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boumediene-bakhadda
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F413 :METHODES ENERGETIQUES ET MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS
• Expression de l’énergie de déformation emmagasinée dans une structure élastique
• Caractérisation du comportement sous charge d’une structure élastique
• Résolution de problèmes hyperstatiques
• Utiliser et comprendre un calcul par éléments finis
Poutres ou assemblage de poutres : Etre capable d’effectuer un calcul manuel
Structures « compliquées » : Comprendre les différentes étapes d’un calcul par éléments finis
1. TRAVAIL ET ENERGIE
• Travail élémentaire d’une force et d’un couple
• Principe de conservation de l’énergie
2. ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE
• Energie de déformation dans une poutre droite
• Cas de la traction, torsion, flexion pure et plane
• Energie de déformation en état plan de contrainte
3. FLEXIBILITE - RIGIDITE
• Matrice de flexibilité – Matrice de rigidité
• Théorème de Castigliano, Maxwell-Mohr
• Problèmes hyperstatiques
METHODES ENERGETIQUES
TRAVAIL ELEMENTAIRE D’UNE FORCE ET D’UN COUPLE
• Une force F travaille lorsque son point d’application A se déplace
A
F
dl
Joule (J) Newton (N) Mètre (m)
• Soit un moment défini en un point A d’un domaine indéformable.
Lors d’une rotation élémentaire du domaine, le moment développe un travail algébrique élémentaire :
AJoule (J) Newton-mètre (Nm) Radian (rd)
B
A
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
On considère une barre :
• homogène, linéairement élastique
• fixe en A et soumise à une traction en B
Etat initial
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
En pratique en dds:
• Etat 1 = état initial avant chargement (énergie potentielle nulle)
• Etat 2 = structure chargée
Matériau élastique
Travail converti entièrement en
énergie stockée dans la barre
Variation d’énergie de déformation
Variation d’énergie potentielle élastique
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
TRAVAIL DES ACTIONSEXTERIEURES APPLIQUEES
AU SYSTEME
ENERGIE DEDEFORMATION ELASTIQUE
(NRJ STOCKEE)=Comment calculer Wext ?
Comment calculer Ed ?
Déformation isotherme (effets thermiques négligés)
Dissipation interne négligée (amortissement)
Action extérieure appliquée lentement (effets d’inertie négligés)Hyp
othè
ses
D
F
A
B
F : Force appliquée au point B
D : Déplacement du point B
E F
GH
O A
BF
P
D1
dl
df
Aire du rectangle EFGH
Aire du triangle OAB
D
TRAVAIL D’UNE FORCE : CAS F ET D COLINAIRES
TRAVAIL D’UNE FORCE : CAS OU F ET D NON COLINAIRES
F = 0 F
TRAVAIL D’UNE FORCE : SYNTHESE
Force appliquée au point B (en Newton)
Déplacement correspondant du point B (en Mètre)Seul le déplacement parallèle à P est intéressant
En Joules (J)
TRAVAIL D’UN COUPLE
C : Couple appliqué au point B
θ : Rotation du point B
Couple appliqué en B (N.m)
Rotation correspondante (rad)(seule la rotation // à C est intéressante)
En Joules (J)
TRAVAIL D’UNE CHARGE REPARTIE
0=q
q
État initial
État actuel
…BA
y
x
q : Charge linéique (N/m)
S : Aire sous la déformée (m2)
TRAVAIL D’UNE FORCE ET D’UN COUPLE
• n actions extérieures Superposition :
0=C
C
État initial
État actuel
…
θ
BA
B’
P
0=P
D
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
TRAVAIL DES ACTIONSEXTERIEURES APPLIQUEES
AU SYSTEME
ENERGIE DEDEFORMATION ELASTIQUE
(NRJ STOCKEE)=Comment calculer Wext ?
Comment calculer Ed ?
Déformation isotherme (effets thermiques négligés)
Dissipation interne négligée (amortissement)
Action extérieure appliquée lentement (effets d’inertie négligés)Hyp
othè
ses
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
Le torseur des actions mécaniques
de E2 sur E1 est appelé torseur des
efforts intérieurs ou torseur de cohésion
ou encore torseur de section.
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
TRACTION - COMPRESSION
x x+dx
dx
On considère un tronçon de poutre de longueur dx
Allongement du tronçon : du(x)
Travail développé par la force extérieure :
Relation de comportement en traction :
N
xy
z
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
TORSION
dx
On considère un tronçon de poutre de longueur dx
Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθx(x)
Travail développé par le couple :
Relation de comportement en torsion :
dθx
Constante de torsioncaractéristique de la forme de la section
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
FLEXION PURE
dx
On considère un tronçon de poutre de longueur dx
Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθz(x)
Travail développé par le moment extérieur :
Relation de comportement en flexion :
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
EFFORT TRANCHANT
ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES
RECAPITULATIF
« Elasticité du matériau »E si contrainte normale
G si contrainte tangentielle
« Géométrie section droite »S si force
I si couple