8. Revolución de Solidos

8/17/2019 8. Revolución de Solidos

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8. Revolución de solidos

Una de las importantes aplicaciones de las integrales es para encontrar elvolumen de fguras tridimensionales, cuyas secciones transversales soniguales. Se le puede denominar a la revolución de solidos como al cuerpo que

se obtiene mediante una operación geométrica de rotación en un planoalrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no se rcapaces de cruzarse.

Los sólidos de revolución constan deciertas caractersticas y elementos!

"# $ontiene superfcies curvas.%# &o posee aristas, lo que signifca

que no son polinomios.'# Se genera por una fgura plana

que gira sobre un lado recto que

(ace de e)e de simetra.*# Si la fgura que lo genera tiene unsegmento perpendicular al e)e,genera una cara circular.

+# Si la fgura que lo genera tiene unsegmento diagonal al e)e, generauna zona cónica.

# Si la fgura que lo genera tiene unsegmento paralelo al e)e, generauna zona cilndrica.

-# Si la fgura que lo genera tienemedia circunerencia, genera unazona esérica o semiesérica, deacuerdo con la posición de lasemicircunerencia.

8# Una fgura genera un sólidodierente si cambia el e)e derotación. $ualquier plano quepase por el centro de una eseraes un plano de simetra/ ycualquier di0metro de la esera es

$alculo " 1e unavariable, 2na 3dición #

4ig. 8.5." Solidos derevolución

4ig. 8.5.% 6r0fcarevolucionada


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3ste tipo de sólidos suele aparecer recuentemente en ingeniera y en procesosde producción. Son e)emplos de sólidos de revolución! e)es, embudos, pilares,botellas, tanques, cilindros, etc.

Se conocen tres métodos dierentes por los cuales podremos calcular elvolumen de un sólido de revolución!

7étodo de 1iscos!

3s el método menos complicado de los tres, y solo se puede emplear cuandono eiste espacio entre la unción y el e)e de rotación en la región ormada. 3sdecir que solo contaremos con una unción y el e)e de rotación, para ormar el0rea que vamos a rotar

7étodo de 9randelas o 9nillos!

3ste método se utilizara en el momento que tengamos un 0rea delimitadaentre dos unciones que se interceptan entre s. 3s decir en el momento queinicia la rotación generar0 un sólido con un orifcio, que se es ormado por elespacio que eiste entre el e)e de rotación y la unción menor, y con un grosoel cual depende del 0rea acotada entre la unción mayor y menor.:osteriormente procedemos con la ormula y los pasos respectivos.

7étodo de $apas $ilndricas!

:or este método se es posible resolver la incógnita del volumen de cualquier

solido de revolución. 3ste método consta de una peculiaridad, ya que almomento de grafcar la dierencial o el grosor del rect0ngulo, es paralelo al e)ede rotación lo contrario a los dos métodos anteriormente mencionados, ya que,en esos casos la dierencial es perpendicular al e)e de rotación.

→ 70s adelante se estudiar0 de manera me)or detallada los métodosanteriormente mencionados.

8." 7étodo de 1iscos3ste método consiste en (acer rotar nuestra unción sobre alg;n e)e paraobtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de

discos. 3l 0rea transversal de los discos ser0 el 0rea de un crculo A=π r2

, y

el anc(o ser0 un ∆ y . 3s importante saber el e)e de rotación, ya sea sobre el


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e)e o y, ya que dependiendo de esto se despe)a la ecuación en unción de lavariable especfcamente. :or e)emplo si rot0ramos la unción en el e)e y,

despe)amos la unción dependiendo de y. Siendo el anc(o del disco ∆ y .

:ara poder entender la orma en que se utilizara el método de volumen dediscos en un sólido de revolución, considere la fgura ormada por el sólido derevolución al momento de girar la superfcie plana sobre el e)e de rotaciónindicado. 9l momento de calcular el volumen del sólido, considere representarun rect0ngulo, en la parte acotada de la unción menor a la mayor es!

?olumen del disco @ π R2

ω

1onde el radio


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Si giramos una región del plano alrededor de un e)e obtenemos un sólido derevolución. 3l volumen de este disco de radio R y de anc(ura > es!

? ¿π r2

w

:ara ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de unsólido de revolución general, se (acen DnE particiones en la gr0fca.

3stas divisiones determinan DnE discos en el sólido, cuya suma se aproima alvolumen del mismo. Ceniendo en cuenta que el volumen de un disco es! Lasuma de Riemann asociada a la partición que da un volumen aproimado delsólido es!

lim ¿n →∞∑i=1

n

πf 2 ( ci ) ( xi− xi−1)

V =¿

4órmula para encontrar ?olumen por medio del 7étodo de 1iscos Recordandola defnición de la integral defnida de Riemann, se obtiene que!

V =π ∫a

b

[ f ( x )]2

dx

:ero si se toma el e)e de revolución verticalmente!

V =π ∫c

d

[ f ( y)]2

dy


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y

%+

y @

9ntes de comenzar a esbozar diversos e)emplos de éstos métodos,estableceremos algunas pautas que nos ayudar0n a resolver problemas sobresólidos de revolución.

F$ómo plantear el método de 1iscos para (allarvol;menesG

"# :lasmar la unción en un plano cartesiano y trazar sobre ésta unsegmento rectangular que sea perpendicular al e)e de rotación. Laregión, al (acerla girar alrededor del e)e de rotación, generar0 unasección transversal tpica en orma de disco.

%# Hallar el radio principal que ser0 dado por la unción.

'# 3stablecer los lmites de integración.

*# Realizar el proceso de integración, para (allar el volumen deseado.

Hallar el volumen de la región que gira sobre el e)e ,

generada entre la gr0fca y=√ x y el e)e , desde @5 a @%+.

Solución!" Crazar la región determinada por la

gr0fca fg. 8.".% dada.

% 3tracción del radio principal! 3s claroque el método a utilizar es el método

de los discos. Luego, la distancia delsegmento r


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y

"

y @ %

%

* :or ;ltimo se ormula la integral parasacas el volumen del sólido.

3I37:LJ % $alcular el volumen del sólido de revolución generado por

la región acotada por la curva y= x2

, desde @" a @%, que gira alrededordel e)e .

" :lasmar la región acotada por la

unción dada fg. 8.".'.

% 3stablecer el radio principal, que

como se (a indicado anteriormente

ser0 dado por la unción indicada r @

%

' 1eterminar los lmites de integración,

los cuales nos ueron dados! @",

@%.

* 4ormulación de la integral

4ig. 8.".%. 6r0fca

V =π ∫a

b

r2

dx

4ormula matriz.

Se sustituye de laormula matriz.

Resolver la unciónelevada al cuadrado.

Kntegrar la unción.

3valuar con los lmites

de integración. &otarque no es necesarioevaluar en @5.

V =π ∫0

25

(√ x)2

dx

V =π ∫0

25

x dx

V =π [ 12 x2]025

Revolución de la 4ig. 8.".%.

V =625π

2u3

4ig. 8.".'. 6r0fca


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y

"

y @ %"

"

V =31π 5

u3

3I37:LJ ' Hallar el volumen del sólido de revolución delimitadopor la gr0fca y= x

2+1 , girado alrededor del e)e , desde @5 a @".

" Crazo de la región determinada por la

unción en el plano cartesiano de la

fg. 8.".*.

% 3stablecer el radio principal, r = x 2+1

4ormula matriz.


Resolver la unciónelevada al cuadrado.


3valuar con los lmitesde integración. &otar

que en este caso no es5 por lo tanto se

evaluar0 el limité mayomenos el menor.

V =π ∫1

2

[ f ( x) ]2

dx

V =π ∫1

2

( x2)2 dx

V =π ∫1

2

x4

dx

Revolución de la 4ig.8.".'.

V =π [ 15 x5]12

V =π [ 15 (2 )5−15 (1 )5]12


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o s e m u e s t r a e n l a f g . 8 . % . % .

Ecuación de sólidos métodos arandelas:

8.%." 7étodo de arandela

' 1eterminar los lmites de integración,

los cuales nos ueron dados! x @5,

x @".

* 4ormulación de la integral

8.% 7étodo de arandela o de anillos

3ste método consiste en determinar el volumen que es generado por un sólidoal girar una región que es acota por dos o m0s unciones


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método en particular podemos observar que al girar para ormar el sólido, nocruza o toca el e)e de rotación, el sólido que se generó consta de un (ueco oagu)ero en su interior, lo que genera una imagen de una roldana. 3l dierencialo rect0ngulo que representas para apoyo en el planteamiento del sólido, eneste tipo de método ser0 perpendicular al e)e de rotación.

3I37:LJ * 3ncontrar el volumen del solido ormado al girar la regiónacotada por la gr0fca de y @ √ x y y= x

3

alrededor del e)e , como se

muestra en la fgura.

4ig. 8.%.% 9randela


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y

"

"

y =

y =

Solución 9l realizar la gr0fca notamos que el radio mayor es la unción y @ √ x y y= x

3

el radio menor. Jbtenemos los puntos de

intersección igualando las unciones, @5, @".

3I37:LJ * 3ncontrar el volumen del solido ormado al girar la regiónacotada por la gr0fca de y= x2 y y=√ 2 girado en torno a!

a= 3)e

V =π ∫a

b

[( f ( x ) )2−( g( x))2 ]❑

dx 4ormula matriz.


Se resuelve la unción ysimplifcan términos.


3valuar x con los lmitesde integración.

√ x¿¿¿

V =π ∫0

1

[ x− x6 ]dx

V =π [ x2

2 −

x7

7 ]01

4ig. 8.%.'. 6r0fca

V = 5

14π u

3

Revolución de la 4ig. 8.%.'.


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b= 3)e y

c= M @ %

d= M @ #"

e= N@ %

= N @ #"4ig. 8.%.*. 6r0fca


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y

"

y @

y @ %"

y

"

@

@ y%"

a= 3)e M $omo se encuentra en el origen, aplicamos la ormula

normalmente, vemos que el radio mayor es la unción y = √ x

y el menor y= x3

. 9l igualar las unciones obtenemos los puntos

de intersección @5, @".

g=

(=i=

)=P=

l=

m=

n=

o=

p=

q=

r=

s=

t=

u=

b= 3)e N :uesto que debemos girar las unciones alrededor de y, setiene que despe)ar en cada unción. 3ncontramos que el radio

mayor es la unción x = √ y y el menor x= y2

.

v=>==y=z=

aa=

4ormula matriz.





V =π ∫a

b

[( f ( x ) )2−(g( x))2 ]❑

dx

√ x¿¿¿

V =π ∫0

1

[ x− x4 ] dx

V =π [ x2

2−

x5

5 ]01

V = 3

10 π u

3

4ig. 8.%.*.". 6r0fca





√ y¿¿¿

V =π ∫0

1

[ y− y4 ]dy

V =π [ y2

2 −

y5

5 ]01


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ab=

ac=

ad=

ae=

a=

c= M@% como debemos girar las unciones alrededor de @%, se tieneque despe)ar en cada unción como en el inciso b. :ero alcontrario del inciso anterior, podemos observar que el radio mayor

ser0 la unción x= y2

y el menor x = √ y . Recordar restar las

% unidades a la unción, (acerlo de manera contraria no importa,puesto que est0 elevado al cuadrado.

ag=

a(=

ai=a)=aP=al=

am=

an=

ao=

ap=

aq=

ar=

as=

at=

d= M@#" al igual que en el inciso anterior traba)amos siempre enunción de y, alrededor de @#", podemos observar que el radio

V = 3

10 π u

3

4ig. 8.%.*.%. 6r0fca

2− y2¿2−(2−√ y )2

¿¿¿

V =π ∫0

1

[(4−4 y2+4 y4)−(4−4√ y+ y) ]dy

4−4 y 2+4 y4

(¿−4+4 √ y− y)dy

V =π 1

¿

V =π [ 15 y5−43 y3−12 y2+ 83 y3

2 ]0

1

4ig. 8.%.*.'. 6r0fca

V =31

30 π u

3


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y

#"

@@ y%

"

"

y

y@

y@ %"

"

mayor ser0 la unción x=√ y y el menor x = y2

. $omo gira

alrededor de @#", debemos sumar una unidad a cada unción

au=

av=

a>=a=ay=az=

ba=

bb=

bc=

bd=

be=

b=

bg=

b(=

e= N@% como se girar0 la unción alrededor de y@% utilizamos lasunciones normales rest0ndoles % unidades a cada unción,

podemos observar que el radio mayor ser0 la unción y= x2

y el

menor y = √ x .

bi=

b)=

bP=bl=bm=bn=

bo=

√ y+1¿2−( y2+1)2

¿¿¿

V =π ∫0

1

[( y+2√ y+1)−( y4+2 y2+1)]dy

V =π ∫0

1

( y+2√ y+1− y4−2 y 2−1)dy

V =π [ 12 y2+ 43 y3

2−1

5 y

5−2

3 y

3]0

1

4ig. 8.%.*.*. 6r0fcaV =

29

30 π u

3

x2−2¿2−(√ x−2)2

¿¿¿

V =π ∫0

1

[( x4−4 x2+4)−( x−4 √ x+4 )]dx

V =π ∫0

1

( x4−4 x2+4− x+4√ x−4)dx


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y

y@

y@ %"

"

bp=

bq=

br=

bs=

bt=

bu=

bv=

= N@#" contrario al inciso anterior, en vez de restar las unidades, sedeben sumar, puesto que la gr0fca gira alrededor de N@#",

tenemos entonces que el radio mayor ser0 la unción y=√ x y el

menor y = x2

.

b>=

b=

by=bz=ca=cb=

cc=

cd=

ce=

c=

cg=

c(=

ci=

c)=

V =π [ 15 x5−43 x 3−12 x2+ 83 x3

2 ]0

1

4ig. 8.%.*.+. 6r0fca

V =31

30 π u

3

√ x+1¿2−( x2+1)2

¿¿¿

V =π ∫0

1

[( x+2√ x+1)−( x4+2 x2+1) ]dx

V =π ∫0

1

( x+2√ x+1− x4−2 x2−1)dx

V =π [ 12 x2+ 43 x3

2−1

5 x

5−2

3 x

3]0

1

4ig. 8.%.*.. 6r0fca

V =29

30 π u

3


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La revolución del sólido

3l ob)etivo es determinar el volumen del 0rea acotada por las tres grafcas


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dy= 8.' 7étodo de $apas $ilndricas o $ascarones

dz= 9lgunos problemas relacionados convol;menes son muy comple)os de mane)ar con losmétodos mencionados con anterioridad. 3l método

de capas cilndricas, proporciona una ormaalternativa de calcular vol;menes de sólidos derevolución. 3n ciertos casos es el ;nico métodoviable. 3ste caso tiene una peculiaridad el cual esque el dierencial


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entonces podemos epresar el volumen ? de laorma siguiente!eo=

ep= V =2 πrh

eq=

er= 3sta epresión puede recordarse 0cilmentesi se piensa en que el casquete cilndrico se abre yse aplana convirtiéndose en una ca)a rectangularde escaso grosor como se muestra en la 4ig.8.'.'.es=et=eu=ev=

e>= 9(ora bien, consideremos el problemageneral de (allar el volumen del sólido derevolución que se genera al (acer girar alrededordel e)e y la región que est0 comprendida entre la

curva y @


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identifcamos el radio eterio como r2= xk y el

radio interior como r1= xk −1 . 9(ora si etenmos el

cilindro sera de una orma mas sencilla 3ntoncesse produce un casquete cilndrico que tiene como

radio medio iY, como altura


21/28

y

d

c

y

a

b

y

X $

a

r l o s : a i z

z=ga=gb=gc=

gd= 1efnición de :


22/28

y

%

@

@

*

@ %

gv=

g>=

g=

gy=

gz=

(a=

(b=

(c=

(d=(e=

(=3I37:LJ - Jbtenga el volumen del sólido de revolución acotadopor las gr0fcas de y= x

2, y=4 x− x2 , rodado alrededor de a= x @%, b=

x @#*. Realizar cada inciso con método de anillos y comprobarlo pormétodo de capas.

(g=((= Solución $omo se debe traba)ar en el e)e y en el método

de anillos, debemos despe)ar x en cada ecuación. 1espe)ando y=4 x− x2 , para x utilizando la órmula cuadr0tica obtenemos!

2−√ 4− y , y despe)ando y= x2

para x obtenemos! √ y .

(i= 9l igualar las ecuaciones para obtener los puntos de intersección4 x− x2= x2 obtenemos! x=0,2 a(ora evaluamos estos puntos

en x para obtener los puntos en y en cualquiera de las unciones,

obtenemos! y=0,4 .

()=(P=

a= M@% 7étodo de anillos (l=

(m= V =π ∫0

4

(2−2−√ x− y )2−(2−√ y)

2dy

Una orma sencillade recordar laecuación de métodode discos es que semultiplicara el

desplazamiento < P ( x ) = por altura


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y

%

y @ *#%

y @ %*

@ %

(n= V =π ∫0

4

(−2 y+4√ y ) dy

(o= V =π ( y

2

+

8

3 y

3

2

)|04

(p= V =(−16+ 643 ) π =163 π u3

(q=(r=(s=

(t=(u= 9(ora se realizar0 la comprobación del inciso = V =2 π ∫0

2

(4 x− x2− x2 ) (2− x ) dx

(= V =2 π ∫0

2

(4 x−2 x2 ) (2− x )dx

(y= V =2 π ∫0

2

2 x3−8 x2+8 x dx

(z= V =2 π [12 x4−83 x3+4 x2]02

ia= V =16

3π u

3

ib=

ic=

id=

ie=

4ig. 8.'.-.". 6r0fca

4ig. 8.'.-.%. 6r0fca


24/28

y

%

*

@ #* @

@

y

%

*

@ #*y @ *#%

y @ %

i=

b= M@#* 7étodo de 9nillos

ig=

ih)

4+2−√ 4− y+¿¿¿2¿

(4+√ y )2−¿

V =π ∫0

4

¿

ii) V =π ∫0

4

(12√ 4− y+8√ y+2 y−24 ) dy

ij) V =π (8 (4− y )3

2+16

3 y

3

2+ y2−24 y)|0

4

ik) V =80

3 π

il)

im=&otar que en este caso no se debe pasar por alto la evaluación en

5, ya que si evaluamos el término 8 (4− y )3

2 obtenemos un valor

dierente de cero, lo que aectara el resultado de no ser evaluado.in)

io= $omo en el inciso anterior, se realizar0 la comprobación con elmétodo de capas, para demostrar que de igual orma dan elmismo resultado.

ip=iq=

ir= V =2 π ∫0

2

(4 x− x2− x2 ) ( x+4 )dx

is= V =2 π ∫0

2

(4 x−2 x2 ) ( x+4 ) dx

4ig. 8.'.-.'. 6r0fca

4ig. 8.'.-.* 6r0fca


25/28

y

"

"

it= V =2 π ∫0

2

−2 x3−4 x2+16 x dx

iu= V =2 π

[

−12

x4−

4

3 x

3+8 x2

]0

2

iv= V =80

3 π u

3

i>=i= 3n general, como se (a visto en los dos incisos del e)emplo "5, en

el método se capas a la unción mayor se le resta la menor y semultiplica por el desplazamiento, as, en el inciso


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y

"

@ "

y

3n este caso ten presente que es mayor que por lo tanto el planteamiento sera d

4ig.8.*."

3)e

trasladado

en

elc

uadran

te

K

4ig.8.*.%

3

)etrasladado

en

elcuadran

te

KK

4ig.8.*.'

3)e

trasladado

en

elcuadran

te

K

4ig.8.*.+

3)

4ig.8.*.*

9randela

)i= ?ista transversal del sólido ormadoal girar la región determinada por la curva

y= x− x3 en el intervalo de 5 a ".

))=

)P= )l=

)m= 3I37:LJ 2 $alcule el volumen de revolución que segenera al región limitada por y= x

2

, y=2− x2

con su e)e de

rotación en @" )n=

)o= Solución :rimeramente igualamos las dos unciones para poderlocalizar los puntos de intersección entre ellas. 3n la igualación se

unciones nos dar0 x=!1 .

)p= )q= )r= )s= )t= )u= )v= )>= )= )y= )z=ka) 8.4 RazonamientoPb= Ejes trasladadosPc=Pd=Pe=P=Pg=P(=Pi=P)=PP=Pl=Pm=Pn=Po=Pp=

6enerado en 9utocad

Revolución de la 4ig. 8.'.8.

V =2 π ∫−1

1

[(1− x )( (2− x2 )− x2)] dx

#"

(1− x )(2−2 x2 )

V =2π ∫1

[¿ ] dx y= x2

V =2 π ∫−1

1

[2 x3−2 x2+2 x+2 ] dx

V =4 π [12 x 4−13 x 3+ 12 x2+ x ] 1−1 y=2− x4ig. 8.'.2. 6r0fca V =

16

3 π


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3n este método el ob)etivo es

#b

y

Cen en cuenta el signo negativo

asladado

en

elcuadran

te

KK

Pq=Pr=Ps=Pt=Pu=

Pv=P>=P=Py=Pz=la=lb=lc=ld=le=

l=lg=l(=li=l)=lP=ll=lm=ln=lo=

lp=lq=lr=ls= 3)ercicioslt= 3ncontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las

gr0fcas de las ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas. Utilizarel método m0s conveniente de los que se estudiaron anteriormente.

lu=

". 3 x2+6 y+48=0 , x

2−16 y+80=0

lv= a= y@% b= @+l>=

%. y= x−1 , y=1+2 x− x2

,

l= a¿ y=−2b¿ x=2

ly=

'. y= x2

, y=2− x2

lz=


28/28

*. y= x3+ x+1, y=1 , x=1 , alrededor de la recta @%

ma=

+. x="en( x) , x=0 , x=π , alrededor del e)e

mb=

. x= y2

, x=8− y2

, alrededor de la recta @#".mc=

-. x2− y2=16 , x=5, alrededor del e)e y.

md=

8. y= x , y= x+1 , y=2, x=0 alrededor del e)e y.

me=m=

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8. Revolución de Solidos