1

Lasers – Basic Concepts

• HMY 645• Lecture 05• Fall Semester 2015

Stavros IezekielDepartment of Electrical and 

Computer EngineeringUniversity of Cyprus

LASER BASICS

2

3

There are many different types of lasers

4

Gas lasers (e.g. HeNe) Solid‐state lasers (e.g. ruby rod)

Diode lasers Fiber lasers

5

Pump

gPlanar mirror

A laser is an oscillator; all oscillators have gain and feedback.

Three basic “ingredients” are needed to make a laser:

(1) An optical medium that has gain (provides stimulated emission)(2) A pump to excite the optical medium(3) An optical resonator to provide feedback

• LASER is an acronym for:

light amplification by stimulated emission of radiation

6

• Simple model of a laser:

1 Take a medium (e.g. one with three energy levels), and create population inversion by pumping (either optical or electrical).

Pump

Optical gain = g

Pin Pout = gPin

7

2 Put the optical gain medium inside an optical cavity, e.g. one which is formed from a parallel pair of flat mirrors: 

Pump

g

This is similar to a positive feedback system:

G

Feedback network

Planar mirror

Feedback is provided by the optical cavity

Need:

0180)(

1)(

jGH

jGH

+

+

8

Optical Gain

(Stimulated emission)

PhotonAmplified once

First reflectionAmplified for 

second time

Second reflection

Amplified a third time

A simplified representation of laser action

Output

This mirror is partially reflecting, to allow some photons to escape.

Third reflection

9

Spatial coherence

Temporal coherence

• The radiation that is emitted by a laser is said to be spatially and temporally coherent, i.e. the light is highly monochromatic (but not perfectly) and very directional (again, not perfectly).

10

z

E0

E

Laser

)sin(),( 0 tkzEtzEPerfectly monochromatic E‐field (travelling wave) emitted by “perfect” laser:

Temporal coherence: and are constant (i.e. time‐independent)

EMISSION PROCESSES IN LASERS

11 12

How to generate identical photons? Clone them…..

Laser relies on concept of stimulated emission

13

Bohr’s model of the hydrogen atom • Electrons can only reside in specific “orbits”; angular momentum in orbital n is nh/2. (Only three orbitals are shown here.)

• Each orbital is a function of a quantised amount of energy. Less energy is required to remain in the ground state (orbital n=1) compared to higher levels.

• An electron can jump to a higher level by absorbing a photon with the correct quantum of energy. 

• If an electron jumps from a higher level to a lower one, it will emit a photon with an energy equal to the corresponding energy difference between levels.

Proton

n = 1

n = 2

n = 3

Electron

14

Proton1

2

PhotonEnergy = E2 - E1

Absorption

(Only two energy levels shown)

15

Proton1

2

PhotonEnergy = E2 - E1

Emission

Emission can either happen spontaneously, or it can be stimulated by another photon of the same energy.

16

Absorption and emission in a two‐level system

In equilibrium, most atoms are in their ground state:

Energy

1E

2E

hchfEE

12

Ground state

Excited state2N

1N

Ni = number of atoms per unit volume with energy Ei

17

Absorption in a two‐level system

The atoms can be excited to the higher level, for example by absorption of light 

Energy

1E

2E

hchfEE

12

Photon Energy = E2 - E1

2N

1N

18

Spontaneous emission in a two‐level system

The atoms can then return spontaneously to the ground state, and emit photons as they do so.  The photons are emitted in random directions.

Energy

1E

2E

hchfEE

12

Photon Energy = E2 - E1

2N

1N

19

Stimulated emission in a two‐level system

The atoms can also be stimulated to return to the ground state by incoming photons. This process of stimulated emission can be used for optical amplification. 

Energy

1E

2E

hchfEE

12Photons: • in phase• same direction• same energy

2N

1N

We will show that for amplification by stimulated emission, we need N2 > N1 (population inversion) otherwise the incoming photons will be absorbed

20

To aid in explanation, consider following symbols:

Atom in excited state, i.e. initial state is:

1E

2E

Atom in ground state, i.e. initial state is:

1E

2E

Now, the chance of stimulated emission from an excited atom is exactly the same as the chance of absorption by an atom in the ground state.

21

Example

Consider a material that contains nine atoms as shown, with a mix of excited atoms and atoms in ground state. Three photons enter this material from the left:

What happens next?

22

Fewer photons come out. 

Why? Because from the initial state (see previous slide):

• 3 atoms can emit light spontaneously• 6 atoms can absorb light

• Hence absorption will dominate

23

To increase the number of photons when going through the atoms, more atoms need to be in the excited state than the ground state.

We need population inversion. (Atoms however will decay down to the ground state relatively quickly, so we need to come up with a strategy for population inversion –we will see that best approach is a four‐level system.) 

N2 > N1 – more “cloned” rather than “eaten”

N2 < N1 – more “eaten” rather than “cloned”

24

Remember ‐‐

1E

2EIn

1E

2EOutIn

Absorption

Atom absorbs photon (and becomes excited)

Stimulated Emission 

“Clone” the photon

Chance of stimulated emission from excited atom is exactly the same as chance of absorption by atom in lower state.

Hence we need population inversion

25

Population inversion is NOT possible in a two‐level system:

(i) Imagine that we begin with more atoms in the ground state. 

(ii) Now assume that we “pump” some of the ground‐state atoms into an excited state such that we have equal numbers of excited and ground‐state atoms. For example:

26

(iii) We now have a situation in which an incoming photon now has as much chance of stimulating an excited atom to fall to the ground state as it does of being absorbed.

i.e. the equal probability of stimulated emission and absorption is a problem because in the steady‐state we will end up with the rate of spontaneous emission being equal to the rate of absorption.

In fact, if one factors in the existence of spontaneous emission as well, the population N1 will always be bigger than N2.

http://phet.colorado.edu/simulations/lasers/lasers.jnlp

27

Population inversion and pumping

• Population inversion (and therefore lasing) cannot be achieved in a two‐level system. In steady‐state, the incoming photons will cause equal numbers of absorptions and stimulated emissions.

• A three‐level system allows population inversion through pumping:

2E

1E

3E

PUMP

hcEE

13

METASTABLELEVEL

RAPID DECAY FROM 3 TO 2

28

Stimulated emission can lead to an avalanche of photons

If an optical medium contains many atoms at an excited level, one photon can end up stimulating the emission of many others through an “avalanche”:

In practice there will also be some losses, but overall we will have a material with optical gain (i.e. one input photon leads to many photons at the output)

29

Optical medium with gain

If the optical gain medium is placed inside a resonator, we can have lasing

MirrorR = 100%

Partially reflecting mirror

R < 100%

Output

In addition to gain, there will also be losses (e.g. due to absorption). For there to be lasing, we must satisfy the threshold condition:

Gain Loss

1I 2I

3I4I

Over one round‐trip, we require: 

14 II

30

Blackbody Radiation

• When matter is heated, it emits radiation.

• A blackbody is a cavity with a material that only emits thermal radiation. The radiation properties are independent of the material.

• Incoming radiation is absorbed in the cavity.

• Planck showed that he could model the experimental spectral distribution by using the quantum hypothesis.  

2 52 /

exp / 1B

hcI

hc k T

kB = Boltzmann constant = 1.38×10‐23 JK‐1

31

Blackbody Radiation

For a cavity with a refractive index n, the energy density inside the cavity as a function of frequency (energy per unit volume per unit frequency) is:

1exp

8)(3

33

Tkhfc

hfnhf

B

This quantity is directly proportional to the number of photons per unit volume that have an energy of hf.

EINSTEIN COEFFICIENTS

32

33

The Einstein A and B Coefficients

The Einstein coefficients are used to examine the transition rates (for absorption, spontaneous and stimulated emission) between energy levels. Consider a two‐level system:

1E

2E 2N

1N

AbsorptionStimulatedemission Spontaneous

emission)(112 hfNB

221NA)(221 hfNB

AB: Absorption, SP: Spontaneous emission, ST: Stimulated emission

34

A21: Spontaneous Emission

1E

2E 2N

1N

Spontaneousemission

221NA

• Atoms decay spontaneously from level 2 to level 1. If the population density for level 2 is N2, then it will decrease as follows:

2212 NA

dtdN

SP

• If there were no other transition processes,then N2 would decay exponentially with a time constant of A21.

• Since the decay is from 2 to 1, it follows that N1will increase at the same rate as N2 decreases:

SPSP dtdN

dtdN 12

Rate of emission

221NA

35

B12: Absorption

1E

2E 2N

1N

Absorption

• Incoming photons raise atoms in level 1 up to level 2, so N2 will increase and the rate of increase will depend on the number of absorbing atoms and also the number of incoming photons:

)(1122 hfNB

dtdN

AB

)(112 hfNB

Proportional to the number of photons with energy E2-E1

Proportional to number of atoms available for absorption

Again, we have:

ABAB dtdN

dtdN 12

36

B21: Stimulated emission

1E

2E 2N

1N

Stimulated emission

• Incoming photons stimulate atoms in level 2 down to level 1, so N2 will decrease and the rate of decrease will depend on the number of excited atoms and also the number of incoming photons:

)(2212 hfNB

dtdN

ST

)(221 hfNB

Proportional to the number of photons with energy E2-E1

Proportional to number of atoms available for stimulation

Again, we have:

STST dtdN

dtdN 12

Rate of emission

)(221 hfNB

37

Relationship between the Einstein coefficients

If we look at all three radiative processes, adding them together we have:

)()( 2211122212 hfNBhfNBNA

dtdN

spontaneous emission  absorption

stimulatedemission 

)()( 2211122211 hfNBhfNBNA

dtdN

38

In thermal equilibrium (no external excitation), decreases in N1 will be balanced by increases in N1 (and the same is true for N2). So the rate of change with time must be zero:

00 21 dt

dNdt

dN

0)()( 221112221 hfNBhfNBNA

)()( 21212112 hfBANhfNB

212

112

21

221112

212)(B

NNB

ANBNB

ANhf

39

Boltzmann statistics

Ni is the number density of atoms in state i (i.e., the number of atoms per cm3).

T is the temperature, and kB is Boltzmann’s constant.

exp /i i BN E k T

Ene

rgy

Population density

N1

N3

N2

E3

E1

E2

40

The Maxwell‐Boltzmann distribution

• As a result, higher‐energy states are always less populated than the ground state, and absorption is stronger than stimulated emission unless we have population inversion.

22

1 1

exp /exp /

B

B

E k TNN E k T

1

23

Ene

rgy

Low T

1

23

Ene

rgy

High T

• In equilibrium, the ratio of the populations of the two states is: 

Tkhf

TkEE

NN

BB

expexp 12

1

2

41

1exp

8)(3

33

Tkhfc

hfnhf

B

Tkhf

NN

B

exp1

2

So we have:

Energy level populations:Boltzmann Blackbody radiation ‐ Planck

212

112

21)(B

NNB

Ahf

Rate equations ‐ Einstein

2112

21

3

33

exp1exp

8

BTk

hfB

A

Tkhfc

hfn

BB

This can only be satisfied if: 2112 BB

42

1exp1exp

8

21

21

3

33

TkhfB

A

Tkhfc

hfn

BB

3

33

21

21 8c

hfnBA

We find that stimulated emission exceeds spontaneous emission provided:

hnfchf 8

3

The implication is that lasing is more difficult to achieve at shorter wavelengths (e.g. X‐ray and UV)

43

In summary:

1

2

112

221

2

1

2112 )()(

NN

hfNBhfNB

dtdNdt

dN

BB

AB

ST

If we want stimulated emission to exceed absorption, then we must have population inversion:

12 NN

According to Boltzmann statistics:

Tkhf

NN

B

exp1

2

Population inversion requires negative absolute temperature (which we cannot have), so this implies that the laser is based on non‐thermal equilibrium.

PUMPING

44

45

Achieving inversion: Pumping the laser medium

Now let I be the intensity of (flash lamp) light used to pump energy into the laser medium:

R = 100% R < 100%

I0 I1

I2I3 Laser medium

I

Will this intensity be sufficient to achieve inversion, N2 > N1?

46

Rate equations for a two‐level system

Rate equations for the densities of the two states:

21 2 2( )dN BI N N AN

dt

12 1 2( )dN BI N N AN

dt

22 2d N BI N ANdt

Absorption Stimulated emission Spontaneous emission

1 2N N N 1 2N N N

If the total number of atoms is N:

2 1 2 1 22 ( ) ( )N N N N NN N

2d N BI N AN A Ndt

2

1

N2

N1

LaserPump

Pump intensity

BBB 2112 AA 21

47

Inversion is impossible in a two‐level system

0 2BI N AN A N

1 / sat

NNI I

/ 2satI A B

In steady‐state:

( 2 )A BI N AN

where:

N is always positive, no matter how high I is.  

It is impossible to achieve an inversion in a two‐level system! 

2d N BI N AN A Ndt

/( 2 )N AN A BI

/(1 2 / )N N BI A

Isat is the saturation intensity.

2

1

N2

N1

Laser

48

Rate equations for a three‐level system

Assume we pump to a state 3 that rapidly decays to level 2.

21 2

dN BIN ANdt

11 2

dN BIN ANdt

1 22 2d N BIN ANdt

Absorption

Spontaneous emission

1 2N N N 1 2N N N

The total number of atoms is N:

22N N N

d N BIN BI N AN A Ndt

Fast decay

Laser Transition

Pump Transition

1

23

Level 3 decays fast and so is zero.

12N N N

49

Why inversion is possible in a three‐level system

1 /1 /

sat

sat

I IN NI I

In steady‐state:

( ) ( )A BI N A BI N

Now if  I > Isat, N is negative! 

( ) /( )N N A BI A BI

d N BIN BI N AN A Ndt

0 BIN BI N AN A N

Fast decay

Laser Transition

Pump Transition

1

23

50

Rate equations for a four‐level system

Now assume the lower laser level 1 also rapidly decays to a ground level 0.

20 2

dN BIN ANdt

1 0,N

22 2( )dN BI N N AN

dt

2N N

Laser Transition

Pump Transition

Fast decay

Fast decay

1

2

3

0As before:

Because0 2N N N

The total number of atoms is N :

0 2N N N d N BIN BI N A N

dt

At steady state: 0 BIN BI N A N

51

Why inversion is easy in a four‐level system

0 BIN BI N A N

/1 /

sat

sat

I IN NI I

Now, N is negative—always!

Laser Transition

Pump Transition

Fast decay

Fast decay

1

2

3

0

( / ) /(1 / )N BIN A BI A

/( )N BIN A BI

( )A BI N BIN

52

Summary of population inversion:

OPTICAL RESONATORS

53

)(8

)(emission sspontaneou of rate

emission stimulated of rate3

3

21

21 hfhfc

AhfB

For a particular frequency “f” we need a high density (hf) of photons with energy hffor this ratio to be >> 1. 

So we must confine photons in the region where population inversion is also present.

Earlier we showed that:

1

2

absorption of rateemission stimulated of rate

NN

Also:

Hence we need population inversion

Photon Density (hf)

Photons reflect backwards and forwards between the two parallel mirrors

(the photons ideally will be travelling normal to the mirrors)

This setup is known as a Fabry‐Perot resonator

FABRY‐PEROT RESONATOR

56

57

• We now consider a passive cavity (there is no optical gain element):

Planar mirrorr2

Terminology

Planar mirrorr1

• This structure is called a Fabry‐Perot cavity (or Fabry‐Perot interferometer). The analysis has similarities with the structure below:

11

2

1

rr

Ei Et

Er

Fabry-Perotetalon

Fabry-Perotcavity

Ei

Et1 Et2 Et3

Er1 Er2 Er3

12 nn

1n

1n

2n

58

Analysis of Fabry‐Perot etalon: Calculation of refelected and transmitted waves

We will perform an analysis using normal incidence:

1n 1n2n

1t

't1r

'r21

12nn

nt

21

21

nnnnr

21

22'nn

nt

21

12'nnnnr

rr ' 1'2 ttrStokes relationships

L

A B

jAeB

LnkL 22

Phase change along cavity length (half round trip). 

1',' rrr

59

a jeta jetat '

ra jetar 2'

jetart 2''

Values are referred to vector tips inside the etalon and for intial vector, to vector bases outside.

jetar 32' jetart 32''

jetar 43' jetart 43''

jetar 54' jetart 54''

jetar 65' jetart 65''

60

Adding the transmitted waves we get:

0

22

42

5432

''

...''1'

....'''''

i

ijj

jjj

jjjT

eretat

ereretat

taetrtaetretata

Infinite geometric series: 11

10

xx

xi

i

j

j

T eretata

22'1'

61

j

j

T eReTaa 21

ttT ' 222 '' rrrR

1'2 ttrFrom the Stokes relations:

1 TR

Adding the reflected waves we get:

j

j

jjj

jjjR

ertaetrra

erertaetrra

taerttaerttaertraa

22

2

44222

65432

'1''

...''1''

....''''''

62

j

j

j

j

R ertaetrar

ertaetrraa

22

2

22

2

'1'''

'1''

RrrrrR ',' 22

j

j

j

j

j

j

j

j

R

eReRa

eReRRa

eRTeRRa

ertaetrara

2

2

2

2

2

2

22

2

1)1(

1)1(1

1

'1'''

63

j

j

j

jT

eReR

eReT

aa

22 1)1(

1

j

jR

eReR

aa

2

2

1)1(

The ratio between the transmitted and incident waves is:

The ratio between the reflected and incident waves is:

64

The irradiance for a complex field a is:

221*

21 acaacI

The irradiance transmission coefficient is therefore:

22

2

22

2

2

22

1

)1(

1

)1(

jj

jTT

eR

R

eR

eR

aa

aa

and the irradiance reflection coefficient is:

22

222

1

1

j

jR

eR

eRaa

65

22

22

2

222

22

*22

*2222

sin4)1()sin21(21

2cos21)(1

1111

111

RRRRRR

eeRReReReReR

eReReR

jj

jj

jj

jjj

222 sin41 je

66

22

22

sin4)1()1(RR

RaaT

22

22

sin4)1(sin4

RRR

aaR

Transmission coefficient

Reflection coefficient

67

1

1

0

0

0.5

0.5

Tran

smis

sion

5.0RExample:

Ref

lect

ion

0

0

2 3 4

2 3 4

68

1

1

0

0

0.5

0.5

Tran

smis

sion

95.0RExample:

Ref

lect

ion

0

0

2 3 4

2 3 4

69

1

0.1

0.5

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

Lnmc

22 Lncm

22)1(

Lncm

22)2( Frequency

Tran

smis

sion

Fabry‐Perot Terminology

LncfFSR22

70

Fabry‐Perot Terminology

FSRf

FWHMf

FWHM bandwidth is proportional to the finesse (Quality factor) of the cavity:

RRF

1

LFncfFWHM22

Fff FSR

FWHM

Bandwidth = FSRFinesse

CAVITY WITH GAIN

71

g

72

Inclusion of gain in the cavity

1n 1n2n

1t

't1r

'r

L

A B

jgAeB

Lnkd 22

The picture will be similar to the one we used before, but this time, for each pass through the cavity, we have a gain of g.

73

a jegta jetagt '

ra jetarg 22 ' jetartg 22 ''

jetarg 323 ' jetartg 323 ''

jetarg 434 ' jetartg 434 ''

jetarg 545 ' jetartg 545 ''

jetarg 656 ' jetartg 656 ''

74

j

j

j

jT

eReR

eReT

aa

22 1)1(

1

In other words, without gain, for each pass through the cavity the field is multiplied by exp(-j), and when we include gain this changes to g exp(-j):

Without gain:

With gain:

j

jT

egRgeR

aa

221)1(

If we repeat the previous analysis, this time we have:

2222

222

sin4)1()1(RgRg

RgaaT

75

22

22

sin4)1()1(

GRGRRG

aaT

2gG Let: (Gain in irradiance per pass through cavity)

The maximum transmission coefficient will occur when sin = 0:

2

2

max

2

)1()1(

GRRG

aaT

If: max

21aa

RG T

76

Photon Lifetime

The Fabry‐Perot cavity can store an electric field if power is continuously provided by an external source. If the source is then switched off, it takes some time for the energy in the cavity to decay to zero. We can analyse this by considering photons in the cavity:

NP

NP = initial photon number

2r1r

L

PNr 22

PNrr 22

21

2n

77

In one round trip (distance of 2L), the number of photons that have been lost is:

PP NRNrr 222

21 11

where we assume that r1 = r2. If the light travels at c/n2 in the cavity, then the time taken for one round trip is:

cLn22 time tripround

Hence the rate of change of photons is:

P

PPP NLn

NRcdt

dN

2

2

21

22

12

RcLn

P

78

The solution is:

PPP

tNtN

exp)( 0

The photon lifetime is:

trip-roundper lost photons offraction timetrip-round

12

22

RcLn

P

We can relate the photon lifetime to the cavity Q.

lostpower averageresonanceat cavity in the storedenergy

period onein lost energy resonanceat cavity in the storedenergy 2

0

Q

79

Let W = stored energy. We have:

QW

dtdW

dtdWWQ 0

0 /

t

QWtW 0

0 exp)(

hfNW P00 energy stored of valueinitial

W and NP must decay at the same rate, hence:

0 Q

P

LASING MODES

80

Amplifying mediumopticaloutput

mirrorreflectivity = R2

L

• This structure acts as a Fabry‐Perot resonator; optical cavityprovides positive feedback, i.e. gives oscillation:

mirrorreflectivity = R1

gain coefficient = g(hf)absorption coeff. = (hf)

Threshold Conditions

• Optical amplification of selected modes is provided by the feedback mechanism of the optical cavity. In repeated passes between the two partially reflecting mirrors, a portion of the radiation associated with those modes having the highest optical gain coefficient is retained and further amplified.

• Lasing occurs when the gain of one or more guided modes is sufficient to exceed the total optical loss. Hence for a cavity of length L, the light travels z = 2L per round‐trip. During the round‐trip, fractions R1 and R2 are reflected from the mirrors.

• Optical intensity is given by:

I(z) = I(0) exp { [g(hf) - (hf)] z }

• The intensity at the end of the round‐trip (z = 2L) must match that at the start (z = 0), hence:

I(2L) = I(0) R1R2 exp { [g(hf) - (hf)] 2L } = I(0)

• This gives the optical gain threshold for lasing:

gth = (2L)-1 ln [(R1R2)-1] +

• Also, the round‐trip phase satisfies: exp(-j2βL) = 1

Mode Selection

• Since the laser has a resonant cavity, standing waves can exist between the mirrors if there is sufficient gain. These standing waves can only exist if L is an integral number (m) of half wavelengths:

where n is the refractive index of the cavity. Condition is obtained from:2L = 2m.

L = m2n

• Hence the mth longitudinal mode is related to its frequency of oscillation fm by:

m = 2nL = 2nL fm

cm

• For the next mode, m + 1, we have:

m + 1 = 2nL fm+1

c

• If we denote the spacing between adjacent modes as f, we have f = fm+1 - fm

• Hence taking the difference of the above two equations:

2nL f = 1c

i.e. f = c2nL

• In terms of wavelength spacing between modes, we have:

= m + 1 - m = c - c = c ffmfm+1 fm+1 fm

• If the peak frequencyof the laser is f, then for a semiconductor laser we have fm+1 fm f

• Hence:

= c f = 2 ff 2 c

• Therefore: = 2

2nL

• This tells us about mode spacing, but how many modesactually lase? Will the laser be single or multimode?

Gain - Wavelength Profile

• Answer depends on relationship between optical gain gand wavelength . This takes a gaussian form:

g() = g(0) exp [ - ( - 0)2 / 22 ]

• 0 is centre wavelength, is spectral width of the gain,and g(0) is the peak gain, which occurs at = 0

89

Optical gain betweenFWHM points

m

(a) 5 modes

(b)4 modes

.

Cavity modes

© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)

Number of laser modes ‐ depends on how the cavity modes intersect the optical gain curve 

90

( c )

Relative intensity

Gain Curve

Allowed Modes