Proceedings of IAM, V.5, N.1, 2016, pp.84-97

84

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ*

Фикрет А. Алиев1,2, Н.А. Исмаилов1,2, А.А. Намазов1, М.Ф. Раджабов3

1Институт Прикладной Математики, Бакинский Государственный

Университет, Баку, Азербайджан 2Институт Информационных Технологий, Баку, Азербайджан

3Институт Cистем Управления, Баку, Азербайджан

e-mail: inao212@rambler.ru , atif.namazov@gmail.com

Резюме. Рассматривается динамическая система, когда движение объекта

описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в

правую часть которой кроме фазовых координат входят неизвестный постоянный

вектор-параметр и малое число. Также известны статистические данные из практики:

начальные и конечные значения координаты объекта. Используя метод

квазилинеаризации заданное уравнение сводится к системе линейных

дифференциальных уравнений, где коэффициенты координаты и неизвестного

параметра, также возмущений зависят от малого параметра линейно. Далее, с

помощью метода наименьших квадратов искомый неизвестный постоянный вектор-

параметр разыскивается в виде степенного ряда по малому параметру и для

коэффициентов нулевого и первого порядка приводятся аналитические формулы и на

их основе предлагается асимптотическое представление. Здесь фундаментальные

матрицы как в нулевом, так и в первом приближении строятся приближенно, с

помощью обычного способа Эйлера. На примере определения коэффициента

гидравлического сопротивления в подъемнике при добыче нефти газлифтным

способом иллюстрируется, как полученные результаты в первом приближении

совпадают с известными результатами на 110

порядка.

Ключевые слова: коэффициенты гидравлического сопротивления, метод

наименьших квадратов, квазилинеаризации, идентификации динамических систем,

асимптотический метод.

AMS Subject Classification: 49J15, 49J35.

1. Введение

Задача идентификации динамических систем [6,8,13] имеет

многочисленные практические применения, один из которых- применение в

нефтяном промысле, например в добыче нефти [4,11,14,15]. Действительно,

при подаче нефти с помощью трубопроводов, добыче нефти газлифтным

способом или штанго-насосной установкой и др.- определение

коэффициентов гидравлического сопротивления [1,2,5,6], на пластах-

*Эта работа поддержана грантом «50+50» Бакинского Государственно Университета

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

85

определение параметров образования газожидкостной смеси и др. требует

разработку численных методов для решения соответствующих задач

идентификации динамических систем. В работах [5,8] приведены

градиентный метод на основе ортогонализации Грамма-Шмидта для

определения коэффициента гидравлического сопротивления (КГС). В [5,12]

предложены асимптотический метод, где малый параметр принимается

обратным значению глубины скважины, для определения КГС в первом

приближении относительно малого параметра. Там показывается, что если

использование обычного метода Грамм-Шмидта требует достаточно большое

машинное время, то асимптотический метод позволяет вычислить решение

КГС в первом приближении аналитически и численные результаты

совпадают с искомым решением на 210 порядка. Исходя из этих

результатов, авторы [1,3,8] обобщали результаты [12] на многомерный

случай и с помощью методов квазилинеаризации [9] и наименьших

квадратов [10] приводили вычислительный алгоритм решения общей задачи

идентификации динамических систем для определения постоянного вектор-

параметра, который можно использовать для нахождения как коэффициента

гидравлического сопротивления в подъемнике, так и параметры для

образования газо-жидкостной смеси на пластах скважины при добыче нефти.

Результаты вычислений показывают, что в самом простом случае, когда

искомый постоянный вектор-параметр, подлежащий определению является

скалярной, тогда метод Грамма-Шмидта требует не меньше 2 часа времени

на самом простом примере (с точностью 810

). Поэтому, имеет смысл

разрабатывать асимптотический метод для решения задачи идентификации

динамических систем, когда в правую часть соответствующих

дифференциальных уравнений входит малый параметр, который на примере

нефтяного промысла является обратным значением глубины -скважины.

В настоящей работе предполагается, что заданы некоторые серии

начальных и конечных значений (статистические данные) фазовой

координаты нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, где

в правую часть входят малый параметр и постоянный неизвестный вектор,

которых требуется найти таким образом, чтобы их решения в конечной точке

совпали (с определенной точностью) со статистическими данными.

Используя методы наименьших квадратов и квазилинеаризации приводится

итерационная схема для построения асимптотических решений в первом

приближении относительно малого параметра.

Результаты иллюстрируются на примере добычи нефти газлифтным

способом для определения КГС, где малый параметр принимается

обратной значению глубины скважины. Также для коэффициентов-

асимптотических выражений по приведены аналитические формулы, где

линейное дифференциальное уравнение заменено дискретной

аппроксимацией с помощью обычного метода Эйлера. Приведенные

численные результаты для значений КГС, отличающиеся от известных

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

86

[3,5,8,11] на 210 порядка могут использоваться как хорошее начальное

приближение для итерационных схем [3].

2. Постановка задачи

Пусть имеется система нелинейных обыкновенных дифференциальных

уравнений

,,xyfxy (1)

и заданы некоторые наборы начальных и конечных значений n -мерного

фазового вектора )(xy , т.е.

kk yy 00 , lkk yly 1,...,0 Nk . (2)

Здесь -постоянный неизвестный вектор, -малый параметр, nf

мерная функция, дифференцируемая по ,,y .

Требуется найти такой вектор-параметр * , чтобы конечное

значение ),,( * lyi (решение уравнения (1) с начальным значением ky0 )

достаточно точно совпало с )1,...,1,0( Nkylk . Такую задачу далее

назовем идентификацией динамических систем (1).

Пусть задано начальное приближение ii xy ),( . Используя метод

квазилинеаризации [9,10] представим уравнение (1) в линейной форме

относительно ii xy ),( и в следующем виде

)(,,)( 11

1

11

0 xyxyAxyAxy iiiiii

11

1

11

0

11

1

11

0

,,

,,

iiii

iiiii

xyCxyC

xyBxyB

(3)

где 11 , ii

i xyA , 11 , ii

i xyB , 11 , ii

i xyC являются

результатами разложения Тейлора в первом приближении и определяются в

следующем виде

0,,, 1

0

1

0

'11

0

ii

y

ii yfxyA , 0,,, 1

0

1

0

"11

1

ii

y

ii yfxyA

0,,, 1

0

1

0

'11

0

iiii yfxyB , 0,,, 1

0

1

0

"11

1

iiii yfxyB (4)

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

'1

0

1

0

11

00,,0,,0,,, iiiiii

y

iiii yfyyfyfxyC

1

0

1

0

1

0

"1

0

1

0

1

0

"1

0

1

0

'11

10,,0,,0,,, iiiiii

y

iiii yfyyfyfxyC

Теперь представим решение линейного уравнения в следующем виде

1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

1

1,1

0

1,0

0 )0()(

iiiii

iiii

tt

ytty

, (5)

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

87

где ),0,(1,00 ti )0,()1(,1

0 ti определяются из следующих линейных

дифференциальных уравнений

)0,(,)0,( 1,0

0

11

0

1,0

0txyt iiii , )0,0(1,0

0i

)0,(,)0,(,)0,( 1,0

0

11

1

1,1

0

11

0

1,1

0txytxyt iiiiiii

0)0,0(1,1

0 i

(6)

и )0,()0,()0,( 1,1

0

1,0

0

1

0ttt iii является фундаментальной матрицей

однородного уравнения (5) в первом приближении относительно малого

параметра , а )0,(1,

1tin , )0,(1,

2tin 1,0n из (5) определяется в первом

приближении относительно малого параметра в следующем виде [1]

dyBt ii

t

ii 11

0

0

1,0

0

1,0

1 ,0,)0,(

dyByBt iiiiit

ii 11

0

1,1

0

11

1

0

1,0

0

1,1

1,0,,0,0,

dyCt iit

ii 11

0

0

1,0

0

1,0

2,0,0,

(7)

dyCyCt iiiiit

ii 11

0

1,1

0

11

1

0

1,0

0

1,1

2,0,,0,0,

Далее для (5) в точке lx и для конечных значений из (2) составим

следующий функционал

1

0

'N

k

i

lk

i

k

i

lk

i

k

i ylyAylyI (8)

здесь A -известная весовая матрица, )(ly ik является решением уравнения (5)

при статистических данных kk

yy0

0 из (2)

Таким образом, если удается выбрать такое i , чтобы функционал

(8) достигал минимального значения, то мы фактически обеспечиваем

близость решения ),,( xy в точке lx с i

lk

i

kyly из (2).

3. Вычисление градиента функционала (8)

Для получения формулы градиента из функционала (8) сначала подставим

)(ly ik из (5) в (8):

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

88

1

0

1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

1

1,1

0

1,0

00

N

k

i

lk

iiiiiiiii AyyI

1

0

1,0

2

1,0

00

1,0

1

1,0

000

1,0

0

1,0

00

1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

10

1,1

0

1,0

0

N

k

iiiiiiiiiii

i

lk

iiiiiiii

yyyy

yy

i

lk

iiiiiiiiiiiii

iiiiiiiiiii

i

lklk

i

lk

iii

lk

iii

lk

i

lk

i

iiiiiiii

lk

ii

iiiiiiiiiiii

lk

ii

yyyyyy

yyyy

yyyyyyyy

yy

AyAyy

1,1

00

1,0

2

1,1

00

1,1

0

1,1

000

1,0

0

1,1

00

1,1

2

1,0

00

1,1

1

1,0

000

1,1

0

1,0

00

1,0

20

1,0

10

1,0

0

1,0

2

1,0

2

1,0

2

1,0

1

1,0

20

1,0

0

1,0

2

1,0

1

1,0

2

1,0

1

1,0

1

1,0

10

1,0

0

1,0

1

1,0

00

iiii

lk

ii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiiii

yy

y

y

0

1,1

0

1,0

2

1,1

1

1,0

2

1,1

1

1,0

1

1,1

1

0

1,0

0

1,1

1

1,1

2

1,0

1

1,1

1

1,0

10

1,1

0

1,0

1

1,1

2

1,1

10

1,1

0

1,1

2

1,0

2

1,1

2

1,0

1

1,1

20

1,0

0

1,1

2

1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

2

ii

lk

iii

lk

iii

lk

i

lk

iii

iiiiiiiiiii

yAyyyy

y

i

lk

iii

i

lk

iiiiiii

lk

ii

N

k

iiiiiiiiiii

y

yyy

yyyy

1,0

2

1,0

2

1,0

2

1,0

1

1,0

1

1,0

1

11,0

00

1

0

1,0

2

1,0

00

1,0

1

1,0

000

1,0

0

1,0

00

2

22

22

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

89

1,0

2

1,0

2

1

00

1,0

00

1,0

2

1,0

00

1,0

00

2

0

1,0

0

1,0

0

1,1

2

1,1

2

1,0

1

1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

2

1,1

1

21,0

1

1,1

1

1,1

00

1,0

2

1,1

00

1,0

1

1,1

00

1,1

2

1,0

00

1,1

1

1,0

000

1,1

0

1,0

00

222

22222

2222

222

iiN

k

i

lk

iiiiiii

lk

iiiii

i

lk

iiiiiii

lk

iiiii

iiii

lk

iiiiiiiii

iiiiiiiiiiii

lk

i

lk

yyyyyyy

yy

yyyy

yyyyyy

21,0

1

1,1

1

1,0

1

1,0

1

1,1

2

1,0

1

1,1

1

1,0

2

1,1

10

1,0

1

1,1

00

1,1

1

1,0

0

1,0

2

1,0

1

1,0

10

1,0

1

1,0

0

1,1

2

1,1

2

1,0

2

1,1

00

1,0

2

1,1

00

1,1

2

1,0

000

1,1

0

1,0

00

1,0

2

2

2

2

iiiii

iiii

lk

i

iiiiiiii

iii

lk

iiii

i

lk

iiii

lk

ii

iiiiiiiiii

i

lk

i

lk

i

lk

i

y

yy

yy

yyy

yyyy

yyy

(9)

Теперь берем производное по неизвестному постоянному вектору i из (9),

где iI определяется в следующем виде:

iiiii

iii

lk

iii

iiiiii

N

k

iii

lk

iiiii

y

yy

yyI

1,0

1

1,1

1

1,0

1

1,0

1

1,1

2

1,0

1

1,1

1

1,0

2

1,1

1

0

1,0

1

1,1

00

1,1

1

1,0

0

1

0

1,0

2

1,0

1

1,0

10

1,0

1

1,0

0

2

2

(10)

Приравниваем нулю первое производное iI и разыскиваем

i в виде

...10 iii (11)

Для определения i

0 и

i

1 имеем следующие алгебраические уравнения:

0221

0

0

1,0

1

1,0

1

1,0

2

1,0

1

1,0

10

1,0

1

1,0

0

N

k

iiiiii

lk

iiii yy

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

90

022 1

1,0

1

1,1

10

1,0

1

1,0

1

1,1

2

1,0

1

1

0

1,1

1

1,0

2

1,1

10

1,0

1

1,1

00

1,1

1

1,0

0

iiiiiiii

N

k

i

lk

iiiiiiiii yyy

(12)

Решив уравнения (12) относительно i

0 и

i

1 соответственно, имеем:

1

0

1,0

2

1,0

1

1,0

10

1,0

1

1,0

0

11,0

1

1,0

10 22

1 N

k

iii

lk

iiiiiii yy (13)

1,0

2

1,0

1

1,0

10

1,0

1

1,0

0

1

0

11,0

1

1,0

1

1,0

1

1,0

1

1,1

2

1,0

1

1,1

1

1,0

2

1,1

10

1,0

1

1,1

00

1,1

1

1,0

0

1

0

11,0

1

1,1

11

2

2

1

iii

lk

iiii

N

k

iiiiiii

lk

i

iiiiiiiiN

k

iii

yy

y

yy

(14)

Таким образом для вычисления в первом приближении по получим: iii

10 .

Резюмируя вышеприведенное можно привести следующий вычислительный

алгоритм для решения задачи идентификации (1), (2), (8)

Алгоритм 1.

1. Составляются нелинейная функция ,,xyf из (1), начальные

0k

y и конечные lyk , данные весовые матрицы i

A , начальные

приближения 11 ),( ii xy и малое число

i .

2. Вычисляются 0,,,0,,,0,,,0,,00

'

00

'

0000 yfyfyfyf

yy ,

,0,,00

'' yfy ,0,,

00

'' yf .

3. Формируются 11

0, ii xyA , 11

1, ii xyA , 11

0, ii xyB ,

11

1, ii xyB , 11

0, ii xyC , 11

1, ii xyC из (3).

4. Вычисляются фундаментальные матрицы )0,(1,0

0ti , )0,(1,1

0ti

при начальным )0,0(1,00

i, 0)0,0(1,1

0 i

из (6)

5. При помощи фундаментальных матриц вычисляется интегралы

)0,(1,0

1ti , )0,(1,1

1ti , )0,(1,0

2ti , )0,(1,1

2ti

6. Вычисляютсяi

0 и

i

1 из (11)

7. )()()()( 211 xyxyxyxy iiii принимаем )(0 xy как

начальную итерацию, если она удовлетворяется, переходим к шагу 2,

иначе процесс останавливается.

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

91

4. Обычный алгоритм Эйлера для решения (1) и приближенные

формулы для )0,(1,0

0ti , )0,(1,1

0ti , )0,(1,0

1ti , )0,(1,1

1ti ,

)0,(1,0

2ti , )0,(1,1

2ti .

Отметим, что при вычислении i по алгоритму 1 одним из основных

трудностей является процедура нахождения )0,(1,0

0ti , )0,(1,1

0ti и

)0,(1,0

1ti , )0,(1,1

1ti , )0,(1,0

2ti , )0,(1,1

2ti . Однако при помощи

приближенных методов можно их восстановить.

Сейчас дискретизируя по шагу уравнение (3) по первому методу

Эйлера [4,6], получим:

11

1

11

0

11

1

11

0

11

1

11

01

,,,,

,,

iiiii

k

iiii

i

k

iiii

i

yCyCyByB

yyyy

(15)

Сейчас можно выразить ly через начальное условие 0

y . Сначала эти

выражения приведем для 1y , 2

y

1010001 CCyy i

i

yy

01110000

010

2

02 2

011100000 2 CCCCC

Пусть для 1ly верны соотношения

01

2

01

2

0

2

001

2

0

CNC

C

NN

NiN

.

По математической индукции легко докажем, что

1

1

00

1

0

0

1

00

NN

NN

l yNy

CNiN 1

001

1

0

1

2

00

2

0

0

2

0

1

01

NN

NN

l yNy

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

92

01

1

01

1

0 CNCNN

(16)

Сейчас из (16) определим приближенные формулы для lji ,0

.

Отметим, что нахождение i

0 и

i

1 из (14) составляет трудность из- за

вычисления фундаментальных матриц 0,0

tn , 0,1

tn , 0,2

tn

1,0n из систем линейных дифференциальных уравнений (5). Поэтому в

следующем пункте с помощью обычного метода Эйлера дискретизируем

уравнение (5) и приближенно восстановим фундаментальные матрицы

0,tn

i , 1,0n 2,1,0i в первом приближении.

Как видно из (13)-(14) для восстановления i

0 и

i

1 надо учесть высшие

lji ,0 . Соотношение (16) позволяет их найти. Поэтому сравнивая (16) с

(5) имеем:

Ni

0

1,0

0

1

0

1,1

0

Ni N

0

1

0

1,0

1

Ni

(17)

01

1

01

1

0

1,1

1

NNi

0

1

0

1,0

2C

Ni

01

1

01

1

0

1,1

2CC

NNi

.

Таким образом, более проще вычислить i

0 и

i

1 из (13), (14) с

помощью приближенных формул.

Отметим, что с помощью (17) легко можем найти для 1

0

i , 1

1

i из

(13) и (14) следующие выражения в явном виде

0

1'

0

'

00

11

0

0

1'

0

1'

0

'

00

'

2

1BAEAAEyBAEAAEB

NNiN

k

NNi

01

1'

01

1

0

'

00

1'

0

'

0

'

BAAENBAEAAEyyAAEBNNNi

lk

N

, (18)

0

1'

0

1'

0

'

00

11

0

0

1'

0

1'

0

'

01

'

2

1

BAEAAEBy

BAEAAEB

NNi

N

k

NNi

1'

0

'

10

1'

0

1'

0

'

1

'

0

1'

0

'

1

NNNNAEBCAEAAENABAEB

1'

01

1'

0

1'

0

'

0

1'

0

'

1

'

0

NNN

lk

N

AENCAEAAEByAAENAB

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

93

0

1'

001

1'

01

1'

001 BAEABAAENBAECANNN

(19)

0

1'

0

'

00

1

0

1'

0

1'

0

'

0

'

BAEAAEyBAEAAEBNNiNN

01

1'

01

1

0

'

00

1'

0

'

0

'

BAAENBAEAAEyyAAEBNNNi

lk

N

.

Отметим, что для получения более точных значений надо вести

дискретизацию по методу Рунге Кутте и др. Таким образом, подытожив

вышеприведённое можем предложить следующий вычислительный алгоритм

для нахождения совпаденияiii

10

.

Алгоритм 2.

1. Даны функция ,, xyf и статистические данные iy0 , iey из (2) и

(3) Ni ,...,1,0

2. Вычисляются производные ff y , из (4)

3. Вычисляются 101010 ,,,,, CCBBAA из (4).

4. Вычисляются 1,1

2

1,0

2

1,1

1

1,0

1

1,1

0

1,0

0,,,,, iiiiii из (7) (или(17)).

5. i

0 и

i

1 вычисляются по формулам (13) и (14), соответственно (или

(18), (19)).

6. Вычисляются iii

10

7. Проверяется условие

1 ii II

Если оно не удовлетворяется, переходим к пункту 2. Иначе вычислительный

процесс останавливается.

Отметим, что формулы (18) и (19) позволяют приближенно найти .

Рассмотрим следующий пример.

5. Пример

Рассмотрим газлифтный процесс для добычи нефти, где уравнение

движения описывается следующим нелинейным обыкновенным

дифференциальным уравнением [1,5,10,11]

,)(2

22222

2

QFc

FQaQ c

,)0( uQ (20) ,

здесь cc , кроме FQ c все величины считаются постоянными, F -

площадь поперечного сечения насосно-компрессорных труб, которая

является постоянной относительно осей.

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

94

Здесь предполагается, что переход от конца кольцевой трубы через

пласт к началу подъемника (x= l) выполняется по следующему разностному

уравнению:

,))0(()0()0( 1 QlQlQlQ (21)

,))0(())0(( 1

2

231 lQlQ

где , 1 , 2 , 3 постоянные действительные числа, подлежащие

определению. Для простоты предположим, что параметры , 1 , 2 , 3

известны и требуется восстановить коэффициент гидравлического

сопротивления c , входящий в (20) через )( c .

Далее выбираются некоторая номинальная траектория xQ0 и

параметр 0 , предполагая что k я итерация уже выполнена. Линеаризуя

около этих данных уравнение (20) имеем

,,,, 111111 kkkkkkkkk QCQBxQQAxQ (22)

где

0, 11

0 ii xyA ,

1332111

1 4, iiii QFcaxyA ,

FxyB ii 2, 11

0

, 23311

1 2, cFxyB ii

,

111

0 2, iii FaxyC ,

122,21332111

1 iiii QFcaxyC .

Отметим, что с помощью соотношений (17), (18) матрицы 1 k

,0,1

1 xk 0,1

2 xk вычисляются в следующем виде

,),(),(),(0, 112

111

112

2 12

1111

1

1hxQBhxQBhxQAEx k

Nkk

jk

N

Nj

j

N

ki

kk

,),(),(),(0, 112

111

112

2 12

1112

1

1hxQChxQChxQAEx k

Nkk

jk

N

Nj

j

N

ki

kk

где h достаточно малое число, являющееся шагом интегрирования.

Пусть заданы статистические данные из промысла, которые являются

результатами измерений дебита i

nQ2

~при выходе с заданным начальным

объемом газа iQ0

~, т.е.

iQ0

~,

i

nQ2

~, 5,1i известны.

0l

iy 5.5698 5.5732 5.5761 5.5810 5.5848 5.5852 5.5824

l

iy 2 4.4242 4.4248 4.4254 4.4262 4.4266 4.4263 4.4251

Тогда функционал из (8) будет иметь следующий вид:

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

95

.2

1 5

1

2

0

i

il

i QQI

Здеь ilQ является решением уравнения (3) для начальных условий

iQ0 .

Пусть параметры уравнения (20) имеют вид:

при 00 lx : , 331m/ccm, 1485l 3m

717,0 кг ,

m1073114 322 d , =0,01;

при lxl 20 : 850m/cc ,, m0,073d , =0,23. (23)

Теперь переходим к выполнению вышеприведенного алгоритма.

Начальное значение КГС 0

c примем равным 1. Принимая 10 ty

и повторяя процедуру 1-5 из алгоритма 2 определяем значение 1

c , ty1.

После 44 итераций был получен следующий результат:

0.29834c ,

который совпадает с из (22) с точностью до 210

.

Отметим, что такой подход может быть удовлетворительным для

нахождения начальных итераций обычного градиентного метода, для

нахождения КГС [3], линеаризации [11] и др.

Литература

1. AlievF.A., IsmailovN.A. Optimization problems with a periodic boundary-

value condition and boundary control for gas-lifting wells, Neliniini

Kolyvannya (Nonlinear Oscillations), Vol.17, No.2, 2014, pp.558-574.

Translated in: Journal of Mathematical Sciences, Volume 208, Issue 5, 2015,

pp. 467-476.

2. Aliev F.A., Abbasov A.N., Mutallimov M.M., Algoritm for the solution of

the problem optimization of the energy expenses at the explutation of chinks

by subsurfase-pump installations, Appl. Сomput. Math., An International

Journal,Vol.3, No.1, 2004, c.2-9.

3. Aliev F.A., Ismailov N.A., Inverse problem to determine the hydraulic

resistance coefficient in the gas lift process, Appl.Comput. Math., Vol.12,

No.3, 2013, pp.306-313.

4. Aliev F.A., Ismailov N.A., Mukhtarova N.S., Algorithm to Determine the

Optimal Solution of a Boundary Control Problem, Automation and Remote

Control, 2015, Vol. 76, No. 4, pp.627–633.

5. Aliev F.A., Ismailov N.A., Namazov A.A. Asymptotic method for finding

the coefficient of hydraulic resistance in lifting of fluid on tubing, Journal of

Inverse and Ill-posed Problems. Vol.23, No.5, 2015,pp. 511–518.

PROCEEDINGS OF IAM, V.5, N.1, 2016

96

6. Aliev F.A., Ismailov N.A., Temirbekova N.L., Extermal solution of the

problem of the choice of optimum modes for gaz-lift process, Appl.Comput.

Math., Vol.11, No.3, pp.348-357.

7. Apostolyuk A.S., Larin V.B., Updating of linear stationary dynamic system

parameters. Appl. Comput. Math., Vol.10, No.3, 2011, pp.402-408.

8. Baigereyev D., Ismailov N.A., Gasimov Y.S., Namazov A.A.,On an

Identification Problem on the Determination of the Parameters of the

Dynamic System,Mathematical Problems in Engineering,Vol.2015, 2015,

Article ID 570475, 8 pages

9. Bellman, P.E., Kalaba P.E., Quailinearization and nonlinear boundary

problems, Мoscow: Mir, 1968, 153p.

10. Jian L.U., The Least Square Method And Its Application, Science and

Technology of West China, 2007.

11. АлиевФ.А., Методы решений прикладных задач оптимизации

динамических систем, Ваку, Елм, 1989, 327с.

12. Алиев Ф.А., Исмаилов Н.А., Об одной задаче идентификации в

линейном стационарном случае, Доклады НАН Азербайджана, т.46,

No.6, 2010, с.6-14.

13. АлиевФ.А., ИсмаиловН.А., ГасымовЮ.С., НамазовА.А., Об одной

задаче идентификации по определению параметров динамических

систем, ProceedingsofIAM, Vol.3,No.2, 2014, c.139-152.

14. Бахтизин Р. Н., Латыпов А. Р. Оценка порядка линейных объектов по

экспериментальной информации. Автомат. и телемех., No. 3,

1992,c.108–112.

15. Мирзаджанзаде А.Х., Ахметов И.М., Хасаев А.М., Гусев В.И.

Технология и техника добычи нефти, М.: Недра, 1986.

16. Шуров В.И., Технология и техника добычи нефти, Москва, Недра,

1983, 510 с.

Qeyri xətti dinamik sistemlər üçün asimptotik üsulla identifikasiya

məsələsinin həlli

Fikrət Ə. Əliyev, N.A. İsmayılov, A.A. Namazov, M.F. Rəcəbov

XÜLASƏ

Obyektin hərəkətini təsvir edən qeyri xətti adi törəməli diferensial tənliklərə faza

koordinatlarından başqa naməlum sabit vektor və kiçik parametr daxil olan dinamik

sistemlər araşdırılır. Müəyyən zaman intervalında giriş və çıxışa nəzərən müşahidələr

əsasında ən kiçik kvadratlar üsulu əsasında qurulmuş funksionalın minimumu tapılır.

Alınan nəticələrin real mədən nəticələrilə 10-1 dəqiqliyi ilə üst-üstə düşdüyü təstiqlənir.

Açar sözlər: hidravlik müqavimət əmsalı, ən kiçik kvadratlar üsulu,

kvazixəttiləşdirmə ,dinamik sistemlər, asimptotik üsul.

Ф.А. АЛИЕВ и др.:АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ …

97

Asymptotic method of solution of identification problem for the nonlinear

dynamic systems

Fikrat A. Aliev, N.A. Ismailov, A.A. Namazov, M.F. Rajabov

ABSTRACT

The dynamic system, when the motion of the object is described by the system of

nonlinear ordinary differential equations, to the right part of which except the phase

coordinates enter an unknown constant vector-parameter and a small number is considered.

The statistical data are also known from practice: the initial and final values of the object

coordinate. Using the method of quazilinearization the given equation is reducing to the

system of linear differential equations, where the coefficients of the coordinate and

unknown parameter, also of the perturbations depend on a small parameter linearly.

Further, by using the least-squares method the sought after unknown constant vector-

parameter is searched as a power series on a small parameter and for the coefficients of the

zero and the first order the analytical formulas are given and on their basis an asymptotic

presentation is offered . Here the fundamental matrices both in a zero and in the first

approaching are constructed approximately, by means of the ordinary Euler method. On

an example of determination of the coefficient of hydraulic resistance in a lift at the

extraction of the oil by gas-lift method is illustrated, as the got results in the first

approaching coincides with well-known results on 10-1 order.

Keywords: coefficient of hydraulic resistance, least-square method,

quasilinearization, identification of dynamic systems, asymptotic method.