4 Practica Calificada Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“4ª PRÁCTICA CALIFICADA”

CURSO:

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

TEMA: ARMADURAS EN EL ESPACIO

ALUMNO:

HUAROTO SEVILLA JUAN 20112073D

SECCION:

MC 1516 - E

PROFESOR:

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Lima, 19 de Noviembre del 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS MC 516D

INDICE

Enunciado del Problema....................................................................3

Solución (Cálculos previos)................................................................4

Análisis...............................................................................................5

Modelado del Cuerpo Real………......................................................7

Matriz de rigidez……………………………………………………8

Diagrama de Flujo..............................................................................9

Uso de Matlab....................................................................................12

Ejecución del Programa.....................................................................14

Conclusiones................................................................................... 19

Armaduras en el Espacio Página 2


CUARTA PRACTICA CALIFICADA(ARMADURA EM EL ESPACIO)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Piden:

Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de la grúa Calcular los esfuerzos en todas las barras de la pluma

DATOS DEL PROBLEMA:

Material: E=3.1*105 N/mm2

Carga: P=30 000 N

Angulo de inclinación: β=60°

Secciones de todas las barras: tubo de 100mmφ

GRÁFICO:



1. CÁLCULOS PREVIOS:



Las dimensiones se muestran a continuación, en la siguiente grafica:



2. ANÁLISIS:


Figura 1

Figura 2

Figura 3


3. MODELADO DEL CUERPO REAL:

Tabla de conectividad:


e NODOS GDL Ae(mm

2) E

e(N/mm

2)

1 1 2 1 2 3 4 5 6 900 *π 3.1 x 105

2 1 3 1 2 3 7 8 9 900 *π 3.1 x 105

3 2 3 4 5 6 7 8 9 900 *π 3.1 x 105

4 1 4 1 2 3 10 11 12 900 *π 3.1 x 105

5 1 6 1 2 3 16 17 18 900 *π 3.1 x 105

6 1 5 1 2 3 13 14 15 900 *π 3.1 x 105

7 4 6 10 11 12 16 17 18 900 *π 3.1 x 105

8 4 5 10 11 12 13 14 15 900 *π 3.1 x 105

9 5 6 13 14 15 16 17 18 900 *π 3.1 x 105

10 2 6 4 5 6 16 17 18 900 *π 3.1 x 105

11 2 5 4 5 6 13 14 15 900 *π 3.1 x 105

12 3 6 7 8 9 16 17 18 900 *π 3.1 x 105

13 6 7 16 17 18 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

14 3 10 7 8 9 28 29 30 900 *π 3.1 x 105

15 2 9 4 5 6 25 26 27 900 *π 3.1 x 105

16 5 8 13 14 15 22 23 24 900 *π 3.1 x 105

17 3 7 7 8 9 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

18 2 10 4 5 6 28 29 30 900 *π 3.1 x 105

19 2 8 4 5 6 22 23 24 900 *π 3.1 x 105

20 5 7 13 14 15 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

21 2 7 4 5 6 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

22 9 8 25 26 27 22 23 24 900 *π 3.1 x 105

23 8 7 22 23 24 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

24 10 7 28 29 30 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

25 9 10 25 26 27 28 29 30 900 *π 3.1 x 105

26 9 7 25 26 27 19 20 21 900 *π 3.1 x 105

27 9 11 25 26 27 31 32 33 900 *π 3.1 x 105

28 8 11 22 23 24 31 32 33 900 *π 3.1 x 105

29 7 11 19 20 21 31 32 33 900 *π 3.1 x 105

30 10 11 28 29 30 31 32 33 900 *π 3.1 x 105


4. MATRIZ DE RIGIDEZ

1. MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES

Las matrices de rigidez locales están determinados por:

k rse =( EA

l )e [

l2 lm nl −l2 −lm −nllm m2 mn −lm −m2 −mnnl mn n2 −nl −mn −n2

−l2 −lm −nl l2 lm nl−lm −m2 −mn lm m2 mn−nl −mn −n2 nl mn n2

]Como son 30 elementos finitos, tendremos 30 matrices de rigidez locales.

2. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

Determinaremos a través de la conectividad del modelo, utilizando la siguiente fórmula.

K iJ ¿∑ ksre

s❑→

i

r❑→

J

Como se tienen 11 nodos y estamos en el espacio (3 Grados de libertad por cada nodo),

la matriz de rigidez será de 33x33.


INICIO

Leer datos de entrada.

Para i=1 hasta Nº de nodos

Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i1 hasta 3x Nº de nodos

Cont0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)


5. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: (similar al de armaduras planas)


Si iCC(i,1)

Cont=1, C2CC1(i,2)C1CC1(i,1)

SI

Si cont1

CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2

SI

NO

CC(i,1)=0;CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.



Para i=1;3xNº nodos

Si i==CC(i,1)

Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos




6. USO DEL MATLAB:

DIGITACION DEL PROGRAMA

%finitos03.m

clc

clear

%datos

A=input('Ingrese el vector area de cada elemento finito en mm2 ')

E=input('Ingrese el vector modulo de young de cada elemento finito en N/mm2 ')

x=input('Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm ')

y=input('Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm ')

F=[-5000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;-3000];%la posiciones del 5 al 8 son incognitas pero los he puesto como ceros para que los pueda leer el matlab

%calculo de los elementos faltantes de la tabla de conectividad

NODOS=[1,2;2,3;3,4;3,5;4,5;5,2;5,1];

GDL=[1,2,3,4;3,4,5,6;5,6,7,8;5,6,9,10;7,8,9,10;9,10,3,4;9,10,1,2];

for i=1:7

L(i)=sqrt((x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))^2+(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))^2);

l(i)=(x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))/L(i);

m(i)=(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))/L(i);

end

%calculo de la matriz de rigidez

k=zeros(10);

aux=zeros(10);

for i=1:7

aux(GDL(i,1:4),GDL(i,1:4))=E(i)*A(i)/L(i)*[l(i)^2,l(i)*m(i),-l(i)^2,-l(i)*m(i);l(i)*m(i),m(i)^2,-l(i)*m(i),-m(i)^2;-l(i)^2,-l(i)*m(i),l(i)^2,l(i)*m(i);-l(i)*m(i),-m(i)^2,l(i)*m(i),m(i)^2];



k=k+aux;

aux=zeros(10);

end

%calculo de Q

Q=inv(k([1:4,9,10],[1:4,9,10]))*F([1:4,9,10]);

Q=[Q(1:4);0;0;0;0;Q(5:6)];

%calculo del vector F

F=k*Q;

%calculo de esfuerzos

for i=1:7

esf(i)=E(i)/L(i)*[-l(i),-m(i),l(i),m(i)]*Q(GDL(i,1:4));

end

%esfuerzos

display('Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: ')

esf

%reacciones

display('Las reacciones en los apoyos en N son')

F(5:8)

%gràfico de la armadura sin fuerzas externas

xx=[x,x(1),x(2),x(5),x(3)];

yy=[y,y(1),y(2),y(5),y(3)];

xxx=[x+Q(1:2:9)',x(1)+Q(1),x(2)+Q(3),x(5)+Q(9),x(3)+Q(5)];

yyy=[y+Q(2:2:10)',y(1)+Q(2),y(2)+Q(4),y(5)+Q(10),y(3)+Q(6)];

plot(xx,yy,xxx,yyy,'r')



7. EJECUCION DEL PROGRAMA:

Ingrese el vector área de cada elemento finito en mm2 [1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495]

A =

1.0e+003 *

Columns 1 through 6

1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635

Column 7

1.9635

Ingrese el vector modulo de Young de cada elemento finito en N/mm2 [3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5]

E =

Columns 1 through 5

310000 310000 310000 310000 310000

Columns 6 through 7

310000 310000



Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm [0,1500,1500*2,1500*2,1500]

x =

0 1500 3000 3000 1500

Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm [1500,1500,1500,0,0]

y =

1500 1500 1500 0 0

Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son:

esf =

2.5465 2.5465 0 3.6013 -2.5465 -1.0186 0

Las reacciones en los apoyos en N son

ans =

1.0e+004 *

1.0000 // EJE X DEL NODO (3)

0.5000 // EJE Y DEL NODO (3)

-0.5000 // EJE X DEL NODO (4)

0 // EJE Y DEL NODO (4)



-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

x

y

Figura 1

Aplicando 1000 veces las fuerzas para notar las deformaciones:

-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Figura 2



Para visualizar las nuevas posiciones de los nodos ampliamos la figura en la parte de los nodos.

Línea azul: posición inicial

Línea roja: posición final

Figura 3

Figura 4



Figura 5



8. CONCLUSIONES

El elemento finito 7 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero es muy

importante para la estabilidad de la estructura ya que dentro de su

cuerpo se cancelan los desplazamientos de los nodos 1 y 5.

El esfuerzo en la barra 7 es cero debido a que no hay una fuerza vertical

en el nodo 1.

La orientación del elemento finito 7 antes era de -45° Luego de aplicar

las fuerzas externas su orientación cambio y su longitud se mantuvo

constante.

El elemento finito 3 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero también es

importante para asegurar que la estructura este en un plano horizontal.

Los elementos finitos 5 y 6 (vea la figura 2) están en compresión.

El elemento finito 4 (vea la figura 2) es el que soporta el mayor esfuerzo

3.6013 N/mm2 esto es debido a que uno de sus extremos están

empotrados en la pared y prácticamente toda la fuerza recae sobre él.

Con este elemento habría que hacer el diseño.

Este problema es imposible para la estática (hiperestático) ya que tiene 4

incógnitas y solo tres ecuaciones de equilibrio. Es posible su solución

mediante los métodos finitos.

Las reacciones encontradas 10000N (eje x del nodo (3)) 5000N (eje y del

nodo (3) -5000N (eje x del nodo (4)) y 0N (eje y del nodo (4)) cumplen

con las tres condiciones de equilibrio por lo tanto están bien.

Todos los problemas de armaduras planas tienen como mínimo 2 apoyos

rígidos pero también pueden tener más de dos apoyos. En este tipo de

problemas podemos distinguir dos tipos de incógnitas las de

desplazamientos y las de fuerzas, si el número de apoyos rígidos

aumentan entonces las incógnitas de fuerzas aumenta y disminuyen las

incógnitas de desplazamientos y por lo tanto se mantiene constante el

número de incógnitas totales que para nuestro problema es 10.


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