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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 1
Control de Procesos Industriales
8. Control Multivariable
porPascual Campoy
Universidad Politécnica Madrid
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 2
ejemplosistemas multivariables
Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto dequilibrio definido por T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 :Diseñar un control de F y T utilizando ambas variables manipuladas F1 y F2
b) ¿afecta una perturbación de T1 en elflujo F? ¿cómo?
c) ¿puede calcularse el controlador deflujo independientemente decontrolador de temperatura?
F1 T1
F T
F2 T2
FT
FC
TT
TCTref
Fref a) ¿qué variable de salida se controlacon qué variable de manipulada?
2
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 3
Control multivariable
• Sistemas multivariables y suproblemática de control
• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• (Desacoplamiento) suprimido del temario
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 4
Sistemas multivariable: definición• Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una
entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salidaes afectada por varias entradas
Y1(s) = G11(s) U1(s) +...+G1m(s) Um(s) ...Yp(s) = Gp1(s) U1(s) +...+Gpm(s) Um(s)
Y(s) = G(s) U(s)
Y(s) = Y1(s)... Yp(s)
U(s) =U1(s)...Um(s)
G(s) =G11(s) ... G1m(s) ...Gp1(s) ... Gpm(s)
utilizando la notación matricial:
G11(s)U1(s)
G12(s)
G1m(s)
...
+
Gp1(s)
Gp2(s)
Gpm(s)
...
U2(s)
Um(s) ...
++ Y1(s)
... +
++ Yp(s)
...
...
3
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 5
Sistemas multivariables:problemas para el control
• Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazode control, rebotando el efecto sobre el lazo original
• La f.d.t. entre cada salida ycada entrada cambia en funcióndel resto de los lazos de control
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s)+
+
++
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
GC1(s)
GC2(s)-
-
+
+y1ref(s)
y2ref(s)
⇒ No se pueden sintonizar los controladores de cadalazo de forma independiente
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 6
Control multivariable
• Sistemas multivariables y suproblemática de control
• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• Desacoplamiento
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 7
Evaluación iteraciones: ejemplo
GC2(s)-y2ref(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s)+
+
+
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 8
Evaluación iteraciones: ejemplo
GC2(s)-y2ref(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s)+
+
+
y1(s)
y2(s)
u1(s)
u2(s)
5
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 9
Evaluación iteraciones: Matriz deganancias estáticas relativas …
uk=0, k≠j=
)()(
!!
j
i
uy
yk=0, k≠i)()(
!!
j
i
uy
Definición:
resto de los lazoscerrados
λij =todos los lazosabiertos
lims→ 0
)()(sUsY
j
i
)()(sUsY
j
i
lims→ 0
en la que:
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 10
Evaluación iteraciones: … Matrizde ganancias estáticas relativas
Cálculo
!
y1(")M
yn (")
#
$
% % %
&
'
( ( ( =
K11 L K1n
M O MKn1 L Knn
#
$
% % %
&
'
( ( (
u1(")M
un (")
#
$
% % %
&
'
( ( (
Propiedad:1
1
=!=
n
iij" 1
1
=!=
n
jij"y
donde “o” representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento>> K.*inv(K)’
dado:
λij =
yk=0 k≠i)()(
!!
j
i
uy
Kij
entonces:
6
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 11
Análisis de la matriz deganancias relativasλij =
lim todos los lazos abiertoss→ 0
lim resto de los lazos cerradoss→ 0
λij → 0
)()(
sUsY
j
i
)()(
sUsY
j
i
1< λ ij
λij < 0
λ ij = 1
λ ij →∞
0< λ ij<1
mayor ganancia estática en bucle abiertocontrol imposible en bucle cerradocambia de signo la ganancia estática en buclecerrado y por tanto la estabilidad del sistema
sin iteraciónmenor ganancia estática en bucle abiertosintonización en bucle cerrado
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 12
Ejercicio evaluación interacciones
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2
a) Calcular λTF1 y λTF2 (5 puntos)b) Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de T queda menos
alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la F(5 puntos)
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 14
Control multivariable
• Sistemas multivariables y suproblemática de control
• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• Desacoplamiento
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 15
Emparejamiento de variablescontroladas y manipuladas
• Criterios restrictivos:– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima
cuando λij<0– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima
cuando λij≈∞– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima
cuando λij=0• Criterios de prioridad:
– controlar las variables de salida más importantes con aquellasvariables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sinrespuesta inversa
• puede implicar desintonización de los lazos poco importantes– cerrar bucles de control con λij próximas a 1
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 17
Emparejamiento de variables:ejemplo
a) Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para elsiguiente sistema:
u3
u2
u1
y3
y2
y1
!
"1.2e"5s
15s +12e"5s
15s+1"0.1e"5s
15s +1e"15s
60s +1e"15s
60s+10.2e"5s
15s +1"0.1e"5s
15s +10.1e"5s
15s+1e"5s
15s +1
#
$
% % % % % % %
&
'
( ( ( ( ( ( (
+ GC2M(s)
+
-
-
y2ref
GC1M(s)
GC3M(s)
+-y1ref
y3ref
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 18
Control multivariable
• Sistemas multivariables y suproblemática de control
• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• Desacoplamiento
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 19
Sintonización de controladoresmultivariables: desintonización
• Disminuir las interacciones desintonizando loscontroladores de las salidas menos importantes(la desintonización es mayor cuanto menos importante es
el bucle de control)⇒ sólo haya iteración entre unos poco bucles, que
son los más importantes.
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 20
Sintonización de controladoresmultivariables: Reglas de McAvoy
)()(1)()()()(
)()(
222
2122111
1
1
sGsGsGsGsGsG
sUsY
MC
MC
+!=
KCM = ≥ 0,5 KCS 0,5< λ<1,5 0,5 KCS 1,5<λ
tCM = 2 tCS 0,5< λ<1 tCS 1 < λ
• ambos lazos tienen dinámicas parecidas:)()( 1111 sGsG SCMC != ⇒ la ganancia del controlador se multiplica por λ11
)()()(
111
1 sGsUsY
!• si el lazo 1 es mucho más rápido que el 2:)()( 11 sGsG SCMC = ⇒ puede sintonizarse independientemente:
11
11
1
1 )()()(
!sG
sUsY
"• si el lazo 1 es mucho más lento que el 2:
Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de 2x2:
10
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 21
Sintonización multivariable: ejemplo
!
KC1M =KC1S =0.92
155=1.35
!
tic1 =3.33 x 5=16.6
!
KC 2M ="21KC 2S =0.6210.91
6015
=2.23
!
tic 2 =3.33 x 15=50
!
KC 3M =KC 3S =0.91
155
=2.7
!
tic 3 =3.33 x 5=16.6
a) Calcular los controladores de la estructura de la figura:
u3
u2
u1
y3
y2
y1
!
"1.2e"5s
15s +12e"5s
15s+1"0.1e"5s
15s +1e"15s
60s +1e"15s
60s+10.2e"5s
15s +1"0.1e"5s
15s +10.1e"5s
15s+1e"5s
15s +1
#
$
% % % % % % %
&
'
( ( ( ( ( ( (
+ GC2M(s)
+
-
-
y2ref
GC1M(s)
GC3M(s)
+-y1ref
y3ref
Tipo de
regulador
Kc Ganancia
Ti Tiempo integral
Td Tiempo
derivativo
PI m
p
p tt
K9,0 3,33 tm
PID m
p
p tt
K2,1 2 tm 0,5 tm
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 22
Ejercicio control multivariable
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2
a) Diseñar y calcular un control multivariable de T y F (4 puntos)b) Dibujar la volución de las salidas ante un cambio de refrencia de F
y también ante un cambio de referencia de T (3 puntos)c) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de
control sobre el otro bucle (3 puntos)
!
G(s) =
13s+1
13s+1
"0.8333e"3s
10s +14.166 e"3s
10s +1
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
11
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 26
Ejercicio emparejamientoincorrecto
F1 T1
F T
F2 T2
Dado el sistema del ejercicio anterior
a) Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que elcontrol de T se efectué con F1 y el de F con F2 (5 puntos)
b) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles decontrol sobre el otro bucle (5 puntos)
!
G(s) =
13s+1
13s+1
"0.8333e"3s
10s +14.166 e"3s
10s +1
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 29
Control multivariable
• Sistemas multivariables y suproblemática de control
• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables
controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• Desacoplamiento
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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 30
Desacoplamiento:Objetivo y estructura
• Objetivo: eliminar o reducir las iteraccionesde cada variable de entrada con las variables desalida distintas de la que controla.
• Estructura (caso 2x2):
SistemaDesaco-plador
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1Y2(s)M´1(s) = 0
Y1(s)M´2(s) = 0
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 31
Desacoplamiento lineal total:cálculo de la matriz del desacoplador
G12(s)G11(s)D12(s) = -
G21(s)G22(s)D21(s) = - D(s) =
1 D12(s)
D21(s) 1
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s)+
+
+
+
y1(s)
y2(s)
m1(s)
m2(s)
D12(s)
D21(s)+
+m´1(s)
m´2(s)+
+
13
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 32
Desacoplamiento lineal total:características del desacoplo (1/2)
K21(t22s+1)K22(t21s+1)D21(s) = - e-(tm21-tm22)s
G(s)D(s) = G11(s)λ11(s)
G22(s)λ22(s)
0
0
• Limitaciones en la realización de desacopladoresanálogos a los controladores anticipativos:
• Sintonización dependiente de otras f.d.t.:
• No son robustos ante errores de modeladocuando la λij es elevada
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 34
Desacoplamiento lineal total:ejemplo comparativa con y sin desacoplo
F1 T1
F T
F2 T2
!!!!
"
#
$$$$
%
&
+
'
+
''+
'
+
'
160
15252,0160
15105,0115
52,0115
575,0
s
s
s
ss
s
s
s
ee
eeF(s)
D12(s)
D21(s)
+
+
+
++ GC1D(s)
+
-
-F2(s)
+
GC2D(s)T(s)
Fref(s)
Tref(s)
F1(s)
641.0252.0105.0
22
2121
)==!=
GGD
62.075.02.0
11
1212
)!=!=!=
GGD
desacopladores:24,36,39,01111 =!== SCDC KK "
852,1228,149,02222 =!== SCDC KK "
6,16533,31 =!=ict
501533,32 =!=ict
controladores:
14
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 35
Desacoplamiento lineal total:ejemplo comparativa con y sin desacoplo
F-Fr T-Tr
con desacoplo total sin desacoplo
con desacoplo total sin desacoplo
con desacoplo total sin desacoplo
T-Fr
con desacoplo total sin desacoplo
F-Tr
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 36
Desacoplamiento lineal total:ejemplo con error 10% en el modelo
T-Fr
con error del 10%
F-Tr
con error del 10%
T-Tr
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
F-Fr
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
15
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 37
Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ elevada
!!!!
"
#
$$$$
%
&
+
'
+
'+
'
+
'
160
15252,0160
157875.0115
52,0115
575,0
s
s
s
ss
s
s
s
ee
eeY1(s)
D12(s)
D21(s)
+
+
+
++ GC1D(s)
+
-
-U2(s)
+
GC2D(s)Y2(s)
Y1ref(s)
Y2ref(s)
U1(s)
125.3252.07875.0
22
2121 !=!=!=
GGD
62.075.02.0
11
1212
)!=!=!=
GGD
desacopladores:6.216,361111 =!== SCDC KK "
71.8528,1462222 =!== SCDC KK "
6,16533,31 =!=ict
501533,32 =!=ict
controladores:
( ) !"
#$%
&'
'==( '
6556
* 1 TKK
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 38
Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo
Y2-Y2ref
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
Y1-Y1ref
sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22
Y1-Y2ref
sin error de modelo con error del 10%
Y2-Y1ref
sin error de modelo con error del 10%
16
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 39
Desacoplamiento lineal parcial:objetivo y estructura
• Objetivo: eliminar o reducir la interacción medianteel desacoplo de la salida más importante del restode las entradas
G21(s)G22(s)D21(s) = - D12(s) = 0
G12(s)
G21(s)
G22(s)
G11(s)+
+
+
+
y1(s)
y2(s)
m1(s)
m2(s)
D21(s)++
m´1(s)
m´2(s)
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 40
Desacoplamiento lineal parcial:características
La sintonización del lazo de control de la variableimportante es independiente de las otras f.d.t. del sistema,pudiéndose considerar el resto de la entradas comoperturbaciones a dicho lazo de control
La sintonización de los otros lazos de control depende deotras f.d.t. ajenas al lazo
El comportamiento del lazo de control de la variableimportante es más sensible a errores de modelo a medidaque crece su ganancia estática relativa
G(s)D(s) = G11(s)λ11(s)
G22(s)0
G12(s)
17
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 41
Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ11=0,9 error 10% en el modelo
sin error de modelado
T-T r
desacoplo total ydesacoplo parcial
F-T r
desacoplo total desacoplo parcial
con error 10% en K11 y K22
T-T r
desacoplo totaldesacoplo parcial
F-T r
desacoplo total desacoplo parcial
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 42
Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo
sin error de modeladoY2-Y2r
desacoplo total ydesacoplo parcial
desacoplo total desacoplo parcial
Y1-Y2r
con error 10% en K11 y K22
desacoplo totaldesacoplo parcial
desacoplo total desacoplo parcial
Y2-Y2r
Y1-Y2r
18
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 43
Desacoplamiento no-lineal:objetivo
• Objetivo: reducir la interacción en sistemas enlos que su comportamiento no-lineal de lugar aun mal funcionamiento de los desacopladoreslineales
SistemaDesacopladorno-lineal
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1y1≈f1(m'1)
y2≈f2(m'2)
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 44
Desacoplamiento no-lineal: estructura del desacoplador
Sistema
m=f-1(m')(inversión delmodelo estáticodel sistema)
m1
m2
m1
y2
y1
m´2
m´1
En régimen permanente y sin error de modelado: y≡m'
Desacoplamiento no-lineal por inversión delmodelo estático.
modelo estático:
y=f(m)
!
y1 = f1(m1,m 2)y2 = f2(m1,m 2)
" # $
cálculo de entradas:
m=f-1(m')
!
m1 =g1( " m 1, " m 2)m2 =g2( " m 1, " m 2)
# $ %
inversión del modelo:
m=f-1(y)
!
"m1 =g1( y1, y2)m2 =g2( y1, y2)
# $ %
19
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 45
Desacoplamiento no-lineal: caracteristicas
útil en sistemas fuertemente no-linealesno tiene en cuenta la dinámica del sistema
U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 46
Desacoplamiento no-lineal: ejemplo
!"#
+=+=
2211
21
FTFTTFFFF
ecuaciones estáticas:F1 T1
F T
F2 T2
!!"
!!#
$
%=%%
=
%%
=
121
12
12
21
FFTTTTFF
TTTTFF
inversión del modelo:
SistemaF2
F1
T
F
m´2
m´1
21
2112
12
2211
TTmTmF
TTmTmF
!"!"=
!"!"=