04 Expr Regulieres

Theorie des langages

Expressions regulie`res

Elise Bonzonhttp://web.mi.parisdescartes.fr/vbonzon/

[email protected]

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IntroductionDefinitionsLe theore`me dArdenAutomates et expressions regulie`resCaracterisation des langages reguliersAu dela` des langages reguliers


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(Re)mise en contexte

Un compilateur est un programme qui

prend en entree une donnee textuelle source (programme, donnee xml,fichier de configuration, etc)

la reconnat (lanalyse) pour verifier sa correction

emet eventuellement un message derreur

le traduit dans un langage cible

programme source Compilateur programme cible

messages derreur


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(Re)mise en contexte

Compiler : Definir rigoureusement et reconnatre algorithmiquement (pourles langages source et cible) :

leur vocabulaire ou lexique : les mots autorises - analyse lexicaleleur syntaxe : la structure des phrases autorisees - analyse syntaxiqueleur semantique : la signification des phrases autorisees - analysesemantique

On se situe au niveau de lanalyse lexicale

Proble`me : etant donne un langage, comment decrire tous les motsacceptables? Comment decrire un langage?

Utiliser des expressions regulie`res (pour certains types de langages)


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Langages reguliers

Langages reguliers

Lensemble R des langages reguliers sur un alphabet est le plus petitensemble (qui contient le moins delements) des langages satisfaisantles conditions :

1. R et {} R2. a , {a} R3. Si A,B R, alors A B R, A.B R et A R


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Les expressions regulie`res sur un alphabet sont les re`gles formeespar les re`gles suivantes :

1. et sont des expressions regulie`res2. a , a est une expression regulie`re3. Si et sont des expressions regulie`res alors

( + )(.)()

sont des expressions regulie`res

Priorite dans lordre decroissant : *, ., +


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Les expressions regulie`res sur un alphabet sont les re`gles formeespar les re`gles suivantes :

1. et sont des expressions regulie`res2. a , a est une expression regulie`re3. Si et sont des expressions regulie`res alors

( + )(.)()

sont des expressions regulie`resPriorite dans lordre decroissant : *, ., +


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Langage represente par une expression regulie`re

Soit r une expression regulie`re. L(r) est le langage represente par r .

1. L() = , L() = {}2. a , L(a) = {a}3. L(, ) = L() L() = L() + L()4. L(.) = L().L()5. L(()) = (L())


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Theore`me

Un langage est regulier si et seulement si il peut etre denote par uneexpression regulie`re.

Le langage L(M) engendre par lautomate M suivant est un langageregulier.

0 1a

a,b a,b

L(M) = (a + b)a(a + b)


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Egalite dexpressions regulie`res

Deux expressions regulie`res sont egales si elles representent le memelangage.

Exemple :r = r + car r


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Proprietes des expressions regulie`res

Soient r , s et t trois expressions regulie`res sur le meme alphabet .

1. r + s = s + r

2. r + = + r = r3. r + r = r

4. (r + s) + t = r + (s + t) = r + s + t

5. r . = .r = r

6. r . = .r = 7. (r .s).t = r .(s.t) = r .s.t

8. r .(s + t) = rs + rt


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Proprietes des expressions regulie`res

Soient r , s et t trois expressions regulie`res sur le meme alphabet .

9. r = (r) = rr = (+ r) = r(r + ) = (r + )r = + rr = + rr

10. (r + s) = (rs) = (rs)r = (sr)s = r(sr)

11. r(sr) = (rs)r

12. (rs) = + (r + s)s

13. (rs) = + r(r + s)

14. (r + )(r + ) + s = sr

15. rr = rr = r+


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Le theore`me dArden

Theore`me dArden

Une equation sur les langages de la forme X = AX + B, ou` 6 A, aune solution unique X = AB

Si A, AB est une solution mais ce nest pas une solution unique.(AB est inclus dans toutes les solutions.)Demonstration :

1. X = AB est solution : AX + B = A.AB + B = (A.A + )B = AB

2. AB est solution unique : si Y est solution, alors Y est de la forme AB.


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Le theore`me dArden

Theore`me dArden


Si A, AB est une solution mais ce nest pas une solution unique.(AB est inclus dans toutes les solutions.)

Demonstration :




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Le theore`me dArden

Theore`me dArden


Si A, AB est une solution mais ce nest pas une solution unique.(AB est inclus dans toutes les solutions.)Demonstration :




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Interet du theore`me dArden

Grace au Theore`me dArden, il est possible de resoudre un syste`medequations et dobtenir une expression regulie`re qui represente le lan-gage reconnu par lautomate.


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Transformation dun automate en ER :le theore`me dArden

q0 q1 q2

b

a

a

b

a,b L0 = aL0 + bL1L1 = aL0 + bL2L2 = aL2 + bL2 +


N


Transformation dun automate en ER :le theore`me dArden

q0 q1 q2

b

a

a

b

a,b L0 = aL0 + bL1L1 = aL0 + bL2L2 = aL2 + bL2 +

L0 = (a + ba)bb(a + b)


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Transformation dun automate en ER :elimination detats

Methode delimination detat (algorithme BMC)

On cherche une expression regulie`re denotant le langage reconnu parun automate M. On proce`de par suppression successive de transitionset detats :

1. Ajouter a` M deux nouveaux etats, notes et , et les transitions(, , q0) pour q0 letat initial; et (qn, , ) pour qn F .

2. Iterer les reductions suivantes tant que possible :

sil existe deux transitions (qi , x , qj ) et (qi , y , qj ), les remplacer par latransition (qi , x + y , qj )supprimer un etat q (autre que et ) et remplacer, pour tous lesetats p, r 6= q, les transitions (p, x , q), (q, y , q), (q, z, r), par latransition (p, xyz, r).

Cet algorithme termine car on diminue le nombre de transitions etdetats, jusqua` obtenir une seule transition (, e, ). e est alors uneexpression regulie`re pour le langage L(M).


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0

1

2

ab

b

a

a

b


N



0 2

aabb aab

b


N



2

aab

bbaab

baab


N



2

aab + bbaab

baab


N



baab(aab + bbaab)


N



baab(aab + bbaab)

baab(aab + bbaab) = ba+b(a+b + b+a+b) R. 15. : rr = r+


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)

= (ba+b)ba+b R. 15. : rr = rr


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)

= (ba+b)ba+b R. 15. : rr = rr= (b + a+b)a+b R. 10. : (rs)r = (r + s)


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)


= (ab)a+b r + s+r = s+r + r = r(s+ + ) = sr


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)


= (ab)a+b r + s+r = s+r + r = r(s+ + ) = sr= (ab)aab R. 15. : rr = r+


N



baab(aab + bbaab)


= ba+b((+ b+)a+b)

= ba+b(ba+b)


= (ab)a+b r + s+r = s+r + r = r(s+ + ) = sr= (ab)aab R. 15. : rr = r+

= (a + b)ab R. 10. : (rs)r = (r + s)


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Transformation dune ER en automate

Theore`me

Pour chaque expression regulie`re, il existe un automate fini qui recon-nat cette expression


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Transformation dune ER en automate :le theore`me dArden

L = ab(a + b) + ba = abL1 + bL2L1 = (a + b)

= (a + b).

6 (a + b), Arden solution uniqueL1 = (a + b)L1 + = aL1 + bL1 +

L2 = a = a.

6 a, Arden solution uniqueL2 = aL2 +

L = abL1 + bL2 = (aa + )bL1 + bL2 = aabL1 + bL1 + bL2

L = aL3 + bL1 + bL2

L3 = abL1

6 a, Arden solution uniqueL3 = aL3 + bL1


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Transformation dune ER en automate :le theore`me dArden

On obtient

L = aL3 + bL1 + bL2

L1 = aL1 + bL1 +

L2 = aL2 +

L3 = aL3 + bL1

0 2

3 1

a

b

b

a

ba a,b


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Caracterisation des langages reguliers

Les langages reguliers peuvent etre caracterises de 4 facons. En utilisant :

1. Les expressions regulie`re

2. Les automates finis deterministes

3. Les automates finis non deterministes

4. Les grammaires regulie`res (lineaires a` droite)

Pour demontrer quun langage est regulier, il suffit donc de le decrire a`laide de lune de ces caracterisaton.Pour demonter des proprietes sur les langages reguliers, il est possible dechoisir la caracterisation la mieux adaptee.


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Rappels sur les langages reguliers

Soient L, L1 et L2 trois langages reguliers. Les langages suivants sontreguliers :

L1.L2

L1 + L2

L

L

L1 L2LR (miroir de L)


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Observations de base

1. Tous les langages finis sont reguliers

2. Un langage non regulier comporte un nombre infini de mots

Attention! La reciproque nest pas vraie : est un langage infini etregulier

3. Si un langage comporte un nombre infini de mots, il ny a pas de borne a`la taille des mots du langage

4. Tout langage regulier est accepte par un automate fini qui comporte unnombre fini detats

5. Soit L un langage regulier infini, reconnu par un automate a` m etats. Soitw L tel que |w | m. Au cours de la reconnaissance de w parlautomate, il faut necessairement passer au moins 2 fois par un memeetat.


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Pumping theorem

Pumping theorem (theore`me de pompage. theore`me du gonfle-ment)

Soit L un langage regulier infini sur lalphabet .Alors, il existe p 0 tel que w L tel que |w | p, il existex , u, y , u 6= et |xu| p tels que w = xuy et n 0, xuny L

Autre formulation du theore`me de pompage

Soit L un langage regulier infini sur lalphabet , et soit w L tel que|w | |Q|, ou` Q est lensemble des etats dun automate deterministeacceptant L.Alors, x , u, y , avec u 6= , |xu| |Q|, et w = xuy .On a alors k 0, xuky L.

On utilise ces theore`mes pour montrer quun langage nest pas regulier.


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Montrer quun langage nest pasregulier : exemple

Soit = {a, b}, L = {anbn| n 0}. Supposons L regulier.Il existe donc p 0 tel que w L et |w | p, et il est possible dedecomposer w = xuy . On sait de plus que n 0, xuny L.Soit w = apbp = xuy . On a bien |w | = 2p p. Il y a trois possibilites :

1. u a : w = arx

asu

atbpy

, avec r + s + t = p et s > 0.

On a donc n 0, xuny L. Prenons n = 0. On a aratbp 6 L.Contradiction.

2. u b. Raisonnement identique.3. u = asbt : w = ar

x

asbtu

bqy

, avec r + s = t + q = p.

On a donc n 0, xuny L. Prenons n = 2. On a arasbtasbtbq 6 L.Contradiction.

Le theore`me de gonflement nest pas verifie. Ce langage nest donc pasun langage regulier.


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