การแกว่ง (oscillation) - pm.ac.th · วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์

วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1

โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา

หน้าที่ 1

การแกว่ง (Oscillation) • การแกว่งเป็นการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาบนเส้นทางเดิม เรียกว่าการเคลื่อนที่ ที่มีคาบ(Period)

• การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก (Simple Harmonic Motion , SHM) เป็นการแกว่งอย่างง่ายที่ไม่คิดแรงเสียดทานใด ๆ

รูปท่ี 1 สาธิตการทดลองซิมเปิลฮาร์โมนิก

รูปที่ 1 เป็นการสาธิตการทดลองซิมเปิลฮาร์โมนิก เมื่อปล่อยให้ลูกตุ้มมวล m ห้อยติดอยู่กับสปริงสั่นขึ้น-ลง เส้นทางของปากกาซ่ึงติดอยู่กับลูกตุ้มเขียนไว้บนกระดาษที่เคลื่อนที่ (ดู Motion of paper ในรูปที่ 1) จะมีลักษณะแบบไซน์ (sinusoidal) หรือกล่าวได้ว่า การขจัดจะเปลี่ยนแปลงขึ้นกับเวลา มีลักษณะแบบไซน์

รูปท่ี 2 การขจัดที่เปลี่ยนแปลงตามเวลามีลักษณะแบบไซน์ รูปที่ 2 แสดงการขจัดที่เปลี่ยนแปลงตามเวลามีลักษณะแบบไซน์ของสปริงเคลื่อนที่สั่นขึ้น-ลง การขจัดอยู่ระหว่าง –A กับ +A นั่นคือขนาดของแอมปลิจูดเท่ากับ A และจุดสมดุล คือ เมื่อ x = 0

+A

+A

-A

x

-A

t




เราจะพิจารณาการแกว่งใน 1 มิติของซิมเปิลฮาร์โมนิก ให้อยู่ในรูปของสมการของการขจัด (x) ที่ข้ึนกับเวลา (t) เรียกว่าสมการการเคลื่อนที่ (Equation of motion) เขียนได้เป็น (1)

เมื่อ x ระยะขจัด (Displacement) ของวัตถุจากจุดสมดุล (มีหน่วยเป็น m) A แอมปลิจูด (Amplitude) หรือระยะขจัดสูงสุด (มีหน่วยเป็น m) ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) (มีหน่วยเป็น radian/s) ค่าคงที่เฟส (Phase constant) (มีหน่วยเป็น radian) ความเร็วของวัตถุหรือตัวแกว่ง สามารถหาได้จากอนุพันธ์ของ x เทียบกับเวลา t

(2)

ความเร่งของวัตถุหรือตัวแกว่ง สามารถหาได้จากอนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t

(3)

หรือเขียนอีกแบบหนึ่ง

(4)

เรียกสมการนี้ว่า สมการความเร่งของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค เราจะเห็นรูปแบบของสมการนี้ในเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคในทุกกรณี จะต่างกันตรงที่ค่า ที่ข้ึนกับตัวแปรที่ต่างกันไปในแต่ละกรณี เราจะเห็นการพิสูจน์หา ในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค 4 กรณีต่อไปนี้

2( ) sin( )a t A t

2( ) ( )a t x t

( 1)sin( )( )dv

a A tdt

( ) cos( )v t A t

cos( ) ( )dx d

v A t tdt dt

( ) sin( )x t A t




1.การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริง 2. ลูกตุ้มอย่างง่าย (Simple Pendulum) 3. ลูกตุ้มชนิดบิด (Torsion Pendulum) 4. ลูกตุ้มฟิสิกัล (Physical Pendulum)

1. การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริง

รูปท่ี 3 การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริงบนพ้ืนที่ไม่มีแรงเสียดทาน

แรงเนื่องจากสปริงเป็นไปตามกฎของฮุค (Hooke’s Law)

(5)

โดยที่ k เป็นค่าคงที่ของสปริง F เป็นแรงดึงกลับของสปริง x เป็นระยะยืดหรือหดจากต าแหน่งสมดุล (x = 0)

จากกฎของนิวตัน ส าหรับการเคลื่อนท่ีแนวเส้นตรง

(6)

โดยที่ m เป็นมวลที่ติดอยู่กับสปริง a เป็นความเร่ง หรือ เขียนในรูปอนุพันธ์ก าลังสองของ x

F kx

F ma




(7)

จากสมการ (5) และ (6) เขียนได้เป็น

2

2

d xm kx

dt เมื่อหารด้วย m ทั้งสองข้างของสมการจะได้

(8)

สังเกตว่ารูปแบบของสมการ เป็นไปตามสมการความเร่งของซิมเปิลฮาร์โมนิค (ดูสมการที่ 4) โดยที่

(9)

หรือเขียนสมการ ใหม่ได้ดังนี้

(10)

ส าหรับคาบ หาได้จาก

(11)

เมื่อแทนค่า จากสมการที่ (9) ลงไปในสมการที่ (11) จะได้

2T

22

2

d xx

dt

2 k

m

2

2

d x kx

dt m

2

2

dv d xa

dt dt

k

m




(12)

ความถี่ หาได้จากส่วนกลับของคาบ

(13)


(14)

ถ้าย้อนกลับไปสมการที ่(8) ซ่ึงเป็นสมการแสดงการเคลื่อนที่ส าหรับวัตถุติดกับสปริง

เราจะหาค าตอบของสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบของอนุพันธ์ก าลังสองของการขจัด เมื่อสมการอยู่ในรูปของอนุพันธ์ก าลังสองของตัวมันเอง แล้วได้ตัวมันเองคูณกับค่าคงที่พร้อมกับเครื่องหมายลบ (-) นักฟิสิกส์มักจะสมมติค าตอบอยู่ในรูปของ sin หรือ cosine โดยที่มีค่าคงที่ 2 ตัว ในที่นี้ คือ แอมปลิจูด A และ ค่าคงที่

เฟส (ปกติค่าคงท่ีทั้งสองจะทราบจากเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งจะได้เห็นในตัวอย่าง) เพราะฉะนั้น เราจะสมมติให้สมการข้างล่างเป็นค าตอบของสมการที่ (8)

(15)

อนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t

(16)

อนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t

cos( )dx

A tdt

( ) sin( )x t A t

1

2

kf

m

1

2f

T

2m

Tk

2

2

d x kx

dt m




(17)

หรือ

(18)

จะเป็นจริงได้ ก็ต่อเมื่อ 2 k

m เพราะฉะนั้นค าตอบของสมการคือ

( ) sin( )

kx t A t

m

(19)

กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ t เมื่อ x (0)= A ที่ t = 0 แสดงดังรูป (A)

(A) x vs. t

(B) v vs. t

(C) a vs. t

เงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลาเริ่มต้น t = 0 การขจัดที่เวลาเริ่มต้น เท่ากับแอมปลิจูด x (0)= A

)2

sin()(

tAtx หรือ )cos()( tAtx

หาความเร็วได้จากอนุพันธ์ของการขจัดเทยีบกับเวลา

22

2

d xx

dt

22

2sin( )

d xA t

dt




)sin()( tAtv ดังนั้นความเร็วที่เวลาเริ่มต้น v (0) = 0

แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด Av max กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t เมื่อ x (0)= A ที ่t = 0 แสดงดังรูป (B) หาความเร่งได้จากอนุพนัธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา

)cos()( 2 tAta ดังนั้นความเร่งที่เวลาเริ่มต้น a (0) = 2Aw

แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด 2

max Aa กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง a กับ t เมื่อ x (0)= A ที ่t = 0 แสดงดังรูป (C) ถ้าเปลี่ยนเงื่อนไขที่เวลาเริ่มต้น จะได้กราฟที่ไม่เหมือนกัน ดังนี้ กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที่ t = 0 แสดงดังรูป (D)

(D) x vs. t

(E) v vs. t

(A) x vs. t

(A) x vs. t (F) a vs. t

เงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลาเริ่มต้น t = 0 การขจัดที่เวลาเริ่มต้น เท่ากับศูนย์ x (0)= 0

)sin()( tAtx

หาความเร็วได้จากอนุพันธ์ของการขจัดเทียบกับเวลา




)cos()( tAtv

ดังนั้นความเร็วที่เวลาเริ่มต้น v (0) = A

แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด Av max กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที ่t = 0 แสดงดังรูป (E) หาความเร่งได้จากอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา

)sin()( 2 tAta ดังนั้นความเร่งที่เวลาเริ่มต้น a (0) = 0

แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด 2

max Aa

กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง a กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที ่t = 0 แสดงดังรูป (F)

* ข้อสังเกต* สมการการเคลื่อนที่ของทั้งสองกรณีที่เง่ือนไขเริ่มต้นตา่งกันจะต่างกันท่ีค่าคงท่ีเฟส

ตัวอย่าง จงหาการขจัดที่เวลา t ใด ๆ ของมวล 100 กรัม ที่ติดกับสปริง ( k = 40 N/m) โดยที่เวลาเริ่มต้นมวลนี้ถูกดึงไปเป็นระยะ 0.2 เมตร แล้วปล่อยให้สั่นจากจุดหยุดนิ่งบนพื้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน

เริ่มต้นจากสมการ ( ) sin( )k

x t A tm

แทนค่า k = 40 N/m และ m = 100 กรัม ในสมการ

3

40 /( ) 0.2 sin( )

100 10

N mx t m t

kg

( ) 0.2 sin(20 )x t m t ตอนนี้ เหลือแต่ค่า ที่จะต้องหาจากเงื่อนไขเริ่มต้น นั่นคือ การขจัดที่เวลาเริ่มต้น ( 0) 0.2x t m

( 0) 0.2 0.2 sin(20 0 )

( 0) 0.2 0.2 sin( )

x t m m

x t m m

นั่นคือ 2

ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของระบบนี้จะเขียนได้สองแบบ




( ) 0.2 sin(20 )2

( ) 0.2 cos(20 )

x t m t

x t m t

พลังงานของมวลที่ตดิกับสปริง เราจะสมมติให้ไม่มีแรงเสียดทานใด ๆ มาเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของสปริง เราจะเริ่มจากการหา พลังงานจลน์จากความเร็วดังนี้

พลังงานจลน์

พลังงานศักย์

พลังงานกล ได้จากพลังงานจลน์รวมกับพลังงานศักย์

2 2 21 1( )

2 2U kx m x t

2 2 2 21 1( )

2 2T mv m A x

2 2 21 1

2 2E T U m A kA

2 2 2 2( )v A x

2 2 2 2(1 sin ( ))v A t

( ) cos( )v t A t




รูปท่ี 4 กราฟระหว่างพลังงานศักย์ (U) พลังงานจลน์ (T) และการขจัด (x)

สังเกตว่า พลังงานศักย์จะเป็นรูปพาราโบลาหงาย และ พลังงานจลน์จะเป็นรูปพาราโบลาคว่ า

พลังงานกลคงท่ี และแปรผันตรงกับก าลังสองของแอมปลิจูด พลังงานจะเปลี่ยนแปลงรูประหว่างพลังงานศักย์ในสปริงและพลังงานจลน์ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของ

วัตถุท่ีติดอยู่กับสปริง

T, U

T

U

T

U




2. การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย (Simple pendulum) ประกอบด้วยลูกตุ้มมวลขนาดเล็ก ผูกกับเชือกเบา เมื่อดึงลูกตุ้มให้ท ามุมเล็ก ๆ (น้อยกว่า 5 องศา) กับแนวดิ่ง แล้วปล่อยให้มวลเคลื่อนที่กลับไปมา เราจะพิสูจน์ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์-โมนิค

รูปท่ี 5 การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย จากกฎของนิวตัน

(20)

a เป็นความเร่ง หรือ เขียนในรูปอนุพันธ์ก าลังสองของ s เมื่อ s เป็นการขจัดที่วัดตามแนวโค้งและเขียนได้ในรูปของความยาวเชือก L และมุม ดังนี้

(21)

แทนสมการ(21) ลงในสมการ (20)

(22)

2

2

dF mL

dt

S L

2

2

d SF ma m

dt

z

sinmg

L

T

mเgg

cosmg

m d

mg




จากรูปแรง mg สามารถแยกออกเป็นสองแรงที่ตั้งฉากกัน โดยแรง sinmg เป็นแรงที่ดึงมวล กลับสู่ต าแหน่งสมดุล และแรง cosmg เท่ากับแรงตึงเชือก T ซึ่งท าให้เชือกมีความยาวเท่าเดิมไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวเดียวกับความยาวเชือก

(23)

สมการ(21) แทนลงในสมการ (23)

(24)

เมื่อมุม เป็นมุมเล็ก ๆ สามารถประมาณได้ว่า

(25) แทนในสมการจะได้ สมการการเคลื่อนที่ของการแกว่งลูกตุ้มอย่างง่าย

(26)

สังเกตว่าสมการ (26) มีรูปแบบคล้ายกับสมการความเร่ง สมการที่ (4) โดยที่ เป็นการขจัด และ

2 g

L

โดยที่ค าตอบของสมการ(26) คือ

เมื่อ ระยะขจัด (Displacement) ของวัตถุจากจุดสมดุล (มีหน่วยเป็นเรเดียน radian หรือองศา)

0 แอมปลิจูด (Amplitude) หรือระยะขจัดสูงสุด (มีหน่วยเป็นเรเดียน radian หรือองศา) ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) (มีหน่วยเป็น radian/s) ค่าคงที่เฟส (Phase constant) (มีหน่วยเป็น radian)

0( ) sin( )t t

2

2

d g

dt L

sin :

2

2sin

d g

dt L

sinF mg




ส าหรับคาบ หาได้จาก

(27)


(28)

ความถี่ หาได้จากส่วนกลับของคาบ

(29)


(30)

ข้อสังเกต* 1. การทดลองลูกตุ้มอย่างง่ายสามารถท าการวัดค่า g ของโลกได ้

2. ถ้ามุมการแกว่งกว้าง จะไม่ถือว่าเป็นการแกว่งแบบซมิเปิลฮารโ์มนิค บางครั้งถ้ามุมการแกว่งไม่กว้าง

เกินไป สามารถประมาณคาบไดเ้ท่ากับ )16

11(2

2

0 g

lT

1

2

gf

L

1

2f

T

2L

Tg

2T




3. ลูกตุ้มชนิดบิด (Torsion Pendulum)

รูปท่ี 7 ลูกตุ้มชนิดบิด

ลูกตุ้มชนิดบิด ประกอบด้วยแป้น ตรึงอยู่กับลวดโลหะ จุดศูนย์กลาง O ติดอยู่ที่ปลายข้างหนึ่งของลวดโลหะ

เมื่อบิดให้แป้นเป็นมุม max จากจุด O แล้วปล่อยให้บิดไปมารอบแนว OP ลวดที่แขวนจะบิดไปด้วย ท าให้เกิดทอร์คกระท าต่อแป้น เรียกว่า ทอร์คคืนตัว (restoring torque) และทอร์คนี้จะพยายามดึงให้แป้นกลับสู่ต าแหน่งสมดุล ถ้ามุม max เล็ก ๆ ทอร์คคืนตัวจะเขียนได้

(31)

และจากนิยามของทอร์ค

2

2

dt

dII

(32)

เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย

2

2

dt

dI (33)

02

2

dtdI

(34)




I

(35)

IT

2

2 (36)

4. ลูกตุ้มฟิสิกัล (Physical Pendulum)

รูปท่ี 8 ลูกตุ้มฟิสิกัล

ลูกตุ้มฟิสิกัล ประกอบด้วยวัตถุเกร็งที่แกว่งรอบแกนราบอันหนึ่ง จากรูป จุด CM คือศูนย์กลางมวลห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ dsin และท ามุม กับแนวดิ่ง ทอร์คที่กระท ากับวัตถุในทิศท่ีให้วัตถุดึงกลับ คือ

sinmgd (37) และจากนิยามของทอร์ค

2

2

dt

dII

(38)

เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย จากสมการ จะได้

sin2

2

mgddt

dI (39)




ย้ายข้างจะได้

0sin

2

2

I

mgd

dt

d (40)

เมื่อ เป็นมุมเล็ก ๆ sin จะได้สมการการเคลื่อนที่ของซิมเปิลฮาร์โมนิค

02

2

I

mgd

dt

d (41)

(42)

(43)

(44)

22

2

d mgd

dt I

mgd

I

22

IT

mgd




*โจทย์น่าคดิ*

ถ้าวัตถุเกร็งเป็นไม้เมตร ท าการเจาะรูที่ปลายสดุของไม้เมตรด้านหนึง่เพื่อท าการแกว่ง จงหาคาบของการแกว่ง ก าหนดให้ไม้

เมตรมีความยาว L มวล M และค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้เมตรรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล, CMI 2

12

1ML

เมื่อให้ไมเ้มตรนี้มีความกว้างน้อยกว่าความยาวมาก ๆ

การแกว่งที่ถูกหนว่ง (Damped simple harmonic motion)

การแกว่งที่ถูกหน่วง เป็นการแกว่งที่มีแรงเสียดทานเข้ามาเกี่ยวข้องท าให้มีการสูญเสียพลังงานให้กับสิ่งแวดล้อม เช่น สูญเสียไปในรูปความร้อน เป็นต้น ผลท าให้พลังงานรวมลดลง นั่นคือจากสมการ แอมปลิจูดก็ลดลงด้วยจนกระท่ังเป็นศูนย์ในที่สุด

รูปท่ี 9 การแกว่งที่ถูกหน่วง มวลห้อยกับสปริงสั่นขึ้น-ลงในสารละลายที่มีความหนืด




ในที่นี้จะยกตัวอย่างการแกว่งของมวลที่ติดอยู่กับสปริง โดยที่มวลจุ่มลงไปในสารละลายที่มีความหนืด เพราะฉะนั้นแรงต้านทานที่เกิดจากความหนืดของตัวกลางเป็นปฏิภาคกับความเร็วของมวล

bvf (45)

bvkxF (46)

bvkxdt

xdm

2

2

(47)

02

2

vm

bx

m

k

dt

xd (48)

วิธีการแก้สมการ

ให้ tetx )( แทนในสมการ จะได้

02 ttt em

ke

m

be (49)

02 m

k

m

b (50)

เมื่อแก้สมการในรูปแบบของ 02 cbxax

a

acbbx

2

42 (51)

ดังนั้นสมการ จะมีค าตอบเป็น

2

4

2

m

k

m

b

m

b

(52)

เมื่อให้ค่าคงที่ของความหน่วง m

b

2 และความถ่ีเชิงมุมของการแกว่งเมื่อไม่มีแรงเสียดทาน

m

k

จะได้

02 22 (53)




เรียกสมการนี้ว่า Characteristic equation 22

2,1 (54) โดยที่ค าตอบทั่วไป general solution เขียนได้

21)( BxAxtx (55) โดยที ่

ttteeex

221

1

(56)

ttteeex

222

2

(57)

เพราะฉะนั้น

)()(2222 ttt BeAeetx

(58)

การสั่นมี 3 กรณี จะสั่นแบบไหนดูจากเทอม 22

1. 022 รากเป็นจริง เรียกกรณีนี้ว่า Overdamp oscillation

หรอื 2

2

4m

b> m

k

2. 022 รากเป็นจริงและมีหนึ่งค าตอบ เรียกกรณีนี้ว่า Critical oscillation

หรือ 2

2

4m

b= m

k




3. 022 รากเป็นจินตภาพ เรียกกรณีนี้ว่า Underdamp oscillation

หรือ 2

2

4m

b< m

k

รูปท่ี 10 แสดงแอมปลิจูดที่ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปของการสั่นทั้ง 3 กรณี (a) an underdamped oscillator (b) a critically damped oscillator (c) an overdamped oscillator

กรณี Underdamp oscillation วัตถุจะสั่นขึ้นลงรอบ ๆ จุดสมดุล แต่แอมปลิจูดจะลดลงเรื่อย ๆ ตามเวลาที่ผ่านไป

กรณี Critical oscillation และ Overdamp oscillation วัตถุจะไม่มีสั่นขึ้นลงรอบ ๆ จุดสมดุล แอมปลิจูดจะลดลงเรื่อย ๆ ตามเวลาที่ผ่านไป โดยที่แอมปลิจูดของกรณี Critical oscillation จะลดลงเร็วกว่ากรณี Overdamp oscillation

Documents

การแกว่ง (oscillation) - pm.ac.th · วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์