x0

x

เอกสารประกอบการบรรยาย: วิชา 2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (ชีวภาพ)

ครั้งที่ 13 ภาคการศึกษาต้น พ.ศ. 2551ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยวันที่ 4 กรกฎาคม พ.ศ. 2551

สารบัญ

1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก 11.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) 9

3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation and Resonant Frequen-cy) 9

1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิกการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก (Simple harmonic motion, SHM) คือ การเคลื่อนที่ซ้ำรอย

เดิม ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบคาบ จากกฎของฮุกค์ จะได้ว่า

Fs = −kx = ma

a = − kmx

ความเร่งขึ้นกับระยะทาง x ทิศของแรงคืนตัวตรงข้ามทิศการเคลื่อนที่ ระยะกระจัดสูงสุด = แอมปลิจูดหรืออำพล (Amplitude, A)

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 1 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

XO

Y

θ

A

คาบการเคลื่อนที่จากวงกลมอ้างอิง คาบ T คือเวลาที่เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ สัมพันธ์กับความถี่ f เป็น

T =1f

ω =2πT

= 2πf

การกระจัด อัตราเร็วของ SHM

พิจารณาเงาของวงกลมอ้างอิงรัศมี A ทำมุม θ

x = A cos θ = A cosωt

เมื่อ ω = θ/t

จาก vc = rω = Aω อัตราเร็วของเงาเป็น

v = −vc sin θ = −Aω sinωt

อัตราเร่งของ SHM

ความเร่งของเงาหาได้เป็น

a = −ac cos θ

ac = −v2c

r= −(Aω)2

A= −Aω2

a = −Aω2 cosωt

การหาความสัมพันธ์ของ x, v, a

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 2 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

XO

Y

θ

A

A cos θ

θ

vcvc cos θ

−vc sin θ

XO

Y

θ

−ac cos θ

−ac sin θac

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 3 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

จากการกระจัด x ที่หาได้ตอนต้น เราใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์หา v และ a ได้ดังน้ี

x = A cosωt

v =dx

dt=d

dt(A cosωt)

= Ad

d(ωt)(cosωt) · d

dt(ωt)

= −Aω sinωt

a =dv

dt=d

dt(−Aω sinωt)

= −Aω2 cosωt = −ω2x

SHM ของสปริงการเคลื่อนที่ของสปริง ระยะกระจัดเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ขึ้นกับเวลา หรือ

x = A cosωt

จากสมการการเคลื่อนที่ของสปริง

a = − kmx = − k

m(A cosωt)

−Aω2 cosωt = − km

(A cosωt)

ω2 =k

m(2πT

)2 =k

m

T = 2π√m

k

การสั่นของแก้วหูการสั่นของแก้วหูมีความเร็วเท่ากับความเร็วของโมเลกุลอากาศ หาได้จาก

v =P

ρc

เมื่อ P = ความดัน, c = ความเร็วเสียงในอากาศ; ρc ≈ 415 mks

ถ้าอัตราเร็วในการสั่นของแก้วหูเมื่อฟังเสียงเบาที่สุดที่หูรับได้ มีความดันเป็น 2× 10−8 N/m2

ความเร็วของแก้วหูหาได้เป็น

v =2× 10−5

415= 4.8× 10−8m/s

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 4 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

แอมปลิจูดของแก้วหูหาจาก v = Aω ถ้าเสียงความถี่ 4000 Hz A = 1.9× 10−12 m ซึ่งมีค่าเล็กกว่ารัศมีอะตอม แสดงว่าหูมนุษย์มีความรู้สึกไวมาก

1.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM

ขณะที่เคลื่อนที่โดยมีอัตราเร็วเป็น v พลังงานเกิดจากการรวมกันของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์

E = K + U =12mv2 +

12kx2

=12mA2ω2 sin2(ωt) +

12kA2 cos2(ωt)

เน่ืองจากที่จุดที่สปริงยืดสูงสุด วัตถุหยุดน่ิง ดังน้ันจึงมีแต่พลังงานศักย์

U =12kx2 =

12kA2 cos2(ωt)

Umax =12kA2

ที่จุดที่สปริงผ่านจุดสมดุล (x = 0) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วสูงสุด ดังน้ันจึงมีแต่พลังงานจลน์

K =12mv2 =

12mA2ω2 sin2(ωt)

Kmax =12mA2ω2 =

12mA2(k/m)

=12kA2 = Umax

กราฟพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHMกราฟระหว่างการกระจัดกับพลังงานจลน์ ?

สมการการเคลื่อนที่ SHMถ้าพิสูจน์ได้ว่าการเคลื่อนที่มีสมการดังต่อไปน้ี

a = −kx

α = −kθ

จะได้ว่า

k = ω2

T =2π√k

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 5 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 1 กราฟความสัมพันธ์ระหว่าพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHM

`

mg

mg sin θ

θ

x

1.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM

ลูกตุ้มอย่างง่ายจากสมดุลแรง

F = ma = −mg sin θ

a = −g sin θ = −g`x

T = 2π

√`

g

ลูกตุ้มฟิสิคัล

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 6 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

c.m.

b

O

θ

mg

รูปที่ 2 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 1

ทอร์กรอบจุดหมุนหาได้จาก

Iα = −mgb sin θ

α = −mgbIθ; sin θ ≈ θ

T = 2π

√I

mgb

ตัวอย่างจงหา T ของขา ถ้าขายาว 1 m และมีรูปทรงเป็นแท่งไม้ยาว

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 7 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 3 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 2

จาก

I =13mL2

b =L

2

T = 2π

√I

mgb

= 2π

√2L3g

ถ้าใช้ L = 1 m จะได้ว่า T = 1.6 s และเมื่อกำหนดให้ขาเคลื่อนที่ทำมุมเพียง 1 rad จะได้ว่าขาเคลื่อนที่ด้วยระยะทาง s = rθ = 1.0 m และเน่ืองจากใช้เวลาเพียงครึ่งรอบ t = T/2 = 0.8 s ดังน้ันอัตราเร็วของการเคลื่อนที่ของคนประมาณได้เป็น

v =s

t

≈1.00.8

≈ 1.3 m/s

เครื่องชั่งโมเลกุล DNAแท่งสี่เหลี่ยมบางถูกดึงออกจากซิลิกอน แบบจำลองของการคำนวณให้แท่งบางน้ันเป็นมวลที่

มีขนาดเพียง 1/3 เท่าของมวลจริงติดกับสปริง (เพราะ I = 1/3ML2) เมื่อแท่งสี่เหลี่ยมมีมวลของDNA ติดที่ปลาย พบว่าค่าคงที่ของสปริงไม่เปลี่ยน แต่ความถี่ของการสั่นเปลี่ยนไป

ตัวอย่างการคำนวณมวลของ DNA ถ้าซิลิกอนมีความหนาแน่น 2300 kg/m3 หรือมีมวลเป็นM = ρg = 3.7×10−16kg ถ้าแท่งดังกล่าวสั่นโดยไม่มีมวล DNA ด้วยความถี่เป็น 12 MHz แต่เมื่อมี

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 8 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 4 เครื่องชั่งโมเลกุล DNA

มวล DNA ติดจะสั่นลดลงไป 50 Hz ดังน้ันถ้ากำหนดให้ใช้แบบจำลองเป็นมวลติดสปริง มวลดังกล่าวที่ไม่มี DNA ติดจะสมมติว่ามีค่ามวล m = 1/3M = 1.2 × 10−16kg ส่วนมวลที่มี DNA ติดจะมีค่าเป็น m + mDNA ซึ่งทำให้ความถี่ f0 = 12, 000, 000 Hz ลดลงเป็น f1 = 11, 999, 950 Hz ดังน้ันจากสมการการเคลื่อนที่แบบ SHM ของสปริงจะได้

k = m(2πf0)2 = (m+mDNA)(2πf1)2

m+mDNA

m= 1 +

mDNA

m=(f0

f1

)2

=(

12, 000, 00011, 999, 950

)2

= 1.0000083

mDNA = 1.0× 10−18 g

2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation)

การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) คือ ระบบการเคลื่อนที่ที่คล้ายกับการเคลื่อนที่แบบ SHMแต่มีแรงเสียดทาน เช่น แรงต้านอากาศที่กระทำกับระบบในทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ และขนาดของแรงดังกล่าวแปรผันกับความเร็ว

⇀

f = −b⇀v

จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า

F = ma = −bv − kx

ma+ bv + kx = 0

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 9 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 5 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)

รูปที่ 6 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)

การหน่วงเล็กน้อยกรณีที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped) การเคลื่อนที่ของมวลติดสปริงก็ยังคงมีการ

เคลื่อนที่เป็นคาบอยู่ แต่แอมปริจูดจะค่อยๆ ลดลง

การหน่วงมากกรณีที่มีการหน่วงมาก (Overdamped) กว่าการหน่วงวิกฤติ (Critically damped) การเคลื่อนที่

ของมวลติดสปริงจะไม่มีการเคลื่อนที่เป็นคาบ และการเคลื่อนที่จะค่อยๆ หยุด

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 10 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 7 กราฟเรโซแนนซ์ (Resonance curve)

3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation andResonance)

การสั่นแบบเพิ่มแรงขับ (Driven Oscillation) คือ การเพิ่มแรงให้กับระบบการสั่้นแบบหน่วง เพื่อทำให้ระบบมีการเคลื่อนที่ต่อไปได้ มักนิยมพิจารณากรณีที่มีการเพิ่มแรงแบบซ้ำรอบ

⇀

Fext = +F0 cosω0t̂i

จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า

F = ma = −bv − kx+ F0 cosω0t

ma+ bv + kx− F0 cosω0t = 0

กราฟเรโซแนนซ์พิจารณากราฟระหว่างแอมปลิจูดการเคลื่อนที่กับความถี่ของแรงที่เพิ่มเข้าไป พบว่าที่ความถี่

ของแรงที่เพิ่ม f0 เท่ากับ ความถี่ของการสั่นเมื่อมีการหน่วง fSHM จะทำให้แอมปลิจูดการเคลื่อนที่มีค่าสูงที่สุด เราเรียก f0 ค่าน้ีว่า ความถี่เรโซแนนซ์ หรือ ความถี่ธรรมชาติ (resonance or naturalfrequency)

ตัวอย่างของเรโซแนนซ์การพังของสะพาน Tacoma (วีดีโอคลิป)

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 11 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป

รูปที่ 8 ส่วนประกอบของหู

รูปที่ 9 cochlea ที่ตำแหน่งต่างๆ กันไวต่อเสียงที่ความถี่ต่างกัน เพราะความถี่ธรรมชาติไม่เท่ากันเน่ืองจากมันมีความหนาไม่เท่ากัน

2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 12 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป