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LGEBRA LINEALTRANSFORMACIONES LINEALES
INTRODUCCIN A LAS TRANFORMACIONES LINEALES
Definicin: Las transformaciones lineales son las funciones y
tratan sobre K-espacios
vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operacin y la accin) de estos espacios.
Aqu se presentan las funciones entre espacios vectoriales que
preservan las
cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones
que preservan la suma y
la multiplicacin por escalares.
Nosotros usaremos el concepto de la funcin para darle un
tratamiento a los sistemas
de ecuaciones lineales. La restriccin que haremos ser sobre el
tipo de funciones:
solo estaremos interesados en funciones que preserven las
operaciones en el espacio
vectorial. Este tipo de funciones sern llamadas funciones
lineales. Primeramente las
definiremos, veremos algunas propiedades generales y despus
veremos cmo se
aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
Una transformacin lineal o mapeo lineal de V a W es una funcinT
: V W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier
escalar c:
a) T (u + v) = T (u) + T (v)
b) T (c u) = c T (u)
Demuestre que la transformacin T : R2 R2 definida por
es lineal.
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Entonces :
Por otro lado, para todo escalar c,
Como se cumplen las dos condiciones:
Tes lineal.
Una transformacin lineal preserva combinaciones lineales.
Veremos que, debido a
esto, una transformacin lineal queda unvoca-mente determinada
por los valores que
toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.
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Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son
funciones entre conjuntos,
tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de
funciones: inyectividad,
suprayectividad y biyectividad.
Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas
propiedades reciben
nombres particulares:
Definicin 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V
W unatransformacin lineal. Se dice que:
1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.
2. f es un epimorfismo si f es suprayectiva.
3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.
En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un
K-espacio vectorialen s mismo:
Sea V un K-espacio vectorial. Una transformacin lineal f : V V
se llama unendomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es adems
un isomorfismo, entonces
se dice que es un automorfismo.
