Embed Size (px)
Citation preview
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 31
การแปลงลาปลาซ (Lapalce Transform)
ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.
สมบัติการแปลงลาปลาซของอินทิกรัล
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 2 / 31
ทฤษฎีบท ให้ F (s) = L[f ] จะได้
L[∫ t
0
f(τ) dτ
]
=1
sL[f ]
ดังนั้น
L−1
[
F (s)
s
]
=
∫ t
0
L−1[F ](τ) dτ (∗)
สมบัติการแปลงลาปลาซของอินทิกรัล
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 3 / 31
พิสูจน์ โดยนิยาม
L[∫ t
0
f(τ) dτ
]
=
∫
∞
0
e−st
∫ t
0
f(τ) dτ dt
=
∫
∞
0
f(τ)
∫
∞
τ
e−st dt dτ
=
∫
∞
0
f(τ)
(
e−st
−s
)
∣
∣
∣
∞
τdτ
=1
s
∫
∞
0
e−sτf(τ) dτ
=1
sL[f ]
สมบัติการแปลงลาปลาซของอินทิกรัล
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 4 / 31
จากสูตรเดียวกันจะได้
L−1
[
F (s)
s
]
=
∫ t
0
f(τ) dτ
เมื่อ
L[f ] = F (s)
เพราะฉะนั้น
L−1
[
F (s)
s
]
=
∫ t
0
L−1[F ](τ) dτ
ตัวอย่าง 1
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 5 / 31
EX. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผัน
L−1
[
1
s(s2 + 1)
]
สมบัติการเลื่อนใน s
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 6 / 31
ทฤษฎีบท ให้ F (s) = L[f ] จะได้
L[
eatf(t)]
= F (s− a)
L[
e−atf(t)]
= F (s+ a)
เพราะฉะนั้น
L−1 [F (s− a)] = eatf(t)
L−1 [F (s+ a)] = e−atf(t)
สมบัติการเลื่อนใน s
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 7 / 31
พิสูจน์ จากนิยาม
L[eatf(t)] =∫
∞
0
e−steatf(t) dt
=
∫
∞
0
e−(s−a)tf(t) dt
=
(∫
∞
0
e−stf(t) dt
)
∣
∣
∣
s→s−a
= F (s− a)
สูตรที่เหลือพิสูจน์ได้โดยง่าย
ตัวอย่าง 2
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 8 / 31
EX. จงหาผลการแปลงลาปลาซ
L[
e3t√t]
, L[e−t(2 + cos 5t− t3)]
ตัวอย่าง 3
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 9 / 31
EX. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผัน
L−1
[
3s− 1
(s+ 1)2 + 2
]
ตัวอย่าง 4
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 10 / 31
EX. จงแก้ IVP
y′′ + 2y′ + 5y = 1, y(0) = y′(0) = 0
ฟังก์ชันขั้นบันได
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 11 / 31
บทนิยาม ฟังก์ชันขั้นบันได หรือ Heaviside step function คือฟังก์ชัน H(t) ที่นิยามเท่ากับ
H(t) =
0, t < 0
1, t > 0
• ฟังก์ชันขั้นบันไดใช้ในระบบที่มี delay และระบบที่มีการเปลี่ยนสถานะฉับพลัน
ฟังก์ชันขั้นบันได
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 12 / 31
พัลส์
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 13 / 31
บทนิยาม พัลส์ คือ ฟังก์ชันที่นิยามเท่ากับ
k[H(t− a)−H(t− b)]
โดย k เป็นค่าคงตัวไม่เท่ากับศูนย์ และ a < b
พัลส์
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 14 / 31
EX. ฟังก์ชันลักษณะพัลส์ f(t) = et[H(t− 1)−H(t− 2)]
ผลการแปลงลาปลาซของ H
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 15 / 31
ทฤษฎีบท ให้ a ≥ 0 จะได้
L[H(t− a)] =e−as
s
พิสูจน์ โดยนิยาม
L[H(t− a)] =
∫
∞
0
e−stH(t− a) dt
=
∫
∞
a
e−stdt
=e−as
s
ตัวอย่าง 5
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 16 / 31
EX. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน
f(t) =
0 t < 3
5 3 < t < 4
0 t > 4
การเลื่อนใน t
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 17 / 31
บทนิยาม สำหรับฟังก์ชัน f(t) และจำนวนจริง a ≥ 0
f(t− a)H(t− a)
เรียกว่าการเลื่อนของ f(t)
การเลื่อนใน t
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 18 / 31
การเลื่อนใน t
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 19 / 31
ทฤษฎีบท ให้ a ≥ 0 และ F (s) = L[f ] จะได้
L[f(t− a)H(t− a)] = e−asF (s)
และ
L−1[e−asF (s)] = f(t− a)H(t− a)
ตัวอย่าง 6
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 20 / 31
EX. จงหา
L[
(t− 2)2H (t− 2)]
, L[
t2H(t− 2)]
ตัวอย่าง 7
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 21 / 31
EX. จงหาผลการแปลงลาปลาซของ
f(t) =
1 0 < t < π
0 0 < t < 2π
sin t t > 2π
ตัวอย่าง 8
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 22 / 31
EX. จงหา
L−1
[
e−3s
s2 + 4
]
ตัวอย่าง 9
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 23 / 31
EX. จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น
y′′ + y = r(t), y(0) = 0, y′(0) = 0
เมื่อ
r(t) =
0 t < 2
t 2 < t < 4
0 t > 4
อนุพันธ์ของผลการแปลงลาปลาซ
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 24 / 31
ทฤษฎีบท ให้ F (s) = L[f ] จะได้
L[tf(t)] = −F ′(s),
L[t2f(t)] = F ′′(s),
L[t3f(t)] = −F ′′′(s)
และโดยทั่วไป
L [tnf(t)] = (−1)ndn
dsnF (s)
ประโยชจ์ของทฤษฎีบทนี้คือ ใช้แก้ IVP ที่มีสปส.เป็นพหุนาม
อนุพันธ์ของผลการแปลงลาปลาซ
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 25 / 31
บทพิสูจน์ โดยการผ่านดิฟเข้าไปในอินทิกรัลได้
F ′(s) =d
ds
∫
∞
0
e−stf(t)dt
=
∫
∞
0
(
d
dse−st
)
f(t)dt,
=
∫
∞
0
(
−te−st)
f(t) dt,
= −∫
∞
0
e−st(tf(t))dt
= −L[tf(t)]
เอกลักษณ์อื่น ๆ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน
ตัวอย่าง 10
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 26 / 31
EX. จงหา
L [t cos at] , L[t sin at]
ตัวอย่าง 11
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 27 / 31
EX. จงแก้ IVP
y′′ − 16ty′ + 32y = 14, y(0) = 0, y′(0) = 0
วิธีทำ แปลงลาปลาซได้
s2Y (s) + 16[sY (s)]′ + 32Y (s) =14
s,
16sY ′ + (s2 + 48)Y =14
s,
Y ′ +s2 + 48
16sY =
7
8s2
ซึ่งเป็นสมการ ODE เชิงเส้นอันดับหนึ่ง
ตัวอย่าง 11
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 28 / 31
โดยการหา integrating factor ได้∫
s2 + 48
16sds =
s2
32+ 3 ln s ⇒ µ = s3es
2/32
และผลเฉลยเท่ากับ
Y (s) =1
µ
(∫
µ(s)7
8s2ds+ C
)
,
=e−s2/32
s3
(
14es2/32 + C
)
,
=14
s3+
C
s3e−s2/32
ตัวอย่าง 11
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 29 / 31
แก้สมการได้
y(t) = 7t2 + CL−1[e−s2/32/s3]
จาก IVP ได้ว่า y′′(0) = 14 เพราะฉะนั้น C = 0 นั่นคือ
y(t) = 7t2
อินทิกรัลของผลการแปลงลาปลาซ
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 30 / 31
ทฤษฎีบท ให้ F (s) = L[f(t)] จะได้
L[
f(t)
t
]
=
∫
∞
s
F (x) dx
ดังนั้น
L−1
[∫
∞
s
F (x) dx
]
=f(t)
t
ตัวอย่าง 11
Prop 3: t-integ
EX 1.
Prop 4: s-shift
EX 2.
EX 3.
EX 4.
Def: Unit step funcn
Def: Pulse
EX 5.
Prop 5: t-shifting
EX 6.
EX 7.
EX 8.
EX 9.
Prop 6: s-diff
EX 10.
EX 11.
Prop 7: s-integrating
EX 11.
Lecture 5 สุจินต์ คมฤทัย – 31 / 31
EX. จงหา
L[
1− cos at
t
]
![QUREQD6 - Santa Clara County, California · ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ììîï ì µ Ç l } } l l ^ v } v l ^ v } v l } v P ^ ] v P](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5f7e8ea4df862a52d11eb765/qureqd6-santa-clara-county-california-.jpg)
![Z } Ì v Á } Ì v ] u Ç } Ç Ì v Ì Ì ] s o v } ] } P v ] Ì i ... · s v ] } v i Ì Ì } Ì Ì P o v Ç Z Ì s } v l Á } P v µ Ì Ì Ì i P } / u ] ' ] v Ì Á ] l }Funkcja](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5fb0ed6a34374f058d3f1985/z-oe-v-oe-v-u-oe-v-oe-oe-s-o-v-p-v-oe-i-s-v-v.jpg)
![2( q>0>+>6>&>/>' H Ì0Û oH >Ì ] ¦ >Ì >Ì Ì0Û o N L = i1 Â2( q>Ì >Ì2( q>0>+>6>&>/>' >Ì ] >Ì >Ì >Ì Ì0Û o N L = i1 Â2( q>Ì >Ì ³ 7 ]%$3 ] 5 >Ì >Ì >Ì ¹ BH H º Ø>Ì](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/600feefac6099e3de479f008/2-q06-h-oe0-oh-oe-oe-oe-oe0.jpg)
![Commission Disclosure Complete List Final- July 2020 · < } l > ] µ ] & µ v ì X ì õ 9 ì X ì ì 9 < } l D } v Ç D l ^ Z u ì X ì ô 9 ì X ì ì 9](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5fa4adef733b164c8f7ffad5/commission-disclosure-complete-list-final-july-2020-l-.jpg)
![B C 7 - MLITÔ C C Ø ÷ 7 ÷ d\Ù\ « 7 d]A U]! >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì >Ì Õ U U ¯ É ` \Ø Ò 7 d\Ø C Ø ÷ 7 ÷ d\Õ Ì\Ã\õ](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5e94700e9947b344802ace31/b-c-7-c-c-7-d-7-da-u-oe-oe-oe-oe-oe.jpg)
![[2019.03]ì ì ì ë¬¸ì ¸í °ë · í ì ¬ì ê° ì (KOR)€¦ · Microsoft PowerPoint - [2019.03]ì ì ì ë¬¸ì ¸í °ë ·_í ì ¬ì ê° ì (KOR).pptx Author: freshj](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5f7278849163c419dd65e175/201903-kor-microsoft-powerpoint.jpg)
![Venous Thromboembolism Treatment- Handout · ] u ] } o } P Ç õ ì ì U ì ì ì sd ] v ] v v v µ o o Ç & ] sd } µ ] v í ì ì l í ì ì U ì ì ì } v v v µ o o Ç](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5f7631aa942d59310e7cd1f8/venous-thromboembolism-treatment-handout-u-o-p-u-sd.jpg)
