2º_capitulo_Franco_Brunetti

5/10/2018 2_capitulo_Franco_Brunetti

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CAPfT LO

ESTATICA DOS FLUIDOS

PressaoNo Capitulo 1 foil visto que uma forca aplicada sobre uma superffcie pode ser decomposta em

dais efeitos: urn tangencial que origina tensocs de cisalhamento, e outre normal, que dara origem a spressoe . .Se F, representa a forca normal que age mana superffcic de area A e dF[l a forca normal que

age num infinitesimo de a r e a dA, a pressao num ponto sera:p=dFn (2.1)dA

S e a p ressa o for uniforme, sobre toda a area, au se 0 interesse for n a p re: sao med ia , e ru ao :Fp =_n (2.2)A

o leitor nao deve confundir pres 50 com forca. Vcja 0 exemplo da Figura 2.1.l O O N 100 N

P 2(a) (b) Figura 2.'

Note-so que a forca aplicada em ambos os recipientes e a mesrna; entretanto, Uprcssao sera di-Ierente. De [ala:

Recipiente (a): PI =!!_ = 100 N =lO~Al L O crn ' em 2


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CAPfTULO 2 Estatica dos Fluidos

Recipiente (1)): _ F:l _ 100N -20 NP2--- --_A2 5 crn ' em?

Teorema de StevinA diferenca de pressao entre dais pontos de umfluida em repoltso e igual ao produto do pesoespecifico do fluido pela diferenca de cotas dos dais pontes.Sejam urn recipicnte que contem urn Iluido c doi pontes gencricos MeN. Unindo- eo' pen-to MeN can uroi-se urn cilindro, cuja area da ba e e dA. ern lorna do eixo MN.

dO

Plano Horizontal. - . - -~-.-~-.-,-.-.-,-.-.-.-.---.-.-.~.- - - -.-.--~.-.-.-~-- -De Referencia (PHR) Figura 2.2Orienta-se 0 eixo MN de N para M e seja a 0 !nguJo Iormado com a horizontal.Sejamz, a cola do ponto N e ZM a cola do ponto M , em relay80 a urn plano horizontal qualquer,a do ta do c omo re fere nc ia .eja h a diferenca de otas dos dais pontos. isto e , h = ZM - ZwC omo, pa r h ipo tese, 0 Iluido esta em repouso. a resultarue das Iorcas que agern sobre 0 cilin-

dro em qualquer direcao deve seT nula ou haveria urn deslocam ento nessa direcao, con trariando ahipotese,As Iorca que agcm ao:dFN =PN dA no porno NdFM = P M dA no p nto MF:::: f pdA f na supc rffcie la te ra ldG = peso do fluido contido no cilindro = v lum e de fluido x peso especifi 0 = P.dA.yTodas essas forcas sao projetadas na direcao do eixo NM . Deve-se Iem brar que, como as [01'-e r a s dcvidas a pres a o s a o normal . a superffcie, entao as que agem na superftcie lateral terao compo-nente nula sobre 0 eixo.A Dutra forca projctadas, respeitando a sentido do eixo, re ultam:

P N dA - P M dA - dO sen a. = 0o u

masPN dA -PM dA - yfdA sen a = 0PN - PM ;:; yf sen a.e sen e x , = b ::::ZM - ZNP -PM =Y h =y (ZM-ZN) (2.3)u


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MECANICA DOS FL UIDOS

Logo, a diferenca de pre. ao entre dois ponios genericos e igual ao produto do peso especfficodo Ouido pela diferenca de cotas entre os dois pontes, como se queria dernonstrar,o que e importantc notar ainda nesse teorerna e que:

a) na diferenca de pressao entre dais pontos nao interessa a distancia entre eles, mas a diferen-\!3 d e c ota s:b) a pressao dos pontes num mesmo plano ou nivel horizontal e a m esm a:c) 0 form ate do recipicnte ndo e im portan te pa ra 0 calculo da pres 'a o em algum ponte;Na Figura 2.3. ern qualquer ponte do nlvel A . tern-se a mesma pressao P A t e em qualquerponte do nfvel B , tem -se a pre sao PIJ) de de que 0 fluido seja 0mesmo em todo os ramos.

Rgura 203

d) se a pres a o na uperffcie livre de urn Ifquido contido num recipiente for nula, a pressaonurn ponte a profundidade h dentro do lfquido sera dada por: p = y h:

p = o-----1-=S~-M --t----l~-N _ l hJ - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - -- - ~ ~~

_0 . ~ ~ ~ o l _ o _ o _ o _ o _ . _ . _ . _ _ o _ o _ . _ . _ . _ o _ o . _ . . _ o _ o _ o _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ o _ . _ . _ o _ o _ Figura 2.4

e) nos ga es, como 0 peso especifico e pequeno, SC' a diferenca de cota entre dois pontes naofor muito grande, pode-se desprezar a difcrenca de prcssao entre cles.

- ga sA.B PA = = PB ~ Pc

c F ig ura 2 .5

Pressao em torno de urn ponto de urn fluido em repousoA pressiio num ponto de um fluido em repouso e a mesma em qualquer direriio.Existern dcmonstracoes rcbu scadas para e se enunciado; como, porern, tai demon tracoe

nao trazem nenhurn subsfdio aos conhecimeatos, prefere-se apelar para a intui9ao do lei tor.Se 0 fluido esta em repouso, todos 0 scus pontos tambem deverao estar. Se a pres a o fo se di-

fercnte em alguma direcao, haveria urn desequilfbrio no ponto, fazendo com que este se deslocasse


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nessa direcdo, contrariando a hipotese. L ogo, se 0 fluido esta em repouso, a pre sao em tome de urnponte deve ser a mcsma em qualquer direcao (Figura 2.6).

Figura 2.6

.. Le i de PascalA pressiio aplicada num ponto de WlI jlr,ddo em repouso transmite-se integra/mente a todos osp on to s d o f7 uid o.A Figura 2.7 ilustra perfeitamente tal faro:

100 N

A = 5 em!(a) (b) F ig ura 2 .7

E rn (a) e (b), mostra- co rnesrno recipiente cilindrico em que foram esco lh ido s algu ns p on tes.Em (a).0fluido apresenta uma superficie livre a atmo fera e supoc-se que as pressocs nos pon-los ind icado s sejam :

NI 2 2 2 2.PI=l em; P2=2N/em;P1=3N/cm eP4=4N/em.Ao aplicar a forca de 100 N, por meio do embolo da F igura 2 .7b, tem -se urn acrescim o de pre -

- d F 100 20 N A - . di d d - .ao e p ;; - ;; - := -, Spressoes no, ponto in lea 0 everao, po rtan to , ter 0 egUlntesA 5 cm2valores:

2_ 2 2 2P I =2J N/cm ; pz= 22 N/cm ; PJ= 23 N/cm e P ..= 24 N/cro .Toma-sc cvidente, eruao, 0 significado da lei de Pascal.Essa lei apresenta ua maior irnponancia em problemas de dispositivos que transrnitem e am-

pliam um a forca atraves da pressfio aplicada num fluido.


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MECAN ICA DOS FLUIDOS

A figura mostra, esquematicamente urna prensa h id ra ulic a, O s dois embo lo s lem, r espec ti va rnen te . a s areas Al =10 em! e A2 = 10 0 em::!. S e fo r a plica da urna forca de 200 N no em bolo (1). qual sera a forca transrn irida em (2 )?

PIz

A p ressa o tra nsm i tida pelo em bole ( t) sera P, = F_!_AIMa s, p ela lei de Pascal, essa preg~o sera t rans rn i rida in teg ra lmente ,10embo lo ( 2) , p orta nto Pl::: PI'Logo: P2A2=PIA2=F2

200 NPI = - = 20--~. entfio Fz = 20 x 100;: 2000N10 em:N ota-so. cntao, que lie pede, por m eio dessc dispositive. nan SI) iran sm iur um a Iorca, m as tambcrn arnpliri-la,E nesse principia que, na pratica, baseiarn-se: p rensa s h id rau lica s, s ervo rnccan ismos. dispositivos de controlc.Ireios etc.

Como:

Carga de pressaoFoi vista pelo teorerna de Slevin que altura e prcssao mantem urna relacao constante para ummesmo f lu id o. E p ossfv el ex pressar, e nta o, a p re ssao n um ce rto fluido em unic la de d e cornpr irn en tolcmbra nd o q ue :

(2.4)

Essa altura h, que, multiplicada pelo peso especffico do Iluido, reproduz a pressao Dum certoponte do me mo, sera chamada 'carga de pressao' .Para leiter essa definicao torna-se evidcnte quando existir Ull1recipiente em que sc passa [a-lar em profundidade au altura h (Figura 2.8).A S A h Ah B AB Figura 2.8

A prcssao DO ponte A sera PA =-y h"" enquanto a carga de pre. ao sera hA; da me rna forma. noponte B, PB::: : y h[3e a carga de pressao sera hs. Sera que 56 nesses casas e que se pode Ialar ern cargade pressao? Vejarnos como seria interpretada a carga de prcssao no caso de uma tubulacao,


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CAPITULO 2 Es tc lit ica dos F Iuidos

Na Figura 2.9a tem -se, por cxernplo, urn tuba par onde e coa um fluido de pe 0 especffico y ea pressao p. Supondo 0 diarnetro do tuba pequeno, a pressao do fluido em todo os pontes da e~aotramversa! sera aproxirnadarnente a mesma. Como, porem, ha uma pequena diferenca, adote-secomo referenci a a pontes do eixo do tubo. N ote- se que nesse caso ex isie um a pressao p. m as nao h anenhuma altura h.Sent que ainda be pode falar em carga de pressao? Se pas '(vel, como devcra ser intcrpretada?Abrindo-se lim orificio no conduto, verifica-se que, se a pressso interna Formaior que a exter-na, urn jato de lfquido sera lancado para cima ..

h

'Y- - - 9 ~ -_.-P-- -.- 6 -(a) (b) Figura 2.9

Se e se jato for canal izado por rneio de um tuba de vidro, verifica-se que 0 llquido sobe ate al-can car um a altura h. E ssa coluna de lfquido devera para ficaz em repouso, equilibrar exatamente apressao p do conduto, Dessa form a. novam ente,

YnuldO x hculuII3 = = P condutoNota-se entao que 0 h da coluna e exatarncnte a carga de pressao de p. Logo, p de- e falar em

carga de pressao independcntemente da cxisiencia da profundidade h.Pode-se dizer, enlao. que carga de pressao e a altura a qual pode ser elcvada lima coluna defluido por urna pre ao p.Dessa forma, e sempre possivei dada urna coluna h de fluido, a ociar-lhe uma pressao p,dada par yh , assim como e POSS] el, dada uma pressao p, associar-lhe urna altura h de Iluido, dadapor., dcnominada carga de pressao.y

Escalas de pressaoSe a pre sa o fo r rnedida ern relacao ao vacuo au zero absoluto, e chamada 'prcssao absoluta':

quando for medida adotando-se a pre sao a tmo : fe ric a como referencia, e chamada 'pre. sao efeti-va'. A escala de pressocs efctivas e imponante, pois praricarnente todos as aparelhos de medida depressao (manometros) registram zero quando abertos a atmosfera. medindo, portanto, a diferencaentre a pressao do fluido e a do meio em que se cncontram.Se a pres a for menor que a atmo. ferica, costurna ser charnada impropriamentc de vacuo emais propriarnente de depre sao~e claro que um a depres ao na escala efetiva tera urn valor ucgati-va. Todos as valores da pressao na escala ahsoluta sao positives.

A Figura 2.] 0 mostra. esquernaticamente, a rncdida do.pressao nas duas escalas, a . efeti va e aab oluta.Da discus a o anterior e da Figura 2.10 verifica-se que vale a, eguinte relacao entre as escalas:

Pabs ::; P I l 1 1 1 1 + Pel' ( 2 . 5 )onde Pel pode ser positiva ou negativa.


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MECANICA DOS FLUIDOS

pj--~------~-----

pressaoabsoluta

pressao IPressaoefetiva__________ jl~~ao~lE 1~s.!e~~ ~:: f~ _

pressao efetivanegative, (depressao)P2~~--------~~~

pressao absoluta( P 2 n b 5 >0)

zero absolute (vacuo absolute) F ig ura 2 .1 0

A pressao atmosferica e tambem chamad a pressao barom etrica e varia com a altitude. Mesmonum cerro local, ela varia com a tempo, dependendo das condicoes meteorologicas.Nos p ro blem as q ue en volv em leis de e sta do d e gases, e imprescindfvel 0usa da escala ab olu-ra, como foi visto no item 1.12 do Capitulo 1.Em problemas envolvendo liquidos, 0 U 0 da c cala cfetiva e mais comedo pois, nas equa-

~oes. a pressao atmosferica, em geral, aparece nos doi mernbros, podendo ser cancelada.Sempre que for utilizada a escala absoluta, ap6s a unidade de pressao sera indicada a abrevia-!iraoCabs), enquanto, ao se usar a escala. efetiva, nada sera indicado.

Unid ad es d e pressaoAs unidade de pres a o podem ser dividida em tres grupo :a) Unidades de pressao propriamente ditas, baseadas na definicao (F/A).

Entre elas, as mais utilizadas sao: kgf/m''; k~flcm2; N/m 2= Pa (pa cal)' daN/cm2= bar (de-canewton por centlmetro quadrado); Ib/pol =psi (pounds per square inches = libra porpolegada ao quadrado).A relacao entre essas unidades e facilmente obtida por uma simples transforrnacao:J kgf/crn' = 104 kgf/m2 = 9,8 x 104 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.

b) Unidades de carga de pres a o utilizadas para indicar a pressao.Es as unidade a o indicadas por uma unidade de comprimento scguida da denominacaod fluido que produziria a carga de pressao (au coluna) corre pondente a pressao dada.Lembrar, pelo item 2.5, que existe uma correspondencia biunfvoca entre p e h. atraves dopeso especffico y do fluido. Assim, por exemplo:

mmHg (milimetros de col una de mercuric)mea (metros de coluna de agua)cmca (centfrnetros de coluna de agua)A determinacao da pressao em unidades de pressao propriamente ditas e feita lembrandoque p =y h. Assim, por exemplo, 5 mea correspondem a 5 m x 10.000 N/m- ' =50.000 N /m '2(onde 10.000 N/rnJ e o peso especffico da agua).Ainda, por exemplo. 20 mmHg correspondem a 0,02 m x 136.000 N /m 3 ~ 2.720 N/m2(onde 136000 N /m 3 eo peso especffico do merctirio).Vice-versa, a pressao de 2.720 N/m2 cor-responde a 2.720 = 0,272 mea.10.000Assim, na pratica, a representacao da pressao em unidade de coluna de Iluido e bastarue c6~mod a, p ais perm ite visuali za r irn ed ia ta rn en te a p ossib ilid ad e que te rn u rn a c erta p re ssa o d eelevar urn fluido a uma certa altura.


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~ApfTULO 2 Estatica dos Fluidos

c) Unidades definidas.Entre elas, desraca-se a unidade atmo (era Calm) que. por definicao, e a pre ao que poderia

elevar de 760 mm Ulna coluna de mercuric. Logo, ] arm = = 760 mmHg = 101.230 Pa::;::101,23 kPa:;:10.330 kgf/nl = l.033 kgf/cm" 1.01 bar = 14,7 psi::;:: 10.33 mea.

10Dererminar o valor da pressao de 340 mmHgem psi e kgf/cml na escalaefetiva e em Pa e atm naescala absoluta.( P a l m = I O l , 2 kPa)1) 760 mmHg y 1,033 kgf/cm2

340 xx = 1 ,033 > .340 .u

u = 340 xl = o 447atm760 Logo, P a l , . ,= 0,447 + 1 = 1 , 4 4 7 atrn (abs)

o barornetroA pres ao atmo ferica e rnedida pelo ba rome tro, Se urn rubo cheio de llquido, fechado na ex-lrem idade inferior e aberto n a superior, for virado dentro de urna vasilha do m esm o liquido, e le d es-cera a le uma certa po i~ao e nela permanecera em equilibria (Figura 2.11).Desprezando a pressao de vapor do Iiquido, na parte uperior obtem-se, praticamente, 0 vacuo

perfeito ou pressae zero abc oluto.J a Io i visto que a pressao num mesmo nfvel e a mesma, logo: Po:;: P A = Potm'Dessa forma, a coluna h J rmada e devida a pres sa o atrnosferica e tem-se Plllm;::: yh .o llquido utilizado e , geralmcnte, 0merctirio.ja que seu peso especifico e suficientemente ele-

vado de maneira a format urn pequeno h e, portanto, pode scr II ado urn tuba de vidro relativamentecurto. Como a pressao atmosferica padrao e muito utilizada, e intere sante te-la em mente:

2Patm=760 mmHg = 10.330 kgf/m = 101,3 kPa


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MEcAN1CA DOS FlUIDOS

vacuoy

Figura 2.11

Medidores de pressaoManometro metallco ou de Bourdon.9.1

Pres fies ou depressoe a o cornumente medidas pelo manornetro metalico (Figura 2. 12). E scnome provern do fata de que a pre sao e mcdida pela deformacao do tuba metalico mdicado na Iigu-ra. Ao Iigar 0manometro pela tornada de pressao, 0 tubo ilea intemamente subrnelido a uma pre. a op que a deforma, havendo urn deslocamenro de sua extrernidade que, ligada ao ponteiro porum sis-tema de alavancas, relacionara sua deformacao eom a pres a o do reservatorio.

tubamctalico

fluido a p res s ao p Figura 2.12A leitura da pressao na escalaefetiva e feita diretamente no mostrador, quando a parte externa

do manornetro estiver exposta a pressao alma ferica.Supcnha-se, agora, 0 ca 0da Figura 2.13.

F igur a 2 .1 3

Nes 'e caso, a parte in lema do tube metalico esui sujcita it prcssao PI cnquanto a extcrna c t a aP2' Dcssa forma, 0 manometro indican, 11aO a pressao PI' mas a diferenca PI - P2' Logo.

( 2 . 6 )


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CAP IT U L 0 2 Estatica dos Fluidos

2.9.2 Coluna piezornetrica ou piezornetroC on siste n um imples tubo de vidro que, ligado ao reservatorio perm ite m edir diretam ente acarga de pressao (F igura 2 .14) .L ogo. dado a peso especiflco do fluido, pede-so determiner a p re ssa o diretamente.

Note -s e a o rig emda m edida de h .no centro do tubo h=pl y

Figura 2.14

o p ie zo rn eu o a pre se nta tres defeitos que a tornam de usa lirnitado:a) A altura h, para pres fie elevadas e para liquidos de baixo peso cspecifico, eramuito alta.E xernplo: agua com pressao de 105 N/m2 e c ujo p es o c sp ec ffic o e 104 N/mJ form ara um a ICO-luna

P lOsh=-:::-=lOmy 1O~Logo nao scndo viavel a instalacao de um tuba de vieiro com rnais de 10 m de altura, 0 pie-zom etro n ao pode, nesse case, e r u iil. Nota-se entao que esse aparelho s6 serve para pe-quenas pre sees.b) Nao : e podc medir pressao de gases, pois cles cscapam sem formar a 00 1una h.

c) Nao sc pode medir pressdes efetivas negati vas, poi' nes e ea '0havera entrada de ar parareservatorio em vez de haver a form acao da coluna h.

2.9.3 Manornetro com tuba em UA Figura 2.15 m ostra urn manornetro de tubo em U . Nes e m anornetro corrige-se 0 problema

das pres 5es cfctivas ncgaiivas. Se isso ocorrer. a coluna de Iluido do lade direito ficara abaixo donivel A-A. A Figura 2.1Sb mostra 0mesrno manometro com a inclusao de urn Iluido manometricoq ue, em gera l, e mercuric. A pre enca do Iluido rnanom etrico perm ite a m edida da pre ' a a d e g as es .ja que impede que estes e icapem.

h

(a) manometrico (b) Figura 2.15


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MECANICA DOS FlU IDOS

Ao m e sm o tem po utilizando urn flu ido manometrico de e lcvado peso e sp ec ffic o d irn in ui-se aaltura cia coluna que e [arm aria com urn lfquido qualquer,as manornetros de tuba ern U, ligados a dais re ervatorios, em vez de ter urn dos rarnos abenoit atmo fera, charnarn-se manometros diferenciais (Figura 2. 16).

F igura 2 .1 6

2.9.4 A squacao manometricaE a expressao que perm ite po r rneio de urn manometro determinar a pressao de urn reservatd-rio au a diferenca de pressao entre dais reservat6rios.Seja 0 manometro da F ig u:ra 2 .1 7. P od e-se ca lcu la r a p re ssa o n o fundo dos dois ramos, PeloTeorema de Slevin e lembrando que, segundo Pascal, a pressao se transmite integralmente a todosos ponto do fluido, tern-se:

- - t - - -2------------------ ----

'Y a

1-h h 4

- - ~ - - - - - - - - - - - - - - ---- F igura 2 ,17pressao no Iundo do ramo esquerdo

Pre = ' P A + 'Y A (hi - h2 ) + 'Y M h 2 (1)pressao no fun do do ram o d ireito

(2)Como 0' fluido esta em equilfbrio, entao a pressao no rnesmo nivcl deve ser a mesma. Logo,

Pfe= P r dPortanto, P A + 'Y A (h 1 - h z )+ 'Y M h2 = 'P B + 'Y B ( h q-h3 )+ ' Y M h )

Po = = P A + Y A (h I - b 2) - 'Y 13 (h.J - h 3) - 'Y M (b 3 - h 2)uNota-se que cada peso especffico aparece multiplicado pela respectiva altura da coluna, semnecessidade de adotar como referencia 0 fundo. Bascada nessa obscrvacao, sera mostrada uma regrapratica e de facil aplicacao,


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CAP[rULO 2 EstiHica dos Fluidos

RegraComecando do lado esquerdo, soma-so a pressao P A a pressao das colunas descendentes e sub-i ra i- seaque la das colunas ascendentes. N otar que as colas a o sernpre dadas ale a superffcie de epa-

Ta\=uo de dais Iluidos do rnanornetro. Tem-sc, portanto:PA + ylh! + Y l h : ; - yJh 3+ Y4h 4- Y . s h . ' i - Y6 h 6:= P B

J;xemplo

Pa

Figura 2.18

Dado 0esquema da figura:1)Qual e a Icitura no manometro metalico?2) Qual e a forca que age sabre 0 topo do reservatorio?

area do topo = 10 ml

'Y u = = 8.000 N/m3 P u r m

agua

Solu~aoI) D ete rm in ac so d e P MUsando a equacso manometrica, lemhrando que a Y des gases e pequeno e que, portanto, pode-se despefeito da coluna de ar em face de outros efeitos: lembrando, ainda, que ao trabalhar na escala efetiva ptern-se:


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MECANICA DOS FLUIDOS----------- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -L en 30


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CAPiTULO 2

o superficie livreEs ta tic a d os F lu id os

o x

B

(b) F ig ura 2 .2 0

Todas as propriedades releren tes ao centro de gravidade erao uidicada par urn trace e todaa referentcs ao centro de pressoe pelo fndice CPoSeja AB 0 trace do plano em estudo. no plano do papel, form an do urn an gulo e com a superfi-cie livre.

De eja- e deterrninar nesse plano a forca re ultante das pressoes,Seja, na Iigura (b), a projecao da superffcie em estudo sabre um plano vertical.Sejam h uma profundidade generics e y a correspondente dl tancia ate a superficie livre no

plano da superffcie. Seja Ox a interseccao da superficie plana AB com a superficie livre do fluido.Seja 0 elemento de area cIA no qual a pressao e . constante, pais e horizontal. Tern-se:

dA = = x dy; p = = y 1 1No elemento dA. a forca sera:

e h = = y se n 8

Integrando, iem- e:d = pdA = yhdA = Y y sen 8 dA

F = y sen 9 f ydAPor definica do centro de gravidade, tern- e:

y = ~ J ydALogo:

Substituindo:

Logo:

f ydA =yAF = = ysen e yA

-F=yJh A=p A ( 2 . 7 )Des a form a, verifica-se que a forca re u lta nte e obtida pclo produto da pressao, no centro degravidade da uperffcic, por sua p ropria a re a.Note-se que a resultarue independe do angulo forrnado pela uperffcie desde que 0 CG eman te nh a fix o.


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Centro das press6esCentro das pre sees e a ponto de aplicacao da forca resultante das pressoes sabre uma ccrta area.o eixo Ox da Figura 2.20 sera adotado para 0 calculo do momento das forcas,A forca elementar na placa sera dada por:

pdA = yy sen 8 dA = elFo momenta sera dado pelo produto da Iorca peJa distancia ao eixo:,y dF =Y Y~ se n e dA ( 2 . 8 )Se a resultante da forcas de pressao for F e a distancia do ponto de aplicacao ao eixo Ox [or

Yep, t em-se , integrando a Equac;ao 2.8:YcpF=ysen6 J y2dA=ysen6Io (2.9)

onde 10 ~ J y2 dA C 0 chamado momenta de mercia da area A em relacao ao eixo Ox.Dividindo-se a Equacao 2.9 pela Equacao 2.7, tem-se:ysen8Io 10Y ep = = =-ysen9yA yA (2.10)

isto e , a distancia do centro das pressoes ao eixo interseccao da superffcie imersa com a superffcie li-vre do fluido e obtida dividindo- eo momento de inercia da area A, em relacao ao mesmo eixo, peloproduto da distancia do centro de gravidade pela area da superffcie imersa. Uma da propriedadesdo momenta de mercia e :

10 =Ica' + y2 AondeICG e 0 momento de inercia ca1culado em relacao a urn eixo que passa pelo centro de gravidadeda superffcie de area A. Logo, a Equacao 2.10 pede ser escrita:- leGYCP=Y+yA

De a expres ao, conclui-se irnediatamente que 0 centro das pressoes localiza-se abaixo docentro de gravidade e que, ao aurnentar a profundidade, os dois pontes se aprcximam,A posicao do centro das pressoes em relacao a urn eixo Ysera dada pela expressao:xcpF ;;;J xpdA

( 2.1 1 )

Para figuras simetricas, 0 centro das pressoes estara sempre lccalizado sabre 0 eixo da sime-tria, se este for perpendicular ao eixo Ox.

N a placa retan gular d a F igu ra , de la rg ura 2 m , determiner a rorca devida a agua nurna de suas faces e seu ponte deaplica~ao (y = 10.000 N/m I).


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cAPfrulLO 2 Estatlca dos Fluidos

A pressao 110 centro de gravidade, devida ao lfquido, sera:p = h y = (l+ 2,5!_..en30~10.000 = = 22.500 N/m2

portanto: F = pA = 22.500 x5 x2 = = 225.000N- l e GYCI'-Y=-=--yA

z ~ bfJle e = f / dA em relac;iio a urn eixo pas sando pelo CG. Pela Iig ura , d A = b dy, ICG= f r : bdy =-_. t2E ssa expressao, referindo-: e a urn eixo que pas. a pelo CG. e a m esm a para qualquer rerangulo que tenha urn doslades paralelos ao eixo Ox.

b . e . l. - 12YcP-Y=yAl PY = +- = 2 + 2.5 = 4,5 11 lsen30" 2 -

A = b x t ;:; x 5 ::::10m:!bfl' ? 53- = = ::"2_ ~ 20,8 mo l12 12

- 20,8 0 6Y(P-Y= = ,4 m4.5 xIO Oll Y ep= 0,46 +4,5 = 4,96 mAessa altura cabe uma observa~iiio.Note-se que a raffia calculada e sornente.devida ao Ilquido em que a superfteiees ta subrner sa , Normalmente. deveria se considerar tambem a pressso acima da superflcie livre do lfquido. quep od eria se r Oll na c a pres sao arm osferica. N esse caso, a pressao p seria dada par:

~- Figura 2.21


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No exercfcios. em geral, a p ress ao puage em ambos 0 lados cia placa, nao preci ando ser levada em consideracao.Nurn caso geral, pode-se levar em conta a pressaopo' utilizando todas asmesmas expre soes deduzidas, substituindo-apor urn acrescimo do Jiquido em estudo iguaJ a sua earga de pressao, A altura do lfquido, em vez de er h. passara a ser

h'= h + Po'(

I E l x e m pi 0Determinar a forca R que devera ser aplicada no ponte Ada cotnporta dafigura para que permaneca em equill-brio, sabeado-se que a rnesma pede girar em torno do porno O.Dados: POI;;;;; 100 kPa YI = 10.000 N/m'l

P02 = 50 kPa '(2 = 8.000 N/m'Comporta retangular com b =5 m e b = 2 m.

. . . . . . . . . . . . .P'~r ' Pot .~

~1m

O~~ ! I r -(1) (2)11

A . . RSoliw;:aoo problema deve ser reduzido a urn outro em que a pressaoefetiva, no myel dos dois lfquidos. seja nula,Para tan to , substitua-se Po: e P02 por cargas de pres a o corre pondentes aos doi Ifquido do problema.

hOI =PUt =100xl03 =lOmY I 10.000b ( ) 2 ; ; ; ; ; P m =50x 1 01 =625m

Y 2 8.000 Note-se que hOle 1 1 0 2 S a o a alturas fictfcias dos Jiquidos que causariam.em seus niveis reais, respeetivarnente, aspre soes POI e po~Pre Sao no CO do lado (1):

Forca re tultante do lado (1):FI = PIA) = 135.000 x 5 x2 =1.350.000 N = 1.350 kN

Centro das pressoes do lade (I):I'CG bh'/12 h~=:-- = =riA hjxbh 12hl

_ 5 2hC'P1 - hi = = 0.15m12 x 13,5


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CAP r T U L 0 2 Esti3tica des FluidcsD ista nc ia d o CP 1 ao ponte 0:

b, = 2.5 + 0,15 = 2.65 mPressao no CG do Iudo (2):

P 2 : : : 'tz h2 ;: 8.000 (6,25 + 1 + 2.5);;::: 78.000 N 1m "Forca r e o ultante do lade (2):

F2 ;: p~A2 = 78.000 x5 x2 ;: 780.000 NCP do lado (2):

_ ICG bh '/12 hlYep ' -y, ==--:::; :::-_-* Y2A h2 x bh 12b2_ 5 2

hCP? -h, = =0,21 m- - J 2 x9,75Distancia do CP2 ao ponte 0:

b2 = 2.5 + 0,2 I .= 2,71 mPara que a comporta permaneca em equilfbrio, sern girar em tome do ponte O. , e necessaria que a sornatoria dosmomentcs. em relacao a esse ponte, seja nula:

R.h+F2 b2=FI blR = FIb I _ Fz b;! = 1.350.000 x 2.65 - 780.000 x 2,71

h 5R = 293.000 N F

. .Forca em superffcies rev ersas, submersasEm qualquer superffcie reversa, as forcas no diversos elementos de area sao diferentes ernmodulo e direcao, de forma que e impos Ivel obrer urna somat6ria delas.A Equacao 2.7 e . portanto, aplicavel somente a superficies planas. No entanto, para qualquersuperffcie reversa, pode-se determinar a forca resultante em certas direcoes como a horizontal e avertical, A resultante dessas duas componentes sornente podera ser determinada se arnbas e tiveremDummesmo plano.

2.12.1 Componente horizontalNa Figura 2.22a, observa-se urna superffcie AB qualquer, projetada sabre urn plano vertical,originando a superffcie plana A'Bi.Tem-se, entao, entre a superffcie AB e sua projecao A'B', urn volume em equilibria estatico,

A'- ~ - - - - - - - - F ,*----- -----+---j~--

- - - - - - - - -

:3fA8" ~'

G

8

B ' B(a) (b) Figura 2.22


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As unicas forca horizontais que agem nesse volume sao F' e F:


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CAP[TULO 2 Estatica dos Fluidos

o .aldo F y - F ' 'J sera uma forca vertical para cima, indicada par E e charnada empuxo.E = F y - F ' y = y(VUABCV - VUADCV )

auE="IVAliCD = = : "IV (2.12)

onde: E = empuxoV = volume de fluido dcslocado pelo corpo

'Y = pes espcclfico do fluido.A Equacao 2.12 pode se r expressa em palavras pelo princlpio de Arquirncde : "Num corpo to-

tal ou parcialrnente imerso num fluido, age uma forca vertical de baixo para cirna, chamada empu-xo, cuja intensidade e igual ao peso do volum e de fluido deslocado".Pelanocao de ernpuxo, e facil estabelecer a condicao de fhrtuacao de urn corpo (Figura 2.24).

G F igura 2 .2 4

Suponha-se urn corpo totalrnente ubm cr o, E le flutuara se seu pe 0G fo r m en or que 0ernpuxo.E~G

No ca so d a ig ua ld ad e, 0co rp o esta ra em eq uilib ria em q ua lq uer p osica o. Irnaginando 0 corpototalmente submers 0:V corpo = V deslocudo

Logo:" Y l1U1doV dcslocedo ~ Y l fP


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ME CANICA DOS FlU IDOS

plano deflutua~ao

E volume decentro decarena

Figura 2.25

EstabilidadeA Iorcas que agem num corpo total ou parcialmente subrnerso em repouso sa o 0 seu peso (0),cujo ponto de aplicacao e c centro de gravidade do corpo, e a empuxo (E). cujo panra de aplicacao e

o centro de carena.Torna- e evidente que, para que urn flutuador e teja em equilfbrio e neces aria que essas duas

forca tellham a mesma intensidade, a rnesma direcao e entidos oposto .Resta anali ar a estabilida-de de se equilfbrio.

Suponha-se urn corpo em equilfbrio. Apliquc-se uma forca pequcna ne e C0I1JO. E evidcnteque, se cle estava em equilibria, a aplicacao dessa forca iolada fara com que se desl que ern relacaoa posicao inicial. Rerirando es a forca, aplicada durante urn intervale de tempo muito pequeno, po-dem acontecer tre coi as:

a) a corpo retorna a posicao de equilfbrio inicial: diz-se que 0 equilfbrio e estavel;b) 0 COI-pO, mesmo retirando a forca, afasta-se cada vez mais da posi9ao inicial: diz-se que 0equilfbrio e instavel;c) 0 corpo permanece na nova posicao, sem retornar, mas sem se afastar mai da POSicr30 ini-

cia]: diz-se que a equilibria e indiferente.A analise da estabilidade no casa de flutuadores reduz-se a esrabilidade vertical e de rotacao, ja

que para deslocamentos horizontais 0 equilfbrio e indiferente.EstabHidade vertical

2.16.1 Corpo totalmente submerse emequilibrioSe 0carpo estiver totalmente submer a em equilfbrio, a volume deslocado e empre a mesmo.Qualquer que seja 0 deslocamento, scrnpre existira 0 cquilfbrio, de forma que e um caso de equili-

bria indiferente.2.16.2 Corpo parcialmente submerse emequillbrio

Ne se caso, aa de locar 0 corpo para baixo, a volume de carena e 0ernpuxo aumentarn, fican-do numa situacao em que E > O. Ao retirar a forca que causou 0 deslocamento, 0 flutuador sobe ateque haja uma diminuicjio no volume de catena para que novarnente E =G. Se a corpo for de locadopara cima, 0volume de carena diminuira, de forma que E


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CAPfTULO 2 E s ta tic a d os F lu id os

Estabilidade a rotacaoS up on ha -se u rn Ilu tua dor obrigado a abandonar a sua po. i< ;ao d e equilfbrio, por urna pcquena

Iorca que a faca girar de urn pequeno Angulo em torno de urn eixo de rotacao, Nes a ituacao, devemer examinado dais cases para os quais a comportamento e diferente.2.17..1 Corpo total mente submerse, em eq uiIibrio

Suponha-se urn corpo total mente submerso em equi lfbr io , cujo centro de gravidade esteja aba-11..0do centro d e ca ren a (F igu ra 2 .2 6).

conjugadorestauradorpequenarotacao E

G(a) Equilibria (b) Pequena roracao Figura 2.26

Se 0 corpo girar de urn pequeno angulo, 0CO e 0CC penn aDecem fixe em relacao ao mesmo,d e forma que 0 empuxo e 0 peso, de modules constantes e sernpre verticais, vao se encontrar na po-sj~ao indicada em (b).

Dessa forma, fica criado urn conjugado que tende a girar 0corpo no sentido contrario ao da rota-~ao.E evidente que 0corpo tendera uovamente a posi~ao (a), que sera, portanto, de equilfbrio e 'tavel.Sc 0CO estiver acima do CC (Figura 2.27),0 conjugado criado pelo cmpuxo e pelo peso ten-denl a girar m ais corpo, de form a que a m esmo se afastara ainda rnais da posicao de equilfbrio ini-

clal. Ne se ca. o, a posicao (a) da Figura 2.27 sera de equilfbrio instavel,

G

E(a) (b) Figura 2.27

Observa-se que nurn corpo totalmente submer a em equilibria, para que haja estabilidade a ro-ta~ao.a centro de gravidade devers estar abaixo do centro de carena.N urn corpo hom ogeneo em equilfbrio, totalm ente submerse num fluido homogeneo 0 centrode gravidade do corpo coincide com 0centro de gravidade do volume de carena; logo, coincide coma centro de carena.Dessa forma, 0CC e 0CO coinc idern e 0corpo estara sempre numa situacao de equilibria in-diferente.


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M ECAN ICA D OS FLUID OS

2.17.2 Corpo parcialmente submerse, em equilfbrioNesse caso, 0 estudo nao e ta o simples como no caso dos corpos totalrnente ubmer 0 , . 1 3 ob-

via que 0centro de gravidade abaixo do centro de carena e uma garantia para que 0equilfbrio sejaestavel; entretanto, es a condicao nao e necessaria.

A s vezes, a rota ca o do corpo cau a um a variacso no formate do volume de carena (0 que nao aCOl1-tecia com 0corpo totalmente submerso), 0que cria urn deslocarnento no centro de carena, em relacao aocorpo, tal que 0 equilfbrio pode ser estavel mesrna que este esteja abaixo do centro de gravidade.

Pela Figura 2.28, nota-se que se 0 corpo estivesse totalmente submerse, 0 volume deslocadoseria con stante. de forma que 0CC acompanharia rnovimento do corpo, manlendo-se fixe em reJa-~ao a ele. Isso, como ja Ioi visto. causaria 0 aparecimento de urn conjugado a favor da rotacao, queprovocariao afastarnento indefinido da posicao de equilfbrio,

A 10 DI ~ ~,CGfCC CI C B F igura 2 .2 8

BL--~--_J

Estando 0corpo parcialrnente submer 0, com a rotacao em torno do eixo 0,0 volume de care-na, que era ABeD, passa a ser LlCB, com consequente deslocamento do centro de carena para a es-querda ern Cf". '

Fica assim mostrado, intuitivamente, que 0 flutuador tera condieoes de retomar a po i~ao ini-c ia l, e st ando, portanto, em equilfbrio esta vel desde que empuxo esteja a esquerda do pe 0, comona Figura 2.28.

Note-se que a sentido do conjugado pade ser analisado pela posicao do ponto M, chamado roe-tacentro, que e a interseccao do eixo de sirnetria do flutuador com a direcao do empuxo.

Se 0ponto M estiver acimado CG, 0conjugado era contrario a rotacao e 0equilfbrio, c tavel.Se 0ponte M e tiver abaixo do CG, 0conjugado sera a favor da rotacao eo equilfbrio. instavel,Se 0 ponto M estiver em eG, 0 equilibria sera indiferente.Note-se que quanto rnais acima estiver a metacentro em relacao ao CG, maier sera 0conjuga-

do que contraria a rotacao e, portanto, mai e tavel 0cquilfbrio. Por e a observacao, conclui-se quee importante conhecer a distancia do metacentro ao centro de gravidade. Tal di lancia, charnada al-tura metacentrica, sera indicada por T (Figura 2.29).

F igura 2 .2 9

3

2I


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CAPfTULO 2 Es ta ti c, a do s f lu ido s------_---_Para efei to da determinacao de r. consi dere-se 0perfil da P i gura 2.2 9a, tendo girado de urn a n -

gulo 8 pequeno em torno do eixo de rotat;ao O. Note-: e que 0 volume de carena alterou-: e de V J2 Jpara V.425' fazendo com que 0 CC se desloque para CC'. No entanto, E =E', ja que 0 volume. apesarde mudar de forma, e a me mo.omomento de E' em [ela~ao ao ponto CC devers ser igual ao memento dos elementos de volu-me de V42!i em relacao ao me, rna ponto.

Entretaruo, nota-se que V -ID2 e simetrico ao V 102' de forma que 0rnomento em relacao a CC seranulo.

Entao: E o =Memento do V)05E o = f xdfMas df::: dVy = dAx tg 81 '

onde dA e um elemento de area horizontal, da sec;ao de flutuacao.Eo =I yx2lg6dA =ytgSI x2dAMas J x2 etA :::]y e o momenta de mercia da area da secao de flutuacao em rela~ao ao eixo y

(Figura 2.30).Logo:Note-se que:

E8=ylg6IyE =yV e 8tg6=----(r + l) cos 8

Logo: 5yV6 =t 1(r + f) cos e Y ouIr+e= yV cos O

Se 0 angulo e for pequeno, como se admitiu,1 yr=-- eV {2.14}

Como no caso do equillbrioG::E=yV entao Gv=-y

Logo: y lyr=--eG (2.15)

y se~aode flutuacao

ciA

Rgura 2.30

Como ja foi vista, deve-se ter r >0 e, quanto maier, maior sera a e tabilidade. Logo, a estabili-dade do Ilutuador sera aumentada diminuindo P e, portanto, abaixando 0centro de gravidade ou au-mentando yI/O, isto e, aumentando a memento de inercia da se~ao de flutuacao,


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Mecanlca dos Huido s

.EixemploL Urn navio desloca 9,45 x l06N e tern uma seIJao de flutuacao como a indicada na figura, 0 centro de carenaesta a l,S m abaixo da superflcie de flutuacao e 0 centro de gravidade, a 0.3 m. Determinar a altura metacen-

trica em relacao a uma inclinaltao em torno do eixo y.

se~ao de flutua~ao

9m

24m

Solucao

Tem-se

y l yr=--(IGR : : : 1 8 - 0,3 ::: 1,5 m

bh 1 ?4 x 931 =-:::: - =1.458 m~Y l 12 12

Pe la Equa.' iao 2.1 S.

b. _ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - . ,- - [ - - - - - - - - - - - - - - - - - - j~l:

.b I

ly = bh ~ : : : 1 2 x 9 ~ :: : j 82 molz 48 48I, = 1.458 + 182 =1.640 m"La 0: r :; 10.000 xl,640 -1 5g 9,45 xlOG

[=0,24 m >02. Uma balsa tern a formate de urn paralelepfpedo com 9 m de largura, 24 m de comprirnemo e 2.4 m de altura.

A balsa p e . < ; 3 472 x lO bN quando carregada eo seu centro de gravidade esta a 3 rn acima do fundo. Determi-nar a altura ruetacentrica,

3m2,4m

24m

SolucaoE preci 0determinar a ctistfincia f entre 0 centro de gravidade eo centro de carena, Para isso, deve-se determinar aaltura Z, pois P = 3 - z 1 2 .Sabe-se que: E=yV=G

V = G = 4,72 xl06 =472 01'Y 1 0 4


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CAP[TULO 2 Estatica dos Huidos

Portanto:

472'Z . : :: :- - =2,18 m24x9R = 3 - l,09 = = l,9 rn

yly I).r=--R=--fG V1 = _ ! _ bh ::::24 x 91 = 1.458 ru"y 12 12

1.458r = ---1.9=1.2 m472

Logo:Tern-se:

Equilibria relative - lntroducao

Suponha- e urn fiuido contido num recipiente que se move com translacao uniformernente va-riada (acelerada ou retardada) (Figura 2.31).z configuracaoestavel ----+-~ ___

y ,z

x a y Figura 231xEm relacso ao si, terna de referenda IDa 0' XYZ, 0 fJuida estara em movimento. No entanto,

adotando- eo ilema Oxyz fixo ao recipiente, nota-sc que 0 fluido, apos urn certo de locamentoinicial, perrnanecera em equilibria com urna configuraeao que sera estavel, desde que a aceleracaoseja rnantida constante.Como as partfculas do fluido nao terao movimento em relacao ao recipiente, fica exclufda apre enca de ten oes de cisalhamento, podendo esse caso er tratado como urn caso de equilfbrio eser estudado pela Esuitica dos Fluidos,

Como 0 fluido s6 estara em repou a em relaca ao si lema de eixos Oxyz que. e movem em re-Jar;ao a 0' XYZ, esse estudo sera chamado Equilfbrio Relative.Note-se que, para que i 0 aconteca, e suficiente que a ac leracao seja constante, incluindo-se

nes e estudo tambem 0 rnovirnento circular e uniforme, em que a aceleracao tangencial e nula e ac en tr ipeta man tem-s e constaute.

Recipiente com movimento de translacao uniformementeacelerado segundo a horizontal

Sejam 0 recipiente da Figura 2.32 e 0 Iluido nele contido em equilfbrio em rela\!ao ao si temade refereneia fixo no recipiente.


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Figura 2.32

Opera-se da mesma forma que no item 2.2 (teorema de Stevin), Iembrando apenas qu.c agorahavera uma variacao de pressao dependente da disrancia entre os dois pontos, e nao somente da dife-renca de cotas ..Adoternos as pontes genericos (1), (2), (3):

Na vertical: P 2A - PIA - 'Y A (z I - Z2) ::: 0P2- PI ::: Y (ZI - z : 1 , )P2- PI = - Y 8ZI.2

(Equilfbrio)Logo:

ou (2.16)Logo, na vertical continua valido 0 teorema de Stevin,Na horizontal, pelo principia de d' Alarnbert, no sistema relative, par causa doequilfbrio, po-

de-se substituir a efeito da aceleracao pelo efeito de uma forca fictfcia de inercia dada par (-rna).Pela condicao de equilibria:

P2A -p.lA -m81


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dZI,3 a x--_-Note-se qu e a uperffcie livre e de pressao constant.e e que D :zJA x:; tg e (Figura 2.33); logo. assuperffcie de pressao can iante erao paralelas a ela e formarao urn angula e com a horizontaL

superficieonde p=~

Figura 2.33

Logo: atg B =_Xg (2.19)Se 0 recipiente far fechado, nao existira superffcie livre, mas as superficies de pres a o cons-

tante continuarao a obedecer a Equacao 2.19.

, E lx e m ploUrn tanque hermeticamente fechado possui uma aceleracao de 6 mJ sl para a direita, Qual e a pressao nos mane-metro A e B indicado na figura? (y = 10.000 N/mJ, g = 10mls2) Qual e a inclinacao da uperffcies de pre. a aconstante?

L , 2 III

Solu~aoP ela E q ua c;:a o 2 .1 8, tern -se P A - Pc = -p G1, ( Xii - x d - Y (:( ;A - zc )Como ZA = Zc. btem- e PA- Pc = -p a, ( - Xii)

5ou PA=pa.(xC-xA)+pc= 1.000x6xl,2+ 10PA= 107.2 kPa

Note-se que A c B estao na mesma vertical: logo, x" =Xs

au PB = PA + Y (z; - ZB) = 107.200 + t o . O O O xO,6Ps = 113,2 kPa


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A inclinacao das linhas de pre sao constante sera dada por1 9 e = a/g = 6/10 = 0,69 = = 310-- -- ~ ----------------

Recipiente com movimento de translacao uniformementeacelerado segundo a vertical

Ne . e caso, as superficies a pressao constante mamem- e horizontais, havendo apenas uma varia-vao na diferenca de pres ao entre dais ponto ,em relacao ao caso de repou o. No caso de aceleracao paracima, 0 efeito da forca de inercia ira se somar ao efeito da gravidade; caso contrario, sera subtraido.

I PIA I P 1A& _.i_ : : ; : : ; = = - _y_ : : : : ; = -a y 1 yV I may i1 1 v ~ aym a y-.- . . . T . . .

P2A I P 2A(a) (b) Figura 2.34

Tem-se:onde 0 sinal negativo corresponde a Figura 2.34a.

P a - PI = y r u : , , ] payM .2p, - p, = y " ' Z " , [ 1 " ; J"'Pl., =- Y I l l z . { l~

ou (2.20)

(2.21)

Recipiente com movimento de translacao uniformementeacelerado ao longo de urn plano inclinado

Figura 2.35


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CAP[TULO 2 Estatica dos Fluidos

Paralelo a z:P2A - P I A - yV cosa. =0P2 A - P I A = yMzu coso.P 2 -P I ;;y Azr,2cosa (2.22)

Paralelo a x, adotando-se urn A' ta l que, qualquer que seja x3 0 peso do segundo cilindro sejaigual ao do primeiro.P2 A' - P3A' - ma, - yV sen e x . =0P2 A' - P3A' =pA ' .6.X3,2ax + yA ' LU32 sen a.P2 - P3 ;;pAx3,2a~ + y6x32sena.

Diferenca de pressao entre dois pontes quaisquerPelas equacoes 2.22 e 2.23, tern-se:P3 - PI ;; y621.2 coso - pAX3,2a" - y.6 .x3,2 sen a.

(2.23)

masLogo: (2.24)Planas de pressao constanteNos ponto desses pIanos Ap ;; 0, logo:

-yAz3,ICOSo. - p6x3,Ia:l, - y 8 . : < 3 . 1 sene =0,

F igu ra 2 .36

Da Figura 2.36, nota-se que tg8 = 6zAxLogo: e pay + ysena.tg = _ . : . : : . . . . _ - -ycosa.

ou atg8 = x + tgugcosa. (2.25)


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MEcANICA DOS FLUIDOS

Recipiente com movimento de rotacao de velocidade angular coconstante

.. ZI

If

~ro F igur a 2 .37

Seja urn sistema de coordenadas cilindricas, isto e . urn eixo z coincidente corn a de rotacao eurn eixo r, normal a z e com origem em quaJquer ponto de. se eixo. A coordenada T determina qual-quer ponto de uma circunferencia de raio r.

Note-se que, nesse caso, havera variacoes da pressao ao longo da vertical e ao longo do raio r.j a que a aceleracao centnpeta e funcao deste.Pela Figura 2.37, teremos na vertical:

P2 - P I ; : : y6 Z12 (2.26)Ao longo de urn raio r qualquer

P 2 : A - P 3A - ma c ;:: 0Note-se que: m =p(r2 - r3)Ae que a aceleracao centrfpeta media no cilindro horizontal indicado sera dada por:

2 (r, + (2)a =(0c 2Logo:

au

au,00- ,P2 -P3 =PT6ri,3

A variacao da pressao entre dais pontos quai quer 'era dada POf(02 2P3 - PI =-PTLlr I,3 +y6 Z I3

00 2P3 - PI =PT6ril -y6Z3.1

(2.27)

o u (2.28)


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CAPrTULO 2 Estatica dos Fluidos

As superficies de pressao con stante sao tais que 6p = O.002 2Logo: y6.z =p-Lll2

au (2.29)A Equ3yao 2.29 e a equacao de urn parabol6ide de revolucao; logo, este sera tambem 0 forma-

a da superficie Iiwe se existir.

10U rn tanque de base circular p ossu i u ru tuba vertical cujo eixo esta a um a distsncia R do eixo do lan gue. Inicial-mente encontra-se parade e cheio de agua ate 0 nivel da tampa. Em seguida, passa a girar em torno de seu eixocom uma rota~ao n = 120 rpm, eo myel da agua no tuba vertical sobe ate urna altura h acima do nivel. no centroaberto a atmosfera. Calcular h no ponte rnedio do tuba vertical. Dados: R = 0,5 m; p = 1.000 kg/m ', g = 10ml S2n

h, .i l '

R

SolucaoSejam as pan los (I), que e 0 venice da parabola na sim8


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o M ECAN ICA D OS FLU ID OS

2.1 No sistema da figura, desprezando-se 0desnivel entre as cilindros, determinar a peso G, que pede ser su-portado pelo pis t ao V. De prezar 0 atritos, Dados: P l = 500 kPa; AI = = 10 em'; AHI = 2 ern"; A ll = 2,5 em';Am = = 5 ern'; AI, = = 20 em'; A\ { = ] 0 em': h = 2m; "t1l8 = L36.000 N/m '.

Au

A~lI

respiro Arv

Resp.: G = 135 N2.2 Aplica-se uma forca de 200 N na alavanca AB, como e rnostrado na figura, Qual ISa forca F que deve ser

exercida sabre a baste do cilindro para que 0 sistema permane9a em equilibria?. . . ,200N

25 em . . . _ F200m

~- --. .

IDem,0 ._._._.- - -.--- - 5cm

~

Resp.: F = tOOkN2.3 Qual ~ a altura da coluna de mercuric (YH~= L36 .000 N/m ') que i r a produzir na base a mesma pressao deurna coluna de agua de 5 m de altura? (YH~() = 10.000 Nt m l)R e p.: h'ljI = 36 8 mm2.4 Deterrninar a pressao de 3,5 atm nas outras unidades de pressao on escala efetiva e, . endo a pressao al-

mosferica local 740 mmHg, detenninar a pressao absoluta em Ladas as unidades de pressao.Resp.: PCI = 3,5 atm = 0,35 MFa = 3.61 kgfl cm2 = 36.100 kgfl m2 ;:::;36,1 mea = 2.660 mmHg

Pab, = 4,47 atm = 0..47 MPa = 4.62 kgfl cm2 = 46.200 kgf/ m1 ;::;46,2 mea = 3.397 mmHg2.5 No manometro da figura, 0 fluido A e agua e 0 B. mercuric, Qual e a pre sao PI? Dados:

Yli~ = = 13.6000 N/mJ:YHzo =10.000 N/rn 1.


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APfTULO 2 Es ta tic a dos F lu idos

A

Resp.: PI = 13,35 kPa2.6 No manometro diferencial da figura, 0 fluido A e agua, B e oleo e a fluido manornetrico e mercuric, Sen-

do hi = 25 ern, 1 1 1 = lOOem, IlJ = 80 em e h. = 10 em, qual e a difereuca de pressiio p~- Po? Dados:' Y H . , O = 10.000 N I m ': Ylig = 136.000 N I rn ": Yoleo = 8.000 N I nr' .

.t..:= :===== ==::J- - - - - - - -

Resp.: P.,-PB=-132,] kPa2.7 Ca1culara Ieitura do rnanometro Ada figura. YIl~= J 36.000 N/m3

'.' .4 1" . .... 15 em. . . . . . .. ' .... .... _. .L-:-:--:--,-,

H g

R esp .: p~ = 7 9,6 k P a2.8 Determinar as pressoes efetivas e absolutes:

1) do ar;2) no ponto M, na configuracao a seguir.Dados: leitura barornetrica 740 mmlig: Y " I c., = 8.500 N /m '; 'rHo = 136.000 N /m '.


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MECAN lC A D OS FlUIDOS

a g u a 70 em

30cm

......... -ar .

Resp.: L)POI: 34 kPa; Poc"",: 134 kPa Cabs)2) P M ==36,55 kPa; P M lib> = 136,55 kPa (abs)

2.9 No dispositi vo da figura, a leitura do rnanornetro e 30 kPa e a relacao de areas dos pistoes e A21A,=2.A pressao atmosferica no locale 700 mmHg. Estando 0 sistema em equilfbrio, pede-se a pressao P u na

. ~. - ,escala absoluta em mea. Dados: Y==27.,000 N/m : a = 100 em; b = 80 em; "(Hg = 136.000 NI nr ;"(H20 =10.000 N/m.1;AI/Au =2; ct=30o.

- - - - - - - 1 bResp.: P o = 17,12 mea (abs)2.10 Detenninar P....Po e Po.." na configuraeao do desenho, sendo dados: b, = = 0, 1 rn; h A = 0,2 m; Ps = = 1 .0 00 kg/m" ;Po t" :; :: 1 00 kPa; g:;:: 10 rn /s '.

Resp.: PA = 500 kg/m': P u = -1.000 Pa; P o o ! ~ = 102,3 kPa (abs).2,11 No sistema da Iigura, na suuacso inicial a esfera esta vazia, Introduz-se 61eo pelo Iunil ale preencher to-

talrnente 0 recipiente esferico e y pas-saa valer y' :::lm. Dados: " y (,"'0 =8.000 N I m] ;" y 1120 = 1.000 N I mJ


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CAPITULO 2 Estatica dos Fluidos

a) Qual e 0 valor de y na silua9iio inicial?b) Qual e 0 diametro da esfera?c) Qual e 0 volume de oleo introduzido para estabelecer a situar;ao final?

recipiente esferico

y' 1 D, , - - _ ~ . . ] 5 0 em

oleo~~~~~--+a~a

Re p.: y = 0,4 m; b) D = 0.45 m; e) V =47.833 em'2.12 No si terna da figura, se a eseala fornece p. em mrnHp, qual e 0 valor reaJ em rnrn, tie urna divisao da e -

cala? Dados: D = 4,5 d; a = l I.S"; Y H 20 = 10.000 N /m l .

. : a ~ .: . : . : . : . : . L . . . . - ,: ~ l ~ p , . ~m : : :

Resp.: 5 mm2.13 Na figura a seguir, 0 si. lema esta em cquilfbrio estatico, Pede-se:

a) Pili em mmHg (abs);b ) P ... em mea.Dados: D= 71 4mm;d=35,7 mm: h=400 mm;p,,".=684 mmHg; YI1~=136.000N/m\ paraF=O~h ::;;0

..4.....'. '.:~ :


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Re: p.: a) P." = = 831 mmHg (abs); b) p",~ = 3.7 mea2.14 A figura rno (fa 0ar contido num recipiente, inicialmente a 100C. 0 ar e esfriado e a agua do rnanometro

sobe 0.5 em paradentro do reeipiente. Dados: P31m =100 kPa; rH ,0 = 10.000 N/ rn-';YHg = = 136.000 Nt rn'.a) Qual e a leitura inicial do manometro? (Pa)b) Qual e a leitura final do manometro? (Pa)c) Qual e a temperatura final do ar? (0C)

Seyaotransversa 1 ~~ . . .- - - _ ~ 1 _ ~ } .! > _~ ~ : _ '- - . . . . - . _ . . . . . . . . . . . .

Resp.: a) 25.200 Pa; b) 12.050 Pa; c) 44C.2.15 No rnanometro da figura, a o indieados os nfvei . dos fluidos manometricos antes c depois de ele : er liga-

do ao re ervatorio A. Pede-se:a) a leitura do manometro em mea;b) a densidade do ar do reservat6rio A em kg/m' se a temperatura do mesmo e 20C e R = 287 ml/s::KDados: '11= JO.OOO N/m'; 12= 8.000 N/m'; YHi= 136.000 N/m'.

Nivelanterior

Nivelanterior

d=4mm- ...


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CAPITULO 2 Estatica des Fluidos

Resp.: a) 95 kPa (abs): b) 05 m; c) 2,16 m'2.17 No esquema dado, qual e a.pressao em (I) se a sistema esta em equilfbrio estatico? (Leitura do rnanome-

Ira P m = 1 0 kPa.)

y = 10.000 N/m3

R esp.: P , = 4 3.6 !cP a2.18 0 cilindro rnovimenta-se dentro da tubulacao circular da figura com velocidade constante. A folga entre

o cilindro e a rubulacao contern oleo de viacosidade dinamica Il = lO-2Ns/m!.a)0peso sobe au desce? Justificar.b) Qual e 0 comprimemo do cilindro?c) Qual e a massa especffica do material do cilindro em kg/m'?Dados: peso do cilindro: G =3.950 N; diametro do cilindro: D.=0,5 m: diametro do tuba: 0,= 0,501 m:v =2 m/s; g = 9,8 mls!; P , = 50 kPa; p~=40 kPa.

Resp.: a) de ce: b) 0.183 m; e) 10.993 kg/m'2.19 No manometro da figura, abe-se que, quando a forca F e 55,6 kN, a Ieitura na regua e 100 em. Determi-nar 0valor da nova leitura, case a forca F dobre de valor.


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Embolo

25 em

'-------+ Area da s e r , : a o20,2mResp.: 144 em2.20 0 pi tao da figura desce com veloeidade constante de 5 mls. Dados: espessura da carnada lubrificante

0,001 m: V= 10-Jm 2/s;y=8.000N/m);p.= LOkPa ;G::::]oo N' D,:= 16em : D 2=8 em : Afr=20cm!; e = 5 em ;P O I ' " = 100 kPa; g = lO rnlsl; despreza- eo peso do pistao. Pede-se:a) a forca resistente oferecida pelo lubrificante (F~);b) a pressao absoluta p~ (c!l:);e) a leitura do manornetro M.

lubrificante

Resp.: a) 150 N; b) 60 kPa (abs): c) -50 kPa.2.21 Calcular a pressao 03 cfunarn (1) sabendo que 0pistao se desloca com u rna veloei dade constan te de 1.2

mls e a indicacao do manometro metalico e 10 kPa. Dados: D:= I m; L = 0,2 m; vlo!~::::10-' m 2 /s ; Dp =0,998 m; Y 6 , , , , , = 8.000 N/m1; g = lO mls2 Db ervacao: considerar 0 nivel do 6Ieo constante .

'. al'. -_b=2m

.:tl) :-:-:-:a r - : . :........

6leo


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CAPITULO 2 EsUjt ic a dos F lu id os

Resp.: PI =-25.23 kPa2.22 Determinar as componentes horizontal e vertical da forca devido a agua que age na parte em forma de ci-lindro AB do tanque da figura cuja largura e 0,3 m. ( Y 1 l 20 = 10.000 N/ml)

A

Resp.: F.= 2.160 N; Fy= 3.390 N.2.23 Na instala~ao da figura, a comporta quadrada AB. que pode girar em torno de A, esta em equilfbrio devi-

do a a9io da forca horizontal F. Sabendo que Y.,= 80.000 N/m' e y =30.000 N/m', determinar 0valor daf O T 9 a F .

F .. B "T Iy.(~ O,6m

!O,4m ?A ,

Rep. F = 8.6 40 N2.24 Urn tanque retangular como 0 da figure, tern 4,5 m de comprimento, 1,2 m de largura e 1,5 m de altura.Contem 0,6 m de agua e 0,6 m de 6leo. Calcular a forca devido aos lfquidos nas paredes Iaterais e no fundo.

Dados: 1 1 = 8.500 N/mJ; Y2 = 10.000 N/ml.

Resp.: r,=28.700 N; FB= 7.700 N; FI""'I"= 60.000 N2.25 A comport a AB da figura tern 1,5m de largura e pode girar em torno de A. 0 tanque a esquerda contem

agua (y= 10.000 N/m') eo da direita, oleo (y= 7.500 N/m'). Qual ISa forca necessaria em B para manter acomporta vertical?


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5m~a g u a

~Af.-~ 6leo

~ ,2mBResp.: Fg:::: 50.000 N2.26 Determinar a m6dulo eo ponte de aplica


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cAPlru LO 2 Estatica dos Fluidos

Resp.: Yb= 35.000 N/mJ2.29 Acomporta da figura, em forma de lA de ciIindro, tern peso desprezivel. Determiner a relat;ao Y/Y1entreos pesos especfficos dos lfquidos, para que a comporta n ao gire em torno do ponro O.

4RDado: XCG =--3n

Resp.: y/r1 = 1 / 32.30 0reservatorio da figura possui uma parede m6ve! AB, articulada em A. Sua largura e 1,5 m e estd emequilibria na condicoes indicadas. Calcular:

a) a Iorca que age aa face direita da comporta devido a ligna;b) a f or ca que deve ser aplicada em B para que seja mantido 0 equilibria.

UrnY o= 9.000 N/ml

B

Rcsp.: a) tS.OOON; b) 460 N.2.31 Afigura rna Ira um tanque cilindrico. Qual e a forca no fundo? Qual e a forca na superffcie anular MM'?o tanque e aberto a atmosfera. (Y= 10.000 N/ml)

30 em~ - ~ - - - - - - - - - -~ !M !30cm30 em

60 em

R'S p.: P , = 1.700 N; FM= 589 N2 2 Noesquerna da figura. determinar a altura h e a minima forca F para que a cornporta ABC permaneca em

equilfbrio, Dados: largura = 1,5 rn; YI1,= 136.000 N/m'; Y l110 = 10.000 N/m'.


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Resp.: h = 3 m; F = 76.230 N2.33 Dererrninar 0minirno valor de z para 0qual a comport"porta retangular de largura 2 m. Irani em tome de ponto 0, se a com-

z

Resp.: Z = 6.27 m2.34 A comp naABC da figura

nar 0comprimento Be. de girar em torno de B. Sabendo que esta em equilfbrio, dctcrmi-

"""'----.--~A

Resp.: Be2.35 " ...Y 1 = = 6 YaJcalcular a relacrao x/h para que a comporta perrnaneca em equilfbrio na posicao in-

c .! frgura. Desprezar 0peso pr6prio da comporta.cornporta x ,. . :

h ltquido (2)liquido (1)

Sm

Re 'p.: xJh = 1122.36 A comporta ABCDEF da figura, articulada no extrema A, mantern-se na condicao de equilibria peJa

altaO da forca H aplicada em F. Sendo y =to.OOON/m Ie a largura da comporta igual a J m, determinar 0valor de H e 0 da forca vertical que solicita a articulacao em A.


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CAP r r U L 0 2 Estatica dos FluidosF H 3011 D 3mH2O E 4m

BC3m 5m

AResp.: H = 204 kN; V = 120 kN2.37 Urn cilindro de ferro fundido, de 30 em de diametro e 30 em de altura. e irnerso em agua do mar (y =

10.300N/rn\ Qual eo empuxo que a agua exerce no cilindro? Qual seria 0 empuxo se 0 cilindro Iossede madeira (y = 7.500 N 1m' )? Nesse ca. 0, qual seria a altura submersa do cilindro?

. _ _ _ _ - - - ' - _ _ _ _ _ J t hsub

Resp.: E =218 N ' E = 159 N ' h = 0218 m, . ~ _ " ~ l }2.38 Urncilindro. que pe a 500 N e cujo diarnetro elm, flutua na agua (y = 10.000 Nzm'), com sell eixo navertical, como mostra a figura, A aucnra consiste de 0,23 m' de concreto de peso especifico 25.000 N/m .Qual e a elevacao da mare necessaria para elevar a fulcora do fundo? (Desprezar 0peso da barra.)

-------------- --~fH D,2m

Rcsp.: h = = 0,3 m2.39 0 corpo macico de se~ao triangular e largura I m deve flutuar na posi~ao indlcada pela figura, Calcular aIorca a ser aplicada no plano da superffcie AB e a sua distancia ao ponto A. Dados: peso especffico do

corpo v; 2.000 N/m'; AB = 1.8 m: Be =0,6 rn; YI120 = 10.000 Nzm',

0,3mO.3m

c


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MEcANICA DOS FLUIDOS-------_Resp.: x , = 2 .7 r n : F"" 270 N2.40 U rn sistem a de b6 ia e u tili za do p ar a a br ir urn reservatorio d e ag ua q uan do 0n lv el d es te a tin gir 0p la no d iarnetral cia esfera, C alcular a area do disco de fecham ento do reservatorio .. abendo que a area da e~ao

tra nsv ersa l d a h aste e Ao"" 0,02 m 2 e 0peso do conjunto ( esfera , b aste e d isc o) e 55 N . Dados: h::::3 m ; R =0,3 m; t= 10 " N/m'.

Resp.: A..::::35 3 em!2 .41 U rn corpo pesa 800 N no ar e, quando im erso em agua ( y : : : : 10.000 N/ml), tern urn peso aparente de 5 00N. Deterrninar 0volume do corpo e seu p eso especffico. Observacao: peso aparente e 0peso do corpomenos 0 empuxo.Resp.: V = = 0.03 m': y = 26.670 N/mJ2.42 U rn densimetro pesa 2,2 x 10 !N. A sua parte uperior e constitufda de um a haste cilfndrica de 5 nun de

diam etro. Q ual sera a diferenca de altura de flutuacao quan do 0 densfmetro estiver m ergulhado em daisIiquido de peso e pecffico 7.800 N/m' e 8.200 Nzm", respectivamente?

Resp.:2.43

h= 7,2romD eterrn in ar a a ltura de 6 leo (Y . = 6.000 N/m) para que 0corpo ( ' Y < = 8.000 Nzm ') passe da posicao (I) paraa po si~1 io (2).

2m7 ~,2 m(l) y l (2)Resp.: h"= 0,8 m2.44 A com porta de perfil AB . articulada em A e de largura 1,0 m, possui urna b 6ia esferica d e diarnetro D = 2 rn

e peso G = 6 .000 N . Sabendo que a cornporta se abre quando 0n fv el d a agua atinge 0po nte A . con fo rm ernostra a figure, calcular a distancia x do centro da M ia ate a ar ti cu lacao A. Ob se rv ac ao : c on si de ra r 0peso da com porta AB desprezfvel. Dados: y = 1O~N/m 1 ; l ar gu ra d a c or np or ta AS = b = 1,0 m .


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CAPrTU lO 2 E sta tic a d os F lu id os

x

a

Resp.: x"" 6 m2...5 Um cilindro. de p~so especifico '1 , = 5.000 N /m" flutua nurn lfquido, conforme rnostra a figura (l), Sob aa~ao de lima fon;a = 10.000 N, 0 cilindro permanece na posir;ao indieada na figura (2). Detenninar 0:-

pesos especfficos do lfquidos A e B. Dado: area da base do cilindro 1 rn'.

20 em 1iquido A : r-~

60 emF. .

~~

Jiquido B(I) ( 2 )

R e s p . : ' Y ~ " " 15.000 N/m'; Y H= 25.000 N/m'2.46 U In balao esferico de 12m de diametro esta cheio de hidrogenio, Se a leitura do bardrrretro e 700 mmHgc a temperatura 620 C, qual 0 peso do conjunto baliio e la tro para que seja manti do estaclonario? Da-dos: R = 287 rn%;~K;R.I = 41.400 I11Jls lK. r 1R~SJl.: 10.150 N2 .47 U rn cubo de pe 0 especffico y, flu tu a n urn Ifq uid o d e p eso e sp cc ffic o y ., Determ in ar a rela\ao "f/Y, paraqu e Q. c ub a tlu tu e COI11 a s a re sta s n a v ertic al.

y O C G I Cp

1 4 1 " Ib

Resp.: 0


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Resp.: E estavel (r =0,03 m).2.49 Qual a m axim a altura H de urn cilindro de se~iio circular de raio R , para que po sa flutuar em equilibria

estavel com seu eixo na vertical em qualque r Ifquido? Dados : c il ind ro (y); lfquido (y).

R

Re p.: H < -;===:=1==R 2 't ( 1 _ y )y , y,2.50 Determ iner a diferenca de pressao entre dais pontes genericos de urn tanque cheio de agua aceleradov er tic alrn en te p ar a cirna com urna aecl eracao a" = 5 g.R esp.: .a .p= 6 y I : : J . z2.5 1 U rn tuboern U comendo agua c montado nurn ca rro d e co rrid a, 0 ca rro parte c om u ce lc ra ciio c on stu ntc c5 5 apes a panida a agua no tuba em U aprescn ta a configuracao indicada. Sendo g "" 9,8 m /s':

a) Quale a aceleracdo?b ) Q ual e a v elo cid ad e d o ca rro n esse in sta nte?

Re p.: a = 3.57 m/s1; '11= 64,2 kmIh2.52 Urn tanque cubico de 0,6 m de lado, com oleo ate a rnerade, e , acelcrado ao longo de urn plano inclinadu

de 30 com a horizontal. Determiner a inclinayao da superffcie livre em l"els9ao ao plano inclinado.


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APfTULO 2 E s ta tic a d os F lu id os

a~2,45 = m /s 2

Resp.: 9 = 41"2.5.~ Urn acelercmetro e constituido de tun lanque e de um manemetro metalico. como indica a Iigura. Adi-

ciona-~e mercuric no tuba ate que a leitura no rnanometro seja 175kPa. Dados: YHB = 136.000 N/m]; g =10 m/s'. Pede- e:a) Qual e a leitu ra do m ercu ric n o p iezometro ?h ) Q uale a ac clcrac fio h oriz on tal q ue p ro vo ca uma leitura de 140 kP a no rnanemetro, supondo inalteradoo n fv el d o m erc uric ?

1,5 mResp.: h = 1 ,2 9 rn : a :::: [,7 3 mI. 12.54 Urn tanque Iechado, com a forma indicada na Iigura, com 0,6 IIIde lado, gira em toma de urn eixo comrotacao n = 100 rpm e a uma distfulcia radial de 1,5 m, Qual c a pressao nos pontes A. B e C?

Resp.: p,,= 222.3 kPa (abs); P u= 2 28.3 kPa (abs); Pr = 109,3 kPa (abs2.55 Urn veicuJo rnove-se com velocidade constante de 100 km/h para a direita, carregando urn recipicnte re-tangular aberto que con t ern agua . 0vefculo e Ireado em 10, ate parar com desaceieracao constante. De-

termlnar:a ) a in ciin a 930 da s up erf fc ie liv re em re la ca o a hor iz on ta l, d ur an te a f re na ge rn ;b) a p re ssa o n os p on tes A e B durante a frenagem,Dados: p ; :: :: ;1 .000 kg /m '; g;:; : 10 m /s': n ao ha iransbordamento.


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Resp.: 9::: 15"30'; p" = 6.400 Pa; P H = 3.600 Pa2.56 Urn recipiente aberto a atmosfera esta situado sobre urn vefculo que e movimenta com urna aceleracaoaoconstante ..A s up erfic ie liv re d a a gu a do recipiente forma urn angulo d e 3 0" com a horizontal. 0 mane-me tro s s itu ad os n as p ar ed es d o r ec ip ie nte indicarn 100 k Pa ell 0 kP a. Calcular 0c orn prim e nto L d o reci-

p ie nte e a a ce le ra ca o a, Dados: p ;; ;;; ;.0 0 0 kg /m ' ; g ;;;; ;; a rnJs~.

Resp.: L = I ,73 D1~ a . ) = 5 ,8 m /s2 .5 7 U rn veiculo carrega urn rccipien te que contem agua, m ovirnen tnndo-se com urna velocidadc con . tantcde 72 km lh . C alcu lar 0 tem po m fnirno de frenagcm com desacelcracilo con tanto para que a ag ua n ao

transborde, Dado : g = 10 mI. "; p = 1 .0 00 kg /r n ' ,D:: : Ih = 0,2 m1m

Resp.: t=5 s2.S8 Um tanque. cheio de agua c totalmentc Icchado, cai verticalmentc r o b a a < t a o da gravidade e de uma for-I taF . Doi manornetros situados a um a d ista ncia v ertica l h = 1 m in dic am PI = 20 em de H g c p! = 1 0 em

de fig. Determinara intensidadc da Iorca F. Dados: g= lOmls];y".= 136.000N/rn'; rnassa do conjumo=1 .0 00 k g.

F

lr =Resp.: F =: 13,6 kN

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2º_capitulo_Franco_Brunetti