1.2 - Lista Referente a SLIDE 1

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LISTA DE EXERCÍCIOSDisc.: CÁLCULO IProf. João Paulo

“Conceito de Derivadas e Regras de Derivação”

PARTE I – CONCEITO DE DERIVADA

1. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da reta tangente à parábola f ( x )=−x2+4 x no ponto P= (1,3 ) .

a) Use a primeira forma de derivada.

b) Use a segunda forma de derivada.

c) Encontre a equação da reta tangente em P.

d) Faça um esboço do gráfico da parábola e da reta tangente em P.

2. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado. (Use a definição de derivada).

a) f ( x )= x−1x−2

P=(3,2); b) f ( x )=√x P=(1,1)

3. Uma partícula começa se movendo para a direita ao longo de uma reta horizontal; o gráfico de sua função

posição X tempo está abaixo. Use o conceito de derivada e responda:

a) Quando a partícula está se movendo para a direita?

b) Quando a partícula está se movendo para a esquerda?

c) Quando a partícula está parada?

d) Trace um esboço do gráfico da velocidade da partícula.

4. Estão dados os gráficos das funções posições de dois corredores, A e B, que correm 100 metros rasos e

terminam empatados. Dado: Equação do espaço X tempo do

corredor B:

SB ( t )=0,47 t2+0,54 t+0,16

a) Descreva e compare como os corredores correram a prova.

b) Qual a equação do Espaço X tempo do corredor A?

c) Qual a velocidade do corredor A?

d) Em que instante a distância entre os corredores é maior?

e) Qual a distância máxima entre eles?

f) Em que instante eles tem a mesma velocidade?

5. Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade inicial de 10 m/s, sua altura (em

metros) depois de t segundos é dada por h¿.

a) Qual a altura da pedra após 3 segundos?

b) Qual a fórmula da velocidade da pedra?

c) Qual a velocidade da pedra 2 segundo? E aos 4 segundos?

d) Quando a pedra atingirá a superfície?

e) Qual a velocidade com que a pedra atinge a superfície?

f) Qual a equação da aceleração da pedra em função de t?

(Esse será o valor da aceleração da gravidade “g” em Marte.)

[IFCE – Campus Limoeiro do Norte] – [[email protected]]

6. Para a função g cujo gráfico é dado ao lado, arrume os seguintes números em ordem crescente e explique o seu

raciocínio: g (2 ) , g' (−2 ) , g' (0 ) , g ' (2 ) e g' (4 )

7. Se f ( x )=3 x2−5 x, encontre a equação da reta tangente à curva de f no ponto de abscissa x=3. Esboce o

gráfico de f e sua reta tangente em x=3.

8. Calcule a derivada das funções abaixo usando uma das formas de limite que define a derivada.

a) f ( x )=4 x2−2 x+3 c) h ( x )=x4

b) g ( t )=2 t+1t+3

d) k ( s)= 1

√ x+2

9. O custo (em reais) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C ( x )=5000+10x+0,05 x2

a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem variando:

i ¿ de x=100 a x=105 ii¿ de x=100 a x=101

b) Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x=100.

(Isso é chamada de Custo Marginal e representa o valor aproximado do custo de produção de uma

unidade, quando se produziu 100 delas.)

10.Se um tanque cilíndrico comporta 100 000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora,

então a Lei de Torricelli fornece o volume V (em litros) de água que restou no tanque após t minutos como:

V (t )=100 000(1− t60 )

2

com 0≤ t ≤60

a) Encontre a taxa pela qual a água está escoando para fora do tanque (a taxa instantânea da variação de V em

relação a t , o mesmo que vazão instantânea) como uma função de t . Quais são suas unidades?

b) Para os instantes t=0 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 e 60 minutos, a quantidade de água restante no tanque e

encontre a taxa do escoamento instantâneo (vazão instantânea).

c) Em que instante a taxa de escoamento é máxima? E quando é mínima?

11.Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas

escolhas.


PARTE II – REGRAS DE

DERIVAÇÃO

12. Encontre a derivada das funções abaixo de duas maneiras:

1ª Use a regra do Produto ou do Quociente.

2ª Simplifique a expressão, multiplicando ou dividindo os termos, e depois aplicando a Regra do

Tombo (ou derivada da potência).

a) f ( x )=( 2x3+3 )( x4−2 x) b) f ( x )= x−3 x √x√ x

Os resultados são os mesmos?

13. Calcule a derivada das funções abaixo, usando as Regras de Derivação:

a) f ( x )=x3−4 x+6 b) f ( x )=x−25 c) f ( x )=√x−2ex

d) f ( x )= x2+4 x+3√x

e) f ( x )= (x−2 )(2 x+3) f) f ( x )= x2−2√xx

g) f ( x )=( 2x3+3 ) (x4−2x ) h) f ( x )=1−x ex

x+exi) f ( x )=tgx

j) f ( x )=secx k) f ( x )=cossecx l) f ( x )=cotgx

m) f ( x )=senx+10 tgx n) f ( x )= secx1+secx

o) f ( x )=x ex cossecx

14. Ache os pontos sobre a curva f ( x )=2x3+3 x2−12x+1 onde a reta tangente é horizontal.

15. Trace um diagrama para mostrar que há duas retas tangentes à parábola y=x2 que passam pelo ponto

(0 ,−4). Encontre as coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes interceptam a parábola.

16. A curva y=1

(1+ x2) é chamada Bruxa de Maria Agnesi. Encontre uma equação da reta tangente para essa

curva no ponto ¿).

17. Denominamos DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR de uma função f a n-ésima derivada da função, onde

n≥2. Assim, f ' ' ( x ), é a segunda derivada da função f , isto é,

f ' ' ( x )=[ f ' ( x )] '


Ou seja, f ' ' (x ), é a derivada da derivada da função f .

Quando n≥3, escrevemos f (n), para representar a n-ésima derivada de f .

Assim, por exemplo, f (3 )(x ) é o mesmo que derivar a função f três(3) vezes.

Calcule as derivadas de ordem superior das funções:

a) f ( x )=x3+3 x2+4 x f (3) ( x )

b) f ( x )= x

ex f (100) (x )

c) f ( x )=cosx f (27) ( x )

18. Se f ( x )=ex g ( x ), onde g (0 )=2 e g' (0 )=5, encontre f '(0).

19. Se f e g são funções cujos gráficos estão ilustrados, seja

u ( x )=f ( x ) . g (x) e v ( x )=f (x )/g (x). Calcule:

a) u' (1)

b) v ' (5)

c) [u ( x ) . v ( x ) ¿¿' (5)

d) [ u ( x )v ( x ) ]

'

(1)

20. Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa. Sua equação de movimento é

x (t )=8 sent , onde t está em segundos e x, em centímetros.

a) Encontre a fórmula da velocidade e da aceleração no instante t .

b) Encontre a posição, velocidade, e a aceleração do corpo no instante t=2π3

. Em que sentido ele está se

movendo nesse instante?

21. Use a REGRA DA CADEIA para derivar as seguintes funções.

a) f ( x )=( 1−x2 )10b) f ( x )=e√ x c) f ( x )=sen (e2x)

d) f ( x )= (1+4 x )5 ( 3−x+x2 )8 e) f ( x )=( x2+1x2−1 )

3

f) f ( x )=excosx g) f ( x )=tg(cosx) h) f ( x )=2senπx

i) f ( x )=se n2(esen2 x) j) f ( x )=sen (sen (senx )) k) f ( x )=23x2

l) f ( x )=ln (x2+10) m) f ( x )=log2(1−3x) n) f ( x )= 5√lnx

o) f ( x )=ln (e−x+xe− x) p) f ( x )=2x log10√x q) f ( x )=ln (x ex2

)



Possível Gabarito(Qualquer discordância de resultado, por favor, comunique.)

Q1] a) e b) tgθ=f ' (1 )=2 c) y=2x+1 d)

Q2] a) y=− x+5 b) y=12x+ 1

2

Q3] a) 0< t<1 e 4<t<6 b) 2<t<3 c) 1<t<2 e 3<t<4

d)

Q4] a) O corredor A faz a prova a uma velocidade constante, visto que o gráfico da função Espaço por Tempo é uma reta, e nesse caso, a taxa de variação (velocidade) instantânea é sempre igual taxa de variação média. O corredor B começa a corrida a uma velocidade mais lenta do que o corredor A, mas termina a corrida a uma velocidade mais rápida. Basta perceber que a inclinação da reta tangente à curva Espaço por Tempo, começa pequena e vai aumentando, nesse caso, a taxa de variação instantânea é diferente em cada momento.

b) Basta encontrar a equação da reta conhecido dois pontos (0,0 ) e (14,100), isto é: SA ( t )=507t

c) Basta derivar a função espaço por tempo, isto é: V A (t )=S'A (t )=50

7≅ 7,14 m /s

d) Vamos fazer a função diferença de espaço:

d ( t )=S A ( t )−SB (t )=507t−( 0,47 t2+0,54 t+0,16 )

d ( t )=−0,47 t 2+ 4622700

t−0,16→d ( t )=−329 t2+4622t−112700

Como a função diferença de espaço é uma parábola com concavidade para baixo, então ela assume um valor

máximo no seu vértice. Logo, a maior diferença entre os corredores é no t v da parábola, isto é:

dmá xima emt v=−b2a

=

−4622700

2(−329700

)≅ 7,02 segundos

e) A distância máxima é justamente o valor da distância no tempo 7,02 segundos, isto é:

dmá xima=d (7,02 )=−329 (7,02 )2+4622 (7,02 )−112700

≅ 23,03m


f) Os corredores tinham a mesma velocidade quando a inclinação da reta tangente à curva de B, for igual à inclinação da reta de A, isto é, quando as derivadas de suas respectivas funções do espaço por tempo, forem iguais, ou seja:

V A (t )=S'A (t )=S'

B ( t )=V B (t)

7,14=(0,47 t2+0,54 t+0,16) '7,14=0,94 t+0,54t ≅ 7,02 segundos

Note que o momento em que a velocidade de B é a mesma de A é exatamente o momento em que a distância entre os mesmos é máxima, isso por que B começou mais lento do que A, e a partir de 7,02 segundos se tornou mais rápido e irá diminuir a distância entre eles, até chegarem iguais aos 100 metros.

Q5] a) h (3 )=13,26m

b) v (t )=h ' (t )=10−3,72 tc) v (2 )=2,56m /s e

v ( 4 )=−4,88m /s (já estava descendo).

d) h (t )=0⇒10 t−1,86 t 2=0⇒ t ≅ 5,37 segundos .e) v (5,37 )=−8,6m / sf) a (t )=v ' (t )=−3,72m /s2

Q6] a) g' (0 )<g (2 )<g' ( 4 )<g' (2 )<g' (−2)

Q7] t : y=13 x−27

Q8] a) f ' ( x )=8 x−2 b) g' (t )= 5

( t+3 )2c) h ' ( x )=4 x3 d)

k ' (s )= −1

2√( s+2 )3

Q9] a) i ¿ R$ 20,25/unidade ii) R$ 20,05/unidade

b) C ' (100 )=R $20,00 /unidade

(Assim, o custo Marginal de 100 unidades é R$ 20,00, isto é, cada uma das unidades custou R$ 20,00 em média, para ser produzida.)

Q10] a) A taxa de variação instantânea de V em relação a t , é a velocidade instantânea de vazão da água, e é

justamente a derivada de V em t , isto é:

V ' (t )=5009

(t−60 )

A unidade de medida da taxa de variação instantânea (ou velocidade de vazão) no caso, é: litros /min.

b)


Tempo(em minutos) V (t )=100 000(1− t

60 )2

V ' (t )=5009

(t−60 )

0 100 000 litros -3333.3 litros/min10 69 444,4 litros -2777.7 litros/min20 44 444,4 litros -2222.2 litros/min30 25 000 litros -1666.6 litros/min40 11 111,1 litros -1111.1 litros/min50 2 777,7 litros -555.5 litros/min60 0 litros 0

Note que, quanto menos líquido há no tanque, mas menor é a velocidade de vazão da água, isto por que, diminui a pressão sobre o líquido.


c) Note que a função V ' (t) que representa a taxa de escoamento instantânea (vazão instantânea) é do primeiro

grau. Logo seu gráfico é uma reta inclinada para cima, visto que o coeficiente angular da reta é a=5009

>0.

Logo, a vazão é máxima quando t=0min e é de 3333,3 li tros /min e é mínima quando t=60min e é de

0 litros /min

Q11] a-II b-IV c-I d-III

Q12] a) f ' ( x )=5 x4+3 x2+2x b) f' ( x )= 1

2√x−3

Os resultados coincidem.

Q13] a) f ' ( x )=3 x2−4 b) f ' ( x )=−25

x−7

5 c) f' ( x )= 1

2√x−2ex

d) f' ( x )=3

2√ x+ 2

√x− 3

2 x √xe) f ' ( x )=4 x−1 f) f ' ( x )=√x+x2

x2

g) f ' ( x )=14 x6−4 x3−6 h) f' ( x )=−1−e x

(x+ex )2i) f ' ( x )=sec2 x

j) f ' ( x )=secx .tgx k) f ' ( x )=−cossecx . cotgx l) f ' ( x )=−cosse c2 x

m) f ' ( x )=cosx+10 sec2 x n) f' ( x )= secx . tgx

(1+secx )2o)f ' ( x )=e xcossecx (−xcotgx+x+1)

Q14] Se a reta tangente é horizontal, então o ângulo de inclinação é zero e portanto a tangente deste ângulo, que é a derivada da função, é igual a zero. Portanto, devemos encontrar os pontos x, tais que:

f ' ( x )=0isto é:

f ' ( x )=6 x2+6 x−12=0ou seja, basta encontra as raízes da equação acima, isto é: P=(−2,21) e Q=(1 ,−6)

Q15] P=(2,4) e Q=(−2,4)


Q16] r: y=12x+1

.


Q17] a) f (3) ( x )=6 b) f(100) (x )=100+x

ex c) f (27) ( x )=senx

Q18] f ' (0 )=7

Q19] a) u' (1 )=0 b) v' (5 )=−2

3c) [u ( x ) . v ( x ) ¿¿' (5 )=−2 d)

[ u ( x )v ( x ) ]

'

(1 )=−2

Q20] a)v (t )=8cost ; a (t )=−8 sent b) 4 √3; −4; −4√3; para à esquerda.

Q21] a) f ' ( x )=−20 x (1−x2 )9 b) f' ( x )= e√ x

2√xc) f ' ( x )=2e2x .cos (e2 x )

d) f ´ ( x )=4 (1+4 x )4 (3−x+x2 )7 ( 17+9 x−21 x2) e) f ' ( x )=−12x (x2+1 )2

(x2−1 )4

f) f ' ( x )=(cosx−xsenx ) excosx

g) f ' ( x )=−senx . sec2(cosx ) h) f ' ( x )=2senπx(πln2)cos (πx)i) f ' ( x )=4 sen (esen2 x)cos (esen2 x) ese n

2x senx . cosx

j) f ' ( x )=cos ¿

k) f ' ( x )=2. 23x2

.3x2

. ln 3. ln 2.x l) f' ( x )= 2 x

x2+10m) f

' ( x )= 3(3 x−1 ) ln 2

n) f' ( x )= 1

5 x 5√¿¿¿o) f ' ( x )= −x

1+xp) f ' ( x )= 1

ln 10log10

x

q) f ' ( x )=1+2x2

x


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