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Coupes efficaces pour la relaxation lagrangienne

Cours d’optimisation combinatoire

Mr Gérard Plateau

Jean-Michel Dubois 2002

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Coupes efficaces

• Notations

• Condition nécéssaire

• Un exemple de coupe

• Conclusion

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Coupes efficaces : notations

Problème (P)

valeur optimale V(P)

solution optimale OS(P)

domaine : FS(P)

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Coupes efficaces : notations

Définitions :

_ une coupe est valide pour la relaxation (R) du problème (P) si le problème (R’) est encore une relaxation du problème (P). R’ est le problème R avec la nouvelle coupe.

_ on dit qu’une coupe est fortement valide si de plus

)()'( RFSRFS

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bAxRxA n /

Coupes efficaces : notations

XxdCxbAxfxP ,,/max:

dCxRxC n /

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Coupes efficaces : notations

Dualisation de la contrainte :dCx

XxbAxCxdufxLRu ,/)(max:)(

)()( aOn uLRVPV

(Geoffrion, 1974)

Avec u 0

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Coupes efficaces : notations

Dual lagrangien :

0/)(min uLRV u

)(0/)(min LRVuLRV u

CAxfx )(/max

Enveloppe convexe de A

(Geoffrion, 1974)

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Coupes efficaces

• Notations

• Condition nécéssaire

• Un exemple de coupe

• Conclusion

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Coupes efficaces : condition nécéssaire

Objectif : obtenir une meilleure valeur (i.e. une meilleure borne supérieure) de la relaxation

Moyen : ajouter des coupes de la forme

x

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Coupes efficaces : condition nécéssaire

xRxL n /

CLC 'Définition :

Ceci est équivalent à dualiser la coupe !

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Coupes efficaces : condition nécéssaire

On trouve une meilleure borne supérieure pour la relaxation si :

CACA )(')(

CAxfxCAxfx )(/max')(/max

et

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Coupes efficaces : condition nécéssaire

)(A

OS(LR’) OS(LR) OS(LP)

C

C’A

L

f

OS(P)

x

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Coupes efficaces : condition nécéssaire

• Pour qu’une coupe soit fortement valide tout en améliorant la borne de la relaxation lagrangienne, il faut que :

- Soit la coupe est fortement valide pour

- Soit la coupe est fortement valide pour (P)

)(C

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Coupes efficaces

• Notations

• Condition nécéssaire

• Un exemple de coupe

• Conclusion

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Un exemple de coupe

• Exemple préliminaire : TSP asymétrique

• Définition du tour :– C’est un graphe partiel à une composante

connexe– Chaque nœud à un degré intérieur égal à 1– Chaque nœud a un degré extérieur égal à 1

Le tour obtenu doit être de poids minimal !

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Un exemple de coupe

• La troisième contrainte peut s’écrire :

Vi ,1

Eji,ij

x V ensemble des sommets

• Considérons la relaxation lagrangienne où on dualise ces contraintes : une solution de cette relaxation peut violer une des contraintes (*).

(*)E ensemble des arcs

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Un exemple de coupe

• Notons l’ensemble de nœuds qui ont différents degré intérieurs/extérieurs. Considérons maintenant les coupes :

VW

Wi ,

Eik,ki

Eji,ij

xx

Ces coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne !

Ce sont des coupes valides mais pas fortement valides

V ensemble des noeudsE ensemble des arcs

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Coupes efficaces : un exemple de coupe

• Sac à dos à choix multiples

jix

bxa

xsc

x

ij

ijij

, 1,0

i 1

cMax

Ii Jj

Jjij

Ii Jjijij

i

i

i

« on doit choisir un objet par classe »

« contrainte de type sac à dos »

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Coupes efficaces : un exemple de coupe

• Deux relaxations lagrangiennes possibles

• La deuxième est plus simple pour la résolution : un seul multiplicateur lagrangien. Mais ceci équivaut à la relaxation en continu

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Coupes efficaces : un exemple de coupe

• Problème : la solution de la relaxation lagrangienne risque de ‘violer’ la contrainte de type sac à dos

• Solution : ajouter une coupe qui dit : de toutes les variables qui sont actuellement à 1 dans la solution courante, au moins une doit valoir zéro.

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Coupes efficaces : un exemple de coupe

• Exemple avec 4 classes

• Supposons que valent 1 dans la solution courante

• On peut choisir la coupe

• Cette coupe va améliorer la borne !!

• Mais en la dualisant on a un autre multiplicateur de Lagrange…

41342212 , , xetxxx

341342212 xxxx

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Coupes efficaces

• Notations

• Condition nécéssaire

• Un exemple de coupe

• Conclusion

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Conclusion

• Les coupes sont aussi utilisées pour les résolutions exactes, comme dans l’algorithme du simplexe (en nombres entiers) : on ajoute des coupes de Gomory « à la volée »

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Conclusion

• L’ajout de coupes lors de relaxations lagrangiennes contribuent à l’amélioration de la borne supérieure

• La « taille » du problème augmente à chaque ajout de coupe

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Conclusion

• Pour des problèmes données, il arrive que les coupes n’améliorent pas la borne supérieure de la relaxation lagrangienne : exemple du problème du voyageur de commerce