Metodo de Rigidez-cap10-Version2008 (1)

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  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

    Captulo 10

    Mtodo de rigidez - Prticos Planos

    10.1- Prticos con nudos rgidos

    En este captulo se presenta el anlisis de prticos planos, que a diferencia de los

    reticulados vistos en los captulos precedentes, presentan continuidad de giros en los nudos. Por

    tal motivo, resulta necesario considerar al giro de cada nudo como un grado de libertad adicional

    al vector de los desplazamientos nodales. En la Figura 10.1.a se ilustra un nudo articulado

    correspondiente a un reticulado ideal. El caso (b) es un nudo rgido en el sentido que el giro de

    los extremos de todas las barras que concurren al nudo es el mismo. El caso (c) es un nudo

    combinado y finalmente el (d) representa esquemticamente un nudo semirgido en el que la

    articulacin tiene cierta restriccin elstica incorporada que vincula a las dos partes que conecta.

    Figura 10.1

    Por ahora se centrar la atencin en el estudio del caso (b) para el cual las rotaciones de

    todos los extremos de barra que concurren al nudo son iguales entre s, e iguales a la rotacin del

    nudo.

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

    Tambin se supondr por ahora que las cargas (fuerzas y momentos) actan slo en los

    nudos. El caso de cargas actuando en el interior de los tramos es la situacin ms habitual que

    ser estudiara en detalle en el prximo capitulo.

    Este captulo est dedicado a prticos planos constituidos por barras

    prismticas de eje recto y nudos rgidos sometidos a cargas contenidas en el plano.

    Una barra prismtica consiste en una barra recta de seccin transversal constante. Se

    desarrolla a continuacin un procedimiento anlogo al del Captulo 8 referido al reticulado ideal.

    En este caso el nmero de G.L. por nudo es 3; 2 desplazamientos o corrimientos, y un giro. Se

    utilizar la convencin de signos indicada en la Figura 10.2 en la que son positivos los momentos

    y giros antihorarios.

    Las rigideces de los elementos no slo resultan funciones de E y A , sino tambin del

    momento de inercia I (adems de la longitud y la orientacin de la barra).

    Figura 10.2

    10.2- Matriz de rigidez de una barra prismtica

    Para el caso de una barra prismtica de un prtico plano (tres incgnitas por nudo) el

    sistema de equilibrio puede escribirse en notacin matricial de la siguiente manera:

    11 12 13 14 15 16

    21 22 23 24 25 26

    31 32 33 34 35 36

    41 42 43 44 45 46

    51 52 53 54 55 56

    61 62 63 64 65 66

    .

    x xi iy y

    i i

    i ix x

    j jy y

    j j

    j j

    K K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K MK K K K K K U PK K K K K K U PK K K K K K M

    =

    (Ec. 10.1)

    La ecuacin (Ec. 10.1) se conoce como ecuacin fuerza-desplazamiento de la barra. Para

    deducir los elementos por el razonamiento fsico empleado en la seccin 8.2 se procede a aplicar

    un desplazamiento unitario dejando los restantes nulos:

    jx

    jU

    yjU

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

    1

    0

    xiy x y

    i i j j j

    UU U U

    == = = = =

    En el problema hiperesttico de la Figura 10.3 el nudo "j" constituye un empotramiento y

    el nudo "i" sufre tres desplazamientos prefijados, uno unitario y los otros dos nulos.

    Figura 10.3

    La distribucin de esfuerzos y reacciones de este caso genrico puede ser calculada por el

    mtodo de las fuerzas considerando tres incgnitas hiperestticas: 11 21,K K y 31K , y luego se

    calculan 41 51,K K y 61K como reacciones de apoyo necesarias para el equilibrio.

    Para obtener por este procedimiento la matriz de una barra dada es necesario plantear y

    resolver numricamente 6 sistemas hiperestticos de tres incgnitas cada uno. Cada uno de esos

    sistemas hiperestticos de tres incgnitas corresponde a un desplazamiento unitario y todos los

    restantes desplazamientos iguales a cero.

    Una alternativa para simplificar el clculo de la matriz de rigidez sera tratar el problema

    en forma genrica una nica vez y obtener una forma explcita de la matriz. Si bien este

    procedimiento general es totalmente lgico y viable, resulta conveniente formular el problema en

    un sistema de coordenadas locales. El caso general indicado en la Figura 10.3 surge de aplicar el

    proceso de rotacin de coordenadas desde la matriz expresada en el sistema local uno de cuyos

    ejes coincide con el eje longitudinal de la barra al sistema global de coordenadas.

    Matriz de rigidez en coordenadas locales

    El sistema local de coordenadas que se adopta es tal que el eje lx coincide con el eje de la

    barra y el sentido positivo es del nudo "i" hacia el nudo "j".

    11K

    21K31K

    41K

    51K

    61K

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-

    Para el caso de la Figura 10.4.b la deduccin de la matriz K del sistema de la (Ec. 10.1)

    en forma genrica es relativamente simple y se desarrolla a continuacin.

    Figura 10.4

    La primera columna de la matriz en el sistema local se obtiene imponiendo los siguientes

    desplazamientos:

    1

    0

    xiy x y

    i i j j j

    UU U U

    == = = = =

    Figura 10.5

    La solucin se logra a travs de la ley de Hooke.

    11 21 31 41 51 61. .; 0; 0; ; 0; 0A E A EK K K K K Kl l

    = = = = = = (Ec. 10.2) La segunda columna se obtiene imponiendo:

    1

    0

    yix x y

    i i j j j

    UU U U

    == = = = =

    Figura 10.6

    12K

    22K32K

    42K

    52K

    62K

    11K

    21K31K

    41K

    51K

    61K

    ij

    lxly ly

    lxi j

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-

    Las fuerzas en los extremos se calculan por el mtodo de las fuerzas. Las ecuaciones de

    compatibilidad deben establecer que el desplazamiento vertical del nudo "i" es la unidad y el giro

    es nulo. El nudo "j" se considera empotrado.

    Figura 10.7

    11 1 12 2

    21 1 22 2

    . . 1

    . . 0X XX X

    + = + =

    El efecto axial est desacoplado del efecto transversal por lo que se puede anticipar que la

    fuerza axial es nula.

    12 22 1 32 2 42 52 623 2 3 2

    . . . .0; 12. ; 6. ; 0; 12. ; 6.E I E I E I E IK K X K X K K Kl l l l

    = = = = = = = = (Ec. 10.3) De manera similar se puede obtener la tercera columna imponiendo:

    1

    0i

    x y x yi i j j jU U U U

    == = = = =

    Figura 10.8

    Y resolviendo el problema de desplazamiento prefijado de la Figura 10.8. Las dos

    incgnitas pueden determinarse por alguna de las distintas formas del mtodo de las fuerzas

    (trabajo virtual, Castigliano, etc.) en la forma:

    13 23 1 33 2 43 53 632 2

    . . . .0; 6. ; 4. ; 0; 6. ; 2.E I E I E I E IK K X K X K K Kl l l l

    = = = = = = = = (Ec. 10.4) Debe notarse que por el teorema de reciprocidad se puede anticipar que la fuerza vertical

    en "i" ( )23K cuando 1i = resulta igual al momento en "i" ( )32K cuando 1yiU = . Est propiedad es general y permite afirmar que la matriz de rigidez es siempre simtrica.

    Repitiendo el procedimiento se pueden deducir las restantes columnas y dar la forma

    explcita (genrica) del sistema de la (Ec. 10.1) introduciendo la siguiente notacin:

    2X

    1X

    1 =

    2X

    1X

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

    1 2 1 2

    32 3 2

    1 2 1 2

    32 2 3

    0 0 0 00 0

    0 02 .

    0 0 0 00 0

    0 02

    x xi iy y

    i i

    i ix x

    j jy y

    j j

    j jl l

    l

    K KU PK K K KU PKK K K MU PK KU PK K K K

    MKK K K

    =

    (Ec. 10.5)

    1 2 33 2

    . . . .; 12. ; 6. ; 4.A E E I E I E IK K K Kl l l l

    = = = =

    Importante:

    La (Ec. 10.5) define la matriz de una barra que coincide con el eje x. Se puede observar que la cuarta fila es la primera cambiada de signo, la quinta es la

    segunda cambiada de signo y la sexta es igual a la segunda multiplicada por " l " menos la

    tercera. Esto significa que la matriz de rigidez es singular y que el sistema de la (Ec. 10.5) slo

    podr ser resuelto imponiendo por lo menos tres condiciones de vnculo para evitar

    desplazamientos de cuerpo rgido.

    Ntese que la matriz de rigidez de la (Ec. 10.5) ha sido obtenida despreciando las

    deformaciones por corte.

    Matriz de una barra en una direccin genrica

    En primer lugar se analiza cmo se transforman los desplazamientos y las fuerzas al

    introducir la rotacin del sistema local de coordenadas (x1, y1) al sistema global (x, y).

    ( ) ( )( ) ( )

    .cos .

    . .cos

    x yx l l

    x yy l l

    P P P sen

    P P sen P

    = = (Ec. 10.6)

    Matricialmente:

    yP

    xP

    xlP

    lxly

    ylP

    21

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-

    1 2

    2 1

    .x

    xly

    yl

    PPPP

    = (Ec. 10.7)

    Ms abreviadamente:

    . lR P P= (Ec. 10.8) Similarmente, para los desplazamientos se tiene:

    . lRU U= (Ec. 10.9) Notacin: El ndice " l " se refiere a vectores de matrices en un sistema local. Los mismos

    elementos en el sistema global no llevan subndice.

    Los desplazamientos generalizados se transforman segn (Ec. 10.9) teniendo presente que

    R es (3 x 3). Si se tiene en cuenta que los valores de los giros son independientes de la

    orientacin de los ejes x e y, es obvio que el equivalente de (Ec. 10.7) resulta:

    1 2

    2 1

    00 .

    0 0 1

    x xly y

    l

    l

    U UU U

    = (Ec. 10.10)

    :R Es una matriz ortonormal para la cual la matriz inversa es igual a su transpuesta: 1 TR R = . Premultiplicando ambos miembros de (Ec. 10.8) y (Ec. 10.9) por TR resulta:

    .TlP R P= (Ec. 10.11)

    .TlU R U= (Ec. 10.12)

    Particionando el sistema de ecuaciones de equilibrio en coordenadas locales, la (Ec. 10.5)

    puede escribirse:

    . .

    . .

    l l l l lii i ij j i

    l l l l lji i jj j j

    K U K U P

    K U K U P

    + = + = (Ec. 10.13)

    Las submatrices de igual ndice ( ),ii jjK K se conocen como rigidez directa mientras que las de ndice diferente ( ),ij jiK K son las matrices de rigidez cruzada.

    Para pasar a coordenadas globales basta reemplazar segn las expresiones:

    . . . . .

    . . . . .

    l T l T Tii i ij j i

    l T l T Tji i jj j j

    K R U K R U R P

    K R U K R U R P

    + = + =

    Premultiplicando ambos miembros por R y recordando que . TR R I= resulta:

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-

    ( ) ( )( ) ( )

    . . . . . .

    . . . . . .

    l T l Tii i ij j i

    l T l Tji i jj j j

    R K R U R K R U P

    R K R U R K R U P

    + = + = (Ec. 10.14)

    . . . ..

    . . . .

    l T l Ti iii ij

    l T l Tj jji jj

    U PR K R R K RU PR K R R K R

    =

    (Ec. 10.15)

    Las (Ec. 10.14) y (Ec. 10.15) proveen las expresiones para obtener la matriz de rigidez

    en el sistema global: Se debe premultiplicar cada submatriz por R y al resultado

    postmultiplicarlo por TR . A manera de ejemplo, la matriz iiK resulta de la siguiente forma

    explcita:

    ( )( )

    1 2

    1 2 2 1

    2 32 2

    1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2

    2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

    2 3 2 2 1 2 3

    0 0 00 00 0 0 1

    0 . . . . . . . .0 . . . . . . . .

    0 0 1 0 . .

    KK KK K

    K K K K K K K KK K K K K K K K

    K K K K K

    + +

    Operando sobre lijK y l

    jjK de manera similar se llega finalmente a la matriz de rigidez

    para el caso general:

    (Ec. 10.16)

    2 2

    1 2 1. .A K K = + ; ( )1 2 1. .B K K = ; 2 2.C K= 2 2

    2 1 1. .D K K = + ; 1 2.E K=

    21

    33

    3

    .2

    x xi iy y

    i i

    i ix x

    j jy y

    j j

    j j

    A B C A B C U PD E B D E U P

    K MK C EU PA B CU PD E

    MK

    = simtrica

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-

    La barra orientada segn el eje "y" puede considerarse un caso particular de (Ec. 10.16)

    para el cual 1 0 = . Como es una situacin muy comn es conveniente contar con su forma explcita para evitar el cambio de coordenadas del caso general:

    1 2 1 2

    32 3 2

    1 2 1 2

    32 2 3

    0 00 0 0 0

    0 02 .

    0 00 0 0 0

    0 02

    x xi iy y

    i i

    i ix x

    j jy y

    j j

    j j

    K K K KU PK KU PKK K K MU PK K K KU PK K

    MKK K K

    =

    (Ec. 10.17)

    1 2 33 2

    . . . .; 12. ; 6. ; 4.A E E I E I E IK K K Kl l l l

    = = = =

    Es importante recordar que las matrices de rigidez de las (Ec. 10.5), (Ec. 10.16) y (Ec.

    10.17) corresponden a la convencin de signos de la Figura 10.2 referida al sentido positivo para

    los desplazamientos y los giros. Dicha convencin tambin rige para las fuerzas y los momentos.

    Ejercicio: Se sugiere al lector deducir la matriz de rigidez en coordenadas locales para una barra de

    reticulado, luego llegar a la matriz de la (Ec.8.10) por un cambio de coordenadas.

    10.3- Matriz de rigidez de la estructura

    Para ensamblar la matriz del conjunto se utiliza el mismo procedimiento visto para el

    reticulado:

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

    Para la estructura de la Figura 10.9, despus de introducir las condiciones de vnculo

    queda una matriz (3 x 3) pues existe un nico nudo libre de desplazarse y girar:

    Figura 10.9

    1 2 2

    1 2 2

    2 2 3 3 2

    0 00 .

    b a a x

    b a b y

    a b b a

    K K K UK K K U P

    K K K K M

    + + = + (Ec. 10.18)

    En casos como el de la Figura 10.9 es posible hacer una hiptesis simplificativa que

    facilita notablemente los clculos; despreciar la deformacin axial de las barras. Esta hiptesis

    conduce a:

    2 20 ; 0x yU U= = (Ec. 10.19)

    Se dice entonces que la estructura es a "nudos fijos". La (Ec. 10.18) se reduce a:

    ( )3 3 2.a bK K M+ =

    ( )2 3 3a bM

    K K = + (Ec. 10.20)

    Para calcular las fuerzas en los extremos de barras se utilizan las ecuaciones fuerza-

    desplazamiento de cada barra (Ec. 10.17) para la barra vertical y (Ec. 10.15) para la horizontal.

    iiK

    jjK

    ijK

    jiK

    ii ij

    ji jj

    K KK K

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    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

    2 1

    1

    3 1

    2 2

    2

    23 2

    00002

    . 000

    a ax

    ay

    a a

    a ax

    ay

    a a

    K PP

    K MK P

    PK M

    =

    2

    2 2

    3 2 2

    3

    2 3

    3 3

    0 00

    .0 00

    2 0

    bx

    b by

    b b

    bx

    b by

    b b

    PK PK M

    PK P

    K M

    =

    Ntese que debido a la hiptesis de la (Ec. 10.19) no aparecen las fuerzas axiales. Sin

    embargo, la fuerza de corte HR en la barra vertical es provista como fuerza axial (traccin) en la

    barra horizontal.

    Similarmente la fuerza de corte VR en la barra horizontal es provista como fuerza axial

    (compresin) en la barra vertical.

    Figura 10.10

    Utilizando la (Ec. 10.20) puede expresarse:

    32

    3 3

    .a

    aa b

    KM MK K

    = + ; 3

    23 3

    .b

    ba b

    KM MK K

    = + (Ec. 10.21)

    Se puede constatar que por consideraciones estticas las fuerzas de corte pueden

    calcularse en funcin de los momentos en los extremos segn:

    VR P+

    1a

    xP1aM

    2a H

    xP R=2

    aM

    VR P+HR HR

    2bM 3

    bM

    2b V

    yP R=3

    byP

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

    2 32

    b bb V

    yb

    M MP Rl+= = ; 1 22

    a aa H

    xa

    M MP Rl+= = (Ec. 10.22)

    Este caso particular de "nudos fijos" ser analizado nuevamente ms adelante al presentar

    el mtodo iterativo denominado como Mtodo de Cross o Mtodo de distribucin de

    Momentos.

    Para estructuras de configuracin ms general no es posible (ni conveniente) eliminar los

    desplazamientos nodales como incgnitas. En el caso que se ilustra en la Figura 10.11, es posible

    aproximar la solucin del problema suponiendo que el nudo 2 se desplaza horizontalmente al

    despreciar la deformacin axial de la barra a. Debe tenerse presente que esta aproximacin no es

    estrictamente necesaria, y que el problema se puede resolver en forma exacta con slo incluir

    el desplazamiento vertical del nudo 2 como grado de libertad.

    Figura 10.11

    1

    1 13 2 3

    22 1 2

    2 1 2 2

    3 2 2 3 3 3

    3

    2 3 3

    0 2 0 00 0

    0 0 0.

    2 0 20 0 0 00 0 2 0

    a a a

    xa b a a b

    b a b

    a a b b a

    b b

    b b b

    K K KUK K K K K

    K K K KK K K K K K

    K KK K K

    + + +

    2 3

    2

    2

    3

    3

    0

    0000

    y

    x

    PU

    U

    =

    (Ec. 10.23)

    Se dice que el sistema es de "nudos desplazables" y para su resolucin debe emplearse el

    sistema completo de ecuaciones correspondiente a los seis grados de libertad.

    10.4- Determinacin de los esfuerzos

    El planteo de la matriz de rigidez del conjunto y la solucin del sistema de ecuaciones de

    equilibrio constituyen la parte laboriosa desde el punto de vista computacional del mtodo de

    rigidez.

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

    El clculo de los esfuerzos se reduce a efectuar unas multiplicaciones y sumas utilizando

    las ecuaciones fuerza-desplazamiento de cada barra.

    Una vez calculados los desplazamientos nodales en el sistema global se pueden calcular

    las fuerzas en los extremos de una barra horizontal (coincide con el eje x) efectuando el

    producto indicado en (Ec. 10.5).

    Figura 10.12

    Si la barra es vertical (orientada en la direccin y) se aplica la (Ec. 10.17):

    Figura 10.13

    En ambos casos el trazado de los diagramas resulta muy simple porque las fuerzas en los

    extremos coinciden con los esfuerzos de corte y normal.

    En el caso de una barra que no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de referencia

    global, se puede emplear la (Ec. 10.16) pero en este caso las fuerzas en los extremos no

    coinciden con los esfuerzos de corte y normal por lo que deben transformarse a coordenadas

    locales empleando la (Ec. 10.11).

    xiP

    yiP

    iM

    jM

    yjP

    xjP

    xiP

    yiP

    iM jM

    yjP

    xjP

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

    Figura 10.14

    Una alternativa consiste en utilizar la matriz de rigidez en coordenadas locales efectuando

    el producto indicado en (Ec. 10.5), si previamente se expresan los desplazamientos en

    coordenadas locales de la barra a travs de la (Ec. 10.12).

    Figura 10.15

    En la Figura 10.15 se puede apreciar que el trazado de los diagramas de esfuerzos, barra

    por barra, es trivial cuando se conocen las fuerzas de extremo de cada barra en su sistema local

    de coordenadas

    10.5- Clculo de las reacciones de apoyo

    Cuando una nica barra concurre a un apoyo, resulta evidente que las fuerzas del extremo

    de esa barra estn provistas por el apoyo. Por lo tanto, en esos casos las reacciones de apoyo son

    simplemente las fuerzas que actan sobre el extremo de la barra que concurren al nudo.

    iM

    jM

    lxiP

    lxjP

    lyiP

    lyjP

    xiP

    yiP

    iM

    jM

    yjP

    xjP

    jM

    iMN

    lxly

    Q

    Q

    N

    .TlP R P=l

    l

    xiy

    i

    P N

    P Q

    ==

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

    En el caso de la Figura 10.9 las reacciones en el nudo 1 coinciden con las fuerzas en el

    extremo 1 de la barra (a) y las reacciones en el nudo 3 coinciden con las fuerzas en el extremo 3

    de la barra (b).

    En apoyos donde concurren dos o ms barras, las reacciones deben obtenerse

    considerando el equilibrio del nudo. Para ello, debe cargarse el nudo del apoyo con las fuerzas de

    los extremos de las barras que concurren a l, pero cambiadas de signo. Esto es equivalente a

    decir que las reacciones de apoyo se obtienen sumando las fuerzas de los extremos de las barras

    que concurren al apoyo.

    Esta forma de operar se ilustra en las Figura 10.16 y Figura 10.17.

    Figura 10.16

    (1)jM

    (2)iM

    (1)y

    jP (2)y

    iP

    2 (1) (2)y y y

    j iR P P= +

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

    Figura 10.17

    Se encara ahora un tratamiento "formal" de las condiciones de vnculo y el clculo de las

    reacciones de apoyo. El sistema global de ecuaciones de equilibrio de toda la estructura al cual

    todava no se le introdujo las condiciones de vnculo, puede escribirse reacomodado

    (particionado) de la siguiente manera:

    11 12

    21 22

    .0

    K K U P

    RK K

    = (Ec. 10.24)

    :U Contiene todos los desplazamientos incgnitas.

    :R Son las reacciones de apoyo. En este momento se supondr que todos los apoyos

    tienen desplazamiento nulo. El reacomodo (o particin) se logra simplemente cambiando de

    lugar las filas y columnas de esta manera que la (Ec. 10.24) da origen a:

    11 12 11. .0 .K U K P K U P+ = = (Ec. 10.25) 21 22 21. .0 .K U K R K U R+ = = (Ec. 10.26)

    Primero se resuelve la (Ec. 10.25) y una vez conocidos los desplazamientos, se pueden

    calcular las reacciones de apoyo efectuando el producto indicado en la (Ec. 10.26).

    Ntese que las reacciones se obtienen a partir de los desplazamientos, empleando las

    ecuaciones que no se utilizaron para calcular los desplazamientos.

    yjR

    xjR

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

    Ejercicio N 1:

    Analizar el prtico de la figura.

    1 2

    2 2 61 2 2

    4 41 2

    200 400 5000

    45,5 67,5 2,1 10

    1534 3856

    l cm l cm P KgKgA cm A cm Ecm

    I cm I cm

    = = == = = = =

    ; ;

    ; ;

    ;

    Barra 1:

    Matriz de rigidez:

    2 2

    1 33

    . .477750 ; 6. 483210

    . .12. 4832,1 ; 4. 64428000

    A E E IK Kl l

    E I E IK Kl l

    = = = =

    = = = =

    1

    1

    2

    4832,1 0 483210 4832,1 0 4832100 477750 0 0 477750 0

    483210 0 64428000 483210 0 322140004832,1 0 483210 4832,1 0 483210

    0 477750 0 0 477750 0

    2

    483210 0 32214000 483210 0 64428000

    Barra 2:

    Matriz de rigidez:

    2 2

    1 33

    . .354375 ; 6. 303660

    . .12. 1518,3 ; 4. 80976000

    A E E IK Kl l

    E I E IK Kl l

    = = = =

    = = = =

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

    2 3

    2

    3

    354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000

    354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600

    303660 40488000 0 303660 80976000

    Matriz de rigidez general: 1 2 3

    1

    2

    3

    / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / 359207,1 0 483210 354375 / / 0/ / / / / / 0 479268,3 3036

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    3

    3

    3

    00

    0

    60 0 / / 303660 ./ / / / / / 483210 303660 145404000 0 / / 40488000/ / / / / / 354375 0 0 354375 / / 0/ / / / / / / / / / / / / / / / / / 0/ / / / / / 0 303660 40488000 0 / / 80976000

    x

    y

    x

    y

    x

    y

    UU

    UU

    UU

    = = = =

    1

    1

    1

    3

    5000000

    0

    x

    y

    y

    RRM

    R

    =

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    3

    3

    3

    000

    1,6858665780,0020676302

    0,0065119781,685866578

    00,0032478453

    x

    y

    x

    y

    x

    y

    UU

    UU

    UU

    =

    Clculo de las fuerzas en los extremos de barra:

    Barra 1: 1 2

    1

    2

    / / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 32214000/ / / / / / 4832,1 0 483210/ / / / / / 0 477750 0/ / / / / / 483210 0 64428000

    0 50000 987,810 604875

    . 1,6851 50000,0020651 987,81

    0,006503 395124

    =

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

    Barra 2: 2 3

    2

    3

    354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036000 303660 80976000 0 303600 40488000

    354375 0 0 354375 0 00 1518,3 303660 0 1518,3 3036600

    1,68510 00,002065 987,810,006503 395124

    . 1,685106 00 987,81

    303660 40488000 0 303660 80976000 0,0032488 0

    =

    Ejercicio N 2:

    Resolver por el mtodo de los desplazamientos el prtico de la figura.

    2 4 6222,8 935 2,1 10 800

    KgA cm I cm E P Kgcm

    = = = = ; ; ;

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

    Para disminuir el nmero de incgnitas se puede resolver el siguiente sistema:

    El desplazamiento del nudo 4 se obtiene superponiendo el desplazamiento y giro del

    extremo de una viga en voladizo al desplazamiento como cuerpo rgido del empotramiento.

    Matrices de rigidez:

    Barra 1:

    2 2

    1 33

    . .159600 ; 6. 130900

    . .12. 872,66 ; 4. 26180000

    A E E IK Kl l

    E I E IK Kl l

    = = = =

    = = = =

    1 2

    1

    2

    159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000 130900 26180000 0 130900 13090000

    159600 0 0 159600 0 00 872,66 130900 0 872,66 1309000

    130900 13090000 0 130900 26180000

    150 120000M P= =

    300 150

    200

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

    Barra 2:

    2 2

    1 33

    1 2

    . .191520 ; 6. 188496

    . .12. 1507,96 ; 4. 31416000

    0,6 0,8

    A E E IK Kl l

    E I E IK Kl l

    = = = =

    = = = == =

    ;

    2 3

    2

    3

    69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,

    6150796,8 113097,6 31416000 150796,8 113097,6 15708000

    69912,3 91205,77 150796,8 69912,3 91205,77 150796,891205,77 123115,67 113097,6 91205,77 123115,67 113097,6150796,8 113097,6 15708000 150796,8 113097,6 3141

    6000

    ( )2 2

    1 2 1

    1 2 1

    2 22 2

    2 1 1

    1 2

    . . 69912,3. . 91205,78. 150796,8

    . . 123115,67. 113097,6

    A K KB K KC KD K KE K

    = + == = = = = + == =

    Sistema de ecuaciones de equilibrio:

    122

    2

    2

    3

    229512,3 91205,775 150796,8 150796,8 091205,775 123988,33 17802, 4 113097,6 800

    .150796,8 17802, 4 57596000 15708000 120000150796,8 113097,6 15708000 31416000 0

    UU

    =

    122

    2

    2

    3

    0,0033910,01044

    0,00242290,00126536

    UU

    =

    Clculo de las fuerzas en los extremos de barras:

    Barra 1:

    2

    1

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

    159600 0 0 159600 0 0 00 872,66 130900 0 872,66 130900 00 130900 26180000 0 130900 13090000 0

    .159600 0 0 159600 0 0 0,00330 872,66 130900 0 872,66 130900 0,01040 130900 13090000 0 130900 26180000 0,0024

    541,35308,0430348,3541,35

    308,0462064,4

    =

    Barra 2: Se utilizan los desplazamientos y la matriz de rigidez en coordenadas locales.

    31 2

    32 1

    0 0,6 0,8 0 0,0033 6,324 100 . 0,8 0,6 0 . 0,0104 8,9832 10

    0 0 1 0 0 1 0,0024 0,0024229

    x xl

    y yl

    l

    U UU U

    = =

    3

    3

    191520 0 0 191520 0 0 6,324 100 1507,96 188496 0 1507,96 188496 8,983 100 188496 31416000 0 188496 15708000 0

    .191520 0 0 191520 0 00 1507,96 188496 0 1507,96 1884960 188496 15708000 0 188496 31416000

    1211,24231,74

    57935,6,0024231211, 240231,740

    00,00126536

    =

    Diagramas de barras:

  • CAPITULO 10 PORTICOS PLANOS ____________________________________________________________________________________________

    _____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

    Desplazamiento del nudo 4:

    3.' 0, 45836

    3. .yP lUE I

    = = ; 2'' . 0,363438yU l= = ; 2 0,0104494yU = 4 2 '' 'y y y yU U U U= + + '' 0,8322yU cm=

    2

    2.' 0,0045836

    2. .P lE I

    = = ; 2 0,0024229 =

    4 2 2 ' = + 4 0,0070rad =

    2yU

    'yU

    2 '2 ''yU

    2yU

    'yU''yU