การศกษาการกกอนภาคในหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต

แท นามแกว

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรมหาบณฑต

สาขาวชาฟสกสศกษา

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา พฤษภาคม 2559

ลขสทธเปนของมหาวทยาลยบรพา

คณะกรรมการควบคมวทยานพนธและคณะกรรมการสอบวทยานพนธ ไดพจารณาวทยานพนธของ แท นามแกว ฉบบนแลว เหนสมควรรบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาฟสกสศกษา ของมหาวทยาลยบรพาได คณะกรรมการควบคมวทยานพนธ

.............................................................................อาจารยทปรกษาหลก (ผชวยศาสตราจารย ดร. สรไกร ศรศภผล)

.............................................................................อาจารยทปรกษารวม (ดร. ศรณย ภบาลชนม) คณะกรรมการสอบวทยานพนธ

.............................................................................ประธาน (ดร. วทร ชนวชรศร)

.............................................................................กรรมการ (ผชวยศาสตราจารย ดร. สรไกร ศรศภผล)

.............................................................................กรรมการ (ดร. ศรณย ภบาลชนม)

.............................................................................กรรมการ (ดร. การะเกด เทศศร) คณะวทยาศาสตรอนมตใหรบวทยานพนธฉบบนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาฟสกสศกษา ของมหาวทยาลยบรพา .............................................................................คณบดคณะวทยาศาสตร (ผชวยศาสตราจารย ดร. เอกรฐ ศรสข) วนท..........เดอน.........................พ.ศ. 2559

การศกษาวจยนไดรบทนการศกษาระดบปรญญาโท จาก โครงการสงเสรมการผลตครทมความสามารถพเศษทางวทยาศาสตรและคณตศาสตร (สควค.)

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ ประจ าปการศกษา 2556 – 2557

กตตกรรมประกาศ

วทยานพนธฉบบนส าเรจลงไดดวยความกรณาเปนอยางดยงจากอาจารยทปรกษาหลกผชวยศาสตราจารย ดร.สรไกร ศรศภผล และอาจารยทปรกษารวม ดร.ศรณย ภบาลชนม ทไดใหค าปรกษาแนะน าแนวทางทถกตอง ตลอดจนแกไขขอบกพรองตาง ๆ ดวยความละเอยดถถวนและดแลเอาใจใสดวยดเสมอมา ผวจยรสกซาบซงเปนอยางยง จงขอกราบขอบพระคณเปนอยางสงไว ณ โอกาสน ขอขอบพระคณ รองศาสตราจารย ดร.สรายธ เดชะปญญา ทใหความรและอนเคราะหเอกสารเกยวกบปรากฏการณทลบอต และ อาจารย ดร.นพนธ เขยวไมงาม ทใหขอเสนอแนะในการวเคราะหและอภปรายผลการศกษา ขอขอบพระคณ อาจารย ดร.วทร ชนวชรศร ประธานคณะกรรมการสอบวทยานพนธ ผทรงคณวฒจากภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยมหดล และ อาจารย ดร. การะเกด เทศศร กรรมการสอบวทยานพนธ ผทรงคณวฒจาก ภาควชาเคม คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย บรพา ทกรณาใหค าชแนะในการปรบปรงงานวจยใหสมบรณยงขน ขอขอบพระคณสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ทไดใหทนการศกษา ทนวจย และทนสนบสนนในการฝกอบรมโครงการทเปนประโยชนตาง ๆ แกผวจย ตามโครงการสงเสรมการผลตครทมความสามารถพเศษทางวทยาศาสตรและคณตศาสตร (สควค.) ตงแตระดบปรญญาตร ประกาศนยบตรบณฑต จนถงระดบปรญญาโท ขอกราบขอบพระคณบดา มารดา ญาตพนอง กลยาณมตรทางธรรม และเพอน ๆ ทกคน ทใหก าลงใจในการศกษาและใหความชวยเหลอในการท าวทยานพนธฉบบนจนส าเรจดวยด คณคาและประโยชนของวทยานพนธฉบบน ผวจยขอมอบเปนกตญญกตเวทตาแดบพการ อปชฌาย บรพาจารย และผมพระคณทกทานทงในอดตและปจจบน ทท าใหขาพเจาเปนผมการศกษาและประสบความส าเรจมาจนตราบเทาทกวนน

แท นามแกว

จ

56920163: สาขาวชา: ฟสกสศกษา; วท.ม. (ฟสกสศกษา) ค าส าคญ: การกกอนภาค/ คลนนงของแสง/ แลตทชของแสง/ ปรากฏการณทลบอต แท นามแกว: การศกษาการกกอนภาคในหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต (STUDY OF TRAPPING A PARTICLE IN AN OPTICAL LATTICE BASED ON A STANDING WAVE OF LIGHT AND THE TALBOT EFFECT) คณะกรรมการควบคมวทยานพนธ: สรไกร ศรศภผล, ปร.ด., ศรณย ภบาลชนม, ปร.ด. 43 หนา. ป พ.ศ. 2559. การศกษานมจดประสงคเพอจ าลองการกกอนภาคในหลมแสงจากคลนนงและหลม แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทเปนบอศกยแบบไมเชงเสน ผลเฉลยทไดจากสมการ ชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตทใชหลมแสงทงสองเปนบอศกย พบวาความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยของหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตมคานอยกวาหลมแสงจากคลนนง

ฉ

56920163: MAJOR: PHYSICS EDUCATION; M.Sc. (PHYSICS EDUCATION) KEYWORDS: TRAPPING PARTICLE / STANDING WAVE OF LIGHT /

OPTICAL LATTICE / THE TALBOT EFFECT

TAE NAMKAEW: STUDY OF TRAPPING A PARTICLE IN AN

OPTICAL LATTICE BASED ON A STANDING WAVE OF LIGHT AND THE

TALBOT EFFECT. ADVISOR COMMITTEE: SORAKRAI SRISUPHAPHON, Ph.D., SARAL PIBALCHON, Ph.D. 43 P. 2016.

The study is intended to simulate trapping a particle in an optical lattice, based

on a nonlinear potential well of the standing wave of light and the Talbot effect. The

solutions for 1D time-independent Schrodinger equations with these potential wells

have been calculated. The probability density of finding a particle outside the potential

well from the Talbot effect is less than that from the standing wave of light.

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย..................................................................................................................... จ บทคดยอภาษาองกฤษ................................................................................................................ ฉ สารบญ....................................................................................................................................... ช สารบญตาราง............................................................................................................................. ฌ สารบญภาพ................................................................................................................................ ญ บทท 1 บทน า.................................................................................................................................. 1 ความเปนมาและความส าคญของปญหา.................................................................... 1 วตถประสงคของการวจย........................................................................................... 2 กรอบแนวคดในการวจย............................................................................................ 2 ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการวจย..................................................................... 3 ขอบเขตของการวจย.................................................................................................. 3 ขอจ ากดของการวจย.................................................................................................. 4 นยามศพทเฉพาะ....................................................................................................... 4 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ........................................................................................... 5 แลตทชของแสง......................................................................................................... 5 แลตทชจากคลนนงของแสง...................................................................................... 5 แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต................................................................. 6 สมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลา............................................................................ 9 งานวจยทเกยวของ..................................................................................................... 11 3 วธด าเนนการวจย................................................................................................................ 17 เครองมอทใชในการท าวจย....................................................................................... 17 วธการและขนตอนศกษาวจย..................................................................................... 17 การจ าลองหลมแสงจากคลนนง และหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณ ทลบอต...................................................................................................................... 17 การจ าลองอนภาคทถกกกในบอศกยแบบฮารโมนกออสซลเลเตอรแบบงาย ใน 1 มต..................................................................................................................... 19

ซ

สารบญ (ตอ)

บทท หนา การหาผลเฉลยฟงกชนคลนทสมนยกบผลเฉลยพลงงานของอนภาคทถกกกใน หลมแสง.................................................................................................................... 26 4 ผลการวจย.......................................................................................................................... 28 ผลการจ าลองหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอต......... 28 ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบ อนภาคทถกกกในหลมแสงจากคลนนง..................................................................... 29 ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบ อนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต............................ 31 ผลเฉลยคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตความหนาแนน ของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย........................................... 34 5 สรปและอภปรายผล........................................................................................................... 35 สรปผลการวจย.......................................................................................................... 35 อภปรายผลการวจย.................................................................................................... 35 บรรณานกรม.............................................................................................................................. 37 ภาคผนวก.................................................................................................................................... 39 ภาคผนวก ก......................................................................................................................... 40 ประวตยอของผวจย.................................................................................................................... 43

สารบญตาราง ตารางท หนา 2-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และระดบพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย ฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงาย............................................................................. 11 3-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบ อนภาคทถกกกในบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงายใน 1 มตจากวธการ เชงวเคราะห และวธการเชงตวเลข............................................................................. 24 3-2 ผลเฉลยคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตความหนาแนน ของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอร อยางงายใน 1 มตจากวธการเชงวเคราะห และวธการเชงตวเลข................................ 26 4-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาค ทถกกกในหลมแสงจากคลนนง 1 มต จากวธการเชงวเคราะห และวธการเชงตวเลข 29 4-2 ผลเฉลยฟงกชนคลนอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณ ทลบอต1 มต ในชวง -0.07d x 0.07d ............................................................... 31 4-3 ผลเฉลยความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลม แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต 1 มต ในชวง -0.07d x 0.07d ......... 32 4-4 ผลเฉลยคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตความหนาแนน ของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย ......................................... 34

สารบญภาพ ภาพท หนา 1-1 แลตทชของแสงใน 2 มต (a) จากคลนนง (b) จากปรากฏการณทลบอตทระยะครง ทลบอต (c) จากปรากฏการณทลบอตทระยะหนงทลบอต........................................ 2 2-1 ต าแหนงบพและปฏบพของคลนนง.......................................................................... 6 2-2 แผนภาพการซอนทบกนของระนาบคลนแสงภายหลงการเลยวเบนผานเกรตตง แลวเกดการแทรกสอดแบบสนามใกลทเรยกวา ปรากฏการณทลบอต...................... 7 2-3 แผนภาพการเกดปรากฏการณทลบอตใน 1 มต......................................................... 9 2-4 แผนภาพการตดตงอปกรณการทดลองการสรางแลตทชของแสงจากปรากฏการณ ทลบอต...................................................................................................................... 12 2-5 ผลการทดลองและการจ าลองเพอสรางแลตทชของแสงใน 2 มต จากปรากฏการณ ทลบอต กบเกรตตงทม d = 20 ไมโครเมตร และ f = 0.9............................................ 14 2-6 ผลการทดลองและการจ าลองเพอสรางแลตทชของแสงใน 2 มต จากปรากฏการณ ทลบอต กบเกรตตงทม d = 20 ไมโครเมตร และ f = 0.5............................................ 14 2-7 ภาคตดขวางแลตทชของแสงใน 2 มต แสดงการเปลยนแปลงระยะหางระหวาง แลตทช และความกวางของแลตทช ดวยการเปลยนระยะทางตามแนวยาว (z และ z ) ตงแต 0.5LT ถง 1.0LT โดยใชเกรตตง 2 ตว ทม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 เทากน..................................................................................................... 15 3-1 หลมแสงจากคลนนง ขอบเขตความเขมแสงในชวงของการจ าลอง – /2 x /2.................................................................................................... 18 3-2 หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ขอบเขตความเขมแสงในชวงของ การจ าลอง –0.25 d x 0.25 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z =1.0LT............... 19 3-3 หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ขอบเขตความเขมแสงในชวงของ การจ าลอง –0.07 d x 0.07 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z =1.0LT............... 19 3-4 ผงการจ าลองการกกอนภาคในบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงายใน 1 มต และการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตถกลดรปในระบบ หนวยอะตอม ดวยวธการเชงวเคราะห โดยใชโปรแกรม Mathematica...................... 20

ญ

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา 3-5 ผงการจ าลองการกกอนภาคในบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงายใน 1 มต และการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตถกลดรปในระบบ หนวยอะตอม ดวยวธการเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica.......................... 22 4-1 ผลการจ าลอง (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณ ทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT.................................................................................................................... 28 4-2 ผลการจ าลองหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ขอบเขตความเขม แสงในชวงของการจ าลอง –0.07 d x 0.07 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z = 1.0LT...................................................................................................... 29 5-1 ผลการจ าลองระดบพลงงานในบอศกย (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT............................ 35 5-2 ผลการจ าลองบอศกยทมความกวางเทากน (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT............................ 36 ก-1 ผงการจ าลองการกกอนภาคในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทระยะ 1.0LT และการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตถกลดรป ในระบบหนวยอะตอม ดวยวธการเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica........... 41

บทท 1 บทน ำ

ควำมเปนมำและควำมส ำคญของปญหำ กลศาสตรควอนตมแบงสถานะ (state) ของอนภาคออกเปน 2 สถานะ ไดแก สถานะกระเจง (scattering state) และสถานะกก (bounded state) ซงอนภาคทมพลงงานสงกวาขอบบอศกย (potential well) จะอยในสถานะกระเจง สวนอนภาคทมพลงงานนอยกวาขอบบอศกยจะอยในสถานะกก (บรรจบ สดประเสรฐ, 2539) โดยธรรมชาตอนภาคจะถกกกในบรเวณหนง เชน อเลกตรอนถกกกในอะตอม โปรตอนและนวตรอนถกกกในนวเคลยส ควารกถกกกในโปรตอนและนวตรอน เปนตน ความรดานทศนศาสตรไดถกน ามาประยกตใชในการกกอนภาค (trapping particle) ในระดบควอนตม อาทเชน การท าใหอะตอมมอณหภมต ายงยวดดวยเลเซอรเพอศกษาคณสมบตของอะตอมและโมเลกลทอณหภมต ายงยวด (Bloch, 2005; Jaksch, 2004) การเตรยมอะตอมเดยว (single atom) เพอพฒนาอปกรณประมวลผลเชงควอนตม (Greiner, Mandel, Esslinger, Hänsch, & Bloch, 2002) เปนตน คลนนงของแสง (standing wave of light) เปนแนวทางหนงทถกน ามาประยกตใชในการกกอะตอมเยน (Pavel & Christopher, 1998) โดยอะตอมเยนจะถกกกอยในบรเวณหลมทเกดจากการหกลางกนของแสงหรอบพ (node) หรอเรยกวา แลตทชของแสง (optical lattice) อยางไรกด ระยะหางระหวางหลมแลตทชทไดจากคลนนงของแสงจะถกจ ากดดวยระยะครงหนงของความยาวคลนของแสงทใชเสมอ ดงนน การน าแลตทชของแสงทไดจากการใชเกรตตงสรางรวรอยการ แทรกสอดของแสงจากปรากฏการณทลบอต (Talbot effect) เปนอกแนวทางหนงทถกน ามาประยกตใชกบการกกอะตอมเยนเชนกน (Williams, Pillet, Al–Assam, Fletcher, Shotter, & Foot, 2008) ซงปรากฏการณทลบอตเปนปรากฏการณการเลยวเบนแบบสนามใกล (near - field diffraction) เกดขนเมอมแหลงก าเนดอาพนธ เชน เลเซอร เลยวเบนผานเกรตตงและไปแทรกสอดกน ทระยะทลบอต (Talbot length) ภาพรวรอยแทรกสอดทเกดขนจะมขนาดเทากบเกรตตง ทกประการ (self – imaging) ในกรณทวไปยงสามารถสงเกตภาพรวรอยการแทรกสอดทระยะอตราสวนของระยะทลบอต (fractional Talbot effect) ไดเชนกน แตรวรอยแทรกสอดทเกดขนจะมขนาดเลกกวาเกรตตง (สรายธ เดชะปญญา, 2552)

2

(a)

(b) (c) ภาพท 1-1 แลตทชของแสงใน 2 มต (a) จากคลนนง (b) จากปรากฏการณทลบอตทระยะครง ทลบอต (c) จากปรากฏการณทลบอตทระยะหนงทลบอต

วตถประสงคของกำรวจย การศกษาวจยนมจดประสงคเพอจ าลองและเปรยบเทยบการกกอนภาคในหลมแสงจากคลนนงหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทเปนบอศกยแบบไมเชงเสน (non – linear potential well) โดยการหาผลเฉลยระดบพลงงาน ฟงกชนคลนทสมนยกบคาพลงงาน จากสมการ ชโรดงเงอรแบบไมขนกบเวลาส าหรบหลมแลตทชดงกลาวนในหนงมต รวมไปถงความหนาแนนของโอกาสทจะตรวจพบอนภาคนอกบอศกย โดยยงไมค านงถงอนตรกรยาอนๆ นอกเหนอไปจากบอศกยทไดจากหลมแสง กรอบแนวคดในกำรวจย ผวจยมแนวคดวา หลมแสงจากคลนนงของแสงมขอจ ากดทระยะหางระหวางหลมถกก าหนดดวยครงหนงของความยาวคลนของแสงทใชเสมอ ดงนนการน าแลตทชของแสงทไดจาก

x position y p

ositio

n

x position

y pos

ition

x position

y pos

ition

2D optical lattices

2D optical lattices

3

การใชเกรตตงสรางรวรอยการแทรกสอดของแสงจากปรากฏการณทลบอตซงสามารถปรบระยะหางระหวางแลตทชของแสงไดจงเปนอกแนวทางหนงทจะน ามาศกษาเพอจะไดน าไปประยกตกบการกกอะตอมเยน

ประโยชนทคำดวำจะไดรบจำกกำรวจย 1. ไดหลกการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตในระบบหนวย

อะตอม โดยใชโปรแกรม Mathematica เพอใชในการศกษาการกกอนภาคในบอศกยแบบตาง ๆ ในหนงมต ส าหรบการศกษาในระดบอดมศกษา

2. ไดฟงกชนคลนและระดบพลงงานของอนภาคทถกกกในหลมแสงจากคลนนง และหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต

3. ไดความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคจากฟงกชนคลนเพอเปรยบโอกาสในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย

ขอบเขตของกำรวจย ตวแปรทศกษำ ตวแปรตน

1. หลมแสงทเกดจากคลนนงของแสง 2. หลมแลตทซของแสงจากปรากฏการณทลบอตทระยะครงทลบอต และทระยะ

หนงทลบอต ตวแปรตำม

1. ฟงกชนคลนของอนภาคทถกกกขงในหลมแสงจากคลนนง และหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต

2. ระดบพลงงานของอนภาคทถกกกขงในหลมแสงจากคลนนง และหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ตวแปรควบคม

1. ความยาวคลนแสง 2. อตราสวนของชองเปดตอหนงคาบของเกรตตง

4

ขอจ ำกดของกำรวจย ในการวจยนจะหาผลเฉลยฟงกชนคลนและระดบพลงงานของอนภาคในหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตโดยไมค านงถงอนตรกรยาอน ๆ

นยำมศพทเฉพำะ กำรกกอนภำค (trapping particle) หมายถง การใชบอพลงงานศกยทเกดจากสนาม แมเหลกไฟฟาของแสงเลเซอรในการดกจบและจดการกบอนภาคทมพลงงานนอยกวาบอพลงงานศกยของแสงเลเซอร คลนนงของแสง (standing wave of light) หมายถง ปรากฏการณการแทรกสอดของคลนแสงอาพนธสองขบวนเคลอนทสวนทางกนในแนวเสนตรงเดยวกน แลวเกดการซอนทบกนแบบเสรมกน และหกลางกน ต าแหนงคลนรวมทมการกระจดเปลยนแปลงตงแตลบมากทสดไปจนถงบวกมากทสด เรยกวา ปฏบพ และต าแหนงคลนรวมทมการกระจดมคาเปนศนยเสมอ เรยกวา บพ ซงบพจะอยต าแหนงกงกลางของปฏบพทตดกนและมระยะหางเทากบครงหนงของความยาวคลนแสงเสมอ แลตทชของแสง (optical lattice) คอ ตะแกรงแสงหรอโครงขายของแสงซงเปนโครงขายของสนามแมเหลกไฟฟาทเกดจากการแทรกสอดของแสงอาพนธ เชน เลเซอร มรปแบบทง 1 มต 2 มต และ 3 มต ปรำกฏกำรณทลบอต (Talbot effect) หมายถง ปรากฏการณการเลยวเบนของแสงแบบสนามใกล เกดขนเมอมแหลงก าเนดอาพนธ เลยวเบนผานเกรตตงแลวไปแทรกสอดกนซงทระยะทลบอต ภาพรวรอยการแทรกสอดจะมขนาดเทากบเกรตตงทกประการ (self – imaging) ในกรณทวไปยงสามารถสงเกตภาพรวรอยการแทรกสอดทระยะอตราสวนของระยะทลบอต (fractional Talbot effect) ไดเชนกน แตรวรอยแทรกสอดทเกดขนจะมขนาดเลกกวาเกรตตง

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

แลตทชของแสง แลตทชของแสง (optical lattices) คอ ตะแกรงแสงหรอโครงขายของแสงซงเปนโครงขายของสนามแมเหลกไฟฟาทเกดจากการแทรกสอดของแสงอาพนธ (coherent light) เชน เลเซอร มรปแบบทงใน 1 มต 2 มต และ 3 มต สามารถสรางแลตทชของแสงจากการแทรกสอดของแสงแลวเกดคลนนง และการแทรกสอดของแสงผานเกรตตง ซงแลตทชของแสงสามารถกกอะตอมทเปนกลางทางไฟฟา โดยอะตอมจะถกท าใหเยนลงและถกกกในหลมแสง แลตทชของแสงจงมความส าคญยงในการศกษาและการวจยตงแตฟสกสพนฐานจนถงฟสกสขนสง อาทเชน การสรางชดสาธตการเกดคลนนงของแสงดวยเลเซอรชต าแหนง (Kim, Kim, Lim, Pandiyan, & Cha, 2010) การศกษากลศาสตรควอนตมของระบบหลายอนภาค การประยกตทางควอนตม ไดแก เทคโนโลยสารสนเทศควอนตม (quantum information technology) การทดลองของควอนตมแกสเยนยวดยง (ultra–cold quantum gasses) (Jaksch, 2004) นอกจากนการศกษาการกกอะตอมในหลมแลตทชของแสงสามารถน าไปสการศกษาการกกอะตอมเดยวทเปนฉนวนในสถานะ Mott (Mott insulator phase) ซงเปนการเตรยมอะตอมเพอน าไปใชในควอนตมคอมพวเตอร (Greiner et al., 2002) ตลอดจนถงการน าแลตทชของแสงไปกกอะตอมเยนยวดยงของสถานะ BEC (Greiner, Bloch, Mandel, Hänsch, & Esslinger, 2001) เปนตน

แลตทชจากคลนนงของแสง คลนนงของแสง (standing wave of light) เปนปรากฏการณการแทรกสอดของคลนแสงแลวเกดคลนนง ซงหลกการเกดคลนนงของแสงมหลกการเดยวกบการเกดคลนนงของเสนเชอก และคลนนงของเสยง แตกตางกนตรงทความยาวคลนแสงมความยาวคลนนอยกวาความยาวคลนบนเสนเชอก และนอยกวาความยาวคลนเสยงมาก กลาวคอ คลนนงของแสงเกดจากคลนแสงอาพนธสองขบวนเคลอนทสวนทางกนในแนวเสนตรงเดยวกน แลวเกดการซอนทบกนแบบเสรมกน (constructive superposition) และหกลางกน (destructive superposition) บางต าแหนงของคลนรวมมการกระจดเปลยนแปลงตงแตลบมากทสดไปจนถงบวกมากทสด เรยกต าแหนงนวา ปฏบพ (antinode) และ บางต าแหนงการกระจดของคลนรวมมคาเปนศนยเสมอ เรยกต าแหนงนวา บพ (node) หรอเรยกวา แลตทชของแสง ทต าแหนงกงกลางของปฏบพทตดกน จะมระยะหางเทากบ

6

ระยะหางระหวางจดบพทตดกนและจะมคาเทากบครงหนงของความยาวคลนแสงเสมอ ดงแสดงในภาพท 2-1

ภาพท 2-1 ต าแหนงบพและปฏบพของคลนนง (ดดแปลงจาก Hecht, 2002) ก าหนดใหคลนนงของแสงความยาวคลน อยในแนวแกน x จะไดความเขมแสงจากคาสมบรณของฟงกชนคลนนง S ทต าแหนง x ใด ๆ เปนดงสมการท (2.1)

* 2

0 sinS SI I kx (2.1) เมอ k = 2 / คอ องคประกอบเลขคลนตามแกน x และ 0I เปนความเขมสงสดทขนอยกบความเขมของแสง จากภาพท 2-1 แสดงรปแบบของการแทรกสอดของแสงแลวท าใหเกดคลนนง ทต าแหนง x = /4 , 3/4, 5/4, … เปนต าแหนงทคลนนงมความเขมแสงสงสดเทากบ 0I เรยกต าแหนงนวา ปฏบพ และทต าแหนง x = 0, /2 , , 3/2 , 2 , … เปนต าแหนงทคลนนงมความเขมแสงต าสด เรยกต าแหนงนวา บพ หรอเรยกวา แลตทชของแสง ซงแลตทชของแสงทตดกนจะมระยะหางเทากบครงหนงของความยาวคลนแสงทใชเกดคลนนงเสมอ (Hecht, 2002)

แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ปรากฏการณทลบอต (Talbot Effect) ปรากฏการณทลบอตคนพบโดย William Henry Fox Talbot นกประดษฐชาวองกฤษ ผลงานการคนพบนถกตพมพในวารสาร The London and Edinburgh Philosophical Magazine and Journal of Science Third Series ฉบบเดอนตลาคม ค.ศ.1836 (Talbot, 1836) ทลบอตพบวา รวรอยการแทรกสอดทเกดขนหลงเกรตตงจะมขนาดเทากบคาบของเกรตตง เมอระยะระหวางเกรตตงและต าแหนงฉากรบภาพเทากบระยะคงทคาหนง ตอมาในป ค.ศ.1881 Lord Rayleigh ไดอธบาย

2

บพ

ปฏบพ

7

ปรากฏการณทลบอตดวยหลกการการแทรกสอดแบบสนามใกลของเฟรสเนล (Fresnel diffraction) และก าหนดใหเรยกระยะหางระหวางเกรตตงและต าแหนงฉากรบภาพทเทากบระยะคงทคาหนงท

ท าใหเกดรวรอยการแทรกสอดหลงเกรตตงมขนาดเทากบคาบของเกรตตง วา ระยะทลบอต ( TL ) ดงภาพท 2-2

ภาพท 2-2 แผนภาพการซอนทบกนของระนาบคลนแสงภายหลงการเลยวเบนผานเกรตตงแลวเกด การแทรกสอดแบบสนามใกลทเรยกวา ปรากฏการณทลบอต (ดดแปลงจาก Fournier,

Rohner, Merenda, Jacquot, & Salathé, 2007) การเกดแลตทชของแสงใน 1 มตจากปรากฏการณทลบอต เมอฉายล าแสงอาพนธจากตนก าเนดแสงทมความยาวคลน ระนาบคลนแสงมฟงกชน

คลนทไมขนกบเวลาเปน sinikxe เมอ sink คอ องคประกอบเลขคลน ( 2 / λk ) ตามแนวแกน x ระนาบคลนจะเคลอนทในแนวแกน z ไปตกกระทบกบเกรตตงทวางในแนวแกน x ภายหลงจากแสงเลยวเบนผานเกรตตงทต าแหนง 0z แลวเกดการแทรกสอด สามารถอธบายฟงกชนคลนไดตามสมการท (2.2) ดงน

,) e( xp(, ) exp ( )T n d n

n

n

n

kx z A i Ank x ik (2.2)

TL

8

เมอ sin( ) /nA n f n เปนองคประกอบฟเรยรส าหรบเกรตตงทมคาบเปน d โดยม

f เปน อตราสวนของชองเปดตอหนงคาบของเกรตตง 2 /dk d เปนคาคงทของเกรตตง และ

TL = 2d / ในทนคอ ระยะทลบอต เมอคลนเลยวเบนผานเกรตตง ทระยะ z ใด ๆ จากเกรตตงไปยงฉากรบภาพ เฟสของคลนจะเพมขนตามองคประกอบ zk z โดย zk และ ,nk เปนองคประกอบของเลขคลนทขนานกนและต งฉากกบแกน z และ 2 2 1/2

,( )nzk k k โดยมการประมาณพารา เ ซยล (paraxial approximation) k k และกระจายโดยใชวธไบโนเมยล (binomial expansion) สองอนดบแรก

(1/2) (1/2) (1/2)

2 2 2 2 21

2zk k k k k k

(2.3)

เมอ 2

 ; 2

d

d z

k nkk nk k k

k

แทนคา k และ zk จากสมการท (2.3) แทนลงในสมการท (2.2) สามารถเขยนสมการฟงกชนคลนไดดงสมการท (2.4)

2

( , ex2

)d

n d

n

T

k nkA p i k nk x i kz zx

k

(2.4)

กรณของปรากฏการณทลบอต ซง 0k ฟงกชนคลนของสมการท (2.4) สามารถลดรปสมการไดดงสมการท (2.5)

2

x2

( , e) pd

n d

n

T

nkx z A ink x i k z

k

(2.5)

พจารณา 2

2

dnki k z

k

ของสมการท (2.5) จะไดวา kz สามารถตดทงได เนองจากเปนคาคงท

จงเขยนสมการท (2.5) ใหมไดเปน

2 2

exp( , exp2

)Td

n d

n

in k zA ink x

kx z

(2.6)

น าองคประกอบเลขคลน ( 2 / λk ) และคาคงทของเกรตตง ( 2 /dk d ) แทนลงในสมการท (2.6) ซงรวรอยการแทรกสอดของแสงหลงเกรตตงจะกระจายตวไปในแนวแกน z แสดงดงภาพท 2-3 ฟงกชนคลนของแสงทต าแหนง ( ,x z ) ใด ๆ ดงสมการท (2.7)

22( , ) expT n

n T

inx z A in x z

d L

(2.7)

ส าหรบความเขมแสงทต าแหนง ( ,x z ) ใด ๆ จะสามารถหาไดจากสมการท (2.8) (Case, Tomand, Deachapunya, & Arndt, 2009)

9

2 2*

0

,

2 ( ) exp ( )T T n m

n m T

i n mI I A A i n m x z

d L

(2.8)

ภาพท 2-3 แผนภาพการเกดปรากฏการณทลบอตใน 1 มต (Case et al., 2009) การเกดแลตทซของแสงใน 2 มตจากปรากฏการณทลบอต

จากความเขมแสงของรวรอยการแทรกสอดตามแนวแกน ,x z สามารถค านวณไดจาก

สมการท (2.8) เมอพจารณาฟงกชนคลนของแสงทกระจายตวตามแนวแกน ,y z ทระยะใด ๆ จะเปนไปตามสมการท (2.9)

22( , ) expT n

n T

iny z A in y z

d L

(2.9)

และความเขมแสงของรวรอยการแทรกสอดบนระนาบ xy ทระยะ z ใดๆ สามารถค านวณไดจากสมการท (2.10) (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014)

2( , ) ( , )T TI x z y z (2.10)

สมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลา การศกษาการกกอนภาคในบอศกยใด ๆ นน การวเคราะหความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคภายใตอทธพลของพลงงานศกย จะตองแกสมการชโรดงเงอรเพอหาผลเฉลยฟงกชนคลนของสมการชโรดงเงอร ในกรณอนภาคถกกกในบอศกยทเปนฟงกชนไมขนกบเวลาในหนงมตจะใชสมการชโรดงเงอรทไม ขนกบเวลาใน 1 มต (Time independent Schrodinger equation in 1 dimension) ซงมรปแบบดงสมการท (2.11)

10

2 2

2

( ) ( ) ( ) 0

2

d xE V x x

m dx

(2.11)

เมอ ( )x คอ ฟงกชนคลนของอนภาคตามแกน x ทสอดคลองกบคาพลงงานเจาะจง E และ V(x) เปนพลงงานศกยของบอศกยทไมขนกบเวลา (Griffiths, 2005) ซงปรากฏการณทางควอนตมเปนปรากฏการณทมขนาดเลกระดบอะตอมจงนยมใชหนวยในระบบอะตอม โดยก าหนดให คาคงทของพลงค และมวลของอนภาคมขนาด 1 หนวย 1m ดงนนสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมต จงลดรปในระบบหนวยอะตอมไดดงสมการท (2.12) (Hartree, 1928)

2

2

( )2 ( ) ( ) 0

d xE V x x

dx

(2.12)

ผลเฉลยของสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตจะมเฉพาะบางคาทสอดคลองกบจ านวนเตม n = 1, 2, 3, … เรยก n วา เลขควอนตม (quantum number) ส าหรบแตละระดบพลงงานรวม (E) เรยกคาพลงงานวา คาเจาะจง (eigenvalue) ส าหรบแตละคาเจาะจง (E) จะมฟงกชนคลนซงเปนฟงกชนเจาะจง (eigenfunction) ทสมนยกบคาเจาะจง การแปลความหมายฟงกชนคลนสามารถใชคาสมบรณของฟงกชนคลนซงบอกถงความหนาแนนของความนาจะเปน (probability density) ในการตรวจพบอนภาค P( ) ( ) ( )x x x โดยก าหนดใหฟงกชนคลนเปนไปตามเงอนไขของฟงกชนคลนปกต (normalization wave function condition) ดงสมการท (2.13) (Griffiths, 2005)

( ) ( ) 1 x x dx

(2.13)

อนภาคทถกกกในบอศกยแบบฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงาย ในการศกษาการจ าลองอนภาคทถกกกในบอศกยนน กรณฟงกชนของพลงงานศกย แปรผนโดยตรงกบคาก าลงสองของพกด 2V x x จะเรยกวาเปน ฮารมอนกออสซลเลเตอร

อยางงาย (simple harmonic oscillator) มสมการเปน 2 21

2V x m x (Rohlf, 1994) ซงผลเฉลย

ฟงกชนคลนจะเปนไปตามสมการท (2.14) 2

1

42

1( )

2 !

m x

n nn

m mx e H x

n

(2.14)

เ มอ ฟงกชน 2 2

1n

n z z

n n

dH z e e

dz

คอ พหนามแฮรมท (Hermite polynomials) ของ

ฟงกชน z และผลเฉลยระดบพลงงานจะเปนไปตามสมการท (2.15)

1

2 1 , 0, 1, 2, ...2 2

nE n n n

(2.15)

11

ซงในระบบหนวยอะตอม อนภาคทมมวลเปน m และมความเรวเชงมมของการสนเปน จะมคาเปน 1 1m (Vasile, 2015) ดงนน ผลเฉลยระดบพลงงานของอนภาคจะเปนไปตามสมการท (2.16)

1 2 1 , 0, 1, 2, ...

2 2n

nE n n

(2.16)

เมอ 0E เปนพลงงานของอนภาคทสถานะพน (ground state), 1E และ 2E เปนพลงงานของอนภาคทสถานะกระตนท 1 (1st excited state) และสถานะกระตนท 2 (2nd excited state) ตามล าดบ ผลเฉลยฟงกชนคลนและระดบพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงายตงแตสถานะพนจนถงสถานะกระตนท 4 (4th excited state) สามารถสรปไดดงตารางท 2-1 (บรรจบ สดประเสรฐ, 2539) ตารางท 2-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และระดบพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกยฮารมอนก ออสซลเลเตอรอยางงาย (ดดแปลงจาก บรรจบ สดประเสรฐ, 2539)

n ( )n x nE

0 2

1

42

0 ( )m x

mx e

0.5

1 2

1

42

1

2( )

m xm m

x xe

1.5

2 2

12

42

2

1 2( ) 1

2

m xm m x

x e

2.5

3 2

13

42

3

2( ) 3

3

m xm m m x

x x e

3.5

4 2

12

44 2 2

4

1 2( ) 4 12 3

24

m xm m m m

x x x e

4.5

งานวจยทเกยวของ งานวจยในประเทศไทย สรายทธ เดชะปญญา และ สรไกร ศรศภผล (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014) ไดท าการทดลองและจ าลองแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต โดยอาศยการแทรกสอดของแสงระยะใกลภายหลงจากแสงเลยวเบนผานเกรตตงดวยระบบแสงปกตทไมใชเลนส ดงภาพท 2-4

12

ภาพท 2-4 แผนภาพการตดตงอปกรณการทดลองการสรางแลตทชของแสงจากปรากฏการณ ทลบอต (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014) ล าแสงอาพนธจากตนก าเนดแสงเลเซอรไดโอดสเขยวความยาวคลน 532 นาโนเมตร ก าลง 5 มลลวตต ถกขยายล าแสงดวยกลองโทรทรรศนแสงเสนผานศนยกลาง 20 มลลเมตร เพอกระจายแอมพลจดของแสงใหครอบคลมเกรตตง และใหภาพจากปรากฏการณทลบอตคมชดสง

ล าแสงจะแผตามแนวแกน x ผานเกรตตงท 1 (g1) เมอพจารณาทางเดนของแสงตามแนวแกน x พบวา ระยะทางเดนของแสงจากเกรตตงตวท 1 (g1) ถง CCD มคาเทากบ D0+D1 ซงเปนระยะหนงเทาของระยะทลบอตของแสงดวย (1.0 TL = 75.2 มลลเมตร) เนองจากล าแสงผานเกรตตงม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 (เกรตตงสามารถหมนไดดวยตวยดเกรตตงทหมนไดเพอทใหล าแสงเปนเสนตรงไปถงแนวแกนของกลอง) ดงนน จงไดระยะหางระหวางแลตทช ( p ) จะเทากบคาบของเกรตตง (d) การตดตงอปกรณเพอสรางแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตใน 2 มต ท าไดโดยเพมเกรตตงตวทสอง (g2) ตามภาพท 5 เกรตตงตวท 2 (ซงเหมอนกบเกรตตงตวท 1) จะถกวางใหอยในแนวตงฉากกบเกรตตงตวแรก (เกรตตงตวท 1 วางในแนวขนานกบแนวแกน y และเกรตตงตวท 2 วางในแนวขนานกบแกน x) รปแบบของแสงจากปรากฏการณทลบอตจะรวมกนผานตวแยกแสงท 2 (BS2) และแลตทชของแสงใน 2 มตจากปรากฏการณทลบอตจะถกสรางบนระนาบ CCD ซงเกรตตงแตละตวจะวางเหนอแทนวางทเลอนทได ทงนเพอทจะปรบระยะทางเดนของแสงจากระหวางเกรตตงถง CCD (D0+D1)

13

ท านองเดยวกนกบการสรางแลตทชของแสงใน 1 มต แลตทชของแสงใน 2 มต สรางไดโดยใชล าแสงอาพนธจากตนก าเนดแสงเลเซอรไดโอดสเขยวความยาวคลน 532 นาโนเมตร ก าลง 5 มลลวตต ถกขยายล าแสงดวยกลองโทรทรรศนแสงเสนผานศนยกลาง 20 มลลเมตร เพอกระจายแอมพลจดของแสงใหครอบคลมเกรตตงและใหภาพจากปรากฏการณทลบอตคมชดสง จากนน ล าแสงจะผานตวแยกแสงท 1 (BS1) ไดล าแสงเลเซอร 2 ล าแสง ล าแสงท 1 จะเดนทางตามแนวแกน

x ผานเกรตตงท 1 (g1) ล าแสงท 2 จะตกกระทบท กระจก M1 แลวสะทอนออกจากกระจก M1 ไป

ตกกระทบกระจก M2 ซงล าแสงทสะทอนจากกระจก M2 จะเดนทางตามแนวแกน z ผานเกรตตงท

2 (g2) เมอพจารณาทางเดนของแสงตามแนวแกน x พบวา ระยะทางเดนของแสงจากเกรตตงตวท 1 (g1) ถง ตวแยกแสงท 1 (BS1) จะเทากบ D1 และระยะทางเดนของแสงจากตวแยกแสงท 1 (BS1) ถง CCD มคาเทากบ D0 ดงนนระยะ 1.0LT ของล าแสงท 1 จะมคาเทากบ D0+D1 ในท านองเดยวกน

เมอพจารณาทางเดนของแสงตามแนวแกน z ระยะทางเดนของแสงจากเกรตตงตวท 2 (g2) ถง ตวแยกแสงท 1 (BS1) จะเทากบ D1 และ ระยะจากตวแยกแสงท 1 (BS1) ถง CCD มคาเทากบ D0 ดงนนระยะ 1.0LT ของล าแสงท 2 จะมคาเทากบ D0+D1 ดวยเชนกน ซงล าแสงทงสองจะมระยะ 1.0LT = 75.2 มลลเมตร เทากน เนองจากล าแสงผานเกรตตงทม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 (เกรตตงทงสองสามารถหมนไดดวยตวยดเกรตตงทหมนไดเพอทใหล าแสงเปนเสนตรงไปถงแนวแกนของกลอง) ดงนน จงไดระยะหางระหวางแลตทช ( p ) จะเทากบคาบของเกรตตง ( d ) ตามทก าหนด รปแบบของปรากฏการณทลบอตจะรวมกนกนผานตวแยกแสงท 2 (BS2) และ แลตทชของแสงใน 2 มตจากปรากฏการณทลบอตจะถกสรางบนระนาบ CCD ส าหรบการจ าลองแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ดวยเกรตตงทม d = 20 ไมโครเมตร และ f = 0.9 จะไดแลตทชของแสงใน 2 มต ดงภาพท 2-5 ซงมลกษณะเปนรปสเหลยมจตรสทมความกวางดานละ 2 ไมโครเมตร มระยะหางระหวางแลตทช 20 ไมโครเมตร ซงสมนยกบ d = 20 ไมโครเมตร และ f = 0.9 แสดงผลดงภาพท 2-5 ซงสามารถแสดงแลตทชของแสงใน 1 มตดวยเงอนไขเดยวกนแตใชเกรตตง (g1) เพยงตวเดยว ส าหรบความลกของหลมแลตทชสามารถเปลยนแปลงไดตามความเขมของแสงเลเซอร หรอสามารถค านวณหาความลกในภายหลง การจ าลองแลตทชของแสงใน 2 มตจากปรากฏการณทลบอต ท าไดโดยใชสมการท (2.5) ซงไดผลตามภาพท 2-6(a) ผลรวมทค านวณตามสมการจะน ามาพจาณาเฉพาะในชวง n = ±25 ส าหรบเกรตตงทม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 กบความยาวคลนแสงเลเซอร 532 นาโนเมตร และระยะทางเดนของแสงตามแนวยาวเทากบระยะทลบอต ในภาพท 2-6(a) แสดงแลตทชของแสงใน 2 มต ซงมลกษณะเปนรปสเหลยมจตรสทมความกวางดานละ 100 ไมโครเมตร และมระยะหางระหวางแลตทช 200 ไมโครเมตร ซงสมนยกบ d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 ผลการจ าลอง

14

แลตทชทไดสอดคลองกบผลการทดลอง ดงภาพท 2-6(b) นอกจากนยงสามารถขยายขนาดและจ านวนแลตทชของแสงทสรางขนไดถง 18x24 แลตทช ดงภาพท 2-6 (a) และ ภาพท 2-6(b) ขอจ ากดของขนาดและจ านวนแลตทชจะขนอยกบขนาดของเกรตตงเพยงอยางเดยว ในการวจยทอางองนสามารถสรางขนาดแลตทชหรอหลมแลตทชไดถง 127x127 แลตทช และสามารถควบคมความกวางและระยะหางของแลตทชแบบตอบสนองทนททนใด (real time control) ไดดวยการเปลยนระยะทางตามแนวยาวบนแกน x และ z ในการจ าลอง หรอบนแกน x และ z ในการทดลอง

ภาพท 2-5 ผลการทดลองและการจ าลองแลตทชของแสงใน 2 มต จากปรากฏการณทลบอต กบ เกรตตงทม d = 20 ไมโครเมตร และ f = 0.9 (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014)

(a) (b)

ภาพท 2-6 ผลการทดลองและการจ าลองแลตทชของแสงใน 2 มต จากปรากฏการณทลบอต กบ เกรตตงทม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014)

15

ภาพท 2-7 ภาคตดขวางแลตทชของแสงใน 2 มต แสดงการเปลยนแปลงระยะหางระหวางแลตทช และความกวางของแลตทช ดวยการเปลยนระยะทางตามแนวยาว (z และ z ) ตงแต 0.5LT ถง 1.0LT โดยใชเกรตตง 2 ตว ทม d = 200 ไมโครเมตร และ f = 0.5 เทากน (Deachapunya & Srisuphaphon, 2014)

16

ผลการจ าลองในภาพท 2-7(ซาย) แสดงใหเหนวา แมวาเกรตตงทสมมาตร (f = 0.5) จะไมสามารถเปลยนความกวางและระยะหางของแลตทชไดภายในระยะทลบอตส น ๆ แตส าหรบเกรตตงทไมสมมาตร (f = 0.9) สามารถเปลยนเปลยนความกวางและระยะหางระหวางแลตทชไดในชวง 2.0 – 9.8 ไมโครเมตร กบระยะทลบอตสน ๆ ประมาณ 75 ไมโครเมตร ดงภาพท 2-7(ขวา) แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตนเปนแลตทชทดกวาการสรางแลตทชจากคลนนงของแสงอยสามประเดน คอ ประเดนแรก ความกวางและระยะหางของแลตทชสามารถเปลยนแปลงไดอยางยดหยนมากกวาครงหนงของความยาวคลนแสง ประเดนทสอง คอ สามารถตดตงไดงาย โดยเฉพาะอยางยงการตดตงชนสวนประกอบเพอสรางแลตทชของแสงใน 2 มต เพราะขอบเขตของการแทรกสอดของแสงหรอขนาดของแลตทชสามารถแสดงไดดวยการแทรกสอดผานเกรตตงแทนการใชล าแสงเลเซอรหลายล าแสง และประเดนทสาม คอ แลตทชมเสถยรภาพมาก เนองจากไมจ าเปนตองใชกระจกหรอเลนสมารวมล าแสงสะทอนเพอใหเกดคลนนง งานวจยในตางประเทศ Case et al. (2009). ทดลองเกยวกบปรากฏการณการแทรกสอดแบบสนามใกลภายหลงจากแสงเลยวเบนผานเกรตตงตามปรากฏการณทลบอตเพอสรางลวดลายพรมของแสง หรอพรมควอนตม และยงไดแสดงใหเหนถงปรากฏการณทลบอตเลาซงเปนการแทรกสอดของแสงไมอาพนธหลงจากเลยวเบนผานเกรตตง 2 ตว ทแยกกน Williams et al. (2008). สรางชดการทดลองแลตทชทางแสงสองมตแบบใหมทสามารถหมนดวยความถหลายกโลเฮรต ซงอะตอมเยนยวดยงในแตละแลตทชของแสงทก าลงหมนสามารถใชจ าลองเหตการณในควอนตมของระบบทอยภายใตสนามแมเหลกทมความเขมสงเพอศกษาปรากฏการณตาง ๆ เชน ปรากฏการณควอนตมฮอล (quantum hall effect) Jaksch, Bruder, Cirac, Gardiner, and Zoller (1998); Jaksch, Cirac, Zoller, Rolston, Cote, and Lukin (2000) ไดศกษาพลศาสตรของแกสเบาเยนยวดยงของโบซอนกอะตอมในแลตทชของแสงซงอธบายดวยโบส–ฮบบารดโมเดล (Bose–Hubbard model) ทมวจยไดควบคมพารามเตอรของระบบดวยแสงเลเซอรและไดศกษาการเปลยนสถานะทางควอนตมอยางตอเนอง ตงแตสถานะของเหลวยวดยงทศนยองศาสมบรณไปจนถงความเปนฉนวนทสถานะ Mott (Mott insulator phase) จากนนจงเปลยนแปลงความลกของบอศกยของแสงใหเหมาะสมกบฉนวนในสถานะ Mott แลวกกฉนวนในสถานะ Mott ไวในผลกแลตทชของแสง รายงานการวจยนเปนตวอยางททมวจยไดวางโครงสรางของฉนวนในสถานะ Mott ในซปเปอรแลตทชของแสง (optical superlattices) ซงหลมแลตทชทใชกกนนไดใชการซอนทบกนของบอศกยแบบฮารมอนก (superimposed harmonic trap)

บทท 3 วธด ำเนนกำรวจย

เครองมอทใชในกำรวจย

1. เครองคอมพวเตอรส ำหรบตดตงซอฟแวร Mathematica 10.0 2. ซอฟแวร Mathematica 10.0

วธกำรและขนตอนศกษำวจย ในกำรศกษำวจยนมวธกำรศกษำ ดงน

1. ใชแสงอำพนธควำมยำวคลน 532 นำโนเมตร จ ำลองหลมแสงจำกคลนนง และหลมแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอต ก ำหนดใหมแกนสมมำตรท x = 0 พรอมในสดสวน 100 เทำของระบบหนวยอะตอม และพจำรณำขอบเขตส ำหรบกำรกกอนภำค

2. ศกษำขนตอนและหลกกำรหำผลเฉลยสมกำรโชดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตทถกลดรปในระบบหนวยอะตอมดวยกำรจ ำลองกำรกกอนภำคในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำย ดวยวธกำรเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica พรอมทงเปรยบเทยบผลเฉลยทไดจำกวธกำรทงสองกบผลเฉลยทำงทฤษฎ

3. น ำขนตอนและหลกกำรศกษำกำรกกอนภำคในบอศกยทไดจำกวธกำรศกษำในขอ 2. มำเปนหลกกำรในกำรหำค ำตอบเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลขเพอเปรยบผลเฉลยของสมกำรซงไดจำกวธกำรท งสองในกรณทใชหลมแสงจำกคลนนงเปนบอศกย ส ำหรบหลมแลตทชจำกปรำกฏกำรณทลบอตจะใชวธกำรหำค ำตอบเชงตวเลขเพอหำผลเฉลยของสมกำรท (2.12) เทำนน

4. เปรยบเทยบกำรกกอนภำคในหลมแสงทงสอง จำกผลเฉลยระดบพลงงำนของอนภำค พรอมทงเปรยบเทยบคำเปอรเซนตควำมหนำแนนของควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยจำกหลมแสงทงสอง

กำรจ ำลองหลมแสงจำกคลนนง และหลมแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอต เมอใชแสงอำพนธควำมยำวคลน 532 นำโนเมตร จ ำลองหลมแสงจำกคลนนงในหนงมต โดยใชสมกำรท (2.1) ก ำหนดขอบเขตของควำมเขมแสงในชวงของกำรจ ำลอง – /2 x /2 มแกนสมมำตรท x = 0 พรอมก ำหนดใหมตของควำมยำวอยในระบบหนวยอะตอม และจำกหลกกำร

18

ไมแปรผนตำมขนำด (invariance scale) ทวำ ในฟสกสและคณตศำสตร คณลกษณะของวตถหรอกฎจะไมเปลยนแปลง ถำควำมยำวหรอพลงงำนจะถกคณดวยตวประกอบรวมกน (Bahman Zohuri, 2015) จงใชสดสวน 100 เทำ กบควำมยำวคลนแสงในระบบหนวยอะตอมดงนน ควำมยำวคลนแสงพรอมสดสวน 100 เทำในระบบหนวยอะตอมจะมคำเปน a.u. = /( a0×100) เมอ a0 เปนรศมอะตอมของโบรมคำเทำกบ 5.29×10 –11 เมตร ซงคำ 0I จะถกก ำหนดใหมคำเทำกบ 1 ผลกำรจ ำลองแสดงดงภำพท 3-1

ภำพท 3-1 หลมแสงจำกคลนนง ขอบเขตควำมเขมแสงในชวงของกำรจ ำลอง – /2 x /2 Deachapunya and Srisuphaphon (2014) ทดลองและจ ำลองแลตทชของแสงหนงและ สองมตจำกปรำกฏกำรณทลบอต พบวำ ในเกรตตงทไมสมมำตร ควำมกวำงและระยะหำงระหวำงแลตทชสำมำรถปรบเปลยนไดอยำงยดหยนดวยกำรเปลยนระยะทำงตำมแนวยำวบนแกน z ในชวงระยะทลบอตสน ๆ แตในเกรตตงทสมมำตร (f = 0.5) จะไมสำมำรถเปลยนควำมกวำงและระยะหำงระหวำงแลตทชได ในกำรศกษำวจยนจงใชแสงอำพนธทมควำมยำวคลน 532 นำโนเมตร จ ำลองแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอตในหนงมตโดยใชสมกำรท (2.3) ผลรวมทค ำนวณตำมสมกำรจะน ำมำพจำณำเฉพำะในชวง n = m = ±25 กบเกรตตงทม d = 2 ไมโครเมตร f = 0.9 และก ำหนดขอบเขตควำมเขมแสงในชวงของกำรจ ำลอง –0.25 d x 0.25 d ทระยะหำงระหวำง แลตทชเปนครงหนงของคำบของเกรตตง (z = 0.5LT) และทระยะหำงระหวำงแลตทชเทำกบคำบของเกรตตง (z = 1.0LT) หลงเกรตตง โดยมแกนสมมำตรท x = 0 พรอมในสดสวน 100 เทำของระบบหนวยอะตอมเชนเดยวกบกำรจ ำลองหลมแสงจำกคลนนง ซงในกำรจ ำลองนคำของ 0I จะถกก ำหนดใหมคำเทำกบ 1 เทำกนในทงสองกรณ แสดงผลดงภำพท 3-2(a) และ 3-2(b) ตำมล ำดบ

x

V xI

x

19

(a) (b)

ภำพท 3-2 หลมแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอต ขอบเขตควำมเขมแสงในชวงของกำร จ ำลอง –0.25 d x 0.25 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z = 1.0LT

เนองจำกกำรศกษำนจะศกษำกำรกกอนภำคในบอศกยโดยไมค ำนงถงอนตรกรยำอน ๆ จงก ำหนดขอบเขตของควำมเขมแสงในชวงของกำรจ ำลองหลมแลตทชของแสงในหนงมตจำกปรำกฏกำรณทลบอตทระยะ z = 0.5LT และ ทระยะ z = 1.0LT ในชวง –0.07d x 0.07d ซงอยในขอบเขตส ำหรบพจำรณำกำรกกอนภำค ดงแสดงผลดงภำพท 3-3(a) และ 3-3(b) ตำมล ำดบ

(a) (b)

ภำพท 3-3 หลมแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอต เมอขอบเขตควำมเขมแสงในชวงของ กำรจ ำลอง –0.07 d x 0.07 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z = 1.0LT

กำรจ ำลองอนภำคทถกกกในบอศกยแบบฮำรโมนกออสซลเลเตอรแบบงำยใน 1 มต ในกำรศกษำกำรจ ำลองอนภำคทถกกกในบอศกยนน กรณฟงกชนของพลงงำนศกย แปรผนโดยตรงกบคำก ำลงสองของพกด 2V x x จะเรยกวำเปน ฮำรมอนกออสซลเลเตอร

แบบงำย (simple harmonic oscillator) มสมกำรเปน 2 21

2V x m x ซงในระบบหนวยอะตอม

x

V x

x

V xI

x

I

x

I

x

I

x

20

อนภำคทมมวลเปน m และมควำมเรวเชงมมของกำรสนเปน จะมคำเปน 1 1m ดงนนกำรจ ำลองและหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตทถกลดรปในระบบหนวยอะตอม ดวยวธกำรเชงวเครำะห (Analytical method) และวธกำรเชงตวเลข (Numerical method) โดยใชโปรแกรม Mathematica มล ำดบขนตอนดงภำพท 3-4 ดงน

V=ฟงกชนพลงงำนของบอศกย L= ขอบเขตของบอศกย

energy1 = คำพลงงำนเจำะจงท n=1 energy2 = คำพลงงำนเจำะจงท n=2

energy = คำพลงงำนเจำะจง V= x2;L=4;

Start

even= Flatten[DSolve[{ψ''[x]+2*(energy-V)*ψ[x]⩵0,

ψ'[0]⩵0 ,ψ[L/4]⩵1},ψ[x],{x,-L,L}]]

even

odd= Flatten[DSolve[{ψ''[x]+2*(energy-V)*ψ[x]⩵0,

ψ[0]⩵0 ,ψ[L/4]⩵1},ψ[x],{x,-L,L}]]

energy1=i/.FindRoot[Re[ψ[x]/.even/.x→L/.energy→i],{i,1}]

energy2=i/.FindRoot[Re[ψ[x]/.odd/.x→L/.energy→i],{i,1}]

Plot[Re[ψ[x]/.even/.x→L/.energy→i],{i,0,4}]

Plot[Re[ψ[x]/.odd/.x→L/.energy→i],{i,0,4}]

Re[ψ[x]/.even/. x→L/.energy →1]//N Re[ψ[x]/.odd/. x→L/.energy →1]//N

Yes No

A

21

ภำพท 3-4 ผงกำรจ ำลองกำรกกอนภำคในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยใน 1 มต และ กำรหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตถกลดรปในระบบหนวย อะตอม ดวยวธกำรเชงวเครำะห โดยใชโปรแกรม Mathematica ในกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรเชงตวเลขจะเรยกใชค ำสง ParametricNDSolveValue ซงเปนค ำสงทใชในกำรหำผลเฉลยเชงตวเลขตำมระเบยบวธหลำยขนแบบอดม (multi-step Adam method) (Hoffman, 2001) แทนค ำสง DSolve ซงเปนค ำสงในกำรหำผลเฉลยเชงวเครำะห และกำรหำคำพลงงำนทถกตองตำมเงอนไขจะใชแบบระเบยบวธของนวตน (Newton’s method) (Hoffman, 2001) ส ำหรบกำรหำผลเฉลยคำพลงงำนเจำะจง และฟงกชนคลนปกตสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง มล ำดบขนตอนดงภำพท 3-5 ดงน

out1= เปอรเซนตควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยท n=1 out2= เปอรเซนตควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยท n=2

lim1= ขอบเขตทพลงงำนของบอศกยเทำกบพลงงำนของอนภำค n=1 lim2= ขอบเขตทพลงงำนของบอศกยเทำกบพลงงำนของอนภำค n=2

A

p1= NIntegrate[Abs[Re[ψ[x]/.even/.(energy→energy1)]]2,{x,-L,L}]]

wavenormalized1=Re[ψ[x]/.even/.(energy→energy1)]/Sqrt[p1]

p2= NIntegrate[Abs[Re[ψ[x]/.odd/.(energy→energy2)]]2,{x,-L,L}]]

wavenormalized2=Re[ψ[x]/.odd/.(energy→energy2)]/Sqrt[p2]

wavenormalized1= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง n=1 wavenormalized2= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง n=2

lim1=x/.FindRoot[V⩵energy1,{x,-L,0}]

lim2=x/.FindRoot[V⩵energy2,{x,-L,0}]

out1= NIntegrate[Abs[Re[ψ[x]/.even/.(energy→energy1)]/

Sqrt[p1]]2, {x,-L,lim1}]*2*100

out2= NIntegrate[Abs[Re[ψ[x]/.odd/.(energy→energy2)]/

Sqrt[p2]]2, {x,-L,lim2}]*2*100

Stop

22

V=ฟงกชนพลงงำนของบอศกย L= ขอบเขตของบอศกย

A

energy = คำพลงงำนเจำะจง V= x2;L=4;

Start

even= Flatten[[ParametricNDSolveValue[{ψ''[x]+

2*(energy-V)*ψ[x]⩵0,ψ'[0]⩵0 ,ψ[L/4]⩵1},ψ,

{x,-L,L},{energy}]

even

odd= Flatten[[ParametricNDSolveValue[{ψ''[x]+

2*(energy-V)*ψ[x]⩵0,ψ[0]⩵0 ,ψ[L/4]⩵1},ψ,

{x,-L,L},{energy}]]

energy1=energy/.FindRoot[even[energy][L]==0,{energy,0}]

energy2=energy/.FindRoot[even[energy][L]==0,{energy,0}]

Plot[even[energy][L],{energy,0,4}]

Plot[odd[energy][L],{energy,0,4}]

p1= NIntegrate[Abs[even[energy1][x]]2,{x,-L,L}];

wavenormalized1= even[energy1][x]/Sqrt[p1]

p2= NIntegrate[Abs[odd[energy1][x]]2,{x,-L,L}];

wavenormalized2= odd[energy2][x]/Sqrt[p2]

Plot[even[10][x],{x,-L,L}]

Plot[odd[10][x],{x,-L,L}]

Yes No

energy1 = คำพลงงำนเจำะจงท n=1 energy2 = คำพลงงำนเจำะจงท n=2

wavenormalized1= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง n=1 wavenormalized2= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง n=2

23

ภำพท 3-5 ผงกำรจ ำลองกำรกกอนภำคในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยใน 1 มต และ กำรหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตถกลดรปในระบบหนวย อะตอม ดวยวธกำรเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica จำกผงกำรจ ำลองกำรกกอนภำคในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยใน 1 มตและกำรหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตถกลดรปในระบบหนวยอะตอม โดยใชโปรแกรม Mathematica ดวยวธกำรเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลขในภำพท 3-4 และ 3-5 สรปขนตอนไดดงนคอ

1. ก ำหนดฟงกชนพลงงำนพลงงำนศกยและขอบเขตของบอศกย พรอมทงก ำหนดมตระยะทำงใหอยในระบบหนวยอะตอม

2. ใชหลกกำรก ำหนดเงอนไขในสองต ำแหนงส ำหรบกำรหำผลเฉลยฟงกชนคลนจำกวธกำรเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลขจำกสมกำรท (2.12) กลำวคอ ใหอนพนธอนดบทหนงของฟงกชนคลนทแกนสมมำตร (x = 0) มคำเปนศนย (0) 0 และฟงกชนคลนทต ำแหนงใด ๆในหลมแสงมคำเปน 1 ส ำหรบกำรหำผลเฉลยฟงกชนคลนทเปนฟงกชนค และก ำหนดเงอนไข ใหฟงกชนคลนทแกนสมมำตร (x = 0) มคำเปนศนย (0) 0 และฟงกชนคลนทต ำแหนงใด ๆ ในหลมแสงมคำเปน 1 ทเปนฟงกชนค

lim1=x/.FindRoot[V⩵energy1,{x,-L,0}]

lim2=x/.FindRoot[V⩵energy2,{x,-L,0}]

out1= NIntegrate[Abs[even[energy1][x]/Sqrt[p1]]2,

{x,-L,lim1}]*2*100

out2= NIntegrate[Abs[odd[energy1][x]/Sqrt[p2]]2,

, {x,-L,lim2}]*2*100

Stop

A

lim1= ขอบเขตทพลงงำนของบอศกยเทำกบพลงงำนของอนภำค n=1 lim2= ขอบเขตทพลงงำนของบอศกยเทำกบพลงงำนของอนภำค n=2

out1= เปอรเซนตควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยท n=1 out2= เปอรเซนตควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยท n=2

24

3. แกสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตถกลดรปในระบบหนวยอะตอมเพอตรวจสอบฟงกชนคลนทขอบบอศกยซงสอดคลองกบคำพลงงำนเจำะจง

4. ใชระเบยบวธของนวตนในกำรหำคำพลงงำนเจำะจง 5. ท ำฟงกชนคลนทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจงใหเปนฟงกชนคลนปกต 6. ค ำนวณหำขอบเขตทระดบพลงงำนของอนภำคเทำกบพลงงำนของบอศกย หรอ

ขอบเขตของคลนโอกำสทจะตรวจพบอนภำคภำยนอกบอศกย 7. ค ำนวณหำเปอรเซนตควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยจำกกำรหำ

พนทใตกรำฟของคลนโอกำสทจะตรวจพบอนภำคภำยนอกบอศกย ผลเฉลยฟงกชนคลนและควำมหนำแนนของควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคทถกกกในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยใน 1 มต จำกวธกำรเชงวเครำะห (แสดงผลดวยจด) และวธกำรเชงตวเลข (แสดงผลดวยเสนประ) ตงแตสถำนะพน ถงสถำนะกระตนท 4 แสดงดงตำรำงท 1 ขณะทผลเฉลยคำพลงงำนของอนภำคทถกกกในบอศกยและเปอรเซนตควำมหนำแนนของควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกย แสดงดงตำรำงท 3-1 ตำมล ำดบ ตำรำงท 3-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และควำมหนำแนนของควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำค ทถกกกในบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยใน 1 มตจำกวธกำรเชงวเครำะห และวธกำรเชงตวเลข ระดบพลงงำน

(n) ฟงกชนคลน

x ควำมหนำแนนของควำมนำจะเปน

P x

0

Analytical Method

Numerical Method

x P x

25

ตำรำงท 3-1 (ตอ)

ระดบพลงงำน (n)

ฟงกชนคลน

x

ควำมหนำแนนของควำมนำจะเปน

P x

1

2

3

4

Analytical Method

Numerical Method

x P x

Analytical Method

Numerical Method

x P x

x Analytical Method

Numerical Method

P x

Analytical Method

Numerical Method

x P x

26

ตำรำงท 3-2 ผลเฉลยคำพลงงำนของอนภำคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตควำมหนำแนนของ ควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำย ใน 1 มตจำกวธกำรเชงวเครำะห และวธกำรเชงตวเลข ระดบพลงงำน

(n) คำพลงงำน

(a.u.) เปอรเซนตควำมหนำแนนของควำมนำจะเปน

ในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกย

0 0.50 15.73 1 1.50 11.16 2 2.50 9.47 3 3.50 8.33 4 4.50 6.93

จำกผลกำรศกษำกำรจ ำลองอนภำคทถกกกในบอศกยแบบฮำรมอนกออสซลเตอรอยำงงำยใน 1 มต ดงตำรำงท 3-1 และตำรำงท 3-2 แสดงใหเหนวำ ผลเฉลยจำกขนตอนและหลกกำรก ำหนดเงอนไขในสองต ำแหนงส ำหรบกำรหำผลเฉลยฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจงทไดจำกกำรใชระเบยบวธของนวตน รวมไปถงกำรวเครำะหเปอรเซนตควำมหนำแนนของควำมนำจะเปนในกำรตรวจพบอนภำคนอกบอศกยทงจำกวธกำรเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลขใหผลเฉลยตรงกนในทกระดบพลงงำนตงแตทสถำนะพนจนถงสถำนะกระตนท 4 และนอกจำกน วธกำรทงสองยงใหผลเฉลยระดบพลงงำนและฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนตรงตำมกำรวเครำะห เนองจำกฟงกชนพลงงำนศกยแบบฮำรมอนกออสซลเลเตอรอยำงงำยเปนบอศกยทมฟงกชนพลงงำนศกยคลำยกบหลมแสงจำกคลนนง 2sinV x kx โดยพจำรณำจำกกำรกระจำยพหนำมพจนทหนงและสองดวยอนกรมเทเลอร (Taylor series) กบฟงกชนพลงงำนศกยของหลมแสงจำกคลนนงซงจะไดฟงกชนพลงงำนศกยทแปรผนโดยตรงกบคำก ำลงสองของพกดเชนเดยวกน ดงนนในกำรศกษำวจยนจงน ำขนตอนและหลกกำรศกษำกำรกกอนภำคในบอศกยตำมผงกำรจ ำลองและกำรหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตถกลดรปในระบบหนวยอะตอม โดยใชโปรแกรม Mathematica ดวยวธกำรเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลข ดงแสดงในภำพท 3-4 และ 3-5 ไปศกษำกำรกกอนภำคในหลมแสงจำกคลนนง และหลมแลตทชจำกปรำกฏกำรณทลบอตตอไป

27

กำรหำผลเฉลยฟงกชนคลนทสมนยกบผลเฉลยพลงงำนของอนภำคทถกกกในหลมแสง กำรหำผลเฉลยสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตส ำหรบอนภำคในหลมแสง จะพจำรณำบอศกยทมฟงกชนอยในรปของควำมเขมแสง ( ( )V x I ) โดยใชสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตทถกลดรปใหอยในในระบบอะตอม ดงสมกำรท (2.12) (Hartree, 1928)

2

2

( )2 ( ) ( ) 0

d xE V x x

dx

ในกำรก ำหนดฟงกชนพลงงำนของบอศกยจำกควำมเขมแสงนน จะก ำหนดใหมตของควำมยำวอยในระบบหนวยอะตอม พรอมในสดสวน 100 เทำของระบบหนวยอะตอม เชนเดยวกนกบกำรจ ำลองหลมแสง กรณหลมแสงจำกคลนนง เมอคลนนงควำมยำวคลน อยในแนวแกน x ควำมเขมแสงจำกคำสมบรณของฟงกชนคลนนง S ทต ำแหนง x ใด ๆ เปนหลมแสงจำกสมกำรท (2.1)

* 2

0 sinS SI I kx และในกรณหลมแลตทชปรำกฏกำรณทลบอต เมอใหแนวของเกรตตงอยในแนวแกน x และรวรอยกำรแทรกสอดหลงเกรตตงกระจำยตวไปในแนวแกน z ฟงกชนคลนของแสงทต ำแหนง ( x ) ใด ๆ ดงสมกำร ท (2.7)

22( , ) expT n

n T

inx z A in x z

d L

(Case, et all., 2009) และคำสมบรณของควำมเขมแสงทต ำแหนง ( ,x z ) ใด ๆ ดงสมกำรท (2.8) 2 2

*

0

,

2 ( ) exp ( )T T n m

n m T

i n mI I A A i n m x z

d L

ส ำหรบกำรหำผลเฉลยจำกสมกำรชโรดงเงอรทไมขนกบเวลำในหนงมตทลดรปใหอยในระบบอะตอม ซงม V(x) เปนฟงกชนไมเชงเสนทงหลมแสงจำกคลนนงและหลมแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอต จงใชทงวธกำรหำค ำตอบเชงวเครำะหและวธกำรเชงตวเลขเพอเปรยบผลทไดในกรณหลมแสงจำกคลนนง ส ำหรบแลตทชของแสงจำกปรำกฏกำรณทลบอตจะใชวธกำรเชงตวเลขเทำนน ซงคำของ 0I จะถกก ำหนดใหมคำเทำกบ 1 เทำกนในทงสองกรณ 0 1I เพอเปรยบเทยบกำรกกอนภำคในหลมแสงทงสองรปแบบดงกลำว ตำมขนตอนดงภำพท 3-4 และ 3-5 (ดรำยละเอยดขนตอนกำรจ ำลองและกำรหำผลเฉลย ในภำคผนวก) ในกำรศกษำนจะหำผลเฉลยฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคำพลงงำนเจำะจง รวมไปถงควำมหนำแนนของโอกำสทจะตรวจพบอนภำคนอกบอศกย ตงแตสถำนะพน (ระดบพลงงำนท 1) ถงสถำนะกระตนท 4 (ระดบพลงงำนท 5) ของอนภำคทถกกกในหลมแสงจำกคลนนง และหลมแลตทชจำกปรำกฏกำรณทลบอตทระยะ 0.5LT และ ระยะ 1.0LT

บทท 4 ผลการวจย

ผลการจ าลองหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอต เมอใชแสงอาพนธความยาวคลน 532 นาโนเมตร จ าลองหลมแสงจากคลนนงในหนงมต โดยก าหนดขอบเขตความเขมแสงในชวงของการจ าลอง – /2 x /2 มแกนสมมาตรท x = 0 พรอมในสดสวน 100 เทาของระบบหนวยอะตอม แสดงผลดงภาพท 4-1(a) และใชแสงอาพนธทมความยาวคลน 532 นาโนเมตร จ าลองแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตในหนงมตกบ เกรตตงทม d = 2 ไมโครเมตร f = 0.9 และก าหนดขอบเขตของความเขมแสงในชวงของการจ าลอง –0.25d x 0.25d ทระยะหางระหวางแลตทชเปนครงหนงของคาบของเกรตตง (z = 0.5LT) และทระยะหางระหวางแลตทชเทากบคาบของเกรตตง (z = 1.0LT) หลงเกรตตง โดยมแกนสมมาตรท x = 0 พรอมในสดสวน 100 เทาของระบบหนวยอะตอม แสดงผลดงภาพท 4-1(b) และ 4-1(c) ตามล าดบ

(a) (b) (c) ภาพท 4-1 ผลการจ าลอง (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT ในการศกษาน ศกษาการกกอนภาคในบอศกยโดยไมค านงถงอนตรกรยาอน ๆ จงก าหนดขอบเขตความเขมแสงในชวงการจ าลองหลมแลตทชของแสงในหนงมตจากปรากฏการณทลบอตทระยะ z = 0.5LT และ ทระยะ z = 1.0LT โดยจะพจารณาในชวง –0.07d x 0.07d ซงอยในขอบเขตส าหรบพจารณาการกกอนภาค แสดงผลดงภาพท 4-2

x

V x

x

V x

x

V x

29

(a) (b) ภาพท 4-2 ผลการจ าลองหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ขอบเขตความเขมแสง ในชวงของการจ าลอง –0.07 d x 0.07 d (a) ระยะ z = 0.5LT (b) ระยะ z = 1.0LT

ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแสงจากคลนนง ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแสงจากคลนนง 1 มต จากวธการเชงวเคราะห (แสดงผลดวยจด) และวธการเชงตวเลข (แสดงผลดวยเสนประ) ตงแตระดบพลงงานท 1 (n = 1) ถงระดบพลงงานท 5 (n = 5) แสดงดงตารางท 4-1 ขณะทผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต 1 มตทระยะ z = 0.5LT และ 1.0LT ทระดบพลงงานท 1 (n = 1) ถงระดบพลงงานท 5 (n = 5) แสดงดงตารางท 4-2 และ 4-3 ตามล าดบ

ตารางท 4-1 ผลเฉลยฟงกชนคลน และความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาค ทถกกกในหลมแสงจากคลนนง 1 มต จากวธการเชงวเคราะห และวธการเชงตวเลข ระดบพลงงาน

(n) ฟงกชนคลน

x ความหนาแนนของความนาจะเปน

P x

1

x

V x

x

V x

Analytical Method

Numerical Method

x P x

30

ตารางท 4-1 (ตอ) ระดบพลงงาน

(n) ฟงกชนคลน

x ความหนาแนนของความนาจะเปน

P x

2

3

4

5

จากตารางท 4-1 จะเหนวา ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนใน

การตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแสงจากคลนนง 1 มต ทไดจากวธการเชงวเคราะหและวธการเชงตวเลข ใหผลเฉลยตรงกน ในทกระดบพลงงานตงแตระดบพลงงานท 1 (n = 1) จนถงระดบพลงงานท 5 (n = 5)

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

Analytical Method

Numerical Method

x P x

Analytical Method

Numerical Method

P x

Analytical Method

Numerical Method

x P x

x Analytical Method

Numerical Method

P x

P x

x

31

ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ผลเฉลยฟงกชนคลนและความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทระยะครงทลบอต (0.5LT) และทหนงทลบอต (1.0LT) แสดงผลดงตารางท 4-2 และ 4-3 ตามล าดบ

ตารางท 4-2 ผลเฉลยฟงกชนคลนอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต 1 มต ในชวง –0.07d x 0.07d ระดบพลงงาน (n) z = 0.5LT z = 1.0LT

1

2

3

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x x

x x

x x

32

ตารางท 4 2 (ตอ) ระดบพลงงาน (n) z = 0.5LT z = 1.0LT

4

5

ตารางท 4-3 ผลเฉลยความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคทถกกกในหลม แลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต 1 มต ในชวง –0.07d x 0.07d ระดบพลงงาน (n) z = 0.5LT z = 1.0LT

1

2

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

P x P x

x x

x x

P x P x

33

ตารางท 4-3 (ตอ) ระดบพลงงาน (n) z = 0.5LT z = 1.0LT

3

4

5

ผลเฉลยคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย

ความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาค P( ) ( ) ( )x x x ซงหาไดจากผลเฉลยฟงกชนคลนจากสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตทถกลดรปใหอยในระบบหนวยอะตอม ดงนนโอกาสในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยจงหาไดจากพนทใตกราฟของ P( )x ซงสามารถพจารณาหรอเปรยบเทยบในรปของเปอรเซนต และผลเฉลยระดบพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกยจากหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตแสดงผลดงตารางท 4-4

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

x

V x

P x P x

P x P x

P x P x

34

ตารางท 4-4 ผลเฉลยคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกย และเปอรเซนตความหนาแนนของ ความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย

ระดบพลงงาน (n)

คาพลงงาน (a.u.) เปอรเซนตความหนาแนน

ของความนาจะเปน ในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย

คลนนง ของแสง

ปรากฏการณทลบอต คลนนง ของแสง

ปรากฏการณทลบอต 0.5LT 1.0LT 0.5LT 1.0LT

1 4.35 50.25 0.42 16.09% 10.19% 0.88% 2 13.00 51.08 1.56 11.58% 9.93% 2.10% 3 21.43 53.59 3.34 10.02% 2.97% 2.94% 4 29.65 55.57 5.73 9.17% 3.96% 3.26% 5 37.64 58.31 8.78 8.63% 3.90% 3.23%

จากตารางท 4-4 จะเหนวาเปอรเซนตความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยจากหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตมคานอยกวาหลมแสงจากคลนนงอยางมนยส าคญ

บทท 5 สรปและอภปรายผล

สรปผลการวจย ผลเฉลยพลงงานของอนภาคและฟงกชนคลนทสมนยกบคาพลงงานของอนภาคทถกกกในบอศกยจากสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตและถกลดรปใหอยในระบบหนวยอะตอม พบวา อนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทระยะหนงทลบอตมพลงงานนอยกวาในหลมแสงจากคลนนง แตอนภาคทถกกกในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตทระยะครงทลบอตมพลงงานมากกวาทระยะหนงทลบอตและมากกวาในหลมแสงจากคลนนงในทกระดบพลงงานตงแตสถานะพน จนถงสถานะกระตนท 4 นอกจากน เมอเปรยบเทยบคาเปอรเซนตความหนาแนนของความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกย พบวา ความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยจากปรากฏการณทลบอตมคานอยกวาหลมแสงจากคลนนง

อภปรายผลการวจย จากผลการจ าลอง พบวา หลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตทระยะครงทลบอตมคาพลงงานเรมตนมากกวาทระยะหนงทลบอตและมากกวาหลมแสงจากคลนนง (ประมาณ 50 a.u.) แสดงดงภาพท 5-1 ดงนน อนภาคทถกกกบอศกยจากหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตทระยะครงทลบอตจงมพลงงานมากกวาทระยะหนงทลบอตและมากกวาหลมแสงจากคลนนง

(a) (b) (c) ภาพท 5-1 ผลการจ าลองระดบพลงงานในบอศกย (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT

36

นอกจากน เมอก าหนดใหความกวางของหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตมขนาดเทากน ดงภาพท 5-2 ผลการจ าลองพบวา เปอรเซนตความหนาแนนโอกาสทจะตรวจพบอนภาคนอกบอศกยจากหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตยงมคานอยกวาหลมแสงจากคลนนง สอดคลองกบผลจ าลองทพบวา หลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตมลกษณะใกลเคยงกบการเปนบอศกยมากกวาหลมแสงจากคลนนง ดงนนความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยจากหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตจงมคานอยกวาหลมแสงจากคลนนงอยางชดเจน

(a) (b) (c) ภาพท 5-2 ผลการจ าลองบอศกยทมความกวางเทากน (a) หลมแสงจากคลนนง (b) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 0.5LT (c) หลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอต ระยะ z = 1.0LT หลกการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรในหนงมตทถกลดรปในระบบหนวยอะตอม ดวยวธการเชงวเคราะหและวธการเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica ในการศกษาวจยนสามารถน าไปใชศกษาการจ าลองอนภาคทถกกกในบอศกยพนฐานหนงมตรปแบบตาง ๆ เชน บอศกยแบบมมฉากสงอนนต บอศกยแบบมมฉากลกจ ากด และบอศกยฮารมอนกออสซลเลเตอรอยางงาย ซงผลเฉลยทไดจากวธการทงสองตรงกบผลเฉลยจากการวเคราะห นอกจากนหลกการหาผลเฉลยดวยวธการเชงตวเลขสามารถน าไปใชศกษากบปญหาบอศกยทเปนฟงกชนไมเชงเสนในรปแบบทซบซอนได ดงนน หลกการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรในหนงมตทถกลดรปในระบบหนวยอะตอม ดวยวธการเชงวเคราะหและวธการเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica นจะเปนประโยชนตอการศกษากลศาสตรควอนตมพนฐานไปจนถงกลศาสตรควอนตมระดบสงได การศกษาวจยเกยวกบการกกอนภาคในหลมแสงจากคลนนงและหลมแลตทชจากปรากฏการณทลบอตนเปนจดเรมตนและจะเปนประโยชนส าหรบการศกษาวจยระดบอดมศกษาตอไป

บรรณานกรม บรรจบ สดประเสรฐ. (2539). ทฤษฎกลศาสตรควอนตม. พษณโลก: ม.ป.ท. สรายธ เดชะปญญา. (2552). ปรากฏการณทศนศาสตรสนามใกล: จากทศนศาสตรแบบดงเดมถง ทศนศาสตรควอนตม (Optical Near-Field Effect: Classical to Quantum Optics). วารสารวทยาศาสตรบรพา, (พเศษ), 100 – 108. Bloch, I. (2005). Ultracold quantum gases in optical lattices. Nature Physics,1, 23-30. Bloch, I., Greiner, M., Mandel, O., Hänsch, T.W., & Esslinger,T. (2001). Sympathetic cooling of 85Rb and 87Rb. Physical Review A, 64(2), 021402/1 Case, W.B., Tomand, M., Deachapunya, S., & Arndt, M. (2009). Realization of optical carpets in the Talbot and Talbot–Lau configurations. Classical to Quantum Optics. Opt.Express, 17, 20966–20974. Deachapunya, S., & Srisuphaphon, S. (2014). Accordion lattices based on the Talbot effect. Chinese optics letters, 1308, 6542v3. Fournier, J.M., Rohner J., Merenda F., Jacquot P., & Salathé R. P. (2007) . Multiple trapping in various interferometric traps. In COST ACTION MP0604 Optical Micro-Manipulation by Nonlinear Nanophotonics. Ancona,Italy. Retrieved from www.photomat.it/cost/ risorse/ COST_Ancona_Fournier_2.pdf Greiner, M., Mandel,O., Esslinger, T., Hänsch, T.W., & Bloch, I. (2002). Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in gas of ultracold atoms. Nature, 415(6867), 39. Greiner, M., Sanpera, A., Ahufinger, V., Damski, B., San(De) A., & Sen, U. (2002). Ultracold atomic gases in optical lattices:mimicking condensed matter physics and beyond. Advances in Physics, 415, 39-44. Griffiths, D. J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). USA: Pearson Prentice Hall. Grünzweig, T., Hilliard, A., McGovern, M., & Andersen, M. F. (2010). Near-deterministic preparation of a single atom in an optical microtrap. Nature Physics, 6, 951. Hartree, D. R. (1928). The Wave Mechanics of an Atom with a NonCoulomb Central Field. Part I. Theory and Methods. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24, 89-110. doi:10.1017/S0305004100011919

38

Hecht, E. (2002). Optics (4th ed.). USA: Addison Wesley. Hoffman, J.D. (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists (2nd ed.). USA: Mercel. Jaksch, D., Bruder, C., Cirac, J. I., Gardiner, C. W., & Zoller P. (1998). Cold Bosonic Atoms in Optical Lattices. Phys. Rev. Lett., 81, 3108. Jaksch, D., Cirac, J. I., Zoller, P., Rolston, S. L., Cote, R., & Lukin, M. D. (2000). Cold bosonic atoms in optical lattices. Phys. Rev. Lett., 85, 2208. Jaksch, D. (2004). Optical lattices, ultracold atoms and quantum information processing. Contemporary Physics, 45, 367-381. Kim, M., Kim, B. J., Lim, H. H., Pandiyan, K., & Cha, M. (2010). Demonstration of a Standing Light Wave with a Laser Pointer. Journal of the Korean Physical Society, 56(5), 1542-1545. Pavel, Z., & Christopher, J. F. (1998). Atomic dipole trap formed by a Gaussian standing wave. Optics Communications, 146, 119. Rohlf, J. W. (1994). Modern Physics from α to Z0. Canada: John Wiley & Sons. Talbot, H. F. (1836). Facts relating to optical science. Philosophical Magazine series, 9, 401-407. Vasile, C. (2015). Molecular Structure and Properties Calculations. Retrieved from http://phys.ubbcluj.ro/~vchis/cursuri/cspm/course2.pdf Wagon, S. (2010). Mathematica® in Action (3rd ed.). USA: Springer. Williams, R. A., Pillet J. D., Al-Assam, S., Fletcher, B., Shotter, M., & Foot, C.J. (2008). Dynamic optical lattices: two-dimensional rotating and accordion lattices for ultracold atoms. Optics Express, 16, 16977-16983. Wolfram computation Meets Knowledge. (2015). ParametricNDSolveValue. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ParametricNDSolve.html Zohuri, B. (2015) . Dimension Analysis and Self – Similarity Methods for Engineers and Scientists. Switzerland: Springer International.

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก การจ าลองอนภาคทถกกกในหลมหลมแลตทซของแสงจากปรากฏการณทลบอต ทระยะ 1.0LT และการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมตทถกลดรปในระบบหนวยอะตอม

ดวยวธการเชงตวเลข (Numerical method) โดยใชโปรแกรม Mathematica

41

a0=5.29*10-11; λ=532*10-9/(100*a0); k= 2π/λ; d=2*10-6/(100*a0)

LT=d2/λ; kd= 2π/d; f=0.9; =25

Inten[x_,z_]= Ψn[x,z] [x,z]; V=Abs[Inten[x,LT]]; L=0.07d;

A

energy = คาพลงงานเจาะจง

even= Flatten[[ParametricNDSolveValue[{ψ''[x]+

2*(energy-V)*ψ[x]⩵0,ψ'[0]⩵0,ψ[L/4]⩵1},ψ,

{x,-L,L},{energy}]]

even

odd= Flatten[[ParametricNDSolveValue[{0.5*ψ''[x]+

(energy-V)*ψ[x]⩵0,ψ[0]⩵0 ,ψ[L/4]⩵1},ψ,{x,-L,L},

{energy}]]

Plot[even[10][x],{x,-L,L}]

Plot[odd[10][x],{x,-L,L}]

Yes No

V=ฟงกชนพลงงานของบอศกย L= ขอบเขตของบอศกย

Start

energy1=energy/.FindRoot[even[energy][L]==0,{energy,0}]

energy2=energy/.FindRoot[even[energy][L]==0,{energy,0}]

energy1 = คาพลงงานเจาะจงท n=1 energy2 = คาพลงงานเจาะจงท n=2

Plot[even[energy][L],{energy,0,0.05}]

Plot[odd[energy][L],{energy,0,0.05}]

42

ภาพภาคผนวก ก-1 ผงการจ าลองการกกอนภาคในหลมแลตทชของแสงจากปรากฏการณทลบอตท ระยะ 1.0LT และการหาผลเฉลยสมการชโรดงเงอรทไมขนกบเวลาในหนงมต ถกลดรปในระบบหนวยอะตอม ดวยวธการเชงตวเลข โดยใชโปรแกรม Mathematica

p1= NIntegrate[Abs[even[energy1][x]]2,{x,-L,L}];

wavenormalized1= even[energy1][x]/Sqrt[p1]

p2= NIntegrate[Abs[odd[energy1][x]]2,{x,-L,L}];

wavenormalized2= odd[energy2][x]/Sqrt[p2]

wavenormalized1= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคาพลงงานเจาะจง n=1 wavenormalized2= ฟงกชนคลนปกตทสมนยกบคาพลงงานเจาะจง n=2

lim1=x/.FindRoot[V⩵energy1,{x,-L,0}]

lim2=x/.FindRoot[V⩵energy2,{x,-L,0}]

out1= NIntegrate[Abs[even[energy1][x]/Sqrt[p1]]2,

{x,-L,lim1}]*2*100

out2= NIntegrate[Abs[odd[energy1][x]/Sqrt[p2]]2,

, {x,-L,lim2}]*2*100

Stop

lim1= ขอบเขตทพลงงานของบอศกยเทากบพลงงานของอนภาค n=1 lim2= ขอบเขตทพลงงานของบอศกยเทากบพลงงานของอนภาค n=2

out1= เปอรเซนตความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยท n=1 out2= เปอรเซนตความนาจะเปนในการตรวจพบอนภาคนอกบอศกยท n=2

A

ประวตยอของผวจย

ชอ-สกล นายแท นามแกว วน เดอน ปเกด 30 เมษายน พ.ศ. 2519 สถานทเกด จงหวดเชยงราย สถานทอยปจจบน บานเลขท 206 ถนนมะโน ต าบลในเวยง อ าเภอเมอง จงหวดนาน ต าแหนงและประวตการท างาน พ.ศ. 2544 นกวชาการปฏบตงานสาขาฟสกส และสาขาเทคโนโลย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) พ.ศ. 2545 อาจารย 1 ระดบ 3 โรงเรยนแมจรม จงหวดนาน พ.ศ. 2546 อาจารย 1 ระดบ 4 โรงเรยนสตรศรนาน จงหวดนาน พ.ศ. 2547 คร คศ. 1 โรงเรยนโรงเรยนสตรศรนาน จงหวดนาน พ.ศ. 2554 – ปจจบน คร คศ. 2 โรงเรยนโรงเรยนสตรศรนาน จงหวดนาน ประวตการศกษา พ.ศ. 2543 วทยาศาสตรบณฑต (ฟสกส) มหาวทยาลยนเรศวร พ.ศ. 2544 ประกาศนยบตรบณฑต (ทางการสอน) มหาวทยาลยนเรศวร พ.ศ. 2559 วทยาศาสตรมหาบณฑต (ฟสกสศกษา) มหาวทยาลยบรพา รางวลและทนการศกษา พ.ศ. 2543 นสตทมความประพฤตดของคณะวทยาศาสตร นสตทมความประพฤตดเดนของมหาวทยาลยนเรศวร พ.ศ. 2539 – 2543 ทนโครงการ สควค. ระดบปรญญาตร ของ สสวท. พ.ศ. 2544 ทนโครงการ สควค. ระดบประกาศนยบตรบณฑต ของ สสวท. พ.ศ. 2556 – 2557 ทนโครงการ สควค. ระดบปรญญาโท ของ สสวท.