EJEMPLOEn el pórtico de la figura:

Determinar:-Matriz de rigidez.-Matriz de masas concentradas.- Matriz de masas consistentes.

1

2L

x

L

EIEI4 EI

Aθ Bθ

mm

m1.5

MATRIZ DE RIGIDEZ.a)Mediante aplicación del análisis matricial.

2

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

=

100010001

100001010

1000cos0cos

''''''

'222221

121122

c

ba

bcc

ccaE

T

Tsensen

T

KKKKKK

K

αααα

4 EI

EIEI

A B

0c=α

º90a=α º90

b=α

y´

x´

3

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

LIE8

LIE60

LIE6

LIE60

00L*ΩE

L2IE44

L2IE460

L2IE46

L2IE4120

00L*ΩE

K

K'

LIE40

LIE6

0LΩE0

LIE60

LIE12

TKTK'

K

LIE4

LIE60

LIE6

LIE120

00LΩE

K

2

23

2

2322c

22b

2

2

Ta22aa22a

22b

2

2322a

4

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

11cTc11cc11c

12cTc12cc12c

2

23

2

2311c

2

23

2

2312c

22cTc22cc22c

KTKTK'

KTKTK'

LIE8

LIE60

LIE6

LIE60

00L2*ΩE

L2IE44

L2IE460

L2IE46

L2IE4120

00L2*ΩE

K

LIE4

LIE6-0

LIE6

LIE60

00L2*ΩE

L2IE42

L2IE460

L2IE46

L2IE4120

00L2*ΩE

K

KTKTK'

==

==

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

==

5

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

B

yB

xB

A

yA

xA

E

B

yB

xB

A

yA

xA

222

2323

23

222

2323

23

E

θ'd'd'θ'd'd'

K'

m'p'p'm'p'p'

LIE12

LIE6-

LIE6

LIE4

LIE60

LIE6-

LIE6

LΩE0

LIE6-

LIE6-0

LIE60

LIE12

L2*ΩE00

L2*ΩE

LIE4

LIE6-0

LIE12

LIE6

LIE6

LIE6

LIE6-0

LIE6

LIE6

LΩE0

00L2*ΩE

LIE60

LIE12

L2*ΩE

K'

M

M

M

LLLMLLL

M

M

M

xBxA d'd' =

6

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

++=+

⇒

++=

+=

++=

+=

B

A

xA

E

B

A

xA

2

2

223

B

A

xBxA

B3xB2AB

BAxA2A

B2A2xA3xBxA

B3xB2AB

B2xB3xB

BAxA2A

A2xA3xA

θ'θ'd'

K'θ'θ'd'

LIE12

LIE4

LIE6

LIE4

LIE12

LIE6

LIE6

LIE6

LIE24

m'm'p'p'

θ'LIE12d'

LIE6θ'

LIE4m'

θ'LIE4θ'

LIE12d'

LIE6m'

θ'LIE6θ'

LIE6d'

LIE24p'p'

θ'LIE12d'

LIE6θ'

LIE4m'

θ'LIE6d'

LIE12p'

θ'LIE4θ'

LIE12d'

LIE6m'

θ'LIE6d'

LIE12p'

b) Mediante la aplicación directa de la definición de kij.

kij Acción que resulta según el grado de libertad i cuando se impone un movimiento (desplazamiento o giro) según el grado de libertad j, permaneciendo fijas las coordenadas de los demás grados de libertad.

7

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

E

kkkkkkkkk

K'

Mediante la aplicación de la resistencia de materiales resulta:

8

221 LIE6K =

231 LIE6K =

33311 LIE24

LIE12

LIE12K =+=

212 LIE6K =

( )( ) L

IE4L2IE42K32 ==

( )( ) L

IE12L2IE42

LIE4K22 =+=

1dxA =' 1dxB ='

1A =θ'

21K 31K

22K 32K12K

9

2136L

IEk =

( )( ) L

IEL

IEk 4242

23 ==

( )( ) L

IEL

IEL

IEk 122424

33 =+=

1' =Bθ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

KE

1246

4126

6624

2

2

223

'

23k 33k13K

C) Considerando la matriz de rigidez de un elemento viga sometido a flexión.

10

L

X2X1

X3 X4

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

4

3

2

1

22

22

2233

2233

S4

S3

S2

S1

x

x

x

x

L4EI

L2EI

L6EI‐

L6EI

L2EI

L4EI

L6EI‐

L6EI

L6EI‐

L6EI‐

L12EI

L12EI‐

L6EI

L6EI

L12EI‐

L12EI

f

f

f

f

11

1 1

33311241212

LIE

LIE

LIEk =+=

3LIE12

3LIE12

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

EKKKKKKKKK

K'

2L

x

L

EIEI4 EI

12

2LIE6

2126L

IEk =1A =θ'

2136L

IEk =

2LIE6

1B =θ'

13

2LIE6

1 1

2216L

IEk =

LIE4

( )( ) L

IEL

IEL

IEk 122424

22 =+=

1A =θ'

( )( )L2

IE44

14

( )( ) L

IEL

IEk 4242

23 ==1B =θ'

( )( )L2

IE42

1 1

2316L

IEk =2LIE6

15

( )( ) L

IE4L2IE42K32 ==

1A =θ'( )( )L2

IE42

( )( ) L

IE12LIE4

L2IE44K33 =+=

1B =θ'

LIE4

( )( )L2

IE44

MATRIZ DE MASASA)Matriz de masas concentradas.

16

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

00000000Lm4

M

Lm,Lm,

L2m51 ,,

Lm50 ,,Lm50 ,,

Lm50 ,, Lm50 ,,

Lm51 ,,Lm51 ,,

Lm2 ,Lm2 , )Lm4xx ≡Según

b) Matriz de masas consistentes.Teniendo en cuenta la matriz de masas consistentes de un elemento barra:

17

L

X2X1

X3 X4

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

3

2

1

22

22

I4

I3

I2

I1

xxxx

43L22-L13-341322L22-1315654L13-2254156

420ffff

&&

&&

&&

&&

LLLLLL

LL

Lm

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

mmmmmmmmmmmmmmmm

M

Lm,Lm,

Lm 2,5,1 x'Bθ

'Aθ

18

21m 31m

( )210

Lm786m51420

Lm156420

Lm156m 211 =++= ,

( ) ( )210LmL26L24

420L2m51L4

420Lmm 222

22 =+=,

( ) ( )( )210LmL18L23

420L2m51m 22

32 −=−=,

210LmL11L22

420Lmm12 ==

1A =θ'&&

22m 32m

210Lm11

420Lm22m21 ==

210Lm11

420Lm22m31 ==

x&&

19

210Lm11

420Lm22m13 ==

1B =θ'&&

( ) ( )( )210LmL18L23

420L2m51m 22

23 −=−=,

23m 33m

( ) ( )210LmL26L24

420L2m51L4

420Lmm 222

33 =+=,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

22

22

210Lm

20

A C DB 1x 2x

L LL

21k

11k

A C DB

A C DB C1M 1M

AV−CV +

CV DV

( ) ( )

LMV

LMV

LMk

IELM

IELM

IELk

cA 25

23

433

2162

11

111

112

11

==

=−

=+−

−

A CB A CB

1M41M32M3 1

− +

EJEMPLO

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

===+=

==

==

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−++==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++=

+−

−+

−

33

33

2221

1211

11222112321

33

33

31121

1

1

11

548

542

542

548

)(;;542

512;

512

530;

1036

548;

512

31

23

2111

32

314

212

3132

2112

LIE

LIE

LIE

LIE

kkkk

K

símetriaporkkkkL

IEVVk

LIEV

LIEV

LIEV

LIEV

LIEk

LIEM

LMLIE

Lvv

IELM

LLMLMLIE

Lvv

CC

DC

CA

AAB

A

AAc

ω

ω

ω