2.2custosHND

8/19/2019 2.2custosHND

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Parte II – Teoria da FirmaCustos

Roberto Guena de Oliveira

USP

6 de julho de 2010

Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 6 de julho de 2010 1 / 59


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Sumário

1 Conceitos básicos

2 A função de custoO caso de um único fator variável

Custos com um mais de um fator variável

3 Medidas de custo unitário

4

Curto e longo prazos

5 Exercícios ANPEC



3/59

Conceitos básicos

Sumário





4


5 Exercícios ANPEC



4/59

Conceitos básicos

Custos econômicos e custos contábeis

Custos contábeis são os custos medidos em termos devalores pagos por uma firma na aquisição de seusinsumos de produção.

Custos econômicos ou custos de oportunidade são oscustos medidos em termos do ganho advindo do melhoruso alternativo dos insumos de produção.As diferenças entre custos contábeis e econômicosenvolvem:

Os custos contábeis são baseados em valores no momentoda aquisição dos bens, os custos econômicos são baseadosnos valores atuais.Custos contábeis não incluem custos implícitos, custoseconômicos, sim. Talvez o mais importante dos custosimplícitos seja o custo de oportunidade do capital.



5/59

F. Custo

Sumário





4


5 Exercícios ANPEC



6/59

F. Custo

A função de custo

A função de custo é uma função que associa a cada cadaquantidade de produto y , o custo total (CT ) mímimo no qual afirma deve incorrer para produzir essa quantidade.Evidentemente, esse custo depende, além da quantidade

produzida, dos preços dos insumos de produção. Assim, nocaso em que há apenas dois insumos de produção, x 1 e x 2,com preços ω1 e ω2, a função de custo terá a forma

CT = c(ω1, ω2, y ).


F C t


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F. Custo

A função de custo de curto prazo

Caso um ou mais fatores de produção sejam fixos (curtoprazo), a função de custo também terá por argumento aquantidade do fator de produção que é mantido fixo. Porexemplo, caso x 2 seja mantido fixo em x 2, então a função decusto (de curto prazo) terá a forma

CT = c(ω1, ω2, y , x 2).


F Custo


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F. Custo

Custos fixo e variável

O csuto total (CT ) de uma empresa pode ser dividido emCusto Variável (CV (ω1, ω2, y )) trata-se da parcela do custo

correspondente à contratação de fatores variáveis.

Custo Fixo (CF ) trata-se da parcela do custo correspondente à

contratação de fatores fixos. Caso todos os fatoresde produção sejam variáveis, então o custo fixoserá nulo e o custo total coincidirá com o custovariável.

Portanto temos, CT = CV + CF


F Custo O caso de um único fator variável


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F. Custo O caso de um único fator variável

A função de custo com apenas um fator variável

Suponha uma firma que produza empregando apenas doisinsumos de produção, x 1 e x 2, sendo que o segundo insumo éempregado em quantidade fixa x 2 = x 2. Seja y = f ( x 1, x 2) asua função de produção. Então a função de custo de curtoprazo dessa empresa será dada por

c(ω1, ω2, y , x 2) = ω1 x 1( y, x 2) + ω2 x 2

na qual x 1( y, x 2) é uma função definida por

f ( x 1( y, x 2), x 2) = y.

ω1 x 1( y, x 2) é o custo variável. ω2 x 2 é o custo fixo.


F Custo O caso de um único fator variável


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F. Custo O caso de um único fator variável

Derivação da função de custo de curto prazo

1 Inverta a função deprodução f ( x 1, x 2) para

encontrar a função x 1( y, x 2).

2 CV = ω1 x 1( y, x 2).3 CF = ω2 x 2.

4 CT = c(ω1, ω2, y , x 2)= ω2 x 2 + ω1 x 1( y, x 2)

y

x 1

f ( x 1, x 2)

45◦

x 1

y

f ( x 1, x 2)

x 1( y, x 2) x 1( y, x 2)

CV = ω1 x 1( y, x 2) C u s t o s

y

CF = ω2 x 2

CT = CF + CV


F Custo Custos com um mais de um fator variável


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F. Custo Custos com um mais de um fator variável

O problema de minimização de custos mais deum fator variável

No caso geral com mais de um fator variável, a função decusto é obtida através da solução do seguinte problema:

min x 1,...,x n

ω1 x 1 + ω2 x 2 + . . . + ωn x n

tal que f ( x 1, . . . , x n) ≥ y notas

As quantidades dos isumos que resolvem esse problemasão chamadas demandas condicionadas ou contingentes

desses insumos, sendo notadas por x ci (ω1, . . . , ωn, y ).A função de custo será dada por

c(ω1, . . . , ωn, y ) =

ω1 x c1

(ω1, . . . , ωn, y ) + . . . + ωn x cn

(ω1, . . . , ωn, y )




12/59


Solução gráfica: dois insumos variáveis

Curvas de isocusto

x 2

x 1

ω 1 x

1 + ω 2 x

2 = c 0

tan = − ω1ω2

ω 1 x

1 +

ω 2 x 2 = c 1

ω 1 x

1 + ω 2 x

2 = c 2

Solução

x 2

x 1

f ( x 1, x 2) = y

x c1

x c2

|TMST | = ω1ω2




13/59

Minimização de custos: solução matemática

O problemamin

x 1,...,x nω1 x 1 + ω2 x 2 + . . . + ωn x n

tal que f ( x 1, . . . , x n) ≥ y e x 1, . . . x n ≥ 0

O lagrangeano

L = ω1 x 1 + ω2 x 2 + . . . + ωn x n − λ(f ( x 1, . . . , x n)− y )

Condições de 1ª

ordem além de f ( x 1, . . . , x n) = y

ωi ≥ λ∂f ( x 1, . . . , x n)

∂x ie x

ωi − λ

∂f ( x 1, . . . , x n)

∂x i

= 0




14/59

Exemplo: função de produção Cobb-Douglas

Função de produção:

f ( x 1, x 2) = x α 1

x β

2

Condições de primeira ordem:

f ( x 1, x 2) = y ⇒ x α 1 x

β

2 = y

|TMST | =ω1

ω2 ⇒α

β

x 2

x 1 =

ω1

ω2




15/59


As demandas condicionais:

x 1(ω1, ω2, y ) = y 1

α + β

α

β

ω2

ω1

βα + β

x 2(ω1, ω2, y ) = y

1α + β β

α

ω1

ω2

α α + β

A função de custo:

c(ω1, ω2, y ) = ω1 x 1(ω1, ω2, y ) + ω2 x 2(ω1, ω2, y )

= y 1

α + β ωα

α + β

1 ω

β

α + β

2

α + β

α α

α + β β β

α + β




16/59

Propriedades:

O multiplicador de Lagrange associado ao problema de

minimização de custo pode ser interpretado como o customarginal, isto é

λ =∂c(ω1, . . . , ω2, y )

∂y

A função de custo é não decrescente em relação aospreços dos insumos e em relação ao produto.A função de custo é côncava em relação aos preços dosinsumos

Caso a função de custo seja diferenciável em relação aopreço do insumo i, teremos

∂c(ω1, . . . , ω2, y )

∂ωi= x c

i (ω1, . . . , ω2, y )




17/59

Nota:

Quando se supõe os preços dos fatores de produção sãomantidos inalterados, é comum notar a função de custosimplesmente por

c( y ).

De modo análogo, as funções de demanda condicionais pelosinsumos de produção são notadas por

x c1

( y ) e x c2

( y )

ou ainda, simplesmente,

x 1( y ) e x 2( y )




18/59

Caminho de expansão e curva de custo

x 2

x 1

y = y

x 2( y )

x 1( y )

y = 2 y

x 2(2 y )

x 1(2 y )

Caminho de expansão

y

C u s t o

ω1 x 1( y ) + ω2 x 2( y )

y

ω1 x 1(2 y ) + ω2 x 2(2 y )

2 y

Curva de custo


Medidas de custo unitário


19/59

Sumário





4 Curto e longo prazos

5 Exercícios ANPEC




20/59

Custos unitários

Custo Médio (CM)

CM = CT y

Custo Variável Médio (CVM)

CVM =CV

y

Custo Fixo Médio (CFM)

CFM =CF

y Custo Marginal (CMg)

CMg=∂CT

∂ y =

∂CV

∂ y




21/59

A geometria dos custos: inclinações

y

C

T

c( y )

y

CF ( y )

CV ( y )CMg( y )

CM( y )

CVM( y )




22/59

As curvas de custo marginal e médio

y

C T c( y )

y 0 y 1 y

C V M

,

C M g

y 0 y 1

CM( y ) CMg( y )




23/59

As curvas de custo marginal e variável médio

y

C T c( y )

y 0 y 2 y

C V M

,

C M g

y 0 y 2

CVM( y )

CMg( y )




24/59

As curvas de custo unitário

y

C u s t o s u n i t á r i o

s

CMg( y ) CM( y )

CVM( y )

CFM( y )




25/59

Relações entre custos médios e custo marginal

Custo médio e custo marginal

Inclinação da curva de custo médio:

dCM( y )

dy =d

CT ( y )

y

dy = yCMg− CT y 2

=CMg( y )− CM( y ) y

Custo variável médio e custo marginalInclinação da curva de custo variável médio:

dCVM( y )

dy

=d

CV ( y )

y

dy

= yCMg−CV

y 2

=CMg( y )−CVM( y )

y

.

Valor do custo variável médio quando produção é nula:

lim y

→0CVM = lim

y

→0

CV ( y )

y = lim

y

→0

CV ( y )− CV (0) y −

0 = CMg




26/59

Geometria dos custos:áreas

y


s

CMg( y ) CM( y )

CVM( y )

CFM( y )

y

CT ( y )




27/59


y


s

CMg( y ) CM( y )

CVM( y )

CFM( y )

y

CV ( y )



á


28/59


y


s

CMg( y ) CM( y )

CVM( y )

CFM( y )

y

CV ( y )



G i d á


29/59


y


s

CMg( y ) CM( y )

CVM( y )

CFM( y )

y

CV ( y )



S á i


30/59

Sumário






5 Exercícios ANPEC



C t l


31/59


Curto prazo

Um ou mais fatores são fixos e, portanto, parte do custo éfixa.

Custo total e custo variável são diferentes, mesmoocorrendo com os custos médio e variável médio.

Longo prazo

Não há fatores fixos: todos os custos são variáveis.

Custo total e custo variável são iguais, mesmo ocorrendocom os custos médio e variável médio.



E i d l


32/59

Economias de escala

Diz-se que uma função decusto de longo prazo

apresenta economias deescala caso o custo médioseja decrescente em relaçãoà produção.

y

C u s t

o s u n i t á r i o s

CMg( y )

Economiasde escala

Desecono-mias deescala

CM( y )



Elasticidade produto do custo ε


33/59

Elasticidade produto do custo εc, y

Trata-se de uma medida pontual para economias de escaladefinida por

εc,y =dc( y )

dy

y

c( y )=CMg( y )

CM( y ).

É possível mostrar que

εc,y =

PMg1

PM1+PMg2

PM2

−1



As curvas de custo de longo e de curto prazos


34/59

As curvas de custo de longo e de curto prazos

y

C u s t o s

c ℓ( y )

y 0

cc( y , x 2( y 0))

y 1

cc( y , x 2( y 1))

y 2

cc

( y , x 2( y 2

))

y

C

u s t o s M é d i o s

y 2 y 1

CM ℓ

CMg ℓ

CMc CMgc

y 0



Economias de escopo


35/59

Economias de escopo

Seja c(q1,q2) a função que descreve o custo de uma empresaem relação às quantidades obtidas de seus dois produtos, q1e q2. Dizemos que essa empresa apresenta economias deescopo caso, para q∗1 > 0 e q

∗2

> 0 tivermos

c(q∗1

, 0) + c(0,q∗2

) > c(q∗1

,q∗2

)



Elasticidade de substituição σ


36/59

Elasticidade de substituição σ

Definição

σ =d

x 2 x 1

d |TMST |

|TMST | x 2

x 1

Interpretação

De quanto deve variar a relação capital trabalho que minimiza

o custo caso o preço relativo do trabalho varie 1%.



Dica para cálculo de elasticidade


37/59

Dica para cálculo de elasticidade

Seja a função Y = f ( X ) e sejam y = lnY e x = ln X . Então

e y = f (e x ) ou y = ln f (e x ).

Assim,

d lnY

d ln X =dy

dx =df (e x )

de x

e x

f (e x )=df ( X )

dX

X

f ( X )= εY,X .

Portanto, toda elasticidade pode ser medida como a derivada

do logaritmo de uma variável em relação ao logaritmo deoutra variável.





40/59

Sumário






5 Exercícios ANPEC


Exercícios ANPEC

Questão 06 – ANPEC 2010


41/59

Questão 06 ANPEC 2010

Uma empresa produzindo bolas de futebol possui função deprodução Q = 2

KL . Suponha que no curto prazo a

quantidade de capital é fixa em K = 100 , e seja L aquantidade de trabalho. Responda V ou F às seguintes

alternativas:0 A função custo marginal de curto prazo é igual aCMgCP =

100 r Q

+ w Q400 , em que w é a remuneração do capitale L a quantidade de trabalho; F

1 A função curso médio de curto prazo é dada porCMeCP = 100r

Q + wQ400 V


Exercícios ANPEC

Questão 06 – ANPEC 2010 (continuação)


42/59

Questão 06 ANPEC 2010 (continuação)

Uma empresa produzindo bolas de futebol possui função deprodução Q = 2

KL . Suponha que no curto prazo a

quantidade de capital é fixa em K = 100 , e seja L aquantidade de trabalho. Responda V ou F às seguintesalternativas:

2 No curto prazo, a curva de custo fixo médio édecrescente; V

3 Esta função de produção possui produto marginaldecrescente para o trabalho; V

4 Esta função de produção possui retornos constantes deescala. V


Exercícios ANPEC

Questão 04 de 2009


43/59

Questão 04 de 2009

Seja Q = K α L1−α uma função de produção Cobb-Douglas. Julgue as afirmativas a seguir:

0 A demanda condicional pelo fator trabalho é L∗ = Q . F

1 Supondo que a quantidade produzida seja de 3 unidades,

a remuneração do trabalho igual a 1, a remuneração docapital igual a 1 e que α = 0, 5 , temos que a quantidadede trabalho demandada é igual a 3. V

2 No longo prazo, a função custo associada a esta funçãode produção é do tipo ESC (Elasticidade de SubstituiçãoConstante), sendo que a elasticidade de substituiçãoentre os fatores é 0, 25. F


Exercícios ANPEC

Questão 04 de 2009


44/59

Questão 04 de 2009

Seja Q = K α L1−α uma função de produção Cobb-Douglas. Julgue as afirmativas a seguir:

3 Supondo os mesmos dados do item 1, temos que o custo

total de produção é 6 (seis). V4 Esta função de produção, no curto-prazo, supondo que o

capital seja fixo, possui um custo marginal decrescenteem relação à quantidade de capital. V


Exercícios ANPEC



45/59

Q

Considere a tecnologia representada pela função de produçãof (K ,L) = ( 12K − ρ + 12L

− ρ)−1 / ρ , em que ρ ≥ −1 e K ,L> 0. Julgueas afirmações:

0 Essa tecnologia é também representada pela funçãoF (K ,L) = log[f (K ,L)] + 35 . F

1 Essa tecnologia possui retornos constantes de escala. V2 ρ denota a elasticidade de substituição. F3 Se ρ tende para infinito, então f (K ,L) tende para uma

função de produção Cobb-Douglas. F4 Se ρ tende para zero, então f (K ,L) tende para uma função

de produção Leontief, ou de proporções fixas. F


Exercícios ANPEC



46/59

Q

De acordo com a teoria dos custos de produção, julgue asafirmações:0 O custo de oportunidade do uso de um recurso econômico

no longo prazo não precisa ser igual ao custo deoportunidade de seu uso no curto prazo. V

1 Custo de oportunidade é um conceito absoluto, e nãorelativo. F

2 Se a função de produção de uma firma é f (K ,L) = K + L ,em que K é capital e L trabalho e se r > 0 e w > 0 são,

respectivamente, o custo de oportunidade do capital e dotrabalho, então a função custo é c(r ,w,q) = qmin{r ,w} .V


Exercícios ANPEC



47/59

Q

De acordo com a teoria dos custos de produção, julgue as

afirmações:3 Se a função de produção de uma firma éf (K ,L) = min{K ,L} , em que K é capital e L trabalho e se ocusto de oportunidade do capital é r > 0 e o do trabalho é

w > 0, então o custo marginal de cada unidade deproduto é r +w. V4 Se a função custo de uma empresa é C(q x ,q y ), em que q x

é a quantidade produzida de x e q y é a quantidadeproduzida de y e se C(10, 100) = 220, C(0, 100) = 160 eC(10, 0) = 70, então a empresa não usufrui de economiasde escopo ao produzir 10 unidades de x e 100 unidadesde y . F


Exercícios ANPEC



48/59

Com relação à teoria da produção, julgue as proposições:0 Na função de produção f ( z 1, z 2) = z 12

z 2 os retornos de

escala são constantes. F1 Na função de produção f ( z 1, z 2) = ln z 1 + ln z 2 , sendo w1 ew2 os preços dos fatores e y a produção, a demandacondicional do fator z 1 é

w1 / w2 exp( y / 2) F


Exercícios ANPEC



49/59

Com relação à teoria da produção, julgue as proposições:2 A uma função de produção homogênea de grau a, tal quea> 1, corresponderá uma curva de custo médiodecrescente. V

3 Supondo uma função de produção Cobb-Douglas, pode-seafirmar que, no ponto de custo mínimo de produção, acurva de isocusto é tangente à isoquanta. V

4 Dados os preços dos fatores w1 = 3 e w2 = 1 e a função de

produção f ( z 1, z 2) = 4 z 1

3

z 2, no ponto de custo mínimoigual a 16, a produção será igual a 4. V


Exercícios ANPEC



50/59

Julgue as proposições:0 A função de produção ESC (elasticidade de substituição

constante), definida como Q = A[δK − ρ + (1− δ)L− ρ]−1 / ρ(com A > 0; 0 < δ −1), tende a umaCobb-Douglas quando ρ tende a zero. V

1 Um caminho de expansão linear é característica dafunção de produção Cobb-Douglas apenas se a soma deseus expoentes for igual a 1. F

2 A função ESC definida como Q = A[δK − ρ + (1−

δ)L− ρ]−ν / ρ

(com parâmetros A > 0; 0 < δ −1 e ν > 0)apresenta retornos constantes de escala. F


Exercícios ANPEC



51/59

Julgue as proposições:2 A função Cobb-Douglas tem as seguintes propriedades: éhomogênea, sendo o grau de homogeneidade dado pelasoma dos expoentes; e suas isoquantas sãonegativamente inclinadas e estritamente convexas para

valores positivos dos fatores K (capital) e L (trabalho). V3 A função Cobb-Douglas satifaz o teorema de Euler, que

afirma que (K × PMgK ) + (L× PMgL) = Q, em que PMgK é aprodutividade marginal do capital, PMgL é a produtividade

marginal do trabalho, K é a quantidade de capitalaplicada à produção, L é a quantidade de trabalhoaplicada à produção e Q é a quantidade produzida. F


Exercícios ANPEC



52/59

Com respeito à Teoria da Produção, avalie as afirmativas:0 A função de produção Q( x , y ) = x 0,3 y 1,2 tem rendimentos

crescentes de escala e os dois fatores, x e y, estãosujeitos à lei dos rendimentos marginais decrescentes. F

1 Afunção de produção Q( x , y ) = min{ x , 4 y } , em que ospreços dos fatores são fixos e estritamente positivos,apresenta um único caminho de expansão. V

2 Se a função de produção for Q( x , y ) = x 0,2 y 0,3, se oorçamento para produção for limitado em 100 e se p x = 5

e p y = 10, então no ponto ótimo de produção ter-se-á: x y

= 43 . V


Exercícios ANPEC



53/59

Com respeito à Teoria da Produção, avalie as afirmativas:3 Se a função de produção for Q( x , y ) = x 0,2 y 0,3, então o

produto marginal será sempre superior ao produto médio

para qualquer nível não-nulo de emprego do fatorvariável. F4 Se a função de produção for Q( x , y ) = x + 4 y + 2 e se p x = 5

e p y = 10, para produzir 102 unidades a firma utilizarázero unidades de x e 25 unidades de y. V


Exercícios ANPEC



54/59

Com respeito à teoria dos custos, avalie as afirmativas:0 O trecho decrescente da curva de custo marginal está

associado à existência de rendimentos marginaiscrescentes do fator variável. V

1

No curto prazo, para o nível de produção q, a integral dafunção de custo marginal de 0 a q, de uma firma, indica ovalor do custo variável total da produção de q unidades. V

2 A existência de uma curva de aprendizagem significa quea quantidade de fatores requeridos por unidade de

produto declina em função do aumento de produçãoacumulada da empresa. V


Exercícios ANPEC



55/59

Com respeito à teoria dos custos, avalie as afirmativas:3 Dada a quantidade produzida se a elasticidade do custo

em relação à produção for maior que a unidade, na

margem, um aumento de produção reduzirá o customédio. F4 No monopólio natural, o custo marginal é superior ao

custo médio e o custo médio é declinante em toda aamplitude relevante de produção. F


Exercícios ANPEC



56/59

Suponha que uma firma tenha a função de

produçãof ( x 1, x 2, x 3) = x 1 + 4

2 x 2 + x 3, que os preços dosfatores sejam w1 = 10 e w2 = w3 = 4, respectivamente, e queo nível almejado de produto seja y = 24. Se o objetivo dafirma for minimizar custos:

0

Utilizará uma quantidade positiva do fator 1, isto é, x 1 > 0. F1 A quantidade ótima do fator 3 é zero, ou seja, x 3 = 0. V2 Utilizará 18 unidades do fator 2, isto é, x 2 = 18. V3

O custo mínimo será 72. V4 No ponto de escolha ótima (das quantidades dos fatores)

o produto marginal de x 2 é 25 . F


Exercícios ANPEC



57/59

Em relação à teoria da produção analise as seguintesquestões:

0 Seja a função de produção f ( x ) = 10 min{3 x 1, 2 x 1 + x 2},em que x 1 e x 2 são os insumos. Pode-se afirmar que, noponto ( x 1, x 2) = (20, 40), a isoquanta tem uma quebra(vértice). F

1 Considere uma função de produção com apenas doisinsumos e que esses insumos sejam substitutos perfeitos.Esta função de produção é compatível tanto com retornosconstantes, quanto com retornos crescentes ou comretornos decrescentes de escala. V

2 Uma firma opera com duas plantas cujos custos sãoc1( y 1) = y

21

+ 45 e c2( y 2) = 3 y 22 + 20, respectivamente. y 1 e y 2 são as quantidades produzidas. Se y 1 + y 2 = 12, aprodução da segunda planta, y 2, será igual a 3. V


Exercícios ANPEC

Questão 03 de 2004


58/59

Em relação à teoria da produção analise as seguintesquestões:

3 A função de custo de curto prazo de uma firma éc( y ) = 3 y + 10 para y > 0 e c(0) = 6, em que y é a

quantidade produzida. O custo quase-fixo da firma é iguala 10. F

4 O custo total de uma firma é expresso por:4 y 2 + 100 y + 100 ( y é a quantidade). Caso y = 25

unidades, o custo variável médio será 200. V


Exercícios ANPEC



59/59

0 A estrutura de custos de uma empresa não se altera

quando o valor dos aluguéis aumenta, caso a firma tenhasua fábrica em terreno próprio. F1 Sendo o trabalho o único fator variável, para níveis de

produção em que o prodtuo médio é maior que o produtomarginal do trabalho, o custo médio é crescente. F

2 Quando o custo variável médio cresce, o custo marginal émaior que o custo médio. F

3 A área abaixo da curva de custso marginal de longo prazoaté o nível de produção x é igual ao custo total associado

à produção da quantidade x . V4 A curva de custo médio de longo prazo é composta pelos

pontos de mínimo das diversas cusrvas de custo médio decurto prazo. F


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