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rigidez
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Teoría de estructurasTeoría de estructuras
Resistencia de materiales
mayo 2009
versión 1.9
© 2008, 2009 Jorge Rodríguez Araújo
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Creative Commons AttributionNoncommercialShare Alike 3.0 Spain
CC €
Índice
1. Introducción.......................................................................................................1
1.1.1 Forjados..............................................................................................................2
1.1.2 Cimentaciones.....................................................................................................2
1.2 Acciones en la edificación..........................................................................................3
1.3 Principales materiales estructurales..........................................................................5
1.4 Pasos para la ejecución de una edificación................................................................7
2. Cálculo de estructuras.......................................................................................8
2.1 Introducción...............................................................................................................8
2.1.1 Cálculo de reacciones..........................................................................................8
2.1.2 Cálculo de solicitaciones.....................................................................................8
2.1.3 Cálculo de desplazamientos y giros.....................................................................9
2.2 Resolución de una estructura simple.........................................................................9
2.3 Consideraciones sobre el acero................................................................................10
2.4 Determinación de esfuerzos máximos.....................................................................10
2.4.1 Ejemplo.............................................................................................................12
2.5 Trazado de la deformada..........................................................................................12
2.6 Esfuerzos térmicos...................................................................................................13
2.7 Pandeo.....................................................................................................................13
2.8 Fatiga.......................................................................................................................14
3. Determinación de desplazamientos y giros.....................................................15
3.1 Teoremas de Mohr....................................................................................................15
3.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos.........................................15
3.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos.......................................16
3.2 Teorema de Castigliano............................................................................................18
3.2.1 Método de la acción unidad...............................................................................18
3.3 Potencial interno......................................................................................................19
3.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...............................................................19
4. Pórtico simétrico..............................................................................................21
5. Estructuras reticuladas....................................................................................22
5.1 Introducción.............................................................................................................22
5.2 Ejemplo....................................................................................................................22
5.3 Principio de los trabajos virtuales.............................................................................24
5.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos............................................24
6. Cálculo de una marquesina.............................................................................26
Introducción.....................................................................................................................26
Parametrización...............................................................................................................26
i
Hipótesis de carga...........................................................................................................26
Cálculo de reacciones......................................................................................................26
Peso propio.................................................................................................................26
Carga de viento...........................................................................................................27
Cálculo de solicitaciones..................................................................................................27
Diagramas de esfuerzos..............................................................................................27
Cálculo resistente............................................................................................................28
Cálculo de la viga........................................................................................................28
Esfuerzo normal máximo...........................................................................................................28
Momento flector máximo...........................................................................................................28
Cálculo del pilar..........................................................................................................................28
Esfuerzo normal máximo...........................................................................................................28
Momento flector máximo...........................................................................................................28
Cálculo de desplazamientos.............................................................................................28
Placas de anclaje.............................................................................................................29
Referencias......................................................................................................................29
7. Método de la rigidez........................................................................................30
7.1 Introducción.............................................................................................................30
7.2 Método.....................................................................................................................30
7.2.1 Descripción estructural......................................................................................30
7.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente...................30
7.2.2.1 Matriz de rigidez de barra.............................................................................................30
7.2.2.2 Vector de cargas nodales..............................................................................................31
7.2.2.3 Matriz de rotación.........................................................................................................31
7.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura...................32
7.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura.................................................................................32
7.2.3.2 Vector de cargas de la estructura.................................................................................32
7.2.4 Introducción de las condiciones de contorno.....................................................32
7.2.5 Solución del sistema de ecuaciones..................................................................32
7.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones.....................32
7.3 Implementación.......................................................................................................33
7.4 Resultados...............................................................................................................38
8. Método de Cross..............................................................................................41
9. Anexo...............................................................................................................43
9.1 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos.................................................43
9.2 Parámetros elásticos del material............................................................................44
9.3 Otras características de los materiales....................................................................45
9.4 Momentos de inercia................................................................................................46
ii
Introducción
1. Introducción
La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las
cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno.
Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas
entre si por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según
permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos
los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña,
mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro
será libre.
El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos
elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro
horizontal (viga o dintel) sobre el que actúan las cargas verticales provenientes del
forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los pórticos suelen recibir cargas
horizontales debidas a la acción del viento.
Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de
elementos estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del
edificio, siendo su función la de resguardar el espacio interior a la edificación.
En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar
compuesta en su gran mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de
ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los pórticos por medio
de una serie de correas, normalmente de acero conformado en frío, que como
elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los
cerramientos y transmitir su carga.
Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la
funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a
compresión.
Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus
dimensiones se conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto
para las de la sección, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo.
Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o
H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la línea
neutra las dos alas que se unen por medio de un alma.
1
Introducción
Cuando una viga cubre tres o más vanos, o sea tiene más de tres apoyos, se la
conoce como viga continua, y aunque presenta menor flexión, y por tanto una menor
flecha, es muy sensible a los asientos diferenciales.
Tipos de apoyos
Apoyo articulado
móvil
Permite
desplazamiento y giro
Apoyo articulado fijo Permite giro
Deslizadera Permite deslizamiento
EmpotramientoNo permite ningún
desplazamiento
1.1.1 Forjados
Los diferentes tipos de forjado de hormigón armado son:
– Forjado unidireccional: es el forjado clásico formado por bovedillas que reparten
el peso a las viguetas, que son las encargadas de transmitir la carga a las vigas.
Por encima del conjunto vigueta-bovedilla va una capa de compresión formada por
los negativos, el mallazo y el hormigón, siendo los negativos las varillas de acero
encargadas de soportar los momentos flectores negativos.
– Forjado reticular o bidireccional: es el forjado típico de plantas de
aparcamiento, dado que distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en
ambas direcciones).
– Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metálicas, dado que
mejora la unión entre ambos.
– Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado
mediante una serie de alvéolos que los atraviesan longitudinalmente.
1.1.2 Cimentaciones
Las cimentaciones son las encargadas de transmitir las cargas al terreno, de tal
modo que su tipología y dimensiones vendrán determinadas por las características de
este.
Así, el estudio geotécnico es el encargado de facilitar las características resistentes
y de composición del terreno, necesarios para el cálculo de la cimentación y selección
de los materiales utilizables según la agresividad química del terreno.
2
Introducción
La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presión admisible, siendo
esta especificada a partir de una determinada cota.
Para establecer la cota de referencia sobre la que se especificarán las diferentes
condiciones del terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela, de tal modo
que, por ejemplo, la capacidad de soporte del terreno vendría especificada como: el
terreno nos ofrece una tensión admisible de 1,5 kg/cm2 una vez superada la pequeña
alteración superficial (-1,00 m) hasta (-2,00 m), cota a partir de la cual ya contamos con
2,0 kg/cm2.
Las cimentaciones típicas son superficiales, pudiendo ser:
– Mediante zapatas aisladas, con o sin arriostramiento, pero apoyadas a partir de la
cota – 1 m.
– Mediante zapatas corridas, en zanjas que alcancen como mínimo -1 m, rellenas de
hormigón en masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarán las
definitivas zapatas.
De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendrá dado por la carga a
transmitir y la tensión admisible del terreno según la cota final de apoyo de la zanja.
1.2 Acciones en la edificación
El DB SE-AE recoge las acciones contempladas para una edificación, dividiéndolas
en tres grupos principales: acciones permanentes (G), acciones variables (Q) y acciones
accidentales (A).
Acciones permanentes (G)
Acciones que siempre se encuentran presentes.
Peso propio
Acciones debidas al propio peso de las edificaciones y a
aquellas cargas cuyo carácter sea permanente, como en
el caso de determinados equipos industriales de
ubicación fija.
Acciones variables (Q)
Acciones que por su carácter no son permanentes.
Sobrecarga de uso
Acciones
climáticas
Viento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas
perpendiculares a la superficie expuesta y vienen
determinadas por la presión dinámica del viento
(función del emplazamiento geográfico de la obra), por
un coeficiente de exposición (función de la altura del
3
Introducción
punto considerado y del grado de aspereza del entorno)
y por un coeficiente eólico de presión (función de la
forma y orientación de la superficie).
En construcciones diáfanas sin forjados intermedios
(naves) hay que considerar la superficie de huecos que
presentan los cerramientos dado que pueden dar lugar
a succiones en el interior.
Nieve Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud, y
de un coeficiente de forma de la cubierta que determina
la acumulación de nieve.
Térmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando
se encuentran impedidas, las dilataciones y
contracciones causadas por las variaciones térmicas.
Tanto en estructuras metálicas como de hormigón
deben ser consideradas cuando existan elementos
continuos de más de 40 m de longitud, en cuyo caso,
para evitar su aparición, se colocan juntas de dilatación.
Acciones accidentales (A)
Acciones cuyo carácter es fortuito y eventual.
Sismo
Las acciones debidas a movimientos sísmicos son
contempladas por la Norma de construcción
sismorresistente (NCSE).
Incendio
Las acciones producidas por un incendio son
contempladas por el documento básico de seguridad en
caso de incendio (DB-SI).
Impacto
Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea)
producidas, normalmente, por la colisión de un vehículo,
típicamente, en garajes y naves.
El análisis del problema de impacto suele reducirse a la
determinación de la carga estática equivalente, o sea,
aquella que aplicada sobre la estructura provocaría la
misma deformación que la de impacto.
Ejemplo de sobrecarga de uso:
Una cubierta accesible sólo para personal de mantenimiento, según CTE (DB-SE
AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles
únicamente para conservación es de 1 kN.
Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia,
de modo que el momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del
4
Introducción
vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente.
Momento máximo
(se produce en el centro x =
L/2)
Viga biarticulada con carga
puntual en el centroM c=
P⋅L4
Viga biarticulada con carga
uniformemente repartidaM c=
q⋅L2
8
Así, la carga puntual y distribuida que generan el mismo momento máximo son:
q=2⋅PL
de tal modo que para P = 100 kg y L = 5 m:
q = 40 kg/m
Finalmente, como la distancia entre correas ( d ) será de 1,5 m y la carga es
absorbida por una única correa (qd
), tendremos una sobrecarga superficial de 26,67
kg/m2.
1.3 Principales materiales estructurales
ACERO HORMIGÓN ARMADOHORMIGÓN
PREFABRICADO
5
L
A B
q
L
A BP
Introducción
Consideracione
s del diseño
VENTAJAS:
Rapidez de montaje y
menor peso para la
misma resistencia
DESVENTAJAS:
Problemas de
corrosión, resistencia
al fuego, pandeo y
fatiga
VENTAJAS:
Coste, rigidez y óptimo
comportamiento frente a
efectos atmosféricos y al
fuego.
DESVENTAJAS:
Menos espacios diáfanos
VENTAJAS:
Rapidez de montaje y
elevada resistencia
DESVENTAJAS:
Precio elevado
Normativa SE-A EHE
Elementos
estructurales
Perfiles laminados
(IPE, HEB,...) o
conformados y sus
combinaciones.
Pilares y vigas (porticos).
Forjados.
Losas y vigetas.
Materiales Acero S275-JR Acero: compone la
armadura y aporta la
resistencia a tracción y a
esfuerzos cortantes.
Se emplean barras de
acero corrugado para que
se cumpla la necesidad de
adherencia, normalmente
barras de acero B 500 S (σy
= 500 N/mm2).
Hormigón: aporta la
resistencia a compresión y
actúa como protección
para el acero, tanto ante la
corrosión como ante el
fuego.
Normalmente se emplea
hormigón de resistencia
media/baja HA-25/30 (σR =
32,5 N/mm2).
6
Introducción
Enlaces Uniones remachadas,
atornilladas o
soldadas.
Para que el
comportamiento de las
uniones sea el de un
nudo rígido se
sueldan, en los perfiles
laminados de acero,
una serie de placas
metálicas para crear
continuidad,
rigidizadores.
Nudos rígidos realizados in
situ y las juntas de
dilatación para evitar
esfuerzos térmicos.
Criterios de
dimensionamie
nto
Debido a que se trata
de piezas esbeltas hay
que hacer
comprobación a
pandeo.
Tabla 1: Comparativa de los principales materiales estructurales
1.4 Pasos para la ejecución de una edificación
1. Solicitud y concesión de permisos y licencias
2. Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno, nivelado, replanteo de
cimentaciones y excavación de los elementos de cimentación.
3. Cimentaciones
4. Estructura y forjados
5. Cubierta y faldones
6. Cerramientos y tabiquería (división interna)
7. Pavimentos y solados
8. Pintadas y alicatados baños
9. Falsos techos y aislamientos térmicos y acústicos
10. Urbanización exterior, aparcamientos y jardines
7
Cálculo de estructuras
2. Cálculo de estructuras
2.1 Introducción
El cálculo de una estructura se puede reducir, de forma genérica, a los siguientes
tres pasos fundamentales:
1. Cálculo de reacciones.
2. Cálculo de momentos.
3. Cálculo de desplazamientos y giros.
2.1.1 Cálculo de reacciones
Para el cálculo de reacciones se plantean las ecuaciones de la estática (
∑ F=0 , ∑M=0 ), y se resuelven las incógnitas.
Cuando existan uniones articuladas,
dado que permiten libremente el giro entre
las dos secciones que unen, se tiene que la
suma de momentos vista a cada uno de los
lados ha de ser nula, lo que añadirá una
nueva ecuación al sistema.
Cuando la estructura es hiperestática,
o sea, el número de incógnitas es mayor que
el de ecuaciones ( GH= I−E0 ), se sustituyen las ligaduras necesarias por las
reacciones correspondientes hasta que el sistema sea isostático, y se igualan sus
desplazamientos a cero.
2.1.2 Cálculo de solicitaciones
Por norma general, los desplazamientos y giros
debidos a esfuerzos normales y cortantes serán
despreciables frente a los producidos por flexión o torsión,
de tal modo que se puede reducir el problema al cálculo
de los momentos.
Para ellos, se secciona la estructura por cada uno de
los tramos en que no existen cambios en los estados de
carga y se calculan los esfuerzos normales, cortantes,
8
Ejes globales
x
y
z
Si existe una carga aplicada sobre una
rótula, se divide la estructura en dos y se
suponen aplicadas en cada parte de la
estructura dos cargas que sumarán
finalmente la carga aplicada y cuyos
desplazamientos serán iguales en ambas
partes.
Cálculo de estructuras
flectores y torsores en cada una de las secciones tomando el siguiente criterio de
signos.
2.1.3 Cálculo de desplazamientos y giros
Para el cálculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de
Mohr y Castigliano, explicados más adelante.
2.2 Resolución de una estructura simple
Calcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura.
Dado que en una articulación el momento es nulo,
de modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos
normal y cortante, dividimos la estructura por las
rótulas, de tal modo que:
Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales, y dado
que la carga está centrada, ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P.
Ahora se pueden representar los tramos AC y EG, de tal modo que:
9
A BC
L L
E
F G
L L
2P
L
D
L
Criterio de signos
N>0
V>0
Mf>0
Mt>0
2P
D
C E
RC=P R
E=P
Mf
+ PL
Cálculo de estructuras
K B=3 E I
LK F=
4 E IL
La rigidez al giro de una barra en un extremo relaciona el momento ejercido con el giro
efectuado, de tal modo que K=M
.
2.3 Consideraciones sobre el acero
Cuando las solicitaciones son estáticas y considerando un coeficiente de seguridad
( C ), se tiene que la tensión admisible a tracción o compresión ( ad ) vendrá dada
por:
ad= y
C
donde ( y ) es la tensión de fluencia a tracción.
Aplicando la teoría del esfuerzo cortante máximo, se considerará que en los aceros
el esfuerzo cortante admisible vendrá dado por:
ad= ad
2
2.4 Determinación de esfuerzos máximos
Cada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser
absorbido de forma elástica por la barra que lo soporta, de modo que la tensión máxima
que debe soportar el material será la causada por la suma de los esfuerzos debidos a
cada una de las solicitaciones.
10
A BC
P
L L
Mf
PL
EF G
P
L L
Mf +
PL
PL/2
Cálculo de estructuras
Esfuerzos producidos por cada una de las solicitaciones
Solicitaciones Tensiones generadas
NTracción /
Compresión=
NS=E⋅ (Ley de Hooke)
V Cortadura =V⋅M e
B⋅I z
M F Flexión =M F⋅y
I z
(Ecuación de Navier)
M TTorsión
(barras cilíndricas)=
M T⋅rI p
(Teoría elemental de Coulomb)
Tanto el esfuerzo normal como el momento flector generan esfuerzos normales,
mientras que tanto el esfuerzo cortante como el momento torsor generan
esfuerzos cortantes.
Así, el esfuerzo normal máximo se dará
donde la siguiente suma sea máxima
(teniendo en cuenta los sentidos de las
tensiones generadas):
=NS
M F⋅yI z
Además, cuando el momento flector no coincide con ninguno de los ejes
principales de inercia (flexión desviada) hay que resolverlo por superposición. O sea,
proyectar el momento en los ejes principales y sumar las tensiones producidas por cada
proyección.
En la ecuación de Navier, dado que y es la distancia a la línea neutra, el
esfuerzo normal máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad
de la sección, motivo por el cual los perfiles laminados empleados en estructuras
metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la mayor cantidad posible de
material.
Como esa distancia es una característica geométrica de la sección, al igual que el
momento de inercia, se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente:
W z=I z
ymax
11
El estudio de los esfuerzos y la
determinación de aquellos que sean
máximos es lo que justifica la
determinación de los diagramas de
solicitaciones.
Cálculo de estructuras
2.4.1 Ejemplo
Determinar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes
LAB y LBC son 4 y 1 metros respectivamente, verifique la condición de resistencia cuando
la carga P es de 5000 kg, siendo la tensión admisible ( adm = 1600 kg/cm2).
B=0 ⇒ RB⋅LAB
3
3 E I=
P⋅LBC⋅LAB2
2 E I
P⋅LAB3
3 E I ⇒
2 RB⋅L AB3 =3 P LBC⋅LAB
2 2 P⋅LAB3 ⇒ RB=
3 P⋅LBC2 P⋅LAB
2 LAB= 6875 kg
Condición de resistencia
max=M max
W z adm
max=V max
A adm
3
IPE 330 ⇒ max = 7,01 kg/mm2 ; max = 2,46 kg/mm2
2.5 Trazado de la deformada
La línea elástica o deformada viene definida a través de la ecuación de la
curvatura:
12
LBC
LAB
A B C
P
LBC
LAB
A B C
P
RB
Mf
5000 kg∙m
2500 kg∙m
+
Cálculo de estructuras
1r
curvatura
=−d 2 yd x2
y ' '
=M F
E I z, donde x0
= dydx x= x0
y x0= y x= x0
2.6 Esfuerzos térmicos
Un elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra
contracciones o dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se
encuentren impedidas.
Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la
longitud en función de la variación de la temperatura, de modo que:
L f =Li1⋅T donde es el coeficiente de dilatación lineal térmica.
Debido a esta dilatación se producirá en la barra una tensión normal de valor:
=⋅T⋅E
2.7 Pandeo
Cuando un elemento esbelto, típicamente pilares metálicos, se encuentra
sometido a compresión se puede producir el fenómeno conocido como pandeo.
El pandeo es la pérdida de equilibrio
que experimenta una barra prismática de
cuerpo elástico sometida a compresión axial.
Cuando dicha barra es suficientemente
esbelta (larga y delgada), y la carga
sobrepasa un cierto valor denominado carga
crítica, la barra pasa a estar en equilibrio
inestable, lo que significa que la más mínima
alteración (que siempre existe) provoca el
agotamiento de la barra sin un nuevo
incremento de la carga.
De modo que la carga crítica o de
pandeo representa la máxima carga práctica
que es capaz de soportar la pieza, dado que
cuando se sobrepasa pasa de estar en
equilibrio estable a equilibrio inestable,
pudiendo ceder aún cuando la tensión en el
material no supere el límite elástico de
13
Existen tres tipos de equilibrio a los que
puede estar sometido un cuerpo:
- Equilibrio estable: cuando se separa el
cuerpo de su posición de equilibrio de
forma infinitesimal este retorna a su
antigua posición.(esfera sobre superficie
cóncava)
- Equilibrio indiferente: cuando se
separa el cuerpo de su posición de
equilibrio de forma infinitesimal este
permanece en su nueva posición. (esfera
sobre superficie plana)
- Equilibrio inestable: cuando se separa
el cuerpo de su posición de equilibrio de
forma infinitesimal este se aleja más de su
posición inicial. (esfera sobre superficie
convexa)
Cálculo de estructuras
compresión.
El pandeo de evalúa por medio del establecimiento de la longitud de pandeo, que
es la que existe entre los puntos de inflexión de la barra sometida a compresión.
2.8 Fatiga
Cuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos
variables de forma continuada, se pude producir su rotura aunque en ningún caso se
haya sobrepasado su límite resistente.
A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin
deformación plástica (frágil) por debajo de su resistencia, o incluso de su límite elástico,
se lo conoce como rotura por fatiga.
Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el
material no sufre la rotura por fatiga. A esta tensión se la denomina límite de fatiga (
e ) y consideraremos que su valor admisible vendrá dado por:
e , ad=e
C
siendo e=R
2, y R la tensión de rotura.
14
Determinación de desplazamientos y giros
3. Determinación de desplazamientos y giros
Hay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su
mismo sentido, mientras que un momento causa un giro. Así, la deformación k será
aquella correspondiente a la acción exterior F k , de modo que si se trata de una
fuerza (P) es un desplazamiento (), y si se trata de un momento (M) es un giro ().
3.1 Teoremas de Mohr
3.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos
Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una
viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas
secciones, dividido por la rigidez a flexión ( E I z ).
AB=∫A
B M F
E I z
dx
Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con
respecto a la tangente en un punto de la viga es igual al área del diagrama de
momentos flectores comprendido entre ambos puntos por la distancia desde su centro
de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo, dividido por
la rigidez a flexión.
B t A=∫
A
B
x B
M F
E I z
dx
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en
voladizo que presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q.
15
Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que
utilizar momentos torsores ( M T ) y la rigidez a torsión (
G I p ).
L
A B
q
Determinación de desplazamientos y giros
M f=−q⋅x⋅x2
A=∫0
Lq⋅x2
2 E Idx= q⋅L3
6 E I
A=∫0
Lq⋅x2
2 E I⋅x dx= q⋅L4
8E I
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A.
Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de
superposición, los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos
de las cargas aisladas. Así:
Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del
segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que
combinados, compondrán los de la estructura inicial.
3.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos
La determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y
cuarto teorema de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada.
Dada una viga, a la que llamaremos primitiva, definimos la viga conjugada de la
primera como aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya única carga sea
repartida de valor en cada sección igual al momento flector dividido por la rigidez (
E⋅I z ), en la correspondiente sección de la primitiva.
Además, la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de
sustentación:
16
x
A
φ
δ
P
A B
C
L L
M
A B
PC (II)
Mf
PL
Mf
M
(I)A B
CM+
Determinación de desplazamientos y giros
a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante
articulaciones, los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma.
b) Si un extremo de la viga primitiva está volado, el correspondiente
extremo de la conjugada debe estar empotrado, y viceversa.
c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse
por articulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada, y
viceversa.
Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva
es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su
sentido de giro es dextrógiro cuando el esfuerzo cortante en la sección de la viga
conjugada es positivo.
Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual
al momento flector en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido es
hacia abajo cuando el momento flector en la sección de la viga conjugada es positivo.
EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr.
Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos
flectores que proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada.
M f=ML⋅x−M
Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar
el tercer teorema de Mohr.
17
M
L
A B
M/L
Mf
M
M A B
M/L
M/E
I
Determinación de desplazamientos y giros
Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que
provoca el momento M.
De modo que : A=M L3 E I
3.2 Teorema de Castigliano
El teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección
determinada, dado que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del
sistema con respecto a la acción causante del desplazamiento en dicha sección.
k=∂U∂F k
3.2.1 Método de la acción unidad
La forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de
Mohr, las cuales simplifican enormemente los cálculos. Así:
1. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento
correspondiente, se supone y al final se iguala a cero.
2. Se calculan las solicitaciones, teniendo en cuenta que normalmente bastará con
calcular el momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser
despreciables.
3. Se derivan respecto a la carga, de tal modo que:
N 1=∂ N∂F k
M F1=∂ M F
∂F k
M T 1=∂M T
∂ F k
4. Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dará
la deformación producida por cada solicitación.
N=∫L
N⋅N 1
S⋅Edx M F
=∫L
M F⋅M F 1
E⋅I z
dx M T=∫
L
f t
M T⋅M T 1
G⋅I p
dx
NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación
simbólica que alguna otra carga, habrá que cambiársela para poder realizar la
18
ML/2EI
2L/3L/3
φ
Determinación de desplazamientos y giros
derivación, así como asignársela si viene dada por un valor numérico.
3.3 Potencial interno
Cuando un cuerpo es sometido a deformación se generan unas fuerzas internas
que producirán un trabajo conocido como energía de deformación o energía interna.
Esta energía vendrá dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema.
El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuación de Clapeyron:
W ii=12
P i⋅ i
Y el trabajo indirecto o mutuo:
W ij=P i⋅ij⋅P j , donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos
indirectos recíprocos son iguales, o sea W ij=W ji ∀ i≠ j .
Por ejemplo, para un sistema cargado con una fuerza y un momento:
U=12
P A12
M B=12
P2⋅ AA
12
M 2⋅BBP⋅M⋅AB
Como el potencial interno no es función lineal de las acciones, no es aplicable el
principio de superposición a la energía interna. Sin embargo, la energía interna puede
ser determinada por medio de la suma de las energías de deformación debidas a cada
una de las solicitaciones, cuyas expresiones son:
U N =∫L
N 2
2⋅E⋅Sdx U M F
=∫L
M F2
2⋅E⋅I z
dx
U V=∫L
f cV 2
2⋅G⋅Sdx U M T
=∫L
f t
M T2
2⋅G⋅I p
dx
De modo que finalmente tendremos que la energía total del sistema vendrá dada
por la suma de las producidas por cada solicitación.
U TOTAL=U NU VU M FU MT
Como las energías de tracción y cortadura suelen ser despreciables cuando
coexisten con las de flexión y torsión, el problema se reducirá a la determinación de la
energía interna debida a flexión.
3.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti
El cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas
19
Determinación de desplazamientos y giros
de acciones distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los
productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes
desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los desplazamientos en
el primero por las correspondientes acciones del segundo.
∑ F i I ⋅i II =∑ F j II ⋅ j I
Así:
1. Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere
calcular el desplazamiento.
2. Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos
puntos donde existen cargas aplicadas en el sistema (I).
3. Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado.
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema
de Betti.
Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento.
De este modo: M⋅A II =P⋅B I
Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a
derechas vale: A II =−PL⋅L /2
B I =−M L2
2
Que como tiene signo menos, significa que el desplazamiento será hacia arriba.
20
A B
PC
L L
A BC
L L
M(I) (II)
A B
PC (II)
Mf
PL
Pórtico simétrico
4. Pórtico simétrico
Una estructura simétrica es aquella que presenta simetría de material, de
geometría y de condiciones de sustentación, respecto a un eje.
Ilustración 1: Pórtico rígido
Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos, cuya suma
será igual a la primera. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno
antisimétrico (las cargas a un lado del eje de simetría son de sentidos contrarios a los
que le corresponderían si fuesen simétricas).
Esto lleva a una simplificación del problema dado que en la sección situada en el
plano de simetría de la parte simétrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo
cortante son nulos (δH = φ = V = 0), mientras que en la parte antisimétrica lo son el
desplazamiento vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (δV = N = Mf = 0).
A la estructura con carga simétrica se
la denomina también como no traslacional,
dado que sus nudos no sufren
desplazamiento lineal si sólo se tiene en
cuenta la flexión.
21
En los pórticos no se pueden despreciar las
reacciones horizontales, aunque sólo
existan cargas verticales, en
contraposición a lo que se hacía en vigas
de no muy gran luz.
A
B
MC
E
D
M
φ = 0
δH = 0
V = 0
Simétrico
A
B
MC
E
D
M
δV = 0
N = 0
Mf = 0
Antisimétrico
+
A
B
2M CE
D
2L
L
Estructuras reticuladas
5. Estructuras reticuladas
5.1 Introducción
Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran
constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si
sólo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarán sometidas únicamente a
esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a compresión. Dado que mientras
que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y
giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el momento
flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá.
Para la resolución de una estructura reticulada todas las cargas deben estar
aplicadas en los nudos, para de ese modo considerar que todas las barras se encuentran
sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de
tracción (+) o de compresión (-). Así, cuando alguna barra se encuentre cargada, para
resolver la estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos, y
cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se
tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho
de encontrarse cargada. Además, recordar que cuando la barra está sometida a
tracción, el nudo lo está a compresión, y viceversa.
Si la estructura es hiperestática interiormente ( GH=3b – 2⋅n > 0, donde b
es el número de barras y n el de nudos), para su resolución hay que eliminar un
número de barra igual a GH y sustituirlas por las fuerzas que ejercerían, fijando las
condiciones que imponían sus coacciones.
5.2 Ejemplo
Determinar los esfuerzos normales en las barras, cuando la barra que se encuentra
cargada es la BC.
22
Estructuras reticuladas
GH=3b – 2⋅n = 3 + 3 – 2·3 = 0 ⇒ Estructura isostática
1. Cálculo de reacciones.
RHA=qv⋅LAB
RVA= q p⋅LAC2
2−
qv⋅LAB2
2 /LAC
RVC= q p⋅LAC2
2
qv⋅LAB2
2 /LAC
2. Cálculo de esfuerzos.
23
A
B
C
LAC
LAB
qp
qv
A
B
C
qp∙L
AC
qv∙L
AB
RHA
RVC
RVA
D
Estructuras reticuladas
5.3 Principio de los trabajos virtuales
Si superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de
desplazamientos arbitrarios compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud
infinitesimal (desplazamientos virtuales), el incremento de trabajo hecho por las fuerzas
externas durante la aplicación de los desplazamientos será igual al experimentado por
el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo será igual al
trabajo virtual interno.
5.3.1 Aplicación del P.T.V. al cálculo de desplazamientos
En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la
aplicación del P.T.V. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos
normales, de tal modo que:
1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema
congruente de desplazamientos).
2. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma
estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al
desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio).
Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma
dirección y sentido, y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento
requerido, o a un momento de igual dirección y sentido, y punto de aplicación que
el giro que se busca.
24
B
C
LAC
LAB
qp
qv
Estructuras reticuladas
3. Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que para sistemas de
nudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en
el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por:
=∑ N i 'N i⋅LS E
donde:
N i son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el
sistema de fuerzas real.
N i ' son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en
el sistema de fuerzas virtual.
25
Cálculo de una marquesina
6. Cálculo de una marquesina
Introducción
El problema consiste en resolver el
cálculo de la estructura metálica de una
marquesina, cuyo modelo se plantea a
continuación.
Quedará pendiente el dimensionado
de la placa de anclaje y de la cimentación
necesaria.
Parametrización
Hipótesis de carga
Se descompone en dos y se aplica
superposición.
(I) + (II)
Cálculo de reacciones
Peso propio
26
b/cos α
a/cos α
D
H
a
L
α
A
B
C
L∙sen αb∙tan α
a∙tan α
b
A
B
C
D
qp
qv
A
B
C
D
qp
(I)
VD
MD
Cálculo de una marquesina
V D=q p⋅L
M D=q p
2⋅cos⋅ b2
−a2
Carga de viento
H D=qv⋅L⋅sin
M D=qv
2⋅tan2
⋅ b2−a2
Cálculo de solicitaciones
Para encontrar las solicitaciones
internas se descomponen las cargas, de
modo que:
+
Con lo que se tiene que la carga
normal y cortante distribuida a lo largo de
la longitud ( L ) de la viga es:
w N=q p⋅sinqv⋅sin⋅cos
wV=q p⋅cos – qv⋅sin⋅sin
Diagramas de esfuerzos
27
HD
MD
A
B
C
D
qv
(II)
α
(I)
q
p
qp∙cos αα
qp∙sen α
αα
(II)
q
vqv∙cos αq
v∙sen α L∙sen α
D
A
B
C
N
+
D
A
B
C
V
+
+
Cálculo de una marquesina
Cálculo resistente
El cálculo resistente responde a que
las tensiones máximas no sobrepasen el
umbral admisible por el material, y dado
que los valores máximos se producen en
las mismas secciones, se tiene que:
max=N max
ANmax
M max
W zMmax
≤ adm
Cálculo de la viga
Tanto el esfuerzo normal máximo
como el momento flector se darán en la
barra BC, justo antes del nudo:
x= bcos
[desde B]
Esfuerzo normal máximo
N max=wN⋅b
cos
Momento flector máximo
Dado que el momento flector en la
viga, desde los extremos al nudo, vale:
M=−w v⋅x2
2
Finalmente:
M max=w v⋅b2
2⋅cos2
Cálculo del pilar
Aunque el pilar (barra CD) se
encontrará arriostrado por las correas de
la cubierta se realizará su comprobación a
pandeo.
Esfuerzo normal máximo
N max=qp⋅L
Momento flector máximo
En el pilar hay que tener presente su
orientación, dado que según esta, el
módulo resistente encargado de soportar
el esfuerzo de flexión cambiará.
M max=wv
2⋅cos2
b2 – a2
Cálculo de desplazamientos
Dado que el desplazamiento
máximo de la estructura se da en el
extremo (B) de la viga, se determina en
este punto la flecha vertical, despreciando
los efectos debidos al esfuerzo cortante.
28
D
A
B
C
M
Cálculo de una marquesina
Placas de anclaje
Como las tensiones de trabajo del
hormigón de cimientos son muy inferiores
a las del acero, es necesario realizar el
asiento por medio de placas, con rigidez
suficiente para repartir las cargas de
manera que la presión sobre el hormigón
no rebase su tensión de trabajo.
Referencias
[1] CTE-DB-SE-AE: Código técnico de
la edificación. Documento básico.
Seguridad estructural. Acciones en la
edificación.
[2] CTE-DB-SE-A: Código técnico de
la edificación. Documento básico.
Seguridad estructural. Acero.
29
b
a
g
Geometría VigaH [m] 3 Perfil IPEL [m] 5 Dimensión 400
[º]α 35 E [N/mm²] 210000a [m] 1 A [mm²] 84500b [m] 4 1160000
Nmax [N] 67488,13Cargas Mmax [N∙m] 107467,78
20000 0,8
5000 92,64
13820,76 93,44
18027,99
PilarReacciones Perfil HEB
100000 Dimensión 300
14339,41 E [N/mm²] 210000
201502,09 A [mm²] 14900
1680000Nmax [N] 100000
Mmax [N∙m] 201502,09
6,71
Wz [mm3]
qp [N/m] σ
Nmax [N/mm²]
qv [N/m] σ
Mmax [N/mm²]
wN [N/m] σ
max [N/mm²]
wV [N/m]
VD [N]
HD [N]
MD [N∙m]
Wz [mm3]
σNmax
[N/mm²]
Método de la rigidez
7. Método de la rigidez
7.1 Introducción
Un sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección
constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver
por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos ( L ) y sus
desplazamientos ( D ) a través de la matriz de rigidez ( S ) de la estructura.
L=S⋅D
La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que
el método se sintetiza en seis etapas, mediante las cuales se da solución al sistema
estructural.
1. Descripción estructural
2. Cálculo de la matriz de rigidez de barra y del vector de cargas nodales
equivalente.
3. Cálculo de la matriz de rigidez global y del vector de cargas global de la
estructura.
4. Introducción de las condiciones de contorno.
5. Solución del sistema de ecuaciones.
6. Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones nodales.
7.2 Método
7.2.1 Descripción estructural
La estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X, Y, Z)
respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus cargas.
Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x, y, z)
respecto al cual se definen sus características, así como las acciones aplicadas sobre
ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geométrico de la barra, mientras
que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la sección transversal de la barra.
7.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente
7.2.2.1 Matriz de rigidez de barra
La matriz de rigidez ( k ) de una barra respecto al sistema de referencia local (x,
30
Método de la rigidez
y, z) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial ( i ) y final ( j ) de la
barra se define de forma única como:
k=[E AL
0 0 −E AL
0 0
0 12 E IL3
6 E IL2 0 −12 E I
L36 E I
L2
0 6 E IL2
4 E IL
0 −6 E IL2
2 E IL
−E AL
0 0 E AL
0 0
0 −12 E IL3
−6 E IL2
0 12 E IL3
−6 E IL2
0 6 E IL2
2 E IL
0 −6 E IL2
4 E IL
] Así, por medio de esta matriz, quedan relacionadas las fuerzas en extremo de
barra (f) con los desplazamientos nodales en ejes locales ( d ), de tal modo que:
k= f E , A , I , L
7.2.2.2 Vector de cargas nodales
Las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes
que, aplicadas en los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las
originales, siendo estas cargas equivalentes ( p ) las reacciones de empotramiento
perfecto cambiadas de signo.
7.2.2.3 Matriz de rotación
Dado que una barra puede presentar una orientación arbitraria ( ), medida en
el sentido levógiro, se define la matriz de rotación ( r= f ) para convertir los
vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:
r=[cos sin 0 0 0 0−sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 −sin cos 00 0 0 0 0 1
]Así, la matriz de rigidez de la barra en el sistema de referencia global ( K ), se
define como:
31
Método de la rigidez
K=r t⋅k⋅r
Y el vector de cargas global de la barra, como:
P=−r t⋅p
7.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura
7.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura ( S ) se construye como la suma de las
rigideces correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. Para ello se
identifican las submatrices que componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a
su posición correspondiente en S.
S=∑ K K=[ K 11 K 12
K 21 K 22]
7.2.3.2 Vector de cargas de la estructura
El vector de cargas de la estructura ( L ) se construye como la suma de las
cargas aplicadas en cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.
L=∑ P P=[ P1
P2]
7.2.4 Introducción de las condiciones de contorno
Las filas y columnas de cada desplazamiento impedido se ponen a cero, salvo el
elemento de la diagonal que se igual a uno, y se elimina la acción (carga)
correspondiente.
7.2.5 Solución del sistema de ecuaciones
La resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos
nodales ( D ) en función de sus cargas ( L ), de tal modo que:
D=S−1⋅L
7.2.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones
– Las solicitaciones ( f ) en los extremos de cada barra se calculan por medio de
la matriz de rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus
extremos son conocidos, y se aplica una transformación para expresar sus valores
en el sistema de coordenadas local de la barra.
F=K⋅D f =r⋅F
32
Método de la rigidez
– Las reacciones ( R ) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el
resultado de sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo
más las cargas que sobre el se encuentran aplicadas.
R=∑ F
7.3 Implementación
Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto al paquete
para cálculo matricial Numpy.
Python es un lenguaje interpretado como MATLAB, pero con la ventaja de ser open
source, lo que lo hace indicado como herramienta de prototipado, y con un coste cero.
Para definir una matriz se utiliza una sintaxis parecida a la de MATLAB, con comas
o espacios para separar las columnas y punto y coma para separar las filas.
>>> from numpy import *
>>> A = mat(“[1 2 3; 4 5 6]”)
Para el manejo de índices se empieza a contar en 0, de modo que el elemento de
la segunda fila y segunda columna se indicaría como:
>>> A[1, 1]
5
Para manejar submatrices se utiliza una designación de rango, donde se indica el
primer elemento y a continuación se pone la posición del último separado por dos
puntos, tal que:
>>> A[0:2, 1:3]
matrix([[2, 3],
[5, 6]])
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser tan simple como a
través de su inversa, pero resulta recomendable hacerlo por medio de la llamada a una
función dado que generalmente será más rápido y numéricamente más estable.
Tradicional Recomendado
>>> A = mat('[1 3 5; 2 5 1; 2 3 8]')
>>> b = mat('[10;8;3]')
>>> x = A.I*b
matrix([[-9.28],
[ 5.16],
[ 0.76]])
>>> A = mat('[1 3 5; 2 5 1; 2 3 8]')
>>> b = mat('[10;8;3]')
>>> linalg.solve(A,b)
matrix([[-9.28],
[ 5.16],
[ 0.76]])
# Programa: MSA.py
33
Método de la rigidez
# Propósito: Análisis estructural plano por el método matricial.# Autor: Jorge Rodríguez Araújo# Fecha: 29/04/2009# Versión: 0.1
from numpy import *
# Definición de la estructura#----------------------------------------------------------# Nudos (N): [X, Y]# X = Coordenada horizontal en el eje de referencia absoluto# Y = Coordenada vertical en el eje de referencia absoluto## Barras (B): [i, j, E, A, I, L, a]# i = Nudo inicial de la barra# j = Nudo final de la barra# E = Módulo de elasticidad# A = Área de la sección de la barra# I = Momento de inercia de la sección# ------ calculados ----# L = Longitud de la barra# a = Ángulo de rotación de la barra (sentido levógiro)# ----------------------## Descripciónn de los nudos (dN): [dX, dY, rZ]# dX = Desplazamiento horizontal impedido (0)# dY = Desplazamiento vertical impedido (0)# rZ = Rotación impedida (0)
N = [[100, 75], [0, 75], [200, 0]] B = [[1, 0, 10000, 10, 1000], [0, 2, 10000, 10, 1000]]
dN = [[1, 1, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
# Definición de las cargas#----------------------------------------------------------# Cargas en los nudos (lN): [FX, FY, MZ]# FX = Carga según el eje horizontal# FY = Carga según el eje vertical# MZ = Momento según el eje Z## Cargas en los extremos de las barras (lB): [Fxi, Fyi, Mzi, Fxj, Fyj, Mzj]# Fxi = Carga en el nudo i según el eje x de la barra# Fyi = Carga en el nudo i según el eje y de la barra# Mzi = Momento en el nudo i según el eje z de la barra# Fxj = Carga en el nudo j según el eje x de la barra# Fyj = Carga en el nudo j según el eje y de la barra# Mzj = Momento en el nudo j según el eje z de la barra
lN = [[0, -10, -1000], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
34
Método de la rigidez
lB = [[0, 12, 200, 0, 12, -200], [-6, 8, 250, -6, 8, -250]]
# Calcula el número de nudosn = len(N)
# Calcula la longitud y el ángulo de giro de una barradef LengthAndAngle(i, j): X1 = float(N[i][0]) X2 = float(N[j][0]) Y1 = float(N[i][1]) Y2 = float(N[j][1]) L = sqrt( (X2-X1)**2 + (Y2-Y1)**2 ) a = arctan( (Y2-Y1) / (X2-X1) ) return [L, a]
# Define la matriz de rigidez local de una barradef StiffnessMatrix(E, A, I, L): E = float(E) A = float(A) I = float(I) L = float(L) k = matrix(zeros((6,6))) k[0,0] = k[3,3] = (E*A/L) k[0,3] = k[3,0] = (-E*A/L) k[1,1] = k[4,4] = (12*E*I/L**3) k[4,1] = k[1,4] = (-12*E*I/L**3) k[1,2] = k[1,5] = k[2,1] = k[5,1] = (6*E*I/L**2) k[4,2] = k[4,5] = k[2,4] = k[5,4] = (-6*E*I/L**2) k[2,2] = k[5,5] = (4*E*I/L) k[2,5] = k[5,2] = (2*E*I/L) return k
# Define la matriz de rotación de una barradef RotationMatrix(a): a = float(a) r = matrix(zeros((6,6))) r[0,0] = r[1,1] = r[3,3] = r[4,4] = cos(a) r[0,1] = r[3,4] = sin(a) r[1,0] = r[4,3] = -sin(a) r[2,2] = r[5,5] = 1 return r
# Añade una barra a la matriz de rigidez de la estructuradef AddStiffnessMatrix(K, i, j): # K = Matriz de rigidez global de la barra # i = Nudo inicial de la barra
35
Método de la rigidez
# j = Nudo final de la barra i *= 3 j *= 3 S[i:i+3,i:i+3] += K[0:3,0:3] S[i:i+3,j:j+3] += K[0:3,3:6] S[j:j+3,j:j+3] += K[3:6,3:6] S[j:j+3,i:i+3] += K[3:6,0:3]
# Determina la matriz de rigidez de la estructura (S)S = matrix(zeros((n*3,n*3)))def StructureStiffnessMatrix(): for n in range(len(B)): i = B[n][0] j = B[n][1] [L, a] = LengthAndAngle(i, j) k = StiffnessMatrix(B[n][2], B[n][3], B[n][4], L) r = RotationMatrix(a) K = r.T * k * r AddStiffnessMatrix(K, i, j) print print "Barra %d" %n print " L = %f m" %L print " a = %f rad" %a print " K = ", K
# Añade un estado de carga a un nudo de la estructuradef AddLoadVector(P, n): # P = Vector de cargas en un nudo n *= 3 L[n:n+3,0] += P[0:3,0]
# Determina el vector de cargas de la estructura (L)L = matrix(zeros((n*3))).Tdef StructureLoadVector(): for n in range(len(lB)): i = B[n][0] j = B[n][1] [L, a] = LengthAndAngle(i, j) p = matrix(lB[n]).T r = RotationMatrix(a) P = -r.T * p
AddLoadVector(P[0:3,0], B[n][0]) AddLoadVector(P[3:6,0], B[n][1]) print print 'Vector de cargas global de la barra %d (P)' %n print P
36
Método de la rigidez
# Cargas aplicadas directamente en los nudos for n in range(len(lN)): AddLoadVector(matrix(lN[n]).T, n)
StructureStiffnessMatrix()StructureLoadVector()
# Se imponen las condiciones de contorno mediante la eliminación de# los grados de libertad impedidosfor n in range(len(dN)): if dN[n][0]==0: S[n*3,:] = S[:,n*3] = L[n*3,0] = 0 S[n*3,n*3] = 1 if dN[n][1]==0: S[n*3+1,:] = S[:,n*3+1] = L[n*3+1,0] = 0 S[n*3+1,n*3+1] = 1 if dN[n][2]==0: S[n*3+2,:] = S[:,n*3+2] = L[n*3+2,0] = 0 S[n*3+2,n*3+2] = 1
# Solución del sistemaD = S.I * Lprintprint 'Matriz de rigidez de la estructura (S)'print Sprintprint 'Vector de cargas de la estructura (L)'print L
# Reacciones en extremo de barrasd = matrix(zeros(6)).Tf = matrix(zeros([6, len(B)]))for n in range(len(B)): i = B[n][0]*3 j = B[n][1]*3 d[0:3,0] = D[i:i+3,0] d[3:6,0] = D[j:j+3,0] [L, a] = LengthAndAngle(B[n][0], B[n][1]) r = RotationMatrix(a) d = r * d k = StiffnessMatrix(B[n][2], B[n][3], B[n][4], L) f[:,n] = k * d f[:,n] += matrix(lB[n]).T # Resultadosprintprint "Desplazamientos de los nudos"print " D = ", Dprintprint "Reacciones en los extremos de barra"
37
Método de la rigidez
print " f = ", f.Tprintprint "Reacciones"print " R = "
7.4 Resultados
Barra 0 L = 100.000000 m a = 0.000000 rad K = [[ 1.00000000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00 -1.00000000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 1.20000000e+02 6.00000000e+03 0.00000000e+00 -1.20000000e+02 6.00000000e+03] [ 0.00000000e+00 6.00000000e+03 4.00000000e+05 0.00000000e+00 -6.00000000e+03 2.00000000e+05] [ -1.00000000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 -1.20000000e+02 -6.00000000e+03 0.00000000e+00 1.20000000e+02 -6.00000000e+03] [ 0.00000000e+00 6.00000000e+03 2.00000000e+05 0.00000000e+00 -6.00000000e+03 4.00000000e+05]]
Barra 1 L = 125.000000 m a = -0.643501 rad K = [[ 534.1184 -354.5088 2304. -534.1184 354.5088 2304. ] [ -354.5088 327.3216 3072. 354.5088 -327.3216 3072. ] [ 2304. 3072. 320000. -2304. -3072. 160000. ] [ -534.1184 354.5088 -2304. 534.1184 -354.5088 -2304. ] [ 354.5088 -327.3216 -3072. -354.5088 327.3216 -3072. ] [ 2304. 3072. 160000. -2304. -3072. 320000. ]]
Vector de cargas global de la barra 0 (P)[[ 0.] [ -12.] [-200.] [ 0.] [ -12.] [ 200.]]
Vector de cargas global de la barra 1 (P)[[ 8.88178420e-16] [ -1.00000000e+01] [ -2.50000000e+02] [ 8.88178420e-16] [ -1.00000000e+01] [ 2.50000000e+02]]
Matriz de rigidez de la estructura (S)
38
Método de la rigidez
[[ 1.53411840e+03 -3.54508800e+02 2.30400000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ -3.54508800e+02 4.47321600e+02 -2.92800000e+03 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 2.30400000e+03 -2.92800000e+03 7.20000000e+05 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
Vector de cargas de la estructura (L)[[ 8.88178420e-16] [ -3.20000000e+01] [ -1.05000000e+03] [ 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00] [ 0.00000000e+00]]
Desplazamientos de los nudos D = [[-0.02026077] [-0.09936002]
39
Método de la rigidez
[-0.00179756] [ 0. ] [ 0. ] [ 0. ] [ 0. ] [ 0. ] [ 0. ]]
Reacciones en los extremos de barra f = [[ 20.26076865 13.13782511 436.64755273 -20.26076865 10.86217489 -322.86504198] [ 28.72591986 -4.53327872 -677.13495802 -40.72591986 20.53327872 -889.52488224]]
Reacciones R =
40
Método de Cross
8. Método de Cross
El método de Cross es un método iterativo para la obtención de los momentos en
extremo de barra de una estructura.
1. Cálculo de los coeficientes de reparto para todas las barras.
Sabiendo que la rigidez de una barra AB en el extremo A se define como K AB=M A
A
, y
vale K=4⋅E⋅I z
L para barras empotradas y K=
3⋅E⋅I z
L para barras con apoyo
articulado. Para barras en voladizo vale 0.
NUDOS y
BARRASRIGIGEZ
COEF.
REPARTO
Barra AB 4EI/L 0,5
Barra AC 4EI/L 0,5
Nudo A 8EI/L
Barra BC 3EI/L 1
Nudo B 3EI/L
La determinación de los coeficientes de reparto ( C r ) permite saber que parte
del momento total aplicado en un nudo es absorbida por cada una de las barras que
concurren en el.
C r=Kbarra
K=
M barra
M
Siendo ( K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo, o rigidez
del nudo, dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el
mismo ángulo.
ETAPA INTRASLACIONAL
2. Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto.
Los momentos de empotramiento perfecto son los que aparecen como reacción
cuando la barra cargada se encuentra empotrada. Dado que estos momentos son
iguales pero de signo opuesto a los que las barras ejercerán sobre los nudos, entonces
se consideran positivos cuando son levógiros y negativos cuando son dextrógiros.
41
Método de Cross
Dado que la carga está aplicada de forma simétrica a los empotramientos genera
unas reacciones verticales y momentos de empotramiento iguales en ambos extremos.
M A=M C y V A=V C=P2
Planteando el giro en A por medio de la aplicación del primer teorema de Mohr y
dado que su giro es nulo:
M A 2LE I
−
P2
2L L
E I
P L L2
E I=0
Finalmente:
M A=P L4
y M C=−P L4
3. Equilibrado de los nudos y traslación de momentos.
En cada ciclo de iteración se suman los momentos en el nudo y se aplican los
coeficientes de reparto correspondientes sobre el momento resultante, trasladándose
cada uno de esos momentos obtenidos al extremo opuesto de la barra según el
coeficiente de transmisión.
El coeficiente de transmisión de momentos de A hacia B se define como
=M B
M A, teniéndose que para barras de sección constante siempre vale =0,5 .
42
L L
A B C
PM
CM
A
Anexo
9. Anexo
9.1 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos
Cuando un material es sometido a esfuerzos de tracción o compresión presentará
dos tipos de comportamiento (elástico y plástico) según la magnitud de los esfuerzos a
que se encuentre sometido.
En un primer lugar experimentará una deformación de carácter elástico, dado que
el material recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan
su deformación. La resistencia a la deformación, en caso de ser lineal el intervalo, viene
dada por medio del módulo elástico ( E ), y su relación se conoce como Ley de Hooke.
Si el esfuerzo sobrepasa un punto conocido como límite elástico ( Re ) del
material, el cuerpo se deformará de manera permanente o plástica.
Si el esfuerzo continua, se alcanza el punto conocido como resistencia a tracción (
Rm ), que es el valor máximo de tensión que puede soportar un material sin que se
produzca la estricción y posterior rotura del material cuando se encuentra sometido a
tracción.
Estos valores se leen sobre la curva que se obtiene al realizar el ensayo de
tracción sobre una muestra de material, curva convencional de tracción.
Así, en el ensayo de tracción realizado sobre una barra de acero corrugado de
dimensiones iniciales: 100 mm de longitud y 8,03 mm de diámetro, se obtuvo la
siguiente curva de tracción, cuyos valores de tensión ( ) y elongación ( ) vienen
dados por:
=FS0
=L−L0
L0, siendo S0=
D 02
4
43
Anexo
Tras la rotura, la probeta presentaba una longitud final entre los puntos calibrados
de 113,39 mm y un diámetro de 5,72 mm en la zona de estricción, siendo de este modo
los valores finales obtenidos:
Límite elástico ( Re ) = 493,65 MPa
Módulo elástico ( E ) = 61,02 MPa
Resistencia a tensión ( Rm ) = 590,68 MPa
En materiales como el acero, debido a que el límite elástico no se encuentra bien
definido, pero sin embargo, se aprecia claramente la zona de cedencia1, se toma como
valor representativo la tensión de fluencia ( f ), dado que además, se comprueba que
la resistencia a tracción suele estar en torno a 0,8 veces el límite de fluencia.
De este modo, para definir el esfuerzo normal máximo que puede soportar un
material (admisible) se define un coeficiente de seguridad ( C s ) que garantizará que
en ningún punto se excede su resistencia a tracción, de tal modo que:
adm= f
C s
9.2 Parámetros elásticos del material
El comportamiento elástico lineal de un material queda caracterizado por tres
parámetros interrelacionados:
– El módulo elástico o módulo de Young ( E ) establece la relación entre el
1 La región de cedencia es aquella que aparece al final de la región elástica y que se caracteriza por una .rápida deformación plástica del material sin un aumento de la carga
44
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0
100
200
300
400
500
600
700
Curva de tracciónEnsayo de tracción de una barra de acero corrugado
[mm/mm]ε
[MP
a]σ
fRe
Rm
Anexo
esfuerzo normal y la deformación lineal provocada:
=E
– Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de tracción
se observa que además se estrecha, mientras que cuando se acorta por estar
sometido a compresión se ensancha. Así, se tiene que la deformación en la
dirección de aplicación del esfuerzo provoca una variación proporcional de la
dimensión transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson ( ).
=contraccióntransversal
alargamiento longitudinal
– Finalmente, se tiene que ambos se relacionan por medio del módulo de elasticidad
transversal ( G ), que proporciona el esfuerzo cortante que provoca una
determinada deformación angular:
G=E
21 =G
9.3 Otras características de los materiales
Un material dúctil es aquel que puede deformarse sin romper, mientras que es
frágil cuando se rompe con facilidad, mejor dicho, cuando se rompe sin deformación
(rotura rápida y sin previo aviso).
Así, mientras que la rotura de un material dúctil se caracteriza por presentar una
reducción de sección denominada estricción, la de uno frágil se caracteriza por ser
plana, dado que no existe deformación plástica apreciable ya que la propagación de la
fisura es muy rápida.
La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energía en el intervalo
plástico, y por tanto indica la cantidad de trabajo que se puede hacer sobre un material
antes de que se produzca la fractura.
Como consecuencia de la variación de la temperatura el material se deforma
(contracción o dilatación) proporcionalmente a un coeficiente de dilatación que produce
la aparición de tensiones en su interior si sus movimientos están impedidos.
Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica
un esfuerzo, puede deformase y romper a cargas inferiores a las determinadas a través
del ensayo de tracción. A este fenómeno de deformación plástica por debajo del límite
elástico cuando el material se encuentra sometido a temperatura se lo denomina
45
Anexo
termofluencia.
9.4 Momentos de inercia
El momento de inercia ( I z ) es una
característica geométrica de la sección
respecto a un eje, normalmente el que
determina la línea neutra, y se define como:
I z=∫S
y2 ds
El momento de inercia polar ( I p ) se
define como la suma de los productos de las
áreas elementales por los cuadrados de las
respectivas distancias al polo.
I p=∫S
r2 ds=I xI y
Las expresiones de algunos momentos típicos son:
Sección
rectangularSección circular
I z I z=B⋅H 3
12I z=
⋅R4
4
I p I p=⋅R4
2Tabla 2: Momentos típicos
46
El teorema de Steiner puede facilitar el
cálculo del momento de inercia al
simplificar la integral.
Dado que el momento de inercia de una
sección respecto a un eje e' que no pasa
por el centro de gravedad es igual al
momento de inercia respecto a un eje
paralelo e que pase por el centro de
gravedad, mas el producto de la sección
total por el cuadrado de la distancia entre
esos dos ejes:
I e'= I ed 2 S
Bibliografía[1] Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. José Antonio González Taboada.
i
