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La integraldefinida
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donde:
•[0, x] se dividió en n partes iguales de longitud Δx
(partición regular)•Se tomó wi como el extremo i!uierdo o
derec"o de cada su#intervalo[xi$%, xi] en el !ue !uedó
dividido el intervalo [0, x]
•&nicamente se consideraron valores positivos para
f(x) en el intervalo
[0, x]
(integración
indefinida)(antiderivada o
primitiva general)
'nteriormente aprendimos a calcular el reade una región plana
*
+
0
+ f(x)
xx
Δx
xi$% xi
i
f(wi)
--
( )Δxwf Lim'
n
%i
i
n
o
0Δx)
∑=+∞→
→=
( )∫ = dxxf ') ( ) .x/'
) +=
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'"ora, generalicemossea f una funcióncontinua en [a,
#]*
0
+
x
+ f(x)
a #
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Dividamos el intervalo [a, b] en nsubintervalos no
necesariamente iguales
eligiendo n-1 puntos entre a y b, y,hagamos x0=a y xn=b de tal
forma que
x0 ! x1 ! x" ! x# ! $ ! xn-" !
xn-1 ! xn
denotemos por %ix la longitud de cada
subintervalo tal que
%1x = x1 & x0 %"x = x" & x1 $
%i
x = xi
& xi-1
$
% x = x & x % x = x & x
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0
+
x
+ f(x)
x0a xn#x% x1 xn$%xixi$%
Δ%x Δ1x Δix ΔnxΔn$%x
2sto es,
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'l con(unto de subintervalos de [a, b] sele denomina partici)n
de [a, b] y se denota
%* ' la longitud del subintervalo +osubintervalos ms largo de la
partici)n % sellama norma de la partici)n y se le denota
..%..*
/li(amos un punto i en cada subintervalode la partici)n %
tal que
xi-1 i xi
2racemos rectngulos que tengan comobase a cada
subintervalo de la partici)n % yaltura f+i*
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0
+
x
+ f(x)
x0a xn#x% x1 xn$%xixi$%- - - - - - - - - -
Δ%x Δ1x Δix ΔnxΔn$%x
-
- -
-
-
- -
-
--
w% w1 wi wn$% wn
2sto es,
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' la suma de las reas de estos rectngulos se leconoce como Suma
de iemann !ue est dada por:
f(w%)Δ%x 3 f(w1)Δ1x 3 3 f(wi)Δix 3
3 f(wn$%)Δn$%x 3 f(wn)Δnx
o #ien
( )∑=
n
%i
ii xΔwf
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3i hacemos que la norma de lapartici)n % se aproxima a cero, la
suma
de 4iemann se aproximar a un valor 5que corresponde a la suma
algebraicade las reas comprendidas entre la
gr6ca de la funci)n y=f+x y el e(e xdesde a hasta b*
( ) LxΔwf limn
1i
ii0Δ =∑=→
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0
+
x
+ f(x)
a #
4rea positiva
'%4rea
positiva '5
4reanegativa '1
2sto es,
L '% 3 '1 3 '5
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2l concepto anterior se conoce comointegración definida + se
denota por
5a integral de6nida de una funci)n f continua en [a, b], est
dadapor
si el l7mite existe*
( )∫ #
a
dxxf
( ) ( )∑∫ =→=
n
1iii0Δ
b
a
xΔwf limdxxf
