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G.BatignaniLezioni sulla violazione di CP

Referenze:

• I.Bigi- A.Sanda “CP violation” , Cambridge University Press (http://www.cambridge.org)

• Preadazzi – Leader “An introduction to gauge theories and modern particle Physics”

• Perkins, ... , IV edizione

• Williams cap. VI , cap XIV

Violazione di CP (P parita’ spaziale, C coniugazione di carica):• scoperte nei K: 1964 Cronin, 1993-1999 NA31-NA48-E731• 1964-2002 lungo sviluppo teorico (non concluso...)• individuata nei B (1999 BELLE, BABAR) (rosso=Pisa)

Warning! gli autori possono usare diverse convenzione sulle fasi, per cui possono aversi le due situazioni differenti qui sotto elencate. Noi utilizziamo quella di Williams (a sinstra evidenziata in giallo). Predazzi utilizza quella di destra!

01

10CP

KKCP

KKCP

01

10CP

KKCP

KKCP

2

Lezioni sulla violazione di CP

CP fondamentale per:• test fisica fondamentale: SM or beyond (GUT-minimo, GUT-SUSY)? • ruolo fondamentale delle simmetrie: si pensava fosse esatta!• definizione “assoluta” di materia e antimateria• possibile connessione con bariogenesi

OUTLINE:1. Riepilogo di C,P,T in fisica classica e quantistica esperimenti per la misura

della loro violazione, in particolare sui momenti di dipolo elettrico (EDM)2. Connessione con bariogenesi esperimenti sul decadimento del nucleone3. Riepilogo sui K: oscillazioni e rigenerazione4. Violazione di CP nei K esperimento di Cronin; La violazione diretta di CP

esperimenti su ’/5. Violazione di CP nel modello standard previsioni per i mesoni B6. Violazione di CP nei B esperimenti attuali (BELLE, BABAR)

3

C,P,T – generalità – parte 1

 Remind:

• trasformazione ATTIVA: trasforma il sistema fisico (per noi è il DEFAULT)

• trasformazione PASSIVA: trasforma il sistema di coordinate (o dei tempi)

I due punti di vista sono perfettamente equivalenti! Ref: Williams cap. VI (pag 144)

Definizione di P : R R (posizione)Definizione di C : particella anti-particella, scambio carica elettrica, stranezza, ....Definizione di T : t -t (scambio stati iniziale e finale)

Nota su P: parità = visione allo specchio + rotazione di !!

xz

y

Specchio (rovescia solo l’asse z)

x

-z

y

Rotazione di Attorno all’asse z

-z

-y

-x

4

C,P,T – generalità – parte 2

CP più fondamentale di C e P:1. C e P violate “massimamente”2. CP simmetria “quasi” perfetta, la sua violazione permette una definizione assoluta di materia / antimateria

Esempio 1

Esempio 2Br (KL ee) > Br (KL ee) definizione assoluta di materia ed antimateria

L (esiste)

P

S

P

R(non

esiste)

P

S

P

S

C

L(non

esiste)

CP

P

S

R(esiste)

5

P in fisica classica (reminder)

Definizione di P : R R (posizione) , t t (tempo), q q (carica)Vettore polare Vettore polare, Vettore assiale +Vettore assiale, Scalare Scalare , PseudoScalare PseudoScalare

Inverianza per parità implica che la Lagrangiana (e la funzione di Hamilton) sia invariante!

Esempi di trasformazioni di PARITA’ spaziale:

A A (potenziale vettore) infatti A JdV / R,

(potenziale elettrico), infatti dq / R,

E E (campo elettrico), infatti E = A/t , (c=1)B B (campo magnetico) infatti B = A,P P (impulso), infatti P = MdR/dt,L L (momento angolare), infatti L = RP,J J (densità di corrente elettrica), infatti J = v,F F (forza), infatti F = Ma,

d d (momento di dipolo elettrico), infatti d = Rdq,

(momento di dipolo magnetico), infatti qL

Esempi: I termini d•E e •B sono invarianti per parità, mentre L•R NON lo e’ (=> vedi exp di Wu)Nota: se P è conservata, per un sistema (o una particella) d non può essere diretto come .

Esercizio: Come si trasformano le equazioni di Maxwell in forma intergrale? Ricordare i teoremi di Gauss: X•ndA =

•XdV , di Stokes: X•dl = (X )•ndA e la definizione di intensità di corrente elettrica: I = J•ndA = dq/dtNota (utile per l’insegnamento di fisica 1): il potenziale U=Mgx non e’ invariante per P, mentre lo sono, ad esempio, i potenziali kx2/2 e k/r !. Nel caso di una massa attaccata ad una molla e vincolata a muoversi in direzione verticale, l’equazione del moto è Md2x/dt2 = ±Mg kx , a seconda che l’asse x sia verso il basso o verso l’alto.

6

Esperimento di miss WuConferma sperimentale di P

(fatto dopo il / puzzle)

Co60 polarizzato

B

S

Rivelatore

R

Direzione e-

RS ˆˆcos

Poiche’ P: cos -cos, la rivelazione di un numero di elettroni N() = a + b* cosdimostra la violazione della parita’ (se b0).

7

C in fisica classica (reminder)

Definizione di C : R R (posizione), t t (tempo), q q (carica)

Inverianza per coniugazione di carica implica che la Lagrangiana (e la funzione di Hamilton) sia invariante!

Esempi di trasformazioni di CONIUGAZIONE di carica:A A (potenziale vettore),

(potenziale elettrico), infatti dq / R,

E E (campo elettrico), infatti E = A/t , (c=1)B B (campo magnetico) infatti B = A,P P (impulso), infatti P = MdR/dt,L L (momento angolare), infatti L = RP,J J (densità di corrente elettrica), infatti J = v,F F (forza), infatti F = Ma,

d d (momento di dipolo elettrico), infatti d = Rdq,

(momento di dipolo magnetico), infatti qL

Esempi: I termini d•E , •B sono invarianti per C, come pure il termine (P - qA/c)2.

8

T in fisica classica (reminder)

Definizione di T : R R (posizione), t t (tempo), q q (carica)

Inverianza per inversioine temporale implica che la Lagrangiana (e la funzione di Hamilton) sia invariante!

Esempi di trasformazioni di inversione temporale:A A (potenziale vettore),

(potenziale elettrico), infatti dq / R,

E E (campo elettrico), infatti E = A/t , (c=1)B B (campo magnetico) infatti B = A,P P (impulso), infatti P = MdR/dt,L L (momento angolare), infatti L = RP, (spin),J J (densità di corrente elettrica), infatti J = v,F F (forza), infatti F = Ma,

d d (momento di dipolo elettrico), infatti d = Rdq,

(momento di dipolo magnetico), infatti qL

Esempi: I termini d•E , •B sono invarianti per T, come pure i termini (P - qA/c)2, •L e P1• P2 .

Esempi: I termini (P1P2)• e •R NON sono invarianti per T.

Attenzione: Nota: se T è conservato, per un sistema (o una particella) d non può essere diretto come .

Esempio: La legge di Ohm (J =E ) NON è invariante per T! Si possono avere, sia in fisica classica che quantistica, violazioni di T su scala macroscopica, senza violazioni di T su scala microscopica.

Esempio: Il secondo principio della temodinamica Non e’ ionvariante per T, anche se ogni singola interazione fra coppie di particelle lo e’: si pensi all’espansione libera di un gas perfetto!

9

P in fisica quantistica (reminder non-rel)

H|ψt

|ψi

H|ψt

|ψi P

PPP 1-

H|ψ

t

|ψi P

PPP 1-Se [P,H]=0 =>

ii -1PP (P unitario, P|> soluzione)

Che P sia unitario si puo’ anche ricavare dalle sue proprieta’:{P, xi}= 0, {P, pi}= 0, [P, Li]= 0.La relazione fondamentale [xi, pj] = iħij e’ invariante per parita’ solo se PiP-1 = i

10

Notazioni e scelta della rappresentazione relativistica

1000

0100

0010

0001

g

),( xtxgx

),( xtx

),( pEp

),( pEp

Come operatore: ip

,tx

10

010

0

0

01

1032105 i

11

P in fisica quantistica (reminder relativistico)

Spin 0

Spin 1/2

Fotone

),(φ),(φ),(φ xtPxtPxtP

),(ψγ),(ψ),(ψ 0 xtPxtPxtP

),(A),(A xtPxtP

• La polarizzazione resta invariata• la parita’ del fotone (rappresentazione dell’impulso) e’ negativa

! parita’ intrinseche del bosone e dell’antibosone sono uguali Es: , K hanno P=-1

! parita’ intrinseche del fermione e dell’antifermione sono opposte

12

C in fisica quantistica (reminder non rel)(e’ quasi identico a P)

H|ψt

|ψi

H|ψt

|ψi C

CCC 1-

|ψH

t

|ψi C

CCC 1-Se [C, H]=0 =>

ii -1CC (C unitario, C|> soluzione)

Che C sia unitario si puo’ anche ricavare dalle sue proprieta’:[C, xi]= 0, [C, pi]= 0, [C, Li]= 0.La relazione fondamentale [xi, pj] = iħij e’ invariante per coniugazione di carica solo se CiC-1 = i

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C in fisica quantistica (reminder relativistico)

Spin 0

Spin 1/2

Fotone

),(φ),(φ),(φ xtCxtCxtC

),(*ψiγ),(ψγγ),(ψ),(ψ 2tr02 xtxtiCxtCxtC

),(A),(A xtCxtC

• La polarizzazione resta invariata• la coniugazione di carica del fotone e’ negativa

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C,P in casi particolari

Nota S=spin totale, L=momento angolare orbitale

• Coppia bosone-antibosone (e.g. ): – P = (-1)L perche’ la parita’ intrinseca del bosone e’ uguale a quella dell’antibosone– C = (-1)L+ S infatti l’operazione di coniugazione di carica e’ equivalente a scambiare le particelle:

c’e’ un termine di parita’ orbitale (-1)L ed uno di parita’ di spin (-1)S – CP = (-1)S conseguenza ovvia

• Coppia fermione-antifermione (e.g. ee ): – P = (-1)L + 1 perche’ la parita’ intrinseca del fermione e’ opposta a quella dell’antifermione– C = (-1)L+ S infatti l’operazione di coniugazione di carica e’ equivalente a scambiare le particelle:

c’e’ un termine di parita’ orbitale (-1)L+1 ed uno di parita’ di spin (-1)S+1 – CP = (-1)S + 1 conseguenza ovvia

Esempio: Un sistema ha sempre CP=+1 (spin =0). Per esempio sono prodotti nel decadimento forte del mesone (stato JPC = 1-- ) con L=1.

Esempio: se il (stato JPC = 0-+ ) e’ composto da una coppia quark-antiquark (spin ½) si deve avere S=L=0, oppure S=L=1. L’unica soluzione e’ la prima (S=L=0).

Esercizio: se il (stato JPC = 1-- ) e’ composto da una coppia quark-antiquark, quali valori possono assumere S ed L? [S=1, L=0,2]

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puzzle: primo indizio di P

~1950: Osservazione sperimentale in emulsioni (?) di una particella di spin 0: + +0. • Domanda: come si e’ capito che aveva spin 0? (reazione di produzione …..)• La parita’ dello stato finale e’ +1 (l=0, -1 da ogni pione)

~1950: Osservazione sperimentale in emulsioni (?) di una particella: + + +0. I momenti angolari relativi dei pioni sono tutti nulli => la particella ha spin 0. Inoltre la sua massa e’ uguale a quella del +.• La parita’ dello stato finale e’ -1 (l=0, -1 da ogni pione)

Se la parita’ puo’ essere violata, allora puo’ essere (ed e’):

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T in fisica quantistica (reminder)(e’ piu’ complesso di P e C)

T anti-unitario, T|> soluzione = |>, Si puo’ mostrare che T = UK, con U unitario e K operatore di coniugazione complessa, come e’ evidente dall’eq. Di Schr:

T anti-unitario dalle sue proprieta’:[T, xi]= 0, {T, pi}= 0, {T, Li}= 0.La relazione fondamentale [xi, pj] = iħij e’ invariante per coniugazione di carica solo se TiT-1 = i !

Esempio: nel caso di spin 0, U=1.

Esempio: nel caso di spin 1, scegliendo una rappresentazione in cui Sz e’ diagonale, U = exp[-iSy/ħ]

010

101

010

2

xS

00

0

00

2i

ii

i

Sy

100

000

001

zS

Nota: <A|T†T|B> = <A|K†K|B> = <A|B>* = <B|A>

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T in fisica quantistica (note)

Poiche’ T e’ antiunitario, allora l’espressione non perturbativa exp[-iHdt] NON e’ invariante per T anche se TiHT-1 lo e’! (Si noti che P e C non hanno questo problema). L’invarianza di H per trasformazioni di inversione temporale implica solo che al primo ordine nella teoria delle perturbazioni NON ci siano termini che violano T. Questa e’ una buona approssimazione per le interazioni deboli, ma non per le interazioni forti. Anche il caso in cui ci siano delle interazioni forti nello stato finale, successivo ad una interazione debole, comporta che osservabili dispari (in T) NON siano da escludere.

Esempio 1: decadimento K . L’osservazione di una polarizzazione del perpendicolare al piano degli impulsi del e del stesso (termine (PP)• ) sarebbe una evidenza della violazione di T, perche’ non vi e’ interazione nello stato finale. Come si misura sperimentalmente? Difficile, ma….

Esempio 2: decadimento B D . L’osservazione di una polarizzazione del perpendicolare al piano degli impulsi del D e del stesso (termine (PDP)• ) sarebbe una evidenza della violazione di T, perche’ non vi e’ interazione adronica nello stato finale. Come si misura sperimentalmente?

Esempio 3: decadimento p . Nel caso in cui la sia polarizzata, l’osservazione di un termine (P)•p ) NON E’ una evidenza della violazione di T, perche’ vi e’ interazione adronica nello stato finale. E’ stata misurata sperimentalmente!

Esempio 3: scattering +p +p. L’osservazione di un termine (P1P2)• NON E’ una evidenza della violazione di T, perche’ vi e’ interazione adronica nello stato finale. E’ stata misurata sperimentalmente!

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La presenza di un momento di dipolo elettrico dimostra la violazione di T? - I

Definizione di dipolo elettrico di una particella: k kkred

jiijii EEdEdU Energia in un campo elettrico:

{}

{

dij Ei: Dipolo elettrico indotto

di: Dipolo elettrico permanente dij: Polarizzabilita’

=> Termine lineare!

Se e’ l’unico vettore che caratterizza un sistema (atomo, particella “elementare”, ..) , allora deve essere:

j

jd

*costante...ma allora si viola sia P che T. Per avere un termine lineare nel campo elettrico, occorre un altro vettore che caratterizzi lo stato fondamentale, senza che sia violato T => stato fondamentale degenere. Quindi….

segno dell’energia DU errato sul Bigi (?)

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La presenza di un momento di dipolo elettrico dimostra la violazione di T? - II

... stato fondamentale degenere => puo’ esserci un termine lineare in E, senza violazione di T... stato fondamentale NON degenere => un termine lineare in E dimostra la violazione di T

La DEGENERAZIONE e’ la questione fondamentale, non il fatto che una particella sia “elementare”.

Esempio: la molecola di acqua ha lo stato fondamentale degenere per parita’ ed ha un momento di dipolo elettrico permanente (e T si conserva!)

Esempio: consideriamo un sistema a 2 stati |1> e |0>, con U0 < U1. Per campi elettrici diretti lungo z abbastanza piccoli, si ha <1|zEz|0>= << U1-U0

0

1

U

UH e gli autovalori sono U0 + 2/(U1-U0), U1 - 2/(U1-U0),

quadratici in ~ Ez. Lo shift e’ lineare SOLO se e’ U1=U0.

Esempio: il neutrone e’ uno stato fondamentale NON degenere, quindi…

20

Misura del momento di dipolo elettrico del neutrone - I.. la misura di un dipolo elettrico del neutrone (dn) diverso da zero (termine lineare in E) implicherebbe la violazione di T.Ref: PRL Vol 82 No 5 (1 Feb 1999) “New experimental limit on th electric dipole moment of the neutron” P.G.Harris et al (RAL-Oxon, Un.Sussex-Brighton, Institut Laue-Langevin-Grenoble)

1. si iniettano (dal reattore) gli UCN che sono polarizzati () dal foglio

2. si applica il campo oscillante per provocare il flip dei neutroni (metodo Ramsey: 2 serie di impulsi intervallate da T~130s di precessione libera)

3. si lasciano “cadere” i neutroni verso l’UCN detector: passano il foglio (che ora opera come spin analizer) solo i neutroni che hanno lo stesso spin iniziale => misuri N+

4. Si ripete 1-2-3 flippando in ingresso gli spin (RF coil) => misuri N+

5. si ripetono i passi 1-2-3-4 invertendo il campo elettrico => misuri N e N

6. Si ripete 1-2-3-4-5 tante volte….

• |B| = 10mG = 1T• ±E (// B); |E| = 4.5kV/cm • + due impulsi di campo B oscillanti (f~30Hz~larmor!)

UCN detectorUCN (UltraCold n)

NS Lamina polarizzante (selezionasolo lo spin “up”)

Coil to spin flip

21

Misura del momento di dipolo elettrico del neutrone - II

Risultato: |dn|<6.3x10-26e-cm (90%CL)

=> Ci mancano gli strutturisti (e a me non torna un fattore 2)!

Ordine di grandezza del problema: (Frequenza di Larmor) h = 2zBz + 2dzEz (campi paralleli)h = 2zBz 2dzEz (campi antiparalleli)Se il dipolo elettrico fosse ~ 10-25e-cm:2zBz ~ 2*1.9n*10-6T = 6*10-14eV ~ 30Hz2dzEz ~ 2*10-25e-cm*4.5KV/cm ~ 9*10-22eV ~ 4.5*10-7Hz !!Conviene B piccolo (ma come si misura? => polarimetro ad Hg) ed E grande.

f (Hz)

1/2T~0.04Hz

29.9 30.029.8

Frequenza di risonanza (fris)

22,000

10,000

0

counts Curva per campo elettrico nullo

Punto di lavoro (f0)

N = (Nmax+ Nmin)/2 + (Nmax-Nmin)/2sin(4fT) che si puo’ approssimare attorno al punto f = f-f0 con: N/Nmax = cost + 2fT, con = (1-Nmin /Nmax)~0.5.

L’errore (puramente statistico) sullo shift in frequenza e’ 1/TN ~ 2.1*10-5HzPer un singolo batch (ciclo di 4’) N~13000 e l’errore sul dipolo elettrico e’: h/4TN ~ 9*10-24e-cm. Iterando su molti cicli migliorano l’errore statistico.

Correzione principale: campo magnetico (2nG level)

Rivelatore per UCN: basato su n + 3He 3H + p

22

T in fisica quantistica (reminder relativistico)

Spin 0

Spin 1/2

Fotone

),(φ),(φ),(φ 1 xtTxtTxtT

),(ψγγ),(ψ),(ψ 311 xtTxtTxtT

),(A),(A 1 xtTxtT

23

Teorema CPT (remind)

La trasformazione CPT puo’ essere sempre definita – come operatore antiunitario – in modo che sia sempre una simmetria per un teoria locale quantistica, i.e. :

),())(,()( 1 xtCPTxtCPT

LL

Assunzioni per una dimostrazione rigorosa:• invarianza di Lorentz• esistenza di un unico stato di vuoto• commutativita’ locale con “giusta” statistica

24

Conseguenze del teorema CPT

1. la massa di una particella e’ uguale a quella della corrispondente antiparticella

2. il momento magnetico di una particella e’ uguale in modulo ma opposto in verso a quello della corrispondente antiparticella

3. la vita media (=la larghezza totale) di una particella e’ uguale a quella della corrispondente antiparticella

…ma c’e’ una conseguenza piu’ sottile sul punto 3: il teorema CPT garantisce che (trascurando interazioni deboli ed elettromagnetiche nello stato finale) la somma delle larghezze negli stati finali “distinti” (tali che non esista una transizione forte che faccia passare dall’uno all’altro) sono uguali.

Esempio 1: non solo (+)= (-) , ma anche (+ e + )= (- e-)

Esempio 2: Deve essere (K+ +0) = (K- - 0) , anche se il K carico va in tre pioni! La transizione e’ vietata dalle interazioni forti. In modo analogo deve essere (K+ +-- ++00) = (K - ++- +-00), includendo tutte le risonanze di due pioni.