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Les séries entières
Définition 1
Pour tout z0 ∈ C et tout r
0, on note D(z0, r) le disque ouvert
de centre z0 et de rayon r et
D(z0, r) le disque fermé correspondant :
D(z0, r) = {z ∈ C, |z − z0| < r}
et D(z0, r) = {z ∈ C, |z − z0| r}
.
On note C (z0, r) le cercle de
centre z0 et de rayon r :
C (z0, r) = {z ∈ C, |z − z0| =
r} .
Définition 2
Soit (f n)n∈N une suite de fonctions définies
sur une partie E de R ou
C et à valeurs dans R ou C. On
note (S n)n∈N la suite définie par :
∀n ∈ N, S n =n
k=0f k =
f 0 + f 1 + · ·
· + f n.
La suite de fonctions (S n)n∈N est
appelée la série de fonctions de terme
général f n et not́ee n0
f n.
Pour tout z ∈ E tel que la série
numérique n0
f n(z) converge, on notera S (z)
la somme +∞k=0
f n(z) de cette
série numérique.
En posant D =
z ∈ E, la série
f n(z) converge
, la fonction somme de la série de
fonction n0
f n est
la fonctionS : D → C
z →
+∞k=0
f n(z).
1 Séries entières d’une variable complexe
1.1 Définition et rayon de convergence
Définition 3
Soit z0 un nombre complexe. Une série entière
centrée en z0 est une série de fonctions
de C dans C dont le terme
général est de la forme f n : C
→ C
z → an(z − z0)noù an est un
nombre complexe.
Dans la suite, cette série entière sera plus simplement
notée n0
an(z − z0)n. Les complexes an
s’appellent
les coefficients de la série entière.En notant D
=
z ∈ E , la série
n0
an(z − z0)n converge
, la fonction somme de la série entière est
la
fonctionS : D → C
z → +∞
k=0 an(z − z0)n.
Remarque.– Les fonctions polynômes sont des cas particuliers de
fonctions sommes de séries entières, la suite des coeffi-
cients étant nulle à partir d’un certain rang.– Le but ici est
de déterminer le domaine de définition de cette série entière,
c’est-à-dire l’ensemble des com-
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plexes z tels que la série n0
an(z − z0)n converge, et d’étudier les propriétés
de la fonction somme.
– Pour simplifier, on considérera souvent dans ce chapitre des
séries entières centrées en 0, c’est-à-dire de laforme
n0
anzn. Les résultats restent valables pour les séries centrées
en z0.
Définition 4
Soit n0
anzn une série entière. L’ensemble
r ∈ R+, n0
|an|rn converge
est un intervalle de la forme [0, R[ (où R
> 0 est un nombre réel ou +∞), ou de la
forme [0, R] (où R ∈ R+).Ce
nombre R (appartenant à R+ ∪ {+∞})
est le rayon de convergence de la série
entìere
n0
anzn.
Exemples.
1. Soit P = N
0 akxk un polynôme à coefficients complexe. Comme la
somme
n0 |ak|rk =N
0 |ak|rkest finie pour tout tout r ∈ R+, la série
converge pour r ∈ R+. Donc le rayon de convergence est
+∞.
2. Pour tout n ∈ N, on pose an
= 1. La série entière centrée en 0 estn0
zn. Soit r ∈ R+, on étudie la
convergence de la série :
S N (r) =N 0
rn = 1 − rN +1
1 − r
→ 11−r si r 0.
– Pour tout z ∈ C tel que |z| <
R, la sérien0
anzn converge absolument.
– Pour tout z ∈ C tel que |z| >
R, la sérien0
anzn diverge.
Si R est un réel strictement positif, le disque
ouvert D(0, R) est appelé le disque de convergence de
laśerie entière n0 anzn .
Remarque. Pour |z| = R, c’est à dire sur le
cercle C (0, R), tout peut arriver.
Exemple.
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1.2 La règle de D’Alembert pour les séries entières
Théorème 6
Soit n0
anzn une série entière dont les coefficients an
sont tous non nuls.
Si la suite
|an+1|
|an|
n∈N
admet une limite dans R, alors le rayon de
convergence R de la série entìere
n0 anzn est donné par R =
1
. (avec la convention 1
+∞
= 0 et 1
0
= +∞).
Démonstration. On étudie la convergence de n0
|an|rn pour r ∈ R+. Pour r =
0, on a une série à terme
strictement positif et|an+1|r
n+1
|an|rn = r
|an+1|
|an| donc lim
n→∞
|an+1|rn+1
|an|rn = r
Par la règle de d’Alembert des série, on a donc convergence si
r 1,c’est à dire r > 1
. Donc le rayon de convergence est R = 1
.
Remarque. La règle de D’Alembert peut être appliquée avec une
série entière dont tous les coefficients sont
tous non nuls au delà d’un certain rang.Exemple. Calculer le
rayon de convergence de la série entière
n1
2n
n zn.
1.3 Opérations sur les séries entières
On définit sur l’ensemble des séries entières une addition et
la multiplication par un scalaire :
Définition 7
Soit n0
anzn et
n0
bnzn deux séries entières et λ un nombre
complexe.On pose :
n0
anzn +
n0
bnzn =
n0
(an + bn)zn et λ
n0
anzn =
n0
(λan)zn.
Proposition 8
Soitn0
anzn et
n0
bnzn deux séries entières de rayons de convergence
respectifs Ra et Rb. On considère
la śerie entièren0
(an + bn)zn dont on note Ra+b le rayon de
convergence.
1. On a Ra+b min(Ra, Rb) et sur le
disque ouvert centré en z0 de rayon min(Ra,
Rb), les troisséries entières sont convergentes et l’on a
∀z ∈ D
0, min(Ra, Rb)
,+∞n=0
(an + bn)zn =
+∞n=0
anzn +
+∞n=0
bnzn.
2. Si Ra = Rb alors Ra+b =
min(Ra, Rb).
Remarque. Si Ra = Rb le rayon de
convergence Ra+b peut être supérieur à Ra.
Exemple.
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Proposition 9
Soitn0
anzn une série entière dont on note Ra le rayon de
convergence et soit λ ∈ C.
1. Si λ = 0, alors le rayon de convergence de la
série entièren0
λanzn est égal à Ra. Les séries
entièresn0
anzn et
n0
λanzn convergent alors pour les mêmes nombres complexes
z et leurs
sommes vérifient+∞n=0
λanzn
= λ
+∞n=0
anzn
.
2. Si λ = 0 alors la série entìeren0
λanzn a un rayon de convergence infini et vaut 0 en tout
point.
Test 1. Soit n0
anzn une série entière de rayon de convergence 2, et
n0
bnzn une série entière de rayon de
convergence 3. Les séries (numériques) n0
an
32
n, n0
an
− 12n
et n0
an3n convergent-elles ? Que peut-on
dire sur n0
an2n et
n0
an(−2)n ? Que peut-on dire sur le rayon de convergence de
n0
(an − bn)zn ?
2 Série entière d’une variable réelle
Soit n0
anxn une série entière d’une variable réelle x de
rayon de convergence R > 0. Le rayon de
convergence
de cette série entière est défini de la même manière que
précédemment, mais on parle maintenant d’intervallede
convergence. Cet intervalle de convergence peut être [−R, R], [−R,
R[, ] − R, R] ou ] − R, R[ suivant que lasérie
entière converge ou non en R et −R.
2.1 Continuité - dérivabilité
Théorème 10
Soit n0
anxn une série entière de rayon de convergence R
> 0 dont on note S la fonction
somme.
1. La fonction S est continue sur l’intervalle
] − R, R[.
2. Si la sérien0
anRn converge alors la fonction S est continue
sur ] − R, R].
3. Sin0
an(−R)n converge alors la fonction S est
continue sur [−R, R[.
4. Si n0
anxn converge pour x = −R et
x = R alors la fonction
S est continue sur [−R, R].
5. La série entière d́erivée
n1nanx
n−1 a aussi pour rayon de convergence R.
6. La fonction somme S est dérivable sur
] − R, R[ et pour tout x ∈
] − R, R[, on a
S (x) =+∞n=1
nanxn−1 (on dérive la série entière terme à terme).
Remarque. La série entìere dérivée s’́ecrit aussi :n0
(n + 1)an+1xn.
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3.2 Unicité et écriture du développement en série entière
d’une fonction
Théorème 14
Soit f une fonction réelle développable en
série entière sur ] − r, r[ (avec r
> 0) et n0
anxn une śerie
entière de rayon de convergence R r telle que l’on
ait :
∀x ∈] − r, r[, f (x) =+∞
n=0 anxn.
La fonction f est de classe C ∞
sur ] − r, r[ et les coefficients
an sont uniques et déterminés par laformule :
∀n ∈ N, an = f (n)(0)
n! .
Démonstration. On a vu précédemment que la fonction somme
S de la série entière qui coı̈ncide avec
f sur] − r, r[ est de classe C ∞ sur ]
− r, r[ et l’on a pour tout n ∈ N, f (n)(0)
= S (n)(0) = n!an. Ceci donne pour tout
n ∈ N, an = f (n)(0)
n! .
Remarque. Si f est développable en série
entière sur ] − r, r[, la valeur des coefficients
an montre que l’onobtient un développement limité
de f en 0 à n’importe quel ordre en tronquant
le développement en sérieentìere de f .Attention :
Ce n’est pas parce qu’une fonction est de classe
C ∞ sur ] − r, r[ qu’elle est développable en
sérieentière sur ] − r, r[.Corollaire 15
Soit f une fonction développable en série
entière sur ] − r, r[ etn0
anxn la série entière telle que :
∀x ∈] − r, r[, f (x) =+∞
n=0anx
n.
1. Si f est paire alors pour tout n
∈ N, on a a2n+1 = 0. (ie les coefficients
devant les monômes de degréimpair sont tous nuls).
2. Si f est impaire, alors pour tout n
∈ N, a2n = 0. (ie les coefficients
devant les monômes de degré pairsont tous nuls).
3.3 Opérations sur les fonctions développables en série
entières
Théorème 16
L’ensemble des fonctions développables en série entière sur
] − r, r[ est un sous-espace vectoriel
del’ensemble des fonctions définies sur ] − r, r[. Autrement
dit, si f et g sont deux fonctions
développablesen série entìere sur ] − r, r[
et λ un réel, alors f +
λg est développable en série entière sur ]
− r, r[.
Proposition 17
Soit f une fonction réelle définie sur
] − r, r[. Si f est développable
en série entière sur ] − r, r[, alorsles
dérivées à tout ordre de f et les primitives
successives de f sont développables en série
entière sur] − r, r[.
3.4 Développements en série entière usuels
On a déjà vu :
Pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on a 1
1 − x =
+∞n=0
xn et ln(1 − x) = −+∞n=1
xn
n
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Par conséquent,
pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on a 1
1 + x =
+∞n=0
(−1)nxn et ln(1 + x) =+∞n=1
(−1)n−1
n xn.
On a vu en début de chapitre que la série
entière xn
n! avait un rayon de convergence infini. De plus la
fonction
S définie par : ∀x ∈ R, S (x) =
+∞n=0
xn
n! est dérivable et pour tout x ∈ R, on
a
S (x) =+∞n=1
n
n! xn−1 =
+∞n=1
xn−1
(n − 1)! =
+∞n=0
xn
n! = S (x).
Ainsi, la fonction S ainsi définie, est
l’unique solution sur R de l’équation différentielle du premier
ordre y−y = 0telle que y(0) = 1 et donc
S = exp. On en déduit :
pour tout x ∈ R, on a exp(x) =+∞
n=0xn
n! .
Pour tout x ∈ R, on a ch(x) = ex + e−x
2 , donc par combinaison linéaire,
ch(x) = 1
2
+∞n=0
xn + (−x)n
n! terme nul pour n impair
= 1
2
+∞ p=0
2x2 p
(2 p)! =
+∞ p=0
x2 p
(2 p)!.
En écrivant que sh(x) = ex − e−x
2 , on obtient de même que sh(x) =
+∞ p=0
x2 p+1
(2 p + 1)!
On retient :
pour tout x ∈ R, on a ch(x) =+∞ p=0
x2 p
(2 p)! et sh(x) =
+∞ p=0
x2 p+1
(2 p + 1)!.
Technique. Pour déterminer le développement en série
entière de sin autour de 0, nous allons utiliser uneméthode qui
repose sur les équations différentielles (Méthode à
retenir).
On obtient donc que pour tout x ∈ R, on a sin(x)
=+∞ p=0
(−1) p x2 p+1
(2 p + 1)!. La fonction cos étant la dérivée de
sin,
pour tout x ∈ R, on a cos(x) =+∞
p=0
(−1) p x2 p
(2 p)!. On retient :
pour tout x ∈ R, on a sin(x) =+∞ p=0
(−1) p x2 p+1
(2 p + 1)! et cos(x) =
+∞ p=0
(−1) p x2 p
(2 p)!.
La même méthode permet de prouver que :
Pour tout α ∈ R et tout x ∈
] − 1, 1[, on a (1 + x)α =+∞n=0
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
n! xn.
Remarque. pour n = 0 la formule
α(α − 1) . . . (α − n + 1)n!
vaut 1.
Pour α = −1, on obtient 1
1 + x =
+∞n=0
(−1)nn!
n! xn c’est-à-dire :
1
1 + x =
+∞n=0
(−1)nxn.
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Si α = k ∈ N, on obtient la formule du
binôme de Newton : (1 + x)k =n
k=0
nk
xk.
Test 3. Donner le développement en série entière de la
fonction x → ex + 11−x , ainsi que son
rayon deconvergence.
4 Exponentielle complexe et fonctions associées
Définition 18
La série entière n0
zn
n! de la variable complexe z a un rayon de
convergence infini.
L’application exp : C −→ C
z −→ exp(z) =+∞n=0
zn
n! = ez
est appelée exponentielle complexe.
Remarque.
1. Lorsque z est un nombre réel, on retrouve bien la
fonction exponentielle réelle.
2. Soit θ ∈ R. On a d’après ce qui précède :
cos(θ) + i sin(θ) =+∞n=0
(−1)n θ2n
(2n)! + i
+∞n=0
(−1)n θ2n+1
(2n + 1)! =
+∞n=0
(iθ)2n
(2n)! +
+∞n=0
(iθ)2n+1
(2n + 1)! =
+∞n=0
(iθ)n
n!
donc on retrouve bien la formule exp(iθ) = cos(θ) + i
sin(θ).
Proposition 19
Pour tout z , z ∈ C, on a exp(z + z) =
exp(z) exp(z).
Corollaire 20
Pour tout z ∈ C avec z =
x + iy (x, y ∈ R), on a
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy)
et donc cette définition est compatible avec la définition vue
en début d’année.
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