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UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA Y TÉCNICAS DE EXPRESIÓN GRÁFICA

TESIS DOCTORAL

Contraste en la ejecución de

auscultaciones geodésicas por

métodos clásicos y con láser escáner.

Autor:

JULIO MANUEL DE LUIS RUIZ

Director:

BENJAMÍN PIÑA PATÓN

Santander, Diciembre de 2009

Capítulo II.- Marco referencial y estado del conocimiento actual en las auscultaciones geodésicas clásicas.

Contraste en la ejecución de auscultaciones geodésicas por métodos clásicos y con láser escáner.

Julio Manuel de Luis Ruiz

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CAPÍTULO II

MARCO REFERENCIAL Y ESTADO DEL CONOCIMIENTO ACTUAL EN LAS AUSCULTACIONES GEODÉSICAS

CLÁSICAS.




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1.- INTRODUCCIÓN.

1.1.- ENCUADRE REFERENCIAL.

Existen tres aspectos muy bien diferenciados que canalizan la actividad profesional en el marco de la ingeniería civil: proyectar, construir y explotar. Históricamente se ha vinculado la Ingeniería Cartográfica, Geodesia y Fotogrametría como una disciplina vinculada a los dos primeros aspectos, representando esta asociación un error, puesto que existen técnicas e instrumental que permiten dentro de la disciplina llevar a cabo la correcta explotación de las obras ejecutadas en los diversos campo de la ingeniería. La topografía de proyectos y obras ocupa un espacio bien visible en el panorama de la ingeniería, pero es en la diaria explotación de una obra, en el sometimiento a una conservación que garantice su seguridad y eficacia, donde la topografía y la geodesia pueden ocupar un lugar privilegiado, estableciendo metodologías que permiten detectar las deformaciones inherentes a toda estructura. Las obras más caracterizadas que permiten estos controles periódicos de deformabilidad son las presas, muros rígidos, escolleras, taludes inestables, escombreras y suelos de todo tipo.

1.2.- CONTROL DE MOVIMIENTOS.

Una estructura convencional está caracterizada por constituir un conjunto elástico que se deforma frente a una solicitación exterior o interior, transfiriendo al conjunto una carga tensorial que se debe mantener bajo unos valores previamente establecidos. La tensión y la deformación están relacionadas, y analizando las conductas deformacionales, se pueden establecer conclusiones definitivas, teniendo bajo control la resistencia del conjunto, permitiendo tomar las medidas preventivas necesarias para corregir las hipotéticas anomalías que se detecten en el control. Es muy usual que las solicitaciones a considerar sean externas (presión hidráulica, empuje del terreno, etc.) e internas que son las motivadas por acciones térmicas o por fenómenos de retracción.

1.3.- DEFINICIÓN DE ESCENARIOS.

El objetivo final de una auscultación geodésica es el establecimiento del movimiento de una serie de puntos ubicados en una estructura, suelo, etc., en base a una serie de observaciones topográficas realizadas con el instrumental y los métodos de observación adecuados. Dependiendo del elemento a auscultar (presa, muro, escollera, talud, etc.), el rango de la precisión puede variar en función de las demandas de la propiedad del elemento a auscultar. En el caso de la auscultación objeto de análisis en la presente tesis doctoral, y por tratarse de una presa, se busca el mayor rango de precisión posible.

Entendiendo la precisión absoluta del instrumento topográfico, como la desviación entre la medida que el propio instrumento es capaz de observar y otra tomada como patrón, los instrumentos utilizados en este tipo de trabajos convencionalmente generan un rango de precisión que oscila entre los 3 y 4 milímetros, dependiendo de la geometría de la observación. Una vez entendida la precisión absoluta, surge el concepto de precisión relativa, en base a la cual y gracias a la repetitividad con la que se efectúan las observaciones, en cuanto a geometría, instrumentación, metodología, etc., permiten establecer diferencias en posiciones consecutivas del orden de 1 a 2 milímetros, todo ello en base a la eliminación de las causas de error comunes en campañas consecutivas.

Es necesario seleccionar adecuadamente la instrumentación, los métodos de observación y las técnicas que permiten asegurar la calidad de las observaciones, con el objeto de lograr las precisiones establecidas y conseguir así, que el milímetro sea el rango de precisión con el que se establece una observación, dando lugar a realizar posteriores cálculos de hipotéticos desplazamientos, considerando los valores inferiores como incertidumbre en la observación.




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2.- ELEMENTOS PARTICIPANTES.

Como posteriormente se demostrará, la captura de datos no sólo condiciona el método de resolución de las auscultaciones, sino también los elementos participantes en la propia auscultación.

A continuación se describen todos los elementos participantes en una auscultación, indistintamente del tipo de observable y método de resolución empleado, de forma que cuando llegue el momento de desarrollar los métodos de observación y cálculo de la auscultación y, por tanto, se definan los elementos participantes en esas metodologías, no exista la menor duda de cuál es cada uno de ellos.

2.1.- PILARES DE AUSCULTACIÓN.

Los pilares de auscultación son el soporte físico donde ubicar el instrumento topográfico, debiendo garantizar que el punto-estación siempre sea el mismo, por lo que tienen que disponer de una construcción robusta y sólida que soporte el peso del instrumento y que además, perduren a lo largo del desarrollo de las campañas de observación.

Los materiales empleados para la ejecución de este tipo de soporte son:

- Hormigón generalmente de baja resistencia.

- Barras de hierro corrugado para armar la estructura.

Las dimensiones de los pilares tienen una cierta variabilidad, siempre y cuando garanticen las exigencias de robustez y solidez marcadas anteriormente, motivo por el que las dimensiones utilizadas habitualmente son las clásicas de los vértices geodésicos. En este caso, los pilares son especialmente bajos para que el observador pueda estar sentado mientras observa, ya que los tiempos de observación son relativamente largos.

En la siguiente figura se pueden apreciar las dimensiones de los pilares existentes en la presa objeto del trabajo, y cuya construcción se caracteriza por ser anterior a la redacción del presente trabajo, motivo por el cual el autor simplemente aprovechó la disposición de éstos, sin intervenir en su diseño o geometría de construcción.

Figura Número II.1.- Dimensiones de los pilares de auscultación.




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Los pilares deben permitir mediante algún mecanismo el estacionamiento del instrumento topográfico de forma repetitiva y precisa en el mismo punto, pudiendo así eliminar errores clásicos como el de dirección y estacionamiento, que pueden llegar a perturbar seriamente las precisiones buscadas para las observaciones. Estos mecanismos son los que habitualmente se denominan como sistemas de centrado forzoso, existiendo varios tipos como puede ser el empleo de basadas, pernos roscados, etc.

En los pilares de la presa objeto, este mecanismo está formado por una basada donde se encaja, por un lado, el instrumento topográfico con su rosca de paso 3/8 de pulgada, lo que garantiza la sujeción del instrumento a la basada, y por otro lado tiene tres patas formando un triángulo asimétrico, que durante el estacionamiento se apoyan sobre una placa embebida sobre el hormigón del pilar, que contiene otras tres muescas asimétricas idénticas, que hacen que la colocación de la basada sobre el pilar sea única.

En la fotografía puede apreciarse el detalle del mecanismo anteriormente descrito, empleado en los pilares de la presa objeto para realizar el centrado forzoso, garantizando así que el error de dirección en las observaciones sea despreciable.

Figura Número II.2.- Mecanismo de centrado forzoso.

Es habitual colocar los pilares de auscultación a 100-200 metros del elemento a observar, con el objeto de asegurar la precisión buscada. Además, y en la medida de lo posible, conviene que los pilares se encuentren fuera del área de influencia de los hipotéticos desplazamientos; no en vano, antes de formalizar la auscultación propiamente dicha sobre los diferentes puntos de la estructura, se somete a los pilares a un control de estabilidad que permite garantizar si las coordenadas de los pilares se pueden considerar fijas en el tiempo o no.

Como posteriormente se demostrará, el proceso matemático requiere, al menos, tener cada punto observado desde dos pilares diferentes para que el sistema de ecuaciones matemáticas se pueda resolver, disponiéndose habitualmente en la zona de actuación cuatro pilares en vez de dos ya que reporta dos ventajas fundamentales:




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- Si se tiene redundancia de observaciones se pueden realizar comprobaciones e incluso establecer valores estadísticos tan vitales en compensaciones posteriores como el valor más probable, las matrices de varianza-covarianza, elipses de error, etc., que reflejan la tolerancia con la que se ha realizado la observación.

- Es usual por la geometría tan restrictiva de las cerradas en las que se diseñan las presas, que las visuales a realizar desde los pilares a los puntos objeto sean muy difíciles de realizar, pudiendo, si se tienen más de dos pilares, dejar alguno sin observar, permitiendo aún así calcular sus desplazamientos desde el resto de pilares.

Históricamente en esta presa existen cuatro pilares de observación y, aunque desde todos los pilares no se pueden visar todos los puntos objeto, esto no supone ningún problema ya que existe la suficiente redundancia de pilares. Con el objeto de mejorar la calidad y la redundancia de los observables en las dianas más elevadas de la estructura, en la última campaña se incorporaron dos nuevos pilares que garantizan el objetivo marcado.

En la siguiente fotografía de la zona se puede apreciar tanto la situación de cada uno de los pilares, como la dificultad de los accesos a los mismos, lo que dificulta los movimientos del observador durante la campaña de observación.

Figura Número II.3.- Perspectiva de la zona de observación.

2.2.- DIANAS DE PUNTERÍA.

Son los elementos sobre los que se realiza la medición y, por lo tanto, se disponen de forma homogénea por el elemento a auscultar, de modo que se pueda extrapolar el movimiento de estos puntos al de toda la estructura, fijándose a la estructura o al suelo por diversos métodos.

En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas angulares, suelen ser clavos metálicos embebidos en el paramento aguas abajo de la presa y, por lo tanto, totalmente solidarios con la propia presa, que definen el lugar geométrico donde realizar la observación. Debido a las precisiones exigidas y con el objetivo de definir estrictamente el lugar geométrico donde se realiza la puntería, el clavo debe tener la cabeza de forma circular con 1 centímetro de diámetro y en su centro, una marca de 1 milímetro donde realizar exactamente la puntería. También es habitual impregnar la zona más próxima a la diana de puntería




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con pintura de un color que destaque del resto de los materiales de la presa, y que permita al observador localizar fácilmente las dianas en el momento de realizar la campaña de toma de datos.

En la siguiente fotografía se puede apreciar el tipo de señalización más recomendada para dianas de puntería en auscultaciones de presas por métodos angulares, en las cuales el lugar geométrico a utilizar para realizar la puntería angular queda perfectamente definido. Este tipo de señalización es el empleado en la Presa de la Cohilla.

Figura Número II.4.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas angulares.

El hecho de que la muesca de la diana tenga una dimensión milimétrica genera el problema que cada observador puede hacer la puntería en un lugar determinado de la diana, tangente superior, tangente inferior, tangente lateral derecha, tangente lateral izquierda, centro, etc., no siendo positivo para los resultados de la auscultación que algo tan importante quede a criterio del operador, ya que si por motivos ajenos a los meramente topográficos es necesario cambiar el observador, este aspecto invalida las campañas anteriores. Conviene en estos casos que el observador deje constancia escrita de cómo hace las observaciones con un pequeño croquis, facilitando así que un hipotético nuevo observador sea capaz de realizar las observaciones con los mismos criterios que el anterior.

En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas distanciométricas, se hace necesario que la superficie del punto sea reflexiva, es decir, que devuelva la señal de la onda portadora emitida por el distanciómetro, en base a la cual se ejecuta la medición de distancia. Con este objetivo se utilizan mini-prismas convencionales, fabricados generalmente por el propio fabricante de instrumentos y que permiten realizar medida de distancias hasta 800-900 metros. Para hacer solidario el elemento a auscultar y el prisma reflector en el caso de presas, se suele encastrar el prisma en el muro de la presa mediante un taladro y las resinas oportunas.

Figura Número II.5.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas distanciométricas.




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En el caso de las dianas de puntería para auscultaciones geodésicas a resolver con láser escáner, es habitual emplear superficies reflectoras acondicionadas especialmente para este tipo de trabajos, en las cuales se realiza un fuerte contraste de colores que el láser escáner es capaz de identificar unilateralmente, fijando como punto de la observación el vértice en el que se produce ese cambio de contraste. Suelen ser placas metálicas cuadradas de 15 centímetros de lado que se fijan a la estructura mediante dos tornillos, lo que las hace totalmente solidarias a la estructura, construyéndose normalmente en acero inoxidable para que perduren en el tiempo y no se deterioren por las extremas condiciones ambientales existentes en la zona.

Figura Número II.6.- Diana de puntería recomendada en auscultaciones geodésicas con láser escáner.

Independientemente del modelo a utilizar, que indudablemente es función del tipo de observación a realizar, se distribuyen por el paramento de forma simétrica en función de la geometría de la propia presa y de los puntos que se deseen analizar, estructurando la malla en filas y columnas, de modo que se pueda extrapolar el movimiento de estos puntos al de toda la estructura, y que, por supuesto, sean visibles desde los pilares.

Figura Número II.7.- Tipos de señalización empleados en la Presa de la Cohilla para las dianas de puntería.

Tanto el número de dianas de puntería como la distribución de éstas a lo largo del paramento de la presa se pueden ver de forma mucho más gráfica en la siguiente figura, en la cual se ha marcado la ubicación de todas las dianas y el nombre correspondiente.




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Figura Número II.8.- Distribución de las dianas de puntería en la Presa de la Cohilla.

2.3.- PUNTOS DE SEGURIDAD.

El objetivo final de estos puntos es que se pueda determinar mediante métodos también topográficos la estabilidad de los pilares de auscultación en el periodo transcurrido entre campañas de observación, ya que éste va a ser un dato de partida para la resolución de la auscultación.

Figura Número II.9.- Detalle constructivo de los puntos de seguridad.

Cuando se analice la metodología con la que se determina la estabilidad de los pilares de auscultación, se verá que para el caso de observaciones angulares el método empleado es la intersección inversa, para lo que son necesarios, al menos, tres puntos para cada pilar, pudiéndose compartir puntos para diferentes pilares, motivo que hace muy difícil establecer un número aproximado de puntos de seguridad ya que depende básicamente de la morfología del terreno, siendo el único condicionante para obtener la solución estricta de cada pilar de auscultación ver al menos tres puntos de seguridad diferentes.

En el caso objeto de análisis y dada la complicada morfología del terreno, los pilares de auscultación están dispuestos de forma que permiten divisar perfectamente el paramento de la presa, pero esto hace que conseguir tres puntos de seguridad visibles y con buena geometría para cada pilar de auscultación sea muy difícil, por lo que en su día se recurrió a implantar ocho puntos de seguridad que permitían garantizar intersecciones inversas múltiples cuyas soluciones determinan la estabilidad de los pilares o, en su defecto, proporcionan el desplazamiento sufrido por éstos.

Con estos condicionantes, la presa tiene un total de ocho puntos de seguridad alejados entre 100 y 300 metros de los pilares de auscultación, que a su vez están alejados entre 100 y 200 metros de la presa,




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con lo cual se garantiza que los puntos de seguridad se encuentran totalmente alejados de la zona de influencia de la presa, motivo que hace presuponer la total estabilidad de los puntos de seguridad y, por tanto, su perfecta ubicación para el control de estabilidad de los pilares.

2.4.- POLARES.

Generalmente es un punto totalmente alejado del área de influencia de la presa, utilizado en las auscultaciones geodésicas angulares con el objetivo de inicializar el ángulo horizontal y poder así obtener posteriormente las diferencias angulares entre campañas. Si además se comienza con la misma lectura, genera la ventaja de trabajar con valores angulares parecidos entre campañas, lo que a su vez reporta la ventaja de poder localizar puntos de difícil ubicación en campo y eliminar errores en los limbos del instrumento, debido a que siempre se observa en la misma zona de los limbos.

En el caso de la Presa de la Cohilla se emplean dos polares diferentes, las cuales permiten en base a las lecturas promedio realizadas a ambas polares, obtener el mismo origen de ángulos horizontales en diferentes campañas y conseguir los incrementos o variaciones angulares entre campañas.

2.5.- INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO.

Como se ha comentado anteriormente, la observación de la auscultación de la presa requiere observaciones angulares para la lectura de las polares, puntos de seguridad y dianas de puntería desde los pilares de auscultación. El instrumental a emplear debe ser lo más preciso posible, recomendándose que las mediciones angulares se realicen con teodolitos de alta precisión (TAP) o por lo menos de precisión (TP) cuya apreciación angular no debiera ser mayor de un segundo sexagesimal.

La presa a lo largo del tiempo ha sido auscultada con tres instrumentos diferentes:

- Inicialmente el instrumento empleado era un teodolito marca Wild, modelo T3, caracterizado por tener 0,1” de apreciación angular y 40 aumentos en el anteojo. Este instrumento utilizado en la ejecución de las primeras 42 campañas fue, sin duda, el más preciso de los tres instrumentos empleados, pero generaba el inconveniente, por ser un teodolito óptico, de tener que anotar todas las observaciones de forma manual sobre un papel para posteriormente procesar los datos de campo de forma también manual.

Figura Número II.10.- Teodolito marca Wild, modelo T3.




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- Posteriormente paso a emplearse la estación topográfica marca Leica, modelo TC2000, caracterizada por tener 1” de apreciación angular y 40 aumentos en el anteojo. Dicho instrumento reportaba la ventaja de emplear una libreta electrónica que permitía la captura y el posterior volcado de los datos de campo de forma automática en un ordenador. Empezó a utilizarse en la campaña 42 y se dejó de emplear en la campaña 62, debido a la aparición en escena de un aparato más moderno y con más prestaciones.

- Finalmente y, por tanto, desde la campaña 62 hasta la actualidad, el instrumento empleado es la estación topográfica marca Leica, modelo TC2003, que se caracteriza por tener una apreciación en los limbos de 0,5’’ y 35 aumentos en el anteojo. Este instrumento eminentemente preciso y que, combinado con una tarjeta electrónica, permite almacenar y posteriormente volcar toda la información captada de forma totalmente automática, al margen de la mejora de rendimiento que produce, permite reducir notablemente el número de errores groseros que se cometen al hacer el mismo proceso de forma manual.

Figura Número II.11.- Estación topográfica modelo TC2003.

Es obvio que todo el instrumental empleado en una auscultación geodésica, por ser una metodología tremendamente exigente con respecto a la precisión, debe estar en buen estado. Además, el instrumento debe pasar las oportunas revisiones de limpieza y calibraciones realizadas por el personal técnico de la empresa suministradora, garantizando así en todo momento su buen estado y el cumplimento de las especificaciones técnicas marcadas en la definición técnica del propio aparato.




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3.- LA OBSERVACIÓN ANGULAR.

3.1.- CARACTERIZACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.

Los elementos vistos anteriormente participan en cada una de las diferentes campañas, permitiendo la determinación del movimiento individualizado de todos y cada uno de los puntos que, a priori, se han elegido sobre la estructura, a lo largo de las diferentes campañas de observación.

El esquema definitivo de la situación de todos los elementos participantes resulta:

Figura Número II.12.- Esquema general de los elementos participantes.

Existe una situación inicial que, en principio, puede ser cualquiera, incluso el comienzo de una nueva etapa o simplemente un instante dado. Es la situación habitualmente denominada campaña cero, a partir de la cual como único resultado se puede obtener una posición general de los diferentes elementos que conforman la auscultación, debido a que si sólo se tiene una campaña no existe la posibilidad de contrastarla con otras y poder así determinar el desplazamiento entre campañas.

En el caso de auscultación geodésica de presas está justificado trabajar en proyección, dado que el movimiento de la diana tiene una marcada componente planimétrica.

Figura Número II.13.- Ejemplos caracterizados de lugares donde aplicar estas técnicas.

Tal y como se puede apreciar en la figura anterior, en los dos primeros casos es evidente que el movimiento tiene una componente prácticamente planimétrica, hecho que no ocurre en el tercer caso, en el que la componente del movimiento es tanto planimétrica como altimétrica. Esta componente altimétrica se puede deducir de forma somera mediante la determinación planimétrica y la geometría inicial del propio talud o mediante auscultaciones geodésicas altimétricas. En las auscultaciones geodésicas altimétricas se determinan movimientos altimétricos apoyándose en el uso exclusivo del




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nivel y nivelación geométrica. En el caso de la presa objeto, además de la auscultación planimétrica, también se realiza una auscultación altimétrica, aunque no será objeto de análisis en la presente investigación, por no encontrarse dentro del objeto de la misma.

3.2.- EL OBSERVABLE ANGULAR.

3.2.1.- IMPORTANCIA DEL DISEÑO DE LAS DIFERENTES REDES.

Existen tres redes directamente implicadas cuyo diseño es de extrema importancia en el panorama de una auscultación: la red de pilares, la red de dianas y la red de puntos de seguridad. Es en el diseño de estas redes donde el proyectista ha de plasmar sus conocimientos, dando valor a todo aquello que con posterioridad tendrá influencia en las observaciones: número de pilares, proximidad a las dianas, ángulo de intersección entre visuales, inclinación de las mismas, etc. Esta fase tiene tanta importancia que, como posteriormente se demostrará, el diseño de las redes permite definir la incertidumbre esperada a priori.

En muchas ocasiones no es sencillo diseñar la red óptima pues, aunque exista en la teoría, no se puede construir en la práctica por simples consideraciones topográficas. No obstante, en el presente caso no se han podido establecer criterios propios de diseño, ya que las redes eran un factor de partida debido a la preexistencia de dichas redes en el entorno de la presa objeto de análisis.

En este caso, lo que sí es factible es determinar la incertidumbre esperada en función del error cometido al realizar la observación angular, con lo que al menos, se pueden elegir las prestaciones que debe tener el teodolito con el que se pretenden realizar las mencionadas observaciones. Más adelante, una vez demostrada la expresión que permite determinar el desplazamiento, se desarrollarán todos estos aspectos tan vitales para la determinación del desplazamiento.

3.2.2.- METODOLOGIAS INTERVINIENTES.

Existen dos metodologías implicadas en el tratamiento de los datos captados:

- Intersección inversa. La determinación de los posibles movimientos de los propios pilares se consigue mediante la observación y posterior resolución de las diferentes intersecciones inversas que se crean entre los puntos de seguridad y los propios pilares de auscultación.

- Intersección directa. La determinación de los desplazamientos de las dianas de puntería se consigue mediante la observación y posterior resolución de las diferentes intersecciones directas que se crean entre los pilares de auscultación y las propias dianas de puntería.

Aunque no es lo habitual, si el pilar sufre algún desplazamiento, la resolución de la intersección inversa múltiple permite determinar dicho desplazamiento, con lo que se consigue posteriormente y mediante una excéntrica, corregir la observación realizada y poder compararla con la realizada en la campaña anterior, pudiendo definitivamente determinar el movimiento de la diana aunque el pilar sufra desplazamientos. Además, esta excentricidad de una observación con respecto a la anterior, permite corregir cualquier error de dirección que se pueda cometer al estacionar el teodolito, pues equivaldría al desplazamiento del pilar.

Este proceso que en ocasiones surge espontáneamente, otras veces no queda otro remedio que ponerlo en marcha, especialmente cuando no se encuentra una ubicación para los pilares que garantice su estabilidad.




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3.2.2.1.- LA INTERSECCIÓN DIRECTA ANGULAR.

En el establecimiento de la posición de puntos por medio de la medición de ángulos, para el caso de dos pilares PI(xI,yI) y PII(xII,yII), establecidos los ángulos α y β, las coordenadas del punto V se obtienen en el sistema referencial definido por los pilares, mediante el siguiente procedimiento.

Figura Número II.14.- Esquema genérico de la intersección directa de ángulos.

El conocimiento de las coordenadas de los pilares (xIyI) y (xIIyII) permite obtener:

( ) ( )22IIIIII

III yyxxD −+−= [II.1]

III

IIIIII

yy

xxArc

−

−= tanθ [II.2]

Medidos los ángulos α y β, la determinación de las distancias DIV y DII

V se resuelve mediante el teorema del seno:

βαγ Sen

D

Sen

D

Sen

D VI

VII

III == [II.3]

Con las distancias calculadas, obtener las coordenadas de la diana de puntería en cuestión es sencillo:

DP

DPPD SenDXX θ⋅+= [II.4]

DP

DPPD CosDYY θ⋅+= [II.5]

Este procedimiento otorga al ángulo la propiedad fundamental de conseguir determinar la posición de la diana a lo largo de las sucesivas campañas, todo ello en base al conocimiento de las coordenadas de los pilares y la observación en campo de los ángulos α y β en cada campaña, tal y como se describe en la figura II.14. La dificultad se encuentra generalmente en que el procedimiento de cálculo pasa por emplear un sistema de coordenadas absoluto de grandes dimensiones, combinado con pequeñas variaciones angulares, lo que produce matemáticamente grandes desplazamientos. Esto requiere un procedimiento de cálculo diferente al mostrado anteriormente, que evite esta situación y además permita resolver el gran número de intersecciones que se produce, dado que habitualmente cada diana se observa desde cuatro pilares.




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3.2.2.2.- LA INTERSECCIÓN INVERSA ANGULAR.

El procedimiento que permite definir la estabilidad de los pilares es la intersección inversa, que mediante la observación, al menos, de tres puntos de seguridad permite resolver la posición del pilar. Habitualmente se realizan intersecciones inversas múltiples en vez de intersecciones inversas simples, es decir a cuatro o más puntos de seguridad, lo que produce un sistema más complejo, pero con redundancia de datos, que a su vez permite obtener comprobaciones y errores. La resolución de la intersección inversa simple consiste básicamente en resolver el siguiente proceso matemático:

Figura Número II.15.- Esquema genérico de la intersección inversa de ángulos.

Por saber las coordenadas de los puntos de seguridad se parte del conocimiento de una serie de datos iniciales:

( ) ( )

BA

BABA

BABABA

yy

xxArc

yyxxaD

−

−=

−+−==

tan

22

θ C

BA

BB θθ −=ˆ ( ) ( )

CB

CBCB

CBCBCB

yy

xxArc

yyxxbD

−

−=

−+−==

tan

22

θ [II.6]

los cuales permiten posteriormente calcular los datos necesarios para poder resolver la intersección inversa, mediante un mecanismo sencillo.

⇒

++−=

⋅

⋅=

)(400 βα

β

α

BN

Sena

SenbM

)

⇒

⋅=

⋅+=

NSenMJ

NCosMI 1

ANC

I

JArcA

ˆˆ

tanˆ

−=

= [II.7]

Con los ángulos calculados, obtener las coordenadas del pilar es inmediato:

PA

PAAP

PA

PAAP

CosDYY

SenDXX

θ

θ

⋅+=

⋅+= [II.8]




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Al igual que en el caso de las intersecciones directas, las intersecciones inversas requieren de un procedimiento que permita resolver el sistema, lo mecanice y a poder ser, consiga tener un tratamiento estadístico adosado. Nuevamente en este caso, en el que existen más ecuaciones que incógnitas, existe redundancia de datos y a partir de la matriz residuos, se puede conseguir interesante información que refleja la bondad del resultado obtenido.

3.3.- LA OBSERVACIÓN DE ÁNGULOS EN CAMPO.

3.3.1.- MÉTODO DE OBSERVACIÓN.

De todos los métodos topográficos existentes para observar redes por medio de ángulos, el más utilizado se denomina vuelta de horizonte y básicamente consiste en:

- Establecer para cada pilar una referencia bien determinada y visible, a una distancia que obviamente dependerá del tamaño de la red, pero que ante todo garantice una puntería adecuada. Estas referencias generalmente se denominan “polares” y cada pilar puede tener una propia o una para el total de los pilares, dependiendo de la topografía del entorno. En esta referencia externa o polar se inicializan los ángulos horizontales cuando se estaciona el teodolito en cada pilar de auscultación.

- Desde cada pilar, y después de haber inicializado los ángulos horizontales en la referencia, se pasa a observar los ángulos horizontales en círculo directo de todos los puntos que conforman la red, haciéndose el orden de lectura de los vértices en el sentido de las agujas del reloj.

- Después de haber observado todos los vértices de la red, se vuelve a cerrar en la referencia inicial, de forma que el error de cierre debe estar por debajo de una precisión marcada previamente por el operador, en función generalmente del instrumento y las condiciones ambientales en las que se realiza la observación.

- Una vez cerrada la lectura de ángulos en la referencia y comprobado que el error de cierre está por debajo de la tolerancia, se procede de forma idéntica, pero leyendo los ángulos en círculo inverso y orden decreciente de los ángulos, obteniendo así todas las lecturas en círculo directo e inverso de todos los vértices de la red, constituyendo los promedios de cada par de observaciones, lo que se denomina una serie de medición.

- En esta metodología de observación no se recomienda pasar de cuatro series de medición, recomendándose emplear un teodolito más preciso, si se hace necesario realizar más series para obtener mayor precisión. En esta tesis doctoral se realizan tres series de medición desde cada pilar a todos los puntos objeto, como más adelante se detallará.

La gran ventaja de este método es, sin duda alguna, la gran rapidez con la que se realizan las observaciones angulares, pero como contrapartida, tiene el gran inconveniente de que este método no elimina los errores de torsión que se pueden generar en los pilares a lo largo de la observación, debidos fundamentalmente a cambios de temperatura, etc.

Existen otros métodos que, calculando los ángulos como la semisuma de dos observaciones consecutivas realizadas en un espacio de tiempo pequeño y parecido, permiten eliminar este error, pero conlleva que las metodologías se ralenticen mucho debido al gran número de observaciones que requieren, como pueden ser los métodos denominados pares a la referencia y Schreiber, no habiéndose llevado a cabo en esta tesis por considerar dichos errores despreciables.




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3.3.2.- CONTROL DE LAS OBSERVACIONES ANGULARES.

Como se ha comentado anteriormente, antes de iniciar las observaciones se debe comprobar que el instrumento topográfico se encuentra en buen estado, por lo que es ideal que el instrumento esté recién calibrado por el fabricante. Además, existen una serie de controles que permiten establecer si el instrumento tiene algún defecto grosero, y que se caracterizan por tener una capacidad de detección de errores muy básica, es decir, cuando detectan un error en el instrumento es porque éste es muy grave, siendo los más habituales:

- Comprobación del error de nivel de línea.

- Comprobación del error de coincidencia entre el eje de colimación y el eje óptico del anteojo.

- Perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje secundario.

- Perpendicularidad entre el eje principal y el eje secundario.

Durante la observación, la única precaución y control que debe tener el observador con respecto a las observaciones angulares realizadas, pasa por comprobar en todo momento que los cierres que va cometiendo están por debajo de las tolerancias establecidas, de forma que cuando llegue al gabinete para procesar los datos, no se encuentre con que la información que ha tomado no es válida.




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4.- RESOLUCIÓN DE LA AUSCULTACIÓN MEDIANTE LA OBSERVACIÓN DE ÁNGULOS.

4.1.- INTRODUCCIÓN.

Para el procesado de los datos de campo con observaciones angulares, al margen de la obtención de los valores promedios de las diferentes series realizadas, que como se ha descrito en el epígrafe anterior suelen ser tres o cuatro, existen dos metodologías implicadas en el cálculo de cualquier auscultación:

- Intersecciones Inversas. Permiten obtener posibles desplazamientos de los pilares mediante las observaciones realizadas a los puntos de seguridad. Si se obtiene un desplazamiento en alguno de los pilares, mediante la resolución de una excéntrica angular se consigue poder comparar diferentes observaciones con distintas posiciones del pilar, objetivo final del trabajo.

- Intersecciones Directas. Permiten obtener los desplazamientos que sufren las dianas de puntería, resolviendo las diferentes intersecciones directas que se forman desde los pilares de auscultación.

Por tanto, después de establecer las coordenadas de todos los elementos que participan en la auscultación, el primer paso a dar para resolver la propia auscultación es comprobar la estabilidad de los pilares, para lo cual es necesario resolver el conjunto de intersecciones inversas múltiples que se generan con las visuales realizadas entre los pilares y puntos de seguridad.

Como se demuestra más adelante, este proceso de cálculo es muy laborioso, motivo por el que se ha convertido en una práctica muy habitual en trabajos de este tipo, sustituir el procesado de los datos referidos a la determinación de la estabilidad de los pilares por una simple comparación de los ángulos obtenidos a lo largo de las sucesivas campañas.

Si todo funciona correctamente, tanto los pilares de auscultación como los puntos de seguridad no deben sufrir movimientos por dos motivos generalmente: tipo de construcción y ubicación externa al área de influencia. Si no sufren movimientos, los ángulos observados a lo largo de las diferentes campañas tienen que ser iguales. Esta condición es muy sencilla de comprobar y si se cumple, hecho habitual, se evita tener que poner en marcha el procedimiento que permite resolver el conjunto de intersecciones inversas, proceso lento y laborioso.

Una vez comprobada la estabilidad de los pilares de auscultación, se procede a resolver el conjunto de intersecciones directas que permite detectar los hipotéticos desplazamientos de las dianas de puntería. Para resolver este problema existen básicamente tres métodos claramente diferenciados y con connotaciones totalmente diferentes:

- Método numérico.

- Método gráfico.

- Método de variación de coordenadas.

A continuación se desarrollan los fundamentos teóricos en los que se apoyan dichos métodos y que, en esencia, son los que permiten resolver el problema de la auscultación geodésica, desarrollando también el procedimiento matemático que permite determinar la estabilidad de los pilares que, aunque no sea muy común, es necesario conocer.




55

4.2.- MÉTODO NUMÉRICO.

El procedimiento se basa en el cálculo de todas las intersecciones directas que se pueden obtener con las observaciones realizadas en cada campaña desde los pilares de auscultación a las dianas de puntería, existiendo, si se hacen todas las visuales posibles desde cada uno de los cuatro pilares, seis hipotéticas intersecciones directas a cada diana de puntería. A partir de ellas se obtienen seis juegos de coordenadas parecidas, pero no idénticas, para cada diana, consistiendo el método en establecer una media ponderada de los seis juegos de coordenadas para obtener así unas coordenadas definitivas para cada diana en cada campaña, consiguiendo finalmente el desplazamiento por diferencia de coordenadas entre campañas.

En la siguiente figura se puede apreciar el conjunto de las seis intersecciones directas que se generan en el caso de una diana desde los cuatro posibles pilares:

Figura Número II.16.- Intersecciones directas de una de las dianas de puntería.

En este procedimiento de cálculo tiene gran influencia la geometría de los triángulos con los que se resuelven las intersecciones directas, es decir las coordenadas del conjunto de pilares y las coordenadas aproximadas de la diana. Esto genera que al establecer la media ponderada se asignen pesos a cada intersección en función de la geometría de ésta, que en definitiva no representa más que la precisión de la propia intersección, siendo la de cada intersección directa la que se desarrolla a continuación.

Considerando que al realizar las dos observaciones angulares necesarias en toda intersección directa se comete un error angular εH, se crea una zona de incertidumbre en la que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura Número II.17.- Afección del error angular en las intersecciones directas.




56

Teniendo en cuenta que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones angulares se pueden considerar paralelas, y como la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se considera la tolerancia en las intersecciones directas angulares.

Figura Número II.18.- Elipse de error en las intersecciones directas angulares.

Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:

Figura Número II.19.- Valor del diámetro conjugado de la elipse.

En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN se le puede aproximar al arco, resultando las siguientes expresiones:

2·· HLVN ε= [II.9]

γγ

sen

VNVN

VN

VNsen =⇒= '

' [II.10]

γ

ε

sen

LVN H 2··

'= [II.11]




57

Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se conoce el semieje mayor de la elipse de error mediante las siguientes expresiones:

222 '2 VNba ⋅=+ [II.12]

γsenVNba ·'22 2⋅=⋅⋅ [II.13]

Sumando las dos expresiones anteriores II.12 y II.13, se obtiene:

( )γsenVNbaba +⋅⋅=⋅⋅++ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2 22

( ) γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2 [II.14]

Restando esas mismas expresiones II.12 y II.13, resulta:

( )γsenVNbaba −⋅⋅=⋅⋅−+ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba −⋅⋅=− 1'2 22

( ) γsenVNba −⋅⋅=− 1'2 [II.15]

Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente II.14 y II.15, se obtiene:

[ ]γγ sensenVNa −++⋅=⋅ 11'22

[ ]γγ sensenVN

a −++⋅

= 112

'2 [II.16]

Dada la siguiente igualdad trigonométrica:

[ ]2

cos112

1 γγγ =−++⋅ sensen

se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho mas reducida del semieje mayor de la elipse:

2cos'2

γ⋅⋅= VNa [II.17]

Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica se obtiene:

2cos

22;

2··'

γγγ

γ

ε⋅⋅== sensen

sen

LVN H




58

2cos

22

2cos·2···2

γγ

γε

⋅⋅

=

sen

La

H

[II.18]

Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al realizar una intersección directa angular.

2

·γ

ε

sen

La H= [II.19]

Suponiendo que la observación se realiza con el mismo instrumento topográfico, el peso de cada intersección se obtiene aplicando la siguiente expresión:

2

2

2L

SenPeso

γ

= [II.20]

siendo:

L.- distancia media entre los dos pilares y la diana.

HTε .− error angular acimutal del teodolito.

γ.− ángulo intersección.

Establecidas las coordenadas de cada diana en cada campaña, el vector desplazamiento de cada una de las dianas se obtiene por medio de la comparación de coordenadas entre las dos campañas para cada diana de puntería.

4.3.- MÉTODO GRÁFICO.

Para efectuar la resolución gráfica del conjunto de observaciones realizadas también es necesario conocer las coordenadas de los pilares y las coordenadas aproximadas de las dianas; tal es así, que usualmente se dota de coordenadas al conjunto de elementos participantes en la primera campaña de observaciones y esas coordenadas son la que posteriormente se emplean como aproximadas para todas las campañas posteriores.

Conocidas las posiciones iniciales de estos puntos, se obtienen las distancias aproximadas entre los pilares y cada una de las dianas, valores que se pueden suponer constantes de una observación a otra, ya que las variaciones por ser muy pequeñas no van a influir en el resultado final del vector desplazamiento, como en las expresiones finales de éste se puede comprobar.

( ) ( )22tan DIANA

PILARDIANAPILAR YXciaDis ∆+∆= [II.21]




59

La base sobre la que se fundamenta el cálculo gráfico consiste en evaluar el valor del desplazamiento para un incremento angular entre dos observaciones consecutivas. El cálculo del incremento angular entre campañas se puede realizar operando con lecturas del ángulo horizontal o con acimutes:

- En el caso de tener convertidas las lecturas a acimutes mediante el cálculo de la desorientación y el posterior cálculo de acimutes, el incremento angular se obtiene restando los acimutes de cada campaña.

)1()( +−=∆ nn DIANAPILAR

DIANAPILAR

DP θθα [II.22]

- En el caso de operar con lecturas, si en ambas campañas las lecturas se realizan con el origen de ángulos horizontales en la misma dirección, el incremento de ángulos se consigue mediante la resta de lecturas.

)1()( +−=∆ nLnL DIANAPILAR

DIANAPILAR

DPα [II.23]

- En el caso de operar con lecturas tomadas con diferentes orientaciones a la referencia externa o polar, el cálculo de la variación angular requiere tener en cuenta la diferencia de orientaciones.

)1()1()()( +++−−=∆ nLnLnLnL DIANAPILAR

POLARPILAR

DIANAPILAR

POLARPILAR

DPα [II.24]

Como el incremento angular para este tipo de observaciones es muy pequeño, el arco se sustituye por la tangente, el radio por la distancia aproximada entre el pilar y la diana y por tanto, se pueden aplicar las relaciones definidas para dos infinitésimos que resultan:

"r

DentoDesplazami

DP ⋅∆

=α

[II.25]

tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura Número II.20.- Sustitución del arco por la tangente.

Sobre un plano a gran escala (5/1 ó 10/1) se sitúa la posición inicial, y a partir de ella se marcan todas las direcciones con su desplazamiento. En un caso ideal, las direcciones con sus correspondientes desplazamientos, uno por pilar, definen la nueva posición de la diana, lugar geométrico donde se cortan todas las direcciones, situación que habitualmente no sucede, debido a que por los errores que se cometen al observar, las visuales en vez de cortarse en un punto único, se cortan dos a dos, definiendo un polígono con tantos lados como visuales realizadas desde pilares auscultación tenga la diana.




60

El resultado final hay que establecerlo a estima y dentro de ese polígono que se obtiene gráficamente, poniéndose generalmente en el centro del mismo, salvo que se desee dar más peso a alguna de las visuales realizadas, hecho no frecuente. En la siguiente figura se muestra un gráfico habitual de la resolución de una diana de puntería por este método.

Figura Número II.21.- Resolución del desplazamiento de una diana por el método gráfico.

Las dimensiones del polígono son importantes, dado que representan el error cometido en el conjunto de observaciones realizadas para la determinación del vector desplazamiento, y como el gráfico se hace a escala, éstas son cuantificables.

4.4.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS EN LAS INTERSECCIONES DIRECTAS.

El fundamento en el que se apoya el método de variación de coordenadas es relativamente sencillo de entender ya que se sabe que al variar un ángulo evaluado desde un punto fijo, cambian de una forma concreta las coordenadas del punto extremo de la siguiente forma:

Figura Número II.22.- Variación de coordenadas cuando una diana sufre un desplazamiento angular.

Dianaj =

ji

jiji

YY

XXtg

−

−=θ Pilari =




61

( ) ( )dy

YY

XXdx

YY

YYd

Cosji

ji

ji

jijij

i222

1

−

−−

−

−=θ

θ

( )

( )2

2

2

ji

jiji

D

YYCos

−=θ

( )

( ) ( ) ( )dy

YY

XXdx

YY

YYd

YY

D

ji

ji

ji

jiji

ji

ji

222

2

−

−−

−

−=

−θ

( )[ ] rdyXdxY

Dd j

ij

iji

ji +⋅∆−⋅∆= 2

1θ [II.26]

A partir de esta ecuación particularizada para cada uno de los cuatro pilares se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones con dos incógnitas que habitualmente se resuelve por medio de un sencillo sistema de matrices, como a continuación puede verse:

( )[ ]dyXdxY

D

ji

jij

i

I ⋅∆−⋅∆=∆ 2

1θ

( )[ ]dyXdxY

D

ji

jij

i

II ⋅∆−⋅∆=∆ 2

1θ

( )[ ]dyXdxY

D

ji

jij

i

III ⋅∆−⋅∆=∆ 2

1θ

( )[ ]dyXdxY

D

ji

jij

i

IV ⋅∆−⋅∆=∆ 2

1θ [II.27]

donde:

∆θ .- incremento angular entre campañas.

jiD .- distancia aproximada entre cada pilar y diana.

∆X.- incremento de abscisas aproximadas entre pilar y diana.

∆Y.- incremento de ordenadas aproximadas entre pilar y diana.

pudiéndose resolver de la forma:

[ ] [ ] [ ]XA ⋅=∆θ

XA ⋅=∆θ [II.28]

XAAA tt ⋅⋅=∆⋅ θ




62

PNXXNPNAA

PAt

t

⋅=⇒⋅=

=⋅

=∆⋅−1θ [II.29]

Debido a que habitualmente se observa a más de dos puntos de seguridad, existe una redundancia de datos que permite establecer las desviaciones de una forma sencilla:

XAR

RXA

⋅−∆=

+⋅=∆

θ

θ [II.30]

Por lo que se puede decir que la varianza se obtiene como:

nm

RRS

t

−=2

[II.31]

siendo:

m.- número de ecuaciones = número de visuales desde pilares.

n.- número de incógnitas = dx , dy.

Y la covarianza de las incógnitas:

== −

2

2

12

YXY

YXXNSCσσ

σσ [II.32]

Aplicando la teoría de autovalores y autovectores:

22

2222222

22

4)(2

1

XY

XY

mín

máx

XYYXYX

tgσσ

σθ

σ

σσσσσσσσ

−=

⇒

+−±+=

Figura Número II.23.- Establecimiento de la elipse de error en variación de coordenadas.




63

4.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS EN LAS INTERSECCIONES INVERSAS.

Para determinar la estabilidad de los pilares se efectúan intersecciones inversas desde el propio pilar a los puntos de seguridad, caracterizados porque sus coordenadas se consideran fijas a lo largo del tiempo ya que su posición se encuentra totalmente alejada y, por tanto, fuera del área de influencia del elemento a auscultar.

Para establecer las coordenadas del pilar a partir de las coordenadas de los puntos de seguridad se observan los ángulos existentes entre estos y el pilar.

Figura Número II.24.- Establecimiento de los ángulos de la intersección inversa múltiple.

Para resolver el método de variación de coordenadas para intersecciones inversas es necesario establecer: los ángulos existentes entre el pilar y cada punto de seguridad, y las coordenadas iniciales de la red de vértices ajustadas por mínimos cuadrados.

Para cada campaña posterior al cálculo inicial de la red hay que presuponer las coordenadas de la red como aproximadas, y a partir de esta suposición se construye el método de variación de coordenadas para el cálculo de la hipotética nueva situación del pilar.

Con las hipótesis anteriores se puede aplicar el método general de variación de coordenadas, de forma totalmente análoga al caso de las intersecciones directas:

Figura Número II.25.- Variación de coordenadas aplicada a las intersecciones inversas.




64

estableciéndose la siguiente relación, para cada punto de seguridad observado desde el pilar objeto de análisis:

( )[ ]dyXdxY

D

ji

jij

i

⋅∆−⋅∆=∆ 2

1θ [II.33]

donde, nuevamente:

∆θ .- incremento angular entre campañas.

jiD .- distancia aproximada entre cada pilar y diana.

∆X.- incremento de abscisas aproximadas entre pilar y diana.

∆Y.- incremento de ordenadas aproximadas entre pilar y diana.


[ ] [ ] [ ]XA ⋅=∆θ

XA ⋅=∆θ [II.34]

XAAA tt ⋅⋅=∆⋅ θ

PNXXNPNAA

PAt

t

⋅=⇒⋅=

=⋅

=∆⋅−1θ [II.35]

Al igual que en el caso de las intersecciones directas, se puede establecer la desviación cometida debido a la captura de datos redundantes, obteniéndose con expresiones totalmente análogas a las anteriores.

Se puede decir que la varianza se obtiene como:

XAR

RXA

⋅−∆=

+⋅=∆

θ

θ [II.36]

siendo:

nm

RRS

t

−=2

[II.37]

m.- número de puntos de seguridad observados.

n.- número de incógnitas = dx , dy.

Y la covarianza de las incógnitas:




65

== −

2

2

12

YXY

YXXNSCσσ

σσ [II.38]

Aplicando la teoría de autovalores y autovectores:

22

2222222

22

4)(2

1

XY

XY

mín

máx

XYYXYX

tgσσ

σθ

σ

σσσσσσσσ

−=

⇒

+−±+=

en la que todos los valores obtenidos que permiten reflejar la geometría de la elipse de error, tienen el mismo componente gráfico que en el caso de las intersecciones directas, motivo por el cual se hace referencia a la figura número II.23 de éste mismo capítulo, donde se describe cada uno de ellos.

4.6.- INTERSECCIONES INVERSAS GRÁFICAS O NUMÉRICAS A TRAVÉS DE LAS PROPIEDADES DEL ARCO CAPAZ.

Aunque en la mayoría de las auscultaciones los pilares de observación no se mueven, en los casos que exista la posibilidad de movimientos, o porque el sistema de centrado forzoso tenga alguna deficiencia, es especialmente útil y cómodo el presente método. La observación a una serie de referencias fijas desde el pilar (puntos de seguridad), permite evaluar el ángulo (γ) que forman cada dos visuales como diferencia de lecturas y, por tanto, exento de errores sistemáticos. Estos ángulos darán lugar a unos arcos capaces y, en el caso de que no exista movimiento por parte del pilar, el ángulo (γ) será el mismo en cada observación, salvo la incertidumbre implícita en la instrumentación.

Figura Número II.26.- Determinación del arco capaz entre dos puntos.

Al estar el punto P determinado por la intersección de los arcos capaces generados por las diferentes visuales, resulta evidente que cualquier variación que se produzca en los ángulos observados a lo largo de diferentes campañas determina a su vez el desplazamiento en la posición del pilar entre campañas. La variación angular entre campañas se obtiene en base a la diferencia de ángulos observados entre dichas campañas, que para dos puntos de seguridad observados resulta:

e = (γ n+1)-(γ n) [II.39]




66

Sea TT’ la recta “r” tangente a P en el arco capaz S del ángulo γ. Si se supone que al medir γ se produce una variación llamada “e”, para obtener la nueva posición del punto P en el arco capaz S’ de ángulo γ-e bastará con construir en A y hacia el exterior del triángulo ABP, un ángulo “e”, obteniendo la posición de un punto “b” en el que la recta Ab corta a la prolongación de BP, ya que evidentemente el ángulo en “b” vale γ-e. Procediendo de modo análogo en el vértice B se obtiene otro punto “a”, también del mismo arco capaz S’, luego la recta “ba” es una cuerda del arco capaz S’, del ángulo γ-e. Dadas las dimensiones de los arcos capaces y las escasas variaciones angulares, se puede considerar sin cometer error que la cuerda se confunde con la recta r’ tangente al arco capaz S’ en “m” definida por las direcciones T1T1’, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura Número II.27.- Determinación del nuevo arco capaz cuando existe variación angular.

De la figura se deduce que los ángulos:

BAPPba ==1

ya que ambos proceden de la igualdad:

BAPBPT ==1'

Resultando, por tanto, que las rectas tangentes r y r’ definidas respectivamente por las direcciones TT’ y T1T1’ son paralelas, es decir, que la tangente se desplaza paralelamente a si misma como consecuencia de la variación angular. Evidentemente, si la variación es por defecto, como en el caso considerado, el desplazamiento del pilar se produce alejándose de la base AB, y acercándose la variación se produce por exceso.

Para determinar la magnitud del desplazamiento, la cual queda definida por la perpendicular trazada desde P hasta la recta r’ denominada Pm, es necesario trazar desde “b” una perpendicular a la recta Pa, gracias a lo cual se generan dos triángulos rectángulos semejantes abn y aPm, en los cuales tienen el ángulo a común, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:




67

Figura Número II.28.- Desplazamiento del pilar debido a la variación angular.

Luego:

ba

PabnPm

ba

Pa

bn

Pm⋅=⇒= [II.40]

A su vez el triángulo Pba es semejante al PAB, ya que tienen sus ángulos iguales, por tanto:

AB

PB

ba

Pa= [II.41]

valor que sustituido en la ecuación anterior resulta:

AB

PBbnPm ⋅= [II.42]

El valor de bn se puede aproximar al arco correspondiente al ángulo “e” y radio PA, expresando en radianes resulta:

ePAbn ⋅= [II.43]

Sustituyendo bn en la expresión anterior permite determinar el valor del desplazamiento para las visuales realizadas a dos puntos de seguridad:

eAB

PBPAPm ⋅

⋅= [II.44]

donde habitualmente se suele denominar “Df = distancia ficticia” a la parte constante de la ecuación matemática, dependiente de la geometría de los puntos de seguridad y del propio pilar, que permite facilitar el cálculo del desplazamiento en el momento que se tiene la variación angular:

AB

PBPADf

⋅= [II.45]

La nueva posición de punto P, habitualmente denominada P’, se encontrará en un entorno muy próximo, pero siempre en la recta r’, tangente al nuevo arco capaz S’. La ecuación de dicha recta resulta:




68

nxmyr +⋅=⇒' [II.46]

donde:

)360( Ktgm −= [II.47]

)360(

'

KCos

PPn

−= [II.48]

El valor de K depende de si la variación angular es por exceso o por defecto:

BKe PA

PP −+==⇒> 900 ' θθ [II.49]

BKe PA

PP −+=+=⇒< 2701800 ' θθ [II.50]

Observados todos los datos en cada campaña, bastará comparar las observaciones de una campaña con la anterior, y calcular para cada segmento: AB, BC, AC, etc., y sus correspondientes eAB, eBC, eAC, etc. Con las distancias ficticias conocidas a priori se calcula: PP’AB, PP’BC, PP’AC, etc., los acimutes y, por tanto, los coeficientes mAB, mBC, mAC, etc. y nAB, nBC, nAC, etc., determinándose así las rectas rAB, rBC, rAC, etc. Como en cada caso el origen es el punto P, su representación es inmediata, tanto manual como automáticamente. Debido a los errores instrumentales y accidentales, las rectas normalmente no se cortan en un único punto y se suele generar un polígono de error, en el que posteriormente se debe situar el punto final en el centro del mismo.

Elegido el punto final dentro del polígono, el vector desplazamiento final del pilar, en el que se encuentran reflejadas todas las observaciones realizadas a los diferentes puntos de seguridad, se determina gráficamente, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura, en la que se determina el vector desplazamiento tanto por su módulo como por su dirección.

Figura Número II.29.- Desplazamiento con cuatro visuales.




69

El método habitualmente es muy preciso puesto que existen muchas observaciones y, por lo tanto, se genera redundancia de datos, lo que permite modelar un comportamiento cuando se hacen sucesivas campañas. En el caso de que el pilar haya sufrido algún desplazamiento, se deben corregir todas las lecturas realizadas desde el pilar al conjunto de dianas observadas, para lo que se recurre al clásico mecanismo de excentricidad, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura Número II.30.- Variación del ángulo ante la posibilidad de movimiento del pilar.

4.7.- DISEÑO DE LAS REDES IMPLICADAS.

Como se ha comentado en el epígrafe 3.2.1 de este capítulo, la importancia del diseño de las diferentes redes que intervienen en la auscultación es vital para determinar el error esperado a priori en la resolución de la propia auscultación. En este sentido cabe reseñar que las redes que intervienen en la auscultación angular son tres: la red de puntos de seguridad, la red de pilares de auscultación y la red de dianas. Las dos primeras resuelven mediante intersecciones inversas el posible desplazamiento que pueden sufrir los pilares entre campañas, las dos últimas resuelven mediante intersecciones directas el posible desplazamiento que pueden sufrir las dianas entre campañas.

Tal y como se ha demostrado en los epígrafes 4.4 y 4.5 de este capítulo, el error esperado en la resolución de las intersecciones directas o inversas se resuelve mediante las mismas expresiones analíticas, particularizadas para cada caso concreto. Dichas expresiones ya han sido justificadas previamente, obteniéndose las siguientes ecuaciones:

⋅+−±+=

2222222 4)(2

1XYYXYX σσσσσσ [II.51]

donde σx, σy, σxy se obtienen de la matriz de covarianzas:

=⋅= −

2

2

12

YXY

YXXNSCσσ

σσ [II.52]




70

siendo:

22

22

22

22

1

2

mi

mi

mi

mi

li

li

li

li

ki

ki

ki

ki

ji

ji

ji

ji

t

t

D

X

D

Y

D

X

D

Y

D

X

D

Y

D

X

D

Y

AAANN

XARnm

RRS

∆−∆

∆−∆

∆−∆

∆−∆

=⇒⋅=⇒

⋅−∆=⇒−

=

−

θ

[II.53]

De la expresión anterior se deduce que el error esperado es función de las siguientes variables:

- La precisión en la medida de los ángulos, dado que esta precisión condiciona la matriz de variaciones angulares [∆θ].

- La geometría o disposición relativa del conjunto de puntos que forman la red, cuya relevancia se define en la matriz de configuración de la red [A].

- El número de visuales que intervienen en la observación condicionando el cálculo de la varianza “S2”, concretamente en el denominador de ésta [m-n].

El análisis de estas variables justifica la existencia de dos grados de libertad a la hora de diseñar las diferentes redes implicadas con relación a los parámetros dependientes, el instrumento a emplear y el error esperado:

- Considerando el teodolito disponible como fijo, por la causa que sea, no hay otro, es el más preciso, etc. Se diseña la red jugando con la posición relativa de los puntos que la conforman y la intervisibilidad entre los diversos puntos que intervienen, garantizando que el posicionamiento de éstos hace que la matriz [A] y el valor de [m-n] tengan el mejor rango para obtener un σ mínimo. Llegado este caso se recomienda programar el procedimiento de cálculo anterior, de forma que ensayando con diferentes geometrías y visuales, se pueda escoger aquélla que hace mínima σ.

- Considerando la red de puntos fijos, hecho muy habitual salvo en aquellos casos en los que es la primera vez que se realiza este tipo de observaciones, y por tanto, hay que diseñar íntegramente la auscultación, se puede calcular para diversos instrumentos (teodolitos) caracterizados por su tolerancia, el instrumento que hace mínima σ. Para ello tan sólo es necesario coger el procedimiento matemático anterior y dejando fija la matriz [A] y el valor de [m-n] ir ensayando con los diferentes valores de [∆θ] hasta conseguir el que menor σ genere. Este caso es más sencillo que el anterior, ya que la tolerancia del teodolito es directamente proporcional al error esperado a priori, con lo que a mejor teodolito mejor error esperado, siendo sólo necesario calcular el error esperado a priori con el teodolito disponible.




71

5.- LA OBSERVACIÓN DISTANCIOMÉTRICA.


Siguiendo un desarrollo paralelo a los métodos angulares, las posibles operaciones o procedimientos sustitutivos de las intersecciones directas, intersecciones inversas y triangulación serían la intersección directa de distancias, intersección inversa de distancias y trilateración, aunque en el caso anterior sería muy sencillo pasar, en cálculos, de distancia a ángulo y seguir la metodología habitual de la forma siguiente.

El conocimiento de (xI,yI) y (xII,yII) permite conocer:

( ) ( )22IIIIII

III yyxxD −+−= [II.54]

Medidas DIV y DII

V, se calcula α ó β según:

( ) ( ) ( ) αcos2222

⋅⋅⋅−+= VI

III

Vi

III

VII DDDDD [II.55]

( ) ( ) ( )

⋅⋅

−−=

VI

III

VI

III

VII

DD

DDDArc

2cos

22

α [II.56]

5.1.1.- INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS.

En el establecimiento de la posición de puntos por medio de la medición de distancias, para el caso de dos pilares PI(xI,yI) y PII(xII,yII), establecidas las distancias, las coordenadas del punto V se obtienen en el sistema referencial definido por los pilares mediante las expresiones:

( ) ( )( ) ( )

=−+−

=−+−

222

222

)(

)(

VIIIIVIIV

VIIVIV

Dyyxx

Dyyxx [II.57]

Figura Número II.31.- Esquema genérico de la trilateración.




72

El sistema se caracteriza porque tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se puede resolver de forma sencilla y estricta. Este procedimiento de resolución otorga a la distancia dos propiedades características que la diferencian del observable angular, la primera es la total independencia del observador, y la segunda, y no por ello menos importante, la pérdida de protagonismo de la posición del instrumento topográfico en los vértices de coordenadas conocidas, quedando el concepto de intersección directa e inversa restringido a la determinación de la ubicación del instrumento dentro de los vértices del triángulo.

Al igual que en las observaciones angulares es necesario continuar con los sistemas en los que se observa la distancia de forma múltiple, obteniendo un sistema más complejo, pero con redundancia de datos, que permite obtener comprobaciones y errores, generando así las llamadas intersecciones múltiples de distancia.

Figura Número II.32.- La distancia en la intersección inversa múltiple.

222

222

222

222

)()()(

.....................................................

)()()(

)()()(

)()()(

DPDPDP

DPIIIDPIIIDPIII

DPIIDPIIDPII

DPIDPIDPI

Dyyxx

Dyyxx

Dyyxx

Dyyxx

=−+−

=−+−

=−+−

=−+−

[II.58]

El tradicional sistema indeterminado, pero con más ecuaciones que incógnitas, requiere de un procedimiento que lo sustituya, lo mecanice y consiga tener un tratamiento estadístico adosado. En este caso, en el que existen más ecuaciones que incógnitas, existe redundancia de datos y partiendo de la matriz de residuos, se puede obtener interesante información que refleje la bondad del resultado obtenido.

5.1.2.- LA PROBLEMÁTICA DE LA OBSERVACIÓN.

La toma de datos en campo con observación angular sigue siendo la estrategia habitual en la mayor parte de los trabajos de campo, pero la clásica observación angular está siendo sustituida por la de distancias. Debido fundamentalmente a la extraordinaria precisión que la distanciometría electrónica ha otorgado a la observable distancia.




73

Esta circunstancia, añadida a la indeterminación en las punterías cuando se utilizan paneles de prismas para realizar las orientaciones externas, debido a la falta de perpendicularidad del plano del prisma con el eje de colimación, crea una mini-desorientación tanto en planta como en alzado que altera los ángulos acimutal y cenital, circunstancia despreciable para la observable distancia.

Figura Número II.33.- Problemática de las observaciones en campo.

5.2.- INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO.

El instrumental topográfico empleado en la observación distanciométrica es la estación topográfica total marca Leica, modelo TC-2003, y cuyo distanciómetro fundamentalmente se caracteriza por tener una precisión de 1mm+1ppm.

Además, como complemento indispensable, se emplearon prismas reflectores para la observación de distancias, así como las basadas que permiten montar el equipo con su base nivelante en un mecanismo de centrado forzoso.

Asimismo, para establecer los parámetros atmosféricos necesarios y poder obtener la corrección meteorológica con una precisión de 1 ppm., se empleó una estación meteorológica que marca directamente en pantalla de cristal líquido los datos de presión, temperatura y humedad relativa en el momento de realizar la observación, como puede apreciarse en la siguiente figura.

Figura Número II.34.- Estación meteorológica.

Para determinar los parámetros atmosféricos se recomienda utilizar simultáneamente dos estaciones meteorológicas, una ubicada en el pilar y manipulada por el observador, y otra en el lugar donde se ubica el prisma reflector y manejada por el auxiliar, de forma que se pueda establecer una corrección atmosférica promedio, mucho más aproximada a la trayectoria real que recorre la onda electromagnética en el momento de realizar la medición.




74

5.3.- MÉTODO DE OBSERVACIÓN.

Así como en la medida de ángulos los métodos de observación están perfectamente acotados en función de la precisión que se pretenda obtener, en la medida de distancias no existen unos métodos preconcebidos, motivo por el cual la observación de distancias se recomienda que sea realizada con la misma metodología que los ángulos, es decir, mediante vueltas de horizonte realizadas en círculo directo, de forma que se obtengan tres series de mediciones en cada pilar.

5.3.1.- CONTROL DE LAS OBSERVACIONES DISTANCIOMÉTRICAS.

La influencia del observador en el resultado final de las distancias observadas es mínima, ya que ésta depende exclusivamente de factores meramente instrumentales, pero para cumplir esta premisa es fundamental que el observador tenga en cuenta los siguientes factores de vital importancia.

5.3.1.1.- LA CORRECCIÓN ATMOSFÉRICA.

El principio de medición de distancias mediante instrumentos electrónicos es el siguiente: se coloca el instrumento en uno de los extremos del tramo a medir y un prisma en el otro; el instrumento emite un tren de ondas que se propaga a través del medio hasta el prisma, se refleja en éste y regresa al propio instrumento. La medición del tiempo de viaje de la onda (o de la diferencia de fase entre la onda emitida y recibida) permite el cálculo de la distancia entre el aparato y el prisma. En dicho cálculo, y debido a efectos secundarios, es necesario tener en cuenta varios efectos correctores.

Figura Número II.35.- Efecto de la refracción en la medida electrónica de distancias.

El efecto corrector más importante se denomina “Variación en la velocidad de propagación” y su fundamento a grandes rasgos se caracteriza porque la onda atraviesa diferentes capas de la atmósfera, cada una de ellas con un índice de refracción distinto, por lo que la velocidad con la que se propaga por el medio será distinta a la velocidad teórica de la radiación electromagnética en el vacío. Para corregir este fenómeno, a la distancia se le debe aplicar la denominada “corrección por velocidad de propagación”, más conocida como “refracción atmosférica”. El conocimiento de la velocidad de propagación del tren de ondas por el medio es de gran importancia para el cálculo de la distancia, pudiéndose expresar de la forma:

n

cv o= [II.59]

donde:

co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.

n.- índice de refracción del medio en el que se propagan las ondas.




75

Por lo tanto, el conocimiento del índice de refracción es básico para la aplicación de la corrección por velocidad. Normalmente, el aparato proporciona una distancia para una atmósfera hipotética que viene definida por el índice de refracción estándar, esto es:

s

oo

n

tCd

⋅= [II.60]

donde:

t.- mitad del tiempo invertido por el tren de ondas en el trayecto desde la estación.

Co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.

ns.- índice de refracción para una atmósfera estándar.

Cuando un fabricante establece las normas de comportamiento del distanciómetro, dada la variabilidad atmosférica existente, fija unas condiciones estándar dependiendo esencialmente de los dos parámetros básicos: presión y temperatura.

Es usual en instrumentación asiática emplear como principales parámetros:

[presión: 1013 mb, temperatura: 15oC]

Y en instrumental centroeuropeo:

[presión: 1013 mb, temperatura: 12,5oC]

Así se obtiene, para ambos casos, la verdadera distancia si la atmósfera real del instante de la observación coincide con dichos valores. Lo usual será lo contrario y se puede afirmar que habrá que realizar una corrección adecuada por variación de la velocidad de propagación.

A.- Cálculo del coeficiente instantáneo de variación.

Cuando el instrumento de medida evalúa de manera directa la distancia ha calculado de una forma simple el siguiente valor:

S

o

n

tCD

⋅= [II.61]

Siendo:

t.- mitad del tiempo invertido por el tren de ondas en el trayecto desde la estación.

Co.- velocidad de la radiación electromagnética en el vacío.

nS.- índice de refracción estándar.

En el momento de la medición, el índice de refracción de la atmósfera será, con gran probabilidad, mayor o menor que el estándar y, por lo tanto, la medida obtenida resultará errónea, motivo por el que se hará necesario hacer la corrección:

RD = Distancia real =R

o

n

tC ⋅ [II.62]




76

mD = Distancia medida =S

o

n

tC ⋅ [II.63]

−=

−

⋅=

⋅−

⋅=−= 11

R

Sm

R

S

s

o

s

o

R

omR

n

nD

n

n

n

tC

n

tC

n

tCDDCorrección [II.64]

B.- Resolución habitual del coeficiente instantáneo de variación.

Los fabricantes de instrumentos topográficos resuelven el problema de manera simple, empleando una fórmula práctica, que permite obtener la corrección atmosférica de una forma rápida y lo suficientemente precisa para la mayor parte de los casos:

PT

Corrección ⋅⋅+

−=00366,01

2908,02,282 [II.65]

en la que cada término es:

C.- corrección en partes por millón (ppm).

T.- temperatura (ºC).

P.- presión (mb).

También, y con el objetivo de simplificar aún más el problema, construyen unos ábacos que permiten establecer la mencionada corrección en función de la presión y la temperatura, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura Número II.36.- Ábaco de corrección atmosférica.




77

C.- Estudio riguroso del coeficiente instantáneo de variación.

Para una atmósfera estándar definida como el aire con un contenido del 0,03% de CO2, a una temperatura de 0oC, una presión de 760 mmHg y ausencia de humedad, Barrell y Sears definieron el índice de refracción estándar para una onda monocromática como:

742

10136,0288,16

04,876.21 −⋅

+++=

λλONDAn [II.66]

λ.- longitud de onda en micras (µm).

Si se trata de instrumentos de infrarrojos, la luz se emite mediante trenes de ondas, por lo que el índice de refracción será el del grupo, que para una atmósfera estándar (0oC, 760 mmHg, 0,03% CO2) y también sin humedad, viene dado por:

742

10136,0

5288,16

304,876.21 −⋅

⋅+⋅++=

λλGRUPOn [II.67]

Esta relación se experimentó para longitudes de onda entre 0,436 y 0,644 micras y en la actualidad está demostrado que tiene validez hasta el infrarrojo cercano.

Cuando el grupo de ondas se encuentra en un medio diferente al estándar, según Barrel y Sears el índice del grupo de ondas resulta:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )T

e

T

TPPnn GRUPOpte

⋅+⋅

−−

⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅−=⋅−

−

αλα 1

00204,00624,0

1606,760

100157,0049,11101101

2

666 [II.68]

Simplificando la expresión resulta:

T

eP

T

nn GRUPO

tpe⋅+

⋅⋅−

⋅+

−+=

−

αα 1

105.5

7601

11

8

[II.69]

El rango de validez de esta relación es el siguiente:

10ºC < T < 30oC

720 mmHg < P < 800 mmHg

e ∼ 20 mmHg

estableciendo la corrección definitivamente como:

−= 1

R

Sm

n

nDCorrección [II.70]

Expresión en la que únicamente hay que sustituir los valores de las condiciones estándar y los particulares del medio para establecer el valor de la corrección.




78

Si se considera una atmósfera real (presión p y temperatura t) en presencia de humedad, resulta una relación más compleja. La influencia de la humedad en el aire queda cuantificada por el parámetro e, tensión (o presión) de vapor.

La atmósfera tiene vapor de agua que ejerce una presión determinada, presión de vapor (mmHg). Para cada temperatura de la atmósfera (temperatura seca) existe un valor característico.

TemperaturaºC

Presión deVapor Agua

(mmHg)

0 4,585 6,5410 9,2115 12,7920 17,5425 23,7630 31,8235 42,1840 55,3245 71,8850 92,51

Tabla Número II.1.- Temperaturas y presiones del vapor de agua.

Para establecer la presión del vapor de agua existen dos mecanismos: el primero se apoya en el empleo de un psicómetro y el segundo en el empleo de un higrómetro, haciéndolo los dos con parecida precisión, pero es el higrómetro el instrumento más empleado actualmente.

Un psicómetro está formado por dos termómetros, uno normal y otro con depósito de mercurio recubierto con gasa mojada en agua destilada. El termómetro normal marca la temperatura seca del aire (ts) y el húmedo, al enfriarse su depósito y evaporarse el agua, indicará una temperatura inferior (th). En función de las temperaturas obtenidas, seca y húmeda, se calcula el valor de la tensión de vapor, mediante:

)()0115.01(00066,0 hh ttptEe −⋅⋅+⋅−= [II.71]

donde:

th.- temperatura húmeda en grados centígrados.

E.- tensión máxima de vapor de agua en milímetros de mercurio, la cual se puede obtener de la tabla anterior o con más precisión mediante la siguiente expresión:

)2,273log(86970,52,273

50,049.31262,26log h

h

tt

E +⋅−+

−= [II.72]

Utilizando un higrómetro que marca directamente la humedad relativa H%, la tensión de vapor e se obtiene de la forma:

EH

e100

%= [II.73]

siendo E la presión de saturación, incluida en el cuadro anterior y dependiente de la temperatura seca o la obtenida en la expresión anterior para mayor precisión.




79

Tradicionalmente, la humedad ha sido un parámetro que se ha despreciado en el cálculo de la corrección atmosférica por su escasa influencia, pero en la situación actual de la instrumentación topográfica no se debe obviar porque su valor puede ser mayor que la tolerancia del propio distanciómetro (1 mm +1 ppm.).

5.3.1.2.- CORRECCIÓN POR CURVATURA DE LA TRAYECTORIA.

El haz de ondas que realiza la medición recorre una trayectoria no rectilínea en el espacio. En una primera y simplista aproximación, se puede considerar que sigue un recorrido circular. La corrección geométrica se aborda mediante la reducción a la cuerda de la distancia tomada en campo y, por tanto, se puede considerar sobre la circunferencia.

La expresión resultante se demuestra de forma sencilla, para lo que hay que relacionar matemáticamente la expresión que liga la circunferencia de refracción y la cuerda, resultando:

4

54

2

32

920.124 R

DK

R

DKCorrección

⋅

⋅+

⋅

⋅−= [II.74]

Si se sustituyen los diferentes valores a emplear en la expresión:

K.- coeficiente de refracción.

D.- distancia observada en campo.

R.- radio de la esfera local.

se demuestra que el valor de esta corrección empieza a tener valores significativos para distancias muy grandes (del orden de 10.000 metros), tremendamente grandes si se comparan con las que se observan en este tipo de redes manejadas en auscultaciones geodésicas o, por ejemplo, en el presente trabajo de investigación, donde no se sobrepasa los 200 metros, motivo por el cual esta corrección se desprecia directamente.

5.3.1.3.- LA CONSTANTE DE EQUIPO.

Los distanciómetros emiten una onda desde su centro eléctrico, la cual se traslada hasta ser reflejada en el otro extremo a medir. La no coincidencia entre el eje mecánico del instrumento con su centro eléctrico y, del mismo modo, la no coincidencia entre el eje mecánico del sistema receptor y su centro óptico, se conoce como constante de equipo.

Figura Número II.37.- Concepto geométrico de la constante de equipo.




80

El valor de la constante de equipo habitualmente viene determinada por el fabricante; sin embargo, la posibilidad de poder variar y añadir al equipo componentes, hace necesario conocer un método que permita determinar el valor de dicha constante. Para determinar este valor se utiliza el método del segmento partido, para lo cual sería necesario un mínimo de tres puntos alineados inmóviles sobre una pendiente nula.

Una vez conocidas las distancias geométricas, como media de las recíprocas de cada segmento, se determina la constante de equipo como la diferencia entre un tramo y la suma de los segmentos que lo forman, obteniendo de este modo una constante. Habitualmente se realizan todas las combinaciones posibles de tramos en la base y se obtienen cinco constantes. La constante de equipo será la media de las obtenidas. Es importante darse cuenta que no es necesario conocer las distancias reales ya que este método es autosuficiente.

En el caso del presente trabajo se utilizó la constante de equipo facilitada por el fabricante ya que el instrumento topográfico empleado acababa de pasar una revisión, estaba calibrado y además no tenía ningún componente que perturbase dicho valor. Es importante reseñar que si su valor se mantiene constante en dos campañas sucesivas, su influencia se anula como tal.

5.3.2.- ERRORES EN LA MEDIDA DE DISTANCIAS.

A continuación se revisan las principales causas y fuentes de error que se comenten cuando se observan distancias por métodos electromagnéticos, aunque antes de dicha revisión se hace necesario comentar que en los métodos empleados para resolver auscultaciones, al realizar una comparación de los resultados de distancia obtenidos en diferentes campañas (métodos diferenciales), si éstas se observan con el mismo instrumental, los errores se anulan, teniendo por tanto una incidencia mínima.

5.3.2.1.- EL ERROR DE DESFASE.

El error de desfase está formado por el error cíclico, que como su nombre indica, se repite en cada ciclo de medida y, en este caso, en cada longitud de onda. Por ello, el valor M, error que se comete en una distancia ficticia X, es el mismo más una longitud de onda completa, y un error accidental debido a que la diferencia de fase solamente se puede medir con la precisión de una milésima de longitud de onda, es decir, determinando el centímetro, con lo que el milímetro se establece a estima.

Para cuantificar el error cíclico de una medida es necesario conocer la distancia patrón para compararla con la lectura obtenida en campo. Con la diferencia entre ambas se diseña una gráfica, en la que se colocarán en el eje de ordenadas los valores de los errores cíclicos y en el de abscisas la unidad de metro correspondiente. Posteriormente se pueden interpolar los valores del error cíclico de las unidades de metro no determinadas.

5.3.2.2.- EL ERROR DE ESCALA.

Este error es debido al desajuste en la generación de la onda. Si la frecuencia de modulación aumenta, las longitudes de onda disminuirán y cabrán más ondas en una distancia, lo que hará que las lecturas sean mayores que las reales y sea necesario aplicar un factor de escala.

C

P

D

DK = [II.75]

siendo:




81

K.- factor de escala.

Dp.- distancia patrón.

Dc.- distancia corregida de constante de equipo y correcciones atmosféricas.

Al igual que el error anterior, ninguno de los dos tiene incidencia debido al empleo de métodos diferenciales, en los que cuando la distancia ha sido observada con el mismo distanciómetro, ambos errores son iguales en la determinación de esa distancia, con lo que ambos se anulan en la comparación de distancias.

5.3.3.- FUNDAMENTO DE LA CAPTACIÓN DE DISTANCIAS.

En general, la distancia entre pilar y diana en proyección viene dada por la expresión:

Figura Número II.38.- Situación relativa pilar-diana.

La expresión fundamental resulta:

[ ] 2/122 )()( ijijj

i YYXXD −+−= [II.76]

Diferenciando se obtiene:

[ ] [ ]dyYYdxXXYYXXdD ijijijijj

i ⋅−⋅+⋅−⋅⋅−+−⋅=−

)(2)(2)()(2

1 2

122 [II.77]

[ ]2

122 )()(

)()(

ijij

ijijji

YYXX

dyYYdxXXdD

−+−

⋅−+⋅−= [II.78]

Aplicando resulta:

dyD

YYdx

D

XXdD

ji

ij

ji

ijji

−+

−= [II.79]

Siendo “m” el número de ecuaciones de observación y “n” el número de incógnitas, se obtiene:

RdyD

Ydx

D

XdDm

dyD

Ydx

D

XdDm

+∆

+∆

=→>

∆+

∆=→=

2

2 [II.80]




82

6.- RESOLUCIÓN DE LA AUSCULTACIÓN MEDIANTE LA OBSERVACIÓN DE DISTANCIAS.


Para la resolución de auscultaciones geodésicas mediante la observación de distancias, vuelven a existir tres grandes procedimientos o métodos de resolución, también denominados método numérico, método gráfico y método de variación de coordenadas. A continuación se desarrolla cada uno de ellos con el objeto de explicar sus aspectos más característicos.

6.2.- MÉTODO NUMÉRICO.

El procedimiento se basa en el cálculo de todas las intersecciones directas que se pueden generar con las observaciones realizadas en cada campaña desde los pilares de auscultación a las dianas de puntería, existiendo, si se hacen todas las visuales posibles desde cada uno de los cuatro pilares, seis hipotéticas intersecciones a cada diana de puntería. A partir de ellas se obtienen seis juegos de coordenadas parecidas, pero no idénticas, para cada diana, consistiendo el método en establecer una media ponderada de los seis juegos de coordenadas para obtener así unas coordenadas definitivas para cada diana en cada campaña, consiguiendo finalmente el desplazamiento por diferencia de coordenadas entre campañas.

En la siguiente figura se puede apreciar el conjunto de las seis intersecciones directas que se generan en el caso de una diana desde los cuatro posibles pilares:

Figura Número II.39.- Intersecciones directas de una de las dianas de puntería.

En este procedimiento de cálculo tiene gran influencia la geometría de los triángulos con los que se resuelven las intersecciones, es decir, las coordenadas del conjunto de pilares y las coordenadas aproximadas de la diana. Esto motiva que al establecer la media ponderada se asignen pesos a cada intersección en función de la geometría de éstas, que en definitiva no representa más que la precisión de la propia intersección, siendo ésta la que se detalla a continuación.

Considerando que al realizar las dos observaciones distanciométricas necesarias en toda intersección directa se comete un error en la medida de la distancia εD, se genera una zona de incertidumbre en la que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:




83

Figura Número II.40.- Afección del error distanciométrico en las intersecciones directas.

Considerando que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones distanciométricas se pueden considerar perpendiculares, y que la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se considera la tolerancia de las intersecciones directas distanciométricas.

Figura Número II.41.- Elipse de error en las intersecciones directas distanciométricas.

Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:

Figura Número II.42.- Valor del diámetro conjugado de la elipse.




84

En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN coincide con el valor del error absoluto en la medición de las distancias, resultando las siguientes expresiones:

DVN ε= [II.81]

γγ

sen

VNVN

VN

VNsen =⇒= '

' [II.82]

γ

ε

senVN D=' [II.83]

Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se puede obtener el semieje mayor de la elipse de error mediante las siguientes expresiones:

222 '2 VNba ⋅=+ [II.84]

γsenVNba ·'22 2⋅=⋅⋅ [II.85]

Sumando las dos expresiones anteriores II.84 y II.85 resulta:

( )γsenVNbaba +⋅⋅=⋅⋅++ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2 22

( ) γsenVNba +⋅⋅=+ 1'2 [II.86]

Restando esas mismas expresiones II.84 y II.85:

( )γsenVNbaba −⋅⋅=⋅⋅−+ 1'22 222

( ) ( )γsenVNba −⋅⋅=− 1'2 22

( ) γsenVNba −⋅⋅=− 1'2 [II.87]

Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente II.86 y II.87, se obtiene:

[ ]γγ sensenVNa −++⋅=⋅ 11'22

[ ]γγ sensenVN

a −++⋅

= 112

'2 [II.88]

Dada la siguiente igualdad trigonométrica:

[ ]2

cos112

1 γγγ =−++⋅ sensen




85

Se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho mas reducida del semieje mayor de la elipse:

2cos'2

γ⋅⋅= VNa [II.89]

Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica:

2cos

22;'

γγγ

γ

ε⋅⋅== sensen

senVN D

2cos

22

2cos··2

γγ

γε

⋅⋅

=

sena

D

[II.90]

Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al realizar una intersección directa angular.

22

γε

sen

a D

⋅

= [II.91]

siendo:

L.- distancia media entre los dos pilares y la diana.

εD.- error absoluto en la medida de la distancias.

γ.- ángulo intersección.

Establecidas las coordenadas de cada diana en cada campaña, el vector desplazamiento de cada una de las dianas se obtiene por medio de la comparación de coordenadas entre las dos campañas para cada diana de puntería.

6.3.- MÉTODO GRÁFICO.

Para efectuar la resolución gráfica del conjunto general de observaciones realizadas también es necesario conocer las coordenadas de los pilares y las coordenadas aproximadas de las dianas; tal es así, que usualmente se dota de coordenadas al conjunto de elementos participantes en la primera campaña de observaciones y esas coordenadas son la que posteriormente se emplean como aproximadas para todas las campañas posteriores.

Conocidas las posiciones iniciales de estos puntos, se obtienen los acimutes aproximados entre los pilares y cada una de las dianas, valores que se pueden suponer constantes de una observación a otra, ya que las variaciones por ser muy pequeñas no van a influir en el resultado final del vector desplazamiento, como en las expresiones finales de éste se puede comprobar.

ji

jiji

YY

XXtg

−

−=θ [II.92]




86

La base sobre la que se fundamenta el cálculo gráfico consiste en evaluar el valor del desplazamiento para un incremento distanciométrico entre dos observaciones consecutivas:

DIANAnPILAR

DIANAnPILAR DDD )1()( +==∆ [II.93]

En el momento en el que se conoce la dirección aproximada y la variación de distancia que ha sufrido la diana correspondiente, se puede establecer mediante una representación sencilla la dirección en la que se encuentra la nueva posición de la diana, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura Número II.43.- Establecimiento de la nueva dirección que define la posición de la diana.

Sobre un plano a gran escala (5/1 ó 10/1) se sitúa la posición inicial, y a partir de ella se marcan todas las direcciones con su desplazamiento de distancia ocurrido entre ambas campañas. En un caso ideal, las direcciones con sus correspondientes desplazamientos, uno por pilar, definen la nueva posición de la diana, lugar geométrico donde se cruzan todas las direcciones, situación que habitualmente no sucede, debido a que por los errores que se cometen al observar, las visuales en vez de cortarse en un punto único, se cortan a lo largo de un polígono con tantos lados como visuales realizadas desde pilares de auscultación tenga la diana.

El resultado final hay que establecerlo a estima y dentro de ese polígono que se obtiene gráficamente, generalmente se suele poner en el centro del polígono, salvo que se desee dar más peso a alguna de las visuales realizadas, hecho no frecuente. En la figura adjunta se muestra un gráfico habitual de la resolución de una diana de puntería por este método.

Figura Número II.44.- Resolución del desplazamiento de una diana por el método gráfico.




87

Las dimensiones del polígono son importantes, dado que representan el error cometido en el conjunto de observaciones realizadas para la determinación del vector desplazamiento, y como el gráfico se hace a escala, éstas son cuantificables.

6.4.- APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS A INTERSECCIONES DIRECTAS.

Una vez estacionado el instrumento topográfico en el pilar se observan todos los prismas posibles, realizando al menos tres o cuatro series de mediciones, de las que se pasará a un valor promedio final de distancia, entre pilar y diana, para cada campaña. Establecidas dos distancias a lo largo del tiempo, la forma de operar pasa por obtener la variación de distancia que existe entre dos campañas consecutivas como una simple diferencia de valores:

DIANAnPILAR

DIANAnPILAR DDD )1()( +==∆ [II.94]

Aplicando la expresión general del método de variación de coordenadas, deducida en el epígrafe 5.3.3. de este capítulo:

dyD

Ydx

D

XD

∆+

∆=∆ [II.95]

y que en función del tipo de auscultación, se puede particularizar como:

- Primer caso: auscultación estructural.

dyD

Ydx

D

XD

∆+

∆=∆ [II.96]

∆X, ∆Y.- geometría primitiva.

D.- distancia primitiva.

dx, dy.- desplazamiento de la diana.

- Segundo caso: auscultación en suelos.

dyD

Ydx

D

XD

∆+

∆=∆ [II.97]

∆X, ∆Y.- obtenidos en la campaña anterior.

D.- distancia obtenida en la observación anterior.

dx, dy.- desplazamiento de la diana.

Cuya aplicación resulta:

[ ]dyYdxXD

DDPI

PI ⋅∆+⋅∆=∆1

[ ]dyYdxXD

DDPII

PII ⋅∆+⋅∆=∆1

[ ]dyYdxXD

DDPIII

PIII ⋅∆+⋅∆=∆1

[ ]dyYdxXD

DDPIV

PIV ⋅∆+⋅∆=∆1




88

⋅

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

=

∆

∆

∆

∆

dy

dx

D

Y

D

X

D

Y

D

X

D

Y

D

X

D

Y

D

X

D

D

D

D

DPIV

DPIV

DPIV

DPIV

DPIII

DPIII

DPIII

DPIII

DPII

DPII

DPII

DPII

DPI

DPI

DPI

DPI

IV

PIII

PII

PI

[II.98]

Su resolución se plantea por un sistema matricial del tipo:

[ ] [ ] [ ]XAD ⋅=∆

XAD ⋅=∆ [II.99]

XAADA tt ⋅⋅=∆⋅

PNXXNPNAA

PDAt

t

⋅=⇒⋅=

=⋅

=∆⋅−1 [II.100]

Es habitual que en trabajos de estas características, al menos, existan cuatro pilares de observación de forma que haya más ecuaciones que incógnitas, teniendo así una redundancia en los datos que permite establecer la desviación:

Residuos = AXDR −∆= [II.101]

a partir de la cual se obtienen la varianza y desviación típica, para el caso de igualdad de pesos:

SStípicaDesviaciónnm

RRSVarianza

t

==⇔−

⋅== 22 [II.102]

siendo:

m.- número de ecuaciones.

n.- número de incógnitas.

Una vez conocida la varianza se puede obtener la covarianza como:

=⋅= −

2

2

12

YXY

YXXNSCσσ

σσ [II.103]

Aplicando la teoría de autovalores y autovectores, resulta:




89

[ ]2222222 4)(2

1XYYXYX σσσσσσ ⋅+−±+= [II.104]

obteniéndose las máximas y mínimas desviaciones, σmáx. y σmín. Estos valores quedan reflejados en la siguiente figura, donde también se determina la inclinación (acimut) del eje principal de la elipse.

22

22

XY

XYtgσσ

σθ

−

⋅= [II.105]

Figura Número II.45.- Elipse de error.

6.5.- APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE COORDENADAS A INTERSECCIONES INVERSAS.

Para establecer las coordenadas del pilar a partir de las coordenadas de los puntos de seguridad se miden las distancias existentes entre los puntos de seguridad y el pilar.

Figura Número II.46.- Intersección inversa de distancias.

Establecidas las distancias existentes entre el pilar y cada punto de seguridad se calculan unas coordenadas aproximadas P(x’,y’) que permitan establecer el método de variación de coordenadas en el cálculo de las coordenadas definitivas del pilar. Para el cálculo de estas coordenadas aproximadas se puede emplear cualquiera de las bases topográficas que forman la red de puntos de seguridad.




90

Figura Número II.47.- Situación para un determinado triángulo.

Cálculo de los ángulos interiores:

121

2 )(

2cos

VP

VV

VP

DD

DPP −=

α

221

1)(

2cos

VP

VV

VP

DD

DPP −=

β

21

21 )(

2cos

VP

VP

VV

DD

DPP −=

γ

2

2121

VP

VP

VV DDD

P++

= [II.106]

resultando la siguiente configuración geométrica:

Figura Número II.48.- Cálculo de coordenadas aproximadas.

de la que se pueden deducir las clásicas expresiones de cálculo.

Y

XArcV

V∆

∆= tan2

1θ [II.107]

⋅+=

⋅+=⇒+=

PV

PVV

PV

PVVV

VP

VCosDYy

SenDXxP

111

111211

'

'

θ

θαθθ [II.108]




91

Una vez establecidas las coordenadas aproximadas para el pilar desde una determinada base, puede aplicarse el método general de variación de coordenadas, estableciéndose la siguiente relación:

Figura Número II.49.- Aplicación general del método de variación de coordenadas.

Se obtiene la expresión:

[ ]dyYdxXD

DVP

⋅∆+⋅∆=∆11

1 [II.109]

Si se aplica dicha relación a cada uno de los puntos de seguridad, resulta:

[ ]dyYdxXD

DVP

⋅∆+⋅∆=∆11

1

[ ]dyYdxXD

DVP

⋅∆+⋅∆=∆22

1

[ ]dyYdxXD

DVP

⋅∆+⋅∆=∆33

1

[ ]dyYdxXD

DVnP

n ⋅∆+⋅∆=∆1

[II.110]

donde:

MEDIDASAPROXIMADASCOORDENADA DDD −=∆ [II.111]

APROXIMADOPILARV XXX −=∆ [II.112]

APROXIMADOPILARV YYY −=∆ [II.113]




92


1−⋅=⇒⋅=

=⋅

=∆⋅

⋅⋅=∆⋅⇒⋅=∆

NPXXNPNAA

PDA

XAADAXAD

t

t

tt

[II.114]

Es habitual en trabajos de esta naturaleza que al menos existan cuatro pilares de observación de forma que existen más ecuaciones que incógnitas, teniendo así una redundancia en los datos que permite establecer la desviación:

Residuos AXDR −∆== [II.115]

A partir de la cual se obtiene la varianza y desviación típica, para el caso de igualdad de pesos:

SStípicaDesviaciónnm

RRSVarianza

t

==⇔−

⋅== 22

[II.116]

siendo:

m.- número de ecuaciones.

n.- número de incógnitas.

Una vez obtenida la varianza se puede obtener la covarianza como:

=⋅= −

2

2

12

YXY

YXXNSCσσ

σσ [II.117]

Aplicando la teoría de autovalores y autovectores, resulta:

[ ]2222222 4)(2

1XYYXYX σσσσσσ ⋅+−±+= [II.118]

obteniéndose las máximas y mínimas desviaciones, σmáx. y σmín. Teniendo cada uno de estos valores la misma significación física que en elipses de error definidas anteriormente para el caso de las intersecciones directas de ángulos y distancias.

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