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Física 2º bachillerato Interacción gravitatoria 1

INTERACCIÓNGRAVITATORIA

1. Teorías y módulos.2. Ley de gravitación universal de Newton.3. El campo gravitatorio.4. Energía potencial gravitatoria.5. El potencial gravitatorio.6. Movimientos de masas en campos de fuerzas

gravitatorias.


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Los conocimientos previos que son necesarios dominar y ampliar son:

•Las fuerzas de pesos, rozamiento, y normales.

•La fuerza resultante.

•El módulo, la dirección y el sentido de las vectores.

•Diferenciar entre vector y escalar.

•Las energías mecánicas, cinética y potencial.

•

El trabajo.

•Las fuerzas conservativas y disipativas.

•La fuerza gravitatoria (ley de gravitación universal).

0. CONOCIMIENTOS PREVIOS


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1. TEORÍAS Y MODELOS.Los modelos sobre el sistema solar han ido evolucionando:

• Teorías geocéntricas:Todo gira en torno a la Tierra y las

estrellas son el límite del universo.

– Modelo de Aristóteles (384-322

a.

de C.):Los cuerpos celestes giran enesferas concéntricas alrededorde la Tierra.

– Modelo de Ptolomeo (100-170 a.de C.):

La Tierra inmovil en el centro deluniverso.

Los planetas (excepto el Sol y laLuna) realizan un movimientoalrededor de la Tierra(deferente) y otro orbital de giro(epiciclo).

• Teorías heliocéntricas:Todo gira alrededor del Sol, es el centro.

– Modelo de Copérnico (1473-1543):

La Tierra gira alrededor del Sol,

como el resto de los planetas.La diferencia angular con las

estrellas es inapreciable por sugran distancia.

– Modelo de Galileo (1564-1642):

Introdujo teorías divinas en elheliocentrismo enfrentándose a lainquisición.

– Modelo de Kepler (1571-1630).


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1. TEORÍAS Y MODELOS.Las leyes de Kepler son:

• Primera ley (ley de las órbitas):

Los planetas describen órbitas elípticas (no circunferencia) planas alrededor delSol, el cual se encuentra situado en uno de los focos.

• Segunda ley (ley de las áreas):El radiovector de los planetas respecto al Sol barre áreas iguales de la elipse en

tiempos iguales, su velocidad no es constante.

• Tercera ley (ley de los periodos):

Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol sonproporcionales a los cubos de las distancias (radios) medio de sus órbitas.

Posteriormente fue reformulada de manera más precisa indicando que loscuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol sonproporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.


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1. TEORÍAS Y MODELOS.

El perihelio es el punto de la órbita máspróximo al Sol y el afelio es el punto dela órbita más alej

ado del Sol (en laórbita terrestre se les denominaperigeo y apogeo respectivamente).

Sol

Foco Eje menor

Afelio

b

a

Eje mayor

Perihelio

1 de enero

r enero1

Sol A A

r julio1

30 deenero

30 de julio

1 de julio

2 3T k r


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1. TEORÍAS Y MODELOS.Las principales nociones actuales sobre el sistema solar

son:

• Los planetas tienen un movimiento de rotación ytraslación (suelen ser perpendiculares).

• Las órbitas son elípticas y planas.

• Las órbitas planetarias están casi en el mismo plano.

• Los movimientos planetarios tienen el mismo sentido.


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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.La ley de gravitación universal de Newton indicaque todos los cuerpos del universo se atraen con unafuerza que es directamente proporcional al productode sus masas e inversamente proporcional alcuadrado de las distancias que las separa.

La línea de acción de dicha fuerza es la de la recta

que los une.

Como todas las fuerzas se miden en newton (N).

1 2

2 g r m m F G u

d

211

26,67 10 N mG

kg

F

F

r

r u

m1

•

m2

•


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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

1 2

2 g r

m m F G u

d

g

x

y

z

r

m

m’

La ley de gravitación universal se puedeexpresar:

• De forma vectorial:

• De forma escalar:

En ambos casos el signo menos indica quees una fuerza de atracción.

1 2

2 g

m m F G

d


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Demostración de la tercera ley de Kepler apartir de la ley de gravitación universal:

22

2222 3 32 4

2

g

c

m M

F G m M m v G M d G v

G M r d d d m vT r K r F

d T G M d

s r v

t T


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Las fuerzas gravitatorias sonvectoriales, por lo que lasfuerzas que actúan sobre unamasa cualquiera de un conjunto

de masas es igual a laresultante vectorial de lasfuerzas que las demás ejercensobre ella, considerando a cadauna de ellas individualmente

(principios de superposición delas fuerzas).

r 1

r 2

r 3

g1

g2g 3

g3

g T

m1

m2

m3

P

,1

2

n

T i

i

F F


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EJERCICIO-EJEMPLODos masas iguales, M = 20 kg, ocupan

posiciones fijas separadas por unadistancia de 2 m, según indica la figura.Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se sueltadesde el reposo en el punto A,equidistante de las dos masasanteriores y a una distancia de 1 m dela línea que las une (—AB = 1 m). Si noactúan más que las accionesgravitatorias de las masas, determina:

a) La fuerza ejercida (módulo, dirección ysentido) sobre la masa m’ en la posición

A.b) Las aceleraciones de m’ en las posiciones

A y B.

Dato: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2.



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RELACIÓN DE EJERCICIOS

FUERZAS GRAVITATORIAS



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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.Un campo es una región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la

presencia de una partícula.

Toda masa (m) crea a su alrededor un campo de fuerzas en el espacio que lorodea que interaccionará con cualquier cuerpo (m´) situado dentro del campo.

Para describir un campo tengo:

• Magnitudes que definen el campo: – Intensidad.

– Potencial.

• Magnitudes inherentes a la interacción del campo con la partícula: – Fuerza.

– Energía potencial


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.

La intensidad de campo gravitatorio (g) en un punto es unamagnitud vectorial que representa la fuerza por unidad de masa endicho punto. Es una perturbación de las propiedades del espacio querodea a un cuerpo material, en el sentido de que cualquier otrocuerpo material, colocado en esa zona del espacio, es atraído hacia elprimero.

Su dirección es la línea recta que une la masa con el punto y susentido del punto al cuerpo.

Se mide en Newton por kilogramo (N/Kg)

2

g

r F m g G um d

m1 m22,1F

1,2F

1u

2u

r


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.Según el principio de superposiciónla intensidad de campo gravitatorioen un punto, debido a la acción devarias masas puntuales, es la sumavectorial de las intensidades decampo en dicho punto creadas porcada una de las masasindividualmente eindependientemente.

Cuando un cuerpo se ve sometidosimultáneamente a la acción devarias fuerzas, el efecto resultantees igual a la suma (vectorial) de losefectos que experimentaría siestuviera sometido a cada una delas fuerzas individuales.

1

n

T i

i

g g

r 1

r 2

r 3

g1

g2g 3

g3

g 1

g T

m1

m2

m3

P


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.

El campo gravitatorio es uncampo conservativo, el trabajorealizado por las fuerzas(conservativas) del campo parallevar una partícula de un puntoa otro depende solo de losestados inicial y final (y no del

camino recorrido).

La energía mecánica seconserva.

El trabajo realizado en un campoconservativo a lo largo decualquier trayectoria cerrada escero. m

m’ A

B

1

2

3

2 2

1 1 B

B B B

A B A A A

A

m M W F d r G d r G m M d r G m M

r r r


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.Hay tres modos de definir un campode fuerzas conservativo:

•Aquel en el que el trabajo realizadopor las fuerzas de campo no dependede la trayectoria.

•Aquel en el que el trabajo de lasfuerzas del campo a lo largo decualquier trayectoria cerrada valecero.

•Aquel en el que existe una funciónde Ep tal que: m

m’ A

B

1

2

3

B

A

r

A B P A P Br

W F dr E r E r

B

A B A C B A D B A

W F d r W W

0 B

A B A B A A

W F d r W F d r


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EJERCICIO-EJEMPLO

En tres vértices de un cuadrado de 5 m delado se disponen sendas masas de 12 Kg.Determinar el campo gravitatorio en el

cuarto vértice y el trabajo realizado porel campo para trasladar una masa de 12Kg desde el cuarto vértice hasta el

centro.



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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.Las líneas de campo (o líneas de fuerza) representan los campos de fuerza. Son

líneas imaginarias y tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.

Su sentido es entrante hacia la masa que origina el campo. No tienen origendefinido (no tiene fuentes – puntos donde empiezan las líneas de campo-, perosí sumideros - puntos donde terminan las líneas de campo- ). Indica el sentidoen que se movería la unidad de masa al colocarla en ese punto.

El número de líneas de fuerzas por unidad de superficie es proporcional al valorde la intensidad de campo, a mayor densidad mayor es el valor.

El módulo del vector intensidad de campo viene dado por la densidad de líneas decampo. La dirección es la tangente a la línea de campo. El sentido correspondea la fuerza sobre una masa en el punto.

El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes.

Las líneas de campo no pueden cortarse.


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.Representaciones de líneas de campo:

Al representarlo debo dibujar un vector dirigido hacia la partícula que crea elcampo y el módulo debe ser mayor cuanto más cerca esté de dicha partícula.

La línea de campo coincide con la fuerza que experimenta una masa que secolocara en el punto informando sobre la aceleración que obtendría esa masa enese punto

m MM

r u

g

u

g

g

g

g

g

g

g


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3. EL CAMPO GRAVITATORIO.El campo gravitatorio terrestre es el originado por el planeta

Tierra.Se toma el planeta como una masa puntual y la distancia a lasuperficie se suma a la del radio del planeta.

El módulo de la intensidad de campo gravitatorio terrestre enun punto de la superficie del planeta coincide con el valor de laaceleración de la gravedad en dicho punto.

El peso (fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo en lasuperficie) se calcula a partir de esta ecuación.

En la superficie de la Tierra (h=0) su valor es de 9,8 m/s2. Laintensidad de campo gravitatorio de un planeta es máxima en lasuperficie.

El campo gravitatorio en el interior de la Tierra solo es debidoa la masa contenida en una esfera que pasa por ese punto

2( )

T T r

T

M g G u

R h

r = RT+h

P

A

h

RT

24

6

5,97 10

6,37 10

T

T

M kg

R m

T P m g


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EJERCICIO-EJEMPLO

¿A qué altura sobre la superficie de laTierra se debe encontrar un cuerpo paraque su peso disminuya un 10 % respecto

del que tiene en la superficie?

Dato: radio de la Tierra = 6370 km.



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CAMPOS GRAVITATORIOS



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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.La energía potencial gravitatoria es una magnitud escalar que indica eltrabajo realizado por las fuerzas de campo.

Es una función de la posición que ocupa el cuerpo.

Es una medida de la capacidad de la posibilidad de realizar un trabajo

sobre una partícula susceptible de moverse bajo la acción de lasfuerzas de una campo.

Es la energía de una masa por estar en presencia de otra masa.

La energía potencial total será la suma algebraica de las energíaspotenciales correspondientes a cada partícula de manera individual eindependiente.

Lo que realmente interesa no es el valor de la energía potencial sino susvariaciones.

1 2m m Ep Gd


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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.Según el teorema de la energía potencial en un campo de fuerzasconservativas, el trabajo realizado por las fuerzas de campo para llevaruna partícula de A a B es igual a la variación de energía potencialcambiada de signo.

Así, el valor de la energía potencial coincide con la del trabajo realizadopor las fuerzas del campo para llevar una partícula desde el punto en elque se encuentra hasta un punto donde la energía potencial valga cero(en el infinito).

Cuando el trabajo es positivo es espontáneo, lo realiza el campo (yviceversa, si es negativo es realizado en contra del campo-necesito defuerzas externas a él-). Esto es debido al signo negativo intrínseco delas energías potenciales.

( ) A B B A A BW Ep Ep Ep Ep Ep


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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.

La energía potencialgravitatoria terrestreserá la originada por el

planeta Tierra (MT )sobre una masa (m)situada a una distancia(h) del centro de la

Tierra.( )

T

T

M m Ep G

R h

Ep r RT

R

MGU

T

T0


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5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.

El potencial gravitatorio en un punto es una magnitudescalar que se define como la energía potencial gravitatoriapor unidad de masa en ese punto.

Se mide en J/kg.

Se corresponde con el trabajo (cambiado de signo) que haceel campo gravitatorio para traer una masa de 1 kg desde elinfinito hasta un punto.

1

... ( )

n

T i

i

A B A B

Ep mV G

m d

V V

W Ep m V V


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El potencial gravitatorioterrestre será eloriginado por el planeta

Tierra.

( )

T

T

M V G

R h

Ep r RT

R

MGU

T

T0


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Las superficies equipotenciales son lugares geométricos del espacioformados por la unión de puntos con el mismo valor de potencial. Hay unasuperficie equipotencial para cada valor de potencial.

Son perpendiculares a las líneas de campo y forman planos paralelos.

El trabajo para mover una masa dentro de una superficie equipotencial esnulo.

El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Si la partícula semueve bajo la acción de las fuerzas de campo (en la dirección espontáneaque le indica el campo) lo hará disminuyendo su potencial (y su energíapotencial).

La dirección en la que la variación de potencial por unidad de longitud esmáxima es la de la perpendicular a las superficies equipotenciales.


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Representaciones de superficies equipotenciales:

Líneas de campo

Superficies equipotenciales

m M


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EJERCICIO-EJEMPLOUn satélite artificial de 1,2 t de masa se eleva a una distancia

de 6 500 km del centro de la Tierra y recibe un impulso,mediante cohetes propulsores, para que describa unaórbita circular alrededor de ella.

a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para quetenga lugar este movimiento? ¿cuánto tardará en realizarun ciclo?

b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas delcampo gravitatorio al llevar el satélite desde la superficie

de la Tierra hasta esa altura?c) ¿Cuál es la energía total del satélite?

Datos: radio de la Tierra = 6360 km; g0 = 9,8 m s–2.



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ENERGÍA POTEMCIAL Y

POTENCIAL



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6. MOVIMIENTOS DE MASAS ENCAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.

Un satélite es un cuerpo con una masa (m) que gira en unaórbita circular estable en torno a la Tierra.

Sobre él actúa la fuerza de atracción gravitatoria

terrestre que es igualada por la fuerza centrípeta.

Poner en órbita un satélite requiere un consumo de energíaigual a la energía necesaria para colocarlo a la altura

deseada más la energía que hay que comunicarle para queadquiera la velocidad orbital buscada.


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La velocidad de escape es la mínima velocidad quedebe adquirir, en la posición que esté, paraescapar de la acción del campo gravitatorio.

La energía de amarre o de ligadura o de escape

es la energía máxima menor de la cual no esposible escapar de la acción del campogravitatorio.

2 210 ( )2

T T e e

M m G M Ec Ep m v G v R R

T M m

Ep G R


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La velocidad de orbitar (o velocidad orbital) es lavelocidad para que la masa realice una órbitaalrededor de la masa que origina el campo.

El periodo de revolución del satélite es el tiempo

necesario para realizar una órbita.

La energía orbital es la energía mecánica cuandoestá en una órbita circular.

La energía necesaria para cambiar de órbita (paraelevarlo el trabajo es positivo y viceversa):

2

2

o T o

v G M M m Fg Fc G m v

d d R

2

o

r T

v

FF CG

FG

2

21 1 1( )2 2 2

o

M m M G M m M m E Ec Ep m v G m G G

d d d d

1 2

1 2

1 1

2

M m E G

r r


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6. MOVIMIENNTOS DE MASAS ENCAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.

En función de la energía puedoconocer la forma de laórbita:

E=Ec+Ep•

Circunferencia (cerrada).E≤Eo• Elipse (cerrada).

EEp

Sol


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Sir

mMG

2

1ET CIRCUNFERENCIA

Si 0Er mM

G2

1T ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

Si ET = 0 Ec = Ep

Si ET > 0 Ec > Ep


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Un satélite geoestacionario es el que seencuentra siempre sobre el mismo punto de laTierra, su periodo coincide con el movimiento

de rotación de la Tierra (periodo de 24h).

Las órbitas geoestacionarias corresponden aalturas elevadas (>36.000 km) y suelen serórbitas ecuatoriales para aplicacionesmetereológicas y de comunicaciones.


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EJERCICIO-EJEMPLO

Un satélite artificial se desplaza en unaórbita circular a una altura de 300 kmsobre la superficie de la Tierra. Calcula:

a) Su velocidad de orbitar.b) Su periodo de revolución.c) Su aceleración centrípeta.

Datos: radio de la Tierra = 6370 km; g0 = 9,8m s–2.



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MOVIMIENTOS DE MASAS

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