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A p p r o a c h e s o f D i s c r e t e F e e d f o r w a r d C
o n t r o l f o rV i b r a t i o n C a n c e l l a t i o n i n M u
l t i m o d e S i n g l e - L i n kF l e x i b l e M a n i p u l a
t o r sE m i l i a n o P e r e i r a , I v a n M. D i a z , P e d r
o R o n c e r o a n d V i c e n t e F e l i uE s c u e l a T e c n
i c a S u p e r i o r d e I n g e n i e r o s I n d u s t r i a l e
sU n i v e r s i d a d d e C a s t i l l a - L a M a n c h aC a m p
u s U n i v e r s i t a r i o , 1 3 0 7 1 , C i u d a d R e a lS p
a i ne m i l i a n o . p e r e i r a @ u c l m . e s , i v a n . m
u n o z @ u c l m . e s , p e d r o . r o n c e r o @ u c l m . e s
, v i c e n t e . f e l i u @ u c l m . e s
A b s t r a c t - T h i s p a p e r p r e s e n t s a n e w a p
p r o a c h t o t h e a r e t w o b a s i c a p p r o a c h e s t o
t h e i r o p e n - l o o p c o n t r o l :f e e d f o r w a r d c
o n t r o l o f f l e x i b l e a r m s . T h e o b j e c t i v e i
s t h e e n d - i n v e r t i n g t h e a r m d y n a m i c s a n d
p r e - s h a p i n g t h e commandp o i n t p o s i t i o n c o n
t r o l a n d v i b r a t i o n s u p p r e s s i o n i n a s i n g
l e - i n p u t , w h i c h i s u s u a l l y c a l l e d t h e
command p r e - s h a p i n gl i n k f l e x i b l e m a n i p u l
a t o r w i t h s e v e r a l v i b r a t i o n m o d e s . T h e t
e c h i c h i s S e v e r a l l m e t h o d s o b a n d p r e - s
hf e e d f o w a r d c o n t r o l l e r i s d e s i g n e d b a s
e d o n t h e s o - c a l l e d t e c h n i q u e ( C P T ) . S e v
e r a l m e t h o d s b a s e d on t h e f i r s td y n a m i c m o
d e l i n v e r s i o n t e c h n i q u e d e r i v e d f r o m a a
p p r o a c h c a n b e f o u n d . F o r e x a m p l e , t h e o p
t i m a l i n p u t i sd i s c r e t i z a t i o n o f i t s d y n
a m i c m o d e l . B y m o d i f y i n g t h e s y s t e m o b t a
i n e d t h r o u g h a n i t e r a t i o n p r o c e d u r e i n t
h e f r e q u e n c yd y n a m i c s w i t h a f e e d b a c k o f
t h e t o r q u e a t t h e b a s e o f t h e d o m a i n [ 4 ] , o
r m i n i m i z i n g t h e i n t e g r a l s q u a r e d e r r o
ra r m , t h i s t e c h n i q u e c a n b e a p p l i e d i n a v
e r y s i m p l e w a y . T h e b e t w e e n t h e command s i g n
a l a n d t h e t i p p o s i t i o n [ 5 ] . S i n c ep r o p o s
e d m e t h o d i s g e n e r a l i n t h e s e n s e t h a t i t r
e m o v e s [ 6 ] p r o p o s e d t h e p r e - s h a p i n g o f t
h e command i n p u t , w h i c hr e m a i n i n g o s c i l l a t
i o n s i n t h e s t e a d y s t a t e u n d e r a n y n u m b e r
g e n e r a t e s i n p u t s t h a t d o n o t e x c i t e t h e v
i b r a t i o n m o d e s ,o f s i g n i f i c a n t v i b r a t i
o n m o d e s . A n u m e r i c a l e x a m p l e o f t h e many r
e f e r e n c e s c a n b e f o u n d [ 7 ] , [ 8 ] , [ 9 ] , [ 1 0
] , a m o n g s ta p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d o n a
n e x p e r i m e n t a l r o b o t arm i s o t h e r s .c a r r i
e d o u t a n d f i n a l l y , s o m e p r e l i m i n a r y e x p
e r i m e n t a l A d i s c r e t e f e e d f o r w a r d c o n t r
o l ( D F C ) b a s e d o n t h er e s u l t s a r e p r e s e n t
e d . d yn am ic m o de l i n v e r s i o n i s p r o p o s e d i n
[ 1 0 ] . I t d i f f e r sf r o m p r e v i o u s m e t h o d i n
t h e f a c t t h a t t h e c o n t r o l l e r i sI I N T R O D U
C T I O N o b t a i n e d f r o m a d i s c r e t i z a t i o n o f
t h e d y n a m i c m o d e l . I t c a n
F l e x i b l e r o b o t s h a v e b e c o m e a r e s e a r c
h a r e a o f i n c r e a s i n g b e p r o v e d t h a t t h e c o
n t r o l l e r s d e s i g n e d w i t h CPT c a n a l s oi n t e
r e s t i n e n g i n e e r i n g i n t h e l a s t y e a r s . New
r o b o t i c s o b t a i n e d w i t h DFC a n d b o t h o f t h e
m c a n b e g e n e r a l i z e d t oa p p l i c a t i o n s d e m
a n d l i g h t e r r o b o t s t h a t c a n b e d r i v e n w i t
h c a n c e l s e v e r a l m o d e s s i m u l t a n e o u s l y .
T h e r e a r e t w os m a l l e r a m o u n t s o f e n e r g y .
An e x a m p l e o f t h i s i s t h e d i f f e r e n t w a y s t
o a c h i e v e t h i s p u r p o s e . T h e f i r s t o n e i sa
e r o s p a c e i n d u s t r y , w h e r e w e i g h t s h a v e t
o b e m i n i m i z e d i n b a s e d o n d e s i g n i n g o n e p
r e f i l t e r f o r e a c h c o n s i d e re d m o d e .v e r y l
a r g e m a n i p u l a t o r s . I t i s w e l l - k n o w n t h a
t t h e u s e o f a T h e r e s u l t i n g f e e d f o r w a r d c
o n t r o l l e r , w h i c h i s t h e r e s u l t o fr e l a t i
v e l y l o n g f l e x i b l e l i n k i n c u r s a p e n a l t y
d u e t o e l a s t i c t h e c o n v o l u t i o n o f e a c h o n
e , i s d e s i g n e d f o r e a c h v i b r a t i o nd e f o r m
a t i o n a n d v i b r a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e
s t r u c t u r a l m o d e . T h i s t e c h n i q u e i s u s u a
l l y u t i l i z e d i n CPT r e f e r e n c e sf l e x i b i l i
t y a n d t h e h i g h - s p e e d m o t i o n o f t h e s e [ 9 ]
. A n o t h e r a p p r oa c h i s b a s e d o n d e s i g n i n g
o n e c o n t r o l l e rm a n i p u l a t o r s . a b l e t o c a
n c e l a l l t h e c o n s i d e r e d m o d e s s i m u l t a n e
o u s l y . AnT o a t t a i n t h e t i p p o s i t i o n a c c u r
a c y , a c o n t r o l m e c h a n i s m e x a m p l e c a n b e f
o u n d i n [ 1 1 ] , w h e r e t h e s a m p l i n g p e r i o dt
h a t t a k e s i n t o a c c o u n t b o t h t h e r i g i d b o d
y a n d f l e x u r a l o f t h e DFC i s c h o s e n t o c a n c e
l more t h a n o n e v i b r a t i o nm o t i o n s o f t h e s y s
t e m i s r e q u i r e d . Some s t r a t e g i e s t o m o d e u
s i n g t h e c o n t r o l l e r w i t h t h e l e a s t o r d e r
. I n a d d i t i o nc a n c e l v i b r a t i o n s a r e b a s e
d o n f e e d f o r w a r d ( o p e n - l o o p ) d i f f e r e n t
w a y s t o d e s i g n r o b u s t f e e d f o r w a r d c o n t r
o l l e r s a r ec o n t r o l s c h e m e s a n d o t h e r s o n
f e e d b a c k ( c l o s e d - l o o p ) e x p o s e d i n t h e l
i t e r a t u r e [ 6 , 8 , 9 a n d 1 0 ] , a m o n g s t o t h e r
s .c o n t r o l s c h e m e s . As a s u m m a r y , s e v e r a l
w a y s o f d e a l i n g w i t h t h e p r o b l e m
A n approach tocontroldynamicsystemsistheso-c o f v i b r a t i
o n c a n c e l l a t i o n a n d r o b u s t d e s i g n c a n b e
f o u n dAn a p p r o a c h t o c o n t r o l d y n a m i c s y s t
e m sis t h e s o - c a l l e d b u t w i t h a n i m p o r t a n t
i n c r e a s e i n t h e c o m p l e x i t y o f t h ed y n a m i
c m o d e l i n v e r s i o n t e c h n i q u e . C o m p e n s a t
o r s c o n t r o l l a w .o b t a i n e d b y t h i s m e t h o d
may b e u s e d i n o p e n - l o o p o rc l o s e d - l o o p s c
h e m e s [ 1 ] , [ 2 ] . T h e m e t h o d i s c o n c e p t u a l
l y I n t h i s w o r k a m e t h o d t o m o d i f y e a s i l y t
h e s y s t e ms i m p l e b u t o f t e n r e q u i r e s a l a r
g e a m o u n t o f c o m p u t a t i o n . d y n a m i c s o f a m
u l t i m o d e f l e x i b l e a r m i s p r e s e n t e d . T h i
sD y n a m i c m o d e l i n v e r s i o n may b e u s e d i n a c
l o s e d - l o o p m e t h o d a l t e r s t h e d y n a m i c s b
y I n t r o d u c i n g a l o o p t oc o n t r o l i n t w o w a y
s : a s a p a r t o f t h e c l o s e d - l o o p c o n t r o l l e
r m o d i f y t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s y s t e m
f r e q u e n c i e s . T h i so r a s a f e e d f o r w ar d c o
mp e n sa t o r. I n [ 3 ] , i t c a n b e s e e n t h a t l o o p
i n v o l v e s t h e f e e d b a c k o f t h e c o u p l i n g t o
r q u e b e t w e e nt h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e t w
o c l o s e d - l o o p s c h e m e s a r e t h e m o t o r a n d t
h e a r m . O n c e t h e m o d i f i c a t i o n i s a c h i e v e
d ,s i m i l a r , h o w e v e r , t h e f e e d f o r w a r d c o
n t r o l s c h e m e i s m o r e t h e r e s i d u a l v i b r a t
i o n s p r o d u c e d b y s e v e r a l m o d e s c a n b es t a
b l e . s u p p r e s s e d e f f e c t i v e l y u s i n g a v e r
y s i m p l e DFC c o n t r o l l e r .M o s t o f t h e r e s e a
r c h c a r r i e d o u t o n f l e x i b l e m a n i p u l a t o r
s T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e
c t i o n l I t h e g e n e r a lh a s b e e n f o c u s e d o n t
h e c o n t r o l o f s i n g l e - l i n k a r m s . T h e r e a p
p r o a c h t o DFC t o c a n c e l v i b r a t i o n s i s d e s c
r i b e d a n d t h e*motivatio n s t o m o d i f y t h e d y n a m
i c s o f f l e x i b l e
1 - 4 2 4 4 - 9 7 1 3 - 4 / 0 6 / $ 2 0 . O O 2 0 0 6 I E E E 4
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E . P e r e i r a , I . M . D i a z , P R o n c e r o , V F e l
i u v A p p r o a c h e s o f D i s c r e t e F e e d f o r w a r d
C o n t r o l f o r V i b r a t i o n C a n c e l l a t i o n . .
.G ( z ) = a ( 1 0 ) ( C ( s ) ) . L e t u s d e f i n e F c 1 p a
s t h e c o u p l i n g t o r q u e ; O r ( s ) a sG ( ) ( 1 + z l
) ( t h e t i p a n g l e o f t h e b e a m t o b e c o n t r o l l
e d , e t ( s ) t h e t i p
p o s i t i o n r e f e r e n c e a n d t ( s ) t h e f i l t e
r e d r e f e r e n c e ; E m ( S )w h e r e a i s a c o n s t a n
t . An d t h e p r e f i l t e r ( 6 ) t h a t c a n c e l s t h ed
y n a m i c s o f ( 9 ) i s as t h e a n g l e o f t h e m o t o r
a n d 6 m ( s ) t h e m o t o r p o s i t i o nr e f e r e n c e ;
a n d f i n a l l y , H ( s ) i s a t r a n s f e r f u n c t i o n
b e t w e e n(1+-l t h e c o u p l i n g t o r q u e a n d t h e t
i p a n g l e , a n d Q ( s ) i s t h eQZ1 ( z 1 1 t r a n s f e r
f u n c t i o n t h a t i s a d d e d t o m o d i f y t h e d y n a
m i c o fa t h e a rm t o b e l i k e ( 1 0 ) .
L e t u s d e f i n e u r n a s t h e c o n t r o l i n p u t ,
a c c o r d i n g t o [ 5 ] , t h eM o r e o v e r , i f G ( O ) =1
i n ( 4 ) , w h i c h means a s y s t e m w i t h i n n e r c o n t
r o l l o o p s h o w e d i n F i g . 3 i s d e s i g n e d t o a c
h i e v eu n i t y g a i n , t h e n c c =2 . . a r o b u s t s o l
u t i o n t o m o t o r f r i c t i o n . T h e c o n t r o l l a w
i s :I n F i g . 1 , t h e r e f e r e n c e r ( t ) i s s a m p l
e d b e f o r e p a s s i n gt h r o u g h t h e p r e f i l t e r
C ( z ) w h i c h i m p l i e s s o m e l o s s o f u coF ( 1 5 )i
n f o r m a t i o n . T h i s may b e a v o i d e d b y u s i n g a
v e r y s m a l l Ks a m p l i n g p e r i o d T . An a l t e r n a
t i v e t h a t a l l o w s t h e u s e o f t h e , Kf u l l s h a
p e o f r ( t ) a n d a v o i d s l a r g e c o n t r o l s i g n a
l s ( t h a t ' w a n d K am i g h t a p p e a r w h e n T i s v e
r y s m a l l ) i s t h e u s e o f a s e r v o c o n t r o l l e r
p l u s a t e r m ( F 0 p 1 / K ) t h a t c o m p e n s a t e s t h
ec o n t i n u o u s v e r s i o n o f t h e p r e f i l t e r ( 1
1 ) , w h i c h i s o b t a i n e d e f f e c t o f t h e l i n k d
y n a m i c s i n t h e m o t o r p o s i t i o n c o n t r o l .b
y s u b s t i t u t i n g z b y e s T D u e t o t h e f a c t t h a
t t h e c o u p l i n g t o r q u e c o i s n o tc o n s t a n t ,
i t can b e t r e a t e d a s a d i s t u r b a n c e i n t h e c o
n t r o lp o s i t i o n p r o b l e m . T h e r e f o r e , i f t
h e p a r a m e t e r K i s c h o s e nCe ) s T s o t h a t t h e c
o n t r o l i n p u t , u n , c o m p e n s a t e s c o t h e c o n
t r o lC 2 o f t h e m o t o r i s r e d u c e d t o a m o t o r w
i t h n o l o a d . M o r e o v e r ,t h e t u n i n g o f t h e c
o n t r o l l e r p a r a m e t e r s ( K p a n d K v ) m u s tT h
i s c o i n c i d e s e x a c t l y w i t h t h e r e s u l t g i v
e n b y C P T , w h i c h a c h i e v e a c r i t i c a l l y d a m
p e d s y s t e m f a s t e r t h a n t h e l i n ki s c a l l e d
z e r o v i b r a t i o n ( Z V ) i n p u t s h a p e r , f o r t h
e c a s e o f d y n a m i c s ( b e i n g a t h e c o n s t a n t t
i m e o f t h e s e r v o c o n t r o l l e do n e v i b r a t i o
n m o d e . B u t i t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t
, s y s t e m ) . W i t h t h e c o n t r o l l a w ( 1 5 ) , t h e
f o l l o w i n g t r a n s f e rp r o v i d e d t h e v e r i f i
c a t i o n o f a s s u m p t i o n ( 7 ) , i t i s a b l e t o f u
n c t i o n b e t w e e n t h e m o t o r p o s i t i o n a n d t h
e m o t o r -c a n c e l m m o d e s s i m u l t a n e o u s l y .
p o s i t i o n r e f e r e n c e i s o b t a i n e d :A r o b u s
t v e r s i o n o f f i l t e r ( 1 2 ) c a n b e o b t a i n e d b
y m a k i n gt h e h i g h e r d e r i v a t i v e s o f t h e f r
e q u e n c y r e s p o n s e o f C ( s ) I 2 ( 1 6 )e q u a l z e
r o a t o i [ 1 0 ] . T h i s may b e a c h i e ve d w i t h f i l
t e r s ( + a s ) 2 ) mw i t h t h e f o l l o w i n g t r a n s f
e r f u n c t i o n :
C q (S) (13) T h e a d d i t i o n a l t r a n s f e r f u n c t
i o n Q ( s ) ( S e e F i g . 2 ) i sC ( s ) ( 1 3 ) i n c l u d e
d i n o r d e r t o m o d i f y t h e n a t u r a l f r e q u e n c
i e s o f t h ea r m i n s u c h wa y t h a t t h e y b e c o m e a
p p r o x i m a t e l y o d dw h e r e t h e f i r s t q - d e r i
v a t i v e s a r e z e r o a t c i . T h e s e t t l i n g m u l t
i p l e s o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y c o . T
a k i n g i n t ot i m e o f t h e o u t p u t d e p e n d s o n t
h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a c c o u n t t h a t u
s u a l l y o n l y t h e f i r s t t w o v i b r a t i o n m o d e
s a r ec o a n d t h e q - o r d e r o f t h e f e e d f o r w a r
d c o n t r o l l e r . T h i s t i m e t h e m o s t s i g n i f i
c a n t i n t h e d y n a m i c r e s p o n s e o f f l e x i b l
ec a n b e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s : a r m s , we h a
v e a s s u m e d t h i s t r a n s f e r f u n c t i o n a s a f e
e d b a c kg a i n :t s e t =q T + t r = q ; T l c i + t r ( 1 4 )
Q ( s ) = A ( 1 7 )w h e r e t r i s t h e t i m e t h a t t h e t
i p p o s i t i o n r e f e r e n c e s p e n d so n r e a c h i n
g t h e s t e a d y s t a t e . w h i c h i s t h e s i m p l e s t
o n e t h a t a l l o w s u s t o m o d i f y t h ed y n a m i c o
f t h e a r m .I I I FEEDBACK L o o P T U N I N G T O A T T A I N M
U L T I P L E N e x t , we d e s c r i b e b r i e f l y t h e p r
o c e s s o f o b t a i n i n g t h eF R E Q U E N C I E S o pt i
ma l v a l u e o f t h e g a i n u . F i r s t l y , t h e r o o t
l o c u sL e t u s c o n s i d e r a n a r m c o m p o s e d o f a
n a c t u a t o r a t t h e b a s e t e c h n i q u e i s a p p l i
e d t o t h e c l o s e d l o o p s y s t e m o f F i g . 2 .w i t
h t o t a l i n e r t i a J O ( r o t o r a n d h u b ) , a f l e x
i b l e b e a m w i t h T h e r o o t s o f t h e s y s t e m d e p
e n d o n t h e g a i n , u a s f o l l o w s :u n i f o r m m a s
s d e n s i t y p , l e n g t h L b a n d a p a y l o a d o f m a s
sM p . I + , u 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ G ( s ) H ( s )= 0 O . ( 1 8
)T h e s t r u c t u r e o f t h e g l o b a l c o n t r o l s y s
t e m i s d e p i c t e d i n ( 1 l + s ) 2F i g . 2 . T h e t r a
n s f e r f u n c t i o n R m ( 5 ) i s o b t a i n e d a s a r e s
u l t o fu s i n g DC m o t o r w i t h a p o s i t i o n s e r v o
c o n t r o l l e r a n d a Acrigt 5,GsHs,wihi h rnfrfntoc o u p l
i n g t o r q u e f e e d b a c k , w h i c h i S p r o p o r t i o
n a l t o t h e bewe t h F ab e n d i n g s t r a i n a t t h e b a
s e O f t h e b e a m a n d i S u s e d t o ~ n m xiissm r p r i sd
e c o u p l e t h e l i n k d y n a m i c s , w h i l e C q ( 5 ) i
s t h e f e e d f o r w a r dc o n t r o l l e r u s e d t o c a n
c e l v i b r a t i o n s o f t h e f l e x i b l e a r m
5 1
-
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4/6
I C M 2 0 0 6 * I E E E 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o n f
e r e n c e o n M e c h a t r o n i c sFeI1 C V SIMULATION AND
EXPERIMENTAL RESULTS
+ R Gs W e n e x t p r e s e n t a n e x a m p l e o f a p p l i
c a t i o n o f t h e m e t h o dp r o p o s e d i n S e c t i o n
s I I a n d I I I t o a s i n g l e - l i n k f l e x i b l eF}s )
m a n i p u l a t o r . T h u s , t h e m e c h a n i c a l s y s t
e m c o n s i s t s o f a DCQ ( s )H(s) m o t o r ( M a x o n M o t
o r E C - 6 0 ) w i t h a H a r m o n i c D r i v eF i g u r e 2 r
e d u c t i o n g e a r 1 : 5 0 ( H F U C - 3 2 - 5 0 - 2 0 H ) ; a
s l e n d e r a r mG l o b a l c o n t r o l s c h e m e w h i c h
i s m a d e o f a l u m i n i u m f l e x i b l e b e a m w i t hF
c o . , ( s ) r e c t a n g u l a r s e c t i o n a n d i s a t t a
c h e d t o t h e m o t o r h u b i n s u c hF c o . , ( s ) / K wa
y t h a t i t r o t a t e s o n l y i n t h e h o r i z o n t a l p
l a n e , s o t h a t t h e4 ( s ) ++ + ( s ) Q ( s ) e f f e c t o
f g r a v i t y c a n b e i g n o r e d ; a n d a mass a t t h e e
n d o fP I * Q - * . K ~ Q - M o t o r t h e a r m . I n a d d i t
i o n , t w o s e n s o r s a r e u s e d : a n e n c o d e r i sm
o u n t e d a t t h e j o i n t o f t h e m a n i p u l a t o r f o
r m e a s u r e m e n t o ft h e h u b a n g l e , a n d a s t r a
i n - g a u g e b r i d g e i s p l a c e d a t t h eK L X b a s e
o f t h e b e a m f o r m e a s u r e m e n t o f t h e c o u p l i
n g t o r q u e .T h e p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c
s o f t h e s y s t e m a r e s h o w n i nF i g u r e 3 T a b l e
I .S e r v o c o n t r o l l e r i n n e r l o o p . PD c o n t r o
l l e r
1 ) N u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r a r e o f t h
e same A S i m u l a t i o n R e s u l t so r d e r . T h e c o n t
i n u o u s m o d e l h a s b e e n a p p r o x i m a t e d b y a l
u m p e d2 ) N u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r h a v e
o n l y t e r m s mass m o d e l w h i c h i s t r u n c a t e d f
o r t h e f i r s t t w o v i b r a t i o nc o r r e s p o n d i n
g t o e v e n p o w e r s o f s . m o d e s [ 5 ] . T h e c o r r e
s p o n d i n g f r e q u e n c i e s a r e3 ) T h e r e a r e t w
o z e r o s i n t h e o r i g i n . a i 1 = 4 . 4 6 r a d / s a n d
t o 1 = 3 0 . 5 9 r a d / s , a n d t h e t r a n s f e r f u n c t
i o n s4 ) T h e r o o t s a r e l o c a t e d on t h e i m a g i n
a r y a x i s a n d ( G ( s ) a n d G ( s ) H ( s ) , s e e F i g 2
) a r e t h e f o l l o w i n g :a r e a l t e r n a t e d .T a k i
n g i n t o a c c o u n t t h e l a t t e r p r o p e r t i e s , t
h e r o o t l o c u s 0, ( s ) - 3 8 . 1 5 ( s 2 - 4 8 8 . 4 1 )( 1
8 ) w i l l e x h i b i t t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s :
2 ( 2 0 )1 ) T h e m b r a n c h e s c o r r e s p o n d i n g t o
t h e m m o d e s ms t a r t i n t h e p o l e s a n d e n d i n t
h e c o r r e s p o n d i n gz e r o e s o f G ( s ) H ( s ) .2 ) T
h e s e b r a n c h e s a r e a l w a y s i n t h e n e g a t i v e
r e a l F c o u p ( s ) 1 3 . 7 3 s 2 ( s 2 + 4 4 3 . 7 )h a l f -
p l a n e , b u t t h e y r e m a i n q u i t e c l o s e t o t h e
0 ( s ) ( s 2 + 1 9 . 9 2 ( s 2 + 9 3 5 . 6 ( 2 1 )i m a g i n a r
y a x i s ( v e r y l i t t l e d a m p i n g ) . m3 ) T h e r e a
r e t w o b r a n c h e s , w h i c h g o t o i n f i n i t e w i t
ha s y m p t o t i c d i r e c t i o n s o f 9 0 . T h e s e b r a
n c h e s a n d t h e c o n s t a n t t i m e o f t h e s e r v o c
o n t r o l l e r ( 1 6 ) i ss h o w t h e v a r i a t i o n o f t
h e s e c o n d a r y p o l e s 0 . 0 1 s .a s s o c i a t e d t o
t h e t e r m ( 1 + a s ) 2 o f ( 1 8 ) . A s t h e d y n a m i c s
o f R m ( s ) i s much f a s t e r t h a n t h e v i b r a t i o nS
e c o n d l y , t h e a i m i s t o o b t a i n t h e o p t i m a l
v a l u e o f u t h a t m o d e s a n d i s c r i t i c a l l y d a
m p e d , t h e d e s i g n o f c o n t r o l l e r ( 3 )a c h i e
v e s o d d m u l t i p l i c i t y O f c 2 = 2 c u ) / a 1 ( y ) (
S e e ( 8 ) ) . T o i s c a r r i e d o u t o n l y b y i n v e r s
i o n o f t h e arm d y n a m i c s .t h i s e n d , t h e f o l l
o w i n g e q u a t i o n m u s t b e s o l v e d : F o l l o w i n
g t h e m e t h o d p r o p o s e d i n S e c t i o n I I I , t h e
o p t i m a lv a l u e o f t h e g a i n u w h i c h e n a b l e s
u s t o a c h i e v e a s y s t e mw i t h o d d m u l t i p l e f
r e q u e n c i e s c a n b e o b t a i n e d .m( , u ) ( 2 - 0 ( 1
9 ) C o n s e q u e n t l y a s i m p l e f e e d f o w a r d c o n
t r o l l e r ( 1 ) c a n b eJ / U ) c ( A ) - C 2 u t i l i z e d
. F i g . 4 s h o w s t h e r o o t l o c u s c o r r e s p o n d i
n g t o ( 1 8 ) ,w h i c h p r e s e n t t h e a f o r e m e n t i
o n e d f e a t u r e s .T h e r e a r e i n f i n i t e v a l u e
s o f u t h a t a r e s o l u t i o n s o f ( 1 9 ) . T h e I n o r
d e r t o a c h i e v e o d d m u l t i p l i c i t y o f f r e q u
e n c i e s , ( 1 9 )m i n i m u m o n e i s t h e o p t i m a l s
o l u t i o n d u e t o t h e f a c t t h a t h a s b e e n u s e d
. F i g . 5 s h o w s J ( , y ) , i n w h i c h t h e f i r s ti n
c r e a s i n g v a l u e s o f u i m p l y ( a s t h e b r a n c h
e s o f i n t e r e s t o f s o l u t i o n c o r r e s p o n d s t
o t h e o p t i m al v al u e o f u , b e i n g e q u a lt h e r o
o t l o c u s g o t o w a r d t h e o r i g i n ) t h a t t h e f u
n d a m e n t a l t o 0 . 0 4 7 2 . T h e v i b r a t i o n m o d e
s o f t h e m o d i f i e d s y s t e m a r ef r e q u e n c y o i
( , u ) d i m i n i s h e s a n d t h e s e t t l i n g t i m e o f
t h e c o l = 3 . 9 1 r a d / s a n d c o 2 = 2 7 . 4 0 r a d / s w
i t h a m u l t i p l i c i t y o fs y s t e m b e c o m e s l o n
g e r ( 1 4 ) . o 1 / 0 2 = 7 .F i n a l l y , o n c e t h e m o d
i f i e d s y s t e m i s o b t a i n e d , t h e n e x t s t e p P
A R A M E T E R O F T A B L E F L E X I B L E A R Mi s t o d e s i
g n t h e DFC t o c a n c e l t h e f i r s t v i b r a t i o n m o
d e a n d E l a s t i c M o d u l u s ( N / r n 2 ) 0 . 7 2 . 1 0 "
1a u t o m a t i c a l l y t h e s e c o n d o n e w i l l b e c a
n c e l l e d . N o t i c e t h a t A r e a m o m e n t o f i n e r
t i a ( i n 4 ) I 3 . 3 3 . 1 0 o - lt h e m o d i f i e d s y s t
e m i s s l i g h t l y s l o w e r t h a t t h e o r i g i n a l o
n e A r e a o f t h e s e c t i o n ( i n 2 ) A 1 1 0 - 4b u t a b
l e t o c a n c e l t w o v i b r a t i o n m o d e s s i m u l t a
n e o u s l y W i d t h ( i n ) h 0 . 0 5w i t h o n l y o n e D F
C . I f we w e r e d e a l i n g w i t h a f l e x i b l e a r m T
h i c k n e s s ( i n ) b 0 . 0 0 2w i t h m o r e t h a n t w o s
i g n i f i c a n t v i b r a t i o n m o d e s , ( 1 7 ) L e n g t
h ( i n ) L b 1 . 3 0, ~ ~ ~ ~ M a s s d e n s i t y ( k g / i n 3
) P 2 5 9 0s h o u l d b e a t r a n s f e r f u n c t i o n d e p
e n d i n g o n m o r e I n e r t i a o f t h e r o t o r a n d h u
b ( k g m 2 ) J o 0 . 6 3p a r a m e t e r s . M a s s o f t h e p
a y l o a d ( k g ) M p 0 . 0 7 5
E l e c t r o m e c h a n i c a l c o n s t a n t ( N / A ) K 0
. 1 5 8
5 2
-
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5/6
E . P e r e i r a , I . M . D i a z , P R o n c e r o , V F e l
i u v A p p r o a c h e s o f D i s c r e t e F e e d f o r w a r d
C o n t r o l f o r V i b r a t i o n C a n c e l l a t i o n . .
.R o ot L o cu s 1
3 0 0 8 9 -2 0 0 . 71 0 06
0 04501 01 02 02 . .3 .
-0- E
-2 0 ( S Y ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- 3 0 1 M o 1 0 15
- 4 0 -R e a l A x i s F ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ q y ( ~ ~ ~ ~ ~ R s d u a l
-2 0 Ti m ( s % )
F i g u r e 4 F i g u r e 6R o l o u o f T h e t a s eu n c t i
o n afor/6)frp o s i t i v e v a u s o a h a n , B o d eoiagram o
f(s-()n dheeec (suigc s
0.9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~L
0.4) = (1p t i m a l v a l u e - S Z I O l ) = 0 5 ( 1+ E
Real~~ ~ ~ I n t i ecin r e a l t i m F r p e q u e n t a i o
ofradsopseR o o l o c u o f( t + e h e t r a s f e f u c t oF,2( s
e 1 60s+ f o r t h0 3 s i t i v e 3 Th B o d a e t e r s r afCho t
r l a ( - ) a n a r e tuedtsahiv
0 . 3 s s0 . 2 042
0 . 1 0 2 t
0e.05ve. 1 t 0 . 1 5 0 .2.25). 3 o c h f l e o . 3 0 . 4 0 .5
p=1.3,K . 1 ( 4
0 0 . 5 -~~~~p 5101
T h e f l l u n n frt i o s l e t i s v a n t o r e m a i n ta i
n
F o l l w c e i n g a e x p r a e s s i o n ( 1 ) t h e f e e d
f o r w a r d e c o n g t f r o l e r q c a n c h o T h er x e r m
a i n i n t s i l t o sr e n e g l i g i b l ha e i n j c t r s t e
a d y i
b e a w r i a t t e n s n s : s t a t o n d t e s e l i n g T i
e 0s6is a s e d - o n t h e ( S e e e ( 1 4 )C ( s ) (+4 ) / 2 -0 .
5 e f a c s ) , C ( 2 ) B g E x e i m t R e s u l t s
i s n o t b l e t o a n c e l f f e c t i v l y t h e e s i d I
n t h i s t o n S e c t i o n , eq S ) re-ime i m p l w e m f e n t
a t i n c o f m h r p o s e d t oa n d ef o l l o w i n a ( 3 ) l t
e r o b i u s tv e b r s t i o n o f C s ) t , c o n s i r d e r q
i n g t h c o n t r l i nc h e m e s o s i g n p u t e i n t r a c
i n a n p i t d e v i b r a t i o
t e f r t d a n e r i v a e c t i v e ,cnhe r i t a t e o n : 0
e s i d u p s -isresente. E x p e r i m i n w h i w e ave
f r e u e n y v r i t i o isdeermned I F i . 6 w a s u m e a a s
s u m e d t h d e , r s a m e c i e ya a m t e rcas i ns i m u l a
t i o n s a r ea l l o a b l r e s d u a v i r a t i n o 5 O a n t
h i n e n s i i v i y condceirton t h e s y s e m s h o w ni g n F
i g . n 8 . tedyai
C a n g e f o r( s )(i+ e) / 2) 2 0 . 2. 1 2 5 5 ( 1 2 0 6 2 5 s
+ 0 . 3 5 ( . 2 Tespaaet o f t h e c o w ) t o h
Fig.s h o w s t h e B o d e d i a ~ ~ ~ F g u r a m o f b o h i
o n r o l e s . I t c a
f n o r d a l l t o d m u l t i p l h e g o f a i t . o r t s i
i m p o r a n t sofh e m a r ktha t p n o p o s e d a n d f o w a r
n c e n t r i n g 2 ( s )p r b o l i rjcoy hc agnritted w i t h
stea a t e d a n d t h e s e t t i n g f i m e d i s r e q u e n c
6 i e s s ( S e t e ( I s t e m . Thp r C m o t i e i n a c c s u a
c i e s i n t e s moe p r o d u c e S i g h a tf r e q u e y Te e x
p e r i m e n t a s r e s u m e w i t s s a m e trajo a n iv n s a
r i a t i o n s e d a l s o , e n c e i p t h e o f t h e m o d i f
i e d s y t e s 9 0 p a r a b t i m a t i o n , r e s . t h e i r s
t e o e i s a s d o n t h e s c h e m e op r e s e n ta l i n m d 1
a m i n g v o a l b u ethese o f a C t s i mo n s t h e a t r i C n
F i g . 2 w i t h D d i c n t r l l e r (Fig3btw a i t o f n a m i
b r e e d f o n r ai s t h eo ta e r h t o c a n l elser i t t e n
: sutppu a l e v b a i o n s , c o n t r o l l e r an(s)i g . e n s
h o w therequen cmoe o f
O n c e a n b a l o w u e a b l u e ) e i d u a virtohosth ei o
r d e r o q t i n d t h e e d c o u p l i n g t o n r q u e s i g n
a b e i n g o w t h e a m p l T u d e s i t d eo f t h
( 1 3 ) t o f e c n c e l e f f e c t l t h e v i b t r a t i o
n ( s ) . n d e r c a nr d e f n e d r e s i d u a l v i b r a t i
o n 1 . 1p a n o e n m f o r qte f i s t i a n d a t h ea l l o w a
b l e r e s i u l 2 0 2 5 ( Ii r a i o o 5 0 0 6 a n d t h e i n s
e n s i t i v i t y T w o v i b a r a m e t e ioft h m e s c a r l
s i g a n i f i c a r e i n u t e d t o a m i c v er a n e r o r C
( ) s s e m 0 1 2 i H i a d l o r C d s m p s d 3 0 5 6 H zspn s c
oe ysem
F i n .ore t h o w t s t t h e g o o d n e s s a g a o f h b p o
p h o s e d r o n t r o l l e r s a n Nx,tepooe edoadcnrle s
sdsgeDC m o t o e r , e i s a a p p l i e a s d a 2 r e f r e e n o
c f i l e rT h a t i s , t h e K = 3 . 5 1 Kxermeta feqenie a r e =
~ . 9 r a d / s 2 a nu n s h a p eod r e f e r p e n s n uo ftthes
m o t o r t n i s a r 9 0 m a r k t a b o l i c n ~ 747irdsp r c m
m a n i n a c 1 r a s e o i n d ( h a l t m o e lw i t h u c n s t
a n h ta c c e l u e r a t i o F i g . 1 0 p r i a n d t 1 d r e p
c t h d e e x e i m h t e n t a l e d y n a m i c t r r e s p n s e
na n d i t h e o o t h e r d h a l f o t i m e wihmonestatdclrtof t
h e o f o h e s y t e f o t a n e d w t h P D c o t r l l r m n d t
hi s a m e t a b s l u e v o a n c l u e ) . f i g . c 7 i s h o w
t h e t e i p u a p o s i t i n r a t i n d s eefrwro n t r o l l e
s. F i g . 1 0h o w s t h e F F T u n c a o m p l i t u e s t o ft
h O e f r n c en a l o a l f r t e s d ao n r t r o l l e r W e t c
a n o b s e r v e t h e r e s i d u a l g v i b r a t i o n i o f a
t h e e o u p l i n g e t o r q u e t s i g n a l . B o t( 1 3 t o
c a n e lf f e t i v l y h e i b r t i o s ) u d r . r d e i e a p
i u e o f t e r e s i d u a l v i b r a t i o n . a n 0 3 N a o r e
r h e d u c e t a dt o h 0 0 0f r q u n c vritonisdeenied I F g . 6
w asue n seon m d e rsecivly I anbeobere hwh 5 3 i s
-
7/30/2019 21D75884d01
6/6
I C M 2 0 0 6 * I E E E 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o n f
e r e n c e o n M e c h a t r o n i c s0 . 0 1 5
0.004Nm 0 . 0 1 2 N m
W f l e x b s e i i n g l i n i k. 0 . 0 1 8
0 .2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ 0 . 2 0
. . . . qyH~)0 5 1 0 151 8
2strain~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~T~ gages)9/ \
. . . . . . l i l . . . . . . . . l i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 |||||||||I llill l l l l l l l F r e q u e n c y)F i g u r e
8 F i g u r e 1 0E x p e r i m e n t a l p l a t f o r m F F T o fE
R C E S
E 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 6
0 2 4 6 80 12 14 16 18 20~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1.
1~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~Fgr 1 1
s y r s t e r e s p n s e s i g h t l y s l o w e r F i g . S o
. 3 2 5 - 3 4 4 i 1 9 8 9 .p o s i t i o n O t and t h e r e f e r
e n c e f o r t h e c o n t r o l l e r C 2 ( s ) . We [ 2 ] W . Y
i m , a n d S . N . U l i v i , " N o n l i n e a r i n v e r s e a
n d p r e d i c t i v e e n d p o i n t. .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t r a j e
c t o r y c o n t r o l o f f l e x i b l e m a c r o - m i c r o m
a n i p u l a t o r s , "c a n o b s e r v e ho w t h e r e m a i n
i n g o s c i l l a t i o n s a r e n e g l i g i b l e T r a n s a
c t i o n s o f t h e ASME J o u r n a l o f D y n a m i c S y s t
e m s ,i n s t e a d y s t a t e , t h e s e t t l i n g t i m e i
s t s e t = 2 . 6 i s ( S e e ( 1 4 ) ) a n d M e a s u r e m e n t
, a n d C o n t r o l , v o l . 1 1 9 , n o . 3 , p p . 4 1 2 - 4 2
0 , 1 9 9 7 .t h e r e s i d u a l v i b r a t i o n i s s i m i l
a r t o t h a t o b t a i n e d i n [ 3 ] P . K . K h o s l a , a n
d T . K a n a d e , " E x p e r i m e n t a l e v a l u a t i o n o
f n o n l i n e a rs i u l t i n f e e d b a c k a n d f e e d f o
r w a r d c o n t r o l s c h e m e s f o r m a n i p u l a t o r s
, "s l m u l a t 1 o n . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I n t e r n
a t i o n a l J o u r n a l o f R o b o t i c s R e s ea r c h , v
o l . 7 , n o . 1 , 1 9 8 6 .
V CONCLUSION ~ ~ ~ ~ ~ [ 4 ] . F a r d a n e s h , a n d J . R a
s t e g a r , " A n e w m o d e l - b a s e d t r a c k i n gC O N
C L U S I O N ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c o n t r o l l e r f o r r o b o t m a
n i p u l a t o r s u s i n g t r a j e c t o r y p a t t e r n i n
v e r s eI n t h i s w o r k a p r e f i l t e r b a s e d o n t h
e i n v e r s i o n o f a d y n a m i c d y n a m n i c s , " I E E
E T r a n s a c t i o n s R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n
, v o l . 8 , n o .m o d e l o b t a i e dfom t h disretiztionof t
h c o n i n u o u [ 5 ] V . F e l i u , K . S . R a t t a n , a n d
H . B . B r o w n , " M o d e l i n g a n d c o n t r o l o ft r a
n s f e r f u n c t i o n o f t h e a r m h a s b e e n d e v e l o
p e d . An o u t e r s i n g l e - l i n k f l e x i b l e a r m s
w i t h l u m p e d m a s s e s , " : ASME J o u r n a l o fl o o p
b a s e d o n t h e m e a s u r e m e n t o f t h e t o r q u e a t
t h e b a s e o f D y n a m i c s , S y s t e m s , M e a s u r e m
e n t s , a n d C o n t r o l , v o l . 1 1 4 , n o . 1 , p p .t h
e a r m i s a d d e d t o t h e s y s t e m i n o r d e r t o m o d
i f y s l i g h t l y 5 9 - 6 9 , 1 9 9 2 .i t s d n a m i s . i s
alows s t o a c h iv e a y s t e w i t o dd [ 6 ] N . C . S i n g e
r , a n d W . P . S e e r i n g , " P r e s h a p i n g c o m m a n
d i n p u t s t ol t S d n a m 1 s .T 1 salows s to aeh1ve a y s t
e w l t o d d r e d u c e s y s t e m v i b r a t i o n " , ASM E J
o u r n a l o f D y n a m i c s , S y s t e m s ,m u l t i p l e f
i r e q u e n c i e s o f t h e f u n d a m e n t a l o n e . T h e
r e f o r e , M e a s u r e m e n t s , a n d C o n t r o l , v o l
. 1 1 2 , n o . 1 , p p . 7 6 - 8 2 , 1 9 9 0 .
t h e f e e d f o r w a r d c o n t r o l l e r d e s i g n e d
c o n s i d e r i n g o n l y s u c h [ 7 ] B . R . M u r p h y , a
n d I . W a t a n a b e , " D i g i t a l s h a p i n g f i l t e r
s f o r r e d u c i n gf u n d a m e n t a l m o de o f v i b r a t
i o n i s a b l e t o c a n c e l m a c h i n e v i b r a t i o n ,
" I E E E T r a n s a c t i o n s o n R o b o t i c s a n dA u t o
m a t i o n s , v o l . 8 , n o . 2 , 1 9 9 2 .s i m u l t a n e o
u s l y a l l t h e s i g n i f i c a n t m o d e s o f t h e a r m
. S o m e [ 8 ] A . T z e s , a n d S . Y u r k o v i c h , " A n a
d a p t i v e i n p u t s h a p i n g c o n t r o lo f t h e a d v
a n t a g e s o f t h e proposed c o n t r o l a r e : t h e s t r
u c t u r e s c h e m e f o r v i b r a t i o n s u p p r e s s i o
n i n s l e w i n g f l e x i b l e s t r u c t u r e s , "o f t h
e c o n t r o l l e r i s v e r y s i m p l e , s e v e r a l modes
o f v i b r a t i o n I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o n t r
o l S y s t e m s T e c h n o l o g y , v o l . 1 , n o . 2 ,c a n
b e c a n c e l l e d a n d t h e t u n i n g r u l e s a r e s i m
p l e . 1 9 9 3 .[ 9 ] Z . M o h a m e d , J . M . M a r t i n s ,
M . 0 . T o k h i , J . S a i d a C o s t a , M . A .F i n a l l y
, s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ha ve be en r e p o
r t e d i n B o t t o , " V i b r a t i o n c o n t r o l o f a v e
r y f l e x i b l e m a n i p u l a t o r s y s t e m " ,t h i s w
o r k i n o r d e r t o s h o w t h e g o o d n e s s o f t h e p r
o p o s e d C o n t r o l E n g i n e e r i n g P r a c t i c e , v
o l . 1 3 , p p . 2 6 7 - 2 7 7 , 2 0 0 5 .method. [ l O ] J . S h
a n , H . L i u , D . S u n , " M o d i f i e d i n p u t s h a p i
n g f o r a r o t a t i n g s i n g l e -l i n k f l e x i b l e m
a n i p u l a t o r " , J o u r n a l o f S o u n d a n d V i b r a
t i o n , v o l . 2 8 5 ,
VI ACKNOWLEDGMENT ~ ~ ~ ~ ~ p p . 1 8 7 - 2 0 7 , 2 0 0 5 .VI
ACKNOWLEDGMENT ~ ~ ~ ~ [1 ] V . F e l i u , a n d K . S . R a t t a
n , " F e e d f o r w a r d c o n t r o l o f s i n g l e - l i n
kT h i s work h a s b e e n s u p p o r t e d b y t h e S p a n i s
h G o v e r n m e n t f l e x i b l e m a n i p u l a t o r s b y d
i s c r e t e m o d e l i n v e r s i o n " , J o u r n a l o fD y
n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t , a n d C o n t r o
l , v o l . 1 2 1 , D e c e m b e r ,R e s e a r c h Programme w i
t h t h e p r o j e c t D P I 2 0 0 3 - 0 3 3 2 6 . 7 1 3 - 7 2 1 ,
1 9 9 9(MCyT)5 4
