8/17/2019 04 CM Modal

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Univ. Nac. Ingeniería

Térmica modal 4 Modelo modal 1 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Forma modal de !n modelo de es%ado discre%i&ado

Modelo '$ísico(

U GT  J Y 

U  E T  Adt 

T d C 

+=

+=

8/17/2019 04 CM Modal

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Térmica modal 4 Modelo modal ) Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Términos es%*%ico + din*micoRégimen #ermanen%e

Régimen es%*%ico

,-   U  E T  A  g 

+=

,-,-

1

U S U  E  AT  T  g 

=−=  −

( )

( )   ()()

()()

U S U  E  JAG

U  JS GU GT  J Y  T  g  g 

=−=

+=+=

− 1

-,-,   t U S t T  T  g 

=

-,-,   t U S t Y  g 

=

8/17/2019 04 CM Modal

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Térmica modal 4 Modelo modal / Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Términos es%*%ico + din*mico

Término #!ramen%e din*mico

U S T  J Y 

U S T T 

dt 

U d  E CAT  A

dt 

U d CS T  A

dt 

T d C T  A

dt 

T d C 

d 

T d 

d d 

 g 

d d 

+=

+=

+=−=−=   − 1

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Térmica modal 4 Modelo modal 4 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

B!s0!eda de los elemen%os #ro#ios

iagonali&aci2n

,elemen%os reales-

3amio de ase

Modelo de es%ado modal

con

 F  P  P  AP C  P    ==   −−− A111

 x P T d 

=

 JP  H 

 E  A P  B

 AP C  P  F 

=

=

=

−−

−−

11

11

d x

d t   = F  x B

d U 

d t T = P  xS 

T U 

Y = H  xS U 

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Térmica modal 4 Modelo modal 5 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

6ro#iedades des%acales de !n modelo modal

7r%ogonalidad de los modos #ro#ios

8 + 3 son simé%ricas

en%onces

,no%a9 valores #ro#ios m!l%i#les-

:ime%ría d!el #rod!c%o escalar 

 Norma

 M iCV  AV  F  AP C  P  iii ;...1 11 ==⇔=−− λ 

  jt i  j  j

t i

i

t 

  jii

t 

  j

CV V  AV V 

CV V  AV V 

λ 

λ 

=

=

( )   it   j  jii

t 

  j  ji

t 

  j

i

t 

  jii

t 

  j

CV V CV V  AV V 

CV V  AV V 

λ λ 

λ 

λ 

−=

=

=

.

;alorssi   ==≠   i jit 

 j ji   V V CV V λ λ 

i ji

t 

 j j

t 

i ji   V V CV V CV V V V  ;;   ===

iii   V V V  ;=

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Térmica modal 4 Modelo modal < Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Vectores propios ortonormados

:e eli=e en%onces

e donde

:e #!ede reescriir Valores #ro#ios nega%ivos

3ons%an%es de %iem#o

:is%ema di$erencialF es diagonal; las ec!aciones en > es%an desaco#ladas

1=iV    ij ji  V V    δ =;

C  P  P  I CP  P    t t  =⇔=   − 1

 E  P  B

 AP  P  F 

t 

t 

=

=

i

iλ τ 

1

−=

≤iλ 

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Térmica modal 4 Modelo modal ? Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Ma%rices

3ondici2n inicial

3.i. régimen #ermanen%e

 

-,-,

-,-,-,

-,-,-,

..

.

1

.

1

.

...

t  BU t CT  P 

t U S  P t T  P t  X 

t U S t  PX t T 

t 

T 

T 

+=

−=

+=−−

( ) -,-,-,

.-,-,-,

1

t  BU U  Bt U U S  P t  X 

U S t U S t  PX t T 

T 

T T 

+−=−=

+=+=−

 E  JAGS 

 E  AS 

 JP  H  E  A P  B

 AP C  P  F 

T 

1

1

11

11

−

−

−−

−−

−=

−=

=

=

=

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Térmica modal 4 Modelo modal @ Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

In%egraci2n de

:ol!ci2n #ar%ic!lar 

:ol!ci2n general; variaci2n de la cons%an%e A 

∑=

+=  P 

  j

  j

ijiii

dt dU  B x

dt dx

1

λ 

ii

i  x

dt 

dxλ =   dt 

 x

dxi

i

i λ =t k t 

i

ii

ii

 Kee x

k t  x Log 

λ λ 

λ 

==

+=+

-,

( )  ii

t t 

i

t t i  xedt 

dK  Kee

dt 

dK  Ke

dt 

d 

dt 

dxiiii λ λ 

  λ λ λ λ +=+==

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Térmica modal 4 Modelo modal Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

3ondicion inicial

e donde

t t 

t 

 P 

  j

  j

ijiii ed 

dt 

dU  Be K t  x   λ 

ζ 

ζ λ  ζ ζ    

  

  += ∫    ∑=   =

−

.

-,-,1

.

( ) .. -,-, ....t 

i

t 

iii et  x K e K t  x

  λ λ    −=⇒=

ζ ζ ζ 

ζ λ λ λ  d dt 

dU  Beet  xet  x

t 

t 

 P 

  j

  j

ij

t 

i

t t 

iiii ∫    ∑

=   =

−− +=

-,-,-,1

.

-,

ζ ζ ζ 

ζ λ 

λ 

d dt 

dU  Be K  K 

dt 

dU  Be

dt 

dK 

t 

t 

 P 

  j

  j

ij

 P 

  j

  j

ij

t 

i

i

∫    ∑

∑

=   =

−

=

−

+=

⇓

=

.

-,1

.

1

8/17/2019 04 CM Modal

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Térmica modal 4 Modelo modal 1 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

E>ci%aciones %í#icas

Ram#aEscal2n

Im#!lsi2n

Carm2nica

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Térmica modal 4 Modelo modal 11 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

Res#!es%a a !na ram#a

Fase 8

Fase B

Fase 3

−=≤   p p   U t U t   -, 

c%e    =∆

−

=∆≤≤

−+

t 

U U 

t U t t 

  p p

 p   )( 

+==∆≥   p p   U t U t t  c%e-, 

8/17/2019 04 CM Modal

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Térmica modal 4 Modelo modal 1) Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

( )∑   −+∆

∆− −   

  

 ∆

−−=∆≥

 p

 p pip

i

t t t t 

ii   U U  Bt 

eee X t t  X 

i

ii

λ 

λ 

λ λ  1-.,-,-,

Res#!es%a a !na ram#a

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Térmica modal 4 Modelo modal 1/ Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

:im!laciones n!méricas

:olici%aciones

evol!ci2n con%ín!a incogni%a

'sam#ling( %em#oral

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Térmica modal 4 Modelo modal 14 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

:im!laciones n!méricas

re%rasado

an%ici#ado

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Térmica modal 4 Modelo modal 15 Gilles.LEFEBVRE!"#ec.$r  

cen%rado

ram#as

:im!laciones n!méricas