Лекция №5СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция №5СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

•Теплопроводность тел простой формы

ЭЭ нергомашиностроение.нергомашиностроение.

6

Лекции по ТТМОдоцент каф. Э6, ктн Рыжков С.В.

Теплопроводность тел простой формы

(1)

Неограниченная плоская стенка (рис. 1, а) представляет собой тело, ограниченное с двух сторонпараллельными поверхностями, протяженность которых в направлении у и z велика.

(2)

Тело цилиндрической формы (рис. 1, б), протяженность которого по оси z велика, называетсянеограниченным цилиндром, который может быть сплошным (R1 = 0) и полым (R1 ≠ 0)

(3)

0VT T T q

x x y y z zλ λ λ

⎞⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ + + =⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠

0VT q

x xλ∂ ∂ ⎞⎛ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 0VTr q

r r rλ∂ ∂⎛ ⎞ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

- внутренний источник теплоты (таких, как объемные химические реакции, радиоактивный

распад, работа трения и т.п.)

Vq

3

Втм

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Рис. 1. Неограниченная плоскаястенка (а) и неограниченный полыйцилиндр (б)

Рис. 2. Полый шар

В случае изотермичности внутренней и наружной поверхностей для полого и сплошного шаров(рис. 2)

(4)

(5)

где ζ – обобщенная координата.

Неограниченная плоская стенка:

(6)

Граничные условия 1 рода

(7)

(8)

22

1 0

1 0

V

nVn

Tr qr r r

T q

λ

ς λς ς ς

∂ ∂ ⎞⎛ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎞⎛∂ ∂+ =⎟⎜∂ ∂⎝ ⎠

1

2

1 2

1

2

2

1 2

2 1

0

0

;

=

= =

= =

= +−

= = −

ст

ст

ст стст

d Tdx

T T x

T T x

T C x CT T

C T C

δ

δ

при

при

(9)

(10)

Отношение λ/ δ (в ваттах на квадратный метр-кельвин) называется тепловой проводимостьюстенки, а обратная величина δ/ λ (квадратный метр-кельвин на ватт) - тепловым илитермическим сопротивлением стенки.

(11)

(12)

(13)

(14)

( )

2

1 2

1 2

1

с т

с т с т

с т с т с т

T TT T

xX

X

q T T

θ

δθ

λδ

−=

−

=

= −

= −

( )1 2

1

2

2

( ) 0

( )

0

= = −

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∂=

∂

∫ст

ст ст ст

T

T

Q q F T T F

d dTTdx dx

T dT

x

τλτ τδ

λ

ϑ λ

ϑ

(15)

(16)

(17)

Рис. 3. Распределение температуры внеограниченной плоской стенке при λ=f(t)

( )

( )

2

1

1

21 2

1

1 2

2

2

( )

0 0

0

( )1

ст

ст

ст

ст

T

стT

Tст ст

T

ст ст ст

T dT x

x

xT T

T dT x

q T T

ϑ λ ϑ δ

ϑ

ϑ

λ λ

δλδ

= = =

= =

∂=

∂−

=−

= −

∫

∫

при

при

2

11 2

1 ( )=− ∫

ст

ст

T

Tст ст

T dTT T

λ λСреднеинтегральнаятеплопроводностьпластины

Рис. 4. Составная плоская стенка

(20)

(19)

(18)

2 1

3 1

( 1 ) 1

1

1

1 2

1 2

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

с т с т

с т с т

ii

с т с тi i

T T q

T T q q

T T q

δλδ δλ λ

δλ+

=

⎧ = −⎪⎪⎪

= − −⎪⎨⎪⎪⎪ = −⎪⎩

∑

(21)

Рис. 5. Передача теплоты черезплоскую стенку

(22)

(23)

k – коэффициент теплопередачи

Таким образом, полное термическое сопротивлениетеплопередачи складывается из следующихтермических сопротивлений: - термического сопротивления теплоотдачи от горячейжидкости к стенке- термического сопротивления теплопроводности стенки

- термического сопротивления теплоотдачи отповерхности стенки и холодной жидкости

11

1R α=

стR δλ=

22

1R α=

1 2

11/ 1/

=+ +

k δα αλ

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическимсопротивлением теплопередачи

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

- для многослойной стенки

(30)

Рис. 6. Графическое определение температуры в составной стенке

Неограниченный цилиндр

(31)

Граничные условия 1 рода

(32)

(33)

(34)

( )

1

2

1 1 2

1

2

1

2

1

0

ln

ln

ст

ст

ст ст ст

d dTrdr dr

T T r r

T T r r

dd

T T T T dd

dTQ Fdr

λ

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − −

= −

при

при

Рис. 7. Распределениетемпературы в неограниченнойцилиндрической стенке

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

( )

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1

21 2

2

1

11 2

11

22 2

21

2

1

1 1 2 2

2

ln

2

ln

2

ln

1 ln2

1 ( )ст

ст

ст ст

ст ст

ст ст

ст стl

l

T

Tст ст

l T TQ

dd

T TQqd l dd

d

T TQqd l dd

d

T TQql d

dq d q d q

T dTT T

πλ

λ

π

λ

π

π

λπ π

λ λ

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

=− ∫

Рис. 8. Передача теплоты черезцилиндрическую стенку

Величина kl называется линейнымкоэффициентом теплопередачии измеряется в ваттах на метр-кельвин

(42)

(43)

Величина Rl называется полным линейнымтермическим сопротивлением

(40)

(41)

( )

( )

1 2

1 2

2

1

2

1 1 1 2 2

1 ln2

11 1 1ln

2

ст стl

l l ж ж

l

T Tq

dd

q k T T

k dd d d

π

λ

π

α λ α

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

=+ +

1 1

2 2

1 1

2 2

lст ж

lст ж

qT TdqT Td

α π

α π

= −

= +

(46)

(44)

(45)( )

( )( )

1 2

2

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

1 2

2 1 2

1 2 1

1 21 2

2

1 1 1 2 2

22 2 2 2

1ln 1 1 ...2

2ln 1

11 1

,2

1 1 1ln2

1 1 02

x ж ж

x

x

x

l

l

d d dd d dd dd d d

k

Q k d l T T

d dd d

d dd

dRd d d

d Rd d d d

δ

δα λ α

π

α αα α

α α

α λ α

λ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − =

=+ +

= −

= >>= >>

+= ≈

= + +

= − =

Рис. 9. К понятию критическогодиаметра цилиндрическойстенки

(47)

( )1 2

1

11 1 2 1

1 1 1ln2

ж жl i n

i

i i i i

T Tq

dd d d

π

α λ α

=+

= +

−=

+ +∑

Таким образом, при критическом значении диаметра термическоесопротивление будет минимальным, а плотность теплового потокамаксимальной.

22

2к р

d λα=

1 2( )l l ж жq k t tπ= −

(48)

Рис. 10. Передача теплоты черезмногослойную цилиндрическуюстенку

( )1 2

1

11 1 2 1

11 1 1ln

2

l l ж ж

l i ni

i i i i

q k T T

kd

d d d

π

α λ α

=+

= +

= −

=+ +∑

(49)

(50)

(51)

( )

1 1

2 1

( 1) 1

1 2

( 1)

1 1

2

1 1 1 1

1

11 1

1

1

1

1 1 ln2

...................................................

1 1 ln2

1 ln2

i

i

lст ж

lст ж

i nl i

ст жi i i

ж жl i n

i

i i i

ст

qT Td

q dT Td d

q dT Td d

T Tq

dd

T

π α

π α λ

π α λ

π

λ

+

+

=+

=

=+

=

⎧ = −⎪⎪⎪ ⎛ ⎞

= − +⎪ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎨

⎪⎪⎪ ⎛ ⎞

= − +⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

−=

∑

∑

1

1

1

1 ln2

i nl i

жi i i

q dTdπ λ

=+

=

= − ∑

( )

1 2

1 1 21

,, ст ж жст i

Г р а н и ч ны е ус ло ви я I р о да м ож но р а ссм ат р и ват ьк а к гр а н и ч ны е ус ло ви я III р о д а ко гд а и ст р ем ят сяк б еск о н еч н о ст и t t и t t

α α

+= =

Теплопроводность шаровой стенки

Граничные условия

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)( ) ( )

1

2

1 2

1

1 2

1 2

2

2

1

2

1

1 2

2

1 2

1 2

2 0

1 11 1

4

41 1

ст

ст

ст стст

ст стст ст

d T dTdr r dr

T T r r

T T r r

T TT T

r rr r

dT dTQ F rdr drT T d dQ T T

r r

λ λ π

πλπλ

δ

+ =

= =

= =

− ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠−

= − = −

−= = −

−

при

при

Рис. 11. Распределениетемпературы в шаровойстенке

(57)

(58)

( )( )

( )( )

1 1

1 2

2 1

1 2

1 1 2 2

21 1

1 2

22 2

2 21 1 1 1 2 2 2

2 21 1 1 2 2 2

2 21 1 2 2

21 1

21 1

11 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 12

;

11 1 1

2

⎧⎪ = −⎪⎪⎪ = −⎨⎪ −⎪⎪

= −⎪⎩

= −

=⎛ ⎞

+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − = +

=+ −

ж ст

ст ст

ст ж

ш ж ж

ш

шш

ст ж ст ж

ш

i i

Q d T T

Q T T

d d

Q d T T

Q k T T

k

d d d d

Rk d d d d

Q QT T T Td d

k

d d

π α

πλ

π α

π

α λ α

α λ α

α π α π

α λ 21 1 2 2

1 1=

= +

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑i n

i id dα

(59)

(60)

Контрольные вопросы

• Неограниченная плоская стенка• Неограниченный цилиндр• Термическое сопротивление стенки• Распределение температуры в неограниченной плоской стенке при λ=f(t)• Составная плоская стенка• Передача теплоты через плоскую стенку• Распределение температуры в неограниченной цилиндрической стенке• Теплопроводность шаровой стенки• Среднеинтегральная теплопроводность пластины• Критическое значение диаметра