8/3/2019 Stavros Garoufalidis - A Reappearence of Wheels

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A R E A P P E A R E N C E O F W H E E L S

S T A V R O S G A R O U F A L I D I S

A b s t r a c t . R e c e n t l y , a n u m b e r o f a u t h o r s K S , O h 2 , R o ] h a v e i n d e p e n d e n t l y s h o w n t h a t

t h e u n i v e r s a l n i t e t y p e i n v a r i a n t o f r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s o n t h e l e v e l o f s l

2

c a n b e

r e c o v e r e d f r o m t h e R e s h e t i k h i n - T u r a e v s l

2

i n v a r i a n t . A n i m p o r t a n t r o l e i n O h t s u k i ' s p r o o f

O h 3 ] p l a y s a m a p j

1

( w h i c h j o i n s t h e l e g s o f 2 - l e g g e d c h i n e s e c h a r a c t e r s ) a n d i t s r e l a t i o n t o

a m a p i n t e r m s o f a p o w e r s e r i e s ( o n t h e l e v e l o f s l

2

) . T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t n o t e i s t o

g i v e a u n i v e r s a l f o r m u l a o f t h e m a p i n t e r m s o f a p o w e r s e r i e s F o f w h e e l c h i n e s e c h a r a c t e r s .

T h e a b o v e f o r m u l a i s s i m i l a r t o u n i v e r s a l f o r m u l a s o f w h e e l c h i n e s e c h a r a c t e r s c o n s i d e r e d i n

B G R T 1 ] a n d l e a d s t o a s i m p l e c o n c e p t u a l p r o o f o f t h e a b o v e m e n t i o n e d r e l a t i o n b e t w e e n

t h e m a p s j

1

a n d o n t h e l e v e l o f s l

2

C o n t e n t s

1 . I n t r o d u c t i o n 1

1 . 1 . H i s t o r y 1

1 . 2 . S t a t e m e n t o f t h e r e s u l t s 2

1 . 3 . S o m e Q u e s t i o n s 3

1 . 4 . A c k n o w l e d g m e n t 4

2 . P r o o f s 4

2 . 1 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 3 4

2 . 2 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 2 5

R e f e r e n c e s 7

1 I n t r o d u c t i o n

1 . 1 . H i s t o r y . S h o r t l y a f t e r t h e i n t r o d u c t i o n o f n i t e t y p e i n v a r i a n t s o f i n t e g r a l h o m o l o g y

3 - s p h e r e s ( s e e O h 1 ] , a n d G O ] f o r a n e x t e n s i o n t o r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s ) a n d t h e

c o n s t r u c t i o n o f t h e u n i v e r s a l s u c h i n v a r i a n t b y T . T . Q . L e , J . M u r a k a m i a n d T . O h t s u k i

( s e e L M O , L ] , a n d i n a d d i t i o n B G R T 2 , B G R T 3 ] ) i t h a s b e e n a f o l k c o n j e c t u r e t h a t n i t e

t y p e i n v a r i a n t s o f r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s s h o u l d b e r e l a t e d t o t h e t o p o l o g i c a l q u a n t u m

e l d t h e o r y i n v a r i a n t s . F o r a s t a t e m e n t o f t h e a b o v e m e n t i o n e d f o l k c o n j e c t u r e o n t h e

l e v e l o f t h e s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a s s e e O h 2 , c o n j e c t u r e 8 . 4 ] . T h e c o n j e c t u r e h a s b e e n

p r o v e n i n d e p e n d e n t l y i n K S , O h 1 , R o , B G R T 2 ] i n t h e c a s e o f s l

2

. A k e y i n g r e d i e n t i n t h e

c o n s t r u c t i o n o f t h e u n i v e r s a l 3 - m a n i f o l d i n v a r i a n t ( o f t e n k n o w n a s t h e L M O i n v a r i a n t ) a n d

i n O h t s u k i ' s p r o o f o f t h e f o l k c o n j e c t u r e o n t h e l e v e l o f s l

2

i s a m a p j

1

: A

0

( S

1

) ! A

0

( )

D a t e : T h i s e d i t i o n : M a y 2 6 , 1 9 9 8 F i r s t e d i t i o n : F e b r u a r y 1 , 1 9 9 7 .

T h e a u t h o r w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F g r a n t D M S - 9 3 - 0 3 4 8 9 .

T h i s a n d r e l a t e d p r e p r i n t s c a n a l s o b e o b t a i n e d a t h t t p : / / w w w . m a t h . b r o w n . e d u / s t a v r o s g

1

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2 S T A V R O S G A R O U F A L I D I S

( w h i c h j o i n s t h e l e g s o f 2 - l e g g e d c h i n e s e c h a r a c t e r s ) a n d i t s r e l a t i o n m o d s l

2

t o a m a p :

A

0

( S

1

) ! A

0

( S

1

) i n t e r m s o f a p o w e r s e r i e s P

s l

2

( ~ ) 2 Q ~ ] ] w i t h r a t i o n a l c o e c i e n t s .

1 . 2 . S t a t e m e n t o f t h e r e s u l t s . W e b e g i n b y r e v i e w i n g s o m e s t a n d a r d d e n i t i o n s a n d

n o t a t i o n . A

0

( S

1

) ( r e s p . A

0

( ) ) i s t h e v e c t o r s p a c e o n c h o r d d i a g r a m s o n S

1

( r e s p . o n t h e

e m p t y s e t ) a n d B

0

i s t h e v e c t o r s p a c e o n c h i n e s e c h a r a c t e r s , B - N ] . N o t e t h a t w e i n c l u d e

c h o r d d i a g r a m s s o m e o f w h o s e c o m p o n e n t s a r e d a s h e d t r i v a l e n t g r a p h s a s w e l l a s c h o r d

d i a g r a m s t h a t c o n t a i n d a s h e d c i r c l e s ; t h i s i s w h y w e h a v e c h o s e n t o p u t

0

i n A

0

( S

1

) ; A

0

( )

a n d B

0

T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t n o t e i s t o

G i v e a u n i v e r s a l e x p r e s s i o n f o r t h e m a p i n t e r m s o f w h e e l s , s e e P r o p o s i t i o n 1 . 3 .

T o g i v e a n e x p l i c i t f o r m u l a f o r t h e p o w e r s e r i e s P

s l

2

( ~ )

F o r a c h i n e s e c h a r a c t e r C w i t h n l e g s ( i . e . , u n i v a l e n t v e r t i c e s ) , d e n e a n o p e r a t o r

C : B

0

!

A

0

( ) a s f o l l o w s :

C ( C

0

) =

8

>

:

0 i f C

0

d o e s n o t h a v e e x a c t l y n l e g s

t h e s u m o f a l l n ! w a y s o f g l u i n g i f C

0

h a s e x a c t l y n l e g s

a l l l e g s o f C t o a l l l e g s o f C

0

N o t e t h a t t h e a b o v e o p e r a t o r i s a m i n o r v a r i a t i o n o f t h e o p e r a t o r c o n s i d e r e d i n B G R T 1 ,

d e n i t i o n 1 . 1 ] , a n d a s s u c h i t c a n b e l i n e a r l y e x t e n d e d t o t h e c a s e o f C b e i n g a n i n n i t e

l i n e a r c o m b i n a t i o n o f c h i n e s e c h a r a c t e r s w i t h a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f l e g s . T h i s d e n e s

a m a p B

0

B

0

! A

0

( ) w h e r e t h e l e f t c o p y o f B

0

i s e q u i p p e d w i t h t h e d i s j o i n t u n i o n

m u l t i p l i c a t i o n o f c h i n e s e c h a r a c t e r s . F o l l o w i n g L M O , O h 2 ] , w e d e n e a m a p j

1

: B

0

! A

0

( )

b y j

1

= 1 = 2

I ; w h e r e I i s t h e c o n n e c t e d c h i n e s e c h a r a c t e r w i t h n o t r i v a l e n t a n d 2 u n i v a l e n t

v e r t i c e s . N o t e t h a t b y d e n i t i o n j

1

c l o s e s a c h i n e s e c h a r a c t e r w i t h 2 l e g s t o a t r i v a l e n t

g r a p h i f t h e c h i n e s e c h a r a c t e r h a s 2 l e g s , a n d v a n i s h e s o t h e r w i s e . T h e m a p j

1

i s a k e y

i n g r e d i e n t i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e L e - M u r a k a m i - O h t s u k i i n v a r i a n t o f 3 - m a n i f o l d s . O n t h e

l e v e l o f s l

2

, O h t s u k i e x p r e s s e d j

1

a s a p o w e r s e r i e s P

s l

2

o n a m a p a n d u s e d t h i s e x p r e s s i o n

i n h i s p r o o f o f t h e a b o v e m e n t i o n e d f o l k c o n j e c t u r e o n t h e l e v e l o f s l

2

. R e c a l l O h 2 ] t h a t

: A

0

( S

1

) ! A

0

( S

1

) i s d e n e d ( f o r e v e r y C 2 A

0

( S

1

) ) b y :

( C ) = ( r e p l a c e t h e l e f t b y )

B

( C ) ? t C

w h e r e A

0

( S

1

t S

1

) i s t h e v e c t o r s p a c e o f c h o r d d i a g r a m s o n t w o o r d e r e d c i r c l e s ( c a l l e d l e f t

a n d r i g h t c i r c l e ) ,

B

: A

0

( S

1

) ! A

0

( S

1

t S

1

) i s a c o m u l t i p l i c a t i o n m a p w h i c h s e n d s a c h o r d

d i a g r a m o n S

1

t o t h e s u m o f a l l p o s s i b l e w a y s o f l i f t i n g t h e e n d p o i n t s o f i t s c h o r d s t o e i t h e r

o f t h e t w o o r d e r e d c i r c l e s .

T h o u g h t h e m a p i s d e n e d i n a r a t h e r a d - h o c w a y , u s i n g t h e f o l l o w i n g p r i n c i p l e

1

P r i n c i p l e 1 . 1 . R e p l a c e c h o r d d i a g r a m s i n t e r m s o f c h i n e s e c h a r a c t e r s , v i a t h e ( n o r m a l i z e d )

i s o m o r p h i s m : B

0

! A

0

( S

1

) o f B - N , t h e o r e m 8 ] . E x p r e s s e d i n t e r m s o f c h i n e s e c h a r a c t e r s ,

m a n y m a p s s i m p l i f y a n d t h e i r d e s c r i p t i o n o f t e n i n v o l v e s w h e e l s , s e e F i g u r e 1 .

1

F o r o t h e r e x a m p l e s o f t h e a b o v e p r i n c i p l e , s e e B G R T 1 , B G R T 2 , G H , K S A ]

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3/7

A R E A P P E A R E N C E O F W H E E L S 3

i t t u r n s o u t t h a t t h e c o m p o s i t e m a p i s m u c h e a s i e r t o d e s c r i b e i n t e r m s o f w h e e l s , t h u s

e x p l a i n i n g t h e t i t l e o f t h e p a p e r . I n d e e d , l e t

F =

1

X

p = 1

w

2 p

( 2 p ) !

( 1 )

w h e r e w

2 n

i s t h e 2 n - w h e e l , B G R T 1 ] , s e e a l s o g u r e 1 .

F i g u r e 1 . T h e w h e e l !

4

w i t h 4 l e g s . I t s t r i v a l e n t v e r t i c e s a r e o r i e n t e d c l o c k w i s e .

U s i n g t h e m a p : A

0

( S

1

) ! A

0

( ) d e n e d b y

( D ) =

(

0 i f t h e r e a r e c h o r d s t o u c h i n g t h e s o l i d S

1

e r a s e S

1

o t h e r w i s e

w e c a n e x p r e s s j

1

i n t e r m s o f a s f o l l o w s :

P r o p o s i t i o n 1 . 2 .

j

1

= P

s l

2

( ) m o d s l

2

( 2 )

w h e r e m o d s l

2

i s e x p l a i n e d i n s e c t i o n 2 . 2 a n d P

s l

2

i s t h e f o r m a l p o w e r s e r i e s d e n e d b y :

8 P

s l

2

( F

s l

2

( ~ ) ) = ~ w h e r e F

s l

2

( ~ ) = 2 c o s h

r

~

2

? 2( 3 )

M o r e o v e r , P

s l

2

i s t h e u n i q u e p o w e r s e r i e s s o t h a t t h e a b o v e e q u a t i o n h o l d s .

F u r t h e r m o r e , w e c a n e x p r e s s i n t e r m s o f w h e e l s a s f o l l o w s :

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . F o r a l l n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s m w e h a v e :

m

=

c

F

m

( 4 )

I t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 3 ) t h a t t h e p o w e r s e r i e s P

s l

2

( ~ ) c a n b e c a l c u l a t e d e x p l i c i t l y .

T . T . Q L e a n d D . T h u r s t o n L T ] k i n d l y i n f o r m u s t h a t t h e i r i n d e p e n d e n t c a l c u l a t i o n i m p l i e s

t h a t :

P

s l

2

( ~ ) =

1

X

n = 1

( ? 1 )

n ? 1

~

n

2 n

2

?

2 n

n

( 5 )

1 . 3 . S o m e Q u e s t i o n s . I t i s a p u z z l e t o e x p l a i n t h e a p p e a r a n c e o f w h e e l s i n B G R T 1 ] a n d

i n t h e m a p . T h e t w o p o w e r s e r i e s ( F c o n s i d e r e d h e r e , a n d c o n s i d e r e d i n B G R T 1 ] ) a r e

v e r y s i m i l a r , w i t h t h e o n l y e x c e p t i o n o f t h e a p p e a r a n c e o f B e r n o u l l i n u m b e r s i n b u t n o t

i n F

I t i s a n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n ( r e l a t e d t o a p r o o f o f t h e f o l k c o n j e c t u r e o n t h e l e v e l o f

s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a s ) t o n d a n a n a l o g u e o f P r o p o s i t i o n 1 . 2 f o r a n y s e m i s i m p l e L i e a l g e -

b r a .

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4/7

4 S T A V R O S G A R O U F A L I D I S

1 . 4 . A c k n o w l e d g m e n t . T h e r s t i d e a o f t h e p r e s e n t p a p e r w a s c o n c e i v e d d u r i n g a c o n v e r -

s a t i o n w i t h D . B a r - N a t a n a t t h e J a n u a r y 1 9 9 7 w o r k s h o p i n M . S . R . I . W e w i s h t o t h a n k D .

B a r - N a t a n f o r p o i n t i n g o u t t h e r e l e v a n c e o f w h e e l s i n t h e d e n i t i o n o f t h e m a p , a s w e l l

a s t h e s l

2

r e l a t i o n o f L e m m a 2 . 1 . T h e p o w e r s e r i e s P

s l

2

( ~ ) w a s c a l c u l a t e d i n d e p e n d e n t l y b y

T . T . Q . L e a n d D . T h u r s t o n , L T ] . W e w i s h t o t h a n k t h e m f o r s h a r i n g t h e i r r e s u l t w i t h u s ,

a n d f o r c o r r e c t i n g m i s t a k e s i n a n e a r l i e r v e r s i o n o f t h e p a p e r . F i n a l l y w e w i s h t o t h a n k M .

H u t c h i n g s f o r f r u i t f u l a n d c l a r i f y i n g c o n v e r s a t i o n s .

2 P r o o f s

2 . 1 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 3 .

P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 3 . T h r o u g h o u t t h i s p r o o f w e x a c h i n e s e c h a r a c t e r C w i t h l l e g s .

T h e n , w e h a v e t h e f o l l o w i n g e q u a l i t y :

!

1

l !

X

J o i n

m

!

1

l !

X

J o i n

X

L i f t

!

1

l !

X

J o i n

X

L i f t a l l

w h e r e t h e n o t a t i o n i s a s f o l l o w s :

\ J o i n " i s a l l l ! w a y s o f j o i n i n g t h e l l e g s o f C t o l p o i n t s i n a s o l i d c i r c l e .

\ L i f t " i s a l l w a y s o f l i f t i n g s o m e n o n - e m p t y s u b s e t o f t h e l p o i n t s o f t h e s o l i d c i r c l e t o

t h e m o r d e r e d d a s h e d c i r c l e s .

\ L i f t a l l " i s a l l w a y s o f l i f t i n g a l l t h e l p o i n t s o f a s o l i d c i r c l e t o m o r d e r e d d a s h e d c i r c l e s

i n s u c h a w a y t h a t e a c h d a s h e d c i r c l e h a s a n e v e n n o n z e r o n u m b e r o f p o i n t s .

T h e p r o o f o f t h e a b o v e i d e n t i t y f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e d e n i t i o n o f t o g e t h e r w i t h t h e f a c t

t h a t a w h e e l w i t h a n o d d n u m b e r o f l e g s v a n i s h e s .

I f l i s o d d , t h i s i m p l i e s t h a t

m

( C ) = 0 a n d a l s o

c

F

m

( C ) = 0 ( s i n c e F

m

i s a l i n e a r

c o m b i n a t i o n o f e v e n l e g g e d d i a g r a m s a n d C h a s o d d m a n y l e g g s ) .

A s s u m e f r o m n o w o n t h a t l = 2 n i s e v e n . N o t i c e t h a t e v e r y e l e m e n t o f \ L i f t a l l " g i v e s r i s e

t o a p a r t i t i o n o f 2 n i n t o m o r d e r e d p i e c e s , s o t h a t e a c h p i e c e h a s a p o s i t i v e e v e n n u m b e r

a s s o c i a t e d t o i t . F o r i = 1 ; : : : ; m , l e t j

i

d e n o t e t h e n u m b e r o f p i e c e s o f s i z e 2 i . T h e n w e

h a v e ,

1

X

p = 1

2 p j

p

= 2 n a n d

1

X

p = 1

j

p

= m( 6 )

w h e r e o f c o u r s e b o t h a r e n i t e s u m s . O u r g o a l i s t o r e p l a c e e a c h o f t h e d a s h e d o r d e r e d c i r c l e s

w i t h a d i s j o i n t u n i o n o f u n o r d e r e d w h e e l s . T h e r e a r e :

2 n

2 ; 2

| { z }

j

1

; 4 ; 4

| { z }

j

2

w a y s o f c h o o s i n g a p a r t i t i o n o f t h e l e g s o f C

m ! w a y s f o r o r d e r i n g t h e p a r t i t i o n

H o w e v e r , w e m u s t m u l t i p l y b y :

1

Q

p

j

p

!

i f w e d o n o t d i s t i n g u i s h d a s h e d c i r c l e s

w i t h t h e s a m e n u m b e r o f p o i n t s

8/3/2019 Stavros Garoufalidis - A Reappearence of Wheels

5/7

A R E A P P E A R E N C E O F W H E E L S 5

T h e a b o v e c o n s i d e r a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t

2 n

2 ; 2

| { z }

j

1

; 4 ; 4

| { z }

j

2

=

( 2 n ) !

Q

p

( 2 p ) !

j

p

i m p l y

t h a t :

m

( C ) =

1

( 2 n ) !

X

j

( 2 n ) ! m !

j

p

! ( ( 2 p ) ! )

j

p

Y

p

w

j

p

2 p

( C )

w h e r e t h e s u m m a t i o n i s o v e r a l l f j g t h a t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f e q u a t i o n ( 6 ) . U s i n g t h e

d i s j o i n t u n i o n m u l t i p l i c a t i o n o f w h e e l s , t o g e t h e r w i t h t h e m u l t i b i n o m i a l t h e o r e m , i t i m p l i e s

t h a t :

m

( C ) = (

X

p

w

2 p

2 p ( 2 p ) !

)

m

( C ) ;

w h i c h c o n c l u d e s t h e p r o o f o f t h e P r o p o s i t i o n .

2 . 2 . P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 2 . W e b e g i n b y r e c a l l i n g s o m e s t a n d a r d f a c t s a b o u t w e i g h t

s y s t e m s , f o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n s e e B - N , s e c t i o n 2 . 4 ] . G i v e n a s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a

( s u c h a s s l

2

) t h e r e i s a m a p W

s l

2

: A

0

( S

1

) ! Q ~ ] ] d e n e d b y c o l o r i n g t h e c i r c l e S

1

w i t h

t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n . T h i s i n d u c e s a m a p B

0

! Q ~ ] ] ( d e n e d b y c o m p o s i n g w i t h

: B

0

! A

0

( S

1

) ) a s w e l l a s a r e s t r i c t i o n m a p t o A

0

( ) o b t a i n e d b y t h e i n c l u s i o n A

0

( ) , ! B

0

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e w i l l d e n o t e t h e a b o v e t h r e e w e i g h t s y s t e m s w i t h t h e s a m e

n a m e . W e c a l l t w o e l e m e n t s C

1

; C

2

o f B

0

s l

2

- e q u i v a l e n t i f W

s l

2

( C

1

) = W

s l

2

( C

2

) . S i m i l a r l y ,

w e c a l l t w o o p e r a t o r s

C

1

a n d

C

2

s l

2

- e q u i v a l e n t i f f o r e v e r y c h i n e s e c h a r a c t e r C , w e h a v e :

W

s l

2

(

C

1

( C ) ) = W

s l

2

(

C

2

( C ) ) 2 Q ~ ] ]

W e n e e d t h e f o l l o w i n g c l a s s i c a l i n d e n t i t y :

2

= 2 ? 2 m o d s l

2

w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e c h i n e s e c h a r a c t e r s o u t s i d e t h e g u r e a r e e q u a l . A n a l t e r -

n a t i v e p r o o f c a n b e o b t a i n e d a s f o l l o w s : F r o m t h e t h e o r y o f i n v a r i a n t s l

2

t e n s o r s i t f o l l o w s

t h a t

= a + b m o d s l

2

f o r s o m e c o n s t a n t s a ; b B y A S i t f o l l o w s t h a t a + b = 0 . I f w e j o i n t h e l e f t t w o l e g s , u s i n g

t h e f a c t t h a t t h e v a l u e o f t h e q u a d r a t i c C a s i m i r o f s l

2

i n t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n i s 4 , w e

o b t a i n t h a t : 4 3 = 9 a + 3 b f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t a = 2 ; b = ? 2

L e m m a 2 . 1 . F o r e v e r y i n t e g e r n u m b e r p 1 , w e h a v e :

w

2 p

=

1

2

p ? 1

w

p

2

m o d s l

2

;

w h i c h t o g e t h e r w i t h t h e n o t a t i o n o f e q u a t i o n ( 3 ) i m p l i e s t h a t :

F F

s l

2

( w

2

) m o d s l

2

2

D . B a r - N a t a n i n f o r m s u s t h a t i t i s u s u a l l y w r i t t e n i n t h e f o r m : A ( B C ) = ( A B ) C ? ( A C ) B , f o r

A ; B ; C v e c t o r s i n R

3

8/3/2019 Stavros Garoufalidis - A Reappearence of Wheels

6/7

6 S T A V R O S G A R O U F A L I D I S

P r o o f . M o d u l o s l

2

, t h e c l a s s i c a l i d e n t i t y a b o v e i m p l i e s t h a t :

=2 -2 =1/2

w h e r e t h e m i d d l e e q u a l i t y t h e r i g h t t e r m i s z e r o ( s i n c e i t i s a t r e e c h i n e s e c h a r a c t e r ) a n d

t h i r d e q u a l i t y f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t w

2

i s c e n t r a l , w i t h v a l u e t h e q u a d r a t i c C a s i m i r i n

t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n o f s l

2

, i . e . , 4 . T h i s s h o w s t h a t

w

2 p

=

1

2

\w

2 p ? 2

w

2

m o d s l

2

( w h e r e w

2 p ? 2

w

2

i s t h e d i s j o i n t u n i o n m u l t i p l i c a t i o n o f w

2 p ? 2

a n d w

2

) , f r o m w h i c h t h e r s t

p a r t o f t h e l e m m a f o l l o w s b y i n d u c t i o n o n p . T h e s e c o n d p a r t o f t h e l e m m a f o l l o w s f r o m t h e

r s t t o g e t h e r w i t h t h e m o d s l

2

i d e n t i t y :

F

P

1

p = 1

w

p

2

2

p ? 1

( 2 p ) !

2 c o s h

q

w

2

2

? 2

P r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 2 . W e b e g i n b y x i n g a p o w e r s e r i e s P ( ~ ) =

P

1

m = 1

c

m

~

m

2 Q ~ ] ]

U s i n g t h e d e n i t i o n o f j

1

, t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t ^ w

2

= 4

I , i t f o l l o w s t h a t e q u a t i o n ( 2 )

i s e q u i v a l e n t t o :

1

X

m = 1

c

m

m

( C ) = 1 = 8 w

2

( C ) m o d s l

2

( 7 )

f o r a l l c h i n e s e c h a r a c t e r s C . O n t h e o t h e r h a n d , P r o p o s i t i o n 1 . 3 i m p l i e s t h a t

m

( C ) = 0

f o r m > n

d e f

= n u m b e r o f l e g s ( C ) = 2 , a n d t o g e t h e r w i t h L e m m a 2 . 1 , i t f o l l o w s t h a t e q u a t i o n

( 7 ) i s e q u i v a l e n t t o :

1 = 8 w

2

( C ) =

P

n

m = 1

c

m

m

( C ) m o d s l

2

=

P

n

m = 1

c

m

F

m

( C ) m o d s l

2

=

P

n

m = 1

c

m

F

s l

2

( w

2

)

m

( C ) m o d s l

2

= P ( F

s l

2

( w

2

) ) ( C ) m o d s l

2

w h i c h i n t u r n i s e q u i v a l e n t t o t h e i d e n t i t y o f e q u a t i o n ( 3 ) . T h i s n i s h e s t h e p r o o f o f P r o p o -

s i t i o n 1 . 2 .

A n e x p l i c i t c a l c u l a t i o n o f t h e c o e c i e n t s o f P

s l

2

( ~ ) u p t o a r b i t r a r y d e g r e e n c a n b e o b t a i n e d

b y r u n n i n g M a t h e m a t i c a :

I n 1 ] : = P h _ , n _ ] : = 1 / 8 I n v e r s e S e r i e s S u m t ^ r / ( 2 ^ ( r - 1 ) ( 2 r ) ! ) , { r , 1 , n } ]

+ O t ] ^ ( n + 1 ) , h ]

I n 2 ] : = P h , 6 ]

2 3 4 5 6

h h h h h h 7

O u t 2 ] = - - - - + - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - + O h ]

4 4 8 3 6 0 2 2 4 0 1 2 6 0 0 6 6 5 2 8

8/3/2019 Stavros Garoufalidis - A Reappearence of Wheels

7/7

A R E A P P E A R E N C E O F W H E E L S 7

R e f e r e n c e s

B - N ] D . B a r - N a t a n , O n t h e V a s s i l i e v k n o t i n v a r i a n t s , T o p o l o g y 3 4 ( 1 9 9 5 ) 4 2 3 - 4 7 2 .

B G R T 1 ] D . B a r - N a t a n , S . G a r o u f a l i d i s , L . R o z a n s k y , D . T h u r s t o n , W h e e l s , w h e e l i n g a n d t h e K o n t s e v i c h

i n t e g r a l o f t h e u n k n o t , p r e p r i n t 1 9 9 7 .

B G R T 2 ] , T h e

A r h u s i n v a r i a n t o f r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s I ; a h i g h l y n o n - t r i v i a l a t c o n n e c t i o n

i n S

3

, p r e p r i n t 1 9 9 7 .

B G R T 3 ] , T h e

A r h u s i n v a r i a n t o f r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s I I ; i n v a r i a n c e a n d u n i v e r s a l i t y ,

p r e p r i n t 1 9 9 7 .

G H ] S . G a r o u f a l i d i s , N . H a b e g g e r , T h e A l e x a n d e r p o l y n o m i a l a n d n i t e t y p e 3 - m a n i f o l d i n v a r i a n t s , t o

a p p e a r i n M a t h . A n n a l e n .

G O ] S . G a r o u f a l i d i s , T . O h t s u k i , O n n i t e t y p e 3 - m a n i f o l d i n v a r i a n t s V : r a t i o n a l h o m o l o g y s p h e r e s ,

P r o c e e d i n g s o f t h e A a r h u s C o n f e r e n c e , G e o m e t r y a n d P h y s i c s , M a r c e l D e k k e r ( 1 9 9 6 ) 4 4 5 - 4 5 7 .

K S ] A . K r i c k e r , B . S p e n c e , O h t s u k i ' s i n v a r i a n t s a r e o f n i t e t y p e , J . K n o t T h e o r y a n d i t s R a m i c a t i o n s

6 n o . 5 , ( 1 9 9 7 ) 6 8 7 { 7 1 4 .

K S A ] A . K r i c k e r , B . S p e n c e , I . A i t c h i n s o n , C a b l i n g t h e V a s s i l i e v i n v a r i a n t s , J . K n o t T h e o r y a n d i t s

R a m i c a t i o n s 6 n o . 3 , ( 1 9 9 7 ) 3 2 7 { 3 5 8 .

L M O ] T . T . Q . L e , J . M u r a k a m i , T . O h t s u k i , A u n i v e r s a l q u a n t u m i n v a r i a n t o f 3 - m a n i f o l d s , T o p o l o g y , 3 7

( 1 9 9 8 ) 5 3 9 { 5 7 4 .

L ] T . T . Q . L e , A n i n v a r i a n t o f i n t e g r a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s w h i c h i s u n i v e r s a l f o r a l l n i t e t y p e i n v a r i -

a n t s , S o l i t o n G e o m e t r y a n d T o p o l o g y : O n t h e c r o s s r o a d , A M S T r a n s l a t i o n s 2 E d s . V . B u c h s t a b e r ,

S . N o v i k o v , 7 5 { 1 0 0 .

L T ] T . T . Q . L e , D . T h u r s t o n , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n

O h 1 ] T . O h t s u k i , F i n i t e t y p e i n v a r i a n t s o f i n t e g r a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s , J . K n o t T h e o r y a n d i t s R a m i . 5

( 1 9 9 6 ) 1 0 1 - 1 1 5 .

O h 2 ] , C o m b i n a t o r i a l q u a n t u m m e t h o d i n 3 - d i m e n s i o n a l t o p o l o g y , n o t e s S e p t e m b e r 1 9 9 6 .

O h 3 ] , T h e p e r t u r b a t i v e S O ( 3 ) i n v a r i a n t o f r a t i o n a l h o m o l o g y 3 - s p h e r e s r e c o v e r s f r o m t h e u n i -

v e r s a l p e r t u r b a t i v e i n v a r i a n t , p r e p r i n t M a r c h 1 9 9 7 .

R o ] L . R o z a n s k y , T h e t r i v i a l c o n n e c t i o n c o n t r i b u t i o n t o W i t t e n ' s i n v a r i a n t a n d n i t e t y p e i n v a r i a n t s

o f r a t i o n a l h o m o l o g y s p h e r e s , C o m m . M a t h . P h y s . 1 8 3 ( 1 9 9 7 ) 2 3 { 5 4 .

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , H a r v a r d U n i v e r s i t y , C a m b r i d g e , M A 0 2 1 3 8 , U . S . A .

E - m a i l a d d r e s s : s t a v r o s @ m a t h . h a r v a r d . e d u