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Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx
1
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.16
~ Concepts of Representations of Finite Groups ~
by
Kenshi KIDA*1 ( received on Nov. 28, 2017 & accepted on Jan. 11, 2018 )
Abstract
As an introduction to the representation theory of finite groups, we explain basic matters of matrix representations, characters of groups, and orthogonality relations. We treat cases of symmetric groups as concrete examples.
Keywords: Representation of Finite Group, Character of Group, Orthogonality Relation
( )( )⎩
⎨⎧
≠=
=jiji
ji 01
δ
C n n ( )C,nGL G
( )C,nGL ( )aAa→:A G n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11,, −− === aAaAEeAbAaAabA
A
G ( )aAa→:A ( )aBa→:B P
( ) ( ) ( )GaPaAPaB ∈= −1
Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor
東海大学紀要 情報通信学部 Vol.xx, No.xx , 20xx, pp.xxx -xxx
― 1 ―
大学初年次における数学教材の提案（その 16）
～有限群の表現論の基礎概念～
貴田 研司*1
A Suggestion on Mathematical Materials for Freshman Education Vol.16
~ Concepts of Representations of Finite Groups ~
by
Kenshi KIDA*1 ( received on Nov. 28, 2017 & accepted on Jan. 11, 2018 )
あらまし
有限群の表現論の導入として，行列による表現，および指標とその直交関係についての基本事項に関する解説を行
う．具体例としては，対称群に関するものを取り扱う．
Abstract
As an introduction to the representation theory of finite groups, we explain basic matters of matrix representations, characters of groups, and orthogonality relations. We treat cases of symmetric groups as concrete examples.
キーワード：有限群の表現，群の指標，直交関係 Keywords: Representation of Finite Group, Character of Group, Orthogonality Relation
1. はじめに
大学初年次において，群，環，体などの代数系について学ぶ．本論文では，有限群の表現論の入り口の部分
についての解説をおこなう 1)2)3)4)．
この論文では，クロネッカーのデルタと呼ばれる次の記号
jiji
ji 01
を使うこととする．
複素数体 C 上の n 次の一般線形変換群，すなわち n 次の正則行列がつくる群を C,nGL とする．群 G か
ら C,nGL の中への準同型写像 aAa:A を G の表現といい， n をその次数という．このとき
11,, aAaAEeAbAaAabA
が成り立つ．
特に A が同型写像であるとき，これを忠実な表現（faithful representation）という．
群 G の 2 つの表現 aAa:A と aBa:B に対して，正則行列 P があって
GaPaAPaB 1
*1 高輪教養教育センター 准教授 Liberal Arts Education Center, Takanawa Campus, Associate Professor
トピックス
－ 65－
東海大学紀要情報通信学部Vol.10,No.2,2017,pp.65-73
トピックス
3
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) .110100001
2,3,1,010110001
3,2,1
,010100001
3,2,110010001
3,1,100110001
2,1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
BB
BBB
B
nS n n E i ie nS ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nsssn
21
21σ
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ne
s
s
e
ee
A 2
1
σ 4S
( )
( )( ) ( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0010100000010100
24134321
2,4,3,1
,
0100001010000001
32414321
3,4,2,
0001001001001000
12344321
3,24,1
,
1000000100100100
41234321
3,1,
1000010000100001
43214321
e
( )σσ A→ nS
n ( )jiaA = Atr
nnaaaA +++= 2211tr
2
A B BA~
G n ( )aAa→:A P
( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
aCaDaB
PaAP01
A
G ( )aAa→:A ( )aBa→:B
( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
aBaA
a0
0A B BA⊕
G G G
G H aHHG += H 1+
aH 1− G n nS
n nA nA 1+ nA 1− nS
3 3S
A
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) .1110
2,3,1,0111
3,2,1
,0110
3,2,1101
3,1,1011
2,1
,1001
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
AA
AAA
A e
A
B
( ) ,100010001
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=eB
－ 66－
大学初年次における数学教材の提案（その 16）～有限群の表現論の基礎概念～
3
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) .110100001
2,3,1,010110001
3,2,1
,010100001
3,2,110010001
3,1,100110001
2,1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
BB
BBB
B
nS n n E i ie nS ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nsssn
21
21σ
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ne
s
s
e
ee
A 2
1
σ 4S
( )
( )( ) ( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0010100000010100
24134321
2,4,3,1
,
0100001010000001
32414321
3,4,2,
0001001001001000
12344321
3,24,1
,
1000000100100100
41234321
3,1,
1000010000100001
43214321
e
( )σσ A→ nS
n ( )jiaA = Atr
nnaaaA +++= 2211tr
－ 67－
貴田研司
5
G
G lχχχ ,,, 21 lfff ,,, 21 G g
222
21 lfffg +++=
( ) ( ) ( ) ( )eaafafaf ll ≠=+++ 02211 χχχ
G G
G χ χ
( ) 1, =χχ ( ) 0>eχ
G lχχχ ,,, 21 αa ( )αaC αn
( ) αβαβα
α δχχ naa i
l
i =∑=
)(1
G G
s ( )jiaA = t B st
4
( ) ( )BAAB trtr = ( ) ( )PAPAP trtr 1 =−
G ( )aAa→:A ( ) ( )aaA χ=tr χ G
A ( )eχ A
χ G
G ( )aAa→:A ( )aBa→:B BA⊕
BABA χχχ +=⊕
G , ( ),
( ) ∑∈
−⋅=Ga
aaG
)()( 11,
( ) 0, = ,
G g
χ G
( ) ( ) ( ) 11, 1 == ∑∈
−
Gxxx
gχχχχ
χ χ ′
( ) ( ) ( ) 01, 1 =′=′ ∑∈
−
Gxxx
gχχχχ
G ,, 21 FF ,, 21 χχ
kKKK ,,, 21 G kaaa ,,, 21
2.3 ′ ( ) jiji δχχ =,
( )( )aaaa χχχχ )()(1 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
2.3 ′′ αα hKgG == ,
jij
k
i aahg
δχχ αα
αα =∑=
)()(11
－ 68－
大学初年次における数学教材の提案（その 16）～有限群の表現論の基礎概念～
5
G
G lχχχ ,,, 21 lfff ,,, 21 G g
222
21 lfffg +++=
( ) ( ) ( ) ( )eaafafaf ll ≠=+++ 02211 χχχ
G G
G χ χ
( ) 1, =χχ ( ) 0>eχ
G lχχχ ,,, 21 αa ( )αaC αn
( ) αβαβα
α δχχ naa i
l
i =∑=
)(1
G G
s ( )jiaA = t B st
5
G
G lχχχ ,,, 21 lfff ,,, 21 G g
222
21 lfffg +++=
( ) ( ) ( ) ( )eaafafaf ll ≠=+++ 02211 χχχ
G G
G χ χ
( ) 1, =χχ ( ) 0>eχ
G lχχχ ,,, 21 αa ( )αaC αn
( ) αβαβα
α δχχ naa i
l
i =∑=
)(1
G G
s ( )jiaA = t B st
－ 69－
貴田研司
7
G BA , B BA⊗
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3 eS =
{ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1, 321 === CCeC
3S
ρ ρχ 321 ,, CCC 321 ,, ααα
( )321 ,, αααχρ =
1ρ 2ρ
( ) ( )1,1,1,1,1,121
−== ρρ χχ
3ρ 3d
( )323
22 611 Sd ==++
3ρ
( )32 ,,23
kk=ρχ
( )⎩⎨⎧
=+×+×=+−×+×021111021111
3
2
kk
( )1,0,23
−=ρχ
1C 2C 3C
1ρχ 1 1 1
2ρχ 1 1− 1
3ρχ 2 0 1−
― 7 ―
定理4.2
有限群 G の2つの既約表現 BA, において， B が1次の表現ならば，表現のテンソル積 BA もまた既約であ
る．
5. 対称群の既約指標の計算例
例 1（3 次対称群）
3 次対称群を 2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3 eS と表すこととすれば，共役類は
2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1, 321 CCeC
となっている． 3S が 3 つの共役類に分けられることから，定理 3.7 より 3 つの既約表現があることがわかる．
ある表現 に対して，指標 が共役類 321 ,, CCC でとる値が 321 ,, であるとき
321 ,,
と書き表すこととする．単位表現を 1 ，交代表現を 2 とすると，これらはもちろん 1 次表現であり
1,1,1,1,1,121
である．もう 1 つの既約表現を 3 としてその次数を 3d とおけば，定理 3.4(1)より
323
22 611 Sd
なので， 3 は 2 次の表現であることがわかる．
そこで， 32 ,,23
kk とおくと，定理 3.4(2)から
021111021111
3
2
kk
なので， 1,0,23
が得られる．表にまとめると以下のようになる．
1C 2C 3C
1 1 1 1
2 1 1 1
3 2 0 1
6
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
BaBaBa
BaBaBaBaBaBa
ssss
s
s
21
22221
11211
A B BA⊗ BA⊗
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )∗=
+++=+++=⊗
BABaaa
BaBaBaBA
ss
ss
trtrtr
trtrtrtr
2211
2211
s ( )jiaA ′=′ t B ′
( )( )
( ) ( ) ( )∗∗′⊗′=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′
′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′′′′
′′′′
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=′⊗′⊗
∑∑
∑∑
==
==
BBAA
BBaaBBaa
BBaaBBaa
BaBa
BaBa
BaBa
BaBaBABA
s
kskks
s
kkks
s
kskk
s
kkk
sss
s
sss
s
111
11
111
1
111
1
111
G ( )aAa→:A ( )aBa→:B ( )∗∗( ) ( )aBaAa ⊗→
G A B BA⊗
G BA , BA χχ , BA⊗ BA⊗χ
( )∗( ) ( ) ( )aaa BABA χχχ ⋅=⊗
― 6 ―
BaBaBa
BaBaBaBaBaBa
ssss
s
s
21
22221
11211
のことを A と B のテンソル積（または，クロネッカー積）といい， BA と表す． BA のトレースについて
は
BABaaa
BaBaBaBA
ss
ss
trtrtr
trtrtrtr
2211
2211
が成り立つ．
また， s 次行列 jiaA と t 次行列 B に対して
BBAA
BBaaBBaa
BBaaBBaa
BaBa
BaBa
BaBa
BaBaBABA
s
kskks
s
kkks
s
kskk
s
kkk
sss
s
sss
s
111
11
111
1
111
1
111
が成り立つ．
群 G の2つの表現 aAa:A と aBa:B が与えられているとき より
aBaAa
は，また G の表現であることがわかる．これを A と B の表現のテンソル積といい， BA と書く．
次のことが成り立つことがわかる．
定理4.1
有限群 G の2つの表現 BA, の指標をそれぞれ BA , とし，表現のテンソル積 BA の指標を BA とす
ると， より
aaa BABA
が成り立つ．
－ 70－
大学初年次における数学教材の提案（その 16）～有限群の表現論の基礎概念～
7
G BA , B BA⊗
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3 eS =
{ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1, 321 === CCeC
3S
ρ ρχ 321 ,, CCC 321 ,, ααα
( )321 ,, αααχρ =
1ρ 2ρ
( ) ( )1,1,1,1,1,121
−== ρρ χχ
3ρ 3d
( )323
22 611 Sd ==++
3ρ
( )32 ,,23
kk=ρχ
( )⎩⎨⎧
=+×+×=+−×+×021111021111
3
2
kk
( )1,0,23
−=ρχ
1C 2C 3C
1ρχ 1 1 1
2ρχ 1 1− 1
3ρχ 2 0 1−
― 7 ―
定理4.2
有限群 G の2つの既約表現 BA, において， B が1次の表現ならば，表現のテンソル積 BA もまた既約であ
る．
5. 対称群の既約指標の計算例
例 1（3 次対称群）
3 次対称群を 2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3 eS と表すこととすれば，共役類は
2,3,1,3,2,1,3,2,3,1,2,1, 321 CCeC
となっている． 3S が 3 つの共役類に分けられることから，定理 3.7 より 3 つの既約表現があることがわかる．
ある表現 に対して，指標 が共役類 321 ,, CCC でとる値が 321 ,, であるとき
321 ,,
と書き表すこととする．単位表現を 1 ，交代表現を 2 とすると，これらはもちろん 1 次表現であり
1,1,1,1,1,121
である．もう 1 つの既約表現を 3 としてその次数を 3d とおけば，定理 3.4(1)より
323
22 611 Sd
なので， 3 は 2 次の表現であることがわかる．
そこで， 32 ,,23
kk とおくと，定理 3.4(2)から
021111021111
3
2
kk
なので， 1,0,23
が得られる．表にまとめると以下のようになる．
1C 2C 3C
1 1 1 1
2 1 1 1
3 2 0 1
－ 71－
貴田研司
9
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+×+−×+−×+×=+×+×+×+×
=+−×+−×+×+×=+−×+×+−×+×
02131311110203031111
02131311110213131111
5
4
3
2
kk
kk
( )0,1,2,0,25
−=ρχ
1C 2C 3C 4C 5C
1ρχ 1 1 1 1 1
2ρχ 1 1− 1 1 1−
3ρχ 3 1 1− 0 1−
4ρχ 3 1− 1− 0 1
5ρχ 2 0 2 1− 0
8
4S
{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )( ) ( )( ) ( )( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ },2,3,4,1,3,2,4,1,2,4,3,1,4,2,3,1,3,4,2,1,4,3,2,1
,3,4,2,4,3,2,3,4,1,4,3,1,2,4,1,4,2,1,2,3,1,3,2,1,3,24,1,4,23,1,4,32,1
,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,
5
4
3
2
1
=====
CCCC
eC
4S
σ σχ 54321 ,,,, CCCCC 54321 ,,,, ααααα
( )54321 ,,,, αααααχσ =
1ρ 2ρ
( ) ( )1,1,1,1,1,1,1,1,1,121
−−== ρρ χχ
4=n ρ
( )0,1,0,2,4=ρχ
31 ρρρ ⊕=31 ρρρ χχχ +=
( )1,0,1,1,33
−−=ρχ
( ) ( ) ( ){ } 124241608131631
!41, 22222
33==−×+×+−×+×+×=ρρ χχ
3ρ
2ρ 234 ρρρ ⊗=
( )1,0,1,1,3234
−−== ρρρ χχχ
5ρ 5d
( )425
2222 243311 Sd ==++++
5ρ
( )5432 ,,,,25
kkkk=ρχ
― 8 ―
例 2（4 次対称群）
4次対称群 4S の共役類分解は
,2,3,4,1,3,2,4,1,2,4,3,1,4,2,3,1,3,4,2,1,4,3,2,1
,3,4,2,4,3,2,3,4,1,4,3,1,2,4,1,4,2,1,2,3,1,3,2,1,3,24,1,4,23,1,4,32,1
,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,
5
4
3
2
1
CCCC
eC
となっている． 4S が 5 つの共役類に分けられることから，定理 3.7 より 5 つの既約表現があることがわかる．
例１と同様に，ある表現 に対して，指標 が共役類 54321 ,,,, CCCCC でとる値が 54321 ,,,,
であるとき， 54321 ,,,, と書き表すこととする．
単位表現を 1 ，交代表現を 2 とすると，これらは 1 次表現であり
1,1,1,1,1,1,1,1,1,121
である．次に第 2 章例 3 で述べた表現の 4n の場合を，表現 とすれば
0,1,0,2,4
となる．ところが， 31 と分解されることが知られている 3)．すると，定理 3.1 より31
なので
1,0,1,1,33
となっている．これについて
124241608131631
!41, 22222
33
であるから，定理 3.5 より 3 は 3 次の既約表現であることがわかる．
交代表現 2 は 1 次表現なので，定理 4.2 より，3 次表現 234 もまた既約である，さらに，定理 4.1
より
1,0,1,1,3234
が成り立つ．残り 1 つの既約表現を 5 としてその次数を 5d とおけば，定理 3.4(1)より
425
2222 243311 Sd
なので， 5 は 2 次の表現であることがわかる．
そこで， 5432 ,,,,25
kkkk とおくと，定理 3.4(2)から
－ 72－
大学初年次における数学教材の提案（その 16）～有限群の表現論の基礎概念～
9
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+×+−×+−×+×=+×+×+×+×
=+−×+−×+×+×=+−×+×+−×+×
02131311110203031111
02131311110213131111
5
4
3
2
kk
kk
( )0,1,2,0,25
−=ρχ
1C 2C 3C 4C 5C
1ρχ 1 1 1 1 1
2ρχ 1 1− 1 1 1−
3ρχ 3 1 1− 0 1−
4ρχ 3 1− 1− 0 1
5ρχ 2 0 2 1− 0
－ 73－
貴田研司
