05 - Enhetslastmetoden - NTNU

TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016 5-1 Enhetslastmetoden

5

Enhetslastmetoden

Innhold:

Utledning av enhetslastmetoden

Deformasjonsberegninger for fagverk, bjelker og rammer

Beregning av deformasjoner pga temperaturendring

Beregning av statisk ubestemte systemer ved bruk av deformasjonsbetraktninger og enhetslastmetoden

Litteratur:

Irgens, ”Fasthetslære”, kap. 21

Hibbeler, ”Mechanics of Materials”, kap. 14.5 – 14.7

Cook & Young, ”Advanced Mechanics of Materials”, kap. 4.4 – 4.6


Utledning av enhetslastmetoden Energibevarelse:

1 1

2 2y

i

VW

W

Fu dV

Gradvis påføring (derfor faktor ½) av ytre last F gir opphav

til deformasjon u, spenninger og tøyninger .

Opplagerreaksjoner F/2 gjør null arbeid (null forskyvning) Skal nå betrakte en totrinns lastprosess:

Virtuell last F settes på systemet.

Ytre last F gir opphav til spenninger (samt defor-masjon u og tøyninger ).

Mens F virker på systemet (og er konstant), påføres en kraft F.

Ytre last F gir opphav til defor-

masjon u, spenninger og

tøyninger . NB: Under den siste forskyv-nings-/lastpåføringen (trinn )

er F uavhengig av u, og er

uavhengig av .

u og u forutsettes små og helt uavhengig av hverandre.

F

F/2 F/2 u

F

u

Fu

F

u


Utledning (forts)

Benytter prinsippet om virtuelt arbeid (VKP) i trinn :

y iW W 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1

2 2

u

V

u u

V V

u u

F V V

V V

F F du d dV

F du F du d dV d dV

F du ku du d dV E d dV

Fu Fu dV dV

For vår aktuelle forskyvningstilstand har vi: 1 1

2 2V

Fu dV

To av de fire leddene i siste linje av arbeidsbetraktningen

y iW W vil dermed kansellere hverandre, og vi sitter igjen med:

V

Fu dV

Dette uttrykket er identisk med VKP på side 4-10. Skal nå se nærmere på:

Valget av virtuell kraft F (side 5-4)

Integralet V

dV i det indre virtuelle arbeidet (sidene 5-5,

5-7 og 5-12)


Valg av enhetslast

Virtuelle krefters prinsipp: V

Fu dV

Metodikk: Setter på en enhetslast 1F i det punktet vi ønsker

å bestemme forskyvningen . NB: Enhetslasten 1F er paral-

lell med den ukjente forskyvningen . Evt.: Enhetsmoment

1M hvis vi skal beregne en vinkel .

Hvis vi ønsker å finne forskyvningen i midtsnitt, setter vi på

en enhetslast 1F i midtsnitt. Dette definerer da en last-tilstand som er kalt ”Virtuell lasttilstand 1” i figuren ovenfor.

Ytre virtuelt arbeid Fu er nå lik 1· = . Opplagerkreftene

/ 2F , som også er ytre krefter på bjelken (fritt-legeme-diagram!), gjør ikke arbeid.

Tilsvarende: Ønsker vi å finne rotasjonsvinkelen ved

venstre opplager, setter vi på et enhetsmoment 1M , dvs

”Virtuell lasttilstand 2”. Ytre virtuelt arbeid er nå 1· = .

F 1

?

q

?

M 1

FORSKYVNINGS-

TILSTAND

VIRTUELL

LASTTILSTAND 1

VIRTUELL

LASTTILSTAND 2

F 1F 1

?

q

?

M 1M 1

FORSKYVNINGS-

TILSTAND

VIRTUELL

LASTTILSTAND 1

VIRTUELL

LASTTILSTAND 2


Indre virtuelt arbeid for staver og fagverk

Staver: Har kun aksialkraft N, og staven får aksialdeformasjon

Konstant A

0 0

N N

V V

L L

A

dV dV

N N NdAdx N dx

A EA EA

Resultat: 0

1L

NN dx

EA

Kinematisk kompatible Likevekt

N/EA = N er tøyning pga aktuell belastning

N/EA er relatert til (kinematisk kompatible)

N er aksialkraft (N-diagram) pga aktuell belastning

N er aksialkraft(diagram) pga enhetslast 1F

N er i likevekt med enhetslast 1F

Fagverk: Et fagverk er satt sammen av staver (dvs ledd i begge ender), og alle laster forutsettes å virke i knutepunktene. Resultat: Konstant aksialkraft N i hver stav, og ingen momenter eller skjærkrefter. Integralet kan dermed erstattes med en sum hvor stavlengden L inngår.

Deformasjonsberegning: 1stavern

NN L

EA

Altså: Produktet N

N LEA

summeres for alle stavene.


Eksempel 5.1: Fagverk

F = 10 kN a = 2 m

E = 210 000 MPa A = 100 mm

2

Bruk enhetslastmetoden til å bestemme:

Vertikalforskyvningen i ledd C.

Horisontalforskyvningen i ledd C.

Vertikalforskyvningen i ledd B.

Fasit:

45 (nedover)

8CV

Fa

EA ,

5 (til høyre)

12CH

Fa

EA ,

12 (nedover)

5BV

Fa

EA

2.4

a F

a

AC

B

2.4

a F

a

AC

B


Indre virtuelt arbeid for bjelker og rammer

Bjelker: Bøyedeformasjoner (pga M) er vanligvis dominerende. Aksial- og skjærdeformasjoner er som regel små.

0

2

0 0

y

M M

V V

L

y yA

L L

y y yA

I

dV dV

M Mz z dAdx

I EI

M M Mdx z dA M dx

I EI EI

Resultat: 0

1L

y

MM dx

EI evt.:

0

1L

y

MM dx

EI

M/EIy = 1/R = er krumning pga aktuell belastning

M/EIy er relatert til (kinematisk kompatible)

M er momentdiagrammet pga aktuell belastning

M er momentdiagram pga enhetslast 1F

M er i likevekt med enhetslast 1F

Har antatt at M og M gir bøyning om y-aksen ( stivhet EIy)

Rammer: En ramme er satt sammen av bjelker (dvs kon-struksjonselementer med tverrlast) og eventuelt en eller flere staver. Generelt vil det være både aksialkrefter N, skjærkrefter V og momenter M i en ramme. I bjelkene i rammen tar vi kun hensyn til bøyedeformasjoner pga M så fremt ikke noe annet er spesifisert. I eventuelle staver, hvor N er eneste snittkraft ulik null, må aksialdeformasjonen tas med.


Eksempel 5.2: Bjelke med variabel stivhet

En fritt opplagt bjelke har bøyestivhet EI i den venstre halvdelen av lengden, mens stivheten er 2EI i den høyre halvparten. Bestem nedbøyningen i midtsnitt. Bruk enhetslastmetoden.

Fasit:

45 (nedover)

512midt

qL

EI

q

2EIEI

L/2 L/2

q

2EIEI

L/2 L/2L/2 L/2


Elementærintegral

0

LM

M dxEI inneholder produktet av to funksjoner ( )M x og ( )M x

Momentdiagram-funksjonen ( )M x er ofte firkantet

(konstant), trekantet (lineær) eller en parabel (2. grad)

Momentdiagram-funksjonen ( )M x er konstant eller lineær

Siden et integral uttrykker areal, vil integralet 0

LM

M dxEI være

funksjon av L og karakteristiske ordinatverdier for funksjonene

( )M x og ( )M x – forutsatt konstant EI.

Eksempel: To trekant-diagram

( ) 1x

M x ML

( )x

M x ML

2

2

0 0 0

11

6

L L Lx x x x

MMdx M M dx MM dx MMLL L L L

Lignende kombinasjoner av ulike diagram finnes tabellert:

0

L

i kM M dx abL

Dette gir en mye enklere beregning enn med analytisk inte-grasjon. Metoden kalles ofte for hurtigintegrasjon.

M

Mx

0 L

M

Mx

0 L


Elementærintegral (forts) Figur fra ”Stålkonstruksjoner – Profiler og formler”:


Eksempel 5.3: Bjelke med variabel stivhet

En fritt opplagt bjelke har bøyestivhet EI i den venstre halvdelen av lengden, mens stivheten er 2EI i den høyre halvparten. Bestem nedbøyningen i midtsnitt ved å benytte enhetslastmetoden og elementærintegral. Bestem dessuten rotasjonen (vinkeldreiningen) i venstre opplager.

Fasit:

45 (nedover)

512midt

qL

EI

39 (nedover)

256venstre

qL

EI

q

2EIEI

L/2 L/2

q

2EIEI

L/2 L/2L/2 L/2


Indre virtuelt arbeid – generelt uttrykk

Bøyedeformasjoner (pga M) er vanligvis dominerende i bjelker og rammer. Men lastvirkningene N, V og T vil, hvis de er tilstede, også gi bidrag til den totale deformasjonen (– selv om disse bidragene ofte er små). Totalt indre virtuelt arbeid er:

N N M M T T V V

V V V V V

dV dV dV dV dV

Fra før: 0

L

N N

V

NdV N dx

EA og

0

Ly

M M y

yV

MdV M dx

EI

Tøyningsenergi pga T og V:

0

1 1d d

2 2

L

T T T

pV

TU V T x

GI

0

L

T T

pV

TdV T dx

GI

0

1 1d d

2 2

L

zV V V z z

V

VU V k V x

GA

0

L

zV V z z

V

VdV V k dx

GA

Resultat:

0 0 0 0

L L L Ly z

y z z

y pV

M VN TdV N dx M dx T dx V k dx

EA EI GI GA

Uttrykket må utvides med ytterligere to ledd hvis det i tillegg er moment Mz om z-aksen eller skjærkraft Vy i y-retning.


Eksempel 5.4: Ramme

Figur (a) viser en stålramme ABC utført i tverrsnitt IPE220.

Profilet er orientert slik at det bøyes om sterk akse (y-aksen).

Rammen er påkjent av to fordelte laster q1 og q2. Rammens aksialkraft-, skjærkraft og momentdiagram er vist i figur (b).

Stål: E = 210 000 MPa = 0.3

IPE220: Iy = 27.7∙106 mm

4 A = 3.34∙10

3 mm

2

Beregn: Vertikal- og horisontalforskyvningen i C. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner. Rotasjonen (vinkelen) i B. Vertikalforskyvningen i C hvis aksial- og skjærdeformasjoner inkluderes.

Fasit: 93 (nedover)CV mm 93,5 (til høyre)CH mm 2,41 (m/ klokka)B

93,3 (nedover) inkl. aksial- og skjærdeformasjonerCV mm

(a)

(b)

88 kNm

48 kNm

MN

48 kN

V

48 kN

20 kN

q1 = 24 kN/m

q2 = 5 kN/m

2 m

4 m

A

B C

IPE 220201.6

9.2

9.2

5.9

110

y

z

(a)

(b)

88 kNm

48 kNm

M

88 kNm88 kNm

48 kNm

MMN

48 kN

NN

48 kN

V

48 kN

20 kN

VV

48 kN

20 kN

q1 = 24 kN/m

q2 = 5 kN/m

2 m

4 m

A

B C

q1 = 24 kN/m

q2 = 5 kN/m

2 m

4 m

A

B C

IPE 220201.6

9.2

9.2

5.9

110

y

z

IPE 220201.6

9.2

9.2

201.6

9.2

9.2

5.9

110

y

z


Eksempel 5.5: Bjelke

Bjelken ABC har konstant bøyestivhet EI. Sett F = 2qL. Bestem vertikalforskyvningen i punkt A og i midtsnitt mellom B og C. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner.

Fasit: 45

(nedover)3

AV

qL

EI

47

(oppover)24

midt

qL

EI

F

L 2L

q

A B C

F

L 2LL 2L

q

A B C


Deformasjon pga temperatur

Når et materiale varmes opp, utvider det seg. På tilsvarende måte vil det trekke seg sammen ved avkjøling.

Temperaturtøyning: T T T

T kalles temperaturutvidelseskoeffisienten (~10-5

K-1

).

For et isotropt materiale er T den samme i alle retninger. I bjelker og staver, hvor lengden er mye større enn tverr-snittsdimensjonene, neglisjeres vanligvis tverrtøyninger pga temperatur.

Vi skiller mellom to tilfeller av temperaturinduserte deforma-sjoner

Uniform temperaturøkning, hvor hele staven/bjelken får

samme endring i temperatur Tu Komponenten forlenges i akseretning (kun aksialtøyninger).

Temperaturgradient, med ulik Tg på over- og undersiden

Komponenten krummer seg (bøyning) fordi den ene siden ekspanderer, mens den motsatte siden trekker seg sammen.

En temperaturendring i en eller flere komponenter vil dermed påvirke dimensjonene til de aktuelle komponentene. Dette fører igjen til forskyvninger i hele konstruksjonen. Disse kan regnes ut med enhetslastmetoden.

Tu

Tu

Uniform temperaturøkning

Tg

Tg

Temperaturgradient

Tu

Tu


Tg

Tg

Temperaturgradient



Uniform temperaturøkning gir lengdeendring av komponenten, dvs normaltøyninger. Dette er relatert til aksialkraft-bidraget i uttrykket for indre virtuelt arbeid:

,N N tot

V

dV

Den virtuelle spenningen N skyldes enhetslasten F = 1,

og N skal dermed være i likevekt med F .

Tøyningen ,N tot er den totale, reelle (aktuelle) tøyningen i

komponenten. Her er det nå to kilder:

1) Staven tøyes pga aksialkraft: /N N EA (behandlet

tidligere; se side 5-5) 2) Staven tøyes pga temperatur: uT T

Enhetslastmetoden for tilfellet med uniform temperaturøkning blir da:

u

0 0

Aktuelle tøyninger

T

L L

T

y

N MF N T dx M dx

EA EI


Ligningen kan evt utvides med ledd for skjærkraft og torsjon. Disse blir som på side 5-12, dvs ingen termisk tøyning inngår

For en ubelastet konstruksjon (kun T ): u

0

L

TF N T dx


Eksempel 5.6: Fagverk

T = 80°C a = 2 m

E = 210 000 MPa A = 100 mm

2

T = 12∙10-6

K-1

Stavene AC og BC utsettes for en temperaturøkning T.

Beregn vertikal- og horisontalforskyvningen i C.

Fasit: 4,6 (oppover) CV mm

1,9 (til høyre) CH mm

2.4

a

T

a

AC

B

T2.4

a

T

a

AC

B

T


Temperaturgradient

En temperaturgradient gir krumning av komponenten. Krum-

ning er relatert til bøyningsbidraget i uttrykket for indre virtuelt arbeid:

0

L

M M

yV

MdV M dx

EI

Antagelser i den videre utledningen:

Forutsetter konstant gradient over tverrsnittshøyden

Dobbeltsymmetrisk tverrsnitt

Hele komponenten (hele lengden) utsettes for det samme temperaturfeltet

Den ene overflaten (f.eks oversiden) får temperaturøkning +

gT , mens på andre overflaten reduseres temperaturen

med –gT

Vanligvis, f.eks i forbindelse med en brann, vil temperaturen øke på begge overflatene, men noe mer på den ene flaten. Den totale endringen i temperaturfeltet kan da splittes i to bidrag: En

uniform temperaturøkning Tu pluss en temperaturgradient Tg

Bidrag til T : 1 2u

2

T TT

og 1 2

g2

T TT

T1

T2

= +

Tu Tg

Komponent Temperaturendring

T1

T2

= +

Tu TgT1

T2

= +

Tu Tg

Komponent Temperaturendring


Temperaturgradient (forts)

Krumning pga temperaturgradient:

g g2

/ 2

T T

T

T T

h h

Krumningsbidraget pga temperatur skal adderes til krumnings-bidraget pga bøyemoment i uttrykket for indre virtuelt arbeid:

g

0

2

M T

LT

M M

yV

TMdV M dx

EI h

Enhetslastmetode med begge temperaturbidrag:

g

0 0

2

T

T

L LT

T u

y

TN MF N T dx M dx

EA EI h

(– I tillegg kommer indre virtuelt arbeid pga skjær og torsjon, se

side 5-12. Men leddene med V og T påvirkes ikke av T.)

Tg

Komponent Temperatur-

gradient

h

T = T Tg

Tøyning og

krumning

Tg

Komponent Temperatur-

gradient

h

T = T Tg

Tøyning og

krumning


Eksempel 5.7: Ramme med temperatur

Rammen ABC er bærekonstruksjon i et lagerbygg. I utgangs-punktet er temperaturen både inne og ute lik T0. På grunn av et

branntilløp stiger temperaturen inne i bygget til T0 + 2T. Høyre del av figuren viser hvordan temperaturen blir over tverr-snittet i rammen. Temperaturøkning på innsiden (av både AB

og BC) er T1 = T, og på utsiden av komponentene er

temperaturøkningen T2 = 0.5∙T. (Årsaken til at utsiden av rammen ikke har utendørs temperatur T0 er at varme ledes gjennom rammens tverrsnitt. Tilsvarende på innsiden.) Tverrsnittet i rammen har høyde h, og materialet har tempera-

turutvidelseskoeffisient T. Bestem horisontalforskyvningen av A og rotasjonen i C pga temperaturøkningen. Sett h = L/20.

Fasit: 135

T (venstre)8 AH T L

163

T (mot klokka)8

C T L

T2

T1

hTinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L

T2

T1

h

T2

T1

hTinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L

Tinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L


Statisk ubestemte systemer

Statisk bestemte system:

Alle opplagerreaksjoner og indre krefter (lastvirkning i form av N-, V-, M- og T-diagram) kan beregnes med likevekts-ligningene (kraftlikevekt og momentlikevekt).

Kriterium for statisk bestemthet av plane konstruksjoner: Fagverk: 2l = s + r (l = #ledd (knutepunkt), s = #staver, r = #reaksjonskrefter) Bjelker og rammer: 3k = u (k = #komponenter, u = #ukjente)

Temperaturendringer eller avvik fra ideell geometri (under montasje, pga setning) gir ingen tvangskrefter i systemet.

Statisk ubestemte system:

Antall ukjente reaksjoner overskrider antall uavhengige likevektsligninger.

Kan løses med forskjellige metoder:

Direkte bruk av differensialligning w’’’’ = q(x)/EI. Kun aktuelt for enkle bjelker.

Kraftmetoden (superposisjonsmetoden). Lager et statisk bestemt grunnsystem (SBG) ved å fjerne et tilstrekkelig antall ukjente. Må beregne deformasjonen og etterpå forlange kompatibilitet der de ukjente er fjernet. Deformasjonsberegningen foregår f.eks ved bruk av elementærbjelker (Mekanikk 2) eller enhetslastmetoden (Mekanikk 3).

Forskyvningsmetoden. Spesialtilfelle av element- metoden. Kommer i TKT4180 KMEK – Beregn.met. Basis for alle numeriske beregningsprogram.

I en statisk ubestemt konstruksjon vil det vanligvis oppstå tvangskrefter hvis den utsettes for temperaturendringer eller avvik fra ideell geometri.


Kraftmetoden Metoden er basert på superposisjonsprinsippet og enhetslast-metoden, og illustreres med en tofeltsbjelke som eksempel.

Statisk bestemt grunn-system (SBG) Tofeltsbjelken i figuren til venstre er 1 gang statisk ubestemt. Bjelken gjøres om til et statisk bestemt grunnsystem (SBG) ved å fjerne høyre opplager. For-skyvningen i høyre ende pga den jevnt fordelte lasten q bestemmes med enhetslastmetoden:

2

1

0

2 4

1

11

3 8 24

Lq

q q

MM dx

EI

qL L qLL

EI EI

Kommentar: SBG kan dannes på mange forskjellige måter. Fordelen med å ta bort det høyre opplageret er at diagram-met Mq får bidrag kun fra venstre felt.

q

L L

q

2

8

qLMq

q

1 L Mq1

F = 1 ~

~


Kraftmetoden (forts.)

Statisk ubestemt kraft X Nå fjernes ytre last q fra SBG, og i stedet påføres den statisk ubestemte kraften X i høyre opplager. Forskyvningen pga X i høyre ende blir:

2

1

0

3

1

1 21 2

3 3

L

XX X

MM dx

EI

L XLX L L

EI EI

Kommentar: Legg merke til at diagrammene

MX, X1M og q1M alle har samme

form.

Superposisjon Tilfelle og summeres, og siden høyre opplager skal ha null netto forskyvning, kreves:

16q X

qLX

Nå kan de tre øvrige lager-reaksjonene bestemmes med tre likevektsligninger, og totalt M-diagram er: M = Mq + MX(X=qL/16)

X

X L

MX

X

1 L

MX1

F = 1

~

~

q

M 2

16

qL249

512qL

1

16X qL10

16qL

7

16qL


Eksempel 5.8: Statisk ubestemt bjelke

Bjelken ABCD har konstant bøyestivhet EI. Sett F = 2qL. Bestem opplagerreaksjonene til bjelken. Tegn moment- og skjærkraftdiagram. Regn ut vertikalforskyvningen i punkt A. Ta kun hensyn til bøyedeformasjoner i deformasjons-beregningen.

Fasit: 47 (nedover)

4zC qL , 439

(oppover)8

zB qL , 47 (oppover)

8zA qL

459

(nedover)48

A

qL

EI

Fq

A B C D

L L L

Fq

A B C D

L L LL L L


Kraftmetoden – generell prosedyre Beregningen på sidene 5-22 og 5-23 kan systematiseres. En

essensiell observasjon er at de tre diagrammene MX, X1M og q1M

er formlike (dog har q1M motsatt fortegn), og disse er kalt M1

nedenfor. Forskyvningene av høyre ende omdøpes til 10 og

11. Videre kalles den statisk ubestemte kraften X1, og denne settes i første omgang lik 1.

Null forskyvning av høyre opp-legg:

11 0M

M dxEI

Totalt M-diagram (super-posisjon) er M = M0 + X1·M1 :

0 1 11 0M X M

M dxEI

Omskriver:

10 11

0 11 1 1 0

M MM dx X M dx

EI EI

Løsning: 101

11

X

2 2 4

010 1

0 1012 3

11111 1

0

11

3 8 24

161 2 21 1

3 3

L

L

M qL L qLM dx L

EI EI EI qLX

M L LM dx L L

EI EI EI

q

L L

q

2

8

qLM0

10

X1=1

1 L

M1

11


Generell prosedyre (forts.) Hittil: Konstruksjon som er 1 gang statisk ubestemt. For en konstruksjon som er n ganger statisk ubestemt må n bindinger fjernes for å få SBG, og kontinuitetskrav resulterer i n betingelser, dvs n ligninger med n ukjente Xj:

01

0 , 1,2,...,n

i ij j

j

X i n

Hvor:

Bøyedeformasjoner Eventuelle staver

i j i j

ij

M M N Ndx dx

EI EA

Kommentarer:

I bjelker tar vi som regel kun hensyn til bøyedefor-masjoner. Deformasjoner pga N og V neglisjeres.

I staver er N den eneste lastvirkning, siden staver kun har

aksialkraft. Derfor er leddet i jN Ndx

EA aktuelt for konstruk-

sjoner hvor det inngår staver, f.eks fagverk og enkeltstående staver i rammer.

Den statisk ubestemte kraften Xj kan være en kraft – eller et moment. Eksempler: Kraft i opplager (side 5-25) Innspenningsmoment (Eksempel 5-10) Hjørnemoment Støttemoment Stavkraft (side 5-27)


Kraftmetoden med aksialdeformasjon Konstruksjon med stavkraft (Irgens, Eksempel 22.5)

En fritt opplagt bjelke med jevnt fordelt last q er hengt opp i en stav i midtpunktet. Bjelken har bøyestiv-het EI. Staven har aksialstivhet EA. SBG etableres ved å fjerne staven, og inn-føre stavkraften som ukjent X1.

Diagrammene M0 og N0 ovenfor er hhv moment- og aksial-

kraftdiagram pga den jevnt fordelte lasten q. Merk at N0 0.

Diagrammene M1 og N1 ovenfor er hhv moment- og aksial-kraftdiagram pga den statisk ubestemte kraften X1 = 1.

2 4

10

1031

1111

Aksialdef .Bøyedef .

5 5

12 8 4 384

1 11 1

3 4 4 48

qL L L qL

EI EIXL L L H L H

EI EA EI EA

4

3

5

3841

48

qL

EIL H

EI EA

Omskriver: 1

3Maksstavkraft

Faktor mellom0 og 1

5 1

81 48

X qLHI

L A

Jo stivere staven er (høy-ere EA/H), jo høyere blir kraften i staven! Dette er vanlig i statisk ubestemte system: Stive komponen-ter får mer last.

L/2 L/2

H q

X1 X1 SBG

2

8

qL

M0 N0

14

L

M1 N1 1


Deformasjonsberegninger Forskyvninger (eller rotasjoner) i statisk ubestemte kon-struksjoner beregnes i prinsippet på samme måte som for statisk bestemte system:

En enhetslast (eller et enhetsmoment) påføres i det punktet vi er interessert i å bestemme deformasjonen.

Men det er to veier til målet: Den tungvinte, og den elegante.

Tungvint beregning: Enhetslasten påføres det statisk ubestemte systemet. Konsekvens: Må først løse det statisk ubestemte systemet mhp

enhetslasten for å finne M , og deretter bruke enhets-lastmetoden for å finne forskyvningen (evt rotasjonen).

Elegant beregning: Enhetslasten påføres det statisk bestemte grunnsystemet

(SBG). Momentdiagrammet M lar seg dermed enkelt bestem-

me. I selve deformasjonsberegningen benyttes denne M ’en (fra SBG) og momentdiagrammet M som allerede er bestemt for det statisk ubestemte systemet.

Hvorfor går det an å kombinere M og M fra to ulike system?

Husk : 0

1L

MM dx

EI


Enhetslastmetoden forutsetter at F = 1 er i likevekt med M .

Disse er relatert til SBG. Deformasjonstilstanden definert ved

og krumningen M/EI er uavhengig av F og M . Dermed kan og M/EI relateres til det aktuelle, statisk ubestemte systemet,

men og M/EI må være kompatible, dvs samhørende.

Og: Opplagerbetingelsene på SBG må være slik at kun F gjør arbeid over det aktuelle forskyvningsfeltet.


Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke – tungvint beregning.

Vi ønsker å finne forskyvningen midt i det høyre feltet. M-diagrammet pga q er bestemt på side 5-23. Momentet i det venstre feltet kan med fordel splittes i en parabel og en trekant:

Nå regner vi omstendelig, og setter enhetslasten midt i høyre felt på det statisk ubestemte systemet. Dette systemet må da løses først, og vi velger samme SBG som tidligere (fjerner høyre opplager). M-diagram M0 og M1 er vist til venstre. Vi får:

3

10

13

48

L

EI

3

11

2

3

L

EI

101

11

13

32X

q

L L

M 2

16

qL249

512qL

M 2

16

qL2

8

qL

=

1 L

M1

11

X1=1

L L/2 L/2

F = 1

10F=1

12

L

M0


Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke – tungvint beregning (forts.).

Det totale M-diagrammet pga enhetslasten kalles M , og fås ved

å summere M0 og M1 nederst på forrige side: M= M0 + X1·M1.

Det er hensiktsmessig å la totaldiagrammet M fremstå som denne summen, se høyre figur nedenfor.

Nå gjenstår det å anvende enhetslastmetoden med diagram-mene ovenfor:

1M

M dxEI

2 2

Venstre felt: Parabel og differanse Venstre felt: Trekant og differansemellom to trekanter mellom to trekanter

1 1 13 1 1 13

3 2 32 8 3 2 32 16

qL L qL LL L

EI EI

2 2 2

Hele høyre felt: Venstre del av høyre felt: Venstre del av høyre felt:Trekant og trekan t Trekant og trekan t Fir kant og trekan t

1 13 1 1 / 2 1 1 / 2

3 32 16 3 2 32 2 2 32

qL L qL L qL LL L L

EI EI EI

41

....256

qL

EI

Oppsummering: Arbeidskrevende strategi siden vi først må løse det statisk ubestemte systemet på nytt (nederst på forrige side), og deretter

kombinere M og M som begge er relativt kompliserte.

M 2

16

qL2

8

qL

13

32L

1

2L

M ~


Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke – elegant beregning.

Nå utnyttes virtuelle krefters prinsipp fullt ut ved beregning av

forskyvningen . SBG velges slik

at kun enhets-lasten F = 1 gjør arbeid, se figur nr 2 til venstre. Det er her lagt et momentfritt ledd over midtstøtten. Foruten

enhetslasten F = 1 opptrer det to opplagerkrefter lik 1/2, men disse gjør ikke noe arbeid siden det reelle forskyvningsfeltet er slik at det er null forskyvning i støttene.

M -diagrammet blir meget enkelt:

Nå er det kun høyre felt som gir bidrag i arbeidsbetraktningen:

1M

M dxEI

2 2 2

Venstre del av høyre felt: Venstre del av høyre felt: Høy re del av høyre felt:Trekant og trekan t Fir kant og trekan t Trekant og trekan t

1 1 / 2 1 1 / 2 1 1 / 2

6 4 32 2 4 32 3 4 32

qL L qL L qL LL L L

EI EI EI

41

256

qL

EI

q

L L

L L/2 L/2

F = 1 ~

M 2

16

qL2

8

qL

1

4L

M ~


Deformasjonsberegninger (forts.) Eksempel: Tofelts bjelke – feilaktig forsøk på elegant beregning.

Et annet SBG er vist i figur nr 2 til venstre. Nå er det valgt en utkragerbjelke som er innspent i høyre ende, og det tilhørende innspenningsmomentet er 1·L/2. Dette momentet er

problematisk i forhold til virtuelle krefters prinsipp, fordi produktet

mellom 1·L/2 og vinkelen 0 må tas med på venstre side i arbeidsbetraktningen.

Hvis vi ”glemmer” bidraget 12

L

på venstre side fås:

2 41 1 / 2 11

6 2 32 768

M qL L qLM dx L

EI EI EI

– og dette er fullstendig feil. Korrekt oppsett i dette tilfellet er:

411 1 ....

2 768

L M qLM dx

EI EI

– men nå er det to ukjente på venstre side ( og ), og vi får dermed ikke ut den informasjonen vi ønsker (dvs isolere

utbøyningen ).

q

L L

L/2 L/2

F = 1 ~

12

L

M 2

16

qL2

8

qL

1

2L

M ~


Eksempel 5.9: Statisk ubestemt ramme

(Cook & Young, oppgave 4.7-3) En rektangulær ramme er påkjent av to krefter P som vist på figuren ovenfor.

Bestem det elastiske momentdiagrammet. Neglisjer aksial- og skjærkraftdeformasjoner. Utnytt symmetrien i problemet.

Hvor mye øker avstanden mellom de to punktene der kreftene P angriper?

Bestem rammens bruddlast ved hjelp av en flyteledd-betraktning.

Fasit: 3

4

Pb

EI , 4 P

B

MP

EI


Kraftmetoden med temperatur

Løsningsstrategien skal illustreres med et eksempel:

Konstruksjonen til venstre består av to utkragede bjelker AB og CD som er forbundet med en stav BC. (BC er en stav fordi den har ledd i begge ender og null tverrlast.) Systemet er én gang statisk ubestemt. (Ukjente er Ax, Az, MA, Dx, Dz, MD og NBC.)

Vi skal beregne kreftene som oppstår i konstruksjonen pga en

temperaturøkning T i staven BC.

Påfør T i et statisk bestemt grunnsystem (SBG)

Konstruksjonen gjøres statisk bestemt ved å fjerne staven BC. Nå som systemet er statisk bestemt, kan det deformere seg

fritt pga T uten at det oppstår noen krefter. Siden staven varmes opp, vil den forlenge seg:

10 T 2

L

Deformasjonen pga T i det statisk bestemte grunnsystemet

betegnes 10 i tråd med vanlig praksis for beregning av statisk ubestemte system. Det nye nå er at ”belastningen” (eller formelt: kilden for tøyninger) er temperatur, og ikke fordelte laster q eller punktlaster F.

Siden staven med dette valget av SBG er skilt ut fra resten av systemet, er bjelkene upåvirket av temperaturøkningen.

A B

C D

L/2 L/2

L/2 T

B

C

L/2

10/2

10/2


Kraftmetoden med temperatur (forts.)

Påfør statisk ubestemt kraft X1 = 1 på SBG I henhold til vanlig løsningsprosedyre for statisk ubestemte system påføres den statisk ubestemte kraften X1 = 1 (antar at det blir trykk i stav BC, se figur nedenfor), og den tilhørende

deformasjonen 11 (= 11,B + 11,C) beregnes:

1

11 1

3

1 1 / 21 1 1 1

3 3 2 2

9

24

MM dx

EI

L L L LL L

EI EI

L

EI

12

L

1 L

M1 X1=1

X1=1 L/2

11,B

11,C


Kraftmetoden med temperatur (forts.) Kontinuitetskrav Den statisk ubestemte kraften X1 må ha en slik størrelse at

deformasjonene i trinn og er like store (merk at 10 og 11 begge øker avstand mellom B og C):

1010 1 11 1 3 2

11

4239

24

LT

T EIX X

L L

EI

(Beholdt positivt fortegn, dvs at antagelsen om trykk i staven i trinn er korrekt. Sjekk selv at utrykket er dimensjonskorrekt.)

Opplagerkreftene blir:

2

4

3z z

T EIA D

L

(Az virker nedover, Dz oppover) Innspenningsmomentene MA og MD fremgår av M-diagrammet.

2

3

T EI

L

4

3

T EI

L

M


Kraftmetoden med temperatur – generell prosedyre

Generell deformasjonsberegning med både aksial- og bøyningsbidrag, jfr. side 5-19:

1j j

ij i Tj i Tj

N MN dx M dx

EA EI

Eksempelet (side 5-34 til 5-36) på nytt:

Det velges samme SBG, og

dette ”belastes” med T i stav BC. Temperatur-

tøyningene T blir da lik

·T i BC, mens T er null i

bjelkene AB og CD. En statisk ubestemt strekk-kraft X1 = 1 i staven gir M1- og N1-diagram som vist nedenfor.

10 1 0 12

T

LN dx T

3

111 1

1 1 3

3 3 2 2 2 8

M L L L L LM dx L L

EI EI EI EI

101 2

11

4

3

T EIX

L

(Samme resultat som tidligere!)

TT

T

T

X1=1

X1=1 12

L

1 L M1 N1

1


Eksempel 5.10: Ramme med temperatur

Rammen ABC er bærekonstruksjon i et lagerbygg. I utgangs-punktet er temperaturen både inne og ute lik T0. På grunn av et

branntilløp stiger temperaturen inne i bygget til T0 + 2T. Høyre del av figuren viser hvordan temperaturen blir over tverrsnittet i rammen. Temperaturøkning på innsiden (av både

AB og BC) er T1 = T, og på utsiden av komponentene er

temperaturøkningen T2 = 0.5∙T. Tverrsnittet i rammen har bøyestivhet EI og høyde h.

Sett h = L/20. Materialet har temperaturutvidelseskoeffisient T. Rammen har glidelager i punkt A og fast innspenning i punkt C. Den er dermed 1 gang statisk ubestemt. Bestem opplagerreaksjonene i rammen pga temperatur-økningen. Tegn N-, V- og M-diagram. Regn dessuten ut horisontalforskyvningen i punkt A.

Fasit: 2

489EI (nedover)

80

Tz

TA

L

,

2

489EI (oppover)

80

Tz

TC

L

209

80A T TL

T2

T1

hTinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L

T2

T1

h

T2

T1

hTinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L

Tinne = T0 + 2T

A B

C

L

2L

Documents

05 - Enhetslastmetoden - NTNU