of the boundary layer velocity profiles in a towing tank, althoughpossible, is a time-consuming process. In fact, it is clear that the acquisition time is limited for each carriage run,especially for the higher velocities, and that the time needed for the re-establishment of calm water conditions betweentwo consecutive runs is at least 10min. A detailed description of the numerical code is provided in Ciappi andMagionesi (2005) and in the references cited there. The numerical errors can be predictable in an uncertainty of about4% in the estimation of the TBL parameters from the velocity profiles.

2.2. Vibration measurements

Vibration measurements were performed replacing the rigid plate with a flexible one. The panel, made of plexiglas, is0.58m long, 0.2m wide and 0.003m thick, it was fixed to the hull model with some mastic in order to provideimpermeable conditions and to reduce the transmission of model vibrations.A preliminary series of numerical analyses have been performed to exclude the presence of significant plate

deformations due to static and dynamic pressure loads. In fact, for all the flow speeds under consideration, themaximum displacement was predicted to be 1% of the longitudinal plate dimension.The acceleration responses were acquired in eight different points (one for each carriage run) randomly chosen on the

plate surface. A Bruel & Kjaer piezoelectric accelerometer type 4393 characterised by a sensitivity of 4.19mV/g and aweight of 2.2 g was used for the acquisition. Its mass was negligible with respect to the plate mass in the frequency rangeof interest. The accelerometer signal was amplified by a Bruel & Kjaer amplifier type 2635 and acquired with a samplingfrequency of 12.5 kHz by a National Instruments PXI 6052E acquisition system. Preliminary dry and wet calm watertests were performed with the same set-up and instrumentation to evaluate the plate’s natural frequencies, hence theadded fluid mass and the modal damping factors. Two additional accelerometers were mounted on the ship’s hull andon the connecting system to acquire the spurious vibrations transmitted by the carriage structure.

3. Pressure analysis

In the following sections, the results of the experimental programme devoted to the characterisation of wall-pressurespectra are presented. The purpose of this analysis was to verify the pressure scaling laws and to provide a generalmodel for its spatial behaviour. To this aim, ASDs, streamwise and spanwise coherences and convection velocities wereextracted from measurements. Although free surface effects were naturally present, pressure gradient values calculatedon the basis of numerical simulations can be considered negligible in the measuring section. In Fig. 3, the velocityprofiles obtained numerically, used to extract the mean TBL parameter values of Table 1, are shown in wall units y+,u+. From preliminary analysis it was decided to consider only the Corcos and Chase models as antagonists in thisanalysis. In fact, the Efimtsov model has the same trend as Corcos’ in the low wavenumber domain but, this last is to bepreferred because describes the wall pressure by a simpler expression containing less empirical parameters. The FfowcsWilliams model was built to extend Corcos model to the acoustic domain, which is beyond the purpose of this analysis;finally, the Smol’yakov and Tkachenko model does not fit well the present hydrodynamic data.

3.1. Power spectral density: scaling laws

The analysis of the scaling laws for the ASD is essential to understand the contribution of the different boundarylayer regions to WPFs. Moreover, due to the particular section chosen to perform pressure measurements and the

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Table 1Mean flow velocity parameters: numerical estimation

U (knots) U (m/s) d (m) d* (m) H ut (m/s) ReW ! UW/n Ret ! dut/n d0 ! d/d* d+ ! dut/n

25 3.31 0.12 0.0142 1.27 0.11 29 535 10 153 0.07 8440 5.31 0.113 0.0137 1.3 0.1626 42 807 14 133 0.073 125



relatively high speed of this vessel, local Reynolds numbers were sensibly high (ReW ! 29 535 for 3.31m/s andReW ! 42 807 for 5.31m/s), providing an interesting extension of the validity of the scaling laws for high Reynoldsnumber. Following the frequency range division proposed by Farabee and Casarella (1991), three different spectralregions can be identified: at very low frequency, the spectra collapse using the classical outer flow variables d* and U,showing a o2 behaviour, advising that sources are associated with the large-scale structures. In the low-mid-frequencyrange, the pressure auto spectral densities collapse into a single curve when scaled with the friction velocity ut, the wallshear stress tw and d, implying that the mid-frequency structures are related with turbulence activity in the outer regionof the boundary layer. In this interval, pressure spectra exhibit their maxima for od/ut ! 50. Finally, at high-frequencyinner variable scale, which employs ut, tw and n, allows the collapse of the data independently of the Reynolds number,suggesting that sources are associated with the buffer region of the wall layer. Moreover, between mid- and high-frequency an overlap region, characterised by an o"1 decay, exists where both outer and inner variable scales hold. Thisregion is related to the turbulence activity in the logarithmic part of the boundary layer and its extension depends on theReynolds number value. Recently, Ciappi and Magionesi (2005), considering the frequency division stated by Farabeeand Casarella provided another confirmation of the proposed scaling laws. ASDs were determined using 700 spectralaverages for each signal and a Hamming window function is used to reduce bandwidth leakage. According to classicaltheory of random data (Bendat and Piersol, 1991), the statistical convergence error was defined as !r ! 1=

!!!!!ndp

, where nd

is the number of spectral averages. In the present analysis, the data random error was equal to 73.8%; thus, theuncertainty in the calculated pressure spectra, obtained by considering the above and all the previously definedexperimental sources of error (see Section 2), was within the range of 71 dB.In Fig. 4, a typical ASD signal is displayed showing high peaks in the frequency region between 8 and 20Hz due to

structural vibrations of the carriage and of the connecting system. The peaks were eliminated, for the ASD analysis,using suitable relations based on the coherence function (Bendat and Piersol, 1991) between two pressure sensorslocated sufficiently far from each other to be correlated only by structural vibrations. The result of this cleaningprocedure is shown in the same figure. Fig. 5 shows the cleaned ASD for the two different test velocities, scaled usingouter flow variables: od=ut; Fpp#o$u2t=t

2wd; they are shown and compared with the results of Farabee and Casarella

(1991) obtained for ReW ! 6050 and with the results of Blake (1970) [extracted from Lee et al. (2005a)] obtained forReW ! 8210. From the inspection of the figure, it is evident that there is an excellent agreement of the presentexperimental curves in the low-mid-frequency range, i.e. for 20ood/uto1760. Moreover, for od/uto800, they are in avery good agreement with the Farabee and Casarella curve and in fair agreement with the Blake data. Finally, thescaled spectra achieved the maximum value for od/utE63. Low-frequency behaviour (od/uto5) is not analysed, sincefrequency resolution is too poor to obtain a realistic trend in this region. Fig. 6 shows the present wall-pressure spectraand the results of Bull and Thomas (1976), Farabee and Casarella (1991) and Blake (1970) scaled on inner flow

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Fig. 3. Streamwise velocity profiles: numerical estimation.



variables: on=u2t ; Fpp!o"u2t=t2wn. According to Blake (1986), attenuation in the spectra should occur approximately for

od/U41.2 that implies on=u2t40:3 or 0:42, depending on flow velocity. A collapse of the two sets of measurementsoccurs at high frequency, i.e. for 0:033oon=u2to0:3. The Bull and Thomas and Blake data are in excellent agreement inthe same frequency range, although the Blake curve is higher for higher nondimensional frequencies. On the contrary,the Farabee and Casarella curve shows quite a different trend, characterised by slower high-frequency decay.Differences can be due to spectra attenuation caused by the finite sensor dimensions and, when considering similar d+

values, to the use of different pressure transducers. In particular, the Farabee and Casarella and Blake data wereobtained using open pinhole microphones with d+ # 33 and 68, respectively, while the Bull and Thomas data wereobtained using both filled pinhole microphones and piezoelectric transducers for d+ # 44. For the present data,

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Fig. 5. Wall-pressure spectra scaled on outer flow variables.

Fig. 4. Measured and cleaned pressure auto-spectral density.



obtained with piezoresistive pressure transducers, d+ was equal to 84 for the lower velocity and to 125 for the higher.Bull and Thomas (1976) showed that the use of an open pinhole microphone leads to a higher amplitude of pressurespectra for on=u2t40:1. This fact can explain the mismatch between different sets of measurements. Finally, due to thehigh Reynolds numbers, the overlap region had a considerable extension. From the analysis of the range of validity ofthe outer and inner scales or from the direct inspection of the range of validity of the o!1 law, included in both Figs. 5and 6, it can be concluded that the overlap region extends in the range 0:033 Ret " 335o#od=ut$o1760 or0:033o#on=u2t$o#1760=Ret$ " 0:174 where the lowest value of Ret was used.

3.2. Cross-spectral density

The spatial characterisation of WPFs is now analysed extracting from the experimental data the streamwiseFpp0 #x; 0;o$ and the spanwise Fpp0 #0; Z;o$ CSDs. Since the CSD is a complex quantity, as usual, the coherence function

G#x; Z;o$ " jFpp0 #x; Z;o$j. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

F#1$pp #o$ % F#2$pp #o$q

, where in the square root appear the ASDs of the two pressure signals, is

used to display the results and to discuss their comparison with the Corcos and Chase theoretical models. Coherencespectra were obtained for quite a large number of streamwise spacings (0:09px=dp1:44), while only few spanwiseseparations were considered #0:09pZ=dp0:36$, as the coherence decay of the pressure field is very fast in this direction.

3.2.1. The Corcos modelThe model formulated by Corcos expresses the CSD as a product of functions in longitudinal and lateral direction

separately. Moreover, he postulated that the CSD behaviour depends only on the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc

with a decay represented by an exponential function. The model for the CSD is given by

Fpp0 #o; x; Z$ " Fpp#o$ ei#ox=Uc$ e!g1 jox=Uc j e!g3joZ=Uc j, (1)

where g1 and g3 are the decay factors.The streamwise coherences relative to the free-stream velocity of 5.3m/s are plotted against the CSD phase y(x,

o) " !ox/Uc in Fig. 7; different curves refer to different values of the nondimensional length x/d. It is evident that athigh frequency a collapse of the coherence spectra into an universal curve occurs independently of the spatialseparation. The theoretical streamwise coherence G#x;o$ " e#!g1 jox=Ucj$ derived from Eq. (1) is plotted in the same figurewith a decay coefficient g1 equal to 0.125. Slightly different values are reported in the literature: Bull (1967) foundg1 " 0.1, Farabee and Casarella (1991) found a decrease in the g1 value with increasing velocity passing from 0.145 forthe lower one to 0.125 for the higher one. On the other hand, in the low-frequency region, a lack of similarity scaling

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Fig. 6. Wall-pressure spectra scaled on inner flow variables.



occurs because as far as ox/Uc-0 the coherences do not tend to unity as Corcos model predicts. Unit coherence wouldimply that the low-frequency components should be correlated for all spatial separations: this is physically unrealistic.From the observation of the figure it can also be noted that all curves exhibit a maximum that is indicated by Farabeeand Casarella (1991) as the limit value below which the similarity variables do not hold anymore. The sameconsiderations can be drawn for 3.3m/s; in particular, the best fit of the experimental data is found for the samevalue of g1.Less experimental data concerning spanwise coherence are available in the literature: the value usually suggested for

the decay coefficient g3 is 0.7 (Corcos, 1963; Blake, 1986; Bull, 1967). Fig. 8 shows curves of spanwise coherence relative

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Fig. 7. Streamwise coherence at U ! 5.3m/s.

Fig. 8. Spanwise coherence at U ! 3.3m/s.



to the lower velocity for various nondimensional separations Z/d as a function of the similarity variable oZ/Uc. Thethick solid line represents the Corcos model with g3 equal to 0.7. The exponential function seems to correctly estimatethe measured coherences, above their maxima, for value of the nondimensional frequency oZ/Uc40.8. Also in this case,velocity variations seem not to have an influence on the decay coefficient value.

3.2.2. The Chase modelA descriptive model of the wavenumber-frequency spectrum of turbulent wall-pressure was proposed by Chase

(1980) with the intention of overcoming the limitations of models built to capture the characteristics of the convectivedomain only. Starting from the properties of the fluctuating velocity spectrum and considering its relation with thefluctuating pressure, Chase proposed a model able to correctly describe the pressure field in the convective and sub-convective domains. The inverse Fourier transform of the Chase (1980) expression is here proposed in its complete formas determined by Josserand and Lauchle (1989) because, as it will be clear in the following, the assumptions at the basisof some simplifications made by Chase are not necessarily fulfilled. Thus, the complete Chase model in the space-frequency domain is given by

Fpp0 !o; x; Z" # Fpp!o"!Cmf m e$zm e$i!ox=Um" % Ctf t e$zt ei!ox=U t"",

f m #Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2

mu2t

q a$3m 1% zm % a2mm2m

1$ z2m1

zm% 2iammmzm1

" #,

f t #Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2t u2t

q a$3t 1% zt % a2t 1% m2t $z2t3 % m2t z2t1

zt

" #% 2iatmtzt1

" #,

zm1 #ammmox

Um; zt1 #

atmtoxUt

; zm3 #amoZUm

; zt3 #atoZUt

; zm #!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!z2m1 % z2m3

q,

zt #!!!!!!!!!!!!!!!!!z2t1 % z2t3

q,

Cm #rm

rtf t0 % rmf m0

; Ct #rt

rtf t0 % rmf m0

; rm # 1$ rt,

f m0 #Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2mu2t

q a$3m !1% a2mm2m"; f t0 #

Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2t u2t

q a$3t !1% a2t !1% m2t "", (2)

Fpp!o" # rma%r2u4to$1a$3m

Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2mu2t

q !1% m2ma2m" % rta%r2u4to

$1 Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2t u2t

q a$3t !1% a2t !1% m2t "",

hi #Ucmi

ut

!!!!!!!!!!!!!1$ m2i

q ; Ui #Uc

1$ m2i; a2i #

1

1$ m2i

$ %%

Ui

bmdo

" #2

; i # m; t.

It can be noted that six free parameters have to be determined by comparison with experimental data. The valuessuggested by Chase, based on the comparison between the experimental data of Bull (1967) and limiting values ofEq. (2), are the following: bm # 0.756, bt # 0.378, mm # 0.176, rt # 0.389, and a+ # 0.766. As pointed out by Chase,these values are not supposed to be universal, as already shown for example by the measurements of Finnveden et al.(2005). In fact, the attempt to fit the experimental data with the Chase model using these values for the free parametersgave unsatisfactory results. Thus, the first five parameters were evaluated using a nonlinear least-square formulationbased on a trust-region approach. The best fit of the experimental streamwise and spanwise coherences for both velocityconditions is found for: bm # 0.51, bt # 0.35, mm # 0.13, mt # 0.4, and rt # 0.3. Fig. 9 presents the comparison amongthe experimental streamwise coherence for U # 5.3m/s, the Chase model, using the identified parameters, and theCorcos model for different values of the ratio x/d. In Fig. 10, the same comparison is shown for the spanwise coherencerelative to U # 3.3m/s. At this time, some considerations must be made: the coefficient bm gives the position of the ASDmaximum that, according to the present measurements occurs for od/utE60; on the other hand, using Chase relations,the maximum is given by o #

!!!2p

Uc=bmd, thus bm # 0.51 is required if Uc # 0.65U is assumed. In fact, the value 0.756suggested by Chase represented an average between the value 0.53 needed to fit the maximum in the Bull spectrum, thusvery close to that already found, and the value 0.9 needed to fit the measured spatial correlation. Preliminarycomparisons between the experimental CSD and the simplified Chase model gave a value for the coefficient mt sensiblyhigher than that suggested by Chase. Thus, it was evident that the hypothesis mm, mt51 at the basis of the simplifications



made by Chase was, in this case, not valid. For this reason, the complete form as in Eq. (2) is used to perform theanalysis. It can be concluded that, except for mt and somewhat for mm, the values of the identified parameters are not sofar to those found by Chase analysing pressure experimental data acquired in completely different flow conditions.Finally, a+ is obtained by a direct comparison with the measured ASD (see Fig. 11) when the other coefficients are

fixed. This parameter determines the amplitude of the ASD spectrum and in particular of its maximum, the bestagreement with experimental data is found for a+ ! 0.8. On the other hand, if the interest is not in the maximum but in

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Fig. 10. Spanwise coherence: comparison with theoretical models.

Fig. 9. Streamwise coherence: comparison with theoretical models.



the higher frequency scale-independent region, the value of a+ should be 1.5. However, to perform the structuralanalysis described in Section 4.3, the measured ASD was used.

3.3. Convection velocity

Some other insights into spectral characteristics of the WPFs can be provided by examining the convection velocityUc. The convection velocity can be obtained from the phase y!x;o" # $ox=Uc!x;o" of the CSD. In Figs. 12 and 13, the

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Fig. 12. Convection velocity at U # 3.31m/s.

Fig. 11. Auto-spectral density: comparison with Chase model.



convection velocities divided by the free-stream velocity U, obtained for fixed spatial separations x/d, are plotted as afunction of the dimensionless frequency od/ut. Different figures refer, as usual, to the two different free-streamvelocities. Farabee and Casarella (1991) have observed a peak value of convection velocity for od/ut ! 50,independently of the x/d values. This peak corresponds exactly to the maximum observed in the spectra and to the valuethat separates the low and the high-frequency behaviour in the coherence function. This fact demonstrated that not onlythe lowest wavenumber components experienced a decay, but that they are also convected at lower overall velocity.In the present case, CSD analysis was performed without using noise cancellation technique to avoid phase alteration.

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Fig. 13. Convection velocity at U ! 5.31m/s.

Fig. 14. Broadband convection velocity.



On the other hand, convection velocity obtained by a division for the CSD phase is very sensitive to small disturbancesleading to unreasonable value of the convection velocity. For this reason, frequencies below 25Hz were cancelled outfrom the graph.By inspection of Figs. 12 and 13, an increase of the convection velocity with the growing of the spatial

separation is observed; this trend of Uc is related to an increasing dominance of large-scale events to the two-pointcorrelation as the separation increases. For small separations, the correlation data and hence the convection velocity aredominated by the small-scale eddies close to the wall, which move with a lower velocity than the large-scale events.However, as far as spatial separation increases, the curves tend to collapse in a unique curve indicating that, even if theTaylor frozen flow hypothesis does not strictly hold for the smallest spatial separations, the convection velocity can berepresented as a function of the single variable od/ut. Moreover, with increasing frequency, the convection velocitiesassume a flat trend.The dependence of the convection velocity on the spatial separation can be better highlighted from the analysis of the

space-time correlation functions of the pressure signals. The convection velocity is obtained as the ratio x/t at whichthe cross-correlation Rpp(x,t) has a maximum. In Fig. 14, the convection velocities normalised with respect to thefree-stream velocity for 3.31 and 5.31m/s are depicted as a function of the nondimensional parameter x/d*. Theexperimental data are also compared with those obtained experimentally by Bull (1967) and numerically by Na andMoin (1996). The values of Uc range from 0.6 for the smaller separations associated with the small-scale structures, to0.73 at higher separations, related to the larger ones. From the above considerations, as proposed by several authors,the convection velocity can be modelled with a constant average value between small- and large-scale convectionvelocities, in this case, equal to 0.65U.

4. Structural response analysis

4.1. Identification of modal parameters

Hammer impact tests were performed to determine dry and wet natural frequencies, and then the added fluid mass,modes and modal damping factors of the plate. The first 16 dry natural frequencies omn, wet natural frequencies omn

and their correspondence with the mode shapes were evaluated in two specific frequency ranges: the dry set in125–769Hz and the wet one in the 26–283Hz. Thus, the experimental function of the added mass, me

f !o", was estimatedby the relation (Blevins, 1987):

mef !o" # rsh

omn

omn

! "2

$ 1

" #

. (3)

Since the pressure load spectra exhibited a significant energy content up to 1 kHz, the modal parameters wereevaluated in a larger frequency range, 0–3 kHz, by using a FE model of the plate. The experimental boundaryconditions were reproduced by imposing zero displacement and adding rotational springs along the plate edges; theirstiffness was tuned in order to replicate the experimentally measured natural frequencies.An approximated numerical/theoretical expression for the added mass, valid for structural waves having

wavenumbers greater than the acoustic wavenumber k # o/c, is provided by the relation (Fahy, 1985)

mnf !o" #

rks

, (4)

where ks #################k2

m % k2n

qis the primary effective wavenumber component of the vibration. Hence, the numerical wet

natural frequencies were computed by the following expression:

omn & omn 1%r

rshks

! "$1=2, (5)

where omn are the numerical dry natural frequencies computed by the aforementioned FE model. The primarywavenumber used in Eq. (5) corresponds to simply supported boundary conditions, i.e. km # mp/a and kn # np/b thislast being the only one analytically known. It is clear that this assumption is valid as far as the frequency increases. InFig. 15, the experimental and the theoretical added mass curves, me

f !o" and mnf !o", respectively, for the first 16 modes,

are displayed showing a difference of about 23% for the first mode that decreases, as expected, with increasing modeorder. Moreover, although natural modes of plates surrounded by unbounded fluids are not mathematicallyorthogonal, their shapes remain almost unchanged (Fahy, 1985). This result was partially verified by the experimental



analysis. In fact, a modal identification was performed using a number of points, sufficient to identify the mode orderand the position of nodes and maxima along some selected lines, but not to represent the whole mode shapes.In conclusion, to calculate the structural response with the numerical procedure described in the following section: (i)

the dry modes provided by the FE analysis are used, (ii) the first 16 wet natural frequencies were obtainedexperimentally, and (iii) the remaining ones were estimated by using the dry natural frequencies provided by the FEanalysis and Eq. (5).The structural modal damping coefficient, Z, was evaluated from wet hammer impact tests: it decreases from 0.034 for

the first modes to a quite constant value around 0.018 for the higher modes.

4.2. Remarks on the prediction of structural response

A procedure based on the finite element approach was presented and discussed in the recent literature to solve theresponse of a plate under a TBL excitation (De Rosa and Franco, 2007). Specifically, the Corcos model was used forcomparing the numerical response with the exact one, and in order to define a general methodology, able to work forany TBL model at acceptable computational costs. For the sake of clarity, some details are herein briefly recalled.The cited finite element procedure is assembled by using the following equation suitable for all the methods working

with discrete coordinates (Elishakoff, 1983); the CSD matrix of displacements of a structural operator represented byusing NG degrees of freedom and NM mode shapes is given by

SW!o" # UH!o"SU!o"H!o"$UT, (6)

with

SU!o" # UT SFF!o"U, (7)

where U is the structural modal matrix (each column is an eigenvector sampled at the NG selected points), [NG%NM]and the generic term of H(o) is Hj!o" # &o2

j ' o( iZo2j )'1, [NM%NM].

The translation of the distributed random loads to the set of NG points, in other words the way of representing theSFF, can be solved in the framework of the finite element method by using consistent approach, that is by using theshape function vector, N, belonging to each element:

SC!E"FF k;q #Z

x!k"1

Z

x!k"2

Z

x!q"1

Z

x!q"2

NTFpp0 !x!k"1 ; x

!k"2 ; x

!q"1 ; x

!q"2 ;o"Ndx!k"1 dx!q"1 dx!k"2 dx!q"2 , (8)

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Fig. 15. Added mass coefficient.



where the double integers k and q indicate here two generic finite elements and the integration is related to the area ofeach of them. The vector N can be interpreted as the interpolating function basis selected by the analyst according to thespecific problem and boundary conditions (Cook, 1981). Thus, Eq. (8) serves to evaluate a generic kqth member of theNE!NE load matrix, where NE is the number of elements. A simplified approach could refer to each grid point ratherthan each finite element. This means that the load acting on the ith grid point will be the resultant of the distributed loadworking on the equivalent nodal area, say Areai, belonging to it. This area vector can be evaluated easily by using astatic deterministic unit pressure load (De Rosa et al., 1994; Hambric et al., 2004). Accordingly, one gets the generic ijthmember of the NG!NG matrix:

SC"G#FF i;j $Z xi%"Dx=2#

xi&"Dx=2#

Z xj%"Dx=2#

xj&"Dx=2#

Z yi%"Dy=2#

yi&"Dy=2#

Z yj%"Dy=2#

yj&"Dy=2#Fpp0 "xi; xj ; yi; yj ;o#dyj dyi dxj dxi. (9)

An area DxDy is assigned to both points P(xi, yi) and Q(xj, yj) and the double space integration refers to these finitedomains. A further approximation could also be introduced, considering that the wall-pressure distribution due to theTBL in the low-frequency range does not fluctuate very quickly. In this case, the last integral could be approximated asfollows:

SL"G#FF i;j $ Fpp0 "xi; xj ; yi; yj ;o#'DxDy(2. (10)

Obviously, the approximations represented by Eqs. (8)–(10) are associated with decreasing computational cost.The problem of the plate response under a convective random load, expressed in discrete form as described by

Eqs. (6) and (7), can be accurately approached only when adequately resolving both the spatial distributions of theresponse function and of the forcing function; in particular, since in this case Uc5cB, the discretisation length, is ruledby the hydrodynamic load.In this work, Eq. (9) was used to calculate the SFF matrix because Eq. (10) was not adequate for the present

simulations. In fact, in the frequency range of interest, Eq. (9) allows the avoidance of the numerical divergence of thestructural response due to the incorrect representation of the pressure load, as approximated by Eq. (10). Some furtherdetails of the numerical simulations are given in the next paragraph. The finite element approach was used to generatethe modal base, while the responses were calculated by a specific Fortran code.

4.3. Experimental analysis and comparisons

The ASDs of the acceleration signals, experimentally measured in eight different points over the plate, werecomputed and the results averaged and compared with the results obtained by the numerical procedure exposed in theprevious section. The numerical results were obtained applying Eqs. (6), (7) and (9) for both the Corcos and Chasemodels.The FE analysis was performed using 61! 21 grid points corresponding to a spatial discretisation of 1 cm in both

directions. The integral in Eq. (9) was calculated using the trapezoidal rule. The hydrodynamic parameters inserted inEq. (9) were those identified in Sections 3.1–3.3; in particular, the experimental ASD was used and the convectionvelocity was assumed constant over the whole frequency range and equal to 0.65U for both ship speeds. After havingperformed the convergence analysis, each integration domain was finally subdivided, for both velocity conditions, ineight intervals when the Corcos model was used and in 24 intervals when the Chase model was used instead. The Corcosnumerical solution of integral in Eq. (9) was compared and validated by an analogous analytical solution (De Rosa andFranco, 2007). In both cases, the number of retained natural modes was 100.The response of the plate was computed for a frequency range between 1 and 1000Hz (the step was 4.5Hz) for the

higher velocity and only between 1 and 600Hz for the lower one, because above this frequency a refined mesh must beused to obtain convergence. In these frequency ranges, the ratio between the bending wavenumber kB $

!!!!!!!!!!!!!rsh=D4

p !!!!op

and the convective wavenumber kc (see Fig. 16) varied between 0.045 and 0.21 for the lowest velocity and between 0.057and 0.35 for the highest velocity.Figs. 17 and 18 present the experimental and numerical averaged ASDs of the plate’s acceleration for 3.3 and 5.3m/s,

respectively.Unsurprisingly, an overestimation of the plate response is evident in the whole frequency range if the Corcos model is

used; on the other hand, the numerical response obtained using the Chase model is undoubtedly in better agreementwith experimental data. However, below 25–30Hz both pressure spectra (although cleaned) and structural response arecontaminated by the carriage vibrations transmitted to the model; thus, any comparison is meaningless. Above thesefrequencies, the agreement is really satisfactory until 420Hz for the lower velocity case and until 650Hz for the higherone. In the high-frequency part, the Chase model tends to slightly underestimate the experimental curve; this fact, more



visible for 3.3m/s, can be partly due to the poor spatial resolution of pressure transducers that attenuate the high-frequency part of the ASD spectrum.Finally, an evident mismatch between the experimental and the numerical curve, generated by the presence of high

peaks in the experimental data, can be observed in Fig. 18 around 800Hz probably due to local flow disturbances. Tobetter quantify the difference between model and experimental results, the previous curves are plotted in Figs. 19 and 20in third-octave bands. It can be seen that the root mean square of the difference between the response obtained applyingthe Chase model and the experimental data is 5.2 dB for the lower velocity and 4.1 for the higher one. The responseobtained by using the Corcos model to represent the surface pressure field, overpredicts in both cases the experimental

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Fig. 16. Bending and convective wavenumber ratio.

Fig. 17. Acceleration response spectra at U ! 3.3m/s.



data resulting in an average difference of 18 dB. The small gap between the numerical predictions obtained by applyingthe Chase model and the experimental plate response that is less or, at least, of the same order of that found byFinnveden et al. (2005) demonstrated the validity of the developed procedure and the capability of the Chase model torepresent the surface pressure field on a ship hull. However, a more careful determination of the added water mass inthe whole frequency range can improve the numerical estimation, as well as a deep uncertainty analysis can betterindicate the confidence interval of the present results.

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Fig. 19. Acceleration response spectra at U ! 3.3m/s, third-octave bands.




In this paper, a complete analysis of the coupled structural-fluid problem concerning the response of an elastic plateinserted in the bottom of a catamaran hull excited by the TBL WPFs, has been carried out.The hydrodynamic analysis, performed on a rigid plate at high Reynolds number and in equilibrium flow conditions

allowed the determination of the appropriate scaling laws for the ASDs in the different frequency ranges. Moreover, theanalysis of the cross-spectral densities in longitudinal and lateral flow directions was used to fit the theoretical models,available for the pressure representation, to the experimental data. Two theoretical models are analysed: the Corcos andChase models. It was demonstrated that it is possible to find for both a complete set of free parameters that provide afair agreement with experimental CSD data.Since spatial resolution was too poor to analyse the CSD behaviour at high frequency and since with this type of

experimental analysis it was not possible to isolate the longest wavelengths, the studied pressure behaviour mainlyconcerned the characteristics of the convective domain. Thus, an indirect comparison based on the vibrational responseof a plate was performed; in particular, the numerical structural responses obtained using the two models werecompared with experimental measurements. The conclusion of this analysis is that, although the Chase model iscomplex and dependent on several empirical parameters, it provides a very good agreement with experimental data atlow wavenumbers. The performed analysis can give interesting information also for the full-scale problem; in fact,considering realistic values of the hydrodynamic and of the structural parameters, coincidence conditions usuallyappear at very low frequency both for underwater and surface marine vehicles.The main disadvantage in using Chase model lies in its non-predictive character. In fact, it was shown that the

original Chase parameters do not fit the experimental data; thus a new set of parameters have been determined and thecomplete version of the model has been used.It is clear that the aim of any numerical procedure is to produce robust predictive tools to be used at the design stage.

Ongoing comparisons between pressure measurements performed on different ship models and for various flowconditions in terms of Reynolds number values are aimed to analyse the range of variability of the parameters and theirdependence on the particular flow conditions.

Acknowledgement

The research was supported by the Ministero dei Trasporti in the frame of ‘‘Programma Ricerche Luglio2006-Dicembre 2007’’.

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ARTICLE IN PRESSE. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342342







Acusto-Elastici.

Analysis of the scaling laws for the turbulence drivenpanel responses

E. Ciappi a,n, F. Magionesi a, S. De Rosa b, F. Franco b

a CNR-INSEAN, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italyb Department of Aerospace Engineering, University of Naples ’’Federico II’’, Napoli, Italy

a r t i c l e i n f o

Article history:Received 3 November 2010Received in revised form27 October 2011Accepted 2 November 2011Available online 5 December 2011

Keywords:Wall pressure fluctuationsPlate responseDimensional analysisScaling laws

a b s t r a c t

The high computational costs, associated to the numerical solution of the fluctuatingpressure field generated at the wall by the turbulent boundary layer and of the inducedstructural response, push for the exploration of alternative methodologies of analysis.Wall pressure fluctuations spectra are often modeled using semi-empirical expressionsbased on the experimental evidence and on the identification of universal scaling laws.In this work the possibility to adopt a dimensionless representation, able to provide auniversal expression for the structural response of plates under turbulent boundarylayer excitations, is investigated with the help of pressure fluctuations and accelerationexperimental data sets. The test article is a plane thin plate wetted by a fluid over oneface, the boundary layer is fully developed and pressure gradient effects are negligible.The attention is devoted to the investigation and the definition of a normalization of therequired axes: the excitation frequency and the power spectral density of the structuralresponse. The analysis is initially based on analytical models for the structural responseunder turbulent boundary layer excitations. The proposed scaling laws are successivelyand successfully applied to four data sets measured in different conditions both in windtunnels and in a towing tank.

& 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction

Turbulent boundary layer (TBL), inducing vibrations of elastic structures, is one of the major noise sources in naval,aerospace, and automotive engineering.

It is well known that the numerical solution of this fluid structure interaction problem can be so computationallydemanding as to be impractical for real application. In fact, direct numerical simulations (DNS) of the Navier–Stokesequations are generally limited to problems in which the local Reynolds number, based on the momentum thickness, is inthe order of 300 (Choi and Moin, 1990). A significant reduction of the computational time can be certainly obtained usingRANS (Reynolds Average Navier Stokes) simulations (Lee et al., 2005; Peltier and Hambric, 2007). In particular Peltier andHambric proposed an original stochastic model for the representation of the space-time wall pressure spectrum that usedstatistical data obtained from RANS calculations. The values of ReW are in this case between 1400 and 8000.

To overcome the limitations of actual CFD capabilities, the attention of the research community is mainly directed tothe analytical characterization of the pressure field by the definition of scaling laws for the power spectral density (PSD)(Bull, 1996; Ciappi et al., 2009; Goody, 2004; Keith et al., 1992) and of predictive models (Corcos, 1964; Chase, 1980;

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journal homepage: www.elsevier.com/locate/jfs

Journal of Fluids and Structures

0889-9746/$ - see front matter & 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.jfluidstructs.2011.11.003

n Corresponding author. Tel.: !39 065 0299 268; fax: !39 065 070 619.E-mail address: [email protected] (E. Ciappi).




dx.doi.org/10.1016/j.jfluidstructs.2011.11.003

mailto:[email protected]

dx.doi.org/10.1016/j.jfluidstructs.2011.11.003



Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excitedby the turbulent boundary layer

E. Ciappia, F. Magionesia, S. De Rosab,!, F. Francob

aINSEAN-Istituto Nazionale per Studi ed Esperienze di Architettura Navale, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italybælab-Acoustics and Vibration Laboratory, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Universita degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’,

Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italy

Received 4 October 2007; accepted 11 April 2008Available online 11 October 2008

Abstract

Recent studies have demonstrated that the characterisation of wall-pressure fluctuations for surface ships is of greatinterest not only for military applications but also for civil marine vehicles. A ship model towed in a towing tank is usedto perform pressure and structural measurements at high Reynolds numbers. This facility provides ideal flow conditionsbecause background turbulence and noise are almost absent. Free surface effects are naturally included in the analysis,although in the particular section chosen for the present study do not have significant consequences on pressure spectra.Scaling laws for the power spectral density are identified providing the possibility to estimate pressure spectra fordifferent flow conditions and in particular for full-scale applications. The range of validity of some theoretical modelsfor the cross-spectral density representation is analysed by direct comparison with experimental data of wall-pressurefluctuations measured in streamwise and spanwise direction. In a second phase, an indirect validation is performed bycomparing the measured vibrational response of an elastic plate inserted in the catamaran hull with that obtainednumerically using, as a forcing function, the modelled pressure load. In general, marine structures are able to acceptenergy mainly from the sub-convective components of the pressure field because the typical bending wavenumber valuesare usually lower than the convective one; thus, a model that gives an accurate description of the phenomenon at lowwavenumbers is needed. In this work, it is shown that the use of the Chase model for the description of the pressure fieldprovides a satisfactory agreement between the numerical and the experimental response of the hull plate. Theseexperimental data, although acquired at model scale, represent a significant test case also for the real ship problem.r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Keywords: Wall-pressure fluctuations; High Reynolds number flow; High-speed vessels; Theoretical models; Vibrational response

1. Introduction

Vibrations of elastic structures excited by the turbulent boundary layer (TBL) are of interest for interior and exteriornoise emission problems in aeronautical, automotive and marine applications. In particular, new requirements in termsof comfort on board high-speed ships for passenger transportation have addressed the attention of the scientificcommunity to the identification and to the characterisation of noise sources including those of hydrodynamic nature.Recent studies performed in the framework of the European RTD project NORMA (Noise Reduction for Marine

ARTICLE IN PRESS


0889-9746/$ - see front matter r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.jfluidstructs.2008.04.006

!Corresponding author: Tel.: +39081 7683581; fax: +39 081 624609.E-mail address: [email protected] (S. De Rosa).


Applications G3RD-2001-0393) demonstrated that, at least for new concept design fast ships, flow noise sources, e.g.,the TBL, play an important role above 30 knots.The typical way to characterise wall-pressure fluctuations (WPF) is via experimental tests performed in suitable

facilities like wind or water tunnels. In fact, direct numerical simulations (DNS) or large eddy simulations (LES) areoften not applicable in the case of complex geometries and realistic flow conditions (high Reynolds numbers) due to thelimitation of computational resources. DNS of WPF were performed by Choi and Moin (1990), analysing the channelflow problem for ReW ! UW/n ! 287. Furthermore, Chang et al. (1999) analysed the influence of the different TBLvelocity components on the wavenumber pressure spectra in a channel flow for a Reynolds number, based on thechannel half width, equal to 3200. Recently, Lee et al. (2005a) proposed a new methodology to calculate numericallywall-pressure spectra. The method uses the predicted mean flow field obtained from RANS calculations and a spectral

ARTICLE IN PRESS

Nomenclature

a streamwise plate lengthAreai equivalent area in finite element approachb spanwise plate lengthc speed of sound in watercB bending wave speedD flexural stiffness of the plated sensor dimensiond0 nondimensional length: d0 ! d/d*

d+ nondimensional length: d+ ! dut/nFr Froude numberg acceleration of gravityH structural transfer function diagonal matrixH shape factor: H ! d*/Wh thickness of the platei imaginary unitj index for the jth modal componentk acoustic wavenumberkc convective wavenumberkB bending wavenumberLpp length between perpendicularsm, n modal indicesme experimental added mass functionmn numerical added mass functionN shape function vector in finite element

approachNG number of grid of the finite element meshNM number of mode shapesReW Reynolds number, ReW ! UW/nRet Reynolds number, Ret ! dut/nRpp cross-correlation functionSaa plate acceleration response (auto-spectral

density)SW matrix of the cross-spectral densities of the

plate displacementSF matrix of the cross-spectral densities of the

generalised loadSFF matrix of the cross-spectral densities of the

equivalent loadu+ wall unit, u+ ! U/utut friction velocityU free-stream velocity

Uc convection velocityx streamwise reference axisy spanwise reference axisy+ wall unit, y+ ! yut/n

Greek symbols

g1 streamwise decay factorg3 spanwise decay factorG coherence functiond boundary layer thicknessd* displacement thicknessDx extension of each finite element in streamwise

directionDy extension of each finite element in spanwise

directionZ spanwise spatial separationZp plate modal damping coefficientW momentum thicknessy phase functionn kinematic viscosityx streamwise spatial separationrs plate material densityr fluid densityt time delaytw wall shear stressFpp auto-spectral density of the wall-pressure

distribution due to the turbulent boundarylayer

Fpp0 cross-spectral density of the wall-pressuredistribution due to the turbulent boundarylayer

U eigenvector matrixo circular radian frequencyoj natural circular frequency of the jth modeomn dry natural circular frequencies of the plateomn wet natural circular frequencies of the plate

Matrix and complex operators

* complex conjugate operatorT transposition operator



correlation model, and integrates across the TBL. The method was validated both for an equilibrium flow atReW ! 3582 and for a non-equilibrium flow resulting from flow over a backward-facing step. Using the samemethodology, Lee et al. (2005b) characterised wall-pressure spectra for a surface ship model including the effects of hullcurvature and of the free surface. The comparison of the scaled spectra, obtained while varying the axial location, andthe distance from the free surface with spectra, obtained for an equilibrium flow, showed that, in several locations, theformer deviate from the canonical case.On the other hand, there are many experimental works related to WPF, most of them devoted to the identification of

the appropriate scaling laws for the auto-spectral density (ASD) for zero pressure gradient flow. The pressure ASDfrequency range is subdivided according to the boundary layer regions that give contributions to wall-pressure spectrawhere different scaling variables hold. In particular, Farabee and Casarella (1991) identified four frequency ranges intheir data: the low-frequency and the mid-frequency range where outer variables hold, the high-frequency range whereinner variables hold, and an overlap scale-independent region proportional to o"1, whose extent depends on theReynolds number. With respect to this point, Keith et al. (1992) presented the most extensive comparison among manyavailable experimental data obtained in fully developed and developing channel flow, in fully developed pipe flow and inwind tunnel, over a wide range of Reynolds numbers, with the aim of identifying the best choice for the scalingparameters in the different frequency regions. Goody (1999) performed an experimental campaign in a two-dimensionalboundary layer for ReW values ranging from 7800 to 23 400, investigating different combinations of scaling parameters.Finally, a detailed review of the state-of-the-art on this subject can be found in Bull (1996).The spatial characterisation of WPFs was first analysed by Corcos (1963) on the basis of measurements performed by

Willmarth and Wooldridge (1962). Assuming the validity of separation of variables in the streamwise and spanwisedirections, Corcos stated an exponential decay for the cross-spectral density (CSD) as a function of the similarityvariables ox/Uc and oZ/Uc, where Uc is the convection velocity, and x and Z are the streamwise and spanwise spatialseparation, respectively. Several authors have performed comparisons between measured CSD data and Corcos model(Blake, 1986; Bull, 1967); in particular, Farabee and Casarella (1991) from the analysis of their experimental dataprovided, at least in a certain nondimensional frequency range, a confirmation of this pressure behaviour for a wideseries of spatial separations in streamwise direction and for different flow velocities or local Reynolds number values.The success of the Corcos model lies in its simplicity and in its predictive character since the model parameters aresubstantially case-independent. Nevertheless, it is generally stated that Corcos model gives a correct representation ofthe WPF behaviour in the convective domain, i.e. when the wavenumbers are close to the convective wavenumberkc ! o/Uc. On the contrary, in the sub-convective domain the white Corcos spectrum largely overpredicts the realamplitude. Since for several applications and in particular in the case of underwater and surface marine vehicles, theconvective wavenumber is greater than the bending wavenumber kB ! o/cB, it is of primary importance to evaluatecorrectly the sub-convective domain of pressure spectra that corresponds to the high-sensitivity region for the structure.Several new models, some directly derived by the Corcos one (Efimtsov, 1982; Ffowcs Williams, 1982), others

overcoming the Corcos multiplicative approach such as those by Chase (1980) and Smol’yakov and Tkachenko (1991),were developed to improve the estimation of pressure spectra in this region. A comparison between the predictions ofthe radiated acoustic power by rectangular plates was carried out numerically by Graham (1997); it was performed fordifferent test conditions and applying the above models. It was there concluded that the use of sophisticated modelssuch as the Chase one is needed only for structures that do not exhibit coincidence, but that for aircraft the best model isthe one which provides an accurate description of the convective peak, thus suggesting the use of the Efimtsov model.Nonetheless, no experimental evidence supporting these conclusions was reported in Graham’s work. However, thespatial domain comparison between pressure experimental spectra and theoretical models cannot definitively indicatethe best in describing the different wavenumber regions. It is usually possible to find a set of parameters for each modelable to provide a good data fit. It is clear that most of the energy of WPF is concentrated around the convective peakand then any correlation data is mainly the representation of the convective character of the TBL. Unfortunately, onlyfew experimental data concerning direct measurements of the wavenumber-frequency spectrum are available(Abraham, 1998; Choi and Moin, 1990; Panton and Robert, 1994; Farabee and Geib, 1991; Manoha, 1996) and,among them, a big spread of the spectra magnitude at low wavenumbers is present as reported for example by Hwangand Maidanik (1990).In order to overcome the limitations of flow measurements, an indirect approach to estimate the validity of different

models for WPF representation, based on the analysis of the response of simple elastic structures to the TBL load, isproposed here. The same idea was recently applied by Finnveden et al. (2005), who compared the measured response ofa flat plate with those obtained numerically using modelled pressure loads. This work presented the first and, to theauthors’ best knowledge, the only correlation between aerodynamic and structural data measured in the same facilityand with the same set-up. They suggested a modified version of the Corcos model by introducing a frequency and flowspeed dependence on the parameters and of the Chase model by introducing two new parameters to better fit the



spanwise coherence to measurements. Despite the modifications made, the conclusion was that, above the aerodynamiccoincidence (kc ! kB), only the Chase model, that does not make use of the multiplicative approach, provides a fairagreement with experimental data. In this work, the lower kB/kc ratio was 0.4 and the average difference between themodified Chase model predictions and the experimental data was 5 dB. Furthermore, Hambric et al. (2004), althoughretaining the multiplicative approach, proposed a modification of Corcos streamwise coherence to better represent thelow wavenumber domain. The model was compared with the experimental response of an elastic plate measured by Hanet al. (1999). The ratio between the structural wavenumber in flow direction and the convective wavenumber wasbetween 0.3 and 0.8 and the agreement with the experimental data was quite good. On the other hand, Han et al. (1999)chose Smol’yakov and Tkachenko to model the surface pressure field. The comparison with measurements wasperformed using the energy flow analysis method to predict the numerical plate response thus, direct information aboutthe validity of the pressure model are difficult to extract from their data.The aim of this work is to develop a general procedure based on the identification of the scaling laws and on the use of

predictive models for the surface pressure field suitable for application to full-scale problems. In particular, the capabilities ofCorcos and Chase models to predict the response of an elastic plate inserted in the hull of a ship model were investigated onthe basis of hydrodynamic and vibration data acquired, at high Reynolds numbers, in a towing tank. In a first step, pressuredata were analysed to provide their spectral characteristics. This analysis is fundamental to identify the scaling laws for theASD and the free parameters contained in the CSD wall-pressure fluctuation models. The high Reynolds number achievedwith this set-up provides an interesting extension to the previous analyses. In a second phase, a comparison between thenumerical response of the plate obtained using the two models and the experimental response is provided. Since in thepresent problem the convection velocity is very low, the ratio between the bending and the convective wavenumber issensibly lower than those previously analysed in the technical literature. This fact is fundamental for real size marineapplications for which hydrodynamic coincidence appears, even for high-speed vehicles, at very low frequency.This first section is aimed to frame the work in the proper existing literature. Section 2 presents the experimental set-

up and all the data concerning the acquisition instrumentation. The treatment of the pressure data is the specificargument of Section 3. Section 4 is fully devoted to the analysis of the structural response and the final comparisonbetween predictive and measured data. Section 5 presents the concluding remarks with some foreseen activities. For thesake of completeness, a graphic workflow has been also added in Chart 1.

2. Experimental set-up

2.1. Pressure measurements

The experiments were performed on a 1:15 scale model of the fast catamaran Jumbo CAT (Fig. 1). The scale of themodel was chosen according to Froude similarity: Fr ! U=

!!!!!!!!!!gLpp

pwhere Lpp is the length between perpendiculars, i.e.

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Chart 1. Logical workflow.



the length of the vessel along the waterline between the forward and aft perpendiculars, as depicted in Fig. 1. Themaximum model width is 1.467m, Lpp is 4.635m and its draft in calm water conditions is 0.2m.The experiments were carried out in the INSEAN towing tank no. 2 which is 220m long, 9m wide and 3.5m deep

and is equipped with a carriage that can reach a maximum speed of 8m/s. The use of this kind of facility creates idealflow conditions because background turbulence and noise are avoided. The measuring section was chosen in the sternpart of the ship bottom where the hull surface is almost flat. To perform pressure measurements a 2 cm thick rigidplexiglas plate was inserted in the hull bottom where pressure transducers were positioned.The basic set-up is presented in Fig. 2 and consisted in an array of nine transducers in streamwise direction and five

transducers in the spanwise direction flush-mounted with the plate at constant distance of 1 cm between each other.Additional tests were performed with 13 transducers mounted in streamwise direction within a maximum distance of40 cm. Thus, the first pressure sensor was located at x/Lpp ! 0.88 while the last at x/Lpp ! 0.97. The minimum distancebetween transducers was constrained by the transducers’ maximum external size while the maximum distance waschosen according to the fact that for x/d*420 the longitudinal correlation is almost zero as demonstrated by previousmeasurements (Bull, 1967; Blake, 1986). Pressure signals were acquired in calm water conditions with fixed trim andsink and for two different ship model velocities: 3.31m/s (25 knots) and 5.3m/s (40 knots) corresponding to Fr ! 0.49and 0.78, respectively. The measurement error in the carriage velocity was within 1% of the nominal mean velocity.Differential piezoresistive pressure transducers Endevco 8510-B, characterised by a maximum range of 2 psig and by

a certified flat response until 14 kHz were used to measure pressure fluctuations. The transducers were staticallycalibrated in water using known water level heights. All the transducers showed a linear trend; however, the deviationaround the regression line of the data points used for the sensitivity estimate was evaluated. The standard error ofestimate was very low for all the transducers, of the order of 1%. Moreover, the total error due to thermal sensitivity,nonlinearity and pressure hysteresis, as reported in the data sheet, is around 1%. The rectangular sensing element hasan area of 1" 0.3mm2, hence the effect of the finite size of the transducers surface can be expressed in term of thenondimensional parameters d0 ! d/d* and d+ ! dut/n, where d is the bigger sensor dimension.Pressure signals were acquired and amplified by the 16 channels acquisition system PROSIG; the sampling frequency

was 12.5 kHz, the acquisition length was 15 s. Several repetitions of the test (typically 12–15) under nominally the sameconditions were performed. The data record began a few seconds after the achievement of steady conditions. The

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Fig. 1. Catamaran model and sketch of the reference length, Lpp.

Fig. 2. Set-up for pressure measurements (left) and top view of the installation of the plexiglas plate (right).



reaching of a stationary random process was verified by comparing the ensemble average value, autocorrelation andcross-correlation of the WPFs of different runs.Concerning the flow velocity field, the TBL mean parameters (as used in the data analysis and shown in Table 1) were

obtained by available RANS simulations performed in the past over the whole model. This solution was, in this case,preferred because the experimental evaluation of the boundary layer velocity profiles in a towing tank, althoughpossible, is a time-consuming process. In fact, it is clear that the acquisition time is limited for each carriage run,especially for the higher velocities, and that the time needed for the re-establishment of calm water conditions betweentwo consecutive runs is at least 10min. A detailed description of the numerical code is provided in Ciappi andMagionesi (2005) and in the references cited there. The numerical errors can be predictable in an uncertainty of about4% in the estimation of the TBL parameters from the velocity profiles.

2.2. Vibration measurements

Vibration measurements were performed replacing the rigid plate with a flexible one. The panel, made of plexiglas, is0.58m long, 0.2m wide and 0.003m thick, it was fixed to the hull model with some mastic in order to provideimpermeable conditions and to reduce the transmission of model vibrations.A preliminary series of numerical analyses have been performed to exclude the presence of significant plate

deformations due to static and dynamic pressure loads. In fact, for all the flow speeds under consideration, themaximum displacement was predicted to be 1% of the longitudinal plate dimension.The acceleration responses were acquired in eight different points (one for each carriage run) randomly chosen on the

plate surface. A Bruel & Kjaer piezoelectric accelerometer type 4393 characterised by a sensitivity of 4.19mV/g and aweight of 2.2 g was used for the acquisition. Its mass was negligible with respect to the plate mass in the frequency rangeof interest. The accelerometer signal was amplified by a Bruel & Kjaer amplifier type 2635 and acquired with a samplingfrequency of 12.5 kHz by a National Instruments PXI 6052E acquisition system. Preliminary dry and wet calm watertests were performed with the same set-up and instrumentation to evaluate the plate’s natural frequencies, hence theadded fluid mass and the modal damping factors. Two additional accelerometers were mounted on the ship’s hull andon the connecting system to acquire the spurious vibrations transmitted by the carriage structure.

3. Pressure analysis

In the following sections, the results of the experimental programme devoted to the characterisation of wall-pressurespectra are presented. The purpose of this analysis was to verify the pressure scaling laws and to provide a generalmodel for its spatial behaviour. To this aim, ASDs, streamwise and spanwise coherences and convection velocities wereextracted from measurements. Although free surface effects were naturally present, pressure gradient values calculatedon the basis of numerical simulations can be considered negligible in the measuring section. In Fig. 3, the velocityprofiles obtained numerically, used to extract the mean TBL parameter values of Table 1, are shown in wall units y+,u+. From preliminary analysis it was decided to consider only the Corcos and Chase models as antagonists in thisanalysis. In fact, the Efimtsov model has the same trend as Corcos’ in the low wavenumber domain but, this last is to bepreferred because describes the wall pressure by a simpler expression containing less empirical parameters. The FfowcsWilliams model was built to extend Corcos model to the acoustic domain, which is beyond the purpose of this analysis;finally, the Smol’yakov and Tkachenko model does not fit well the present hydrodynamic data.

3.1. Power spectral density: scaling laws

The analysis of the scaling laws for the ASD is essential to understand the contribution of the different boundarylayer regions to WPFs. Moreover, due to the particular section chosen to perform pressure measurements and the

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Table 1Mean flow velocity parameters: numerical estimation

U (knots) U (m/s) d (m) d* (m) H ut (m/s) ReW ! UW/n Ret ! dut/n d0 ! d/d* d+ ! dut/n

25 3.31 0.12 0.0142 1.27 0.11 29 535 10 153 0.07 8440 5.31 0.113 0.0137 1.3 0.1626 42 807 14 133 0.073 125



relatively high speed of this vessel, local Reynolds numbers were sensibly high (ReW ! 29 535 for 3.31m/s andReW ! 42 807 for 5.31m/s), providing an interesting extension of the validity of the scaling laws for high Reynoldsnumber. Following the frequency range division proposed by Farabee and Casarella (1991), three different spectralregions can be identified: at very low frequency, the spectra collapse using the classical outer flow variables d* and U,showing a o2 behaviour, advising that sources are associated with the large-scale structures. In the low-mid-frequencyrange, the pressure auto spectral densities collapse into a single curve when scaled with the friction velocity ut, the wallshear stress tw and d, implying that the mid-frequency structures are related with turbulence activity in the outer regionof the boundary layer. In this interval, pressure spectra exhibit their maxima for od/ut ! 50. Finally, at high-frequencyinner variable scale, which employs ut, tw and n, allows the collapse of the data independently of the Reynolds number,suggesting that sources are associated with the buffer region of the wall layer. Moreover, between mid- and high-frequency an overlap region, characterised by an o"1 decay, exists where both outer and inner variable scales hold. Thisregion is related to the turbulence activity in the logarithmic part of the boundary layer and its extension depends on theReynolds number value. Recently, Ciappi and Magionesi (2005), considering the frequency division stated by Farabeeand Casarella provided another confirmation of the proposed scaling laws. ASDs were determined using 700 spectralaverages for each signal and a Hamming window function is used to reduce bandwidth leakage. According to classicaltheory of random data (Bendat and Piersol, 1991), the statistical convergence error was defined as !r ! 1=

!!!!!ndp

, where nd

is the number of spectral averages. In the present analysis, the data random error was equal to 73.8%; thus, theuncertainty in the calculated pressure spectra, obtained by considering the above and all the previously definedexperimental sources of error (see Section 2), was within the range of 71 dB.In Fig. 4, a typical ASD signal is displayed showing high peaks in the frequency region between 8 and 20Hz due to

structural vibrations of the carriage and of the connecting system. The peaks were eliminated, for the ASD analysis,using suitable relations based on the coherence function (Bendat and Piersol, 1991) between two pressure sensorslocated sufficiently far from each other to be correlated only by structural vibrations. The result of this cleaningprocedure is shown in the same figure. Fig. 5 shows the cleaned ASD for the two different test velocities, scaled usingouter flow variables: od=ut; Fpp#o$u2t=t

2wd; they are shown and compared with the results of Farabee and Casarella

(1991) obtained for ReW ! 6050 and with the results of Blake (1970) [extracted from Lee et al. (2005a)] obtained forReW ! 8210. From the inspection of the figure, it is evident that there is an excellent agreement of the presentexperimental curves in the low-mid-frequency range, i.e. for 20ood/uto1760. Moreover, for od/uto800, they are in avery good agreement with the Farabee and Casarella curve and in fair agreement with the Blake data. Finally, thescaled spectra achieved the maximum value for od/utE63. Low-frequency behaviour (od/uto5) is not analysed, sincefrequency resolution is too poor to obtain a realistic trend in this region. Fig. 6 shows the present wall-pressure spectraand the results of Bull and Thomas (1976), Farabee and Casarella (1991) and Blake (1970) scaled on inner flow

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Fig. 3. Streamwise velocity profiles: numerical estimation.



variables: on=u2t ; Fpp!o"u2t=t2wn. According to Blake (1986), attenuation in the spectra should occur approximately for

od/U41.2 that implies on=u2t40:3 or 0:42, depending on flow velocity. A collapse of the two sets of measurementsoccurs at high frequency, i.e. for 0:033oon=u2to0:3. The Bull and Thomas and Blake data are in excellent agreement inthe same frequency range, although the Blake curve is higher for higher nondimensional frequencies. On the contrary,the Farabee and Casarella curve shows quite a different trend, characterised by slower high-frequency decay.Differences can be due to spectra attenuation caused by the finite sensor dimensions and, when considering similar d+

values, to the use of different pressure transducers. In particular, the Farabee and Casarella and Blake data wereobtained using open pinhole microphones with d+ # 33 and 68, respectively, while the Bull and Thomas data wereobtained using both filled pinhole microphones and piezoelectric transducers for d+ # 44. For the present data,

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Fig. 5. Wall-pressure spectra scaled on outer flow variables.

Fig. 4. Measured and cleaned pressure auto-spectral density.



obtained with piezoresistive pressure transducers, d+ was equal to 84 for the lower velocity and to 125 for the higher.Bull and Thomas (1976) showed that the use of an open pinhole microphone leads to a higher amplitude of pressurespectra for on=u2t40:1. This fact can explain the mismatch between different sets of measurements. Finally, due to thehigh Reynolds numbers, the overlap region had a considerable extension. From the analysis of the range of validity ofthe outer and inner scales or from the direct inspection of the range of validity of the o!1 law, included in both Figs. 5and 6, it can be concluded that the overlap region extends in the range 0:033 Ret " 335o#od=ut$o1760 or0:033o#on=u2t$o#1760=Ret$ " 0:174 where the lowest value of Ret was used.

3.2. Cross-spectral density

The spatial characterisation of WPFs is now analysed extracting from the experimental data the streamwiseFpp0 #x; 0;o$ and the spanwise Fpp0 #0; Z;o$ CSDs. Since the CSD is a complex quantity, as usual, the coherence function

G#x; Z;o$ " jFpp0 #x; Z;o$j. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

F#1$pp #o$ % F#2$pp #o$q

, where in the square root appear the ASDs of the two pressure signals, is

used to display the results and to discuss their comparison with the Corcos and Chase theoretical models. Coherencespectra were obtained for quite a large number of streamwise spacings (0:09px=dp1:44), while only few spanwiseseparations were considered #0:09pZ=dp0:36$, as the coherence decay of the pressure field is very fast in this direction.

3.2.1. The Corcos modelThe model formulated by Corcos expresses the CSD as a product of functions in longitudinal and lateral direction

separately. Moreover, he postulated that the CSD behaviour depends only on the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc

with a decay represented by an exponential function. The model for the CSD is given by

Fpp0 #o; x; Z$ " Fpp#o$ ei#ox=Uc$ e!g1 jox=Uc j e!g3joZ=Uc j, (1)

where g1 and g3 are the decay factors.The streamwise coherences relative to the free-stream velocity of 5.3m/s are plotted against the CSD phase y(x,

o) " !ox/Uc in Fig. 7; different curves refer to different values of the nondimensional length x/d. It is evident that athigh frequency a collapse of the coherence spectra into an universal curve occurs independently of the spatialseparation. The theoretical streamwise coherence G#x;o$ " e#!g1 jox=Ucj$ derived from Eq. (1) is plotted in the same figurewith a decay coefficient g1 equal to 0.125. Slightly different values are reported in the literature: Bull (1967) foundg1 " 0.1, Farabee and Casarella (1991) found a decrease in the g1 value with increasing velocity passing from 0.145 forthe lower one to 0.125 for the higher one. On the other hand, in the low-frequency region, a lack of similarity scaling

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Fig. 6. Wall-pressure spectra scaled on inner flow variables.



occurs because as far as ox/Uc-0 the coherences do not tend to unity as Corcos model predicts. Unit coherence wouldimply that the low-frequency components should be correlated for all spatial separations: this is physically unrealistic.From the observation of the figure it can also be noted that all curves exhibit a maximum that is indicated by Farabeeand Casarella (1991) as the limit value below which the similarity variables do not hold anymore. The sameconsiderations can be drawn for 3.3m/s; in particular, the best fit of the experimental data is found for the samevalue of g1.Less experimental data concerning spanwise coherence are available in the literature: the value usually suggested for

the decay coefficient g3 is 0.7 (Corcos, 1963; Blake, 1986; Bull, 1967). Fig. 8 shows curves of spanwise coherence relative

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Fig. 7. Streamwise coherence at U ! 5.3m/s.

Fig. 8. Spanwise coherence at U ! 3.3m/s.



to the lower velocity for various nondimensional separations Z/d as a function of the similarity variable oZ/Uc. Thethick solid line represents the Corcos model with g3 equal to 0.7. The exponential function seems to correctly estimatethe measured coherences, above their maxima, for value of the nondimensional frequency oZ/Uc40.8. Also in this case,velocity variations seem not to have an influence on the decay coefficient value.

3.2.2. The Chase modelA descriptive model of the wavenumber-frequency spectrum of turbulent wall-pressure was proposed by Chase

(1980) with the intention of overcoming the limitations of models built to capture the characteristics of the convectivedomain only. Starting from the properties of the fluctuating velocity spectrum and considering its relation with thefluctuating pressure, Chase proposed a model able to correctly describe the pressure field in the convective and sub-convective domains. The inverse Fourier transform of the Chase (1980) expression is here proposed in its complete formas determined by Josserand and Lauchle (1989) because, as it will be clear in the following, the assumptions at the basisof some simplifications made by Chase are not necessarily fulfilled. Thus, the complete Chase model in the space-frequency domain is given by

Fpp0 !o; x; Z" # Fpp!o"!Cmf m e$zm e$i!ox=Um" % Ctf t e$zt ei!ox=U t"",

f m #Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2

mu2t

q a$3m 1% zm % a2mm2m

1$ z2m1

zm% 2iammmzm1

" #,

f t #Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2t u2t

q a$3t 1% zt % a2t 1% m2t $z2t3 % m2t z2t1

zt

" #% 2iatmtzt1

" #,

zm1 #ammmox

Um; zt1 #

atmtoxUt

; zm3 #amoZUm

; zt3 #atoZUt

; zm #!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!z2m1 % z2m3

q,

zt #!!!!!!!!!!!!!!!!!z2t1 % z2t3

q,

Cm #rm

rtf t0 % rmf m0

; Ct #rt

rtf t0 % rmf m0

; rm # 1$ rt,

f m0 #Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

U2c % h2mu2t

q a$3m !1% a2mm2m"; f t0 #

Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2t u2t

q a$3t !1% a2t !1% m2t "", (2)

Fpp!o" # rma%r2u4to$1a$3m

Um!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2mu2t

q !1% m2ma2m" % rta%r2u4to

$1 Ut!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!U2

c % h2t u2t

q a$3t !1% a2t !1% m2t "",

hi #Ucmi

ut

!!!!!!!!!!!!!1$ m2i

q ; Ui #Uc

1$ m2i; a2i #

1

1$ m2i

$ %%

Ui

bmdo

" #2

; i # m; t.

It can be noted that six free parameters have to be determined by comparison with experimental data. The valuessuggested by Chase, based on the comparison between the experimental data of Bull (1967) and limiting values ofEq. (2), are the following: bm # 0.756, bt # 0.378, mm # 0.176, rt # 0.389, and a+ # 0.766. As pointed out by Chase,these values are not supposed to be universal, as already shown for example by the measurements of Finnveden et al.(2005). In fact, the attempt to fit the experimental data with the Chase model using these values for the free parametersgave unsatisfactory results. Thus, the first five parameters were evaluated using a nonlinear least-square formulationbased on a trust-region approach. The best fit of the experimental streamwise and spanwise coherences for both velocityconditions is found for: bm # 0.51, bt # 0.35, mm # 0.13, mt # 0.4, and rt # 0.3. Fig. 9 presents the comparison amongthe experimental streamwise coherence for U # 5.3m/s, the Chase model, using the identified parameters, and theCorcos model for different values of the ratio x/d. In Fig. 10, the same comparison is shown for the spanwise coherencerelative to U # 3.3m/s. At this time, some considerations must be made: the coefficient bm gives the position of the ASDmaximum that, according to the present measurements occurs for od/utE60; on the other hand, using Chase relations,the maximum is given by o #

!!!2p

Uc=bmd, thus bm # 0.51 is required if Uc # 0.65U is assumed. In fact, the value 0.756suggested by Chase represented an average between the value 0.53 needed to fit the maximum in the Bull spectrum, thusvery close to that already found, and the value 0.9 needed to fit the measured spatial correlation. Preliminarycomparisons between the experimental CSD and the simplified Chase model gave a value for the coefficient mt sensiblyhigher than that suggested by Chase. Thus, it was evident that the hypothesis mm, mt51 at the basis of the simplifications



made by Chase was, in this case, not valid. For this reason, the complete form as in Eq. (2) is used to perform theanalysis. It can be concluded that, except for mt and somewhat for mm, the values of the identified parameters are not sofar to those found by Chase analysing pressure experimental data acquired in completely different flow conditions.Finally, a+ is obtained by a direct comparison with the measured ASD (see Fig. 11) when the other coefficients are

fixed. This parameter determines the amplitude of the ASD spectrum and in particular of its maximum, the bestagreement with experimental data is found for a+ ! 0.8. On the other hand, if the interest is not in the maximum but in

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Fig. 10. Spanwise coherence: comparison with theoretical models.

Fig. 9. Streamwise coherence: comparison with theoretical models.



the higher frequency scale-independent region, the value of a+ should be 1.5. However, to perform the structuralanalysis described in Section 4.3, the measured ASD was used.

3.3. Convection velocity

Some other insights into spectral characteristics of the WPFs can be provided by examining the convection velocityUc. The convection velocity can be obtained from the phase y!x;o" # $ox=Uc!x;o" of the CSD. In Figs. 12 and 13, the

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Fig. 12. Convection velocity at U # 3.31m/s.

Fig. 11. Auto-spectral density: comparison with Chase model.



convection velocities divided by the free-stream velocity U, obtained for fixed spatial separations x/d, are plotted as afunction of the dimensionless frequency od/ut. Different figures refer, as usual, to the two different free-streamvelocities. Farabee and Casarella (1991) have observed a peak value of convection velocity for od/ut ! 50,independently of the x/d values. This peak corresponds exactly to the maximum observed in the spectra and to the valuethat separates the low and the high-frequency behaviour in the coherence function. This fact demonstrated that not onlythe lowest wavenumber components experienced a decay, but that they are also convected at lower overall velocity.In the present case, CSD analysis was performed without using noise cancellation technique to avoid phase alteration.

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Fig. 13. Convection velocity at U ! 5.31m/s.

Fig. 14. Broadband convection velocity.



On the other hand, convection velocity obtained by a division for the CSD phase is very sensitive to small disturbancesleading to unreasonable value of the convection velocity. For this reason, frequencies below 25Hz were cancelled outfrom the graph.By inspection of Figs. 12 and 13, an increase of the convection velocity with the growing of the spatial

separation is observed; this trend of Uc is related to an increasing dominance of large-scale events to the two-pointcorrelation as the separation increases. For small separations, the correlation data and hence the convection velocity aredominated by the small-scale eddies close to the wall, which move with a lower velocity than the large-scale events.However, as far as spatial separation increases, the curves tend to collapse in a unique curve indicating that, even if theTaylor frozen flow hypothesis does not strictly hold for the smallest spatial separations, the convection velocity can berepresented as a function of the single variable od/ut. Moreover, with increasing frequency, the convection velocitiesassume a flat trend.The dependence of the convection velocity on the spatial separation can be better highlighted from the analysis of the

space-time correlation functions of the pressure signals. The convection velocity is obtained as the ratio x/t at whichthe cross-correlation Rpp(x,t) has a maximum. In Fig. 14, the convection velocities normalised with respect to thefree-stream velocity for 3.31 and 5.31m/s are depicted as a function of the nondimensional parameter x/d*. Theexperimental data are also compared with those obtained experimentally by Bull (1967) and numerically by Na andMoin (1996). The values of Uc range from 0.6 for the smaller separations associated with the small-scale structures, to0.73 at higher separations, related to the larger ones. From the above considerations, as proposed by several authors,the convection velocity can be modelled with a constant average value between small- and large-scale convectionvelocities, in this case, equal to 0.65U.

4. Structural response analysis

4.1. Identification of modal parameters

Hammer impact tests were performed to determine dry and wet natural frequencies, and then the added fluid mass,modes and modal damping factors of the plate. The first 16 dry natural frequencies omn, wet natural frequencies omn

and their correspondence with the mode shapes were evaluated in two specific frequency ranges: the dry set in125–769Hz and the wet one in the 26–283Hz. Thus, the experimental function of the added mass, me

f !o", was estimatedby the relation (Blevins, 1987):

mef !o" # rsh

omn

omn

! "2

$ 1

" #

. (3)

Since the pressure load spectra exhibited a significant energy content up to 1 kHz, the modal parameters wereevaluated in a larger frequency range, 0–3 kHz, by using a FE model of the plate. The experimental boundaryconditions were reproduced by imposing zero displacement and adding rotational springs along the plate edges; theirstiffness was tuned in order to replicate the experimentally measured natural frequencies.An approximated numerical/theoretical expression for the added mass, valid for structural waves having

wavenumbers greater than the acoustic wavenumber k # o/c, is provided by the relation (Fahy, 1985)

mnf !o" #

rks

, (4)

where ks #################k2

m % k2n

qis the primary effective wavenumber component of the vibration. Hence, the numerical wet

natural frequencies were computed by the following expression:

omn & omn 1%r

rshks

! "$1=2, (5)

where omn are the numerical dry natural frequencies computed by the aforementioned FE model. The primarywavenumber used in Eq. (5) corresponds to simply supported boundary conditions, i.e. km # mp/a and kn # np/b thislast being the only one analytically known. It is clear that this assumption is valid as far as the frequency increases. InFig. 15, the experimental and the theoretical added mass curves, me

f !o" and mnf !o", respectively, for the first 16 modes,

are displayed showing a difference of about 23% for the first mode that decreases, as expected, with increasing modeorder. Moreover, although natural modes of plates surrounded by unbounded fluids are not mathematicallyorthogonal, their shapes remain almost unchanged (Fahy, 1985). This result was partially verified by the experimental



analysis. In fact, a modal identification was performed using a number of points, sufficient to identify the mode orderand the position of nodes and maxima along some selected lines, but not to represent the whole mode shapes.In conclusion, to calculate the structural response with the numerical procedure described in the following section: (i)

the dry modes provided by the FE analysis are used, (ii) the first 16 wet natural frequencies were obtainedexperimentally, and (iii) the remaining ones were estimated by using the dry natural frequencies provided by the FEanalysis and Eq. (5).The structural modal damping coefficient, Z, was evaluated from wet hammer impact tests: it decreases from 0.034 for

the first modes to a quite constant value around 0.018 for the higher modes.

4.2. Remarks on the prediction of structural response

A procedure based on the finite element approach was presented and discussed in the recent literature to solve theresponse of a plate under a TBL excitation (De Rosa and Franco, 2007). Specifically, the Corcos model was used forcomparing the numerical response with the exact one, and in order to define a general methodology, able to work forany TBL model at acceptable computational costs. For the sake of clarity, some details are herein briefly recalled.The cited finite element procedure is assembled by using the following equation suitable for all the methods working

with discrete coordinates (Elishakoff, 1983); the CSD matrix of displacements of a structural operator represented byusing NG degrees of freedom and NM mode shapes is given by

SW!o" # UH!o"SU!o"H!o"$UT, (6)

with

SU!o" # UT SFF!o"U, (7)

where U is the structural modal matrix (each column is an eigenvector sampled at the NG selected points), [NG%NM]and the generic term of H(o) is Hj!o" # &o2

j ' o( iZo2j )'1, [NM%NM].

The translation of the distributed random loads to the set of NG points, in other words the way of representing theSFF, can be solved in the framework of the finite element method by using consistent approach, that is by using theshape function vector, N, belonging to each element:

SC!E"FF k;q #Z

x!k"1

Z

x!k"2

Z

x!q"1

Z

x!q"2

NTFpp0 !x!k"1 ; x

!k"2 ; x

!q"1 ; x

!q"2 ;o"Ndx!k"1 dx!q"1 dx!k"2 dx!q"2 , (8)

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Fig. 15. Added mass coefficient.



where the double integers k and q indicate here two generic finite elements and the integration is related to the area ofeach of them. The vector N can be interpreted as the interpolating function basis selected by the analyst according to thespecific problem and boundary conditions (Cook, 1981). Thus, Eq. (8) serves to evaluate a generic kqth member of theNE!NE load matrix, where NE is the number of elements. A simplified approach could refer to each grid point ratherthan each finite element. This means that the load acting on the ith grid point will be the resultant of the distributed loadworking on the equivalent nodal area, say Areai, belonging to it. This area vector can be evaluated easily by using astatic deterministic unit pressure load (De Rosa et al., 1994; Hambric et al., 2004). Accordingly, one gets the generic ijthmember of the NG!NG matrix:

SC"G#FF i;j $Z xi%"Dx=2#

xi&"Dx=2#

Z xj%"Dx=2#

xj&"Dx=2#

Z yi%"Dy=2#

yi&"Dy=2#

Z yj%"Dy=2#

yj&"Dy=2#Fpp0 "xi; xj ; yi; yj ;o#dyj dyi dxj dxi. (9)

An area DxDy is assigned to both points P(xi, yi) and Q(xj, yj) and the double space integration refers to these finitedomains. A further approximation could also be introduced, considering that the wall-pressure distribution due to theTBL in the low-frequency range does not fluctuate very quickly. In this case, the last integral could be approximated asfollows:

SL"G#FF i;j $ Fpp0 "xi; xj ; yi; yj ;o#'DxDy(2. (10)

Obviously, the approximations represented by Eqs. (8)–(10) are associated with decreasing computational cost.The problem of the plate response under a convective random load, expressed in discrete form as described by

Eqs. (6) and (7), can be accurately approached only when adequately resolving both the spatial distributions of theresponse function and of the forcing function; in particular, since in this case Uc5cB, the discretisation length, is ruledby the hydrodynamic load.In this work, Eq. (9) was used to calculate the SFF matrix because Eq. (10) was not adequate for the present

simulations. In fact, in the frequency range of interest, Eq. (9) allows the avoidance of the numerical divergence of thestructural response due to the incorrect representation of the pressure load, as approximated by Eq. (10). Some furtherdetails of the numerical simulations are given in the next paragraph. The finite element approach was used to generatethe modal base, while the responses were calculated by a specific Fortran code.

4.3. Experimental analysis and comparisons

The ASDs of the acceleration signals, experimentally measured in eight different points over the plate, werecomputed and the results averaged and compared with the results obtained by the numerical procedure exposed in theprevious section. The numerical results were obtained applying Eqs. (6), (7) and (9) for both the Corcos and Chasemodels.The FE analysis was performed using 61! 21 grid points corresponding to a spatial discretisation of 1 cm in both

directions. The integral in Eq. (9) was calculated using the trapezoidal rule. The hydrodynamic parameters inserted inEq. (9) were those identified in Sections 3.1–3.3; in particular, the experimental ASD was used and the convectionvelocity was assumed constant over the whole frequency range and equal to 0.65U for both ship speeds. After havingperformed the convergence analysis, each integration domain was finally subdivided, for both velocity conditions, ineight intervals when the Corcos model was used and in 24 intervals when the Chase model was used instead. The Corcosnumerical solution of integral in Eq. (9) was compared and validated by an analogous analytical solution (De Rosa andFranco, 2007). In both cases, the number of retained natural modes was 100.The response of the plate was computed for a frequency range between 1 and 1000Hz (the step was 4.5Hz) for the

higher velocity and only between 1 and 600Hz for the lower one, because above this frequency a refined mesh must beused to obtain convergence. In these frequency ranges, the ratio between the bending wavenumber kB $

!!!!!!!!!!!!!rsh=D4

p !!!!op

and the convective wavenumber kc (see Fig. 16) varied between 0.045 and 0.21 for the lowest velocity and between 0.057and 0.35 for the highest velocity.Figs. 17 and 18 present the experimental and numerical averaged ASDs of the plate’s acceleration for 3.3 and 5.3m/s,

respectively.Unsurprisingly, an overestimation of the plate response is evident in the whole frequency range if the Corcos model is

used; on the other hand, the numerical response obtained using the Chase model is undoubtedly in better agreementwith experimental data. However, below 25–30Hz both pressure spectra (although cleaned) and structural response arecontaminated by the carriage vibrations transmitted to the model; thus, any comparison is meaningless. Above thesefrequencies, the agreement is really satisfactory until 420Hz for the lower velocity case and until 650Hz for the higherone. In the high-frequency part, the Chase model tends to slightly underestimate the experimental curve; this fact, more



visible for 3.3m/s, can be partly due to the poor spatial resolution of pressure transducers that attenuate the high-frequency part of the ASD spectrum.Finally, an evident mismatch between the experimental and the numerical curve, generated by the presence of high

peaks in the experimental data, can be observed in Fig. 18 around 800Hz probably due to local flow disturbances. Tobetter quantify the difference between model and experimental results, the previous curves are plotted in Figs. 19 and 20in third-octave bands. It can be seen that the root mean square of the difference between the response obtained applyingthe Chase model and the experimental data is 5.2 dB for the lower velocity and 4.1 for the higher one. The responseobtained by using the Corcos model to represent the surface pressure field, overpredicts in both cases the experimental

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Fig. 16. Bending and convective wavenumber ratio.




data resulting in an average difference of 18 dB. The small gap between the numerical predictions obtained by applyingthe Chase model and the experimental plate response that is less or, at least, of the same order of that found byFinnveden et al. (2005) demonstrated the validity of the developed procedure and the capability of the Chase model torepresent the surface pressure field on a ship hull. However, a more careful determination of the added water mass inthe whole frequency range can improve the numerical estimation, as well as a deep uncertainty analysis can betterindicate the confidence interval of the present results.

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In this paper, a complete analysis of the coupled structural-fluid problem concerning the response of an elastic plateinserted in the bottom of a catamaran hull excited by the TBL WPFs, has been carried out.The hydrodynamic analysis, performed on a rigid plate at high Reynolds number and in equilibrium flow conditions

allowed the determination of the appropriate scaling laws for the ASDs in the different frequency ranges. Moreover, theanalysis of the cross-spectral densities in longitudinal and lateral flow directions was used to fit the theoretical models,available for the pressure representation, to the experimental data. Two theoretical models are analysed: the Corcos andChase models. It was demonstrated that it is possible to find for both a complete set of free parameters that provide afair agreement with experimental CSD data.Since spatial resolution was too poor to analyse the CSD behaviour at high frequency and since with this type of

experimental analysis it was not possible to isolate the longest wavelengths, the studied pressure behaviour mainlyconcerned the characteristics of the convective domain. Thus, an indirect comparison based on the vibrational responseof a plate was performed; in particular, the numerical structural responses obtained using the two models werecompared with experimental measurements. The conclusion of this analysis is that, although the Chase model iscomplex and dependent on several empirical parameters, it provides a very good agreement with experimental data atlow wavenumbers. The performed analysis can give interesting information also for the full-scale problem; in fact,considering realistic values of the hydrodynamic and of the structural parameters, coincidence conditions usuallyappear at very low frequency both for underwater and surface marine vehicles.The main disadvantage in using Chase model lies in its non-predictive character. In fact, it was shown that the

original Chase parameters do not fit the experimental data; thus a new set of parameters have been determined and thecomplete version of the model has been used.It is clear that the aim of any numerical procedure is to produce robust predictive tools to be used at the design stage.

Ongoing comparisons between pressure measurements performed on different ship models and for various flowconditions in terms of Reynolds number values are aimed to analyse the range of variability of the parameters and theirdependence on the particular flow conditions.

Acknowledgement

The research was supported by the Ministero dei Trasporti in the frame of ‘‘Programma Ricerche Luglio2006-Dicembre 2007’’.

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ARTICLE IN PRESSE. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342342

Ciappi et al., 2009; Efimtsov, 1982) for the cross spectral density (CSD) of wall pressure fluctuations (WPF). Thesequantities represent the input for the structural analysis. The identification of the scaling laws permits to make pressurespectra independent of the test conditions (i.e. of Reynolds number) and extrapolate data at full scale from low Reynoldsnumber laboratory experiments. The CSD models are supposed to be valid only under the hypotheses of two-dimensionalfully developed turbulent boundary layer with zero pressure gradient acting on a flat plate and contain empiricalparameters usually obtained from experimental data. Unfortunately, these parameters are not always universal butnecessitate dedicated experimental campaigns to be defined. A comparison between the most popular CSD models can befound in Graham (1997) and Hambric et al. (2004).

Besides being time demanding and expensive, a model scale experiment for this kind of measurements would onlyprovide a partial information about the physics of the problem. For example, standard experimental set-up and dataanalyses for WPF characterization, that make use of a spatial domain comparison between measured CSD spectra andtheoretical models, are inadequate to indicate which one is the best for the description of WPF in the differentwavenumber regions. In fact, most of the energy of WPF is concentrated around the convective peak and any correlationdata are mainly the representation of the convective character of the TBL. Only direct measurements of the wavenumber-frequency spectra could give significant insight, but only few experimental data have been made by using this approach(Abraham, 1998), due to the complexity of the experimental set-up and of the data analysis.

For these reasons, the definition of a predictive model able to represent correctly the spatial variation of the wallpressure field, in all the frequency and wave-number ranges, is still an open issue.

On the other hand, the numerical solution of the structural equations, especially when dealing with complex structuressuch as an aircraft fuselage or a ship hull, deserves some attention. When the structural wavelengths are small comparedto the typical dimension of the problem, i.e. at high frequency, the number of degrees of freedom, necessary to calculateaccurately the structural response, increases rapidly. In this frame, energy methods such as the Statistical Energy Analysis(Lyon and De Jong, 1995) can be invoked at high excitation frequencies. However, the definition of the input power,starting from a general model for the pressure cross spectral density not using the separation of variables, can be very

Nomenclature

Roman Symbols

a streamwise plate lengthAQjQk

joint acceptance between the jth and kth modesb crosswise plate lengthcB flexural wave speedcL longitudinal wave speedD plate stiffnessE Young’s modulusf excitation frequencyh plate thicknessHi ith term of structural transfer functions matrix

for the platei imaginary unitkc convective wavenumberLj reciprocal of the structural transfer functions

matrix, Hj(o)"1/Lj(o)Lx streamwise correlation lengthLy crosswise correlation lengthp pressurePIN input powerr absolute distance vectorR non-dimensional metric responseRey Reynolds number based on momentum

thicknessSp power spectral density of the wall pressure

distribution due to the turbulent boundary layerSw power spectral density of the plate displacementSw, mean mean value of the power spectral density of the

plate displacement over the structural domainU free stream (undisturbed) velocity

Uc convective velocityut friction velocityv cinematic viscosityw out of plane displacement of the platex streamwise reference axisXpp cross spectral density of the wall pressure dis-

tribution due to the turbulent boundary layery crosswise reference axis

Greek symbols

ax streamwise correlation coefficientay spanwise correlation coefficientG spatial correlation function in the cross

spectrumgj generalized mass coefficient for the jth moded turbulent boundary layer thicknessd* displacement thicknessZ structural damping factoru Poisson’s ration relative distance vector: n(xx,xy )xx streamwise spatial separationxy spanwise spatial separationl plate flexural wavelengthrf fluid densityrs material densityF dimensionless function—average value of the

joint acceptance integralci ith analytical mode shape of the bare plate

(without any added mass)o circular excitation frequency ("2pf)oj natural circular frequency of the jth mode


complicated and time consuming. Interesting advances are in Totaro et al. (2008) and in Totaro (2004), and those findingsare here fruitfully used; other research works, which have addressed the problem of the computational cost versus thefrequency bandwidth of interest (De Rosa and Franco, 2008; Hong and Shin, 2010; Ichchou et al. 2009), have to cited too.

A chance to drastically reduce the computational time can be the identification of scaling laws for the structuralresponse able to determine, at least for a certain class of problems, a unique representation of the response independent ofthe particular flow conditions or structural properties.

In this work a dimensional analysis is used to recover the dimensionless parameters for the definition of the scalinglaws for the required axes: the excitation frequency and the power spectral density of the response. The structure is a thin,flat and elastic plate with no pre-stresses wetted over one face by a stationary turbulent boundary layer in anincompressible flow with zero pressure gradient.

The obtained dimensionless groups are used to report and compare on dimensionless scales three analytical responsesobtained with the modal approach and, more important, four data sets measured in different conditions both in windtunnels and in a towing tank. The functional relations between the physical parameters are discussed and an analyticalexpression for the dimensionless plate response is also derived. It is shown that the functional group in Totaro et al. (2008)is here found by invoking a dimensional analysis. It includes the main dimensional variables for the plate response and thefluid velocity, as expected. The collapse of the different experimental plate responses, as consequence of the choice of thedimensionless functional groups, is very encouraging. The proposed scaling laws are successively and successfully appliedto four data sets measured in different conditions both in wind tunnels and in a towing tank.

The work is structured as follows. After this introduction, Section 2 summarizes all the theoretical backgrounds for theevaluation of the modal and energy response of a plate under a convective and turbulent pressure load; further, it presentsthe dimensional analysis and the derivation of the dimensionless parameters governing the problem. In Section 3, all theexperimental set-up and data are presented, together with the resulting dimensionless forms of the structural responses.Finally, Section 4 remarks the main achievements of the present work.

2. Theoretical models and dimensional analysis

2.1. Modal response

The mechanical system under study is a thin, flat, homogeneous, isotropic plate with no pre-stress (no pressurizationand no edge loadings), where only flexural waves are considered. The plate is mounted on an infinite rigid plane baffleflush with the TBL, and it is considered belonging to a xy plane; the flexural out-of-plane displacements, named w#x,y,t$,are along the z axis, while the flow is along the x direction. The side lengths are a and b, in the stream-wise and cross-wisedirection, respectively.

In the present analysis the aeroelastic coupling effects on the structural dynamic response of the plate can be taken intoaccount by introducing the wetted natural frequencies and mode shapes. This information requires the evaluation of theadded mass due to the fluid, which is generally negligible in air, but induces significant modifications in the modalparameters for heavy fluid like water (Ciappi et al., 2009). Moreover, a one-way coupling between the structure and thefluid is assumed, i.e. the elastic deformation does not affect the fluid dynamic field.

The displacement cross spectral density between any arbitrary couple of points belonging to the plate, A(xA,yA) andB(xB,yB), due to an assigned stochastic distributed excitation, can be found with the following modal expansion as given inElishakoff (1983):

Sw#xA,yA,xB,yB,o$ "X1

j " 1

X1

k " 1

cj#xA,yA$ck#xB,yB$Ln

j #o$Lk#o$

" #

USp#o$#ab$2

gjgk

" #

AQjQk#o$, #1$

with

AQjQk#o$ "

Z a

0

Z a

0

Z b

0

Z b

0

Xpp#$x,y,x0,y0,oSp#o$#ab$2

cj#x,y$ck#x0,y0$

" #dydy0dxdx0, #2$

gj "Z a

0

Z b

0c2

j #x,y$dydx; Lj#o$ " rsh%o2j &o2! iZo2

j ': #3$

The symbol ci denotes the ith mode shape and oi the ith natural radian frequency. The integrals defined by the symbolAQjQk are well known also as the acceptances: joint acceptance for j"k, or cross acceptance for jak. The formulationcontained in the Eqs. (1) and (2) can be applied to any structural operator once assumed its modal base.

From the analysis of Eq. (2), it is evident that the quality of the predictions is strictly related to the spatialcharacterization of wall pressure fluctuations expressed in terms of its cross-spectral density function Xpp.


2.2. Dimensional analysis

In order to find a dimensionless representation for the structural response an approach based on dimensional analysisis here used. Within the present approach, the power spectral density of the plate displacement is considered as the outputvariable.

It is well known that the cross spectral density of wall pressure fluctuations Xpp can be written in general form as theproduct of the power spectral density Sp in a reference point and a spatial correlation function G between two points,whose distance is xx and xy in streamwise and spanwise direction, respectively, as shown in the following equation:

Xpp#xx,xy, ,o$ " Sp#o$G#xx,xy, ,o$: #4$

Both terms of the right-hand side of Eq. (4) are in general complex functions of flow parameters. In particular, the singlepoint spectral density depends on the boundary layer characteristic lengths d, d*, on the characteristic velocities U and utand on the flow properties namely rf and v. According to the scaling laws provided by several authors (Ciappi et al., 2009;Keith et al., 1992) and on the corresponding analytical formulation (Goody, 2004), the role of d and d* is equivalent thus,only d is retained for the dimensional analysis.

The semi-empirical models available in the scientific literature to represent the function G suggest different functionaldependences on flow parameters. The most popular of them is the Corcos (1964) model, which considers the dependenceon the convection velocity Uc, only, whereas more sophisticated models (Chase, 1980; Efimtsov, 1982) include also thedependence on d and ut. Thus, Eq. (4) can be rewritten in the more general form as

Xpp " Sp#o,d,U,ut,rf ,n$G#xx,xy,o,d,Uc ,ut$: #5$

In view of a dimensional analysis related to the evaluation of the structural response, it is convenient to considerdirectly as one of the dimensional parameter the power spectral density of wall pressure fluctuations. In this case thedependence on rf and v, appearing only in the first term of Eq. (6), is not considered explicitly. The same considerationshold for U.

Under the above assumptions, the plate response to the pressure field induced by a turbulent boundary layer, accordingto Eq. (1), can be represented as a generic function f depending on both the following dimensional fluid dynamic andstructural variables:

f #Sw,Sp,o,d,Uc ,ut,rs,E,Z,h,a,b,xx,xy$ " 0, #6$

where rs is the material density, E the Young modulus, Z is the total damping coefficient (sum of the material and of theaero/fluid dynamic damping) and h, a, b are the plate thickness, length and width, respectively. In Eq. (6) there are 14dimensional parameters thus, according to the Buckingham theorem (Buckingham, 1914), there are 11 dimensionlessparameters governing the problem. The identification of these last is not unique but one set is given by

SwUc

h3;rs

!!!!!!!!!!!Uc

3hSp

s

; E

!!!!!!!!!!h

SpUc

s

;ohUc

;utUc;ah;bh;dh;xx

h;xy

h;Z: #7$

Then, the power spectral density of the plate displacement can be rewritten in the following form:

Sw "h3

Ucg rs

!!!!!!!!!U3

c hSp

s

,E

!!!!!!!!!!h

SpUc

s

,ohUc

,utUc

,ah

,bh

,dh

,xx

h,xy

h,Z

0

@

1

A: #8$

From the analysis of these parameters it is straightforward to define a dimensionless frequency

on "ohUc

: #9$

Eq. (9) can be also expressed by introducing the flow convective wavenumber kc " #o=Uc$, the structural bending

wavenumber kB "!!!!!op !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

#12rS#1&n2$=Eh2$4

q, the flexural and longitudinal structural wave speed cB " #o=kB$ and

cL "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#E=rs#1&n2$$

p, respectively

onpkc

kB

cB

cL, #10$

thus highlighting that the dimensionless frequency relates the convective and the structural wavenumbers.At this stage a critical analysis of the identified parameters is fundamental to recognize which of them are the most

significant for the plate response.Dimensionless ratios a/h and b/h are strictly related to the structural model used to describe the plate motion. In the

present analysis only thin plates (i.e. governed by the Kirchoff equation) (Graff, 1991) are considered and then the value ofthese two parameters can be assumed definitely large.

The dimensionless parameter d=h indicates the fluid-structure degree of coupling for conventional plates; it is excludedthe analysis of the cases of thick and flexible plates. More specifically, it can be interpreted as a measure of the influence ofthe structural deformation on the flow field. Consistent numerical values of d and h for the present test cases indicate that


d=hb1 moreover, since the order of magnitude of the displacement response is of the same order of magnitude than theplate thickness, it does not affect the fluid domain, indicating a one-way coupling between the structure and the fluid.

Furthermore, if it is assumed that the major contribution to the plate response is due to diagonal terms of the cross-spectral density matrix, xx/h and xy/h can be neglected too.

Finally, although the ratio #ut=Uc$ for an equilibrium boundary layer over a flat plate is a function of the Reynoldsnumber (Schlichting, 1978), its variation is small and can be considered of minor importance.

Damping coefficient can be introduced by defining a complex longitudinal wave speed #cnL $

2pcL2#1&#Z2=4$$, (Cremer

and Heckl, 1987); however, for the considered plates damping coefficient values are approximately the same thus, in whatfollows Z is neglected.

The only two dimensionless parameters that seem important for the present problem are those involving the pressurepower spectral density.

Without any further considerations on the physics of the problem, the plate response can be dependent on one of themor on a combination of the two. Nevertheless, in order to make the plate response independent of the input it seemsconvenient to consider the ratio Sw/Sp as done already in Finnveden et al. (2005).

Thus, it is possible to define three possible functional dependences for the spectral density functions related to the platedisplacement, by evidencing also a generic function, g, of the dimensionless frequency, o*

Sw "h3

UcE

!!!!!!!!!!h

SpUc

s !&2

g#on$, #11$

Sw "h3

UcrsE

!!!!!!!!!!h

SpUc

s !!!!!!!!!U3

c hSp

s0

@

1

A&1

g#on$, #12$

Sw "h3

Ucrs

!!!!!!!!!U3

c hSp

s0

@

1

A&2

g#on$: #13$

Accordingly, it is possible to define three dimensionless displacement functions of the dimensionless frequency o* only

Sw

Sp

Eh

" #2

"Sw

Sp

rs

h

$ %2c4

L " gI#on$, #14$

Sw

Sp

Uc

h

" #2

rsE"Sw

Sp

Uc

h

" #2

r2s c2

L " gII#on$, #15$

Sw

Sp

rs

h

$ %2U4

c "Sw

Sp

Eh

" #2 Uc

cL

" #4

" gIII#on$: #16$

The capability of Eqs.(14)–(16) to produce a data collapse and the functional dependence on the dimensionlessfrequency is investigated in Section 3.2 from the direct analysis of the experimental data presented in Section 3.1.

2.3. Energy response

The analysis of an energy model for the response of the plate can be difficult since a correct representation of the powerinput is needed. This aim is addressed in the work by Totaro (2004) and Totaro et al. (2008), using, as fundamental relationship,the modal response expressed in Eq. (1). Specifically, the main TBL models, due to Corcos, Corcos with Davies approximation(Davies, 1971), Efimstov and Blake, are investigated. In Totaro et al. (2008), the following representation is adopted:

PIN#o$ " Zo3abrShSw,mean; #17$

PIN#o$pSp#o$ab

2rShU2

c

o2

!!!!!!!!!rhD

U

rF#a,b,Uc ,o,rS,cL$: #18$

The dimensionless function F represents the average value of the joint acceptance integral in wavenumber space; thisterm depends on the selected model for the TBL excitation. PIN and Sw,meandenote the input power and the mean response.It is straightforward to get that

Sw,mean#o$Sp#o$

h2

r2S cLU3

c

!1Z

" #&1

pUc

oh

" #4

UF#a,b,Uc ,o,r2S ,cL$;

Sw,mean#o$Sp#o$

Zr2S cLU3

c

h2

!" gIV #on$:

#19$


Therefore, a full dimensionless response is again obtained and it evidences the same group highlighted in the previoussection with a classical dimensional analysis, Eqs. (14)–(16). According to the present result, the dependence is with thefourth power of the reciprocal of the dimensionless frequency. All the remaining frequency dependence is left in the Ffunction in which they can be attributed specifically to the difference among the TBL models.

2.4. Results

The approximate solution of the Eq. (1), when the TBL source model is due to Corcos with the Davies approximation, isin Fig. 1; the main parameters for the tested plates are summarized in Table 1. It is evident how the functional groupsassociated in with the gIV function works well in unifying the responses.

It has been also performed a full analysis of the problem by invoking a scheme in which the joint acceptance is solvedanalytically, Eq. (2); the results are in Fig. 2. The main difference among these analytical results is in the low frequencyrange, which is dominated by the first resonating structural modes.

Rather than discussing all the possible effects of the adoption of any of the g formulations, moreover with reference toall possible TBL model, it has been decided to apply directly the derived g functions on the experimental data.

3. Experimental measurements

3.1. Description of the set-up

The four data sets, considered for this analysis, regard incompressible and steady turbulent boundary layers in almostzero pressure gradient flow acting on thin and flat plates.

The boundary conditions of the plates were neither measured nor estimated since this information is relevant only forthe tuning of the predictive modal models: this falls outside the present aims.

Fig. 1. Analytical responses for three different plates excited by a Corcos TBL source with Davies approximation.

Table 1Parameters for the configuration used in the analytical responses.

Conf 1 Conf 2 Conf 3

Material Aluminum Steel PVCDensity (kg/m3) 2700 7500 1400Young’s modulus 7.1E!10 21.1E!10 4.5E!9Plate thickness (mm) 0.5 2.0 1.0Plate length (m) 0.4 0.7 0.372Plate width (m) 0.3 0.2 0.22Fluid density (kg/m3) 1000 1.225 1.225Speed of sound (m/s) 1000 340 340Asymptotic speed (m/s) 5 100 72Damping loss factor 0.02 0.04 0.05


Among the large amount of data available in the literature on wall pressure and induced structural vibrations, theseexperimental setups are the few ones able to provide, for each test case, information on both pressure fluctuations andstructural deformations acquired in the same facility and in the same nominal conditions. As it is specified in the nextsection this aspect is fundamental for the validation of the proposed scaling procedure.

The first two sets of data are extracted from a database containing measurements of wall pressure fluctuations andstructural response acquired in the INSEAN towing tank. The first one is relative to an experimental campaign performedon a 1:15 model of a catamaran hull (Fig. 3). A thin PVC plate is inserted in the bottom of the hull in correspondence of thestern region; pressure and acceleration measurements are performed for model speeds of 3.3 m/s and 5.3 m/s,respectively. A complete description of this experimental campaign can be found in Ciappi et al. (2009).

The second set of data belongs to an experimental setup designed to measure wall pressure fluctuations and theresponse of elastic portions of a 1:8 scaled bulbous model of a surface ship (Fig. 4). The considered data regard the sternmeasuring section where the flow reaches quasi stationary conditions and where pressure gradient effects, due both towater surface deformation and to structural curvature, can be neglected, (Magionesi and Ciappi, 2010a, 2010b). The elasticelement inserted in the model is an PVC thin plate, the model velocity in this case ranges between 3.636 m/s and 6.36 m/s.A complete description of this experimental campaign can be found in Magionesi and Ciappi (2010a, 2010b).

The last two sets of data are obtained from measurements performed in aerodynamic tunnels. The former is due toFinnveden et al. (2005) in the frame of ENABLE project: it consists of an aluminum plate exposed to flow velocities of 80,100 and 120 m/s, respectively.

The latter is part of the experimental campaign performed by Totaro et al. (2008) on four different plates of differentgeometries and materials. The data considered for this analysis regard the PVC plate for flow velocities equal to 35 and50 m/s, respectively. Table 2 presents the principal characteristics of the four plates. Table 3 lists the principal mean flowTBL parameters of the 10 experimental test cases.

The chosen four data sets have the aim to analyze complete different flow conditions and structural configurations.The power spectral densities of the plate responses are represented by their mean response over 8 points for plate 1, 3

points for plate 2 and 5 points for plate 3. The reference power spectral densities of wall pressure fluctuations arerepresented by their average over 10 points for plates 1 and 2 and 19 points for plate 3. Data for plate 4 are directly derivedfrom Fig. 18 of the paper by Totaro et al. (2008) in terms of metric response R defined as

R"o4Sw#rsh$

2

Sp: #20$

In the same work it is stated that the plate velocity response acquired with a laser vibrometer is averaged over 75 points.Values for the convection velocity are usually obtained from time domain cross-correlation analyses or from the phase

of the cross spectral densities. The values of Uc used for the present analysis come from the results given in Ciappi et al.(2009), Finnveden et al. (2005), Magionesi and Ciappi (2010a, 2010b) and Totaro et al. (2008) and are listed in Table 3.

It is important to remark that Eq. (20) represents the first attempt to make the power spectral density of the plateresponse dimensionless and independent of the power spectral density of WPF as done in Finnveden et al. (2005), De Rosaand Franco (2008) and Ciappi et al. (2009). However, the spatial characteristics of the fluid–structure interaction are nottaken into account neither in the response axis nor in the frequency one. In the next section, it is shown that thisrepresentation does not lead to a collapse of the spectra. In fact, for the selected test cases, the fluid–structure coupling is

Fig. 2. Analytical responses for three different plates excited by a Corcos TBL source.


Fig. 3. Catamaran model and setup.

Test section

Fig. 4. Scaled (1:8) bulbous model.

Table 2Dimensions of the plates and material properties.

Plate 1 Plate 2 Plate 3 Plate 4

Material PVC PVC Aluminum PVCDensity (kg/m3) 1190 1190 2700 1400Young’s modulus 3.2E!9 3.2E!9 7.1E!10 4.5E!9Thickness (mm) 3.0 3.3 1.6 1.0Length (m) 0.6 0.242 0.768 0.6Width (m) 0.2 0.144 0.328 0.3


of different kind in the frequency ranges of interest (sub-convective, convective and super-convective bandwidths).Furthermore, these frequency ranges can be completely different among all possible experimental configurations. As aconsequence, the only normalization of the frequency axis is not sufficient, too.

3.2. Application of the scaling laws

The proposed dimensionless forms of the structural response, Eqs. (9), (14)–(16), (19) are applied to the data setsdescribed in Section 3.1.

In Fig. 5 the ratio between the acceleration and the pressure power spectral densities are shown for the test cases mentionedbefore. Due to the difference between the test conditions of the four data sets in terms of both fluid dynamic and structuralparameters, with particular reference to flow velocity values, the plate responses exhibited different amplitudes. This isparticularly evident in the low-mid frequency range, 10C103 Hz. In this region, the sizeable gap in the curve level is related to thedifferent values assumed by the ratio between the structural and the aero/fluid-dynamic wavenumbers.

In particular for the aerodynamic case (Plates 3 and 4) structural wavenumbers are smaller than flow wavenumbersuntil the so-called coincidence frequency. Therefore, the structural responses are dominated by the convectivecomponents of the pressure field for a large part of the frequency range; in correspondence of the coincidence frequencies,around 700 Hz, they reach the maximum values.

On the contrary, for Plate 1 and 2 the coincidence frequencies are below 1 Hz; this indicates that they receive energymainly from the sub-convective component of the pressure field. As a consequence of this, the spectrum amplitude doesnot display a distinct maximum.

It is interesting to analyze what happens if the metric response of Eq. (20) is adopted, as reported in Fig. 6. It is evidentthat the gap between different data sets remains large since the proposed dimensionless form does not produce a collapse

Fig. 5. Ratio between acceleration and pressure power spectral densities.

Table 3TBL mean flow parameters.

Plate Fluid U (m/s) d (mm) ut (m/s) Uc (m/s)

1 and 2 Water 3.30 120.0 0.110 0.70 U5.30 113.0 0.1633.64 51.0 0.102 0.65 U5.45 49.7 0.1476.36 48.0 0.171

3 Air 80.00 50.0 2.600 0.75 U100.00 3.100120.00 53.0 3.700

4 35.00 55.0 1.4 0.62 U50.00 85.0 1.960


between different curves of the same data set either. As already said this dimensionless form for the structural responsedoes not contain any information about the spatial characteristics of the fluid–structure interaction.

In Fig. 7 the same experimental curves are represented in terms of the ratio between the power spectral densities of theplate displacement and of the pressure. The considerations done for the contents of Fig. 5 hold in this case as well.

In order to investigate the validity of the dimensionless functional relations provided by the dimensional analysisperformed in Section 2.2, the plate spectra are scaled according to Eqs. (14)–(16) and the corresponding results arereported in Figs. 8–10, respectively.

The first non-dimensional quantity, defined by Eq. (14), is represented in Fig. 8 on the y-axis to check its attitude toprovide a universal scaling of the four data sets. The results clearly indicate an excellent collapse of the three curvesrelative to Plate 3; moreover, the curves relative to Plate 4 show the same trend in a quite similar non-dimensionalfrequency range and a complete superposition with the previous ones. Curves relative to Plate 1 and 2 exhibit a goodcollapse with the other ones mostly for the higher values of the dimensionless frequency well above the convective range.

On the other hand, from the inspection of Figs. 9 and 10, it appears that Eqs. (15) and (16) do not lead to a collapse ofthe experimental data. The main difference between Eq. (14) and Eqs. (15) and (16) is the explicit presence of the flowvelocity as one of the scaling parameters for the response axis (it always appears in defining, together with the platethickness, the reference time scale of the dimensionless frequency axis). In particular, focusing on the curves relative to the

Fig. 6. Metric responses R.

Fig. 7. Ratio between displacement and pressure power spectral densities.


same plate, it is evident that the introduction of Uc to scale #Sw=Sp$ seems to prevent the data to collapse. Additionally, it isworthwhile to highlight that, passing from Eqs. (15) to (16), that is, with a higher power of Uc in the dimensionlessfunctional representation, the gap between the different curves increases considerably, confirming that the proposeddependence on the convective speed, Uc, is incorrect.

With reference to Fig. 8, it is then possible to find the functional relation between the dimensionless response and thedimensionless frequency. Three distinct regions can be identified. Different slopes of the linear regression curvescharacterize each of them (in logarithmic scale); their expressions are well approximated by the simple relations

Sn

w "

4108#on$&4 ohUc

o0:07;

1108#on$&8 0:07oohUc

o0:21;

2107#on$&3 ohUc

40:21;

8>>>>>>><

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#21$

and they are drawn for comparison in Fig. 8, along with the experimental measurements.Although these frequency regions cannot be recast exactly in terms of the ratio between the bending and the convective

wavenumbers, some general considerations can be drawn. In particular, for low values of o*, the first relations of Eq. (21)

Fig. 8. Dimensionless plate displacement (Eq. (14)).



represent the amplitude of the response for frequencies that are around the coincidence frequency i.e., for values ofkB=kc ( 1. The second and the third relations represent the amplitude of plate response in correspondence of frequenciesfor which the ratio kB=kc ( 1.

It is straightforward now to introduce what already presented in Fig. 2, derived with reference to Eq. (19). Thisrelationship is based on the balance between the input power and the energy content of the structural domain. In fact, it isthe only dimensionless form directly involving the structural damping.

Eq. (19) is shown in Fig. 11 when applied to the four sets of experimental data set.The experimental results, in this dimensionless form, are perfectly in agreement with those analytical presented in

Fig. 2 and show a good collapse. It is worthwhile to recall that the analytical results are based on the Corcos TBL model andon structural and flow characteristics different from the experimental ones. The dimensionless curves of the experimentaldata separate in the low frequency bandwidth as already shown in the analytical results.

It is possible to check that, in logarithmic scale, the experimental measurements collapse on a simple curve

Sn

w " 3:310&1#on$&4:8 ohUc

40:04: #22$

Fig. 10. Dimensionless plate displacement (Eq.(16)).



Some remarks are needed about this regression: (i) the power of the dimensionless frequency is not equal to fourbecause the g function includes the average value of the joint acceptance integral, which is a function of frequency, too; (ii)the law has been obtained by using the analytical responses presented in Fig. 2.

At this time, some considerations on the usefulness and practical relevance of dimensionless relations can be done. Asalready underlined in this work, scaling laws for the power spectral density of WPF exist and are well established.Analytical expressions for pressure PSD make use of some basic TBL mean flow parameters such as the boundary layerthickness and the friction velocity. Thus, starting from the desired test conditions in terms of material properties,geometrical configurations and undisturbed flow velocity and, assuming that the convection velocity can be represented asa constant fraction of U, it is possible, from the knowledge of d and ut only, to give a quick estimate of the amplitude of thestructural response spectra in the whole frequency range.

It is not worthwhile to recall that Eq. (21) are obtained by invoking a dimensional analysis; on the contrary, Eq. (19)comes from an energy-based formulation. For all the results presented herein, the structural response has been considereda mean one, obtained through an average over the acquired locations.


In this work the scaling laws for the response of an elastic thin plate excited by a steady turbulent boundary layer arederived. These laws are based on both a pure dimensional analysis and an energy response formulation. Simple analyticalexpressions for the dimensionless curves are provided and more important, the proposed scaling laws are used forrepresenting a quite large amount of experimental data.

These experimental data set involves four types of plates in air and in water flow, excited by a turbulent boundary layer,thus representing a severe test data set.

With this data, it is shown, that all the presented experimental measurements collapse very close one to each otheraccording with the dimensionless functions selected for the power spectral densities of the structural displacements. Then,the proposed representations could be usefully utilized to perform preliminary predictive steps. In fact, it has beendemonstrated that it is possible to obtain an estimate of the power spectral densities of the displacement response in thewhole frequency range, starting from the desired test conditions i.e. material properties, geometrical characteristics andflow velocities, from the knowledge of the boundary layer thickness and of the friction velocity necessary to define thepressure power spectral density.

In this regard, it has been shown that both the relations obtained using dimensional analysis (Eq. (14)) as well as energyresponse formulation (Eq. (19)) produce a quite good collapse of all data sets. On the other hand, Eq. (19) describes thedependence between non-dimensional frequency and non-dimensional acceleration response with one simple expressionvalid in the whole frequency range providing a very quick estimate of the structural response. Notwithstanding, the use ofEq. (14) should be preferred for all cases where damping value is not easy to be identified for example when theconsidered panel is a section of a real and complex structure (ship, airplane, etc.).

At this stage, the main aim has been to test the possibility to get a universal representation of the response able toinclude the fluid-structure coupling in all frequency and wavenumber ranges. It is evident that many other points remainto be investigated in order to widen the significance of the representation and thus to extend the proposed dimensionlessforms to a more complicated structural components.

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Aeroelasticità e Acustica Nelle Strutture Aerospaziali by de Rosa