20151 Sm at Deber 11

Página 1 de 16

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S

CAPÍTULO: G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A D E B E R 11

10.1 Rectas en el plano Para los ejercicios del 1 al 6, determine las ecuaciones paramétricas de la recta con las condiciones dadas, expréselas luego en forma simétrica. Grafique el plano cartesiano, usando etiquetas claras.

1) Contiene al punto P 7,−1( ) y es perpendicular al vector V!"= −2

3

"

#$$

%

&'' .

Respuesta: x = 7+3ty = −1+ 2t

"#$

2) Contiene al punto P 1,4( ) y es perpendicular al vector V!"= 2

3

!

"##

$

%&& .

Respuesta: x =1−3ty = 4+ 2t

"#$

3) Contiene al punto P 7,−1( ) y es paralela al vector V!"= −2

3

"

#$$

%

&'' .

Respuesta: x = 7− 2ty = −1+3t

"#$

4) Contiene al punto P 1,4( ) y es paralela al vector V!"= 2

3

!

"##

$

%&& .

Respuesta: x =1+ 2ty = 4+3t

!"#

5) Contiene los puntos P 3,−2( ) y Q 4,4( ) .

Respuesta: x = 3+ ty = −2+6t

"#$

6) Contiene los puntos P −7,2( ) y Q −3,−1( ) .

Respuesta: x = −3+ 4ty = −1+3t

"#$

Página 2 de 16

7) Afirme o niegue que el punto P 2,−1( ) está o no contenido en la recta cuya ecuación

vectorial es: xy

!

"##

$

%&&=

12

!

"##

$

%&&+ t

−13

!

"##

$

%&& .

Respuesta: 1

8) Afirme o niegue que el punto Q 3,2( ) está o no contenido en la recta cuya ecuación

vectorial es: xy

!

"##

$

%&&=

11

!

"##

$

%&&+ t

2−3

!

"##

$

%&& .

Respuesta: 0

9) Pruebe que si ℓ es una recta cuya ecuación vectorial es; ℓ : xy

!

"##

$

%&&=

32

!

"##

$

%&&+ λ

−12

!

"##

$

%&& ,

entonces P 6,1( ) no pertenece a ℓ y Q 5,−2( ) pertenece a ℓ . Respuesta: 1

10) Las ecuaciones vectoriales de dos rectas están dadas por: r1 :xy

!

"##

$

%&&=

51

!

"##

$

%&&+ λ

3−2

!

"##

$

%&&

y r2 :xy

!

"##

$

%&&=

−22

!

"##

$

%&&+ t

41

!

"##

$

%&& , estas rectas se intersecan en el punto P . Calcule la

posición del vector OP! "!!

.

Respuesta: OP! "!!

= 23

!

"##

$

%&&

11) Sea la recta ℓ : xy

!

"##

$

%&&=

16

!

"##

$

%&&+ λ

34

!

"##

$

%&& , calcule las coordenadas de los puntos de ℓ

que están a 10 unidades de distancia del punto P 1,6( ) . Respuesta: 7,14( ) y −5,−2( )

12) Sea r : xy

!

"##

$

%&&=

4−2

!

"##

$

%&&+ λ

11

!

"##

$

%&& , calcule las coordenadas de los puntos de r que están

a 3 2 unidades de distancia del punto P 4,−2( ) . Respuesta: 7,1( ) y 1,−5( )

Para los ejercicios 13, 14 y 15, grafique el cuadrilátero que se forma con los cuatro puntos indicados, usando etiquetas claras, calcule su perímetro, las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadrilátero y demuestre que en cada caso se trata o no de un paralelogramo.

Página 3 de 16

13) P(–1, 3), Q(6, –2), R(8, 2) y S(3, 5).

14) A(3, 7), B(–1, 1), C(11, –3) y D(9, 3). 15) A(–3, –1), B(4, –1), C(3, 4) y D(0, 3).

16) La recta L1 es paralela a la recta L2. Si la distancia de L1 al origen de coordenadas mide

10 unidades, determine su ecuación. 17) Demuestre analíticamente que los tres puntos P(12, 1), Q(–3, –2) y R(2, –1) son colineales.

Grafique usando etiquetas claras. 18) Calcule las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos

extremos son los puntos (–2, 2) y (4, 10). Punto medio: (1, 6)

Puntos de trisección:

0,143

!

"#

$

%&

2, 223

!

"#

$

%&

19) En el triángulo cuyos vértices son x1 , y1( ) ; x2 , y2( ) y x3 , y3( ) . Demuestre que las

coordenadas del baricentro son: x1 + x2 + x3

3,y1 + y2 + y3

3

!

"#

$

%& .

Para los triángulos de los ejercicios del 20 al 23, determinar que tipo de triángulo es por la medida de sus lados, verificar si es rectángulo y probar que se cumple el teorema de la paralela media (Thales). 20) A(–3, 2), B(7, 2) y C(3, 10).

21) A(–1, 3), B(7, –1) y C(3, 5). 22) A(–6, 1), B(2, –7) y C(8, –1).

L2

Página 4 de 16

23) A(–3, –3), B(3, 3) y C −3 3,3 3( ) .

24) Para los vértices A(–3, 2), B(7, 2) y C(3, 10) del triángulo del ejercicio 20, calcule el seno del ángulo del vértice A.

Respuesta: sen A( ) = 45

25) Para los vértices A(–1, 3), B(7, –1) y C(3, 5) del triángulo del ejercicio 21, demuestre que el

baricentro, circuncentro y ortocentro son colineales, y calcule su ecuación. Recta de Euler: 22x −3y −59 = 0

26) Para los vértices A(–6, 1), B(2, –7) y C(8, –1) del triángulo del ejercicio 22, pruebe que se

cumple el teorema del cateto y el teorema de la altura de un triángulo rectángulo.

27) Para los vértices A(–3, –3), B(3, 3) y C −3 3,3 3( ) del triángulo del ejercicio 23, obtenga la ecuación de la recta que contiene el vértice B y forma un ángulo que mide

π4 con el

lado BC .

Respuesta: 3x + y −3−3 3 = 0

28) Determine el valor de α , para que la recta α 2x + (α +1)y +3= 0 sea perpendicular a la recta de ecuación 3x − 2y −11= 0 .

Respuesta: α =131± 7( )

29) Calcule el valor de k , para que la recta de ecuación: kx + (k −1)y −18 = 0 sea paralela a

la recta de ecuación 4x +3y +7 = 0 . Respuesta: k = 4

30) Calcule la ecuación de la recta de pendiente –3 y que contiene la intersección de las

rectas: 4x + 2y −13= 0 y 3x −7y +3= 0 . Respuesta: 6x + 2y −18 = 0

31) Sean las rectas L1: x − 22

=y +11

y L2: 2x + y + 2 = 0, obtenga las coordenadas de su punto

de intersección y la medida del ángulo entre ellas.

Respuesta: P 85,− 65

"

#$

%

&'; α = 90o

32) Determine el valor de λ , para que la recta con ecuación: 4x +5y + λ = 0 forme con los

ejes coordenados un triángulo rectángulo de área de la superficie igual a 2 12 unidades

cuadradas. Respuesta: λ =10;λ = −10

Página 5 de 16

33) La distancia entre las rectas: L1 : 4x +3y −5= 0 y la recta L2 : y = −4x3

, mide, en

unidades: a) 1.00 b) 1.41 c) 1.50 d) 1.75 e) 5.00

Respuesta: a)

34) El punto de intersección de las rectas x = 3+ ty =1− t

"#$ y

x = −1− 2λy = 2+λ

"#$

es:

a) 5,−1( ) b) 2,−4( ) c) −2,−4( ) d) 5,−4( ) e) 5,1( )

Respuesta: a)

35) Si Re =C y p z( ) : z − i = z +1 , entonces Ap z( ) es:

a) L : x − 2y = 0 b) L : x + 2y = 0 c) L : 2x + y = 0 d) L : x − y = 0 e) L : x + y = 0

Respuesta: d)

36) Sean los puntos P1(8, y) y P2(0, –6): (a) Si la distancia entre P1 y P2 es de 10 unidades, determine los valores posibles de y,

y∈ . (b) Determine las coordenadas de los puntos medios M entre P1 y P2. (c) Escriba las ecuaciones en forma simétrica y en forma general de las rectas posibles L

que contengan a los puntos P1 y P2. (d) Grafique las rectas posibles L en el plano cartesiano. (e) Escriba las ecuaciones en forma general de una segunda recta que sea perpendicular

a las rectas L y que contenga al punto P3(–3, 1).

10.2 Secciones cónicas 10.2.a Circunferencia

37) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de

intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio mide 5 unidades.

Página 6 de 16

38) Determine la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación

x2 + y2 −6x + 2y −6 = 0 , y que contiene el punto P(−3, 4). Respuesta: x2 + y2 −6x + 2y −51= 0

39) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es

tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0. Respuesta: x2 + y2 −6x − 2y +6 = 0

40) Determine la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son:

A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7). Respuesta: 4x2 + 4y2 + x − 43y = 0

41) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos A 2,1( ) y B −2,3( ) , y

su centro está contenido en la recta L : x + y + 4 = 0 .

Respuesta: x + 2( )2+ y + 2( )

2= 25

42) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene el punto P 0,−3( ) , cuyo radio

mide 5 unidades y cuyo centro se encuentra ubicado en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Respuesta: x + 2( )2+ y +1( )

2= 5

43) Determine la ecuación de una circunferencia que tiene su centro sobre la recta

L : x + y = 2 y que contiene los puntos A 2,−1( ) y B −2,3( ) . Respuesta: x2 + y − 2( )

2=13

44) Dadas dos circunferencias concéntricas C1 y C2 , de las cuales se conoce la ecuación de la

primera circunferencia C1 : x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 y adicionalmente que C2 es tangente a la recta L : 2x − y +1= 0 . Determine la ecuación en forma canónica de C2 .

Respuesta: x −1( )2+ y + 2( )

2= 5

45) Determine las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados

y contienen el punto P 2,1( ) . Respuesta: x −1( )

2+ y −1( )

2=1; x −5( )

2+ y −5( )

2= 25

46) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen al punto P 11,4( ) y son tangentes a

la circunferencia C : x2 + y2 −8x −6y = 0 . Respuesta: 4x −3y −32 = 0; 3x + 4y − 49 = 0

Página 7 de 16

47) Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto de intersección de las rectas L1 : x − y =1 y L2 : 2x +3y = 22 , y que sea tangente a la recta L3 : 3x + 4y =16 . Encuentre también una recta L4 paralela a L3 y que sea tangente a la circunferencia mencionada.

Respuesta: C : x −5( )2+ y − 4( )

2= 9; L4 : 3x + 4y − 46 = 0

48) Determine los posibles valores de k de modo que la recta L : 2x +3y + k = 0 sea

tangente a la circunferencia C : x2 + y2 +6x + 4y = 0 . Respuesta: k = 25( )∨ k = −1( )

49) Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que

contiene los puntos A 1,3( ) y B 4,6( ) . Respuesta: x −7( )

2+ y2 = 45

50) Determine la ecuación de la circunferencia, cuyo centro está sobre la recta

L1 :6x +7y −16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas L2 :8x +15y +7 = 0 y L3 :3x − 4y −18 = 0 .

Respuesta: x −5( )2+ y + 2( )

2=1

51) La distancia más cercana entre la circunferencia C : x +1( )2+ y −1( )

2= 4 y la recta

L : 3x − 4y −8 = 0 , mide en unidades: a) 1.00 b) 1.25 c) 1.50 d) 1.75 e) 3.00

Respuesta: a) 52) La ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta L : x − 2y +3= 0 y tiene su

centro en el punto P −2,3( ) , es: a) x2 + y2 + 4x −6y +8 = 0 b) x2 + y2 − 4x +6y +8 = 0 c) x2 + y2 − 4x +6y +13= 0 d) x2 + y2 + 4x +6y +13= 0 e) x2 + y2 + 4x +6y +17 = 0

Respuesta: a)

53) Calcule la menor distancia que hay entre la recta 3x − 2y −6 = 0 y la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 −6y +3= 0 .

Página 8 de 16

54) Si una banda se ajusta estrechamente alrededor de dos circunferencias cuyas ecuaciones

son x −1( )2+ y + 2( )

2=16 y x +9( )

2+ y −10( )

2=16 , calcule la longitud de la banda.

Respuesta: 8π + 4 61( )u

55) Determine la ecuación de la circunferencia mostrada en la figura y calcule el área del círculo.

Respuesta: x −1( )2+ y −1( )

2= 2 , 2𝜋

56) Sea la función de variable real cuya regla de correspondencia es:

f x( ) =2, 0 ≤ x < 2x, 2 ≤ x < 3

9− x −3( )2, 3≤ x ≤ 6

#

$

%%

&

%%

Determine el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la región en el plano cartesiano limitada por f y los ejes coordenados, alrededor del eje X .

10.2.b Parábola

57) Indique bajo qué condiciones la ecuación Ax2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 corresponde a

una parábola.

58) Grafique las siguientes parábolas y determine las coordenadas de sus focos, las coordenadas de los vértices, la longitud del lado recto y la ecuación de la recta directriz.

(a) y2 = 4x (b) y2 = −12x (c) x2 = 5y (d) x2 = 72y

59) Grafique las siguientes parábolas y determine las coordenadas de su foco, las

coordenadas del vértice, la longitud del lado recto y la ecuación de la recta directriz.

(a) y − 2( )2= −3 x +3( )

(b) x + 32

!

"#

$

%&

2

= 2 y − 12

!

"#

$

%&

Página 9 de 16

60) Exprese las siguientes ecuaciones de parábola en forma canónica y trace sus gráficas.

Además, determine en cada caso: las coordenadas de su foco, las coordenadas de su vértice y la ecuación de su recta directriz. (a) y2 − 2y +3x −1= 0 (b) 2x2 + 4x − y +3= 0 (c) −x2 + 2x − y = 0 (d) y2 − y + 2x +3= 0

61) Determine las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen, si se conoce que la distancia entre su foco y su recta directriz es igual a 1.

Respuesta: x2 = 2y x2 = −2y y2 = 2x y2 = −2x

62) Determine la ecuación general de la parábola con vértice en P −2,3( ) si la ecuación de su recta directriz es x =1.

Respuesta: y2 +12x −6y +33= 0

63) Determine la ecuación general de la parábola cuyo foco es el origen de coordenadas, la longitud de su lado recto es 2u y su curva es cóncava hacia la izquierda.

Respuesta: y2 + 2x −1= 0

64) Una parábola tiene vértice en V 2,2( ) y foco en F 2,4( ) , determine su ecuación en

forma general. Respuesta: x2 − 4x −8y + 20 = 0

65) Determine las ecuaciones en forma general y canónica de un punto que se mueve en el

plano cartesiano de tal manera que su distancia al origen de coordenadas es igual a su distancia a la recta L : y = −2 .

Respuesta: x2 − 4y − 4 = 0

66) El centro de la circunferencia C : x2 + y2 − 2x − 2y +1= 0 es el foco de la parábola P . Determine la ecuación de P , si su recta directriz tiene por ecuación L : 2x −3= 0 .

Respuesta: y −1( )2= x − 5

4"

#$

%

&'

67) El centro de la circunferencia x2 + y2 + 4x −8y +18 = 0 es el foco de una parábola cuya recta directriz es el eje X. Determine la ecuación en forma general de la parábola.

Respuesta: x2 + 4x −8y + 20 = 0

68) La longitud del lado recto de la parábola P : 2x2 +8x + y +7 = 0 es igual a 4u . a) Verdadero b) Falso

Respuesta: b)

Página 10 de 16

69) Dadas las gráficas adjuntas en el plano cartesiano, se conoce que f tiene como regla de correspondencia f x( ) = 2cos π x( ) . Si la longitud del lado recto de la parábola P es de

4u , determine la ecuación de P .

Respuesta: x −1( )2= −4 y − 2( )

70) Un puente tiene forma de arco parabólico. La altura del arco mide 8m y la distancia entre

sus bases mide 12m. Determina la ecuación del arco parabólico.

Respuesta: x2 −12x + 92y = 0

71) Determine la ecuación en forma canónica de la parábola Y.

Respuesta: y2 = −50 x − 12

"

#$

%

&'

f

P

f(x) = 5sen(2πx)

P

Página 11 de 16

72) Dos parábolas comparten las coordenadas de sus focos. La ecuación de una de las parábolas es y2 −6x − 4y +7 = 0 . Determine la ecuación de la otra parábola si su recta directriz es el eje Y.

Respuesta: y2 − 4y − 4x +8 = 0

73) Los vértices de las parábolas x2 − 2y − 2 = 0 y x2 + 2x + 4y −3= 0 son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determine la ecuación general de la circunferencia.

Respuesta: x2 + y2 + x −1= 0

74) Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los mostrados en la figura.

Respuesta: 𝑥! − 8𝑦 + 8 = 0 10.2.c Elipse 75) Determine la ecuación en forma canónica de la elipse que contiene el punto (2, 1) y cuyo

eje menor mide 4 unidades.

76) La distancia focal de una elipse es igual a 4 unidades. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades, respectivamente. Determine la ecuación en forma canónica de dicha elipse.

Respuesta: x2

16+y2

12=1

77) Determine la ecuación en forma canónica de la elipse que contiene los puntos: 1, 32

!

"##

$

%&& y

2, 22

!

"##

$

%&& .

Respuesta: x2

4+ y2 =1

Página 12 de 16

78) Determine las coordenadas del punto medio de la cuerda que interseca la recta: x + 2y −1= 0 en la elipse de ecuación: x2 + 2y2 = 3 .

Respuesta: 13,−13

"

#$

%

&'

79) Determine la ecuación canónica de una elipse cuya distancia focal es 8 6 unidades y el área de la superficie del rectángulo construido sobre los ejes es igual a 80 u2.

Respuesta: x2

100+y2

4=1

80) Determine la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a

los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) sea igual a 8 unidades.

Respuesta: Se trata de una elipse cuya ecuación es x −1( )

2

1127

+y − 2( )

2

11216

=1

81) Determine los elementos característicos y la ecuación en forma canónica de la elipse de

focos: F'(−3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10 unidades.

82) La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica es de 300 000 km y la excentricidad es de 0.017 aproximadamente. Calcule la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Máximo: a + c = 152 550. Mínimo: a – c = 147 450

83) Determine la ecuación en forma canónica de la elipse, si uno de los vértices está en

V1 5,0( ) y contiene el punto P 2,3( ) .

Respuesta: x2

25+y2

757

=1

84) La base de un auditorio tiene forma elíptica, tiene 20 m de longitud y 16 m de ancho. Si

cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro foco?

Respuesta: F1F2 =12

85) Considere la elipse con ecuación 16x2 + 25y2 −32x −150y −159 = 0 . Determine la ecuación de la parábola que: • Es cóncava hacia arriba. • Su foco está ubicado en el centro de la elipse dada. • Su lado recto es el segmento que une los focos de la elipse dada.

Respuesta: x −1( )2= 6 y − 3

2"

#$

%

&'

Página 13 de 16

86) Los vértices de una elipse son los puntos V1 0,6( ) y V2 0,−6( ) , y sus focos son los puntos F1 0,4( ) y F2 0,−4( ) , entonces la ecuación de la elipse es:

a) x2

4+y2

6=1

b) x2

16+y2

36=1

c) x2

36+y2

16=1

d) x2

20+y2

36=1

e) x2

36+y2

20=1

Respuesta: e)

87) En el plano adjunto se encuentran 2 cónicas, determine la ecuación de cada una en forma canónica y en forma general. Luego identifique todos sus puntos característicos.

88) La elipse E1, que es concéntrica a E2 : 4x

2 +9y2 −8x +18y − 23= 0 , tiene por vértices V1(–3, –1) y V2(5, –1). Si la longitud de su lado recto es 2u, determine la ecuación de E1. Bosqueje las gráficas de ambas elipses en el plano.

Respuesta: x −1( )

2

16+y +1( )

2

4=1

89) Dadas la circunferencia C y la elipse E, las cuales son concéntricas. Se conoce la ecuación

de E: 16x2 + 9y2 + 64x – 18y – 62 = 0 y que C es tangente a la recta x = 0, determine la ecuación de C. Grafique E y C.

Respuesta: x + 2( )2+ y −1( )

2=1

90) Determine la ecuación de la elipse E cuya suma de distancias entre un punto

perteneciente a ella y los focos F1(–1, –8) y F2(–1, 8) es 20u. Luego, calcule la distancia entre el centro de E y la recta L: 10x + 8y – 80 = 0. Grafique E y L en el plano cartesiano adjunto.

LR

Página 14 de 16

91) Determine la ecuación de la elipse mostrada en la figura.

Respuesta: 4𝑥! + 16𝑦! − 64 = 0 92) El centro de la elipse coincide con el vértice de la parábola, además de uno de los focos de

la elipse con el foco de la parábola. Determine la ecuación canónica de la parábola.

Respuesta: (𝑦 − 2)! = 4 7(𝑥 − 5) 10.2.d Hipérbola

93) Indique bajo qué condiciones la ecuación Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 representa una

hipérbola.

94) Indique bajo qué condiciones la ecuación Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 representa 2 rectas. 95) Grafique las siguientes hipérbolas y determine las coordenadas de sus focos, las

coordenadas del centro, la longitud del lado recto. (a) y2 − x2 =1 (b) x2 = 4y2 +16

(c) x2

12−y2

16=1

Página 15 de 16

96) Determine las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas del problema anterior.

97) Grafique las siguientes hipérbolas y determine las coordenadas de sus focos, las

coordenadas del centro, la longitud del lado recto y las ecuaciones de las asíntotas.

(a) y − 2( )

2

16−x −1( )

2

9=1

(b) x +1( )

2

4−y − 2( )

2

16=1

(c) x + 2( )

2

8−y +3( )

2

2=1


99) Exprese las siguientes ecuaciones en forma canónica e indique si se trata de una hipérbola

o 2 rectas. (a) 9x2 −16y2 +18x +96y +9 = 0 (b) 3x2 − y2 −18x +8y +11= 0 (c) 2x2 − y2 −8x −8 = 0


101) Determine todas las ecuaciones canónicas de las hipérbolas con centro en el origen, cuyo

eje trasverso mida 2u y cuyo eje conjugado mida 6 unidades.

Respuesta:

x2

9− y2 =1 y y2

9− x2 =1

102) Determine la ecuación general de la hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje y si se

conoce que su centro es el punto P 1,−1( ) , la longitud de su eje transverso mide 4

unidades y la longitud de su eje conjugado es 6 unidades. Respuesta: 4x

2 −9y2 −8x −18y +31= 0

103) Determine la ecuación general de la hipérbola con centro en el punto O −2,3( ) si uno de

sus focos es el punto F1 1,3( ) y su excentricidad es igual a 32 .

Respuesta: 5x2 − 4y2 + 20x + 24y −36 = 0

104) Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje X son

y = 2x +1 e y = −2x +1 . Determine la ecuación general de la hipérbola si se conoce que la longitud de su lado recto es 4 unidades.

Respuesta: 4x2 − y2 + 2y −1= 0

Página 16 de 16

105) Los focos de la elipse 7x2 +16y2 − 28x +32y −68 = 0 son los vértices de una hipérbola cuyo eje conjugado mide 4 unidades. Determine la ecuación general de la hipérbola.

Respuesta: x2 − 4y2 − 4x −8y −16 = 0

106) Los focos de la hipérbola H1 son los vértices de H2 : 4x2 −9y2 −8x +36y + 4 = 0 . Si la

distancia del centro de la hipérbola H1 hasta uno de sus vértices mide 0.5u y el área de la superficie de su rectángulo auxiliar es 4u2, determine la ecuación de H1. Bosqueje las gráficas de ambas hipérbolas en el plano.

107) Determine la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, vértices en los puntos mostrados y focos en los puntos F1(-‐5,0), F2(5,0).

Respuesta: 16𝑥! − 9𝑦! − 144 = 0

108) La ecuación 2x2 − y2 + 4x −6y +10 = 0 representa: a) Un conjunto vacío. b) Una elipse con centro en O −1,3( ) . c) Una circunferencia cuyo radio mide 1 unidad. d) Una parábola con recta directriz horizontal. e) Una hipérbola con centro en O −1,−3( ) .

Respuesta: e)

109) Si las asíntotas de una hipérbola H tienen por ecuaciones L1 : 2x +3y +1= 0 y

L2 : 2x −3y −5= 0 , su centro es el punto O 1,−1( ) . a) Verdadero b) Falso

Respuesta: a)

110) Se tiene una circunferencia C: x2 + y2 + 2x + 6y + 6 = 0, de la cual se conoce que su punto más distante del eje X es el centro de la hipérbola H. Si uno de los focos de H es el vértice más cercano al eje Y de la elipse E: x2 + 9y2 – 8x + 90y + 232 = 0 y un punto perteneciente a H es (2, 0), determine: a) Las ecuaciones de C y E en forma canónica. b) La ecuación de H en forma canónica. c) La ecuación de H en forma general. d) Las ecuaciones de las asíntotas oblicuas de H.

Documents

20151 Sm at Deber 11