repositorio.unibague.edu.co › jspui › bitstream... · 658.562 P438s Pérez Urrego, Martha Lucía Seis sigma: Guía didáctica para Pymes / Martha Lucía Pérez Urrego. Ibagué:

Seis sigma

Guía didáctica para PymesMartha Lucía Pérez Urrego

Universidad de IbaguéFacultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Industrial

Seis sigma

Guía didáctica para Pymes

Martha Lucía Pérez Urrego

2013

658.562 P438s Pérez Urrego, Martha Lucía

Seis sigma: Guía didáctica para Pymes / Martha Lucía Pérez Urrego. Ibagué: Universidad de Ibagué, 2013.

130 p. ISBN Impreso 978-958-754-083-3 ISBN Digital 978-958-754-084-0Descriptores: Filosofía del Seis sigma; Seis sigma para Pymes; Herramientas para Seis sigma

Facultad de IngenieríaPrograma de Ingeniería Industrial Universidad de IbaguéIbagué, Colombia Noviembre, 2013

© Universidad de Ibagué, 2013© Martha Lucía Pérez Urrego, 2013

Dirección editorial: Oficina de Publicaciones Universidad de Ibagué.Carrera 22, Calle 67 Barrio Ambalá, Ibagué, ColombiaTel (57-8) 2709400. www.unibague.edu.co

Fotografías de la portada: El Nuevo Día, Oficina de Comunicación Institucional de la Universidad de Ibagué.

Diseño, diagramación e impresiónLeón Gráficas Ltda., PBX 2630088, Ibagué

Esta obra no puede reproducirse sin la autorización expresa y por escrito de la Universidad de Ibagué.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Seis Sigma • Guía didáctica para Pymes 5

Tabla de contenido

Agradecimientos ............................................................................................. 9

Prólogo .......................................................................................................... 13

Introducción .................................................................................................. 15

Capítulo 1. Introducción a la Filosofía Seis Sigma ....................................... 171.1. Desarrollo histórico ....................................................................................... 171.2. Conceptualización .......................................................................................... 171.3. Estructura humana para Seis Sigma ............................................................ 19

Capítulo 2. Desarrollo de la Filosofía Seis Sigma (Ciclo dmaic) ................ 252.1. Definir .............................................................................................................. 252.2. Medir ................................................................................................................ 262.3. Analizar ........................................................................................................... 272.5. Controlar ......................................................................................................... 28

Capítulo 3. Herramientas para Seis Sigma ................................................... 293.2. Herramientas para medir: ............................................................................. 343.3. Herramientas para analizar:.......................................................................... 433.4. Herramientas para mejorar ........................................................................... 47

Capítulo 4. Operatividad de Seis Sigma en Pymes manufactureras ............ 694.1. Definir el proyecto de mejora Seis Sigma ................................................... 694.2. Seleccionar el equipo de trabajo ................................................................... 694.3. Analizar la característica de calidad seleccionada ..................................... 704.4. Determinar el nivel sigma ............................................................................ 704.5. Seleccionar el objetivo del proyecto ............................................................. 714.6. Identificar las causas raíz de la característica crítica de calidad ............... 71

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4.7. Tomar acciones correctivas ........................................................................... 714.8. Control ............................................................................................................. 724.9. Formato para mejoras Seis Sigma ................................................................ 72

Capítulo 5. Caso de aplicación ...................................................................... 735.1 Presentación de la empresa ................................................................................ 735.2. Proceso de aplicación de la metodología Seis Sigma ..................................... 745.3 Resultados ............................................................................................................ 855.4. Recomendaciones............................................................................................... 875.5. Conclusiones ....................................................................................................... 87

Bibliografía .................................................................................................... 89Cibergrafía .................................................................................................................. 91

Apéndices....................................................................................................... 93


Tablas

Tabla 1.1. Niveles Sigma ....................................................................................... 18Tabla 1.2. Desempeños comparativos a Seis Sigma .......................................... 19Tabla 1.3. Beneficios posibles con Seis Sigma ................................................... 19Tabla 1.4. Organización para Seis Sigma en grandes empresas ..................... 21Tabla 1.5. Organización para Seis Sigma en Pymes .......................................... 23Tabla 3.1. Índice de Herramientas ...................................................................... 29Tabla 3.1.1. Herramienta: Diagrama de flujo ........................................................ 30Tabla 3.1.2. Herramienta: Encuesta ....................................................................... 32Tabla 3.1.3. Herramienta: Tormenta de ideas ....................................................... 34Tabla 3.2.1 Herramienta: Diagrama de Pareto .................................................... 34Tabla 3.2.2. Herramienta: Cálculo del nivel sigma .............................................. 37Tabla 3.2.3. Herramienta: Histograma .................................................................. 39Tabla 3.2.4. Herramienta: Rendimiento de un proceso ....................................... 42Tabla 3.3.1. Herramienta: Diagrama de Ishikawa ................................................ 43Tabla 3.3.2. Herramienta: Estudio de habilidad o capacidad del proceso ........ 44Tabla 3.4.1. Herramienta: Diseño de experimentos............................................. 47Tabla 3.4.2. Herramienta: Tabla de Anova ............................................................ 50Tabla 3.4.3. Herramienta: Experimento factorial ................................................. 55Tabla 3.4.4. Herramienta: Análisis de Interacciones............................................ 60Tabla 3.5.1. Herramienta: Gráficas de control ...................................................... 65Tabla 5.1. Datos ordenados para el Análisis de Pareto ..................................... 78Tabla 5.2. Muestras de 10 lotes actuales ............................................................. 79Tabla 5.3. Oportunidad total de defectos en la confección un lote ................ 80Tabla 5.4. Muestras de diez lotes mejorados ...................................................... 85

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Figuras

Figura 1.1. Estructura humana para Seis Sigma ................................................. 20Figura 1.2. Estructura orgánica de las Pymes tolimenses .................................. 23Figura 2.1. Estructura Ciclo dmaic ...................................................................... 25Figura 5.1. Estructura Organizacional de Manufacturas Quality Ltda. ........... 73Figura 5.2. Estructura del equipo de implementación para Seis Sigma

en Manufacturas Quality Ltda. .......................................................... 75Figura 5.3. Diagrama de Flujo del proceso de fabricación

de camisetas T-Shirt básica................................................................. 77Figura 5.4. Gráfico de Pareto ................................................................................. 78Figura 5.5. Gráfico de Pareto con porcentaje acumulado. ................................. 79Figura 5.6. Histograma de los datos actuales....................................................... 81Figura 5.7. Diagrama de Ishikawa ......................................................................... 84Figura 5.8. Gráfico errores por lote ....................................................................... 85


Agradecimientos

El desarrollo de la presente obra no habría sido posible sin el apoyo y ayuda de las personas e instituciones que aportaron con su investigación y experiencia. Quiero agradecer a la Universidad de Ibagué, por ser la Ins-titución por excelencia, guía y sede del desarrollo de la guía. A mi compa-ñera Luz Ángela Castaño, por su motivación y empuje. Debo reconocer, también, el valioso aporte de los ingenieros graduados del programa de Ingeniería Industrial, Diego Segovia Morales y Carlos Augusto Tavera Yepes, quienes desarrollaron su trabajo de grado en esta dirección; al es-tudiante de la maestría en Gerencia de la Calidad Carlos Andrés Pérez Vargas, también mis agradecimientos.

Gracias a Andrés Carrión García, por su amistad, dirección y apoyo.


A Dios.

A la memoria de mi padre quien, con su ejemplo, su amor y consejos hizo de mí la persona que hoy soy.

A mi adorada madre por ser mi modelo y guía.

A mi esposo Oscar por su amor y apoyo incondicional en todas las actividades que he emprendido.

A mis hijos, Oscar Andrés, Jorge Mario y Juan Sebastián, por ser los motores y razón de mi vida.

A mis hermanos Omar, Dago, Jairo y Liliana de quienes siempre he recibido amor y comprensión.


Prólogo

Prologar un libro de un tema en el que uno trabaja y por el que siente una cierta pasión es siempre un agradable honor, sin dejar de ser un reto, máxime cuando la autora le es a uno conocida y apreciada profesional y personalmente.

Desde hace casi treinta años, una parte importante de mis esfuerzos profesionales y académicos, tanto docentes como investigadores, han es-tado ligados al mundo de la calidad en las organizaciones; comenzando en un ya lejano año 1984, luego de salir de la Universidad, principié a impartir cursos de calidad en empresas. El aspecto práctico, cotidiano y, a la vez, exigente de los esfuerzos por hacer las cosas bien (pues la calidad no es otra cosa) ha ocupado, desde entonces, una parte importante de mi tiempo.

En ese quehacer por la calidad conocí, en un recordado curso de doc-torado en Barranquilla, a la autora de este libro, a quien después tuve el gusto de dirigir la tesis doctoral, también en temas de calidad. Desde entonces, y espero que también en el futuro, hemos colaborado en tareas docentes e investigadoras en búsqueda, siempre, de hacer de la calidad una realidad en las empresas y organizaciones de nuestro entorno.

En esa línea se enmarca este libro. Se aborda en él la metodología Seis Sigma, tema bien conocido en el mundo de la calidad, pero desde una óptica y con una intención que no son frecuentes, lo cual aumenta sensiblemente su valor e interés. La óptica es la de las pequeñas y media-nas empresas, tan nombradas, tan estudiadas y, sin embargo, en el fondo, tan abandonadas a su suerte en este mundo globalizado, sobre todo las pequeñas.

La intención de este texto es, precisamente, ofrecer un apoyo a esas empresas y aproximarlas a la metodología Seis Sigma, nacida en el ámbi-to de la gran empresa y preferentemente usado por esta, pero potencial-mente útil para cualquier organización. El esfuerzo realizado para hacer

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asequibles las herramientas usadas, y proporcionar una clara guía sobre su utilidad y uso, se basa en experiencias personales de la autora y en su actividad de apoyo a pequeñas empresas del entorno de la Universidad de Ibagué.

Estamos pues ante una obra que no es un mero ejercicio intelectual o académico; es fruto del contacto con esa realidad cotidiana y exigente a la que antes me refería. Ojalá que efectivamente llegue a los pequeños empresarios, a los técnicos que trabajan en pequeñas empresas y, cómo no, a los estudiantes actuales, futuros impulsores de la calidad en las or-ganizaciones.

Andrés CarriónProfesor

Departamento de Estadística e I.O. Aplicadas y CalidadUniversidad Politécnica de Valencia


Introducción

La problemática que afrontan las Pymes del Departamento del Tolima y en especial las manufactureras, pone en riesgo la permanencia de estas en el mercado. Problemas como el de la falta de calidad de sus productos, procesos y servicios, desencadena insatisfacción en los clientes, quienes dudan de su competitividad, así como de su razón económica y social.

Durante varios años, refiriéndonos a las organizaciones de todo el mundo, los problemas generados por la mala calidad de productos y servicios ha sido una preocupación permanente, lo cual ha limitado la posibilidad de que cumplan satisfactoriamente con sus objetivos. Pero también, gracias a estos obstáculos, han surgido o adaptado para su apli-cación en las Pymes grandes estrategias, metodologías y filosofías para el mejoramiento de la calidad, especialmente en países industrializados.

Las Pymes tolimenses no deben de ser ajenas a estos procesos de transformación y evolución en pro de su mejoramiento. Por esta razón se ha diseñado esta guía, con el objeto de desarrollar y adaptar una de las filosofías para el mejoramiento de la calidad que ha tenido más éxito a nivel mundial. Esta filosofía se creó, inicialmente, para grandes empresas pero con una gran posibilidad y flexibilidad para ser adaptada a cualquier tipo de organización, independientemente de su tamaño y fin económico.

En la última década, esta filosofía denominada Seis Sigma, se ha utilizado en Pymes del Japón, los Estados Unidos y Europa con grandes avances y logros. Este manual para las Pymes manufactureras del Toli-ma, muestra como Seis Sigma puede trabajarse en un entorno de Pyme manufacturera regional, y así orientar su aplicación y desarrollo de herra-mientas de apoyo que complementan su filosofía. Un aporte fundamental de este documento radica en la presentación sencilla de las herramientas básicas para el análisis e identificación de los problemas de calidad.

Esta guía para Seis Sigma ha sido el resultado de un proyecto de in-vestigación aplicada, que se realizó al interior del Grupo de Gestión e Innovación Empresarial, ginnova, de la Universidad de Ibagué, en su

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línea de calidad y productividad, que busca diseñar y difundir estrategias que permitan mejorar la calidad de los productos y servicios de la región, en aras de aumentar su competitividad. El trabajo se desarrolló con el apoyo de los estudiantes del Programa de Ingeniería Industrial, quienes aportaron su diseño, estructura y validación, mediante la aplicación de la propuesta a una empresa Pyme manufacturera de la región. Con este se avanza en su aplicación para este tipo de empresa y en la obtención de resultados favorables.

La guía está constituida por cinco capítulos. El primero conceptúa su filosofía, presenta un breve marco de avance histórico y también define una estructura humana para el desarrollo de proyectos Seis Sigma, la cual se muestra adaptada a las condiciones administrativas y de desarrollo de una Pyme manufacturera en el Tolima. El segundo capítulo expone el proceso de aplicación representado por el ciclo dmai (Define, Measure, Analyze, Improve, Control), que se puede adaptar a cualquier tipo de or-ganización. En el texto se explica, paso a paso, cada una de sus etapas y actividades.

En el tercer capítulo se presentan las herramientas básicas que de-ben trabajarse en cada una de las fases del ciclo dmai. Estas incluyen un ejemplo de aplicación para mostrar su avance con una mejor interpreta-ción y manejo de las mismas. El capítulo cuarto indica la operatividad de Seis Sigma para Pymes manufactureras. Aquí se puede encontrar una recopilación de los dos primeros capítulos enfocados paso a paso para un despliegue en Pymes manufactureras. Si se sigue este proceso se puede llegar a una correcta implementación de la filosofía.

En el capítulo quinto se enseña un caso de aplicación de esta filosofía en una Pyme manufacturera del Tolima. Este comienza con una corta presentación de la organización y desarrolla cada uno de los pasos señala-dos en la operatividad de la filosofía con la aplicación de las herramientas pertinentes para la situación y el desarrollo de las métricas respectivas. También se plantean los puntos de mejoramiento, las conclusiones y reco-mendaciones. Para finalizar, el lector encontrará los apéndices que inclu-yen las fórmulas utilizadas en el desarrollo de la guía y las tablas estadísti-cas requeridas para la correcta aplicación de las herramientas.


Introducción a la Filosofía Seis Sigma

1.1 Desarrollo históricoLa fi losofía Seis Sigma surge a partir de la búsqueda de la perfección en la producción de la empresa Motorola. Motorola presentaba problemas por retrabajos e incumplimiento en las fechas de entrega, unido a ello, por esa época, se pensaba que la calidad era lo más costoso y lujoso. Debido a esto Motorola encaminó todos sus esfuerzos en la detección y corrección de las fallas como también en la eliminación de los desperdicios. Gracias a estos procedimientos, la compañía propuso que la verdadera función de una empresa debe estar fi jada en prevenir y controlar los procesos (ser proactivo en vez de reactivo); esta propuesta se convertiría en uno de los pilares de la fi losofía Seis Sigma.

A comienzos de la década del ochenta, Motorola inicia un gran proceso de aprendizaje y desarrollo, el que llevó a muchos de sus ejecutivos e ingenie-ros a la búsqueda de formas de eliminación de desperdicios. El ingeniero Bill Smith estudió la correlación entre la vida útil de los productos y las veces en que este es sometido a retrabajos durante su proceso de manufactura.

En 1985, Bill Smith presentó una investigación en la que concluía que si un producto defectuoso era corregido durante el proceso de produc-ción, otros productos defectuosos no serían detectados hasta que el clien-te fi nal los recibiera. Por otro lado, si un producto era elaborado libre de errores, este rara vez le fallaría al cliente. El impacto de esta investigación originó que los directivos de Motorola le pidieran a Smith que desarrolla-ra una manera práctica de aplicar su teoría en la compañía, surgiendo así la fi losofía Seis Sigma. Todo lo anterior fue el inicio de los esfuerzos que llevaron a Motorola a ganar el prestigioso Premio Nacional de Calidad Malcom Baldrige, en los Estados Unidos, en el año de 1988.

1.2 ConceptualizaciónLa letra griega Sigma (σ), asociada a la desviación típica o estándar, se utiliza en estadística para representar la dispersión de datos en una po-

1C A P Í T U LO

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blación o en una muestra. En la gestión de calidad, Sigma representa una medida de la capacidad de elaborar productos o servicios, conformes con los requisitos o especificaciones aplicables.

Seis Sigma es un conjunto integrado de herramientas técnicas y esta-dísticas que permiten el logro de la filosofía de satisfacción total del clien-te, a través de la reducción de la variabilidad de los procesos, aumentando su capacidad. Pero Seis Sigma es algo más, desde una filosofía de gestión, orientada a la perfección (ausencia de fallos) o a la eliminación sistemá-tica de todas las causas de ineficacia e ineficiencia de las organizaciones, hasta el objetivo de alcanzar una medida del rendimiento.

La filosofía Seis Sigma puede arrojar resultados a largo, mediano y corto plazo; esto depende del tiempo y/o recursos que se dispongan para el proceso de mejora Seis Sigma. Un proceso con capacidad Seis Sigma significa que mantiene una distancia de seis veces la desviación estándar entre la media del proceso y los límites de especificación; esto significa que la variación del proceso se reduce de tal forma que solo se producen 3,4 oportunidades de defecto por cada millón de unidades producidas y su rendimiento es del 99.9997%; la siguiente tabla explica este concepto basado en un estándar.

Tabla 1.1. Niveles Sigma

Nivel Sigma(σ)

Defectos por millón de

oportunidades (DPMO)

Costo de la no calidad (% ventas) Rendimiento

2 308 537 30 al 40% 69%3 66 807 20 al 30% 93,30%4 6 210 15 al 20% 99,30%5 233 10 al 15% 99,98%6 3,4 < 10% 99,9997%

Fuente: Edgardo J. Escalante Vázquez (2003, p.17). Seis Sigma metodología y técnicas

El indicador común para Seis Sigma es el cálculo de los defectos por unidad, con este indicador no solo se pueden medir piezas manufacturadas, también servicios. Por unidad se entiende un producto o servicio completo,


como puede ser una transacción bancaria o una comida servida. Los defec-tos son aquellos detalles que impiden que se logre la satisfacción del cliente. Cada resultado o salida en cada alternativa es analizado, y se determinan las oportunidades de cometer un error. Por ejemplo, si en un lavadero de autos se lavan 60 al día, y cada operación de lavado contiene tres (3) características primordiales: que el lavado sea de buena calidad, que se realice en un tiempo corto, y que el precio sea adecuado. Con estas tres características se tendrían 180 oportunidades de cometer un error al día; por tanto, si se registran 12 incidentes en un día, tendríamos: 12/180 = 0.0666 defectos por oportuni-dad. Al multiplicar lo anterior por mil obtendremos 66.66 defectos por cada mil oportunidades, también lo podríamos multiplicar por un millón y serían 66.666 defectos por cada millón de oportunidades.

Tabla 1.2. Desempeños comparativos a Seis Sigma

Si se ostenta el 99% de desempeño (3.8σ), podremos esperar

Si logramos 99.9997% de desempeño(6σ), podremos esperar solo:

20.000 encomiendas perdidas cada hora5.000 cirugías incorrectas por semanaAl menos 2 aterrizajes con proble-mas diarios200.000 prescripciones de medi-camentos erróneas por año

7 encomiendas perdidas por hora

1.7 cirugías incorrectas por semana1 aterrizaje con problemas cada 5 años68 prescripciones de medicamen-tos erróneas por año.

Fuente: www.seis-sigma.com/generic3.html - www.sixsigma.us

Tabla 1.3. Beneficios posibles con Seis Sigma

Reducción de costes Calidad y eficiencia mejoradasMayor satisfacción del cliente Rentabilidad mejorada

Fuente: www.sixsigma.us

1.3 Estructura humana para Seis SigmaLa filosofía Seis Sigma requiere una organización especial para su efectiva aplicación; está definida por una jerarquía de personas que interactúan en

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el desarrollo de la misma, conformada de acuerdo con su denominación por el líder, los campeones, los maestros cinturón negro, los cinturones negros y los cinturones verdes.

Figura 1.1. Estructura humana para Seis Sigma

Fuente: El autor

• Leader (Líder): Es la persona que apoya los proyectos de mejora Seis Sigma, ayuda a obtener los recursos necesarios y elimina los obstácu-los que impiden el éxito del proyecto. Debe pertenecer a la alta geren-cia o ser parte de la junta directiva. Incluye participación en revisión y asegura que se desarrolle la metodología Seis Sigma.

• Champion (Campeón): Son los creadores de la visión Seis Sigma, responsables de diseñar la estrategia de despliegue en la organización y su aplicación y desarrollo en el área de impacto, realizan la direc-ción estratégica del proyecto; el campeón debe ser un entusiasta del proyecto, conocer muy bien el signifi cado de la fi losofía Seis Sigma, además de evidenciar la necesidad de la aplicación de esta en la em-presa. Estos aseguran que los Black Belt estén realizando su labor con la orientación adecuada; dirigen y optimizan la ejecución de los cam-

Leader

Green belt

Black Belt

Master Black Belt

Champion


bios y el aporte de los recursos. Así mismo, reconocen los esfuerzos de los empleados y mantienen informando al líder. El campeón debe ser jefe de departamento o gerente regional.

• Master Black Belt (Maestro Cinturón Negro): Son expertos de tiem-po completo, capacitados en las herramientas y tácticas de Seis Sig-ma, son responsables del desarrollo e implantación de la filosofía Seis Sigma. El maestro cinturón negro debe ser el jefe de producción, ya que es la persona idónea para transmitir las ideas del líder o del cam-peón, a su equipo de trabajo.

• Black Belt (Cinturón Negro): Son líderes de los equipos responsables de medir, analizar, mejorar y controlar procesos que afectan la satis-facción del cliente, la productividad y calidad. Son los que ven la rea-lidad del proyecto de mejora y determinan las herramientas a utilizar; lideran y dirigen directamente a los cinturones verdes. Los cinturones negros son los ingenieros que conforman el departamento de calidad.

• Green Belt (Cinturón Verde): Son ayudantes de los Black Belt, tienen conocimiento de las herramientas y tácticas para la mejora Seis Sig-ma; son las personas que toman los datos del proceso, necesarios para poner en marcha la filosofía Seis Sigma. Son los analistas del proceso o las personas que continuamente llevan las labores de toma de tiem-pos y movimientos en la producción. En la siguiente tabla se presenta la estructura humana para Seis Sigma, tal y como se establece en una gran empresa.

Tabla 1.4. Organización para Seis Sigma en grandes empresas

Nombre Rol clave Posición Características Cantidad

LíderDesarrollar y encauzar la filosofía.

Ejecutivo de más alto rango.

Visión, liderazgo y autoridad. 1

Campeón

Iniciar y coordinar el despliegue de la filosofía Seis Sigma.

Vicepresi-dente, geren-te de área.

Dedicación, entusiasmo, fe en sus proyectos y capacidad para administrar varias propuestas.

2 ó más

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Maestro cinturón

negro

Brindar so-porte técnico y experto en metodologíasy herramien-tas estadísti-cas.

Jefe de producción, o Jefe del de-partamento de calidad.

Habilidades y conocimientos técnicos, estadísti-cos y liderazgo en proyectos.

1

Cinturón negro

Aplicar la metodología y monitorear los proyectos.

Ingenieros que confor-man el de-partamento de calidad.

Comunicación. Reconocido por el personal por su experiencia y conocimientos técnicos.

Diez por cada maestro de cintu-rón negro.

Cinturón verde

Tomar los datos direc-tamente del proceso.

Analistas del depar-tamento de producción.

Trabajo en equipo, motivación, aplica-ción de métodos, computación y seguimiento.

2 o 3 por cada cinturón negro.

Fuente: Instrumentos y técnicas de la gestión contemporánea. Seminario Corporación Calidad, Bogotá 23 y 24 de abril de 2004, y Autor

1.3.1 Estructura humana para Seis Sigma en PymesPara poder determinar la estructura humana de la fi losofía Seis Sigma en Pymes, se ha tenido que recurrir a estudios realizados sobre las caracterís-ticas de estas en el Departamento del Tolima; estos estudios han indicado que la estructura organizacional de las Pymes está conformada por tres departamentos, como lo indica la Figura 1.2.; por lo tanto, la organización humana para Seis Sigma en Pymes se ajusta para poder brindar la misma cobertura que otorga en las grandes empresas.


Figura 1.2. Estructura orgánica de las Pymes tolimenses

Mercadeo

Pymes

Administración

Producción

Fuente: Modelo de gestión de calidad para la pequeña y mediana empresa manufacturera del Tolima. Tesis Doctoral. Valencia, España: Martha Lucía Pérez. Julio de 2002

Tabla 1.5. Organización para Seis Sigma en Pymes

Nombre Rol clave Posición Características Cantidad

Cam

peón

LíderDesarrollar y encauzar la fi losofía.

Gerente o miembro de la Junta Directiva.

Visión, lideraz-go y autoridad.

1

Campeón

Iniciar y coordinar el despliegue de la fi losofía Seis Sigma.

Dedicación, en-tusiasmo, fe en sus proyectos y capacidad para administrar va-rias propuestas.

Cin

turó

n ne

gro

Maestro cinturón negro

Brindar so-porte técnico experto en metodologías y herramien-tas estadísti-cas.

Jefe de pro-ducción, o Jefe del departa-mento de calidad.

Habilidades y conocimien-tos técnicos, estadísticos y liderazgo en proyectos.

1 ó 2

Cinturón negro

Aplicar la metodología y monitorear varios proyec-tos.

Comunicación. Reconocido por el per-sonal por su experiencia y conocimientos técnicos.

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Cin

turó

n ve

rde

Cinturón verde

Toma los datos direc-tamente del proceso.

Analistas del depar-tamento de producción

Trabajo en equipo, motiva-ción, aplicación de métodos, computación y seguimiento.

1 o 2

Fuente: Autor


Desarrollo de la Filosofía Seis Sigma (Ciclo dmaic)

El proceso de aplicación de la fi losofía Seis Sigma, en general, sigue un esquema o ciclo defi nido como dmaic (Defi ne, Measure, Analyse, Impro-ve, Control); siglas en inglés que quieren decir: Defi nir, medir, analizar, mejorar y controlar. Este esquema conforma un proceso estructurado en cinco fases en las que se desarrollan técnicas y herramientas estadísticas que llevan al cumplimiento de los objetivos del proyecto.

Figura 2.1. Estructura Ciclo dmaic

Fuente: El autor

2.1. Defi nirEn esta primera fase del ciclo se defi ne el proyecto, los miembros del equi-po de trabajo y las características críticas a la calidad (ctq´s).

2.1.1. Selección del proyectoEsta fase es crítica para asegurar el éxito de un proyecto, debido a que la correcta implementación de la fi losofía Seis Sigma depende de la adecua-da identifi cación y posterior selección del proyecto. Los criterios iniciales

Defi nir

Medir

Analizar

Mejorar

Controlar

DMAMC

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para la selección del proyecto de mejora deben permitir que estos tengan impacto en los clientes, produzcan algunos ahorros cuantificables, sean sencillos en su aplicación y no requieran de inversiones elevadas.

2.1.2. Pasos para seleccionar el proyecto• Identificar las características críticas de calidad (ctq´s), las cuales

pueden estar relacionadas con las necesidades o expectativas de los clientes, o también, características de un producto o proceso.

• Determinar y ubicar los mayores problemas que presenta la compa-ñía.

• Comprobar la correlación entre las características críticas de calidad con los problemas que presenta la compañía.

2.1.3. Selección de los miembros del equipo de trabajoLa selección del equipo de trabajo se refiere a la conformación de la es-tructura humana para Seis Sigma adecuada para Pymes, se debe seleccio-nar cuidadosamente el personal y tener muy en cuenta que si el personal disponible no cumple con las condiciones establecidas, se requiere de un entrenamiento o formación; se debe advertir que el conocimiento en las técnicas y herramientas necesarias para la puesta en marcha de un pro-ceso de mejora Seis Sigma son bases fundamentales para el correcto des-pliegue de la filosofía.

2.2. MedirEn esta segunda etapa del ciclo dmaic, las características críticas de calidad seleccionadas en la anterior etapa se ponen a prueba mediante el uso de he-rramientas estadísticas, con las cuales se pretende cuantificarlas junto con los problemas identificados, para finalmente elegir la característica crítica de calidad adecuada para desarrollar el proyecto de mejora Seis Sigma.

Una vez seleccionada la característica de calidad adecuada, se pro-cede a seleccionar las métricas que permitan establecer el nivel de rendi-miento del proceso; en otras palabras, es determinar el nivel Sigma con el que trabaja el proceso, además del rendimiento del mismo.

2.2.1. Determinar la característica crítica de calidad adecuadaPara seleccionar la característica crítica de calidad adecuada es necesa-rio analizarla desde diferentes enfoques y aplicaciones de las técnicas


estadísticas y luego, mediante un análisis de Pareto (Herramientas, Ca-pítulo 3), se escoge la característica con mayor peso o porcentaje para ser estudiada.

2.2.2. Cálculo del nivel SigmaUna vez determinada la característica de calidad adecuada, es necesario definir el nivel sigma del proceso; este se logra analizando la característi-ca en busca de los defectos por unidad y la oportunidad de cometer esos defectos, de esta forma y mediante datos estadísticos y el uso de la tabla normal ajustada para Seis Sigma, se obtendrá el nivel sigma con el cual trabaja el proceso.

2.2.3. Selección del objetivo del proyecto de mejora Seis SigmaConociendo la capacidad Sigma del proceso, ya se pueden determinar los objetivos o el objetivo principal del proyecto. Es importante conocer el alcance que el proyecto ostenta o pretende llegar a tener, para poder determinar su tiempo de alcance (largo, mediano y corto plazo), depen-diendo de ello se plantean las metas a lograr. Para llevar a cabo el proceso de mejora continua, es necesario proponer metas a corto plazo para ir avanzando progresivamente, de esta forma se mantendrá la motivación de todo el personal y la credibilidad de la filosofía.

2.3. AnalizarEn esta tercera fase del ciclo se busca la causa raíz del problema o las va-riables que afectan la característica crítica de calidad seleccionada.

2.3.1. Identificar la causa raízUna de las habilidades fundamentales para combatir efectivamente los problemas es distinguir entre los síntomas y las verdaderas causas de fon-do. A medida que se investiga con detalle las razones que hacen posible el problema o variación de la característica crítica de calidad, se estará en posibilidades de obtener un diagnóstico mucho más certero.

Lo más importante para identificar la causa raíz del problema a tra-tar, es preguntarse por qué ocurrió y no se están logrando los resultados esperados; aparte de esto, es de extrema necesidad que el personal que hará las averiguaciones pertinentes, posea un elevado grado de conoci-miento acerca de la característica crítica a analizar.

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2.4. MejorarEn esta fase del ciclo se define un plan de acción enfocado a atacar las cau-sas raizales, proponiendo cambios en el proceso que es afectado por ella. Una vez planteadas las posibles mejoras, se validan mediante el monitoreo con las herramientas estadísticas para poder comprobar su efectividad.

2.4.1. Tomar acciones correctivasIdentificada la causa raíz, se procede a esbozar acciones correctivas que plantean la forma cómo se lleva a cabo la mejora al proceso. Estas accio-nes de mejora se definen después de hacer las siguientes preguntas: ¿La causa raíz está siendo atacada? ¿Existen efectos secundarios indeseables?

2.4.2. Verificar la efectividad de la acciónSi alguna o las dos preguntas hechas anteriormente no fueron resueltas con claridad, y si no arrojan un resultado positivo, se deberán presentar de nuevo las mejoras hasta que sean resueltos los dos interrogantes satis-factoriamente.

2.5. ControlarEn esta última fase del ciclo se procede una vez más a dirigir el proceso de mejora bajo herramientas estadísticas que monitoreen y controlen las mejoras presentadas y validadas. Es necesario saber que si se han logrado los resultados esperados mediante la implementación de la filosofía Seis Sigma, el proyecto de mejora no debe parar ahí, al contrario, se debe tener presente la mejora continua hasta alcanzar resultados positivos.

2.5.1 Enfoque preventivoAdemás de la mejora continua, se debe cambiar el pensamiento de la co-rrección por el de la prevención, lo cual indica que se debe ser proactivo en vez de reactivo; de esta forma la filosofía Seis Sigma seguirá dando frutos en la organización.


Herramientas para Seis Sigma

El secreto del éxito de la fi losofía Seis Sigma es saber utilizar cada herra-mienta en la forma y el momento adecuados. De ahí que es muy impor-tante que la estructura humana para el proyecto de mejora Seis Sigma conozca a fondo estas herramientas; especialmente los cinturones negros y los cinturones verdes. A continuación se presentan las herramientas más importantes y necesarias para la aplicación de la fi losofía Seis Sigma en una Pyme manufacturera. Para ilustrar de forma adecuada las herra-mientas, los ejemplos que se verán en el capítulo están inspirados en una empresa productora de duraznos enlatados.

Tabla 3.1. Índice de Herramientas

Fase Defi nición Herramientas o metodologías

Defi nirIdentifi car las características críticas de calidad

Diagramas de Flujo

Encuesta

Tormenta de ideas

MedirMedir las características crí-ticas de calidad, e identifi car la característica fi nal

Diagrama de Pareto

Cálculo del Nivel SigmaHistogramaRendimiento de un proceso

Analizar Analizar la característica fi -nal y determinar la causa raíz

Diagrama Causa y Efecto (Ishikawa)Estudio de Habilidad o Capaci-dad del Proceso

Mejorar Realizar las mejoras respec-tivas

Diseño de ExperimentosTabla AnovaExperimento FactorialAnálisis de Interacciones

Controlar Monitorear las mejoras Gráfi cas de ControlFuente: El autor.

3C A P Í T U LO

30

3.1. Herramientas para definir:A continuación se presentan las herramientas sugeridas para la fase de definición del proyecto Seis Sigma. Estas son: el diagrama de flujo, la en-cuesta y la tormenta de ideas. Para cada herramienta se relacionan los pasos por seguir así como su aplicación por medio de un ejemplo.

Tabla 3.1.1. Herramienta: Diagrama de flujo

Etapa en que se utiliza Propósito Quién la emplea

Definir

Muestra a través de una sim-bología específica cada uno de los pasos o actividades que conforman un procedi-miento.

Cinturón negro y verde

Pasos a seguir Ejemplos

Obtención de la información

Identificar las operaciones que hacen posible el desarrollo del proceso productivo de la organización mediante la información proveniente de documentos oficiales o entrevistas con el personal operativo.

Validación de la información

El siguiente paso es dirigirse al proceso productivo o fuente del diagrama de flujo y contrastar la informa-ción tomada en el paso uno con la que se observa en la fuente. Es probable que se encuentren incongruencias; por tanto es de suma importancia ir a la fuente para cerciorase de que la información tomada sea confiable.

Elaboración del flujograma

En este paso se dibuja la secuencia ordenada de los pasos del proceso, utilizando una simbología común o estándar.

Simbología utilizada

Indica una actividad u operación


Elaboración del flujograma

Señala el inicio / fin de un proceso

Indica una decisión o pregunta de sí / no

Indica un almacenamiento

Indica una demora en el proceso

Indica una inspección

1 Conector dentro de la página

Conector entre páginas

Dirección del flujo

32

Listado de procedimientos

A. Inspección de duraznos y latas.B. Almacenamiento latasC. Lavado de duraznosD. Corte de duraznosE. Empaque de los duraznosF. Inspección latas empacadasG. ¿Están bien? ; sí, entonces ir paso

I ; no, ir paso HH. Almacenamiento producto

defectuosoI. Etiquetado

La empresa Frutic S.A. desea realizar un diagrama de flujo del proceso de empaque y elaboración de los duraz-nos enlatados.

Qué hacerConfirmar toda la información toma-da de documentos y corroborarla en la fuente.

Qué no hacer Omitir pasos o procedimientos.

Tabla 3.1.2. Herramienta: Encuesta

Etapa en que se utiliza Propósito Quién la emplea

Definir

Obtener información sobre las necesidades de los clien-tes, para su entendimiento.

Cinturón verde y negro.Evaluar la satisfacción del cliente y el desempeño gene-ral del producto o servicio.



1. Definir los objetivos por alcanzar

• Identifique las necesidades del cliente.• Evalúe cómo se están satisfaciendo las necesidades de

los clientes.• Identifique los puntos buenos y malos (fortalezas y de-

bilidades) del producto o servicio.• Describa el producto ideal.• Identifique productos sustitutos.• Obtenga ideas y mejoras.

2. Definir el alcance de la encuesta

• Geográfico: global, nacional, regional, local.• Mercado: clientes potenciales o actuales; de un seg-

mento o varios; por marca o específico.• Profundidad: variedad de objetivos a buscar y niveles

de detalles.

3. Diseñar

• Instrumento o cuestionario en sí.• Método de aplicación.• Incentivos que se darán a quienes respondan la encuesta.• Rangos de evaluación.• Tamaño de la muestra.

4. Aplicar

• Establecer los planes con fechas para su aplicación y re-copilación de datos y su cierre.

• Por medio del personal de ventas o una agencia exter-na.

5. Analizar

• Uso de la computadora para digitar los datos, y de la sensibilidad humana para comprenderlos.

• Presentación de los resultados empleando técnicas es-tadísticas.

• Reporte final complementado con un plan de acciones posteriores y los encargados del seguimiento.

• Identificación de acciones que se puedan tomar de in-mediato para su mayor efectividad.

Qué hacer

• Hágala sencilla. • Enfóquese solo en los objetivos. • Muestre la encuesta primero a menor nivel antes de

aplicarla en grande. • Verifique los resultados contra los datos reales del de-

partamento de mercadeo. • Incentive la respuesta. • Pregunte cómo y por qué.

Qué no hacer

• Utilizar solo porcentajes. • Dejar que la agencia haga todo sin involucrarnos. • Hacer preguntas demasiado largas o genéricas. • Enjuiciar las respuestas. • Alterar o maquillar los resultados.

34

Tabla 3.1.3. Herramienta: Tormenta de ideas

Etapas en que se utiliza Propósito Quién la emplea

DefinirDefinir las posibles características críticaspor analizar.

Gerente, junta directiva y cinturón negro


1. Reunir el personal idóneo para desarrollar esta herramienta.

La empresa Frutic S.A. desea realizar una tormenta de ideas para determinar las posibles causas de la variabilidad del proceso de empaque de los duraznos enlatados. Para esto se reunieron el gerente general, el jefe de producción y el jefe del departamento de calidad.

2. Enumerar las posibles fallas o características de calidad por tratar mediante la intervención de cada uno de los miembros del personal.

Cada uno de los funcionarios anteriormente mencionados formularon tres causas, las cuales se sometieron a votación y salieron avante las siguientes dos causas:• Mal funcionamiento de la máquina

empacadora.• El material de la etiqueta presenta

fallas de adherencia.

3. Poner en escrutinio las posibles fallas anteriormente mencionadas por los miembros del equipo y de esta forma seleccionar la o las características de calidad a analizar.

Fuente: Autor

3.2 Herramientas para medir:A continuación se presentan las herramientas sugeridas para la fase de medición del proyecto Seis Sigma. Estas son: el diagrama de Pareto, el cál-culo del nivel sigma, los histogramas y el cálculo del rendimiento del pro-ceso. Para cada herramienta se presentan los pasos por seguir, así como su aplicación por medio del desarrollo de un ejemplo.

Tabla 3.2.1 Herramienta: Diagrama de Pareto


Medir

Categorizar los síntomas o problemas de acuerdo con su importancia. Cinturón negro y

verdeEvaluar la efectividad de los cambios o mejoras realizadas.


Pasos a seguir Ejemplos1. Describir la situa-

ción o problema por analizar.

La Empresa Frutic S.A., se dedica a la producción de duraznos en frascos. En los últimos meses ha recibido quejas de clientes por lo siguiente:

2. Desglosar los inci-dentes o problemas específicos que con-tribuyen a la situación por analizar.

Color de la tapa Color de la etiquetaErgonomía de la tapa Dureza de los duraznosErgonomía del envase Color de los duraznosSabor de los duraznos Tiempo de vencimientoTamaño del envase Otros

3. Recolectar datos históricos o por muestreo para cuantificar los pro-blemas.

La cantidad de frascos con defectos obtenidos fueron:

Defecto CantidadColor de la tapa 2Ergonomía de la tapa 100Ergonomía del envase 68Sabor de los duraznos 45Tamaño de los duraznos 6Color de la etiqueta 15Dureza de los duraznos 10Color de los duraznos 97Tiempo de vencimiento 200Otros 8

4. Ordenar la lista de mayor a menor.

La lista ordenada es:Clave Defecto Cantidad

A Tiempo de vencimiento 200

B Ergonomía de la tapa 100C Color de los duraznos 97

D Ergonomía del envase 68

E Sabor de los duraznos 45

F Color de la etiqueta 15

G Dureza de los duraznos 10

H Otros 8

I Tamaño de los duraznos 6

J Color de la tapa 2

36

5. Obtener los porcenta-jes de cada defecto o incidente.

El porcentaje de cada defecto se obtiene de dividir la cantidad de estos entre la suma total y multipli-cándolo por el 100%. Es decir:

Clave Cantidad % % Acumu-lado

A 200 36,3% 36,3%B 100 18,1% 54,4%C 97 17,6% 72,1%D 68 12,3% 84,4%E 45 8,2% 92,6%F 15 2,7% 95,3%G 10 1,8% 97,1%H 8 1,5% 98,5%I 6 1,1% 99,6%J 2 0,4% 100,0%

SUMA 551 100%

6. Hacer una gráfica de barras con base en es-tos resultados. Pode-mos también graficar el porcentaje acumu-lado, como una línea. En este caso se utilizó el eje vertical izquier-do para las cantidades y el derecho para los porcentajes.

Con base en los resultados obtenidos, se logra el siguiente gráfico:

IE G

Pareto hart for CANTIDAD600500400300

100200

0A CB D F H J

36,3054,45

72,0584,39

92.56 95,28 97,10 98,55 99,64 100,00

frequ

ency

Pareto Chart for CANTIDAD600500400300200100

0

frequ

ency

A B C D E F G H I J

36,30

54,45

72,0584,39

95,2892,50 97,10 98,55 99,64 100,00

7. Atacar la barra mayor, si es necesario, realizando otro Pareto con mayor detalle e investigando las causas.

8. Una vez que se realicen las acciones de mejora, volver a realizar el diagra-ma de Pareto para confirmar, y proceda con la siguiente barra.


Qué hacer

• Asegúrese de que la información es completay precisa.

• Visite el proceso o área del problema.• Busque la participación del personal del área

en cuestión.• Publique el Pareto.

Qué no hacer

• Suponer que las categorías o defectos estánclaramente definidos.

• Realizarlo con información de un día.• Quedarse solo en la primera barra

Fuente: Autor

Tabla 3.2.2. Herramienta: Cálculo del nivel sigma


Medir

Evaluar el proceso basado en el nivel sigma, además estandarizar dicha eva-luación. De esta forma comparamos diferentes procesos y nos muestra el nivel sigma con el que trabaja la empresa.

Cinturón negro

Pasos a seguir Ejemplos1. Definir la característica

crítica de calidad. Quese va a medir.

La empresa Frutic S.A., se dedica a la produc-ción de duraznos en frascos.Para el proceso de producción de envase de los frascos se consi-dera crítico su peso. El proceso de producción está presentando 35 defectos de los frascos en un lote de producción de 4.000 unidades con un número de oportunidades por frasco de 5; con los anteriores datos, la empresa desea calcular el nivel sigma.

2. Recolección de lainformación. Esta debeser de datos reales y unamuestra representativade por lo menos 50unidades.

3. Calcular los defectospor oportunidad dpo:

DPO

DefectosUnidades

Oportunidad de error=

Con los anteriores datos se calcula el dpo:

DPO=

=

354 000

0 00175.

,5

38

4. Calcular los defectos por millón de oportunidad dpmo:

DPMO DPO= ×1 000 000. .

Se calcula el dpmo:

DPMO= × =0 00175 1 000 000. . . 1.750

5. Calcular el nivel sigma: (existen dos maneras:• Manual.a. Con el dpmo se remite a la

tabla normal ajustada para Seis Sigma (Ver apéndice V) y se busca el valor “Z”, ese valor Z asociado a los dpmo es equivalente a el nivel sigma con el que cuenta la empresa o proceso.

• Mediante el programa de Excel: aplicando la siguiente fórmula:

=abs(distr.norm. estand inv(e)) + 1.5

donde e: es el dpo.

Se busca el valor de σ en la tabla normal ajustada para Seis Sigma asociado con el valor del dpmo obtenido, el cual se en-cuentra en la columna correspondiente de la tabla.

σ = 4.42

O se calcula mediante la fórmula:

=abs(distr.norm.estand.inv(e)) +1.5 = 4.42 σ

6. Verificación de la probabilidad de defecto:

La probabilidad de defecto es la probabilidad de cometer defec-tos asociada al nivel Sigma; esta probabilidad aparece en la tabla normal ajustada para Seis Sigma en la columna 4, y si la multi-plicamos por 100, obtenemos el porcentaje de defectos asociado a el nivel Sigma.

Denominamos al porcentaje de defectos “porcentaje real de de-fectos”, si lo calculamos median-te la tabla normal ajustada para Seis Sigma; si lo tomaramos de la tabla normal estándar (apén-dice IV), este valor sería mucho menor, ya que los datos que arroja la tabla normal ajustada son los que realmente el cliente está observando del proceso o producto, y no los que el empre-sario ve dentro de su proceso.

Verificación de la probabilidad de de-fecto mediante la tabla normal ajustada para Seis Sigma:

σ 4,42

fn (σ+1,5) 0,999999

fn (1,5-σ) 0,00175015

Probabilidad de un defecto 0,00175016

DPMO 1.750,16

Podemos ver que el porcentaje de defec-to es de 0.175%

Si el valor es observado en la tabla nor-mal estándar:

Z 0 0,01 0,02

4,4 5E-06 5,2E-06 4,9E-06

Podemos ver que el valor del porcentaje de defecto es 0.00049%


Es por esto que el ajuste que se hace a la tabla normal de +- 1.5 σ, hace posible que dentro de una empresa se vean los produc-tos y procesos como los ven los clientes externos de la empresa.

Los cálculos anteriores indican que den-tro del proceso la probabilidad de come-ter errores es mucho menor a la observa-da por el cliente; es por esto que se deben tomar los datos provenientes de la tabla normal ajustada para Seis Sigma.

Nota: Si es un proceso productivo, la oportunidad de defecto tendrá un valor diferente a 1; debido que las especificaciones para la fabricación del producto tie-nen unos índices de tolerancia (error o defectos contemplados en la producción).Si hablamos de un servicio, la oportunidad de defecto es 1, ya que el servicio se debe prestar de una forma correcta, como por ejemplo la satisfacción del cliente.

Fuente: El autor

Tabla 3.2.3. Herramienta: Histograma


Medir

Ayudar a comprender la tendencia central, disper-sión y frecuencias relativas de un grupo de datos.Mostrar grandes cantidades de datos dando una visión clara y sencilla de su distri-bución.

Cinturón negro

Pasos a seguir EjemplosUn histograma es un grá-fico de barras verticales que representa la distri-bución de un conjunto de datos. Los pasos para su elaboración son:

La empresa Frutic S.A., se dedica a la produc-ción de duraznos en frascos. Para el proceso de producción de envase de los frascos se considera crítico su peso. La especificación (x ± θ) de los frascos marca 275 ± 10 ml. Los datos tomados por el ingeniero de producción del proceso fueron:

275 271 278 279 275276 273 275 273 271277 274 279 272 272278 275 275 274 274275 278 274 276 272276 276 275 275 271274 275 275 271 273271 274 279 278 279279 275 271 279 278279 278 276 273 275

40

1. Obtener las clases (K):K n

donde: n = Número de datos.

La clase de los datos son:

K 50= = ≈7 07 7,

2. Obtener los límites de especi-ficación y rango:

LSE = x + qLIE = x – q

R = LSE – LIEdonde:LSE = Límite superior especificado.LIE = Límite inferior especificado.R = Rango.

Los límites de especificación son:

LSE = 275 + 10 = 285LIE = 275 – 10 = 265R = 285 – 265 = 20

3. Obtener el intervalo (N):

NRK

El intervalo es:

N207

2 8571,

4. Definir los límites de las clases:

L1 = LIE + N

Lk = Lk–1 + N

Los límites de las clases son:

L1 = 265 + 2,8571 = 267,86L2 = L1 + N = 267,86 + 2,8571 = 270,71L3 = L2 + N = 270,71 + 2,8571 = 273,57L4 = L3 + N = 273,57 + 2,8571 = 276,43L5 = L4 + N = 276,43 + 2,8571 = 279,28L6 = L5 + N = 279,28 + 2,8571 = 282,14L7 = L6 + N = 282,14 + 2,8571 = 285

5. Obtener la frecuencia de las clases, asignando cada dato a la clase correspondiente por una (x) y calcular su total.

K Límite inferior

Límite superior

Fre-cuencia Total

La frecuencia de las clases es:

K Límite inferior

Límite superior Frecuencia Total

1 265 267,86 - 0

2 267,86 270,71 - 0

3 270,71 273,57 xxxxxxxxxxxxx 13

4 273,57 276,43xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx23

5 276,43 279,28 xxxxxxxxxxxxxx 14

6 279,28 282,14 - 0

7 282,14 285 - 0


6. Realizar el histograma colo-cando los límites de las clases con su frecuencia y los límites de especificación.

El histograma de los datos anteriores es:

HISTOGRAMA

25

20

15

10

5

0L2 L4L1 L3 L7L5 L6

CLASES

FREC

UEN

CIA

LIE LC LSE

7. Realizar la interpretación de la gráfica; para esto se deben tener en cuenta los siguientes casos.

Caso 1: Proceso centrado con poca variación.

Caso 2: Proceso centrado con mucha variación.

Caso 3: Proceso no centrado con poca variación.

Caso 4: Proceso no centrado con mucha variación.

Por último, los ingenieros concluyeron que el proceso se encuentra centrado con poca variación.

42

Qué hacer

• Asegúrese de que los datos que toma el equipo sean confi ables.

• El encargado de tomar los datos expli-que al personal el propósito del estudio para que se trabaje normalmente.

Qué no hacer• Realizarle ajuste al proceso o cambios

de material u operario durante la toma de datos.

Fuente: El autor

Tabla 3.2.4. Herramienta: Rendimiento de un proceso


Medir Determinar el rendi-miento porcentual de un proceso.


Controlar


El rendimiento tradicional de un proceso se lleva a cabo dividiendo el núme-ro de materia prima que es producida de acuerdo con especifi caciones sobre el número de materia prima que entra.

Rendimiento = Nº MPs

Nº MPE

Los ingenieros de la empresa Frutic S.A., desean saber cuánto es el rendimiento tra-dicional del proceso de duraznos enlatados. Según datos del mes de enero, la cantidad de latas que entraron al proceso fueron 1.500 y las que fueron producidas de acuerdo con las especifi caciones de la empresa fueron 1.105.

Rendimiento11051500

0 7366 73 7, , %

Según los resultados anteriores, la empresa debe prestar mayor interés a las latas defec-tuosas o cualquier fallo que se produzca, ya que el rendimiento es muy bajo.

Fuente: El autor


3.3 Herramientas para analizar:Las siguientes son las herramientas sugeridas para la fase de análisis del pro-yecto Seis Sigma. Estas son: el diagrama causa y efecto y el estudio de habi-lidad o capacidad del proceso. Para cada herramienta se presentan los pasos por seguir, así como su aplicación por medio del desarrollo de un ejemplo.

Tabla 3.3.1. Herramienta: Diagrama de Ishikawa

Etapas en que se utiliza Propósito Quién la

emplea

DefinirBuscar las diferentes causas clasificadas de un problema y el objetivo es encontrar las posibles causas de un problema.

Cinturón ne-gro y verde

Pasos a seguir EjemplosEl Diagrama de Ishikawa puede estar relacionado con uno o más factores que intervienen en un proceso productivo, tales como (6 Ms):1. Métodos.2. Mano de obra.3. Materia prima.4. Medición.5. Medio.6. Maquinaria y equipo.El diagrama se basa en un proceso de ge-neración de ideas llamado “lluvia de ideas”, que se realiza de la siguiente manera:1. Se distribuyen en equipos los miembros

de la empresa; los miembros del equipo asignado al análisis de algún problema generan una sola idea en cada vuelta, de una manera rápida y ordenada sin presentarse ninguna discusión. Dentro del equipo debe asignarse un secretario que las escriba, numerando cada una de las ideas enunciadas.

2. Finalizada la lluvia de ideas se lleva a cabo el descarte de las ideas repetidas.

3. Comprobar que las ideas restantes tengan relación con el problema por analizar.

4. Catalogar las ideas resultantes en el Diagrama de Ishikawa.

5. Construir el Diagrama de Ishikawa.

Los ingenieros de la empresa Frutic S.A., están analizando las rupturas que presentan los envases de los du-raznos enlatados. Dichas rupturas dependen esencialmente de la ma-teria prima, la mano de obra, el me-dio, los métodos, la maquinaria y la medición. Los métodos dependen de lo inadecuado y obsoleto. El medio depende de la iluminación, el frío y de las partículas que hay en el aire, las cuales dependen de la demasiada ventilación que hay en el centro de trabajo. La mano de obra depende de su estimulación, que es poca y capacitada, la cual depende de su ex-periencia. Las máquinas dependen de que se encuentren viejas y des-gastadas. La medición depende de lo inapropiado de los instrumentos de medida y que se encuentran desa-justados. La materia prima depende de la buena calidad, es apropiada la producción y se encuentra poca en el mercado. Con la anterior infor-mación los ingenieros realizaron un diagrama de causa y efecto “Diagra-ma de Ishikawa” que permita iden-tificar ordenadamente las causas que afecten las rupturas de los envases.

44

Frío

Métodos

Obsoletos

Ventilación Particulas en el aire

Estimulada

Iluminación

Medición

Inadecuados

Poca

Experiencia capacitada

MedioMano de Obra

Máquinas

Rupturas de env.

Viejas Inapropiado Buena calidad

Desgastadas Desajustados

Materia prima

Apropiada

Fuente: El autor

Tabla 3.3.2. Herramienta: Estudio de habilidad o capacidad del proceso


Analizar

Medir el potencial de un proceso para cum-plir con una especifica-ción dada. Cinturón negroEvaluar y confirmar efectividad de cambios o mejoras a un proceso.


Para poder determinar si un proceso puede cumplir con cierta tolerancia necesitamos determi-nar si es estable. Para determinar la estabilidad se debe:

1. Tomar 50 datos de la carac-terística: • A intervalos regulares de

tiempo.• Sin hacer cambios durante

ese período.• Bajo las mismas condi-

ciones de temperatura, mismo operario, mismo lote de material.

• Tomados por la misma persona e instrumento.

La empresa Frutic S.A., se dedica a la producción de duraznos en frascos. Para el proceso de producción de envase de los frascos se considera crítico su peso. La especificación de los frascos marca 275 ± 10 ml. Los datos tomados por el ingeniero de producción del proceso fueron:

275 271 278 279 275276 273 275 273 271277 274 279 272 272278 275 275 274 274275 278 274 276 272276 276 275 275 271274 275 275 271 273271 274 279 278 279279 275 271 279 278280 278 276 273 275


2. Graficar los puntos indivi-duales y consecutivos.

270272274276278280282

0 20 40 60

Peso

No. de muestras

Grafica de valores individuales

3. Observar la gráfica. Si muestra tendencias, ciclos, más valores en las orillas que al centro, el proceso no es estable.

4. Calcular la desviación están-dar de los datos. Si hay dos o más valores que excedan tres veces la desviación estándar arriba o abajo del promedio, es un síntoma de inestabili-dad. Límites naturales: Promedio ±3σ

Si el proceso no es estable, se ten-dría que analizar para encontrar las causas; seguir adelante con el estudio no nos arrojará informa-ción confiable.

La gráfica en este caso aparece estable.

Media 275,14

Desviación estándar 2,5873

Límite superior s. 282,9019

Límite inferior s. 267,3781

Límite superior = X + 3SLímite superior = 275,14 + (3 * 2,5873) = 282,9019Límite inferior = X – 3SLímite inferior = 275,14 – (3 * 2,5873) = 267,3781

Se ve que en los datos no hay valores mayores a 282,9 ni menores a 267,3. De lo anterior no hay signos de inestabilidad.

Para nuestro caso, tenemos que la especifi-cación marcada por los frascos es de 275 ± 10. El límite superior es de 275 + 10 = 285; y el límite inferior es de 275 – 10 = 265.

5. Una vez que tengamos datos estables, podemos calcular el índice de habilidad de proceso:a. Reste la especificación:

Superior-inferiorb. Multiplique la desviación

estándar por 6.c. Divida el paso a entre el b.

El resultado será el índice Cp.

La Tolerancia es: 285 - 265 = 20 ml.

6 x s = 6 x 2,5873 = 15,5238.

CpTolerancia

6s

2015 5238

1 2883,

,

46

6. Interpretación del índice Cp. Si el Cp es menor que 1, el proceso no es capaz o hábil para cumplir las especifi ca-ciones.Si el Cp es igual a 1, el pro-ceso es capaz pero se tiene que mantener centrado para evitar defectos.Si el Cp es mayor que 1, el proceso se considera capaz.

Podemos utilizar una gráfi ca de frecuencia (histograma) para representar el proceso. Cada barra representa la can-tidad de piezas que cayeron en cada dimensión.

Se concluye para la empresa que el proceso sí es capaz de cumplir con la tolerancia.

Process Capability for FRUTIC S.A.

Freq

uenc

y

1815129630

260 265 270 275 280 285

LSL = 265,0, Nominal = 275,0, USL = 285,0Pp = 1,29Ppk = 1,27Ppk (upper) = 1,27Ppk (lower) = 1,31Pr = 078Ppm = 1,29K = 0,01

FRU

TIC

S.A

.Probability Plot

Normal (275, 14, 2, 58733)

281

279

277

275

273

271271 273 275 277 279 281

7. Existe otro índice llamado Cpk. Podemos calcularlo determinando cual es el menor resultado de las dos siguientes fórmulas:

CpuLímite superior de esp. Media

3 Desviación estándar

C

=−

⋅

pplMedia Límite inferior de esp.

3 Desviación estándar=

−⋅

Para asegurar la información de la em-presa de que el proceso además de ser capaz esté centrado en el valor nominal, se puede calcular el índice Cpk.

CpuLímite superior de especi�cación Media

3 =

−x

Cpu285

3 2

CplMedia Límit

=−

x=

=−

275 145873

1 2703,

,,

ee inferior de especi�cación3

Cpl

x

=275,,

,,

14 2655873

1 3063 −

x=

3 2

Desviación estándar

Desviación estándar

8. Interpretación del índice Cpk.Si el Cpk es menor que 1, el proceso no es capaz o hábil.Si el Cpk es igual a 1, el proceso es capaz pero se tiene que mantener centrado para evitar defectos.Si el Cpk es mayor que 1, el proceso se considera capaz.

El menor de los dos datos anteriores es 1,2703; por tal motivo el Cpk = 1,2703.


Qué hacer

• Asegúrese de que el equipo y las técni-cas de medición son confiables.

• Explique al personal el propósito del estudio para que se trabaje normal-mente.

Qué no hacer

• Hacer ajuste en el proceso o cambios de material u operario durante la toma de datos.

• Pensar que el proceso será estable y capaz para siempre.

Fuente: El autor

3.4 Herramientas para mejorarLas siguientes son las herramientas sugeridas para la fase de mejoramien-to del proyecto Seis Sigma: el diseño de experimentos, la tabla Anova, el experimento factorial y el análisis de interacciones. Para cada herramien-ta se presentan los pasos que se sugieren y su aplicación por medio de un ejemplo.

Tabla 3.4.1. Herramienta: Diseño de experimentos

Etapas en que se utiliza Propósito Quién la empleaMejorar Identificar los factores que

contribuyen al desempeño de una característica de calidad.


Pasos a seguir Ejemplos1. Establecer el objetivo del

estudio, identificando la característica por ser mejora-da. Puede ser que deseemos aumentarla, disminuirla o llevarla a un valor predetermi-nado.

La empresa Frutic S.A., desea aumentar el tiempo de vencimiento de los duraz-nos enlatados (en días). Después de un estudio se ha decidido probar las latas (L) donde se envasan los duraznos y la cantidad de azúcar (A) en la jalea.

48

2. Identificar los factores que pensamos afectan en el proce-so a la característica objetivo. Mínimo deben ser entre 2 y 5.

En la elaboración del estudio se tomaron 3 tipos de latas L1, L2, L3, que corres-ponden a los tres tipos de proveedores que le suministran a la empresa. Para el azúcar (A) se tienen 4 niveles A1, A2, A3, A4, cada uno de estos corresponde a la cantidad dada de azúcar en la fórmula de la jalea.

Contenido de azúcar A

Latas L A1 A2 A3 A4

L1 L3 L2 L1

L2 L1 L1 L3

L3 L2 L3 L2

El anterior cuadro por columnas (o bloques) está diseñado para probar la fecha de vencimiento en que tardan los duraznos enlatados con las distintas cantidades de azúcar en la jalea. Las latas (L) se distribuyen al azar (aleatoria) para ir realizando la prueba celda por celda (A1 con L1, luego A2 con L3, y así sucesivamente).

De todos modos, en la empresa se aseguró de que no existan otros factores que en el momento de la prueba generen errores, tales como materiales en condi-ciones anormales o los equipos utiliza-dos. Para esto la empresa se asegura de que la medición sea confiable y que las condiciones sean estables.

La empresa también tiene en cuenta el posible costo del desperdicio y el tiempo requerido como la inversión.

3. Determinar los niveles en los que se probará cada factor. Mínimo deben ser 2. Busque que estos representen los nive-les más bajos y altos factibles en el proceso, y de ser posible algunos intermedios.

4. Crear un arreglo o secuencia de pruebas a ejecutar. Existen arreglos predefinidos en libros y tablas. Generalmente se utilizan los renglones para co-locar un factor y las columnas para uno o varios. Considere el agrupamiento por bloques y la aleatoriedad para definir el arreglo.

5. Organizar las pruebas. Se define y explica al personal participante el objetivo y el papel de cada quien en la condición y toma de datos en el experimento. De ser nece-sario se diseñan formatos para tomar datos para simplificar y hacer más efectivo este esfuerzo.


6. Tomar los datos. Se inicia el levantamiento de la información y se recopilan todos los datos. Es recomendable que se anoten de manera precisa, y que alguien monitoree y supervise que estén completos y se respeten los ni-veles y condiciones establecidos.

7. Colocar los datos en arreglo. Si es necesario, hay que volver a acomodar los datos de manera que podamos interpretarlos y trabajar con ellos de manera ordenada.

Posteriormente se procede acomodar los datos en orden y se realiza la sumatoria de las columnas y los renglones:


Latas A1 A2 A3 A4 MediasL1 261 274 288 279 275,875

262 274 289 280L2 254 282 268 296 275,25

256 285 266 295L3 245 290 255 287 269,25

247 288 255 289Medias 254,17 282,17 270,17 287,7

8. Evaluar los resultados del experimento. Obtenemos las sumas y promedios por renglón y columna.

Después de finalizado el estudio, los in-genieros concluyeron que los promedios de las columnas cambian más que los de los reglones.

9. Correr otro experimento para confirmar los hallazgos, o bien modifique los factores y niveles y realice otro análisis.

Nota: En la herramienta Tabla de Anova se verificará que la cantidad de azúcar es realmente significativa para aumentar la fecha de vencimiento de los duraznos enlatados.

Qué hacer

• Involucrar al personal cercano y responsable de los procesos.

• Utilice paquetes estadísticos para el diseño y el análisis de los datos.

• Tome datos confiables. • Obtener un estimado del costo del

experimento y su aprobación antes de ejecutarlo.

50

Qué no hacer

• Omitir variables o condiciones que en la práctica estarán presentes.

• Olvidar los posibles efectos secunda-rios causados.

• Usar el diseño de experimentos como fin y no como herramienta.

Fuente: El autor

Tabla 3.4.2. Herramienta: Tabla de Anova


Mejorar

Determinar la signi-ficancia de uno o varios factores en un diseño de experimento.



1. Partir de una tabla de datos que incluye infor-mación del comporta-miento de una variable respuesta (objetivo) a diferentes niveles de dos o más factores o variables del proceso; para esto se llamará el factor columna como A y el factor filas como B.

La empresa Frutic S.A., desea saber si el con-tenido de azúcar en la jalea o las latas influyen en el tiempo de vencimiento de los duraznos enlatados; para esto se desarrollará el Anova con dos factores, cuenta con la siguiente tabla:


Latas A1 A2 A3 A4 Total renglón

L1 261262

274274

288289

279280 2207

Suma 523 548 577 559

L2 254256

282285

268266

296295 2202

Suma 510 567 534 591

L3 245247

290288

255255

287289 2156

Suma 492 578 510 576

Total columna 1525 1693 1621 1726 6565


2. Diseñar las hipótesis nula y alternativa para la prueba y la posterior evaluación.

El ejercicio se desarrolla mediante prueba de hipótesis y se postulan las siguientes:

Hipótesis nulas:

H0(A) = μA1 = μA2 = μA3 = μA4

H0(B) = μL1 = μL2 = μL3

H0(AB) = μL1A1 – μL2A1 = μL1 – μL2

Hipótesis alternativa:

H0(A) = μA1 = μA2 = μA3 = μA4

H0(B) = μL1 = μL2 = μL3

H0(AB) = μL1A1 – μL2A1 = μL1 – μL2

Ho(A): Las medias poblacionales o de donde se obtuvieron las observaciones, de los 4 nive-les del factor azúcar son iguales.

Ho(B): Las medias poblacionales o de donde se obtuvieron las observaciones, de los 3 nive-les del factor lata son iguales.

Ho(AB): Esta hipótesis indica que no hay efecto de interacción.

H1(A): Las medias poblacionales o de donde se obtuvieron las observaciones, de los 4 nive-les del factor azúcar no son iguales, por lo que el factor A afecta el resultado.

H1(B): Las medias poblacionales o de donde se obtuvieron las observaciones, de los 3 nive-les del factor lata no son iguales, por lo que el factor B afecta el resultado.

H1(AB): Esta hipótesis indica que hay efecto de interacción.

3. Obtener la suma de cuadrados del total de datos.

SS = ∑(cada dato)2

Después de lo anterior se procede a calcular la suma de cuadrados de los datos:

SS = (2612 + 2622 + 2742 + 2742 + 2882 + 2892 + 2792 + 2802 + 2542 + 2562 + 2822 + 2852 + 2682

+ 2662 + 2962 + 2952 + 2452 + 2472 + 2902 + 2882 + 2552 + 2552 + 2872 + 2892) = 1801663

52

4. Calcular el factor de corrección:

fcTodos los datos

N=∑( )2

donde: N= cantidad de datos.

Calculamos el factor de corrección:

fc= (6565)2/24 = 1795801,042

5. Restar el factor de corrección a la suma de cuadrados. Con esto tendremos la suma de cuadrados totales: SST.

SST = ∑(cada dato)2 – fc

Calculamos la suma de los cuadrados totales:

SST = 1801663 – 1795801,042 = 5861,958

6. Calcular la suma de cuadrados del factor A.

SSACada dato del total de columna)2 – fc

nk=

∑ (

donde: n=cantidad de datos en cada observación. k=cantidad de niveles en factor B.

Calculamos la suma de factores A:

SSA=( ) +( ) +( ) +( )

− =

1525 1693 1621 17266

1795801 042 3964 1246

2 2 2 2

, , 77

SSA = 3964,12467

7. Calcular la suma de cuadrados de B.

SSBCada dato del total de �las)2 – fc

nj=

∑ (

donde: j= niveles del factor A.

Se calcula la suma de cuadrados de factores B:

SSB=( ) +( ) +( )

− =

2207 2202 21568

1795801 04 197 5833

2 2 2

, ,

SSB = 197,5833

8. Calcular la suma de cuadrados del error.

(SSE cada dato

Totales de cada observación)n

=∑

∑

( )2

2

–

Se calcula la suma de cuadrados del error:

SSE=1801663 – ((523)2 + (548)2 + (577)2 + (559)2 + (510)2 + (567)2 + (534)2 + (591)2 + (492)2 + (578)2 + (510)2 + (576)2)/2 = 16,5


9. Calcular la suma de cua-drados de la interacción de ambos factores.

( )

(SSAB

totales de cada observación)2

ntotales de cada nivel del f

=∑

−∑ ( aactor A

nktotales de cada nivel del factor B

njfc

)2

2

−∑

+

Como:SST = SSA + SSB + SSE + SSAB

Entonces SSAB es tam-bién:

SSAB = SST - SSA - SSB - SSE

Se calcula la suma de cuadrados de interac-ciones:

SSAB = 5861,95833 – 3964,125 – 197,5833 – 16,5 = 1683,75

10. Determinar los grados de libertad de cada factor, totales y del error.

Para los factores, se obtiene:G.L.f = Niveles – 1.

Los totales: G.L.t = Total de datos – 1.

Para el error, por dife-rencia:

gle = glt – gla – glb – glab

Se determinan los grados de libertad:

G.L. factor A = 4 – 1 = 3G.L. factor B = 3 – 1 = 2G.L. interacción = 3 x 2 = 6G.L. t = 24 – 1 = 23G.L. e = 23 – 3 – 2 – 6 = 12

11. Sacar la medida de varianza de cada factor, interacción y error. Sim-plemente divida la suma de cuadrados entre los grados de libertad.

MSA=SSA/(j-1)

MSB=SSB/(k-1)

MSAB=SSAB/(j-1)(k-1)

MSE=SSE/(N-jk)

Se calcula la medida de varianza de cada factor:

MSA = 3964,125/3 = 1321,375

MSB = 197,58333/2 = 98,791665

MSAB = 1683,75/(3)(2) = 280,625

MSE = 16,5/(24 – (3)(2))=0,91667

54

12. Hacer una prueba F. Determinar el valor F experimental para cada factor y así compararlos con el crítico.

FexpA = MSA / MSE

FexpB = MSB / MSE

FexpAB = MSAB / MSE

Determinar el valor F exp para cada factor:

FexpA = 1321,375/0,91667 = 1441,4958

FexpB = 98,791665/0,91667 = 107,77233

FexpAB = 280,625/0,91667 = 306,135

13. Obtener la F crítica de tablas. Consulte la tabla de valores críticos de la distribución F. Hay una tabla para el valor de sig-nificancia deseado. Para entrar a ellas se requieren los grados de libertad del factor y los del error, y la forma de buscarlos es, buscar en v1 el grado de libertad del respectivo factor, y en v2 el error, además se debe usar la tabla con el nivel de con-fianza deseado; para este ejercicio se utiliza el más usado de 95% o con un área de rechazo del 5%.

Por último, se llena la tabla con un nivel de significancia de α = 0,05, el cual se usará para hallar el estimador F de prueba con ayuda de la tabla en el apéndice VIII y así obtener una conclusión.

14. Llenar la Tabla de Anova con los datos obtenidos en los pasos anteriores. Obtenemos la significan-cia o resultado final de la prueba comparando la Fexp vs. la F crítica, para esto se efectúa una prue-ba de hipótesis donde se busca si las Fexp caen en el área de rechazo de 5% para este caso; si es así la hipótesis nula se rechaza.


Tabla Anova

Factor Suma de cuadrados

Grados de libertad Varianza F Experi-

mentalPrueba F 0.05 Significancia

A 3964,125 3 1321,375 1441,5 3,49 Significante

B 197,5833 2 98,7917 107,8 3,89 Significante

Interacción 1683,75 6 280,625 306,135 3 Significante

Error 16,5 12

Total 5861,96 23

Conclusión: Según Anova, todas las hipótesis nulas, planteadas al principio, se rechazan aceptando las hipótesis alternativas, aunque esto no indica que sean ciertas en su totalidad, debido al error que proporciona la muestra selecciona-da, dando la siguiente conclusión:

• H1(A): El factor A influye o afecta el tiempo de vencimiento de los du-raznos.

• H1(B): El factor B influye o afecta el tiempo de vencimiento de los duraz-nos.

• H1(AB): Entre el azúcar y la lata hay interacción; es decir, el efecto del azúcar sobre la fecha de vencimiento depende de cuál sea la lata utilizada.

Nota: También se pueden utilizar valores de α menores, de tal modo nos diría hasta qué punto es significante un factor.

Fuente: El autor

Tabla 3.4.3. Herramienta: Experimento factorial


Mejorar

Determine la signifi-cancia de uno o varios factores en un diseño de experimentos. Usado cuando se tienen más de dos factores.


56


1. Establecer el ob-jetivo del estudio, identificando la característica por ser mejorada. Puede ser que deseamos aumentarla, dismi-nuirla o llevarla a un valor predetermina-do.

2. Identificar los fac-tores que pensamos afectan en el proceso a la característica objetivo. Mínimo deben ser 2.

3. Determinar los niveles en los que se probará cada factor. Mínimo deben ser 2. Buscar que estos representen los niveles más bajos y altos factibles en el proceso.

Los ingenieros de la empresa Frutic S.A., desean realizar un experimento factorial para reducir la consistencia de la jalea en los duraznos enla-tados (medida en porcentaje de consistencia). Para la realización de este estudio se probaron los efectos de la temperatura del horno, el tiempo de cocción y la concentración de agua, manejando unos niveles de máximo y mínimo utilizando signos (+ para el mayor y – para el menor). Para el efecto temperatura (A) se tomó 90 y 70 ºC; para el tiempo (B) se tomó 45 y 35 minutos, y para la concentración (C) se tomó 1 en 5 de agua y 1 en 8 de agua; dando como resultado la siguiente tabla:

4. Crear un arreglo o secuencia de prue-bas a ejecutar. En este caso utilizamos un arreglo predeter-minado (factorial de 8 pruebas o corri-das).

Pruebas A B C AB AC BC ABC Comb

1 - - - + + + - (1)

2 + - - - - + + a

3 - + - - + - + b

4 + + - + - - - ab

5 - - + + - - + c

6 + - + - + - - ac

7 - + + - - + - bc

8 + + + + + + + abc


5. Organizar las pruebas. Se define y explica al perso-nal participante el objetivo y el papel de cada quien en la conducción y toma de datos en el expe-rimento. Se diseñan formatos para tomar datos de ser necesa-rios para simplificar y hacer más efectivo este esfuerzo.

Después de recolectado los datos se obtuvieron los siguientes resultados:

A B C AB AC BC ABC Comb Resul-tado

1 - - - + + + - (1) 30,5

2 + - - - - + + a 50,5

3 - + - - + - + b 5,0

4 + + - + - - - ab 53,7

5 - - + + - - + c 28,9

6 + - + - + - - ac 72,9

7 - + + - - + - bc 49,7

8 + + + + + + + abc 70,5

Suma 361,7

6. Tomar los datos. Se inicia el levantamien-to de la información y se recopilan todos los datos. Es recomen-dable que se anoten de manera precisa, y que alguien monito-ree y supervise que estén completos y se respeten los niveles y condiciones estableci-das.

7. Colocar los datos en arreglo. Si es necesa-rio, hay que volver a acomodar los datos de manera que poda-mos interpretarlos y trabajar con ellos de manera ordenada.

58

8. Evalúe los resultados del experimento. El resultado nos dirá qué factor realmente afectan (son signifi-cantes) a nuestra ca-racterística de interés. Hagamos una tabla de Anova.

a. Se calculan los efec-tos de los distintos factores.

Efecto = (∑(Signos del factor) (Respuesta))/(2(k

– 1) n)

donde: k = Numero de factores. n = Número de niveles.

b. Calcular SST como se explicó para la Tabla de Anova.

c. Se calcula la suma de cuadrados de cada factor.

SS = (Efecto)2 2(k – 2) n

Se calcularán los efectos:

Efecto A = (–30,5 + 50,5 – 5 + 53,7 – 28,9 + 72,9 – 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = 16,6875

Efecto B = (–30,5 – 50,5 + 5 + 53,7 – 28,9 – 72,9 + 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = –0,4875

Efecto C = (–30,5 – 50,5 – 5 – 53,7 + 28,9 + 72,9 + 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = 10,2875

Efecto AB = (+30,5 – 50,5 – 5 + 53,7 + 28,9 – 72,9 – 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = 0,6875

Efecto AC = (+30,5 – 50,5 + 5 – 53,7 – 28,9 + 72,9 – 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = –0,4875

Efecto BC = (+30,5 + 50,5 – 5 – 53,7 – 28,9 – 72,9 + 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = 5,0875

Efecto ABC = (–30,5 + 50,5 + 5 – 53,7 + 28,9 – 72,9 – 49,7 + 70,5)/(2(3-1) 2) = –6,4875

Se calcula la suma de cuadrados del total:

SST = 30,52 + 50,52 + 52 + 53,72 + 28,92 + 72,92 + 49,72 + 70,52 – 361,72/8 = 3625,789

Se calcula la suma de cuadrados de los factores:

SSA = (16,6875)2 (4) = 1113,89

SSB = (–0,4875)2 (4) = 0,95

SSC = (10,2875)2 (4) = 423,33

SSAB = (0,6875)2 (4) = 1,89

SSAC = (–0,4875)2 (4) = 0,95

SSBC = (5,0875)2 (4) = 103,53

SSABC = (–6,4875)2 (4) = 168,35


d. Llenar la Tabla de Anova con los fac-tores, sus contribu-ciones y los grados de libertad. Los grados de libertad se obtienen restando 1 a la cantidad de niveles. G.L. = k – 1. Los G.L. totales se obtienen restando 1 a la cantidad de pruebas. Los G.L. del error, por diferencia.

e. Realizar la prueba F.; para esto ne-cesitamos sacar la varianza (dividiendo SC entre los G.L.). Obtenemos la Fexp dividiendo la va-rianza de cada factor entre la varianza del error. La F crítica la sacamos de tablas o bien de Excel, con el valor de a deseado, los grados de liber-tad del factor y los del error.

Se calculan los grados de libertad:

G.L. factor A = 2 – 1 = 1G.L. factor B = 2 – 1 = 1G.L. factor C = 2 – 1 = 1G.L. t = 8 – 1 = 7G.L. e = 7 – 1 – 1 – 1 = 4G.L.AB= 2-1=1G.L.AC= 2-1=1G.L.BC=2-1=1G.L.ABC=2-1=1

Calculamos las medidas de varianza (MS) y el error con la fórmula de restar al total las sumas cuadrada de los demás factores como lo hicimos en la Tabla de Anova, y se llena la tabla con un nivel de significancia del α = 0,05 dando como resultado:

Fuen-te SS G.L. MS F exp F crí-

tica Resultado

A 1113,89 1 1113,89 2,46 7,71 Significante

B 0,95 1 0,95 0,002 Muy significante

C 423,33 1 423,33 0,934 Muy significante

AB 1,85 1 1,85 0,004 Muy significante

AC 0,95 1 0,95 0,002 Muy significante

BC 103,53 1 103,53 0,23 Muy significante

ABC 168,35 1 168,35 0,37 Muy significante

Error 1812,939 4 453,35

Total 3625,789 7

9. Desarrollar otro ex-perimento para con-firmar los hallazgos, o bien modificar los factores y niveles, y realizar otro análisis.

Por último, los ingenieros que realizaron el estu-dio concluyeron que todos los factores afectan a la media del proceso.

Fuente: El autor

60

Tabla 3.4.4. Herramienta: Análisis de Interacciones


Mejorar

Determinar en qué grado 2 o más factores en un experimento interactúan para ge-nerar un efecto en los resultados.



1. Identificar y enlistar las posibles interacciones. Estas pueden ser de 2º orden (entre 2 factores) o de 3er orden (entre 3), y así sucesivamente. Las interacciones se es-criben simbólicamente con una cruz entre los factores.

Los ingenieros de la empresa Frutic S.A., desean realizar un análisis de interacciones teniendo en cuenta los datos del estudio de experimento factorial. Como la empresa tomó 3 factores, los cuales arrojaron las siguientes 4 interacciones:

A x B, A x C, B x C y A x B x C.

2. Insertar una columna en la tabla del experi-mento para la primera interacción. El conteni-do de la columna será un signo, resultado de la multiplicación de los signos de los factores que la forman. Al mul-tiplicar signos iguales, el resultado es (+) y al multiplicar signos diferentes, es (-).

Se calcula la sumatoria de cada interacción con su respectivo signo y su sumatoria al cuadrado con su signo, dando como resultado:

Prue-ba

Tempera-tura del horno

Tiempo de coc-

ción

Interac-ción Resultados

A B A x B % de consis-tencia

1 - - + 30,5

2 + - - 50,5

3 - + - 5,0

4 + + + 53,7

5 - - + 28,9

6 + - - 72,9

7 - + - 49,7

8 + + + 70,5

∑A x B – 178,1

∑A x B + 183,6

(∑A x B –)2 31719,61

(∑A x B +)2 33708,96

3. Sumar los resultados que coincidan con el (-) y con el (+). Podemos hacerlo en forma de tabla. Con letras negritas, identi-ficamos los resultados obtenidos con (-) y con letra clara, los (+). Esta suma la elevamos al cuadrado.


4. Dividir la suma cua-drada entre la cantidad de datos (- o +). Esto nos da como resultado el promedio bajo y alto de la interacción: PAxB(-) y PAxB(+).

5. Obtener la contri-bución (SC) sim-plemente sumando los promedios bajo y alto, y restando el factor de corrección.

SC P P fcAxB AxB AxB= −( )+ +( )−

Se calcula el promedio bajo y alto, y la sumatoria al cuadrado de cada interacción, dando como resultado:

P

P

AxB -

AxB

( )

+( )

= =

= =

31719 614

7929 903

33708 964

8427 24

,,

,,

SCSC

AxB

AxB

= + −

=

7929 903 8427 24 16353 363 783

, , ,,

6. Repetir los pasos 2 al 6 ahora para cada una de las demás interacciones. Para la interacción AxBxC se sigue la misma regla de signos: iguales dan positivo y diferentes dan negativo.

Prueba

Tempe-ratura

del horno

Con-centra-ción de

agua

Interac-ción Resultados

A C A x C % de consis-tencia

1 - - + 30,5

2 + - - 50,5

3 - - + 5,0

4 + - - 53,7

5 - + - 2,9

6 + + + 72,9

7 - + - 49,7

8 + + + 70,5

∑A x C – 182,8

∑A x C + 178,9

(∑A x C –)2 33415,84

(∑A x C +)2 32005,21

62

Prueba

Tiem-po de

cocción

Con-centra-ción de

agua

Interacción Resultados

B C B x C % de consis-tencia

1 - - + 30,5

2 - - + 50,5

3 + - - 5,0

4 + - - 53,7

5 - + - 28,9

6 - + - 72,9

7 + + + 49,7

8 + + + 70,5

∑B x C – 160,5

∑B x C + 201,2

(∑B x C –)2 25760,25

(∑B x C +)2 40481,44

Prueba

Tem-pera-tura del

horno

Tiem-po de coc-ción

Con-cen-tra-ción de

agua

Interacción Resulta-dos

A B C A x B x C % de con-sistencia

1 - - - - 30,5

2 + - - + 50,5

3 - + - + 5,0

4 + + - - 53,7

5 - - + + 28,9

6 + - + - 72,9

7 - + + - 49,7

8 + + + + 70,5

∑A x B x C – 206,8

∑A x B x C + 154,9

(∑A x B x C–)2 42766,24

(∑A x B x C+)2 23994,01


P

P

AxC -

AxC

( )

+( )

= =

= =

33415 844

8353 96

32005 214

8001 303

,,

,,

P

P

BxC -

BxC

( )

+( )

= =

= =

25760 254

6440 063

40481 444

10120 36

,,

,,

P

P

AxBxC -

AxBxC

( )

+( )

= =

= =

42766 244

10691 56

23994 014

5998 503

,,

,,

SCSC

AxC

AxC

= + −

=

8353 96 8001 303 16353 361 903

, , ,,

SCSC

BxC

BxC

= + −

=

6440 063 10120 36 16353 36207 063

, , ,,

SCSC

AxBxC

AxBxC

= + −

=

10691 56 5998 503 16353 36336 703

, , ,,

7. Determine qué inte-racciones y factores no son significativos, y súmelos. Nos basamos en qué tan grande es la SC respectiva. Esta suma la considera-remos el error para poder hacer la Tabla de Anova. Los grados de libertad del error se obtienen sumando los grados de cada interacción o factor respectivo.

Para calcular el error (E) se lleva a cabo suman-do los valores pequeños de las sumatoria de cuadrados de los factores y de las interacciones, para nuestro caso sumamos:

E = SSB + SCA x B + SCA x C+ SSAB + SSACE = 0,95 + 3,783 + 1,903 + 0,95 + 1,89E = 9,476

64

8. Llenar la Tabla de Anova. Los grados de libertad totales se ob-tienen restando 1 a la cantidad de pruebas. Los de los factores, con el número de ni-veles menos 1. (k – 1).

Se calculan los grados de libertad para los valo-res considerablemente más grandes y se llena la Tabla de Anova con un nivel de significancia del α = 0,05, dando como resultado:

G.L. factor A = 2 – 1 = 1G.L. factor C = 2 – 1 = 1G.L. factor B x C = 2 – 1 = 1G.L. factor A x B x C = 2 – 1 = 1G.L. t = 8 – 1 = 7G.L. e = 7 – 1 – 1 – 1 – 1 = 3

Factor SC G.L. MS F exp F crítica

Resul-tado

A 1113,89 1 2227,78 705,218 10,13Muy

signifi-cante

C 423,33 1 846,66 268,016Muy

signifi-cante

BxC 207,063 1 207,06 65,55Muy

signifi-cante

A x B x C 336,703 1 336,70 106,58

Muy signifi-cante

Error 9,476 3 3,159

Total 3625,79 7

9. Analizar los resultados y determinar los me-jores niveles de ajuste para nuestro proceso. En aquellos factores con alta significancia, busque los promedios altos y bajos para cada factor y defina cuál es la combinación más conveniente. En aquellos factores no significantes, podre-mos trabajar con los niveles que represen-ten menor costo o uso de recursos.

Por último, los ingenieros que realizaron el estudio concluyeron que el factor A (tempera-tura del horno) en su nivel (-) que es 70º, nos da mejores resultados. También se dieron cuenta de que los datos muestran una interacción entre los factores B y C, y que estos trabajan juntos.

Fuente: El autor


3.5 Herramientas para controlar:A continuación se presentan las gráficas de control, como herramientas su-geridas para la fase de control del proyecto Seis Sigma. Se incluyen los pasos por seguir y su aplicación para un tipo específico de gráfico de control.

Tabla 3.5.1. Herramienta: Gráficas de control


Medir Asegurar un buen monitoreo al proceso, de manera que se mantenga bajo control.

Cinturón negro y verdeControlar


1. Una vez que estén tomados los datos de la característica crítica por analizar o del proceso, estos pueden ser aplicados para construir una gráfica de control y de esta forma monitorear el proceso identificando si está o no estadísticamente controlado.

La empresa Frutic S.A., se dedica a la produc-ción de duraznos en frascos. En los últimos meses se han presentado problemas en el pro-ceso de llenado de los frascos ya que estos no cuentan con el peso estándar (275 ml). Para estos se realizó la toma de algunas muestras para encontrar si el peso con el que salen algu-nos frascos es permisible para la empresa. Esta toma de datos se realizó el día 7 de noviembre de 2004, en el turno 2 (2:00 – 10:00 pm.) to-mando 10 muestras cada 2 horas.

2. Determinar el tipo de gráfica por utilizar, dependiendo de si los datos son por atributo (bueno–malo) o variable (medición). Ver tabla de fórmulas de gráficas más co-munes en la que se detallan sus características típicas.

3. Definir dónde, cuándo y cuántos datos tomar, es decir, un plan de muestreo. Podemos basarnos en la herramienta de muestreo o diseñar el plan balanceando lo crítico de la variable con el costo y tiempo de tomar los datos y graficarlos.

4. Identificar y titular la gráfi-ca. Iniciar la toma de datos.

66

5. Obtener los datos del primer subgrupo. Sacar el valor cen-tral y, dependiendo del tipo de gráfica, la variabilidad. En el caso de las gráficas de promedios y rangos: Para el promedio, se suman los datos y se dividen entre la cantidad de los mismos. Para el rango, se resta el mayor menos el menor de los datos.

Muestras 2:00 4:00 6:00 8:001 276 275 278 2752 275 277 275 2753 277 274 277 2764 277 274 275 2745 275 275 276 2776 276 277 275 2787 278 278 274 2758 277 275 278 2769 275 276 278 275

10 276 277 275 276Suma 2762 2758 2761 2757

Promedio 276,2 275,8 276,1 275,7Rango 3 4 4 4

6. Repetir el paso 5 para los siguientes subgrupos, calculando los respectivos valores. Cuando se llegue a 20 subgrupos estaremos en posición de calcular los lími-tes de control del proceso.

7. Calcular los límites de control con base en las fórmulas de acuerdo con el tipo de gráfica y utilizando los valores de las constantes que ya están definidas de acuerdo con el tamaño o cantidad de datos del subgrupo (ver Tabla de fórmulas).

En el caso de la gráfica de promedios, la línea central de la gráfica se dibujará a la al-tura del gran promedio, y los límites de control superior e inferior, sumándole a este un factor (La constante A2 por el gran rango).

En el caso de la gráfica de rangos, la línea central de la gráfica se dibujará a la altura del gran rango, y los límites de control son obtenidos de multiplicar dicho rango por constantes (D3 y D4).

Se calculó el gran promedio, gran rango y los límites de control respectivos como se muestra a continuación:

Concepto Cálculo Resultado

Gran pro-medio (276,2+275,8+276,1+275,7)/4 275,9

Gran rango (3+4+4+4)/4 3,7

Límite sup. X 275,9 + (0,308 * 3,7) 277,105

Límite inf. X 275,9 - (0,308 * 3,7) 274,795

Límite sup. R 1,777 * 3,7 6,663

Límite inf. R 0,223 * 3,7 0,836


8. Con base en los datos, esta-blecer una escala adecuada para que la gráfica sea visible y graficar los puntos. En este caso los puntos serán los promedios y rangos de los subgrupos.

Se realizaron las gráficas de control de promedios (X-bar) y la de rangos (Range) como se muestra a continuación:

X-bar for Col 1

Subgroup

X-b

ar

UCL = 277,11

CTR = 275,95

LCL = 274,79

278

277

276

275

274

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Range Chart for Col 1

Subgroup

Rang

e

UCL = 6,66

CTR = 3,75

LCL = 0,84

8

6

4

2

0

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

9. Interpretar la gráfica. Las siguientes condiciones denotan un proceso fuera de control estadístico:a. Un punto cae fuera de

los límites de control.b. Hay 7 puntos seguidos

en el mismo lado (arriba o abajo).

c. Hay 7 puntos seguidos que suben o bajan.

d. Dos de 3 puntos conse-cutivos en el mismo lado y fuera de la zona de + /- 3 sigma.

e. 4 de 5 puntos consecu-tivos en el mismo lado y fuera de la zona de + /- 3 sigma.

f. Cualquier otro patrón no al azar como ciclos o tendencias. Tomar acción sobre el proceso solamente cuando este fuera del control.

10. Si el proceso permanece bajo control, continuar utili-zando los mismos límites en los siguientes días.

Qué hacer:

• Es importante anotar al reverso de la gráfica los cambios que se realicen en el proceso, los cuales puedan afectarlo.

• Tomar oportunamente acciones cuan-do se detecte una condición fuera de control.

68

Qué no hacer:

• Llevar la gráfica solamente por rutina y no utilizarla para tomar decisiones.

• No entrenar al personal que la debe utilizar e interpretar.

• Realizar ajustes constantemente al pro-ceso si no está fuera de control.

Fuente: El autor


Operatividad de Seis Sigma en Pymes manufactureras

La fi losofía Seis Sigma entra a una organización por medio de la gerencia o la junta directiva; es por eso que el pilar fundamental del proceso de mejora Seis Sigma es la alta dirección; de ellos depende que la organización tenga el privilegio de desarrollar una fi losofía exitosa y de mucho provecho.

Una vez se conozca de la fi losofía y sus benefi cios, es el momento de que toda la organización se entere y se involucre de lleno en su imple-mentación, sin discriminar cargo alguno. Hay que tener pleno convenci-miento de la misma y convencer a los empleados, realizar exposiciones y divulgar información.

4.1. Defi nir el proyecto de mejora Seis SigmaLuego de contar con el 100% de convencimiento, además de la disposi-ción para implementar la fi losofía, se debe pasar a la búsqueda del proyec-to de mejora, identifi cando la o las características críticas para la calidad o procesos que se quieran mejorar.

Se deben revisar las relaciones con los clientes, con los proveedores, con los empleados, y el desempeño de los procesos; todo ello, en busca de falencias o necesidades que permitan identifi car la característica de calidad que está siendo afectada y a partir de ella poder formular el problema. Para esto se puede hacer uso de las herramientas para defi nir, tales como encuestas a los proveedores y clientes, utilizar la tormenta de ideas con los jefes de producción y el personal del departamento de calidad; desarrollar el diagrama de fl ujo del proceso productivo de la empresa para identifi car posibles fallas en el mismo (Ver Capítulo 3, Herramientas para defi nir).

4.2. Seleccionar el equipo de trabajoUna vez conocida la estructura organizacional para proyectos de mejora Seis Sigma adecuada para Pymes, se buscan las personas idóneas para lo-grar esa organización; se deberá capacitar a los empleados en las técnicas

4C A P Í T U LO

70

y herramientas requeridas para el desarrollo del proyecto. Este equipo de trabajo se constituye con mínimo tres personas: un campeón o líder del proyecto, un cinturón negro y un cinturón verde. El campeón o líder es el conocedor y experto en la filosofía Seis Sigma; su función es dirigirla y coordinar su despliegue. El cinturón negro debe poseer los conocimien-tos técnicos y estadísticos para brindar soporte técnico, aplicar y monito-rear la metodología seis sigma. El cinturón verde estará capacitado para realizar la toma de datos que permitan la aplicación de los métodos esta-dísticos y los procedimientos. (Ver estructura organizacional para Pymes, Capítulo 1).

4.3. Analizar la característica de calidad seleccionadaDespués de que los cinturones verdes obtengan la información requerida para medir las características de calidad seleccionadas, los cinturones ne-gros se encargan de medir estadísticamente estas, con las herramientas del ciclo medir, tales como: Diagrama de Pareto, Diagrama causa y efecto (Is-hikawa) e histogramas. Con estas herramientas es posible clasificar las fallas o características críticas a la calidad, preseleccionadas en el ciclo definir, en la más importante de estas. Finalmente, cuando se tenga la característica crítica escogida, se aplica la lista de verificación para comprobar si los pará-metros de la característica crítica de calidad seleccionada o los parámetros que ella conforma están estandarizados dentro del proceso; enseguida se procede a implementar las gráficas de control para observar si la caracte-rística crítica de calidad o el proceso que la abarca está dentro de los límites de especificación. Es necesario desarrollar una herramienta que evalúe la fiabilidad de las mediciones tomadas en esta fase del ciclo. Por esta razón se puede implementar cualquiera de las siguientes herramientas: muestreo, estudio Repetibilidad y Reproducibilidad.

4.4. Determinar el nivel sigma Mida la característica determinando los defectos por unidad, por millón de oportunidades, la oportunidad de incurrir en los defectos y determine el nivel sigma, bien sea utilizando hoja de cálculo o mediante la tabla normal. Tenga en cuenta que los datos que arroja esta herramienta son para tablas normales estándar, y que si cuenta con la hoja de cálculo en el idioma inglés, la función para el respectivo idioma se encuentra en los apéndices (Cuadro de funciones más utilizadas para trabajar con Micro-


soft Excel). También se utiliza la herramienta Rendimiento de un proceso, para determinar el porcentaje de eficiencia del proceso y tomarlo como pauta para mejorarlo (ver herramientas para medir, Capítulo 3).

4.5. Seleccionar el objetivo del proyectoLuego de detectar el nivel sigma con el que cuenta su proceso o producto, propóngase metas a cumplir. Tenga en cuenta que la filosofía Seis Sigma es un proceso de mejora continua y que si bien se pueden obtener resul-tados a corto plazo, es necesario seguir implementándola hasta alcanzar el ideal de empresa Seis Sigma o 3.4 defectos por millón. Por ejemplo, si el nivel sigma que usted ha calculado es de 3.8, propóngase que entre dos y cuatro meses el nuevo nivel sigma estará entre 4 y 4.2. De esta forma, usted obtendrá resultados significativos a corto plazo, lo cual es bueno para que continúe motivado y, por tanto, impulsando a su organización.

4.6. Identificar las causas raíz de la característica crítica de calidadConocido el nivel sigma que ostenta el proceso o producto, además de la característica de calidad seleccionada, mediante las herramientas de la fase analizar, puede determinar cuáles son las causas raíces de esta carac-terística o variación. Lo primero que se debe hacer es medir la capacidad del proceso, mediante la herramienta Habilidad del proceso, debido a que es necesario saber si el proceso productivo de la Pyme posee la capacidad de cumplir con las especificaciones, sin salirse de los límites de tolerancia.

Una vez que se determine si el proceso es capaz de cumplir con las es-pecificaciones, se procederá a avanzar a la siguiente fase del ciclo. Si el pro-ceso no demuestra ser capaz de cumplir con las especificaciones, es necesa-rio utilizar otras herramientas tales como Pruebas de hipótesis y Análisis de Modo y Efecto de Falla –amef–, las cuales determinan las causas profundas de la variación o variabilidad del proceso que hace que este no cumpla con las especificaciones. Dedique en esta fase del ciclo por lo menos dos sema-nas si espera resultados a corto plazo; tres, si espera resultados a mediano plazo, y cuatro, en caso de resultados a largo plazo, ya que de los resultados que se obtienen en esta fase dependerá la optimización de las mejoras.

4.7. Tomar acciones correctivasEn la Fase Mejora del ciclo de dmaic es necesario proponer y llevar a cabo mejoras o correcciones en el proceso o servicio que presta la Pyme; para esto,

72

y teniendo en cuenta la problemática de las Pymes en el Tolima en cuanto al conocimiento de herramientas de control de calidad, las herramientas mos-tradas con anterioridad en la fase Mejora, tales como: Diseño de experimen-tos, Experimento factorial, Tabla Anova y Análisis de Interacciones, no son adecuadas para su implementación en las Pymes manufactureras debido a que son herramientas avanzadas y, de esta forma, complicarían el desarrollo de la filosofía si no se tiene un elevado conocimiento de las mismas. Es por esto que en esta fase se deben proponer mejoras al proceso, bien sea median-te una tormenta de ideas al tener en cuenta la característica crítica analizada, para demostrar que las mejoras no desencadenen efectos secundarios. Final-mente, se monitorea la o las mejoras en la siguiente fase del ciclo.

Realice o lleve a cabo las mejoras. El mejor método para lograrlo es mediante ensayo y error. No se preocupe si tiene que pagar horas extras a sus empleados, ya que debe tener mucho cuidado en esta fase, pues de la calidad de las mejoras que obtenga depende la ganancia económica o ahorros que haya estimado.

4.8. ControlEn esta fase, mediante el uso de herramientas desarrolladas en otras fases del ciclo, tales como gráficas de control, Rendimiento del proceso, Deter-minación del nivel Sigma, como también la regresión lineal, la cual no ha sido utilizada en las anteriores fases del ciclo, se lleva a cabo un seguimiento de las mejoras en la fase anterior. El monitoreo que se desarrolla por medio de las herramientas nombradas nos servirá de guía para proceder con otros proyectos de mejora o robustecer las que se han efectuado. Una vez que se lleve a cabo el monitoreo, no se debe dejar a un lado. Por el contrario, se debe convertir en una herramienta de uso diario como un proceso de me-jora continua. De esta forma se podrá alcanzar algún día el nivel Seis Sigma.

4.9. Formato para mejoras Seis SigmaUn elemento indispensable para llevar a cabo el proceso de mejora Seis Sigma en una Pyme o en cualquier empresa, es mediante la utilización de un formato de mejora adecuado para Seis Sigma, en el cual se llevará el registro de los avances versus las metas; de esta forma se recopilan datos históricos, los cuales servirán de apoyo para alcanzar el nivel ideal de 3.4 defectos por millón de oportunidades o Seis Sigma, siguiendo el proceso de mejora continua.


Caso de aplicación

5.1 Presentación de la empresaEl estudio se realizó en Manufacturas Quality Ltda., una empresa ma-nufacturera del Tolima-Colombia, dedicada a la confección de camisetas para maquila y constituida en el año 2003. La empresa posee un módulo de producción de camisetas T-shirt en todas las tallas, con una capacidad de producción de 150 unidades/hora en la presentación básica (tallas s-m-l-xl). Actualmente cuenta con 17 empleados, distribuidos de la siguiente forma: un Gerente Comercial, un Gerente de Producción, un Contador, un Asesor Comercial, un Supervisor de Calidad, un Operario en corte, diez operarios en confección y un Jefe de Mantenimiento. El respectivo organigrama se presenta de la siguiente manera:

Figura 5.1. Estructura Organizacional de Manufacturas Quality Ltda.

Fuente: Los Autores

Junta de Socios

Gerente Comercial

Gerente de Producción

Asesor Comercial

D. Producción

Contador

Supervisor Confección Corte Jefe de Mantenimiento

5C A P Í T U LO

74

Actualmente la empresa cuenta con la siguiente tecnología instalada en su módulo de producción: tres fileteadoras cama plana de tres hilos; una fileteadora de codo de tres hilos; una fileteadora cama plana con re-marcador; tres recubridoras cama cilíndricas; una cerradora de codo y una máquina de corte. En lo referente a la parte comercial, el principal cliente desde la creación de la empresa ha sido Fandextol, pero actual-mente la empresa está ampliando sus posibilidades comerciales mediante la confección de camisetas para su comercialización directa, dándole fle-xibilidad al proceso productivo. Se pretende, además, adquirir una má-quina para el estampado y de esta forma sacar la propia marca.

5.1.1. MisiónSer una empresa dentro del sector de las confecciones destacada por sus altos índices de calidad y eficiencia; con políticas claras de diseño, pro-ducción y comercialización dentro y fuera del país, y con un ambiente organizacional óptimo para nuestros colaboradores de acuerdo a las nor-mas y exigencias legales.

5.1.2. VisiónPosicionarnos en el mercado nacional e internacional, con una marca propia en total independencia, llegando con nuevos conceptos en diseño y parametrizando nuestros procesos en función de la excelencia brindada a nuestros clientes, con reconocida tecnología ambiental y de calidad, con recurso humano calificado.

5.2. Proceso de aplicación de la metodología Seis Sigma5.2.1. Selección de los miembros del equipo de mejoraLa aplicación de la filosofía Seis Sigma adaptada a las Pymes manufac-tureras del Tolima se empieza a desarrollar la última semana del mes de noviembre. En esta semana se organizan reuniones para que el grupo del proyecto explique todo lo relacionado con la filosofía Seis Sigma al Ge-rente Comercial y al Gerente de Producción, los cuales son a la vez la Junta Directiva. Además se presenta la Guía1, y se deja una copia para la

1. Esta guía ha sido diseñada por el grupo de investigación de la Universidad de Ibagué, como un documento didáctico para la aplicación de la metodología Seis Sigma en las Pymes manufactureras del Tolima-Colombia.


empresa. Dentro de la misma semana se reúne a todo el personal para ex-plicarle la fi losofía y qué se va a hacer dentro de la empresa. Para la prime-ra semana del mes de diciembre se empieza a buscar el personal idóneo para la conformación de los miembros del equipo de mejora Seis Sigma.

La reducida dimensión de la empresa condiciona la creación del equipo Seis Sigma. Se analiza el perfi l de los directivos y de los demás em-pleados para poder conformar una estructura adecuada que la desarrolle de una manera efectiva. Después de hablar con los directivos, se llega a la conclusión de que el Gerente Comercial desempeñe la función de Cam-peón y el Gerente de Producción, la función de Cinturón Negro, dada su experiencia previa en los temas de calidad y su profundo conocimiento del proceso. Para el papel de Cinturón Verde se selecciona al Supervisor de Producción.

Figura 5.2. Estructura del equipo de implementación para Seis Sigma en Manufacturas Quality Ltda.

Campeón

Maestro cinturón negro

Cinturón negro

Cinturón verde

Fuente: El autor

La falta de un ingeniero o tecnólogo en el área de producción acon-seja que se incorporen al equipo Seis Sigma los autores del trabajo de investigación. Así, se designa el Maestro Cinturón Negro, con la misión de capacitar al Cinturón Negro (Gerente de Producción) en las herra-mientas estadísticas y no estadísticas para la mejora Seis Sigma; también

76

se nombra un miembro del Grupo de Investigación de la Universidad de Ibagué, para que ayude y capacite al Supervisor de Producción (que actúa como Cinturón Verde), en la toma oportuna de los datos provenientes del proceso. El equipo Seis Sigma queda integrado de la siguiente manera:

Campeón: Gerente Comercial.Maestro Cinturón Negro.Cinturón Negro: Gerente de Producción.Cinturón Verde: Supervisor.

5.2.2 Selección del proyecto de mejoraA partir de la tercera semana, se inicia el proceso de reconocimiento de la organización, para conocer su actividad económica, clientes, productos, políticas, etc. En esta misma semana y en reuniones posteriores, se indaga por los posibles problemas que afectan la calidad del producto o proceso (características críticas de calidad) en la empresa. Para llevar a cabo este proceso, se utilizan las herramientas de la Fase Definir del ciclo de mejora Seis Sigma dmaic.

Como primera herramienta se utiliza la Tormenta de Ideas. Todo el equipo de mejora presenta sus opiniones acerca de los problemas por los que pasa la empresa, los cuales conllevan a la identificación de las carac-terísticas críticas de calidad por tratar durante el proceso de mejora Seis Sigma. Esta reunión evidencia la necesidad de desarrollar el diagrama de flujo del proceso de fabricación de camisetas T-shirt básica, para la co-rrecta identificación de estos problemas (ver Figura 5.3). De la Tormenta de Ideas surgen las siguientes características críticas de calidad:

• La cantidad de errores en la fabricación de camisetas T-shirt básica.• Incumplimiento en las fechas de entrega.• Falta de rigurosas inspecciones de la materia prima en la entrada del

proceso de fabricación de camisetas T-shirt básica.• Como aspectos aislados de menor relevancia se identifican los cortes

de energía y la insuficiencia de materias primas e insumos.

Continuando con el desarrollo de la metodología Seis Sigma adapta-da a las Pymes manufactureras del Tolima, el siguiente paso es la medi-ción de los datos.


Figura 5.3. Diagrama de Flujo del proceso de fabricación de camisetas T-Shirt básica.

Inicio

Inspección de materia

prima

Cierre de hombros

Pegar cuello

Recubrimiento de cuello

Sobrecinta

Pegar manga

Dobladillar falda

Revisión

Empaque

Fin

Dobladillar manga

Remate de manga

Fuente: El autor

5.2.3. Medición de datosSe desarrolla un análisis de Pareto para determinar cuál de las caracte-rísticas anteriormente mencionadas y presentadas en la selección del Proyecto de Mejora tiene mayor importancia y corresponde a la caracte-rística crítica de calidad escogida para la mejora. En el análisis de Pare-to se presentan las características críticas de calidades procedentes de la Tormenta de Ideas y mostradas en la selección del Proyecto de Mejora, y

78

se determina una frecuencia o peso para cada una de estas. La primera característica tiene un mayor peso debido a que arroja una frecuencia de presentación del 55%, seguida por la tercera característica con el 22%, posteriormente la segunda característica con una frecuencia del 15% y por último el grupo de otras características, con una frecuencia del 8%, como se presenta a continuación:

Tabla 5.1. Datos ordenados para el Análisis de Pareto

Clave Problema Frecuencia (%) % Acumulado

ALa cantidad de errores en la fabricación de camisetas T-Shirt básica.

55% 55%

B

Falta de rigurosas ins-pecciones de la materia prima en la entrada de los procesos.

22% 77%

C Incumplimiento en las fechas de entrega. 15% 92%

D Otros. 8% 100%Total 100%

Fuente: El autor

Con base en los resultados anteriores se obtienen los siguientes grá-ficos:

Figura 5.4. Gráfico de Pareto

Fuente: El autor

Pareto Chart100

55,00

77,0080

60

40

20

92,00

0

FREQ

UEN

CY

100,00


Figura 5.5. Gráfico de Pareto con porcentaje acumulado

Fuente: El autor

Este análisis de Pareto nos permite conocer la característica crítica de calidad más relevante, por su mayor frecuencia: La cantidad de errores en el proceso de fabricación de camisetas T-shirt básica. Esta característica es de notable importancia para Quality, debido a que Fandextol (su mayor cliente), presenta quejas acerca del número de defectos en la fabricación de camisetas maquiladas por esta Pyme, lo cual se traduce en el continuo rechazo de los lotes de producción.

Debido a esto, se procede a indagar en Fandextol, en busca de los criterios que ellos manejan para rechazar o aceptar los lotes que produ-ce Quality. Se determina que ellos siguen un muestreo según la Norma Militar estándar con inspección normal a un nivel de calidad del 2.5%. De acuerdo con esto, se toman muestras de 80 unidades de cada lote que produce Quality (600 unidades). Si se presentan 6 o más errores (camise-tas con defectos), todo el lote es rechazado mientras que si se presentan 5 o menos errores, el lote es aceptado. Con esta información se procede a hacer un seguimiento a los lotes que salen durante las siguientes dos semanas de Manufacturas Quality y se presentan los siguientes resultados:

Tabla 5.2. Muestras de 10 lotes actuales

Lotes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MediaErrores 5 4 5 5 5 6 6 6 5 6 5,3

Fuente: El autor

C

Pareto Chart

FREQ

UEN

CY

A B D

55,00

77,00

92,00

100,00100

80

60

20

40

0

80

A partir de los anteriores datos se puede notar que el promedio de errores es de 5.3 y que de esos 10 lotes, son rechazados 4, es decir el 40%. Para analizar qué significan para el proceso los datos mencionados con anterioridad, se procede a desarrollar la herramienta de la Fase Medir del ciclo dmaic, empezando con el cálculo de los niveles Sigma. La unidad de medida escogida para la implementación de Seis Sigma en Manufacturas Quality es la Camiseta T-Shirt, debido a que la característica crítica de ca-lidad (la cantidad de errores en la fabricación de camisetas T-shirt básica) es el factor determinante para que un lote sea o no rechazado.

Cálculo del Nivel Sigma:

DPUDefectosMuestra

Lotes chazadosLotes Muestra

= =−

=Re

DPU 5 380

0 06625.

.

La Tabla 5.3 muestra los errores que pueden afectar cada camiseta, y que deben tenerse en cuenta para el cálculo del dpo.

Tabla 5.3. Oportunidad total de defectos en la confección un lote

Proceso Oportunidad de errorCierre de Hombros 1

Pegar cuello 1Recubierto de cuello 1

Sobrecinta 1Pegar manga 1

Dobladillar manga 1Remate de manga 1Dobladillar falda 1

Total 8

Fuente: El autor

DPODPU

Oportunidades

#Prob. de rechazo

Oportunidad de defecctos


DPO 0 06625

80 00828125

.. (Probabilidad de cometer defectos)

El cálculo del DPMO significa solamente un cambio de escala:

DPMO = (DPO x 1.000.000) Defectos por millón de oportunidades.

DPMO = 8.281,5 Defectos por millón de oportunidades

Conociendo los dpmo, se procede a calcular el nivel Sigma que mane-ja la empresa. Para ello se toman los dpmo y se busca en la Tabla Normal ajustada para Seis Sigma del apéndice V, el valor correspondiente a este dato. Este nivel es de 3.89, lo cual hace referencia a una probabilidad de error real del 0.83%. Una vez elaborada la tabla de frecuencias de las clases, se procede a graficar el histograma, el cual se muestra a continuación:

Figura 5.6. Histograma de los datos actuales

Fuente: El autor

Continuando con la fase Medir del ciclo de mejora Seis Sigma, se lle-va a cabo la determinación del rendimiento del proceso, como se muestra a continuación:

Rendimiento del proceso:

RENDIMIENTOSALE

ENTRA

Lotes aceptados Total lotes

Histograma

Frec

uenc

ia 456

Media= 5.3

23

10

4 5 6

82

RENDIMIENTO 6

100 60 60. %

La ecuación muestra que al proceso entra materia prima para 10 lo-tes, y en realidad se aceptan 6 lotes; por tanto, el proceso de fabricación de camisetas T-Shirt básica ostenta un 60% de efectividad.

Análisis de datos: Debe realizarse también el cálculo de la capacidad del proceso, al menos de su capacidad potencial global. Tal como es de esperar con una efectividad tan baja, el proceso tiene un Cp no aceptable:

1 DPOCp = - ϕ4 --- = 0.88 3 2

Así, el proceso no es capaz, ya que el valor de su capacidad es inferior a uno y tiene un valor de 0.88. No cumple las especificaciones, como se aprecia en el hecho de que, en cuatro oportunidades de diez, los lotes están por fuera de las especificaciones. Como el proceso presenta mucha variación, se procede a determinar las causas raíz de la característica críti-ca de calidad escogida (Cantidad de errores en la fabricación de camisetas T-shirt básica), mediante una tormenta de ideas, y se determinan las si-guientes causas que posteriormente son graficadas, mediante el Diagrama de Ishikawa (ver Figura 5.7.).

Mano de obraEn cuanto a la mano de obra, la empresa presenta un alto grado de

ausentismo laboral (10 operarios ausentes por semana), lo cual es causa-do por:

• La poca motivación de los operarios por el trabajo o por brindar un buen rendimiento en la ejecución del mismo.

• Falta de sentido de pertenencia por la empresa.• Lejanía de la empresa, ya que está ubicada en las afueras de Iba-

gué, en el sur de esta ciudad, en el sector de Boquerón, y todos los operarios viven al extremo norte de esta ciudad.

• Insatisfacción por el salario devengado, se presenta una queja por parte de los operarios por cobrar el salario mínimo.

• Costumbres adquiridas en otras empresas. Son quejas que se presentan en especial con respecto al transporte, ya que la mayo-


ría (80%) de los operarios proviene de otras empresas en las que se cuenta con un servicio de transporte por parte de la empresa para transportar empleados hacia esta.

Tiempo ocioso en exceso, el cual se presenta por:• La falta de control de los operarios durante el proceso de fabrica-

ción, ya que no hay una persona en producción que tome datos y de esta forma motive a que se reduzca la distracción de estos operarios en horas laborales.

• Ausentismo laboral.• Polivalencia de operarios, al presentarse faltantes de operarios

y para poder continuar con las labores de producción, ciertos operarios trabajan en otra operación para suplir la ausencia del compañero faltante y poder cumplir con la suya; de esta forma transcurre mucho tiempo entre operaciones.

MediciónNo se presenta ningún tipo de toma de datos en el proceso producti-

vo, esto es motivado por los siguientes aspectos:• Falta de un Jefe de Producción, con conocimientos en toma de

tiempos y herramientas para la mejora de la calidad.• Desinterés por parte de los gerentes por el comportamiento del

área de producción.• Desconocimiento por parte de los gerentes acerca de las herra-

mientas para la mejora de la calidad.

Métodos• Alto grado de exigencia por parte de los gerentes hacia los ope-

rarios, en cuanto al cumplimiento de los pedidos, pero no hay preocupación por el rendimiento unitario de los operarios.

• Poca comunicación entre gerencias y el Departamento de Pro-ducción.

• Despreocupación por parte de los gerentes hacia los operarios.

84

Figura 5.7. Diagrama de Ishikawa

Fuente: El autor

5.2.4. Proceso de mejoraAl tener identifi cadas las causas raíz de la característica crítica de calidad, se decide atacarlas una a una, de la siguiente manera:

• Se ofrecen charlas continuas con el personal de planta, para lo-grar un mayor sentido de pertenencia por la empresa y disminuir el ausentismo laboral.

• Mediante reuniones con los operarios, la Gerencia les hace caer en cuenta de que la empresa no puede pagarles más del salario mínimo mensual legal vigente, pero se compromete a conside-rar la opción de otorgar incentivos por rendimiento en el área de producción; estos incentivos no fueron tenidos en cuenta du-rante el proceso de validación, puesto que la Gerencia consideró aplicarlos a partir de junio de 2005.

• En reuniones posteriores, la Gerencia informa a los operarios que el problema de la lejanía de la empresa prontamente se so-lucionará, puesto que se trasladarán en el mes de mayo de 2005.

• Se toman datos estadísticos del proceso para tener datos históri-cos del comportamiento del mismo, y de esta forma poder mo-nitorearlos.

La cantidad de errores en la fabricación de camisetas T-Shirt

básicas

Falta de comunicación entre

gerencia y producción

Despreocupación por los empleados

Exigencia

Desconocimiento de las herramientas para el

mejoramiento de la calidad

Desinterés por el comportamiento del

proceso

Falta de un jefe de producción o

analista

No pertenencia por la empresa

Costumbres adquiridas en otras empresas

No motivación

Lejanía de la empresa

Insatisfacción por salario

No hay control de los operarios

Ausentismo laboral

Polivalencia de operarios

Métodos

Materiaprima

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Medición

MedioMano de obra

Ausentismo laboral

Tiempoocioso

Máquinas


• Se incrementa el control de los operarios para que no se presente distracción y tiempo ocioso durante las horas laborales.

• Se buscan operarios idóneos que realizarán correctamente las operaciones, en el caso de volverse a presentar ausentismo, y de este modo no retrasar el proceso de fabricación.

5.3 ResultadosLos resultados que se obtienen mediante la aplicación de la guía didáctica de la filosofía Seis Sigma en Manufacturas Quality, se presentan a conti-nuación:

• Se reduce en un 50% el rechazo de lotes de camisetas T-shirt bá-sica, al pasar de cuatro lotes rechazados a dos. Los datos mejora-dos de los lotes se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 5.4. Muestras de diez lotes mejorados

Lotes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PromedioErrores 6 6 5 5 5 5 5 5 4 4 5

Fuente: El autor

Figura 5.8. Gráfico errores por lote

Fuente: El autor

• Se observa además que hay una tendencia sostenida de mejora y reducción del número de errores en los lotes. De todos modos, la mejora real experimentada no es tan representativa, pues el promedio de defectos solo se reduce de 5,3 a 5 defectos por lote.

Datos mejorados

Lotes

Can

tidad

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

76 5 43 2 1 0

DatosLSLCLI

86

En este caso es la tendencia de mejora lo que hace ser más opti-mistas sobre el resultado a largo plazo.

• Se reduce en un 80% el ausentismo laboral, pasando de 10 em-pleados faltantes por semana a tan solo 2.

• Se logra un aumento del 10.19% del nivel Sigma, al reducirse el promedio de defectos, pasando de 5,3 a 5. El cálculo del nivel Sigma después de la mejora se presenta a continuación:

DPUDefectosMuestra

Lotes chazadosLotes Muestra

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0 066625

DPODPU

Oportunidades

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..

DPMO = 0.0078125 x 1.000.000 = 7812.5 Defectos por millón de opertunidades

• Se determina que el nivel Sigma que maneja la empresa después de las mejoras, verificando en la Tabla Normal ajustada para Seis Sigma el valor de los dpmo, es de 3.918, con una probabilidad de error real del 0.781%. Respecto al valor inicial de sigma 3.89, se aprecia una pequeña mejora.

• Se logra un aumento de la capacidad del proceso a 0.89. El resul-tado que se obtiene con esta mejora consiste en que la capacidad del proceso aumenta de 0,88 a 0,89, lo cual significa que el proce-so sigue siendo no capaz, pero con una leve mejora.

• Aunque la mejora de calidad real no es muy importante en el promedio de los diez últimos lotes, el hecho de estar con una ca-lidad límite respecto a lo que es el criterio de aceptación definido por el cliente, hace que su impacto en la aceptación de lotes sea muy importante, pasándose de 4 a 2 lotes rechazados.

• Se aumenta el rendimiento del proceso pasando del 60% al 80%, el nuevo cálculo del rendimiento del proceso según los lotes de producción se muestra a continuación:


RENDIMIENTOSALE

ENTRA

Lotes aceptados Total lotes

RENDIMIENTO 8

100 80 80. %

5.4. RecomendacionesDespués de desarrollar y validar la guía de la filosofía Seis Sigma en Ma-nufacturas Quality Ltda., es necesario formular las siguientes recomen-daciones:

• Continuar con los procedimientos para el control del proceso y de esta forma seguir con el monitoreo de las mejoras.

• Adoptar la filosofía Seis Sigma como una herramienta de uso continuo, mediante el uso de la guía como un proceso de mejora permanente.

• Se recomienda contratar un analista o un ingeniero industrial para el cargo de Jefe de Producción, que conozca las herramien-tas de mejoramiento de la calidad, y las ponga en práctica en el proceso. Como complemento, o incluso tal vez como alternativa, se recomienda mejorar el nivel de formación de los directivos del área de producción en esas materias.

• Se sugiere continuar las charlas de motivación con los emplea-dos, para evitar que se presente ausentismo laboral, y de esta for-ma seguir con su control. Esas charlas deben de ser acompañadas de acciones efectivas que muestren el compromiso de la empresa con su personal.

• Realizar un estudio económico entre el costo de la implementa-ción de la filosofía y el mejoramiento en términos económicos, con su aplicación.

• Se propone la compra de un computador para el área de pro-ducción, en el que se lleve el registro del control estadístico del proceso, y los cambios que en este se lleven a cabo.

5.5. Conclusiones• Se logró conformar una guía de la filosofía Seis Sigma adecuada a

las Pymes manufactureras del Tolima, con herramientas estadís-ticas y técnicas para el mejoramiento de la calidad, que están al

88

alcance de estas organizaciones, sin salirse de los pilares o linea-mientos esenciales de la filosofía.

• Es posible adaptar técnicas estadísticas y no estadísticas para el mejoramiento de la calidad a las Pymes manufactureras del To-lima.

• Es cierto que con la filosofía Seis Sigma, también en las Pymes, se obtienen mejoras, y no es irreal pensar que en un momento dado se alcancen los 3,4 defectos por millón de oportunidades o meta Seis Sigma. Tampoco es fácil que ello se logre en empresas de bajo nivel tecnológico y con los problemas sociolaborales que con frecuencia presentan.

• Siguiendo paso a paso los lineamientos de la guía metodológica de la filosofía Seis Sigma, se aplicó a una Pyme manufacturera del Tolima. Se obtuvieron resultados favorables para esta.

• Existe en los empleados de la Pyme Quality un gran desinterés, desmotivación y apatía hacia el trabajo, debido a la falta de in-centivos o alicientes que les animen a trabajar para proyectar la empresa hacia un futuro promisorio. Esta situación se aprecia en el ausentismo laboral y es una de las causas últimas del nivel de rechazo de los lotes.

• Es necesario iniciar un proceso de sensibilización y diálogo con los operarios y directivos de Quality sobre las necesidades, aspi-raciones e intereses, para que ellos mismos sean los gestores de sus propias soluciones.

• Los problemas de no calidad en cuanto a productos y procesos en las Pymes manufactureras del Tolima, hacen muy necesaria la implementación de herramientas para el mejoramiento y control de la calidad como la filosofía Seis Sigma.


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difíc

il es

det

ecta

rlo. A

est

os se

les a

signa

un

val

or e

n es

cala

de

1 al

5 o

al 1

0.

Dise

ño d

e ex

perim

ento

s

Sum

a de

cua

drad

os to

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s.∑

+=

n i

2 n2 i

2x

xx

Los d

atos

se a

rreg

lan

en e

ste

caso

por

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mna

s y

reng

lone

s (bl

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divi

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la

cant

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de

dato

s.

Sum

a de

cua

drad

os co

lum

nas.

SCA n

fA

ic

in

=(

)−

∑2

Elev

amos

al c

uadr

ado

el to

tal d

e ca

da co

lum

na.

Los d

ivid

imos

ent

re la

can

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de

dato

s en

la

colu

mna

. Al fi

nal l

e re

stam

os a

todo

el fa

ctor

de

corr

ecci

ón. A

lgo

simila

r se

hace

tam

bién

par

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s fil

as d

el a

rreg

lo.

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nzas

de

fact

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A y

P.G

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SC G.L

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A AP

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cua

drad

os d

el fa

ctor

ent

re

los g

rado

s de

liber

tad.

Est

os se

saca

n re

stan

do 1

de

la c

antid

ad d

e da

tos.


Apéndice II. Tabla de constantes para gráficas de control

n A2 D3 D4 d2 B3 B4

2 1,88 0 3,268 1,128 0 3,267

3 1,023 0 2,574 1,693 0 2,568

4 0,729 0 2,282 2,059 0 2,266

5 0,577 0 2,114 2,326 0 2,089

10 0,308 0,223 1,777 3,078 0,284 1,716

98

Apéndice III. Funciones más utilizadas para trabajar en Microsoft Excel

• Observación: Para trabajar en Microsoft Excel se requiere que al principio de cada fórmula se escriba el signo de igual (=).

Concepto Funciones en español Funciones en inglés Argumento

Media o promedio PROMEDIO() AVERAGE() Datos o su Rango

Rango MAX() – MIN() MAX() – MIN() Datos o su Rango

Desviación estándar de la muestra DESVEST() STDEV() Datos de la

Muestra

Desviación estándar de la población DESVESTP() STDEVP() Datos de la

Población

Varianza VAR() VAR() Datos de la Muestra

Distribución normal estándar acumulativa

DISTR.NORM.ESTAND() NORMSDIST() Valor de Z

Inverso de la distribución normal

estándar

DISTR.NORM.ESTAND.INV() NORMSINV() Probabilidad entre

0 y 1

Valor de Z para distribución normal NORMALIZACIÓN() STANDARDIZE()

Valor, Promedio y Desviación

estándar

Distribución t de student DISTR.T(x,G.L.,Colas) TDIST() Valor, Grados de

libertad, Colas

Inverso de la distribución t de student DISTR.T.INV() TINV() Probabilidad,

Grados de libertad

Distribución F DISTR.F.() FDIST() Valor, Grados de libertad 1 y 2

Concepto Funciones en español Funciones en inglés Argumento

Inverso de la distribución F DISTR.F.INV() FINV()

Probabilidad, Grados de libertad

1 y 2

Distribución x cuadrada o Chi cuadrada DISTR.CHI() CHIDIST() Valor, Grados de

libertad

Inverso de la distribución Chi

cuadradaDISTR.CHI.INV() CHIINV() Probabilidad,

Grados de libertad


Apé

ndic

e IV

. Tab

la N

orm

al E

stán

dar

Z0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

00,

50,

4960

1064

0,49

2021

690,

4880

3353

0,48

4046

560,

4800

6119

0,47

6077

820,

4720

9683

0,46

8118

630,

4641

4361

0,1

0,46

0172

163

0,45

6204

690,

4522

4157

0,44

8283

210,

4443

30,

4403

8231

0,43

6440

540,

4325

0507

0,42

8576

280,

4246

5457

0,2

0,42

0740

291

0,41

6833

840,

4129

3558

0,40

9045

880,

4051

6513

0,40

1293

670,

3974

3189

0,39

3580

130,

3897

3875

0,38

5908

120,

30,

3820

8857

80,

3782

8048

0,37

4484

170,

3706

9998

0,36

6928

260,

3631

6935

0,35

9423

570,

3556

9125

0,35

1972

710,

3482

6827

0,4

0,34

4578

258

0,34

0902

970,

3372

4273

0,33

3597

820,

3299

6855

0,32

6355

220,

3227

5811

0,31

9177

510,

3156

137

0,31

2066

950,

50,

3085

3753

90,

3050

2573

0,30

1531

790,

2980

5597

0,29

4598

520,

2911

5969

0,28

7739

720,

2843

3885

0,28

0957

310,

2775

9532

0,6

0,27

4253

118

0,27

0930

90,

2676

2889

0,26

4347

290,

2610

863

0,25

7846

110,

2546

2691

0,25

1428

90,

2482

5223

0,24

5097

090,

70,

2419

6365

20,

2388

5207

0,23

5762

50,

2326

9509

0,22

965

0,22

6627

350,

2236

2729

0,22

0649

950,

2176

9544

0,21

4763

880,

80,

2118

5539

90,

2089

7009

0,20

6108

050,

2032

6939

0,20

0454

190,

1976

6254

0,19

4894

520,

1921

502

0,18

9429

650,

1867

3294

0,9

0,18

4060

125

0,18

1411

250,

1787

8638

0,17

6185

540,

1736

0878

0,17

1056

130,

1685

2761

0,16

6023

250,

1635

4306

0,16

1087

061

0,15

8655

254

0,15

6247

650,

1538

6423

0,15

1505

0,14

9169

950,

1468

5906

0,14

4572

30,

1423

0965

0,14

0071

090,

1378

5657

1,1

0,13

5666

061

0,13

3499

510,

1313

5688

0,12

9238

110,

1271

4315

0,12

5071

940,

1230

244

0,12

1000

480,

1190

0011

0,11

7023

21,

20,

1150

6967

0,11

3139

450,

1112

3244

0,10

9348

550,

1074

877

0,10

5649

770,

1038

3468

0,10

2042

320,

1002

7257

0,09

8525

331,

30,

0968

0048

50,

0950

9792

0,09

3417

510,

0917

5914

0,09

0122

670,

0885

0799

0,08

6914

960,

0853

4345

0,08

3793

320,

0822

6444

1,4

0,08

0756

659

0,07

9269

840,

0778

0384

0,07

6358

510,

0749

337

0,07

3529

260,

0721

4504

0,07

0780

880,

0694

3662

0,06

8112

121,

50,

0668

0720

10,

0655

2171

0,06

4255

490,

0630

0836

0,06

1780

180,

0605

7076

0,05

9379

940,

0582

0756

0,05

7053

430,

0559

174

1,6

0,05

4799

292

0,05

3698

930,

0526

1614

0,05

1550

750,

0505

0258

0,04

9471

470,

0484

5723

0,04

7459

680,

0464

7866

0,04

5513

981,

70,

0445

6546

30,

0436

3294

0,04

2716

220,

0418

1514

0,04

0929

510,

0400

5916

0,03

9203

90,

0383

6357

0,03

7537

980,

0367

2696

1,8

0,03

5930

319

0,03

5147

890,

0343

795

0,03

3624

970,

0328

8412

0,03

2156

770,

0314

4276

0,03

0741

910,

0300

5404

0,02

9378

981,

90,

0287

1656

0,02

8066

610,

0274

2895

0,02

6803

420,

0261

8984

0,02

5588

060,

0249

979

0,02

4419

190,

0238

5176

0,02

3295

472

0,02

2750

132

0,02

2215

590,

0216

9169

0,02

1178

270,

0206

7516

0,02

0182

220,

0196

9927

0,01

9226

170,

0187

6277

0,01

8308

92,

10,

0178

6442

10,

0174

2918

0,01

7003

020,

0165

8581

0,01

6177

380,

0157

7761

0,01

5386

330,

0150

0342

0,01

4628

730,

0142

6212

2,2

0,01

3903

448

0,01

3552

580,

0132

0938

0,01

2873

720,

0125

4546

0,01

2224

470,

0119

1063

0,01

1603

790,

0113

0384

0,01

1010

662,

30,

0107

2411

0,01

0444

080,

0101

7044

0,00

9903

080,

0096

4187

0,00

9386

710,

0091

3747

0,00

8894

040,

0086

5632

0,00

8424

19

100

Z0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

2,4

0,00

8197

536

0,00

7976

260,

0077

6025

0,00

7549

410,

0073

4363

0,00

7142

810,

0069

4685

0,00

6755

650,

0065

6912

0,00

6387

152,

50,

0062

0966

50,

0060

3656

0,00

5867

740,

0057

0313

0,00

5542

620,

0053

8615

0,00

5233

610,

0050

8493

0,00

4940

020,

0047

988

2,6

0,00

4661

188

0,00

4527

110,

0043

9649

0,00

4269

240,

0041

453

0,00

4024

590,

0039

0703

0,00

3792

560,

0036

8111

0,00

3572

62,

70,

0034

6697

40,

0033

6416

0,00

3264

10,

0031

6672

0,00

3071

960,

0029

7976

0,00

2890

070,

0028

0281

0,00

2717

940,

0026

354

2,8

0,00

2555

130,

0024

7707

0,00

2401

180,

0023

274

0,00

2255

680,

0021

8596

0,00

2118

210,

0020

5236

0,00

1988

380,

0019

2621

2,9

0,00

1865

813

0,00

1807

140,

0017

5016

0,00

1694

810,

0016

4106

0,00

1588

870,

0015

382

0,00

1489

0,00

1441

240,

0013

9489

30,

0013

4989

80,

0013

0624

0,00

1263

870,

0012

2277

0,00

1182

890,

0011

4421

0,00

1106

680,

0010

7029

0,00

1035

0,00

1000

783,

10,

0009

6760

30,

0009

3544

0,00

0904

260,

0008

7403

0,00

0844

740,

0008

1635

0,00

0788

850,

0007

6219

0,00

0736

380,

0007

1136

3,2

0,00

0687

138

0,00

0663

670,

0006

4095

0,00

0618

950,

0005

9765

0,00

0577

030,

0005

5706

0,00

0537

740,

0005

1904

0,00

0500

943,

30,

0004

8342

40,

0004

6648

0,00

0450

090,

0004

3423

0,00

0418

890,

0004

0406

0,00

0389

710,

0003

7584

0,00

0362

430,

0003

4946

3,4

0,00

0336

929

0,00

0324

810,

0003

1311

0,00

0301

790,

0002

9086

0,00

0280

290,

0002

7009

0,00

0260

230,

0002

5071

0,00

0241

513,

50,

0002

3262

90,

0002

2405

0,00

0215

770,

0002

0778

0,00

0200

060,

0001

9262

0,00

0185

430,

0001

7849

0,00

0171

80,

0001

6534

3,6

0,00

0159

109

0,00

0153

10,

0001

473

0,00

0141

710,

0001

3632

0,00

0131

120,

0001

2611

0,00

0121

280,

0001

1662

0,00

0112

133,

70,

0001

078

0,00

0103

639,

9611

E-05

9,57

4E-0

59,

201E

-05

8,84

17E-

058,

4957

E-05

8,16

24E-

057,

8414

E-05

7,53

24E-

053,

87,

2348

E-05

6,94

83E-

056,

6726

E-05

6,40

72E-

056,

1517

E-05

5,90

59E-

055,

6694

E-05

5,44

18E-

055,

2228

E-05

5,01

22E-

053,

94,

8096

3E-0

54,

6148

E-05

4,42

74E-

054,

2473

E-05

4,07

41E-

053,

9076

E-05

3,74

75E-

053,

5936

E-05

3,44

58E-

053,

3037

E-05

43,

1671

2E-0

53,

0359

E-05

2,90

99E-

052,

7888

E-05

2,67

26E-

052,

5609

E-05

2,45

36E-

052,

3507

E-05

2,25

18E-

052,

1569

E-05

4,1

2,06

575E

-05

1,97

83E-

051,

8944

E-05

1,81

38E-

051,

7365

E-05

1,66

24E-

051,

5912

E-05

1,52

3E-0

51,

4575

E-05

1,39

48E-

054,

21,

3345

7E-0

51,

2769

E-05

1,22

15E-

051,

1685

E-05

1,11

76E-

051,

0689

E-05

1,02

21E-

059,

7736

E-06

9,34

47E-

068,

9337

E-06

4,3

8,53

991E

-06

8,16

27E-

067,

8015

E-06

7,45

55E-

067,

1241

E-06

6,80

69E-

066,

5031

E-06

6,21

23E-

065,

934E

-06

5,66

75E-

064,

45,

4125

4E-0

65,

1685

E-06

4,93

5E-0

64,

7117

E-06

4,49

79E-

064,

2935

E-06

4,09

8E-0

63,

911E

-06

3,73

22E-

063,

5612

E-06

4,5

3,39

767E

-06

3,24

14E-

063,

092E

-06

2,94

92E-

062,

8127

E-06

2,68

23E-

062,

5577

E-06

2,43

86E-

062,

3249

E-06

2,21

62E-

064,

62,

1124

5E-0

62,

0133

E-06

1,91

87E-

061,

8283

E-06

1,74

2E-0

61,

6597

E-06

1,58

1E-0

61,

506E

-06

1,43

44E-

061,

366E

-06

4,7

1,30

081E

-06

1,23

86E-

061,

1792

E-06

1,12

26E-

061,

0686

E-06

1,01

71E-

069,

6796

E-07

9,21

13E-

078,

7648

E-07

8,33

91E-

074,

87,

9332

8E-0

77,

5465

E-07

7,17

79E-

076,

8267

E-07

6,49

2E-0

76,

1731

E-07

5,86

93E-

075,

5799

E-07

5,30

43E-

075,

0418

E-07

4,9

4,79

183E

-07

4,55

38E-

074,

3272

E-07

4,11

15E-

073,

9061

E-07

3,71

07E-

073,

5247

E-07

3,34

76E-

073,

1792

E-07

3,01

9E-0

7


Z0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

52,

8665

2E-0

72,

7215

E-07

2,58

36E-

072,

4524

E-07

2,32

77E-

072,

2091

E-07

2,09

63E-

071,

9891

E-07

1,88

72E-

071,

7903

E-07

5,1

1,69

827E

-07

1,61

08E-

071,

5277

E-07

1,44

87E-

071,

3737

E-07

1,30

24E-

071,

2347

E-07

1,17

05E-

071,

1094

E-07

1,05

15E-

075,

29,

9644

3E-0

89,

442E

-08

8,94

62E-

088,

4755

E-08

8,02

88E-

087,

605E

-08

7,20

28E-

086,

8212

E-08

6,45

92E-

086,

1158

E-08

5,3

5,79

013E

-08

5,48

13E-

085,

1884

E-08

4,91

06E-

084,

6473

E-08

4,39

77E-

084,

1611

E-08

3,93

68E-

083,

7243

E-08

3,52

29E-

085,

43,

3320

4E-0

83,

1512

E-08

2,98

E-08

2,81

77E-

082,

664E

-08

2,51

85E-

082,

3807

E-08

2,25

02E-

082,

1266

E-08

2,00

97E-

085,

51,

8989

6E-0

81,

7942

E-08

1,69

5E-0

81,

6012

E-08

1,51

24E-

081,

4283

E-08

1,34

89E-

081,

2737

E-08

1,20

26E-

081,

1353

E-08

5,6

1,07

176E

-08

1,01

16E-

089,

5479

E-09

9,01

05E-

098,

5025

E-09

8,02

24E-

097,

5686

E-09

7,13

99E-

096,

7347

E-09

6,35

2E-0

95,

75,

9903

7E-0

95,

6488

E-09

5,32

62E-

095,

0215

E-09

4,73

38E-

094,

4622

E-09

4,20

57E-

093,

9636

E-09

3,73

5E-0

93,

5193

E-09

5,8

3,31

575E

-09

3,12

36E-

092,

9424

E-09

2,77

14E-

092,

61E-

092,

4579

E-09

2,31

43E-

092,

179E

-09

2,05

13E-

091,

931E

-09

5,9

1,81

751E

-09

1,71

05E-

091,

6097

E-09

1,51

47E-

091,

4251

E-09

1,34

07E-

091,

2612

E-09

1,18

63E-

091,

1157

E-09

1,04

92E-

096

9,86

588E

-10

9,27

62E-

108,

7209

E-10

8,19

8E-1

07,

7057

E-10

7,24

23E-

106,

8061

E-10

6,39

55E-

106,

0091

E-10

5,64

55E-

10

102

Apéndice V. Tabla Normal Ajustada para Seis Sigma

σ fn(σ+1,5) fn(1,5-σ) Probabilidad de un defecto Dpmo

0 0,933192799 0,933192799 1,00000000 1.000.000,00

0,1 0,945200708 0,919243341 0,97404263 974.042,63

0,2 0,955434537 0,903199515 0,94776498 947.764,98

0,3 0,964069681 0,88493033 0,92086065 920.860,65

0,4 0,97128344 0,864333939 0,89305050 893.050,50

0,5 0,977249868 0,841344746 0,86409488 864.094,88

0,6 0,982135579 0,815939875 0,83380430 833.804,30

0,7 0,986096552 0,788144601 0,80204805 802.048,05

0,8 0,98927589 0,758036348 0,76876046 768.760,46

0,9 0,991802464 0,725746882 0,73394442 733.944,42

1 0,993790335 0,691462461 0,69767213 697.672,13

1,10 0,995338812 0,655421742 0,66008293 660.082,93

1,12 0,995603512 0,648027292 0,65242378 652.423,78

1,13 0,995730757 0,644308755 0,64857800 648.578,00

1,14 0,995854699 0,640576433 0,64472173 644.721,73

1,15 0,995975411 0,636830651 0,64085524 640.855,24

1,16 0,996092967 0,633071736 0,63697877 636.978,77

1,17 0,996207438 0,629300019 0,63309258 633.092,58

1,18 0,996318892 0,625515835 0,62919694 629.196,94

1,19 0,996427399 0,621719522 0,62529212 625.292,12

1,20 0,996533026 0,617911422 0,62137840 621.378,40

1,21 0,99663584 0,614091881 0,61745604 617.456,04

1,22 0,996735904 0,610261248 0,61352534 613.525,34

1,23 0,996833284 0,606419873 0,60958659 609.586,59

1,24 0,996928041 0,602568113 0,60564007 605.640,07

1,25 0,997020237 0,598706326 0,60168609 601.686,09

1,26 0,997109932 0,594834872 0,59772494 597.724,94

1,27 0,997197185 0,590954115 0,59375693 593.756,93

1,28 0,997282055 0,587064423 0,58978237 589.782,37

1,29 0,997364598 0,583166163 0,58580157 585.801,57

1,30 0,99744487 0,579259709 0,58181484 581.814,84

1,31 0,997522925 0,575345435 0,57782251 577.822,51

1,32 0,997598818 0,571423716 0,57382490 573.824,90

1,33 0,9976726 0,567494932 0,56982233 569.822,33



1,34 0,997744323 0,563559463 0,56581514 565.815,14

1,35 0,997814039 0,559617692 0,56180365 561.803,65

1,36 0,997881795 0,555670005 0,55778821 557.788,21

1,37 0,997947641 0,551716787 0,55376915 553.769,15

1,38 0,998011624 0,547758426 0,54974680 549.746,80

1,39 0,998073791 0,543795313 0,54572152 545.721,52

1,40 0,998134187 0,539827837 0,54169365 541.693,65

1,41 0,998192856 0,535856393 0,53766354 537.663,54

1,42 0,998249843 0,531881372 0,53363153 533.631,53

1,43 0,99830519 0,52790317 0,52959798 529.597,98

1,44 0,998358939 0,523922183 0,52556324 525.563,24

1,45 0,99841113 0,519938806 0,52152768 521.527,68

1,46 0,998461805 0,515953437 0,51749163 517.491,63

1,47 0,998511001 0,511966473 0,51345547 513.455,47

1,48 0,998558758 0,507978314 0,50941956 509.419,56

1,49 0,998605113 0,503989356 0,50538424 505.384,24

1,50 0,998650102 0,5 0,50134990 501.349,90

1,51 0,998693762 0,496010644 0,49731688 497.316,88

1,52 0,998736127 0,492021686 0,49328556 493.285,56

1,53 0,998777231 0,488033527 0,48925630 489.256,30

1,54 0,998817109 0,484046563 0,48522945 485.229,45

1,55 0,998855793 0,480061194 0,48120540 481.205,40

1,56 0,998893315 0,476077817 0,47718450 477.184,50

1,57 0,998929706 0,47209683 0,47316712 473.167,12

1,58 0,998978812 0,466528216 0,46754940 467.549,40

1,59 0,998999218 0,464143607 0,46514439 465.144,39

1,60 0,999032397 0,460172163 0,46113977 461.139,77

1,61 0,999064563 0,456204687 0,45714012 457.140,12

1,62 0,999095745 0,452241574 0,45314583 453.145,83

1,63 0,999125968 0,448283213 0,44915724 449.157,24

1,64 0,999155261 0,444329995 0,44517473 445.174,73

1,65 0,999183648 0,440382308 0,44119866 441.198,66

1,66 0,999211154 0,436440537 0,43722938 437.229,38

1,67 0,999237805 0,432505068 0,43326726 433.267,26

1,68 0,999263625 0,428576284 0,42931266 429.312,66

1,69 0,999288636 0,424654565 0,42536593 425.365,93

104


1,70 0,999312862 0,420740291 0,42142743 421.427,43

1,71 0,999336325 0,416833837 0,41749751 417.497,51

1,72 0,999359047 0,412935577 0,41357653 413.576,53

1,73 0,999381049 0,409045885 0,40966484 409.664,84

1,74 0,999402352 0,405165128 0,40576278 405.762,78

1,75 0,999422975 0,401293674 0,40187070 401.870,70

1,76 0,999442939 0,397431887 0,39798895 397.988,95

1,77 0,999462263 0,393580127 0,39411786 394.117,86

1,78 0,999480965 0,389738752 0,39025779 390.257,79

1,79 0,999499063 0,385908119 0,38640906 386.409,06

1,80 0,999516576 0,382088578 0,38257200 382.572,00

1,81 0,99953352 0,378280478 0,37874696 378.746,96

1,82 0,999549913 0,374484165 0,37493425 374.934,25

1,83 0,99956577 0,370699981 0,37113421 371.134,21

1,84 0,999581108 0,366928264 0,36734716 367.347,16

1,85 0,999595942 0,363169349 0,36357341 363.573,41

1,86 0,999610288 0,359423567 0,35981328 359.813,28

1,87 0,999624159 0,355691245 0,35606709 356.067,09

1,88 0,999637571 0,351972708 0,35233514 352.335,14

1,89 0,999650537 0,348268273 0,34861774 348.617,74

1,90 0,999663071 0,344578258 0,34491519 344.915,19

1,91 0,999675186 0,340902974 0,34122779 341.227,79

1,92 0,999686894 0,337242727 0,33755583 337.555,83

1,93 0,999698209 0,333597821 0,33389961 333.899,61

1,94 0,999709143 0,329968554 0,33025941 330.259,41

1,95 0,999719707 0,32635522 0,32663551 326.635,51

1,96 0,999729912 0,32275811 0,32302820 323.028,20

1,97 0,999739771 0,319177509 0,31943774 319.437,74

1,98 0,999749293 0,315613697 0,31586440 315.864,40

1,99 0,99975849 0,312066949 0,31230846 312.308,46

2,00 0,999767371 0,308537539 0,30877017 308.770,17

2,01 0,999775947 0,305025731 0,30524978 305.249,78

2,02 0,999784227 0,301531788 0,30174756 301.747,56

2,03 0,99979222 0,298055965 0,29826375 298.263,75

2,04 0,999799936 0,294598516 0,29479858 294.798,58

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2,06 0,999814573 0,287739719 0,28792515 287.925,15

2,07 0,999821509 0,284338849 0,28451734 284.517,34

2,08 0,999828203 0,280957309 0,28112911 281.129,11

2,09 0,999834661 0,277595325 0,27776066 277.760,66

2,10 0,999840891 0,274253118 0,27441223 274.412,23

2,11 0,999846901 0,270930904 0,27108400 271.084,00

2,12 0,999852698 0,267628893 0,26777619 267.776,19

2,13 0,999858289 0,264347292 0,26448900 264.489,00

2,14 0,999863681 0,2610863 0,26122262 261.222,62

2,15 0,99986888 0,257846111 0,25797723 257.977,23

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2,17 0,999878725 0,251428895 0,25155017 251.550,17

2,18 0,999883383 0,24825223 0,24836885 248.368,85

2,19 0,999887873 0,245097094 0,24520922 245.209,22

2,20 0,9998922 0,241963652 0,24207145 242.071,45

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2,22 0,999900389 0,235762498 0,23586211 235.862,11

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2,25 0,999911583 0,226627352 0,22671577 226.715,77

2,26 0,999915043 0,223627292 0,22371225 223.712,25

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2,28 0,999921586 0,217695438 0,21777385 217.773,85

2,29 0,999924676 0,214763884 0,21483921 214.839,21

2,30 0,999927652 0,211855399 0,21192775 211.927,75

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2,32 0,999933274 0,206108054 0,20617478 206.174,78

2,33 0,999935928 0,203269392 0,20333346 203.333,46

2,34 0,999938483 0,200454193 0,20051571 200.515,71

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2,36 0,999943306 0,194894521 0,19495121 194.951,21

2,37 0,999945582 0,192150202 0,19220462 192.204,62

2,38 0,999947772 0,189429655 0,18948188 189.481,88

2,39 0,999949878 0,186732943 0,18678307 186.783,07

2,40 0,999951904 0,184060125 0,18410822 184.108,22

2,41 0,999953852 0,181411255 0,18145740 181.457,40

106


2,42 0,999955726 0,17878638 0,17883065 178.830,65

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2,44 0,999959259 0,17360878 0,17364952 173.649,52

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2,46 0,999962525 0,168527607 0,16856508 168.565,08

2,47 0,999964064 0,166023246 0,16605918 166.059,18

2,48 0,999965542 0,163543059 0,16357752 163.577,52

2,49 0,999966963 0,16108706 0,16112010 161.120,10

2,50 0,999968329 0,158655254 0,15868693 158.686,93

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2,52 0,999970901 0,15386423 0,15389333 153.893,33

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2,54 0,999973274 0,14916995 0,14919668 149.196,68

2,55 0,999974391 0,146859056 0,14688467 146.884,67

2,56 0,999975464 0,1445723 0,14459684 144.596,84

2,57 0,999976493 0,142309654 0,14233316 142.333,16

2,58 0,999977482 0,14007109 0,14009361 140.093,61

2,59 0,999978431 0,137856572 0,13787814 137.878,14

2,60 0,999979342 0,135666061 0,13568672 135.686,72

2,61 0,999980217 0,133499513 0,13351930 133.519,30

2,62 0,999981056 0,131356881 0,13137582 131.375,82

2,63 0,999981862 0,129238112 0,12925625 129.256,25

2,64 0,999982635 0,127143151 0,12716052 127.160,52

2,65 0,999983376 0,125071936 0,12508856 125.088,56

2,66 0,999984088 0,123024403 0,12304032 123.040,32

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2,69 0,999986052 0,117023196 0,11703714 117.037,14

2,70 0,999986654 0,11506967 0,11508302 115.083,02

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2,74 0,999988824 0,107487697 0,10749887 107.498,87

2,75 0,999989311 0,105649774 0,10566046 105.660,46

2,76 0,999989779 0,103834681 0,10384490 103.844,90

2,77 0,999990226 0,102042315 0,10205209 102.052,09



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2,83 0,999992545 0,091759136 0,09176659 91.766,59

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2,85 0,999993193 0,088507991 0,08851480 88.514,80

2,86 0,999993497 0,086914962 0,08692147 86.921,47

2,87 0,999993788 0,085343451 0,08534966 85.349,66

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3,00 0,999996602 0,066807201 0,06681060 66.810,60

3,01 0,999996759 0,065521712 0,06552495 65.524,95

3,02 0,999996908 0,064255488 0,06425858 64.258,58

3,03 0,999997051 0,063008364 0,06301131 63.011,31

3,04 0,999997187 0,061780177 0,06178299 61.782,99

3,05 0,999997318 0,060570758 0,06057344 60.573,44

3,06 0,999997442 0,059379941 0,05938250 59.382,50

3,07 0,999997561 0,058207556 0,05820999 58.209,99

3,08 0,999997675 0,057053433 0,05705576 57.055,76

3,09 0,999997784 0,055917403 0,05591962 55.919,62

3,10 0,999997888 0,054799292 0,05480140 54.801,40

3,11 0,999997987 0,053698928 0,05370094 53.700,94

3,12 0,999998081 0,052616138 0,05261806 52.618,06

3,13 0,999998172 0,051550748 0,05155258 51.552,58

108


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3,15 0,99999834 0,049471468 0,04947313 49.473,13

3,16 0,999998419 0,048457226 0,04845881 48.458,81

3,17 0,999998494 0,047459682 0,04746119 47.461,19

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3,20 0,999998699 0,044565463 0,04456676 44.566,76

3,21 0,999998761 0,043632937 0,04363418 43.634,18

3,22 0,999998821 0,042716221 0,04271740 42.717,40

3,23 0,999998877 0,041815138 0,04181626 41.816,26

3,24 0,999998931 0,040929509 0,04093058 40.930,58

3,25 0,999998983 0,040059157 0,04006017 40.060,17

3,26 0,999999032 0,039203903 0,03920487 39.204,87

3,27 0,999999079 0,03836357 0,03836449 38.364,49

3,28 0,999999124 0,03753798 0,03753886 37.538,86

3,29 0,999999166 0,036726956 0,03672779 36.727,79

3,30 0,999999207 0,035930319 0,03593111 35.931,11

3,31 0,999999245 0,035147894 0,03514865 35.148,65

3,32 0,999999282 0,034379502 0,03438022 34.380,22

3,33 0,999999317 0,033624969 0,03362565 33.625,65

3,34 0,999999351 0,032884119 0,03288477 32.884,77

3,35 0,999999383 0,032156775 0,03215739 32.157,39

3,36 0,999999413 0,031442763 0,03144335 31.443,35

3,37 0,999999442 0,030741909 0,03074247 30.742,47

3,38 0,99999947 0,030054039 0,03005457 30.054,57

3,39 0,999999496 0,02937898 0,02937948 29.379,48

3,40 0,999999521 0,02871656 0,02871704 28.717,04

3,41 0,999999545 0,028066607 0,02806706 28.067,06

3,42 0,999999567 0,02742895 0,02742938 27.429,38

3,43 0,999999589 0,026803419 0,02680383 26.803,83

3,44 0,999999609 0,026189845 0,02619024 26.190,24

3,45 0,999999629 0,02558806 0,02558843 25.588,43

3,46 0,999999648 0,024997895 0,02499825 24.998,25

3,47 0,999999665 0,024419185 0,02441952 24.419,52

3,48 0,999999682 0,023851764 0,02385208 23.852,08

3,49 0,999999698 0,023295468 0,02329577 23.295,77



3,50 0,999999713 0,022750132 0,02275042 22.750,42

3,51 0,999999728 0,022215594 0,02221587 22.215,87

3,52 0,999999742 0,021691694 0,02169195 21.691,95

3,53 0,999999755 0,02117827 0,02117851 21.178,51

3,54 0,999999767 0,020675163 0,02067540 20.675,40

3,55 0,999999779 0,020182215 0,02018244 20.182,44

3,56 0,99999979 0,01969927 0,01969948 19.699,48

3,57 0,999999801 0,019226172 0,01922637 19.226,37

3,58 0,999999811 0,018762766 0,01876296 18.762,96

3,59 0,999999821 0,0183089 0,01830908 18.309,08

3,60 0,99999983 0,017864421 0,01786459 17.864,59

3,61 0,999999839 0,017429178 0,01742934 17.429,34

3,62 0,999999847 0,017003023 0,01700318 17.003,18

3,63 0,999999855 0,016585807 0,01658595 16.585,95

3,64 0,999999863 0,016177383 0,01617752 16.177,52

3,65 0,99999987 0,015777607 0,01577774 15.777,74

3,66 0,999999877 0,015386335 0,01538646 15.386,46

3,67 0,999999883 0,015003423 0,01500354 15.003,54

3,68 0,999999889 0,014628731 0,01462884 14.628,84

3,69 0,999999895 0,014262118 0,01426222 14.262,22

3,70 0,9999999 0,013903448 0,01390355 13.903,55

3,71 0,999999906 0,013552581 0,01355268 13.552,68

3,72 0,999999911 0,013209384 0,01320947 13.209,47

3,73 0,999999915 0,012873721 0,01287381 12.873,81

3,74 0,99999992 0,012545461 0,01254554 12.545,54

3,75 0,999999924 0,012224473 0,01222455 12.224,55

3,76 0,999999928 0,011910625 0,01191070 11.910,70

3,77 0,999999932 0,011603792 0,01160386 11.603,86

3,78 0,999999935 0,011303844 0,01130391 11.303,91

3,79 0,999999939 0,011010658 0,01101072 11.010,72

3,80 0,999999942 0,01072411 0,01072417 10.724,17

3,81 0,999999945 0,010444077 0,01044413 10.444,13

3,82 0,999999948 0,010170439 0,01017049 10.170,49

3,83 0,999999951 0,009903076 0,00990312 9.903,12

3,84 0,999999954 0,00964187 0,00964192 9.641,92

3,85 0,999999956 0,009386706 0,00938675 9.386,75

110


3,86 0,999999958 0,009137468 0,00913751 9.137,51

3,87 0,999999961 0,008894043 0,00889408 8.894,08

3,88 0,999999963 0,008656319 0,00865636 8.656,36

3,89 0,999999965 0,008424186 0,00842422 8.424,22

3,90 0,999999967 0,008197536 0,00819757 8.197,57

3,91 0,999999968 0,00797626 0,00797629 7.976,29

3,92 0,99999997 0,007760254 0,00776028 7.760,28

3,93 0,999999972 0,007549411 0,00754944 7.549,44

3,94 0,999999973 0,007343631 0,00734366 7.343,66

3,95 0,999999975 0,007142811 0,00714284 7.142,84

3,96 0,999999976 0,006946851 0,00694687 6.946,87

3,97 0,999999977 0,006755653 0,00675568 6.755,68

3,98 0,999999979 0,006569119 0,00656914 6.569,14

3,99 0,99999998 0,006387155 0,00638717 6.387,17

4,00 0,999999981 0,006209665 0,00620968 6.209,68

4,01 0,999999982 0,006036558 0,00603658 6.036,58

4,02 0,999999983 0,005867742 0,00586776 5.867,76

4,03 0,999999984 0,005703126 0,00570314 5.703,14

4,04 0,999999985 0,005542623 0,00554264 5.542,64

4,05 0,999999986 0,005386146 0,00538616 5.386,16

4,06 0,999999987 0,005233608 0,00523362 5.233,62

4,07 0,999999987 0,005084926 0,00508494 5.084,94

4,08 0,999999988 0,004940016 0,00494003 4.940,03

4,09 0,999999989 0,004798797 0,00479881 4.798,81

4,10 0,999999989 0,004661188 0,00466120 4.661,20

4,11 0,99999999 0,004527111 0,00452712 4.527,12

4,12 0,99999999 0,004396488 0,00439650 4.396,50

4,13 0,999999991 0,004269243 0,00426925 4.269,25

4,14 0,999999991 0,004145301 0,00414531 4.145,31

4,15 0,999999992 0,004024589 0,00402460 4.024,60

4,16 0,999999992 0,003907033 0,00390704 3.907,04

4,17 0,999999993 0,003792562 0,00379257 3.792,57

4,18 0,999999993 0,003681108 0,00368111 3.681,11

4,19 0,999999994 0,003572601 0,00357261 3.572,61

4,20 0,999999994 0,003466974 0,00346698 3.466,98

4,21 0,999999994 0,00336416 0,00336417 3.364,17



4,22 0,999999995 0,003264096 0,00326410 3.264,10

4,23 0,999999995 0,003166716 0,00316672 3.166,72

4,24 0,999999995 0,003071959 0,00307196 3.071,96

4,25 0,999999996 0,002979763 0,00297977 2.979,77

4,26 0,999999996 0,002890068 0,00289007 2.890,07

4,27 0,999999996 0,002802815 0,00280282 2.802,82

4,28 0,999999996 0,002717945 0,00271795 2.717,95

4,29 0,999999996 0,002635402 0,00263541 2.635,41

4,30 0,999999997 0,00255513 0,00255513 2.555,13

4,31 0,999999997 0,002477075 0,00247708 2.477,08

4,32 0,999999997 0,002401182 0,00240119 2.401,19

4,33 0,999999997 0,0023274 0,00232740 2.327,40

4,34 0,999999997 0,002255677 0,00225568 2.255,68

4,35 0,999999998 0,002185961 0,00218596 2.185,96

4,36 0,999999998 0,002118205 0,00211821 2.118,21

4,37 0,999999998 0,002052359 0,00205236 2.052,36

4,38 0,999999998 0,001988376 0,00198838 1.988,38

4,39 0,999999998 0,001926209 0,00192621 1.926,21

4,40 0,999999998 0,001865813 0,00186582 1.865,82

4,41 0,999999998 0,001807144 0,00180715 1.807,15

4,42 0,999999998 0,001750157 0,00175016 1.750,16

4,43 0,999999998 0,00169481 0,00169481 1.694,81

4,44 0,999999999 0,001641061 0,00164106 1.641,06

4,45 0,999999999 0,00158887 0,00158887 1.588,87

4,46 0,999999999 0,001538195 0,00153820 1.538,20

4,47 0,999999999 0,001488999 0,00148900 1.489,00

4,48 0,999999999 0,001441242 0,00144124 1.441,24

4,49 0,999999999 0,001394887 0,00139489 1.394,89

4,50 0,999999999 0,001349898 0,00134990 1.349,90

4,51 0,999999999 0,001306238 0,00130624 1.306,24

4,52 0,999999999 0,001263873 0,00126387 1.263,87

4,53 0,999999999 0,001222769 0,00122277 1.222,77

4,54 0,999999999 0,001182891 0,00118289 1.182,89

4,55 0,999999999 0,001144207 0,00114421 1.144,21

4,56 0,999999999 0,001106685 0,00110669 1.106,69

4,57 0,999999999 0,001070294 0,00107029 1.070,29

112


4,58 0,999999999 0,001035003 0,00103500 1.035,00

4,59 0,999999999 0,001000782 0,00100078 1.000,78

4,60 0,999999999 0,000967603 0,00096760 967,60

4,61 1 0,000935437 0,00093544 935,44

4,62 1 0,000904255 0,00090426 904,26

4,63 1 0,000874032 0,00087403 874,03

4,64 1 0,000844739 0,00084474 844,74

4,65 1 0,000816352 0,00081635 816,35

4,66 1 0,000788846 0,00078885 788,85

4,67 1 0,000762195 0,00076220 762,20

4,68 1 0,000736375 0,00073638 736,38

4,69 1 0,000711364 0,00071136 711,36

4,70 1 0,000687138 0,00068714 687,14

4,71 1 0,000663675 0,00066368 663,68

4,72 1 0,000640953 0,00064095 640,95

4,73 1 0,000618951 0,00061895 618,95

4,74 1 0,000597648 0,00059765 597,65

4,75 1 0,000577025 0,00057703 577,03

4,76 1 0,000557061 0,00055706 557,06

4,77 1 0,000537737 0,00053774 537,74

4,78 1 0,000519035 0,00051904 519,04

4,79 1 0,000500937 0,00050094 500,94

4,80 1 0,000483424 0,00048342 483,42

4,81 1 0,00046648 0,00046648 466,48

4,82 1 0,000450087 0,00045009 450,09

4,83 1 0,00043423 0,00043423 434,23

4,84 1 0,000418892 0,00041889 418,89

4,85 1 0,000404058 0,00040406 404,06

4,86 1 0,000389712 0,00038971 389,71

4,87 1 0,000375841 0,00037584 375,84

4,88 1 0,000362429 0,00036243 362,43

4,89 1 0,000349463 0,00034946 349,46

4,90 1 0,000336929 0,00033693 336,93

4,91 1 0,000324814 0,00032481 324,81

4,92 1 0,000313106 0,00031311 313,11

4,93 1 0,000301791 0,00030179 301,79



4,94 1 0,000290857 0,00029086 290,86

4,95 1 0,000280293 0,00028029 280,29

4,96 1 0,000270088 0,00027009 270,09

4,97 1 0,000260229 0,00026023 260,23

4,98 1 0,000250707 0,00025071 250,71

4,99 1 0,00024151 0,00024151 241,51

5,00 1 0,000232629 0,00023263 232,63

5,01 1 0,000224053 0,00022405 224,05

5,02 1 0,000215773 0,00021577 215,77

5,03 1 0,00020778 0,00020778 207,78

5,04 1 0,000200064 0,00020006 200,06

5,05 1 0,000192616 0,00019262 192,62

5,06 1 0,000185427 0,00018543 185,43

5,07 1 0,000178491 0,00017849 178,49

5,08 1 0,000171797 0,00017180 171,80

5,09 1 0,000165339 0,00016534 165,34

5,10 1 0,000159109 0,00015911 159,11

5,11 1 0,000153099 0,00015310 153,10

5,12 1 0,000147302 0,00014730 147,30

5,13 1 0,000141711 0,00014171 141,71

5,14 1 0,000136319 0,00013632 136,32

5,15 1 0,00013112 0,00013112 131,12

5,16 1 0,000126108 0,00012611 126,11

5,17 1 0,000121275 0,00012128 121,28

5,18 1 0,000116617 0,00011662 116,62

5,19 1 0,000112127 0,00011213 112,13

5,20 1 0,0001078 0,00010780 107,80

5,21 1 0,00010363 0,00010363 103,63

5,22 1 9,96114E-05 0,00009961 99,61

5,23 1 9,57399E-05 0,00009574 95,74

5,24 1 9,20101E-05 0,00009201 92,01

5,25 1 8,84173E-05 0,00008842 88,42

5,26 1 8,49567E-05 0,00008496 84,96

5,27 1 8,16238E-05 0,00008162 81,62

5,28 1 7,84142E-05 0,00007841 78,41

5,29 1 7,53236E-05 0,00007532 75,32

114


5,30 1 7,2348E-05 0,00007235 72,35

5,31 1 6,94834E-05 0,00006948 69,48

5,32 1 6,67258E-05 0,00006673 66,73

5,33 1 6,40716E-05 0,00006407 64,07

5,34 1 6,15172E-05 0,00006152 61,52

5,35 1 5,90589E-05 0,00005906 59,06

5,36 1 5,66935E-05 0,00005669 56,69

5,37 1 5,44177E-05 0,00005442 54,42

5,38 1 5,22282E-05 0,00005223 52,23

5,39 1 5,01221E-05 0,00005012 50,12

5,40 1 4,80963E-05 0,00004810 48,10

5,41 1 4,61481E-05 0,00004615 46,15

5,42 1 4,42745E-05 0,00004427 44,27

5,43 1 4,24729E-05 0,00004247 42,47

5,44 1 4,07408E-05 0,00004074 40,74

5,45 1 3,90756E-05 0,00003908 39,08

5,46 1 3,74749E-05 0,00003747 37,47

5,47 1 3,59363E-05 0,00003594 35,94

5,48 1 3,44576E-05 0,00003446 34,46

5,49 1 3,30366E-05 0,00003304 33,04

5,50 1 3,16712E-05 0,00003167 31,67

5,51 1 3,03594E-05 0,00003036 30,36

5,52 1 2,90991E-05 0,00002910 29,10

5,53 1 2,78884E-05 0,00002789 27,89

5,54 1 2,67256E-05 0,00002673 26,73

5,55 1 2,56088E-05 0,00002561 25,61

5,56 1 2,45364E-05 0,00002454 24,54

5,57 1 2,35066E-05 0,00002351 23,51

5,58 1 2,25179E-05 0,00002252 22,52

5,59 1 2,15687E-05 0,00002157 21,57

5,60 1 2,06575E-05 0,00002066 20,66

5,61 1 1,9783E-05 0,00001978 19,78

5,62 1 1,89436E-05 0,00001894 18,94

5,63 1 1,81382E-05 0,00001814 18,14

5,64 1 1,73653E-05 0,00001737 17,37

5,65 1 1,66238E-05 0,00001662 16,62



5,66 1 1,59124E-05 0,00001591 15,91

5,67 1 1,523E-05 0,00001523 15,23

5,68 1 1,45755E-05 0,00001458 14,58

5,69 1 1,39477E-05 0,00001395 13,95

5,70 1 1,33457E-05 0,00001335 13,35

5,71 1 1,27685E-05 0,00001277 12,77

5,72 1 1,22151E-05 0,00001222 12,22

5,73 1 1,16846E-05 0,00001168 11,68

5,74 1 1,1176E-05 0,00001118 11,18

5,75 1 1,06885E-05 0,00001069 10,69

5,76 1 1,02213E-05 0,00001022 10,22

5,77 1 9,77365E-06 0,00000977 9,77

5,78 1 9,34467E-06 0,00000934 9,34

5,79 1 8,93366E-06 0,00000893 8,93

5,80 1 8,53991E-06 0,00000854 8,54

5,81 1 8,16273E-06 0,00000816 8,16

5,82 1 7,80146E-06 0,00000780 7,80

5,83 1 7,45547E-06 0,00000746 7,46

5,84 1 7,12414E-06 0,00000712 7,12

5,85 1 6,80688E-06 0,00000681 6,81

5,86 1 6,50312E-06 0,00000650 6,50

5,87 1 6,21233E-06 0,00000621 6,21

5,88 1 5,93397E-06 0,00000593 5,93

5,89 1 5,66753E-06 0,00000567 5,67

5,90 1 5,41254E-06 0,00000541 5,41

5,91 1 5,16853E-06 0,00000517 5,17

5,92 1 4,93505E-06 0,00000494 4,94

5,93 1 4,71165E-06 0,00000471 4,71

5,94 1 4,49794E-06 0,00000450 4,50

5,95 1 4,29351E-06 0,00000429 4,29

5,96 1 4,09798E-06 0,00000410 4,10

5,97 1 3,91098E-06 0,00000391 3,91

5,98 1 3,73215E-06 0,00000373 3,73

5,99 1 3,56116E-06 0,00000356 3,56

6,00 1 3,39767E-06 0,00000340 3,40

116

Apéndice VI. Tabla de la Distribución Chi-CuadradoNivel de confianza = 1 - a = 1 - nivel de significación * * * n = Grados de libertad

NC 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,9% NC

1-a 0,995 0,975 0,900 0,500 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001 1-a

n n

1 0,000 0,000 0,016 0,455 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828 1

2 0,010 0,051 0,211 1,386 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816 2

3 0,072 0,216 0,584 2,366 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 3

4 0,207 0,484 1,064 3,357 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467 4

5 0,412 0,831 1,610 4,351 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 20,515 5

6 0,676 1,237 2,204 5,348 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458 6

7 0,989 1,690 2,833 6,346 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322 7

8 1,344 2,180 3,490 7,344 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 8

9 1,735 2,700 4,168 8,343 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 9

10 2,156 3,247 4,865 9,342 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 10

11 2,603 3,816 5,578 10,341 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 11

12 3,074 4,404 6,304 11,340 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32,910 12

13 3,565 5,009 7,042 12,340 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528 13

14 4,075 5,629 7,790 13,339 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123 14

15 4,601 6,262 8,547 14,339 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697 15

16 5,142 6,908 9,312 15,338 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 16

17 5,697 7,564 10,085 16,338 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790 17

18 6,265 8,231 10,865 17,338 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 18

19 6,844 8,907 11,651 18,338 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820 19

20 7,434 9,591 12,443 19,337 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315 20

21 8,034 10,283 13,240 20,337 29,615 32,670 35,479 38,932 41,401 46,797 21

22 8,643 10,982 14,042 21,337 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 22

23 9,260 11,688 14,848 22,337 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 23

24 9,886 12,401 15,659 23,337 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 51,179 24

25 10,520 13,120 16,473 24,337 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620 25

26 11,160 13,844 17,292 25,336 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052 26

27 11,808 14,573 18,114 26,336 36,741 40,113 43,194 46,963 49,645 55,476 27

28 12,461 15,308 18,939 27,336 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892 28

29 13,121 16,047 19,768 28,336 39,088 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301 29

30 13,787 16,791 20,599 29,336 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 59,703 30

31 14,458 17,539 21,434 30,336 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003 61,098 31

32 15,134 18,291 22,271 31,336 42,585 46,194 49,480 53,486 56,329 62,487 32


33 15,815 19,047 23,110 32,336 43,745 47,400 50,725 54,776 57,649 63,870 33

34 16,501 19,806 23,952 33,336 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964 65,247 34

35 17,192 20,569 24,797 34,336 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 35

36 17,887 21,336 25,643 35,336 47,212 50,998 54,437 58,619 61,582 67,985 36

37 18,586 22,106 26,492 36,335 48,363 52,192 55,668 59,892 62,884 69,346 37

38 19,289 22,878 27,343 37,335 49,513 53,384 56,896 61,162 64,182 70,703 38

39 19,996 23,654 28,196 38,335 50,660 54,572 58,120 62,428 65,476 72,055 39

40 20,707 24,433 29,051 39,335 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402 40

41 21,421 25,215 29,907 40,335 52,949 56,942 60,561 64,950 68,053 74,745 41

42 22,138 25,999 30,765 41,335 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336 76,084 42

43 22,859 26,785 31,625 42,335 55,230 59,304 62,990 67,459 70,616 77,419 43

44 23,584 27,575 32,487 43,335 56,369 60,481 64,202 68,710 71,893 78,750 44

45 24,311 28,366 33,350 44,335 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077 45

46 25,042 29,160 34,215 45,335 58,641 62,830 66,617 71,201 74,437 81,400 46

47 25,775 29,956 35,081 46,335 59,774 64,001 67,821 72,443 75,704 82,720 47

48 26,511 30,755 35,949 47,335 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969 84,037 48

49 27,249 31,555 36,818 48,335 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231 85,351 49

50 27,991 32,357 37,689 49,335 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 50

51 28,735 33,162 38,560 50,335 64,295 68,669 72,616 77,386 80,747 87,968 51

52 29,481 33,968 39,433 51,335 65,422 69,832 73,810 78,616 82,001 89,272 52

53 30,230 34,776 40,308 52,335 66,548 70,993 75,002 79,843 83,253 90,573 53

54 30,981 35,586 41,183 53,335 67,673 72,153 76,192 81,069 84,502 91,872 54

55 31,735 36,398 42,060 54,335 68,796 73,311 77,380 82,292 85,749 93,168 55

56 32,490 37,212 42,937 55,335 69,918 74,468 78,567 83,513 86,994 94,460 56

57 33,248 38,027 43,816 56,335 71,040 75,624 79,752 84,733 88,237 95,751 57

58 34,008 38,844 44,696 57,335 72,160 76,778 80,936 85,950 89,477 97,039 58

59 34,770 39,662 45,577 58,335 73,279 77,931 82,117 87,166 90,715 98,324 59

60 35,534 40,482 46,459 59,335 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 99,607 60

61 36,300 41,303 47,342 60,335 75,514 80,232 84,476 89,591 93,186 100,888 61

62 37,068 42,126 48,226 61,335 76,630 81,381 85,654 90,802 94,419 102,166 62

63 37,838 42,950 49,111 62,335 77,745 82,529 86,830 92,010 95,649 103,442 63

64 38,610 43,776 49,996 63,335 78,860 83,675 88,004 93,217 96,878 104,716 64

65 39,383 44,603 50,883 64,335 79,973 84,821 89,177 94,422 98,105 105,988 65

66 40,158 45,431 51,770 65,335 81,085 85,965 90,349 95,626 99,331 107,258 66

67 40,935 46,261 52,659 66,335 82,197 87,108 91,519 96,828 100,550 108,526 67

68 41,713 47,092 53,548 67,334 83,308 88,250 92,689 98,028 101,780 109,791 68

69 42,494 47,924 54,438 68,334 84,418 89,391 93,856 99,228 103,000 111,055 69

70 43,275 48,758 55,329 69,334 85,527 90,531 95,023 100,430 104,210 112,317 70

71 44,058 49,592 56,221 70,334 86,635 91,670 96,189 101,620 105,430 113,577 71

72 44,843 50,428 57,113 71,334 87,743 92,808 97,353 102,820 106,650 114,835 72

118

73 45,629 51,265 58,006 72,334 88,850 93,945 98,516 104,010 107,860 116,092 73

74 46,417 52,103 58,900 73,334 89,956 95,081 99,678 105,200 109,070 117,346 74

75 47,206 52,942 59,795 74,334 91,061 96,217 100,840 106,390 110,290 118,599 75

76 47,997 53,782 60,690 75,334 92,166 97,351 102,000 107,580 111,500 119,850 76

77 48,788 54,623 61,586 76,334 93,270 98,484 103,160 108,770 112,700 121,100 77

78 49,582 55,466 62,483 77,334 94,373 99,617 104,320 109,960 113,910 122,348 78

79 50,376 56,309 63,380 78,334 95,476 100,750 105,470 111,140 115,120 123,594 79

80 51,172 57,153 64,278 79,334 96,578 101,880 106,630 112,330 116,320 124,839 80

81 51,969 57,998 65,176 80,334 97,680 103,010 107,780 113,510 117,520 126,082 81

82 52,767 58,845 66,076 81,334 98,780 104,140 108,940 114,690 118,730 127,324 82

83 53,567 59,692 66,976 82,334 99,880 105,270 110,090 115,880 119,930 128,565 83

84 54,368 60,540 67,876 83,334 100,980 106,390 111,240 117,060 121,130 129,804 84

85 55,170 61,389 68,777 84,334 102,080 107,520 112,390 118,240 122,320 131,041 85

86 55,973 62,239 69,679 85,334 103,180 108,650 113,540 119,410 123,520 132,277 86

87 56,777 63,089 70,581 86,334 104,280 109,770 114,690 120,590 124,720 133,512 87

88 57,582 63,941 71,484 87,334 105,370 110,900 115,840 121,770 125,910 134,745 88

89 58,389 64,793 72,387 88,334 106,470 112,020 116,990 122,940 127,110 135,978 89

90 59,196 65,647 73,291 89,334 107,560 113,150 118,140 124,120 128,300 137,208 90

91 60,005 66,501 74,196 90,334 108,660 114,270 119,280 125,290 129,490 138,438 91

92 60,815 67,356 75,101 91,334 109,760 115,390 120,430 126,460 130,680 139,666 92

93 61,625 68,211 76,006 92,334 110,850 116,510 121,570 127,630 131,870 140,893 93

94 62,437 69,068 76,912 93,334 111,940 117,630 122,720 128,800 133,060 142,119 94

95 63,250 69,925 77,818 94,334 113,040 118,750 123,860 129,970 134,250 143,344 95

96 64,063 70,783 78,725 95,334 114,130 119,870 125,000 131,140 135,430 144,567 96

97 64,878 71,642 79,633 96,334 115,220 120,990 126,140 132,310 136,620 145,789 97

98 65,694 72,501 80,541 97,334 116,320 122,110 127,280 133,480 137,800 147,010 98

99 66,510 73,361 81,449 98,334 117,410 123,230 128,420 134,640 138,990 148,230 99

100 67,328 74,222 82,358 99,334 118,500 124,340 129,560 135,810 140,170 149,449 100

Ζα -2,58 -1,96 -1,28 0,00 1,282 1,645 1,96 2,33 2,58 3,08 Ζα

Nota: Para v > 100 tome X Z2 212

2 1= + −( )α v

Za es la desviación normal estándar correspondiente al nivel de significancia y se encuentra en la parte superior de la tabla.


Apéndice VII. Tabla de la Distribución t Student

Una cola: 1 grado de libertad y 95% de confianza

Dos colas: 1 grado de libertad y 90% de confianza

Colas

1-a 0,250 0,200 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005 una

1-a 0,900 0,500 0,400 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,002 0,001 dos

n n

1 0,158 1,000 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,289 636,619 1

2 0,142 0,816 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,328 31,598 2

3 0,137 0,765 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214 12,924 3

4 0,134 0,741 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 4

5 0,132 0,727 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,894 6,869 5

6 0,131 0,718 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 6

7 0,130 0,711 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408 7

8 0,130 0,706 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 8

9 0,129 0,703 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 9

10 0,129 0,700 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 10

11 0,129 0,697 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 11

12 0,128 0,695 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 12

13 0,128 0,694 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 13

14 0,128 0,692 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 14

15 0,128 0,691 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 15

16 0,128 0,690 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 16

17 0,128 0,698 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 17

18 0,127 0,688 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,922 18

19 0,127 0,688 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 19

NC = 95%

1 – a = 0.05%

V = 1 NC = 90%V = 1

t = 6,314 t = 6,314 t = 6,314

1 – a/2 = 0.05%1 – a/2 = 0.05%

120

20 0,127 0,687 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 20

21 0,127 0,686 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 21

22 0,127 0,686 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 22

23 0,127 0,685 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 23

24 0,127 0,685 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 24

25 0,127 0,684 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 25

26 0,127 0,684 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 26

27 0,127 0,684 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 27

28 0,127 0,683 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 28

29 0,127 0,683 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659 29

30 0,127 0,683 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646 30

40 0,126 0,681 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 40

60 0,126 0,679 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 60

120 0,126 0,677 0,845 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373 120

¥ 0,126 0,674 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 ¥


Apé

ndic

e V

III.

Tabl

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924

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843,

813,

773,

743,

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