Міністерство науки і освіти України

Запорізький національний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

РОЗРАХУНОК МАГНІТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

НАНОКОМПОЗИЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ НА

ОСНОВІ ПЕРМАЛОЮ

2006

2

АНОТАЦІЯ

В теорії мікромагнетизму проводився розрахунок просторового

розподілу намагніченості, топології магнітостатичних полів і деяких

магнітних характеристик в магнітом’яких нанокомпозиційних матеріалах на

основі пермалою.

Метою роботи є розрахунок просторового особливостей розподілу

спонтанної намагніченості )(rM srr

, топології магнітостатичних полів )(rH m rr і

процесів намагнічування (перемагнічування) композиційного матеріалу, що

складається з наночастинок пермалою Fe20Ni80 кубічної форми (зі стороною

10=a нм), впроваджених в діамагнітну матрицю.

НАНОКОМПОЗИТ, МІКРОМАГНЕТИЗМ, РІВНЯННЯ ЛАНДАУ-

ЛІВШИЦЯ, МЕТОД КІНЦЕВИХ РІЗНИЦЬ.

3

ВСТУП

Тисячі років людської цікавості привели до відкриття магнетизму, і

протягом багатьох сторіч він був стимулом прогресу в науці та техніці.

Протягом тривалого часу у фокусі був макроскопічний магнетизм, що

демонструється стрілкою компаса, геомагнітним полем і здатністю

електромагнітів і постійних магнітів робити механічну роботу. Магнітні

явища атомних масштабів, такі як квантово-механічний обмін [1-4],

взаємодії, обумовлені полем кристалічної гратки [5], релятивістський спін-

орбітальний зв'язок [6,7], були виявлені в першій половині ХХ сторіччя та

використовуються тепер, наприклад, у сучасних інтерметалідах, таких як

SmCo5 та Nd2Fe [8]. Однак, тільки в останнє десятиліття стало зрозуміло, що

магнетизм твердого стану, більшою мірою, - наноструктурне явище. Наукова

та технологічна важливість магнітних наноструктур мають три основні

причини:

I - велика розмаїтність структур із цікавими фізичними властивостями,

поширюється від наномагнетиків, які природно з'явилися, і порівняно

нескладних у виробництві нанокомпозитів до потребуючих

майстерності у виготовленні наноструктур.

II - складність нанорозмірних явищ складається в поясненні і

удосконаленні властивостей передових магнітних матеріалів.

III - наномагнетизм відкриває двері для абсолютно нових технологій.

В останні два десятиліття в наукову лексику стрімко ввірвався ряд

нових термінів із префіксом «нано»: наночастинка, наноструктура,

нанотехнологія, наноматеріал, нанокластер, нанохімія, наноколоїди,

нанореактор і т.д. Видається ряд нових журналів, присвячених винятково цій

тематиці, з'явилися монографії з відповідними назвами, а також «нано»-

профільовані інститути, кафедри та окремі лабораторії; проводяться численні

конференції. У більшості випадків нові назви дані давно відомим об'єктам

або явищам, однак з'явилися та нові об'єкти, які були недоступні дослідникам

Міністерство освіти і науки України

Запорізький національний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

РОЗРАХУНКИ ВЛАСТИВОСТЕЙ

НАНОКОМПОЗИЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ НА ОСНОВІ

ЗАЛІЗА В ТЕОРІЇ МІКРОМАГНІТИЗМА

2006

2АНОТАЦІЯ

Проводився розрахунок кривих намагнічення і петель гістерезису

композиту того, що складається з 100 наночастинок заліза розмірами

101530 ×× і з площиною поверхні (001), упроваджених в діамагнітну

матрицю.

Метою роботи є дослідження в теорії мікромагнетизму основних

магнітних властивостей композитів, що складаються з наночастинок заліза

еліпсоїдальної форми.

НАНОЧАСТИНКА, ВІЛЬНА ЕНЕРГІЯ, МАГНІТНИЙ МОМЕНТ,

КОЕРЦИТИВНА СИЛА, АНІЗОТРОПІЯ, НАНОКОМПОЗИТ,

МІКРОМАГНЕТИЗМ, РІВННЯ ЛАНДАУ-ЛІВШИЦЯ

3ВСТУП

У останні десятиліття розроблені, вивчені і упроваджені у

виробництво унікальні по своїх властивостях нові магнітні сплави на основі

заліза з нанокристалічною структурою, що представляє собою зерна ОЦК

фази α-Fe розміром близько 10 нм. Сплави з такою структурою, названі

нанокристалічними, одержують найчастіше з аморфних стрічок в результаті

проведення кристалізаційного відпалу, так що ці сплави можна з повною

підставою віднести до класу швидко загартованих матеріалів, оскільки

початковий продукт - аморфну стрічку - проводять методом гарту з розплаву.

Створення нанокристалічних магнітних сплавів і освоєння їх випуску в

промисловому масштабі з'явилося істотним проривом в рішенні ряду

проблем фізичного матеріалознавства м'яких сплавів і в задоволенні запитів

сучасної техніки. Це обумовлено тим, що нанокристалічні сплави не тільки

володіють гістерезисними властивостями на рівні кращих кристалічних

(сплави типу пермалою) і аморфних (сплави на основі із з близькою до нуля

магнітострикцією) матеріалів, але одночасно володіють високою індукцією

насичення Bs, порівнянною з Bs високо кремнієвих електротехнічних сталей.

Такими матеріалами виявилися сплави з нанокристалічною структурою,

властивості і будова яких викликають останнім часом підвищений інтерес

дослідників.

Інтенсивне вивчення існуючих кристалічних (пермалой, сендаст,

електротехнічні стали) і аморфних м'яких магнітних матеріалів привело

фактично до вичерпання ресурсу подальшого поліпшення їх магнітних

властивостей. В той же час розвиток електротехнічної, радіоелектронної і

приладобудівної промисловості висуває все нові вимоги не тільки до рівня,

але і до поєднанню "службових" магнітних характеристик.

Метою дипломної роботи є дослідження в теорії мікромагнетизму

основних магнітних властивостей композитів, що складаються з

наночастинок заліза еліпсоїдальної форми.

4

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

1.1 Нанокомпозити. Роль в сучасній науці, техніці та технології

Магнітні НКС на основі Fе умовно можна розділити на дві групи: НКС

із змішаною аморфно-кристалічною структурою (ОЦК α-Fe + аморфна фаза)

і НКС із змішаною кристалічною структурою (ОЦК α-Fe + карбідна фаза).

Найбільшого поширення до теперішнього часу набули НКС із змішаною

аморфно-кристалічною структурою, яскравим представником яких є сплав

складу Fe73,5Cu1Nb3Si13,5B9, названий розробниками файнметом (FINEMET)

Сплави цього типа були відкриті в кінці 80-років групою японських

дослідників в результаті системного дослідження впливу малих легуючих

добавок міді і перехідних елементів на магнітні властивості і мікроструктуру

аморфних сплавів системи Fe-Si-B, що пройшли відпал вище за температуру

кристалізації [1]. Цей сплав серед всіх дотепер досліджених НКС

залишається неперевершеним по комплексу гістерезисних властивостей,

зокрема високочастотних. Так, ефективна початкова проникність μе (Нс = 0.4

А/м, 1 кГц) і коерцитівная сила Нс можуть досягати наступних значень: μе ≈

100000, Нc≈ 0.5 А/м. Проте, сплави інших складів, зокрема НКС із змішаною

кристалічною структурою, можуть володіти вищими значеннями Bs (1.5 – 1.7

Тл), чим файнмет (~ 1.25 Т), але їх гістерезисні властивості при цьому

виявляються не такими видатними.

М’які магнітні НКС типу файнмет серійно випускаються у вигляді

стрічки товщиною 5 - 40 мкм і шириною 0.5 - 100 мм. Залежно від варіацій

хімічного складу і виду термічної обробки (кристалізаційний відпал у

відсутність або при накладенні подовжнього Н|| або поперечного Н⊥

магнітного поля) НКС можуть набувати широкого діапазону магнітних

властивостей і змінювати форму петлі гістерезису від прямокутної до

пологої.

5 У таблиці 1.1 приведені типові магнітні властивості для сплавів типу

файнмет двох складів, а також для сплавів, підданих спеціальним видам

термічної обробки: сплав з прямокутною петлею гістерезису (FT-1Н), з

пологою петлею (FT-1L) і з петлею середньої прямокутності (FT-1М). Тут же

для порівняння приведені магнітні властивості, характерні для аморфних

сплавів на основі Fe і Co. Залежно від призначення використовують той або

інший вид матеріалу. Зокрема, при частотах мегагерцевого діапазону

якнайкращими властивостями володіє сплав FT-1L: μе = 2000 при 1 Мгц і μе

= 500 при 10 Мгц.

Таблиця 1.1- Типові магнітні властивості сплавів типу файнмет, а також

аморфних сплавів (АС) па основі заліза і кобальту і Mn-Zn-фериту

Сплав Bs,

Тл

Br/Bs,

%

Hc,

А/м

μе,

(Нт = 0,4

А/м,

μе,

(10

МГц)

Р

(f= 100 кГц,

Вт = 0,2 Тл)

λs106 Тc,

°С

кВт/м3 Вт/кг

FINEMET-1 1,24 54 0,53 100000 300 280 38,5 + 2,1 843

FINEMET-2 1,18 58 1,1 75000 300 280 38,5 ~0 833

FT-1H 1,35 90 0,8 5000 200 950 130 + 2,3 843

FT-1M 1,35 60 1,3 70000 400 350 48,3 + 2,3 843

FT-1L 1,35 7 1,6 22000 500 310 42,8 + 2,3 843

FeSiB (AC) 1,41 16 6,9 6000 _ 460 63,5 + 20 631

CoFeSiB

(АС) 0,53 50 0,32 80000 - 300 41,3 ~0 453

Mn-Zn-

феррит 0,43 28 6,4 10000 - - - … 393

FINEMET-1: Fe73,5Cu1Nb3Si13,5B9 FINEMET-2: Fe73,5Cu1Nb3Si16,5B6

Незвичайний для традиційних кристалічних магнітних

матеріалів фазово-структурний стан НКС (двофазна структура з розміром

6зерна близько 10 нм) вимагає нового підходу до

пояснення формування в них таких унікальних магнітних

властивостей. Як відомо, в основі класичного принципу створення

м'яких магнітних матеріалів лежать наступні вимоги: матеріал

повинен бути однофазним (відсутність включень), він повинен мати

достатньо великий розмір зерна, а значення константи магнітної

кристалічної анізотропії 1K і магнітострикції насичення λs повинні бути

близькі до нуля. Ці вимоги, як відомо, найкращим чином реалізуються у

високонікелевому пермалої і в сендасту, а також в аморфних сплавах на

основі Co, для яких λs = 0.

Вимога, що відноситься до розміру зерна d, базується на зв'язку між Нс

і d, яка для звичайних кристалічних матеріалів має вигляд: Нс ~ d-n. Проте, у

разі НКС цей зв'язок порушується в нанокристалічному діапазоні розмірів

зерен спостерігається не збільшення Нс із зменшенням d, а навпаки,

зменшення Нс, тобто ця залежність має вигляд: Нс~dm. Крім того, в НКС типу

файнмет виявляються близькими до нуля як енергія магнітної кристалічної

анізотропії, так і величина λs, хоча склад нанокристалів твердого розчину α-

Fe(Si) не відповідає ні умові рівності нулю λs, (12 ат.% Si), ні умові

рівності нулю константи К1 (22 ат.% Si).

Якщо близьке до нуля значення λs сплавів типу файнмет можна

зрозуміти на основі припущення, що воно є слідство адитивного складання

парціальних величин λs, що розрізняються по знаку, відносяться до аморфної

і кристалічним складовим структури, то "аномальні" закономірності відносно

зв'язку між Нс і величиною зерна d, а також майже нульове значення

константи магнітної анізотропії можна пояснити тільки на основі залучення

нових фізичних уявлень про характер міжзереної магнітної взаємодії у разі,

коли система має супердисперсну структуру. Ця взаємодія, що обумовлена

силами обмінної природи призводить до того, що магнітна анізотропія

визначається не величиною константи 1K , а середньою по групі

нанокристалів, охоплених міжзереною обмінною взаємодією, ефективною

7константою анізотропії >< K , величина якої значно менше константи 1K і

визначається величиною зерна d як mdK ~>< .

1.2 Методи отримання та дослідження наноматеріалів

До теперішнього часу розроблений ряд загальних методів синтезу

наночастинок [2,3]. Істотною особливістю синтезу наночастинок є

отримання частинок заданого розміру і форми (розкид за розмірами

повинен бути невеликим (5-10%) і таким, що піддається контролю).

Контроль форми і можливість синтезу анізотропних магнітних структур

особливо важливі. При цьому важливо мати можливість регулювати

відстані між частинками в матриці. Нарешті, практична методика синтезу

повинна бути відносно простою, недорогою і давати відтворювані

результати.

Якщо за основу класифікації методів отримання наночастинок взяти тип

початкової речовини і особливості його обробки, можна виділити наступні

основні підходи до формування наночастинок:

• отримання з макроскопічних матеріалів шляхом диспергування;

• хімічний синтез, тобто направлена зміна складу речовин із

зупинкою (тим або іншим методом) зростання нової фази на стадії

нанорозмірів;

• перетворення наночастинок зі зміною складу.

Остання дорога поки мало поширена і представлена лише декількома

прикладами.

У основі методу синтезу наночастинок з пересиченої пари металів

лежить класична теорія нуклеації, в якій кластери нової фази, що

зароджуються, описують моделлю сферичної рідкої краплі. Для

отримання наночастинок (кластерів) використовують різні способи

випаровування металу: лазерне випаровування, термічне випаровування,

дуговий розряд, випаровування в плазмі, випаровування під дією сонячної

енергії. У кожному методі використовуються різні варіанти установок, що

8відрізняються технічними рішеннями тих або інших вузлів. Всі перераховані

вище методи випаровування металу дозволяють вивчати як фізико-хімічні

характеристики наночастинок в газовій фазі (до осадження пари металу на

підкладку), так і властивості порошків або плівок, одержаних в результаті

осадження. Останнім часом для синтезу наночастинок стали

використовувати криогенний метод. В цьому випадку конденсація атомів

металів і металевих з'єднань відбувається при низьких температурах в

криогенній матриці, найчастіше - в середовищі рідкого інертного газу.

Даний метод дозволяє одержувати хімічно дуже чисті наночастинки,

однорідні по складу і будові, що не мають пір та інших морфологічних

неоднорідностей.

Індивідуальні магнітні наночастинки вперше були одержані методом

молекулярних пучків [4,5]. В цьому випадку випаровування металу

проводять у вакуумі в камері з діафрагмою. Частинки, що випаровуються,

проходячи через діафрагму, утворюють молекулярний пучок. Інтенсивністю

пучка визначається швидкість конденсації частинок на підкладці. Даний

метод дозволяє одержувати в значній мірі "вільні" (тобто безлігандні)

кластери (наночастинки), тому він може бути використаний для

встановлення власних магнітних властивостей таких частинок, не

спотворених впливом зовнішнього середовища, а також для розуміння

фундаментальних основ фізики магнітних кластерів. В цьому відношенні він

не має собі рівних, проте практичного застосування для отримання

магнітних наноматеріалів метод молекулярних пучків не знайшов.

Отримання наночастинок розпилюванням пари металу - достатньо

добре розроблений метод як в практичному, так і в теоретичному аспектах.

Даний метод при термічному або лазерному випаровуванні дозволяє

синтезувати грами порошків, що складаються з наночастинок. Цим

способом можна диспергувати метали, сплави, оксиди, проте вартість

одержаних таким шляхом наноматеріалів залишається все ще достатньо

високою.

9 Метод LECBD (Low Energy Cluster Beam Deposition) полягає в

осадженні на підкладку незаряджених частинок з дуже низкою кінетичною

енергією. В цьому випадку частинки не розпадаються при попаданні на

підкладку і можуть бути впроваджені в матриці різних типів, що

формуються одночасно шляхом випаровування їх компонент з іншого

джерела. Розміри облягаючих наночастинок і їх склад контролюються в

газовій фазі до осадження на підкладку з використанням мас - аналізуючих

систем різних типів.

Методи нанодиспергування компактного матеріалу. Метод

механохімічного диспергування компактного матеріалу в млинах різної

конструкції як спосіб отримання дисперсних систем виглядає вельми

привабливим, проте існує межа механічного подрібнення твердих тіл, що

перешкоджає у ряді випадків отриманню нанорозмірних частинок з

вузькою дисперсією. Для диспергування металів і сплавів можна

використовувати також електроерозію. В цьому випадку процес

розпилювання протікає всередині діелектричної рідини, продукти

перетворення якої покривають поверхню наночастинок, що утворюються.

Залежно від умов проведення процесу, природи металу і середовища

диспергування діаметр одержуваних наночастинок звичайно лежить в

інтервалі 2.5-20 нм, але окремі частинки можуть мати розміри 100 нм.

Для синтезу значних кількостей невеликих за розмірами (1-2 нм)

наночастинок з вузькою дисперсією застосовують електрохімічне

генерування. Так, для отримання частинок кобальту використовували

стандартний електрохімічний осередок, що містить розчин галогеніду

тетраалкіламмонія в спирті. При пропусканні струму відбувалося

розчинення кобальтового анода і утворення наночастинок в при

електродному шарі катода (скловуглець). На ряді прикладів досліджено

вплив параметрів електролізу на магнітні характеристики наночастинок, що

утворюються [6].

Електрохімічним методом були одержані наночастинки 32OFe−γ

10(3-8 нм), стабільні в органічних розчинниках за рахунок адсорбції катіонних

ПАВ.

Хімічний синтез магнітних наночастинок. Як початкові речовини для

синтезу магнітних наночастинок використовують різноманітні металовмісні

з'єднання (МСС): карбоніли металів, металоорганічні сполуки, солі

карбонових кислот і т.п. Найчастіше розпад прекурсору відбувається при

нагріванні в УФ- випромінені, проте розроблені і інші способи дії на МСС,

що приводять до отримання наночастинок.

Термоліз металовмісних з'єднань. Терморозпад металовмісних з'єднань

був детально вивчений у зв'язку із створенням наукових основ методу

MOCVD (Metal Organic Chemical Vapour Deposition), який з успіхом

використовується для отримання наночастинок. Для одностадійного синтезу

нанодисперсних оксидів Fe методом CVD як МСС було запропоновано

використовувати [Fе(ОВu1)3]. При проведенні реакції в рідких середовищах у

присутності ПАВ або полімерів вдається стабілізувати аморфні

наночастинка діаметром до 10 нм. Спочатку при 1000С з Fe(CO)5 і

олеїнової кислоти одержують залізо-олеатний комплекс, який при 3000С

розпадається з утворенням первинних рихлих наночастинок (4-11 нм).

Останні після прогрівання при 5000С перетворюються, за даними РФА, в

кристалічні наночастинки α-Fe. Для тих же цілей можна використовувати

лазерний фотоліз летючих МСС (найчастіше карбонілів металів).

Розкладання металовмісних з'єднань під дією ультразвука. В цьому

методі як металовмісні з'єднання звичайно використовують карбоніли

металів або їх похідні, хоча відомі випадки успішного застосування і інших

металоорганічних сполук. Так, для синтезу наночастинок використовували

розкладання розчину Со2(CO)8 в толуолі під дією ультразвука. Щоб

зберегти монодисперсність і перешкодити агрегації частинок, що

утворюються, в розчин додавали натрієву сіль біс-(2-етілгексил)

сульфоянтарної кислоти. Аморфні наночастинки, що містять Со, були

одержані також дією ультразвука на розчин Со(CO)3(NO) в декані у

11присутності олеїнової кислоти.

Для синтезу магнітних наночастинок, що містять Fe, як правило,

використовують Fe(CO)5. Ультразвукове розкладання пентакарбоксилу

заліза в середовищі полівінілпірролідона привело до наночастинок 32OFe−γ ,

що мають аморфну структуру. Їх розмір визначався природою і

концентрацією ПАВ, присутніх в розчині.

Відновлення металовмісних з'єднань. Для синтезу магнітних металевих

наночастинок з солей відповідних металів застосовують сильні відновники:

дисперсії лужних металів в ефірах або вуглеводнях, комплекси лужних

металів з органічними акцепторами електронів (такими як нафталін), а

також 4NaBH і інші комплексні гідриди. При використанні 4NaBH у водних

розчинах при кімнатній температурі були одержані як гомометаллічеськіє

(Fe, Co, Ni), так і гетерометалічні (Fe-Co, Fe-Cu, Co-Nі) наночастинки у

вигляді аморфних порошків, що містять значні кількості бору (20 мас.%

і більш). При відновленні СоCl2 гідридом у присутності різних

тріалкилфосфінов утворюються наночастинки чистої 8-фази кобальту з

розмірами 2-11 нм (залежно від довжини ланцюга алкільних груп у

використовуваному тріалкилфосфіне).

Ще одним способом синтезу може служити радіаційне- хімічне

відновлення іонів металів у водних розчинах. Зокрема, при облученні

дезаерірованих розчинів перхлоратів Со2+ і Ni2+ у присутності форміату

натрію і стабілізатора (ПАВ) утворюються сферичні наночастинки (2-4 нм)

цих металів з вузьким розподілом по розмірам.

Синтез в зворотних міцелах. В останні роки інтенсивно розвивається і

широко використовується метод синтезу наночастинок в нанорозмірних

реакторах, оскільки він дозволяє в певних межах регулювати розміри

нанореакторів, в яких протікає синтез. До таких нанореакторів відносяться,

зокрема, міцели. Зворотні міцели є найдрібнішими краплями води,

стабілізованими в гідрофобній рідкій фазі за рахунок утворення моношару

ПАВ на їх поверхні. Завдяки строгому дозуванню кількості МСС в кожній

12міцелі (оскільки утворення наночастинок відбувається без підведення

додаткової речовини ззовні), можна не тільки регулювати склад і середні

розміри частинок, але і одержувати монодисперсні зразки з достатньо

вузьким розподілом частинок за розмірами.

Золь-гель-метод. Золь-гель-метод широко застосовується у ряді

технологій. У нанотехнології він звичайно використовується для отримання

оксидів металів, але може бути застосований і для синтезу нанорозмірних

металів і сплавних біметалічних і гетероелементних частинок. Так,

відновлення іонів Ni2+ і Fe2+, упроваджених в силікагель в співвідношенні

3:1, воднем при 733-923 К приводило до утворення всередині матриці SiO2

наночастинок (4-19 нм) складу Ni3Fe.

Синтез магнітних наночастинок на межі розділу газової і рідкої фаз.

Наночастинки можуть бути синтезовані і у відсутність твердотільних

підкладок або матриць в результаті окислювально-відновних реакцій на

межі розділу двох фаз, одна з яких містить з'єднання металу (окислювач), а

інша - відновник. Вперше цей метод був реалізований ще Фарадеєм в 1857 р.

при отриманні стабільного колоїдного розчину наночастинок золота. Синтез

наночастинок здійснювали в ленгмюровському моношарі амфіфільних

молекул що включає молекули окислювача, на межі розділу фаз газ-рідина.

Розкладання з'єднань металу в такому моношарі ініціює виникнення

активних інтермедіатів, їх нуклеацию і подальше двовимірне зростання

наночастинок на поверхні рідини. При цьому молекули ПАВ моношару

можуть взаємодіяти з наночастками і впливати на процеси їх зростання, тим

самим відкриваючи можливості для ефективного регулювання розміру і

морфології одержуваних структур.

На рисунку 1.1 представлені наночастинки оксиду заліза, синтезовані в

ленгмюровському моношарі з початковим співвідношенням Fe(CO)3:

C17H35Cо2H = 10:1 при УФ- випроміненні (4 мін), 210С і рН 5.6 у відсутності

зовнішнього магнітного поля.

13

Рисунок 1.1 Мікрофотографії, одержані ТЕМ (а) і АСМ (b),

залізовмісних наночастинок, синтезованих в ленгмюровському моношарі.

Наночастинки, що утворилися, мали плоску радіально-симетричну

форму.

На рисунку 1.2 показані наночастинки, синтезовані в аналогічних

умовах, але при накладенні зовнішнього магнітного поля паралельно

площини моношару.

Рисунок 1.2 Мікрофотографії, одержані ТЕМ (а) і АСМ (b),

залізовмісних наночастинок, синтезованих в ленгмюровському моношарі в

зовнішньому магнітному полі напруженістю 2 кЭ, що направлене

паралельно площині моношару.

В цьому випадку виходили анізотропні витягнуті наночастинки, довга

14вісь яких співпадала з напрямом поля. Якщо енергія магнітної діполь-

діпольної взаємодії наночастинок перевищує енергію теплового

(броунівського) руху Bk Т ( Bk - константа Больцмана), то магнітні частинки

можуть об'єднуватися в ланцюгові структури. Утворення ланцюгових

агрегатів магнітних частинок характерно для магнітних рідин.

На рисунку 1.3 представлені організовані ланцюгові ансамблі

залізовмісних магнітних наночастинок, синтезованих в ленгмюровському

моношарі при дії зовнішнього магнітного поля в короткочасному УФ-

випромінені.

Рисунок 1.3 Мікрофотографія, одержана за допомогою АСМ,

залізовмісних наночастинок, синтезованих в ленгмюровському моношарі

при короткочасному (6 с) УФ- ланцюгові з подальшою темновою інкубацією

(4 мін) при дії зовнішнього магнітного поля напруженістю 2 кЭ,

направленого паралельно площині моно шару.

Специфічні методи отримання окремих типів магнітних наночастинок.

Гетерометалічні наночастинки. Як правило, такі частинки одержують при

одночасному терморозпаді двох МСС різного складу (як відновник

звичайно використовують водень). Цим методом з Pt(CO)2 і Fe(CO)5 були

одержані гетерометалічні наночастинки складу Fe48Pt52 і Fe70Pt30. При синтезі

частинок Co-Pt як джерело Pt використовували або Pt(CO)2, або

(dba)Ðt 32 (dba- дібензіліденацетон), а як джерело Co- 82 )(COCo ,

)()( 3 NOCOCo або ))(( 1284

1383 HCHCCo −− ηη .

Тут же доречно розглянути методику синтезу наночастинок

15кобальтового фериту CoFe2O4, першою стадією якого є отримання

гетерометалічних Fe-Co-частинок, а другою - їх окислення до CoFe2О4.

Інший шлях синтезу аналогічних частинок - використання як початкове

з'єднання гетерометалічного кластера (η5-C5H5)CoFe2(CO)9. Наночастинки

кобальтового фериту були одержані також мікроемульсією методом з

суміші додецилсульфатних солей Fe, обробленої водним розчином

метіламіна.

Стандартний спосіб отримання нанониток і нанодротів, що складаються

з анізотропних наночастинок Fe і Co, полягає в електролізі розчинів

відповідних металів на алюмінієвому катоді, який заздалегідь покривається

шаром Al2O3, діаметром, що містить канали, 18-35 нм і глибиною до 500

нм [7]. В процесі електролізу ці канали заповнюються відновленим металом.

Після закінчення процесу основу розчиняють в суміші кислот і

відокремлюють наночастинки. За даними ТЕМ наночастинки мають

довжину до 500 нм і середній діаметр 16 нм. Магнітні вимірювання показали,

що одержані зразки володіють величиною коерцитівной сили 2.7 кЭ для Fe

(найбільше значення для частинок чистого a-Fe) і 1.4 кЭ для Со.

Для отримання нанодротів Fe і Со застосована нестандартна методика

терморозпаду карбонілів [8]. Частинки вирощували в реакційній зоні на

полюсах постійного магніту. Дана методика дозволила одержати вуса

товщиною 8-10 нм і завдовжки декілька міліметрів. Описаний простий метод

синтезу гетерометаллічеськіх нанодротів (dm 30 нм, довжина більше 10 мкм)

нагріванням в автоклаві протягом декількох днів при 2000С розчину

ацетилацетонату платини і карбоніла кобальту в этилен-диамине.

Аналогічно були одержані нанодроти Fe-Pt, Ni-PtnCr-Pt.

161.3 Теоретичне прогнозування магнітних властивостей нанокомпозитів

В даний час обладнання для безпосереднього отримання і вивчення

структури і магнітних властивостей нанокомпозиційних матеріалів є дуже

дорогим. Так, наприклад, магнітний силовий мікроскоп за допомогою якого

можна досліджувати як рельєф поверхні нанокомпозитів так і їх магнітну

структуру коштує близько 1 млн. доларів. Тому альтернативними методами

дослідження можуть служити методи комп'ютерного моделювання. У зв'язку

з бурхливим розвитком обчислювальної техніки в останні 5-7 років з'явилася

можливість теоретичного дослідження і прогнозування фізичних

властивостей наноматеріалів. У роботах [ 1 ] були викладені основи

методики мікромагнітного моделювання і проведені розрахунки впливу

різних чинників (температура, розмір і форма нанокристалітів) на магнітні

характеристики нанокристалічних сплавів типу FeNdB. Одним з

перспективних напрямів прикладної фізики є теоретичні розрахунки

властивостей з використанням комп'ютерних технологій.

Метою роботи є дослідження в теорії мікромагнетизму основних

магнітних властивостей композитів, що складаються з наночастинок заліза

еліпсоїдальної форми.

Для досягнення поставленої мети вирішувались слідуючи задачі:

1. Освоїти методику числового розрахунку основних кривих намагнічування

и петель магнітного гістерезису в залежності від напряму зовнішнього

магнітного поля відносно головних вісей еліпсоїдів упорядкованих

наночастинок заліза.

2. Розрахувати основні криві намагнічування композита що складається із

наноразмірних частинок заліза еліпсоїдальної форми впроваджених в

диамагнитну матрицю при різних напрямках зовнішнього поля eHr

.

3. Виконати розрахунки петель магнітного гістерезису вказаного матеріалу

(визначив cH , rM , sH ).

172 МЕТОДИКА ТЕОРЕТИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ МАГНІТНИХ

ВЛАСТИВОСТЕЙ НАНОМАТЕРІАЛІВ В ТЕОРІЇ МІКРОМАГНЕТИЗМУ

2.1 Основи теорії мікромагнетизму

2.1.1 Вираз для повної енергії феромагнітного кристалу

Визначимо природу енергетичної взаємодії. Наступний підхід буде

строго феноменологічним, хоча можна покластися на квантову механіку для

забезпечення цінних керівних принципів у визначенні відповідних

математичних виразів для деяких внесків енергії.

Обмінні взаємодії виникають через втрати енергії, пов'язаних з

неоднорідними розподілами намагніченості у феромагнітних матеріалах.

Феноменологічний вираз цієї густини енергії може бути записаний:

2)m(∇=r

Aexcω , (2.1)

де m- магнітний момент;

[А] = [Дж/м] – постійна матеріалу при даній температурі, звичайно

називають постійною неоднорідного обміну, наприклад А = 1,2 · 10-11 Дж/м

для заліза.

Можна показати, що вираз, даний вище, виходить з гамільтоніану

Гейзенберга в межі малих обертань магнітного моменту між локалізованими

спинами [8]. Зв'язаний внесок ефективного поля може бути визначений, якщо

узяти функціональну похідну рівняння (2.2):

( )m2H 2

0

rr∇=

sexc M

Aμ

(2.2)

Обмінна взаємодія є короткодіючою, як наслідок перекриття хвильових

функцій електронів сусідніх атомів. Її (ефективний радіус) ефективна

довжина lеф ≤ 10 нм = 100·10-10 м = 10-8 м [9].

18Обмінна взаємодія атомів в кристалі прагне орієнтувати їх магнітні

моменти паралельно один одному, коли А > 0 , це має місце у феромагнітних

матеріалах. При 0=excω →min і у феромагнітному кристалі при Т<Тк

мимовільно моменти атомів орієнтовані (усередині доменів) паралельно один

одному: M = Ms . Теплові коливання гратки (εк ≈ кТ) навпаки прагнуть їх

розорієнтувати, що і здійснюється при КTТ > . У цьому і полягає феномен

обмінної взаємодії, що має квантово - механічну природу.

Як дві основні причини, що приводять до появи магнітної

кристалографічної анізотропії, слід назвати магнітну дипольну взаємодію і

спін-орбітальну взаємодію атомів в кристалічних гратках.

Оскільки швидкість електрона v не перевищує 610 м/с, а швидкість

світла у вакуумі 810=c м/с, то величина енергії спін-орбітальної взаємодії

slU в 410 раз менше, ніж енергія кулонівської взаємодії кулU .

Слід зазначити, що величина спін-орбітальної взаємодії збільшується

із зростанням порядкового номера елементу в таблиці Менделєєва, тому для

таких елементів спін-орбітальна взаємодія може стати значно сильнішою,

ніж диполь - дипольна, і порівнятися з кулонівською взаємодією.

Для того, щоб знайти вираз для енергії магнітної кристалографічної

анізотропії необхідно обчислити суму диполь-дипольного дипE і спін-

орбітального SlU взаємодій всіх атомів в одиниці об'єму кристала, вважаючи

що всі магнітні моменти атомів паралельні один-одному, але орієнтовані

довільним чином щодо осей кристала. Вирази такого типу називаються

гратчастими сумами і часто зустрічаються в теорії твердого тіла. Їх

обчислення є досить складною задачею. В зв'язку з цим у багатьох випадках

корисно користуватися феноменологічним виразом для енергії анізотропії.

Вирази для густини анізотропної енергії може бути введена просто, щоб

відобразити кристалографічні симетрії системи, тобто напрями переважного

намагнічення. По фізичній перспективі вони виходять із спін-орбітальних

19взаємодій. Залишаючи тільки найнижчий порядок членів у ряді Тейлора,

виходить густина енергії одноосної анізотропії:

])km(1[ 2r)r⋅−= Kaniω (2.3)

де [K]= [ 3мДж ] - константа одноосної анізотропії, є параметром матеріалу, а

k)

визначає напрям легких осей.

Магнітостатична взаємодія відноситься до тієї частини диполь-

дипольного взаємодії, яка зв'язана з формою феромагнітного тіла (з його

відносними розмірами). Для тіл кінцевих розмірів, як на обмежуючих їх

поверхнях, так і в їх об'ємі можуть виникати поверхневі і об'ємні

неоднорідності намагніченості («поверхневі» mσ і «об'ємні» mρ магнітні

заряди), які приводять до виникнення магнітостатичного поля, як усередині

тіла (розмагнічуючого поля dHr

), так і поза ним (поле розсіяння sHr

).

Енергію намагніченості Mr

у власному магнітному полі mHr

називають

магнітостатичної енергією mω . В даний час встановлено, основною

причиною утворення доменної структури, тобто мимовільному розбиттю

магнетика на макроскопічні області з однорідною намагніченістю, є

прагнення до мінімуму енергії магнітостатичних полів mHr

.

Енергію магнітостатичної взаємодії mW поверхневих і об'ємних

магнітних зарядів у такому разі (у термінахϕ , mσ , mρ ) можна записати в

наступному вигляді:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫ ∫

S V

mmm dVrrdSrrF )()()()(2

10

rrrr ϕρϕσμ

(2.4)

Вводячи силову характеристику магнітостатичної взаємодії –

напруженість магнітостатичного поля, яка задовольняє основним рівнянням

магнітостатики, то запишемо магнітостатичну енергію у вигляді:

20

∫∫ ∫ −=⋅−==

spaceall

m

V V

mmm dVHdVHMdVW 200 )(

22μμω

rr (2.5)

Таким чином, в загальному випадку, вираз для магнітостатичної енергії

є шестикратним інтегралом по координатах. В більшості випадків,

аналітичне знаходження виразу для енергії mF не представляється

можливим. Для її розрахунку користуються чисельними методами.

Крім власних полів mHr

, є зовнішні поля напруженістю eHr

. В цьому

випадку намагніченість Mr

в такому полі володіє деякою енергією, так

званою енергію Зеємана :

dVHMdVWV V

eHH ∫ ∫ ⋅−==

rr0μω (2.6)

Разом з магнітостатічною енергією ця енергія виконує важливу роль

при розгляді різних властивостей феромагнетиків. Зокрема, облік такої

енергії дозволяє описати процеси намагнічення і перемагнічування пов'язані

з рухом доменних стінок, перебудовою доменної структури або обертанням

вектора намагніченості.

2.1.2 Рівняння руху намагніченості (рівняння Ландау-Ліфшица)

Основи квазікласичного методу були закладені Л.Д. Ландау і Е.М.

Ліфшицем в роботі, що вийшла у 1935 року [10]. Вказаний метод одержав

широке визнання, а після того, як справедливість феноменологічної теорії

була строго доведена, перетворився фактично на стандартний інструмент

опису і аналізу резонансних явищ в магнітовпорядкованих речовинах [11].

21

Рисунок 2.1- Прецесійний рух намагніченості

Якщо записати рівняння, що описує рух намагніченості у вигляді:

( )HMM0

rrr

×−= γdt

d , (2.7)

де γ0 –гіромагнітне відношення; M - магнітний момент; Н - зовнішнє

магнітне поле.

Гіромагнітне рівняння (2.7) ймовірно вважається дійсним, коли

зовнішнє магнітне поле замінене ефективним магнітним полем Heff тобто,

миттєвим, намагніченість буде прецесувати навколо Heff з кутовою

швидкістю ω = γ0Heff. Узята у зв'язку з рівняннями Брауна, ця аксіома

передбачає, що рівняння руху намагніченості (гіромагнітне рівняння) буде

записано у формі:

( )eff0 HMM rrr

×−=∂∂ γ

t (2.8)

Член загасання дозволяє прецесувати вектору намагніченості та

втрачати енергію і наближатися до її статичного рівноважного напряму по

22Heff. Безумовно, найпростіший спосіб вводити загасання або член

розкладання в гіромагнітне рівняння, полягає в додаванні до ефективного

поля додаткового внеску у формі:

tM s ∂∂

−M

0

r

γα , (2.9)

де α - безрозмірна постійна.

Цей додатковий член є строго феноменологічним, оскільки він не

виходить ні з якого механізму перетворення енергії або моделі.

Підставляючи (2.7) у (2.8), одержуємо:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

×+×−=∂∂

tMt s

MMHMMeff0

rrrr

rαγ (2.10)

Ця форма рівняння з'явилася завдяки Гілберту. Можна показати, що

вона еквівалентна «старішому» формулюванню Ландау і Ліфшица [12].

Просто помножаючи векторно на M× обидві частини рівняння (2.10),

одержуємо:

( )t

Mt s ∂

∂−××−=

∂∂

×MHMMMM eff0

rrrr

rr

αγ (2.11)

Заміна правої сторони цього рівняння для рівняння для M× ∂M/∂t (2.11), і

реконструкція, веде до:

( ) ( )[ ]effeff0 HMMHM'M rrrrrr

××−×−=∂∂ λγ

t (2.12)

При:

20

0 1 αγγ+

=' і sM

021γ

ααλ+

= (2.13)

23

Це – «старіше» формулювання закону Ландау і Ліфшица.

Представлення вищезгаданого набору рівнянь в геометричній формі рівняння

(2.12), але з використанням постійної загасання Гілберта α і гіромагнітної

постійної γ0, веде до отримання рівняння руху намагніченості Ландау-

Лифшица-Гілберта (ЛЛГ) в звичному формулюванні, а саме:

( ) ( ) ( )[ ]eff0

eff02 HMMHMM1

rrrrrr

××−×−=∂∂

+sMtαγγα (2.14)

Хоча математична форма рівняння руху намагніченості залежить від

розглянутих моделей загасання, цікаво відзначити, що із строго аналітичної

точки зору, швидкість зміни вектора намагніченості M може математично

бути виражена в трьох ортогональних векторах М, M × Heff, і M × (M × Heff )

як:

( ) ( )[ ]effeff HMMHMMM××−×−=

∂∂ ξζη

t (2.15)

Три функції η, ζ і ξ- невідомі скалярні функції М, Heff, і внутрішніх

параметрів матеріалу. Питання тепер полягає в тому, щоб оцінити

функціональну залежність η, ζ і ξ. Якщо ми робимо припущення, що

магнітний рух складається з чистого обертання, як помічено вище, то η

повинен зникнути. У відсутності подальшої теоретичної інформації, ми

можемо тільки припустити, що дві функції, що залишаються, ζ і ξ, є

константами. Ми відразу бачимо, що рівняння, що виходить, - рівняння

Ландау-Ліфшица для руху намагніченості.

Рівняння ЛЛГ описує процесію намагніченості навколо Heff також як її

релаксацію біля локальних або глобальних мінімумів енергії, пов'язаних з

24Heff, але воно не здатне описати термічно активовані стрибки через

енергетичні бар'єри.

Основні магнітні характеристики нанокомпозитів. Магнітна анізотропія

обумовлена наступними причинами. Магнітна анізотропія у

нанокристалічних сплавах. Магнітна анізотропія, обумовлена направленим

упорядкуванням. При обговоренні процесів атомної релаксації в твердих

розчинах зручно розглядати так звані одноосні (анізотропні) дефекти,

симетрія яких нижча, ніж симетрія самої гратки. Наприклад, атоми

впровадження (Х) в металах з ОЦК гратками можуть утворювати одноосні

дефекти типу Ме-Х-Ме з віссю симетрії <100>. У твердих розчинах

заміщення такими одноосними дефектами являються найближчі пари

однакових атомів, тобто дефекти типу Ме-Ме. У разі твердих розчинів з ОЦК

гратками вісь симетрії найближчих пар атомів Ме-Ме співпадає з

кристалографічним напрямом <111>.

У основі теорії направленого впорядкування лежить припущення, що

енергія магнітної взаємодії між атомами, що утворюють анізотропний

дефект, залежить від кута θ між віссю цього дефекту і локальним напрямом

вектора sMr

. В результаті дифузійного перерозподілу атомів, що

стимулюється зменшенням енергії магнітної взаємодії, встановлюється

переважна орієнтація одноосних дефектів щодо даного напряму вектора sMr

.

Іншими словами, відбувається направлене впорядкування.

Модель парного направленого впорядкування проілюстрована на

рисунку 2.2.

25

а б в

Рисунок 2.2- Розподіл атомів у бінарному сплаві еквіатомного складу:

(а) – розподіл найближчих атомів в неврегульованому твердому розчині

(при Т> Тс); (б) – ідеальний дальній (ізотропний) порядок;

(в) – направлене впорядкування.

Вище за точку Кюрі розподіл пар атомів носить випадкових характер

(рисунок 1.1 а). При температурах нижче за точку Кюрі (рисунок 2.2 в), але

достатньо високих для протікання дифузії, пари атомів прагнутимуть

орієнтуватися своїми осями, наприклад, уздовж напряму локальної (у

відсутність зовнішнього поля) або макроскопічної (при дії зовнішнього поля)

намагніченості sMr

у повністю впорядкованому твердому розчині (рисунок

1.1 б) направлене впорядкування повинне бути відсутнім.

2.1.3 Магнітна сприйнятливість, пов'язана з обертанням намагніченості

Процес намагніченя також відбувається за рахунок обертання вектора

намагніченості Ms до напряму магнітного поля Н. На рисунку 2.1 показане

розташування векторів М, і Н у феромагнетику з однією віссю легкого

намагнічення, які лежать в одній площині. В змозі Я=0 вектор намагніченості

Ms направлений уздовж осі легкого намагнічення Після додатку магнітного

поля під кутом 80 до осі легкого намагнічення вектор намагніченості

обернеться до напряму Н струм. що кут між Ms і Н складе величину θ. У

такому положенні щільність енергії феромагнетика рівна

26 θμθθ cos)(sin 00

2 HMKE s−−= (2.16)

де перший член є щільністю енергії магнітної анізотропії, а другий член -

щільністю енергії в магнітному полі. Вектор намагніченості sM прагне

обернутися у напрямі H , оскільки це сприяє зниженню енергії в магнітному

полі. У колишньому стані вектор утримує відповідне зростання енергії

магнітної анізотропії.

Вісь легкого намагнічування

Рисунок 2.3- Розташування векторів намагніченості і напруженості

магнітного щодо осі легкого намагнічення

Рівноважне положення вектора sM находится з умови мінімуму

магнітної енергії Е:

0sin)(2sin 00 =+−=∂∂ θμθθθ sMKE (2.17)

0θ

θ

sM

H

27Позначивши

,cosθ=x HKMp s0μ= (2.18)

рівняння 2.18 можна перетворити до вигляду:

02sincos4)4(cos44 200

2230

2 =−+−−−+ pxpxpxpx θθθ (2.19)

Рішення цього рівняння алгебри четвертого ступеня можна одержати у

вигляді залежності ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 0

0 ,θμθ HKMf s .

В результаті дії магнітного поля Н феромагнетик набуває

намагніченості

θcossMM = (2.20)

Це дозволяє одержати криві намагнічення в нормованих координатах

для різних кутів 0θ між напрямом магнітного поля і віссю легкого

намагнічення.

Такі криві намагнічення представлені на рисунку 2.4:

28

sM

M

HKM s0μ

Рисунок 2.4- Криві намагнічення в нормованих координатах sM

M і

відповідне процесу обертання намагніченості sM у феромагнетику з однією

віссю легкого намагнічення. 0θ - Кут між вектором напруженості магнітного

поля Н і віссю легкого намагнічення

Випадок 00 =θ безпосередньо виходить з (2.20). Крива намагнічення

представляє пряму лінію з магнітною сприйнятливістю обертання 0=врD .

Аналогічним чином після підстановки 00 90=θ у (2.20) одержуємо:

HKM s

2cos 0μθ = (2.21)

Крива намагнічення є прямою лінією

HKMM s

2

20μ= (2.22)

з тангенсом кута нахилу, рівним магнітній сприйнятливості обертання

29

KM s

вр 2

20μχ = (2.23)

Таким чином, феромагнетик, що має в початковому розмагніченому

стані доменну структуру з 1800 доменними межами, намагнічується під кутом

0θ = 900 за рахунок поступового повороту вектора намагніченості доменів М,

до напряму магнітного поля H . Магнітна сприйнятливість такого процесу

буде тим вище, чим менше величина константи магнітної анізотропії К.

Враховуючи, що при 1>>χ мають місце співвідношення χμ ≈ и

505 MB μ= , одержуємо відносну магнітну проникність обертання для випадку,

коли напрям магнітного поля перпендикулярно осі легкого намагнічення,

KВs

вр0

2

2μμ = (2.24)

На рисунку 2.5 представлені залежності відносної магнітної проникності

обертання врμ від величини константи магнітної анізотропії K для магнітних

матеріалів з магнітною індукцією насичення Bs = 0.5, 1.0 і 2.0 Т.

Рисунок 2.5- Залежність відносної магнітної проникності обертання врμ ,

від величини константи одновісній магнітної анізотропії K для матеріалів з

магнітною індукцією насичення sB = 0.5, 1.0 і 2.0 Т.

30З нього видно, що для отримання відносної магнітної проникності

врμ >100 000 необхідне, щоб константа магнітної анізотропії складала

приблизно 1 Дж/м2 при sB = 0.5 Т.

З порівняння кривих намагнічення на рисунку 2.5 витікає, що із

зменшенням утла 0θ між напрямом магнітного поля і віссю легкого

намагнічення магнітна сприйнятливість обертання врχ знижується, а стан

магнітного насичення досягається при більшій напруженості магнітного поля.

Навпаки, магнітна сприйнятливість зсуву зсχ приймає найбільше значення,

коли кут між напрямом магнітного нуля і віссю легкого намагнічення

наближається до нуля. У реальних феромагнетиках процеси зсуву доменних

меж і обертання намагніченості відбуваються одночасно. Проте внесок їх в

приріст намагніченості залежить від орієнтації осей легкого намагнічення і

напряму магнітного поля. Найчастіше зустрічається випадок, коли магнітне

поле направлене уздовж однієї з осей легкого намагнічення.

На співвідношення процесів зсуву і обертання сильний вплив робить

величина константи магнітної анізотропії. При великій константі магнітної

анізотропії До магнітна сприйнятливість обертання мала навіть при кутах 0θ ,

близьких до 900.

Розглянемо випадок слабкого магнітного поля sM

KH << . При цьому

вектор намагніченості sM відхиляється на невеликий кут від осі легкого

намагнічення, тобто θθθ −=Δ 0 є малою величиною, а 0θθ ≈ . Тоді замість

(2.21) одержуємо

0sin2 00 =+Δ− θμθ HMK s (2.25)

звідки знаходимо

HKHM s

2sin0 θμθ =Δ (2.26)

Враховуючи (2.26) і 0θθ ≈ . можна записати для диференціальної магнітної

сприйнятливості обертання

31

dHdM

dHdM

sd

θθχ 0sin−== (2.27)

З (2.27) знаходимо похідну близько H=0 у вигляді

KHM

dHd s

2sin 00 θμθ

= (2.28)

Оскільки позитивний приріст dH дає негативну величину dθ, а при малій

зміні магнітного поля близько Н=0 диференціальна магнітна сприйнятливість

співпадає з початковою магнітною сприйнятливістю, одержуємо початкову

магнітну сприйнятливість у вигляді

KHM s

d 2sin22

0 θμχ = (2.29)

З (2.29) витікає, що початкова магнітна сприйнятливість обертання зростає із

збільшенням кута 0θ між напрямом магнітного поля і віссю легкого

намагнічення.

Рисунок 2.6- Залежність магнітної сприйнятливості обертання врμ від

величини кута 0θ між напрямом магнітного поля і віссю легкого намагнічення

для матеріалів з різною константою магнітною анізотропії К

У міру збільшення напруженості магнітного поля вектор sM поступово

32повертається у напрямі Н. При цьому вектор намагніченості займатиме стійке

положення за умови

02

2

<∂∂θE (2.30)

В цьому випадку при зниженні магнітного поля намагніченість оборотно

повернеться в початковий стан. У нерівноважному стані за умови

02

2

>∂∂θE (2.31)

вектор намагніченості прагне до найближчого стійкого стану і процес

намагніченості стає необоротним.

Знайдемо другу похідну щільності магнітної енергії Е одноосного

феромагнетика в магнітному полі:

θμθθθ

cos)(2cos2 002

2

HMKEs+−=

∂∂ (2.32)

Для окремого випадку 20

πθ = друга похідна завжди має позитивне значення і

лише в стані магнітного насичення вона рівна нулю. Таким чином,

намагнічення одноосного феромагнетика в магнітному полі, направленому

перпендикулярно цій осі. відбувається оборотно аж до насичення з постійною

магнітною проникністю.

Востаннє відзначимо ще одну істотну обставину, а саме, те, що НКС -

це сплави на основі Fe, що не містять дефіцитних елементів, що вигідно їх

відрізняє від широко вживаних в даний час таких кристалічних м'яких

магнітних матеріалів, як пермалой і аморфні сплави на основі кобальту.

332.2 Теорія розрахунку кривих намагнічування

Крива намагнічення. При зміні магнітного поля Hr

(згідно (2.33) та

(2.34)) відбуваються зміна намагніченості Mr

та магнітної індукції Br

, тобто

відбувається намагнічення феромагнетика.

HMBrrr

00 μμ += (2.33)

HMrr

χ= (2.34)

В рівнянні (2.34) χ – магнітна сприйнятливість феромагнетика. При цьому

магнітна індукція зростає як за рахунок збільшення намагніченості Mr

, так і

за рахунок напруженості магнітного поля Hr

.

Типовий вид залежності магнітної індукції B(H)B = , зміряної уздовж

напряму магнітного поля при зростанні напруженості Hr

, представлений на

рисунку 2.7:

Рисунок 2.7- Початкова крива намагнічення нанокрісталічного сплаву

ГМ 414: 1 - область початкової магнітної проникності; 2 - область

максимальної магнітної проникності; 3 - область магнітного насичення.

Таку залежність називають кривою намагнічення. Крива намагнічення,

одержана на термічно розмагніченому зразку при послідовному зростанні

напруженості магнітного поля, називається початковою кривою намагнічення.

34Термічне розмагнічування проводиться шляхом нагріву феромагнетика вище

за температуру Кюрі і подальшого охолодження.

Введемо основні магнітні параметри по початковій кривій намагнічення.

Абсолютна величина магнітної проникності, яка характеризує ступінь

зростання магнітної індукції із збільшенням напруженості магнітного поля,

визначається

відношенням:

HB

a =μ (2.35)

Для практичних цілей часто використовують відносну

магнітну проникність

HB

0μμ = (2.36)

З (2.35) і (2.36) можна укласти, що відносна магнітна проникність рівна

0μμμ a= (2.37)

тобто відносна магнітна проникність нормована на магнітну постійну μ0.

З (2.37) витікає, що за умови χ >> 1 відносну магнітну проникність

приблизно рівна магнітній сприйнятливості:

χμ = (2.38)

Початкову відносну магнітну проникність μН знаходять шляхом екстраполяції

залежності магнітної проникності μ = μ (Н) до нуля, тобто

HB

HH 00

lim1→

=μ

μ (2.39)

Часто замість початкової відносної магнітної проникності указують

близьке до неї значення відносної магнітної проникності, зміряне в достатньо

слабкому магнітному полі. Наприклад, 08.0μ позначає відносну магнітну

проникність, зміряну при напруженості магнітного поля 0.08 А/м.

Диференціальна відносна магнітна проникність μd означається

співвідношенням:

35

dHdB

d0

1μ

μ = (2.40)

тобто вона є похідній функції B(H)B = у деякому магнітному полі Н,

нормованої на магнітну постійну. Похідна dHdB / чисельно рівна тангенсу

кута нахилу дотичної в крапці на залежності B(H)B = (рисунку 2.1.2).

Враховуючи зв'язок магнітної індукції і напруженості магнітного поля,

одержуємо з (2.40)

dHdH

dHHd

dμμμμ +==

)( (2.41)

Це рівняння зв'язує диференціальну відносну магнітну проникність μ і

відносну магнітну проникність μd, яку ще іноді називають нормальною

відносною магнітною проникністю, щоб підкреслити відмінність від

диференціальної проникності. Із співвідношення (2.41) виходить, що

диференціальна і нормальна проникність рівні тільки за умови Н-0 або

0=dHdμ .

36

Рисунок 2.8- Залежність нормальної 4(μ) і диференціальної 5(μd)

відносної магнітної проникності від напруженості магнітного поля по

початковій кривій намагнічення

Крапками на кривих позначені:

1 - початкова відносна магнітна проникність (μH)

2 - відносна магнітна проникність при напруженості магнітного поля 0,08 А/м

(μ 0,08)

3 - максимальна відносна магнітна проникність

З рисунку 2.8 можна укласти, що диференціальна магнітна проникність

досягає максимального значення в слабкішому магнітному полі і ця

максимальна величина завжди більше величини maxμ . Криві )(Hμμ = і

)(Hdd μμ = перетинаються тільки в точці maxμμμ == dd . оскільки в цій точці

0/ =dHdμ .

З рисунку 2.8 видно, що на початковій кривій намагнічення можна

виділити три ділянки, що відрізняються характером залежності B(H)B = . Ці

ділянки відповідають області слабкого магнітного поля 1, області

максимального зростання магнітної індукції 2 і області наближення до

37магнітного насичення 3. Між цими трьома областями знаходяться дві

перехідні області. Традиційно вважається, що намагнічення в областях 1 і 2

здійснюється переважно за рахунок збільшення об'єму доменів, в яких вектор

намагніченості Ms направлений енергетично вигідніше щодо Н, і відповідно

зменшення об'єму доменів, намагніченість яких орієнтована енергетично

менш вигідно. При цьому відбувається зсув доменних меж, тому такі процеси

називають процесами змішення. У області 2 переважають процеси, пов'язані з

поворотом вектора намагніченості Ms доменів до напряму магнітного поля Н.

Ці процеси прийнято називати процесами обертання. У реальних

феромагнетиках процеси обертання намагніченості можуть переважати, і в

цьому випадку область 3 може зміститися в область слабкого магнітного

поля 1.

383. РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ

3.1 Криві намагнічування

У даній роботі розглянута модель нанокомпозиційного матеріалу, що

складається з нанозерен заліза, що знаходяться у немагнітній матриці. Як

немагнітну матрицю можна використовувати, наприклад, наступні елементи:

епоксидна смола, поліетилен, алюміній. У цій роботі розглядаються лише

магнітні властивості даних елементів. Тобто, яким чином відбуваються

процеси намагнічення і перемагнічування і які механізми на них впливають.

Як зразок розглядається модель із ста еліптичних нанозерен. Кожне зерно

має нанорозміри. Відповідно уздовж великій осі 30 нм, уздовж короткої осі

15 нм і по товщині 10 нм. Зерна розділені проміжками 5 нм.

Рисунок 3.1 – Схематичне зображення моделі нанокомпозиту, що

складається з еліптичних частинок Fe розмірами 101530 ×× нм, які

впроваджені в немагнітну матрицю. Наночастинки розділені проміжками

5=δ нм. Відносний об’єм магнітної фази в нанокомпозиті %54/ 0 =VV .

Зовнішнє магнітне поле Hr

утворює кут ϕ з віссю x .

Перша властивість, яку ми вивчатимемо це розрахунок кривої

намагнічення. Крива намагнічення показує, яким чином в нашому

39нанокомпозиті змінюється величина намагніченості M залежно від величини

і напряму зовнішнього поля. Для цього необхідно розрахувати параметри

початкового стану (розмагнічений стан нашого зразка). Даний стан

розраховується при рішенні рівняння Ландау- Ліфшица при відключеному

зовнішньому полі. Тобто функціонал повної енергії, який входить в це

рівняння для виразу ефективних полів містить наступні енергії: енергія

обмінної взаємодії, енергія кристалографічної анізотропії і магнітостатічна

енергія.

∑ ∑=

≠=

⋅−+∂∂

=

=++=

3

1,

03

1,

224

12 22ki

m

kiki

kisk

i

s

maexctot

HMMMMK

xM

MA rrμ

ωωωω (3.1)

Для отримання результатів використовували програму OOMMF (Object

Oriented Micro Magnetic Framework). Далі опишемо детальніше кроки роботи

з програмою для отримання цих результатів.

Запуск встановленої програми здійснюється з локальної папки,

наприклад: C:\OOMMF шляхом кліка по скріпту oommf.tcl. При цьому

з'являється вікно з написом localhost:

Рисунок 3.2

Ставимо галочку в чекбоксе “localhost” клацанням лівою клавішею миші.

При цьому вікно приймає вигляд:

40

Рисунок 3.3

Ставимо галочку в наступному чекбоксе з ім'ям користувача, як в нашому

випадку, наприклад ”bell”, при цьому інтерфейс програми приймає вигляд:

Рисунок 3.4

Для створення настройок матеріалу і розрахунку завдання (проблеми

(Problem)) необхідно натиснути на кнопку “mmProbEd”. У вікні, що з'явилося

41Рисунок 3.5

Натискаємо кнопку “Material Types” - для вибору типів магнітних

матеріалів з вбудованими настройками їх параметрів і вибираємо з

випадаючого списку матеріалів, наприклад, “Iron” (залізо) При цьому

нижчеописані поля заповнюватися вбудованими настройками параметрів для

заліза. У пункті "Anisotropy unit" вибираємо "Constant"- який задає постійний

напрям осей легені.

Після завдання типу матеріалу, типу констант і напрям осей легкого

намагнічення натискаємо кнопку ”Next”, при цьому з'являється вікно:

Рисунок 3.6

Настройки якого визначають вид розмагнічуючого поля. Вибираємо пункт

"ConstMag". Натискаємо кнопку ”Next”, при цьому з'являється вікно:

Рисунок 3.7

42

яке задає геометричні розміри розрахункової області (тіла). "Part Width"-

розмір по осі x (ширина), ставимо значення 344Е-9. "Part Height"- розмір по

осі у (довжина), ставимо значення 200Е-9. "Part Thickness"- розмір по осі z

(висота), ставимо значення 10Е-9. "Cell Size"- розмір розрахункового

осередку на якій і буде розбитий весь об’єм досліджуваного тіла, ставимо

значення 344Е-9.

Mask- задаємо у вигляді точкового монохромного рисунка у форматі

“bmp” де магнітні частини позначені чорним кольором, а немагнітниє- білим.

При цьому у вікні "file" вводимо назву графічного файлу з розширенням.

Наприклад: "my_file.bmp"

Після введення геометричних розмірів розрахункової області (тіла)

натискаємо кнопку ”Next”, при цьому з'являється вікно:

Рисунок 3.8

43яке задає початковий розподіл намагніченості. "Random"- задає випадковий

розподіл векторів спонтанної намагніченості в кожному розрахунковому

осередку. При цьому завдання розподіляється на 2 частини: розрахунку

початкового стану розподілу розмагніченої і далі, підстановкою

розрахованого стану намагніченості в пункт "Avfile", який розраховує

розподіл намагніченості з файлу, в якому заздалегідь розраховано

початковий розподіл намагніченості і має розширення ".omf". Як

розрахункове значення початкової намагніченості в програмі OOMMF

вибирався пункт "random" у вкладці "InitMag" тобто в кожному

розрахунковому осередку даної області задавався випадковий розподіл

векторів спонтанної намагніченості. Потім при розрахунку проводилася

варіація повної енергії і знаходився розподіл, який відповідає мінімуму

енергії. Відмітною особливістю цього розподілу являються практично рівний

нулю значення компоненту намагніченості уздовж осі x і уздовж осі у. Також

загальна намагніченість за зразком рівна нулю.

Натискаємо кнопку ”Next”. При цьому з'являється вікно:

Рисунок 3.9

служить для накладення на нашу систему зовнішнього магнітного поля Heff.

Виставимо повзунок на цифру "1" при цьому область екрану розділяється і

нижче за появляються x, у, z зліва і справа і в правому кутку знаходиться

вікно "steps":

44

Рисунок 3.10

Виставимо значення в лівому "x", значення "0/0,5" (перше значення для

розрахунку початкової намагніченості зразка, второє- для його розрахунку

кінцевої намагніченості), в правом "x" значення "0,5/-0,5", а у вікні "steps"

ставимо значення "100/200". Натискаємо кнопку ”Next”. При цьому

з'являється вікно:

Рисунок 3.11

Значення поля "Base Output Filename"- дозволяє ввести ім'я файлу в який

водитиметься звіт про помилки. За умовчанням ім'я "test". Натискаємо

кнопку ”Next” При цьому з'являється вікно:

Рисунок 3.12

45

Яке задає нам умови при якому припиняється рішення рівняння Ландау-

Ліфшица- "Coverge Value" - визначається як що максимальний обертаючий

момент і в усіх точках нашого зразка повинен бути менше ніж 10-5. Після

завдання параметрів натискаємо кнопку ”OK”. При цьому слід зазначити, що

вкладка “mmProbEd” остається відкритої (не закриваємо). При цьому в

основному вікні під написом "Treads" (потік) з'явився напис "mmProbEd <1>"

з її ідентифікатором. Зберегти настройки завдання (проблеми (Problem))

можна через пункт меню “"mmProbEd"→ File→ Save→ as→” ввести назву

файлу з розширенням ".mif" який є текстовим файлом в якому описані

параметри нашої системи (рисунок 3.12).

Рисунок 3.13- Лістінг файлу “bel.mif”

Після опису завдання необхідно запустити рішення рівняння Ландау-

Ліфшица. Для двовимірного випадку необхідно запустити “mmSolve2D”.

Після цього в потоках з'являється ідентифікатор цього модулю, якого

необхідно активувати, поставивши галочку. У вікні, що з'являється:

46

Рисунок 3.14

У вхідних потоках ми бачимо "Problem Description"- опис проблемы, "Source"

В "Threads" - номер проблеми яка у нас настроєна і готова до запуску.

Вибравши проблему з її номером біля напису "Solver" (вирішувач)

натискаємо кнопку “LoadProblem”. Почекавши якийсь час коли вирішувач

розіб'є області на кінцеві різниці (на осередки), а також ініціалізація в

кожному з осередків осі легкого намагнічення і завдання в кожній з осередку

напрям вектора спонтанної намагніченості залежно від типу початкового

стану, опісуємого у вкладці "Initial Mag" зрештою вікно приймає вигляд:

Рисунок 3.15

Наступне, що нам необхідно зробити це активізувати, поставивши

галочку в чекбоксе з написом "Sheduled Outputs", де з'являється можливість

47виведення результатів на екран або файл. У віконцях, що з'явилися, під

написом "Outputs":

"Total fields"- повне ефективне магнітне поле

"Magnetization"- намагніченість

"Data Table"- виведення поточних результатів нашого розрахунку у вигляді

чисел при натисненні на кнопку "Data Table" .

Для візуалізації цих параметрів необхідно запустити програму

візуалізації натиснувши кнопку "mmDisp". Після натиснення кнопки

"mmDisp" у вкладці "mmSolve2D" в "Destination Threads" з'являється

чекбокс з написом "mmDisp" і його ідентифікатором, який необхідно

виділити клацанням миші. Також під написом "Shedule" є можливість

візуалізації по наступних параметрах:

"Iteration"- на кожному кроці рішення рівняння Ландау- Ліфшица, коли

будуть зміняться розподіли векторів спонтанної намагніченості, якщо

поставити галочку, то після кожної ітерації відбуватиметься оновлення

векторів спонтанної намагніченості у віконці "mmDisp". Цей процес

споживає 30- 40% ресурсів процесора комп'ютера, тому для ефективності

обчислень краще галочку тут не ставити. Також при активації вікон

"ControlPoint" і "Interactive"- можна оновлювати вікно кожну ітерацію, кожні

10 ітерацій, кожні 100 ітерацій, а також на кожній контрольній крапці. Під

контрольною крапкою розуміють наступне: якщо ми накладаємо зовнішнє

магнітне поле яке у нас розбите у вкладці "steps" на n кроків, то система

розраховуватиме такі параметри як середнє значення компонент спонтанної

намагніченості по трьох осях при певному значенні зовнішнього магнітного

поля яке фіксується кількістю кроків і діапазоном змін цього поля тобто

якщо ми задали зміну цього поля від 1Т до -1Т на 100 кроків, то при зміні

зовнішнього поля на кожні 20 мТ у нас буде так звана контрольна крапка.

"Interactive"- інтерактивне представлення результатів розрахунків.

При виборі в "Outputs" "Magnetization" каждую 1 ітерацію натискаємо

кнопку ”Run”. При цьому ми спостерігаємо обертання стрілок, тобто

48векторів спонтанної намагніченості. Зрештою після рішення рівняння

Ландау- Ліфшица буде знайдений сталий розподіл векторів спонтанної

намагніченості. Ми можемо зберегти цей розподіл натиснувши в "mmDisp"

пункт меню "File→Save as". При цьому виникають можливості вибору

формату збереження результатів: текстовий з регулярним і нерегулярним

розбиттям і бінарний. Для того, щоб була можливість вибору нагладного

відображення в кожній конкретно точці нашого зразка направлений вектор

спонтанної намагніченості тобто в кожної крапки з координатами x, у, z

зіставити три компоненти вектора М (Мx, Мy, Мz), необхідно вибрати в

опціях зберігаючого файлу Text (текстовий файл) "Irregular grid"

(нерегулярна сітка). При цьому у файл, що зберігається, матиме шість

колонок. Перша колонка відображатиме координати по x, друга, третя по z.

Наступні визначатимуть проекції вектора намагніченості на координатні осі

x, у, z.

Для виведення поточних результатів (візуалізація) нашого розрахунку

у вигляді чисел для цього необхідно натиснути кнопку "mmDataTable" і

“mmGraph”.

Вкладка "mmDataTable":

Рисунок 3.16

служить для поточної візуалізації параметрів розрахунку у вигляді

числових даних. Для її активації необхідно натиснути пункт меню "Data".

При цьому появляються такі пункти меню:

49

Рисунок 3.17

"Iteration" - номер ітерації

"Fields Updates"- оновлення полів

"Sim Time"- час симуляції в наносекундах

"Time step"- крок часу

"Step Size"- розмір кроку

"Bx, By, Bz"- компоненти індукції зовнішнього поля

"B"- повна індукція зовнішнього поля

"Mx/Ms"- середнє (по об’єму) відносне значення х-завивання компоненти

намагніченості

"My/Ms"- середнє (по об’єму) відносне значення у-вой компоненти

намагніченості

"Mz/Ms"- середнє (по об’єму) відносне значення z-завивання компоненти

намагніченості

"Total Energy"- повна енергія

"Exchange Energy"- енергія обмінної взаємодії

"Anizotropy Energy"- енергія анізотропії

"Demag Energy"- енергія розмагнічуючого поля

"Zeeman Energy"- енергія зовнішнього поля

"Max Angle"- максимальний кут між сусідніми спинами

50 Вікно "mmGraph":

Рисунок 3.18

Яке з'являється при натисненні на кнопку “mmGraph” дозволяє

малювати криві різних величин від інших величин в ході процесу

розрахунку.

По осі X ми можемо відкладати час симуляції (час розрахунку). Ми

можемо зберегти наші графіки в окремий файл. Для цього необхідно

натиснути пункт меню "File→ Save as". У вікні, що з'явилося, існує чекбокс

Autosave, що означає автозбереження. При проставлянні на ньому галочки

проводитиметься автоматичне збереження даних кривих які ми

запрограмували у вкладці mmSolve2D або в кожній ітерації або в кожній

розрахунковій крапці. Слід зазначити якщо виставлений пункт "в кожній

ітерації" тоді до файлу звіту дописуватимуться дані і відповідно при

тривалих розрахунках файли звіту займатимуть значний дисковий простір,

тому рекомендується ставити пункт контрольні крапки.

Далі в експерименті ми прикладали зовнішнє магнітне поле, що

відповідає додаванню у вираз для повної енергії зразка величини

зєємановськой енергії або енергії намагніченості в зовнішньому полі рівне .

Зовнішнє поле змінювалося від 0 до 500 мТ з кроком 5 мТ. Поле

прикладалося в різних напрямах: уздовж довгої осі x системи, що відповідало

51куту орієнтації зовнішнього поля по відношенню до системи з нанозерен,

кут 00 під кутом 450 і під кутом 900. З одержаних кривих на рисунку 3.17

видно, що при намагнічені зразка уздовж осі х, що відповідає φ=00

спостерігається наступне: у інтервалі зовнішніх полів від 0 до 200 Тл помітно

постійне значення середньої намагніченості за зразком і практично не

міняється.

Рисунок 3.19– Криві намагнічування частини композиту розмірами

10195345 ×× нм, що складається зі 100 нанокристалітів заліза (α-Fe), для

різних напрямків зовнішнього поля Hr

: крива 1 – o0=ϕ , крива 2 – o45=ϕ ,

крива 3 – o90=ϕ

Це пов'язано з тим, що початковий стан характеризується тим, що в

масиві нанозерен стійким є такий розподіл намагніченості, при якому

вектори sMr

орієнтуються уздовж осі х або в позитивному, або в негативному

напрямі. При включенні зовнішнього поля, яке сонаправлено з віссю х,

частина зерен в цьому напрямі намагнічені до насичення, в іншій частині

зерен намагніченість антіпараллельна напряму зовнішнього поля. Тому для

намагнічення всього зразка необхідно щоб в цих, протилежно намагнічених

зернах відбувся поворот вектора намагніченості від -1800 до 00. причому в

інтервалі полів від нуля до двохсот міллітесл спостерігається слабка зміна

намагніченості. Це пов'язано з тим, що система знаходиться в потенційній

52ямі і енергії зовнішнього поля недостатньо, для того, щоб викликати

обертання векторів в тих зернах в які намагнічені антипараллельно

зовнішньому полю. Такий антипаралельний розподіл намагніченості істотно

зменшує магнітостатичну енергію.

3.2 Петлі гістерезису

Задаючи як початковий розподіл орієнтацію векторів намагніченості

під кутом ϕ до осі х в кожному з елементів нанокомпозиту і змінюючи

зовнішнє магнітне поле від 500 мТ до -500 мТ з кроком 5=ΔH мТ були

розраховані петлі магнітного гістерезису досліджуваного композиту

(рисунок 3.20).

Рисунок 3.20- Петлі магнітного гістерезису в досліджуваному

композиті для різних напрямків зовнішнього поля Hr

: крива 1 – o0=ϕ ,

крива 2 – o45=ϕ , крива 3 – o90=ϕ

Як випливає з цього рисунка при o0=ϕ і o45=ϕ петлі магнітного

гістерезису мають прямокутний характер. При o90=ϕ петля гістерезису має

53вузьку форму. Така відмінність в кривих перемагнічування можна пояснити з

аналізу складових вільної енергії. Криві залежності складових повної вільної

енергії залежно від величини зовнішнього поля представлені на рисунку 3.21:

Рисунок 3.21 – Залежності складових вільної енергії в процессі

перемагнічування totω : 1 - обмінна енергія excω ; 2 - енергія анізотропії aω ; 3 -

магнітостатична енергія mω ; 4 - енергія зовнішнього поля Hω .

54Як бачимо з рисунка 3.21 в процесі перемагнічування основну роль

грають дві енергії: магнітостатична енергія і енергія намагніченості в

зовнішньому полі. Величини обмінної енергії і енергії кристалографічної

анізотропії малі в порівнянні з енергією магнітостатичних полів і енергією

зовнішнього поля. Роль обмінної енергії зводиться до впорядковування

магнітних моментів в об'ємах окремих нанозерен у виділеному напрямі, який

визначається енергією магнітокрісталлічеськой анізотропії і

магнітостатічеськой енергії зразка в цілому.

Вузька петля гістерезису при o90=ϕ пояснюється тим, що при

перемагнічуванні нанокомпозиту магнітостатічеськоє поле, що створюється

намагніченими уздовж короткої осі еліпсоїда елементами композиту, значно

перевищує розмагнічуюче поле для випадку орієнтації намагніченості в

частинках уздовж довгої осі і тому воно полегшує процес перемагнічування.

За наслідками розрахунків петель магнітного гістерезису для різних

напрямів зовнішнього магнітного поля були побудовані залежності

коерцитивної сили cH і залишкової намагніченості rM нанокомпозиту для

різних значень кута ϕ (рисунок 3.22 і 3.23).

Коерцитивна сила- це зовнішнє магнітне поле зворотного знаку, яке

необхідно прикласти до намагніченого зразка щоб середнє значення

намагніченості або індукції стало рівним нулю.

Залишкова намагніченість - це середнє значення намагніченості в

зразку, яке встановлюється при відключенні зовнішнього насичуючого поля.

55

Рисунок 3.22- Залежність коерцитивної сили cH від напряму ϕ

зовнішнього поля Hr

.

Рисунок 3.23- Залежність залишкової намагніченості rM від напряму

ϕ зовнішнього поля Hr

.

56Як бачимо із цих рисунків коерцитивна сила Нс зменшується с

збільшенням кута ϕ , а остаточна намагніченість в інтервалі кутів от o0=ϕ

до o60=ϕ практично не змінюється и дорівнює 6107.1 ⋅=sM А/м.

57ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Yoshizawa Y., Ogiima S., Yamauchi K. New Fe-based soft magnetic alloys

composed of ultrafine grain structure. - J. Appl. Phys., 1988, v. 64, N 10, p. 6044-

6046.

2. СП. Губин, Ю.А.Кокшаров. Неорг. материалы, 38, 1287 (2002)

3. С.П.Губин. Рос. хим. журн., XLIV (6), 23 (2000)

4. I.M.L.Billas, A.Chatelain, W.A.de Heer. J. Magn. Magn. Mater.,

168,64(1997

5. I.M.L.Billas, A.Chatelain, W.A.de Heer. Surf. Rev. Lett., 3, 429

(1996)

6. S. Chikazumi, Physics of Ferromagnetizm, Oxford University Press, 1997,

p.299

7. Шилов В.П., Бакри Ж.-К., Газо Ф., Пержински Р., Райхер Ю.Л., Прецессия

намагниченности в наночастицах феррита с односторонней поверхностной

анизотропией. // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных

жидкостей. Ставрополь, 1997. Сб. науч. трудов, Ставрополь: Изд-во СГУ,

С.13–21.

8. Шилов В.П., Райхер Ю.Л., Влияние поверхностной анизотропии на рас-

пределение намагниченности однодоменной частицы. // 11 Международная

зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1997. Тезисы докладов.

Т.2, С.241.

9. Martinez B., Obrados X., Barsels L., Rouanet A., and Monty C., Phys. Rev.

Lett. 80 (1998) 181.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Phys. Zs. UdSSR. 1935. Vol.8. P.153. Перевод:

Ландау Л.Д., Собрание трудов, М.: Наука, 1969. Т.1. С.128–143.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М.:

Наука. 1982. С.661.

12. Aharoni A., Surface anisotropy in micromagnetics. // J. Appl. Phys., 1987,

Vol.61, №8, P.3302–3304.

0θ H

4

ще 20 років тому. До них відносяться фулерени, квантові точки, нанотрубки,

наноплінки та нанопровода, тобто об'єкти, розміри яких хоча б по одному

виміру лежать у нанометровому діапазоні (10-7-10-9м) [9].

Метою даної роботи є розрахунок просторового особливостей

розподілу спонтанної намагніченості )(rM srr

, топології магнітостатичних

полів )(rH m rr і процесів намагнічування (перемагнічування) композиційного

матеріалу, що складається з наночастинок пермалою Fe20Ni80 кубічної форми

(зі стороною 10=a нм), впроваджених в діамагнітну матрицю.

5

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Підвищений інтерес дослідників до нанооб’єктів викликаний

виявленням у них незвичайних фізичних і хімічних властивостей, що

пов'язано із проявом так званих «квантових розмірних ефектів». Останні

виникають у тому випадку, коли розміри досліджуваних систем порівнянні з

довжинами де-бройлевських хвиль електронів, що поширюються в них,

фононів або екситонів [10].

Однією з головних причин зміни фізичних і хімічних властивостей

малих часток у міру зменшення їхніх розмірів є зростання в них відносної

частки «поверхневих» атомів, що перебувають в інших умовах

(координаційне число, симетрія локального оточення і т.п.), чим атоми

об'ємної фази. З енергетичної точки зору зменшення розмірів частки

призводить до зростання частки поверхневої енергії в її хімічному

потенціалі. У цей час унікальні фізичні властивості наночастинок інтенсивно

вивчаються. Особливе місце серед них займають магнітні властивості, в яких

найбільш чітко проявляються розходження між масивним (об'ємним)

матеріалом і наноматеріалом. Зокрема, показано, що намагніченість

(розраховуючи на один атом) і магнітна анізотропія наночастинок можуть

бути помітно більше, ніж у масивного зразка, а відмінності в температурах

Кюрі (TC) або Неля (TN), тобто в температурах мимовільного встановлення

паралельної або антипаралельної орієнтації спінів, наночастинок і

відповідних макроскопічних фаз досягають сотень градусів. Крім того в

магнітних наноматеріалах виявлений ряд незвичайних властивостей -

гігантський магнітоопір, аномально великий магнетокалоричний ефект та ін

[11, 12].

Магнітні властивості наночастинок визначаються багатьма

факторами, серед яких варто виділити хімічний склад, тип кристалічної

гратки та ступінь її дефектності, розмір і форму часток, морфологію (для

структурно неоднорідних часток), взаємодія часток з навколишньою їхньою

6

матрицею і сусідніми частками. Змінюючи розміри, форму, сполуку і будову

наночастинок, можна в певних межах управляти магнітними

характеристиками матеріалів на їхній основі. Однак контролювати всі ці

фактори при синтезі приблизно однакових по розмірах і хімічному складу

наночастинок вдається далеко не завжди, тому властивості однотипних

наноматеріалів можуть сильно розрізнятися [13, 14].

За останні роки в області розробки магнітних наноматеріалів

відбулися зміни, які, без перебільшення, можна назвати революційними. Це

зв'язано як з розробкою ефективних методів одержання та стабілізації

магнітних часток нанометрових розмірів, так і з розвитком фізичних методів

дослідження таких часток. Наприклад, стало можливим одержання

нанометрових металевих або оксидних часток не тільки у вигляді ферорідин

(технологія готування яких була розроблена ще в 1960-і роки), але і у вигляді

часток, впроваджених у різні «тверді» матриці (полімери, цеоліти та ін.) [15].

Магнітні наночастки широко поширені в природі та зустрічаються в

багатьох біологічних об'єктах. Природно виникле біомагнітне явище -

наночастки магнетиту (Fe3CО4), обложені в бактеріях, молюсках, комахах і

більше високорозвинених тваринах. Магнітостатичні бактерії живуть у

темному навколишньому середовищі та містять ланцюга довжиною 40-100

нм із часток магнетиту, використовуваних ними для вертикальної орієнтації

[16]. Подібні частки магнетиту були виявлені в мозку бджіл, голубів, тунця, з

їхньою допомогою вони передчувають погоду і ці частки служать як польові

датчики для навігації [17]. Магнетит та інші оксидні частки також

відповідальні за магнетизм порід, використовуваних в археомагнітних

дослідженнях і для контролю за змінами геомагнітного поля [18, 19]. Через

ослаблення та неповне насичення, залишковий магнетизм оксидних часток у

вулканічних породах приймає значення в проміжку між 410− і 1мкТл, що

відповідає геомагнітному полю 100мкТл. Типові розміри часток варіюються

між менш чим 1нм і 100 нм, але динаміка намагнічування в цих частках -

нанорозмірне явище. Магнітні наноматеріали використовуються в системах

7

запису та зберігання інформації, у нових постійних магнітах, у системах

магнітного охолодження, як магнітні сенсори і т.п. Все це пояснює великий

інтерес фахівців різного профілю до таких систем [20].

Прикладним аспектам сучасного стану технології магнітного запису і

її перспектив присвячена велика література. У цей час у магнітних стрічках

або дисках як середовища для магнітного запису інформації найчастіше

використовують порошки із зернами γ-Fe2O3, Co-γ-Fe2O3, Fe або Fe-Co

мікронних розмірів. У цьому випадку для запису одного біта інформації

потрібно приблизно 109 атомів, у той час як при використанні наноматеріалів

(часток діаметром 10 нм) — не більше 105 атомів. Таким чином, перехід до

магнітних наноматеріалів дозволяє підвищити щільність запису інформації в

103-104 разів [21-23].

Серед магнітних матеріалів, що знайшли широке технологічне

застосування, слід зазначити різні феромагнетики. Однією з найбільш

важливих характеристик феромагнетику є коерцитивна сила (Нс) — величина

напруги магнітного поля Н, що відповідає точці на симетричній петлі

гістерезису феромагнетику В(Н), для якої В = 0. Тут В — індукція магнітного

поля у феромагнітному зразку з нульовим фактором, що розмагнічує

(наприклад, у довгому циліндрі, вісь якого спрямована уздовж поля). Крім

Нс, у літературі зустрічається власна коерцитивна сила (Нci), обумовлена як

величина напруженості магнітного поля в точці М = 0 на симетричній петлі

гістерезису феромагнетику М(H), де М-намагніченість феромагнітного зразка

з нульовим фактором, що розмагнічує. Коерцитивна сила та власна

коерцитивна сила, як правило, чисельно близькі, але це різні фізичні

величини. При розробці нових магнітних матеріалів часто прагнуть досягти

максимальних значень Нс [24]. Сучасні магнітні матеріали характеризуються

значеннями Нс = 160-240 кА/м.

По величині коерцитивної сили феромагнетики поділяються на

магнітом’які (Нс < 1 кА/м) і магнітожорсткі (Нс > 10 кА/м). Магнетики із

проміжними значеннями коерцитивної сили іноді відносять до напівтвердих

8

(semi-hard) [25, 26]. Магнітні властивості феромагнетиків залежать від

розмірів складових їхніх часток. Крім розміру на магнітні властивості часток

впливають зовнішні умови — температура, тиск, а в ряді випадків і локальне

оточення, тобто те середовище, у якому перебуває частка: кристалічна або

аморфна об'ємна матриця (для частки), локальне кристалічне оточення (для

окремого атома), підкладка (для плівки). Подальше поліпшення існуючих

магнітних матеріалів досягається наноструктуруванням. Це відноситься не

тільки до матеріалів типу постійних і м'яких магнітів, носіїв інформації, а і

до виникаючих областей застосування, типу спінової електроніки.

Прикладом поліпшення роботи наноструктуруванням магнітних матеріалів

служать композити з постійних магнетиків, що містить включення твердих і

м'яких магнітних матеріалів [8, 27-29]. Магнетизм атомних масштабів не

істотно поліпшує постійні магніти, які не містять інтерметаліди типу SmCo5,

Sm2Cо17 та Nd2Fe14B, але додавання м'якої фази до твердої фази у відповідні

наноструктури поліпшує роботу постійних магнітів поза твердою фазою.

"Метаматеріалистичний" підхід ілюструє проектування матеріалів та

уможливлює виробництво матеріалів, що не зустрічаються в природі.

Отже, що ж таке наноматеріали? До наноматеріалів відносяться

матеріали, основні фізичні характеристики яких визначаються

нанооб’єктами, які містяться в них (нанооб’єкт - це фізичний об'єкт, що

сильно відрізняється по властивостях від відповідного масивного матеріалу

та що має як мінімум один з розмірів у нанодіапазоні (не більше 100 нм)).

Наноматеріали поділяються на компактні матеріали та нанодисперсії. До

перших відносяться так називані «наноструктуровані» матеріали, тобто

ізотропні по макросполуці матеріали, що повторюються, елементами

структури яких є контактуючі між собою об'єкти нанометрових розмірів. На

відміну від наноструктурованих матеріалів, нанодисперсії складаються з

однорідного середовища диспергіровання (вакуум, газ, рідина або тверде

тіло) і нанорозмірних включень, розподілених у цьому середовищі та

ізольованих друг від друга. Відстань між нанооб’єктами в таких дисперсіях

9

може змінюватися в досить широких межах від десятків нанометрів до

часток нанометра. В останньому випадку ми маємо справу з нанопорошками,

зерна яких розділені тонкими (часто моноатомними) шарами з легких атомів,

що перешкоджають їхній агломерації.

Наночастинка - це квазі-нульмірний (0D) нанооб’єкт, у якого всі

характерні лінійні розміри мають один порядок величини (не більше 100 нм).

Наночастки можуть принципово відрізнятися по властивостях від більших

часток, наприклад від давно та добре відомих ультрадисперсних порошків з

розмірами зерен від 0.5 мкм і вище. Як правило, наночастки мають

сфероїдальну форму. Наночастки, у яких спостерігається яскраво виражене

впорядковане розташування атомів (або іонів), називаються

нанокристалітами. Наночастки з вираженою дискретністю системи

електронних рівнів енергії часто називають «квантовими точками» або

«штучними атомами» (звичайно вони мають сполуки типових

напівпровідникових матеріалів).

Термін «кластер», що широко використовувався в хімічній літературі

в колишні роки, у цей час уживається як синонім для позначення малих

наночастинок, що мають розміри менш 1 нм. Таким чином, термін

«нанокластери» надлишковий, оскільки всі відомі кластери мають

нанорозміри.

Нанострижні та нанопроволоки (nanorods, nanowires) відносяться до

квазі-одномірних нанооб’єктів (ID). Принаймні один розмір у таких системах

на порядок перевищує два інших розміри, що лежать у нанодіапазоні. До

цього класу, зокрема, належать такі цікаві наноструктури, як «квантові

провода».

К двовимірним об'єктам (2D) відносяться планарні структури -

нанодиски, тонкопліночні магнітні структури, шари магнітних наночастинок

та ін., у яких два розміри на порядок і більше перевищують третій розмір, що

лежить у нанодіапазоні.

10

До теперішнього часу практично реалізовано лише кілька типів

наноматеріалів – наноструктурна нікелева фольга, магнітом’який сплав

«Файнмет», багатошарові напівпровідникові гетероструктури, надтверді

нітрідні плівки та ін. Це в основному результати прояву розмірних ефектів, і

ідеї ще очікують свого повного практичного втілення.

От кілька питань, що стоять перед дослідниками в області

нанотехнології.

1. Які нові несподівані квантові властивості можуть бути в

наноструктур, особливо при кімнатних температурах?

2. Які основні відмінності у властивостях поверхонь розділу

наноматеріалів (у тому числі й гібридних типах) від

характеристик звичайних об'ємних станів?

3. Наскільки широко може бути розвинена техніка самозборки для

елементів нанорозмірних пристроїв з урахуванням можливих

помилок при укладанні?

4. Які технологічні процеси можуть бути економічно вигідними

для виготовлення наноматеріалів з регульованими та заданими

параметрами форми, сполуки, структури та властивостей?

На жаль, рівень нашого розуміння основних явищ, характерних для

наноструктурного стану, поки явно недостатній для однозначних відповідей.

За прогнозами, світовий ринок нанотехнологічної продукції через 10-15 років

складе близько 1 трлн доларів; частка наноматеріалів у цьому досить значна

(близько 340 млрд). У цьому зв'язку поглиблення наших знань в області

розмірних ефектів і термічної стабільності, тобто питань, що є загальними

практично для всіх типів наноматеріалів, буде досить корисним [30].

Метою роботи є розрахунок просторового особливостей розподілу

спонтанної намагніченості )(rM srr

, топології магнітостатичних полів )(rH m rr і

процесів намагнічування (перемагнічування) композиційного матеріалу, що

11

складається з наночастинок пермалою Fe20Ni80 кубічної форми (зі стороною

10=a нм), впроваджених в діамагнітну матрицю.

Для досягнення поставленої мети розв’язувалися слідуючи задачі:

1. Освоєння методів числових розрахунків магнітних характеристик

нанокомпозитів в теорії мікромагнетизму.

2. Проведення розрахунків просторового розподілу векторів спонтанної

намагніченості )(rM srr

, топології магнітних полів )(rH m rr, кривих

намагнічування і петель магнітного гістерезису нанокомпозиційних

матеріалів на основі пермалою 8020NiFe .

12

2 ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І СПІВВІДНОШЕННЯ В ТЕОРІЇ

МІКРОМАГНЕТИЗМУ

Мікромагнетизм це континуальна теорія для обробки процесів

намагнічування у феромагнітних матеріалах. Мікромагнетизм описує

процеси намагнічування для значних рівнів довжин, які досить великі, щоб

замінити атомні спіни безперервним вектором намагніченості та досить

малих розмірів, щоб визначити перехід між різними доменами. Вектор

намагніченості Mr

є магнітним моментом одиниці об'єму. У рамках

мікромагнетизму магнітний момент представляється як класичний вектор.

Теорія мікромагнетизму починається з повної вільної енергії. Ефект

змагання внесків в енергію при мінімізації визначає рівноважний розподіл

намагніченості. Мінімізація феромагнітної обмінної енергії вирівнює

магнітні моменти паралельно друг до друга, а мінімізація магнитостатичної -

приводить до існування магнітних доменів. Енергія кристалічної магнітної

анізотропії описує взаємодію намагніченості із кристалічною граткою. Її

мінімізація орієнтує намагніченість переважно уздовж певних

кристалографічних напрямків. Мінімізація Зеємановської енергії

намагніченості в зовнішнім полі повертає намагніченість паралельно до

прикладеного поля.

2.1 Динамічне рівняння руху намагніченості

Рівняння Ейлера-Лагранжа

0=+∂∂

− mmw

dtd

mw r

&rr λδδ

(2.1)

0)(

=⋅∇∂∂

+∂∂ n

mw

mr

rrrε

(2.2)

13

можна використати для опису руху будь-якої мікромагнітної системи, тому

що при їхньому висновку використовувалися найбільш загальні варіаційні

принципи (принцип Гамільтона).

З рівнянь (2.1) і (2.2) можна одержати рівняння, що описують стани

статичної рівноваги в магнітних системах, без явного завдання

функціональних залежностей Лагранжевих щільностей ω та ε . У цьому

випадку об'ємна щільність кінетичної енергії T дорівнює нулю та похідні

намагніченості m&r за часом теж дорівнюють нулю (магнітні моменти mr всіх

розглянутих атомів спочивають). Тоді енергія магнітної системи буде

складатися з потенційної енергії, що зручно представити у вигляді

∫ ∫+=V S

rdrwdE rr ε (2.3)

У стані рівноваги енергія (2.3) повинна бути мінімальної, тобто

0=Eδ . Множачи векторно (2.1) на ×mr одержуємо

0=×mwm r

r

δδ

(2.4)

Якщо ввести наступну величину (у системі СІ), пропорційну

варіаційній похідній від об'ємної густини енергії w по намагніченості mr та

що має, розмірність магнітного поля [ ]A/м

mw

MH

s

efr

r

δδ

μ0

1−=

(2.5)

14

яка називається ефективним полем, то рівняння, що описує розподіл

намагніченості в об'ємі тіла в стані статичної рівноваги має вигляд

0=× efHMrr

(2.6)

Вираз (2.6) у теорії мікромагнетизму зветься рівнянням Брауна та

описує рівноважний розподіл поля намагніченості )(rM rr

усередині тіл. Як

виходить з (2.6), у стані термодинамічної рівноваги, у кожній точці тіла

вектор намагніченості Mrвстановлюється паралельно напрямку ефективного

поля efHr

. При цьому енергія намагніченості Mr

в ефективному полі efHr

виявляється мінімальною.

min00 =−=⋅−= efef MHHME μμrr

(2.7)

У явному виді вирази для напруженості ефективного поля будуть

отримані пізніше, при розгляді загасаючого прецесуючого руху векторів

намагніченості.

Як ми вже відзначали вище, гіромагнітне рівняння виду

HMt

M rrr

×−=∂∂

0γ (2.8)

яке описує прецесуючий рух одного (ізольованого) магнітного моменту

(вектора намагніченості Mr

), непридатне для опису поля намагніченості

),( trM rr

у твердому тілі, тому що рух моменту Mr

виявляється сильно

залежним, від орієнтації моментів сусідніх атомів. Ці труднощі можна

обійти, якщо в гіромагнітному рівнянні (2.8) замінити зовнішнє поле Hr

ефективним полем efHr

, що і буде враховувати вплив всіх магнітних

15

моментів розглянутої системи. Таким чином, гіромагнітне рівняння, що

описує рух намагніченості ),( trM rr

у твердому тілі має вигляд

efHMt

M rrr

×−=∂∂

0γ (2.9)

Варто помітити, що величина та напрямок ефективного поля efHr

залежить від напрямку вектора намагніченості Mr

в кожній точці розглянутої

магнітної системи. Тому вектори намагніченості прецесують навколо

миттєвого напрямку поля efHr

, що змінюється в кожен момент часу t .

2.1.1 Рівняння Ландау-Лівшиця

Для того, щоб за допомогою рівняння (2.9) описати перехід магнітної

системи в стан термодинамічної рівноваги (стан з мінімумом повної енергії

min=E ) необхідно ввести в (2.9) дисипативний член, відповідальний за

загасання прецесії вектора намагніченості Mr

навколо напрямку ефективного

поля efHr

. Якщо у вираз для поля efHr

ввести доданок виду

tM

M s ∂∂

−r

0γα

(2.10)

який би орієнтував вектор намагніченості Mr

в напрямку efHr

, то рівняння

(2.9) трансформується в наступне

tMM

MHM

tM

s

ef

∂∂

×+×−=∂∂

rrrr

rαγ 0

(2.11)

16

Коефіцієнт α в (2.10) і (2.11) зветься константою загасання. Рівняння

(2.11) зветься рівнянням Ландау-Лівшиця з дисипативним членом у формі

Гільберта (або рівняння Ландау-Лівшиця-Гільберта) і описує загасаючі

прецесуючі коливання векторів намагніченості )(rM rr навколо напрямку

ефективного поля )(rH ef rr.

Множачи векторно (2.11) на ×Mr

можна одержати еквівалентну форму

рівняння, що і була спочатку отримана Ландау та Лівшицем.

tMMHMM

tMM s

ef

∂∂

−××−=∂∂

×r

rrrr

rαγ )(0

(2.12)

Виражаючи t

MM∂∂

×r

r із (2.11) і підставляючи (2.14), одержуємо

efef HMMHMt

M rrrrrr

××−×−=∂∂ λγ 0'

(2.13)

де

20

0 1'

αγγ+

=

sM0

21γ

ααλ+

= (2.14)

Оскільки при загасаючому русі намагніченості ),( trM rr, що описується

рівнянням Ландау-Лівшиця, енергія магнітної системи зменшується, то,

інтегруючи (2.11) за часом в інтервалі ),0( ∞∈t , можна знайти рівноважний

розподіл векторів sMr

в об'ємі розглянутого тіла.

∞→=

trMtrM )(),( rrrr

(2.15)

17

Саму зміну повної енергії феромагнетику в часі можна визначити

наступними виразми.

rdtt

mm

rdtwm

tmw

tm

mw

dtdE

V S

rr

rrrr

rrr

r∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∇∂∂

∇∂∂

+∂∂

∂∂

=εε)(

)( (2.16)

Другий доданок у квадратних дужках (2.18) можна представити у

вигляді

tm

mw

tm

mwm

tmw

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∂∂

⋅∇−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∇∂∂

∇=∇∂∂

∇∂∂

r

rrrr

rrrrr

rr )()()(

)( (2.17)

Використовуючи граничні умови

0)(

=⋅∇∂∂

+∂∂ n

mw

mr

rrrε

з обліком того, що в силу теореми Гауса

rdntm

mwrd

tm

mw

V S

rrr

rrr

r

rrr

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∇∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∇∂∂

∇∫ ∫ )()( (2.18)

вираз (2.18) перетвориться до виду

rdt

rdtw

tm

mw

tm

mw

dtdE

V S

rrr

rrrr

r∫ ∫ ∂∂

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

+∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∇∂∂

⋅∇−∂∂

∂∂

=ε

)( (2.19)

або із застосуванням визначення варіаційної похідної

18

)( mmm rrr

rr∇∂∂

⋅∇−∂∂

≡δδ

(2.20)

у вигляді

rdt

rdtw

tm

mw

dtdE

V S

rrr

r∫ ∫ ∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

=ε

δδ

(2.21)

Важливим обмеженням, що накладається на (2.23) є те, що ні об'ємна

w , ні поверхнева ε густини енергії не є явними функціями часу t , тобто

0=∂∂

tw і 0=

∂∂

tε (2.22)

Таким чином, вираз (2.23) перетворюється в

∫ ∂∂

=V

rdtm

mw

dtdE r

r

rδδ

(2.23)

Вираз для величин, що входять в (2.25) одержимо з рівняння Ландау-

Лівшиця-Гільберта. Скалярно множачи (2.11) спочатку на efHr

, а потім на

tM ∂∂ /r

, одержимо

)( ef

s

ef HMt

MMt

MHrr

rrr

×⋅∂∂

−=∂∂ α

і

2

0

1)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=×⋅∂∂

tMHM

tM ef

rrr

r

γ (2.24)

звідки слідує, що

192

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

tM

MtMH

s

ef

rrr

γα

(2.25)

Остаточно (2.25) вираз для зміни повної енергії E системи при

дисипативному характері руху намагніченості ),( trM rr приймає вид

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=Vs

rdt

MMdt

dE rr 2

0

0

γαμ

(2.26)

З (2.26) явно випливає, що повна енергія E магнітної системи згодом

зменшується (всі коефіцієнти α , 0μ , 0γ , що входять у рівняння, більше нуля).

У загальному випадку рівняння Ландау-Лівшиця являє собою

нелінійне інтегрально-диференціальне рівняння, аналітичне рішення якого

можливе тільки в деяких окремих випадках.

2.1.2 Вираз для ефективного поля

По визначенню ефективне поле efHr

являє собою варіаційну похідну від

повної енергії w по намагніченості mr

mw

MH

s

efr

r

δδ

μ0

1−=

(2.27)

20

2.1.3 Складові повної вільної енергії w

Енергія (об'ємна густина) w феромагнетику є сумою наступних

доданків: енергії обмінної взаємодії excw , енергії кристалографічної

анізотропії aw , магнітостатичної енергії mw та енергії феромагнетику в

зовнішнім полі Hw .

Hmaexc wwwww +++= (2.28)

Тому ефективне поле efHr

також може бути записане як сума доданків:

ефективного поля обмінної взаємодії efexcHr

, ефективного поля

кристалографічної анізотропії efaHr

, ефективного магнітостатичного поля efmHr

,

ефективного зовнішнього поля efHHr

.

efH

efm

efa

efexc

Hmaexc

s

ef HHHHm

wmw

mw

mw

MH

rrrrrrrr

r+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

δδ

δδ

δδ

δδ

μ0

1

(2.29)

2.1.4 Енергія обмінної взаємодії excw

Об'ємна густина енергії обмінної взаємодії excw залежить від

просторових похідних намагніченості mrr∇ в такий спосіб:

21

⎥⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

+⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

=∇+∇+∇=

222

222

222

222 ])()()[(

zm

ym

xm

zm

ym

xm

zm

ym

xm

A

mmmAw

zzz

yyy

xxx

zyxexc

rrr

(2.30)

Запишемо варіаційну похідну енергії обмінної взаємодії excw по

намагніченості mr :

)( mw

mw

mw excexcexc

rrr

rr∇∂

∂∇−

∂∂

=δδ

(2.31)

або по Декартовим компонентах:

xxxxx

x

exc

x

exc

x

exc

x

exc

x

exc

mAmAzm

ym

xm

A

zmw

zymw

yxmw

xmw

mw

Δ−=∇−=⎥⎦

⎤∂∂

+∂∂

+⎢⎣

⎡∂∂

−=

=∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂

=

222

)/()/()/(

22

2

2

2

2

2 r

δδ

(2.32)

yyyyy

y

exc

y

exc

y

exc

y

exc

y

exc

mAmAzm

ym

xm

A

zmw

zymw

yxmw

xmw

mw

Δ−=∇−=⎥⎥⎦

⎤

∂

∂+

∂

∂+

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂−=

=∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂

=

222

)/()/()/(

22

2

2

2

2

2 r

δδ

(2.33)

zzzzz

x

exc

x

exc

x

exc

z

exc

z

exc

mAmAzm

ym

xm

A

zmw

zymw

yxmw

xmw

mw

Δ−=∇−=⎥⎦

⎤∂∂

+∂∂

+⎢⎣

⎡∂∂

−=

=∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂∂

∂∂∂

−∂∂

=

222

)/()/()/(

22

2

2

2

2

2 r

δδ

, (2.34)

xsx

exc

sx

efexc m

MA

mw

MH Δ=−=

00

21μδ

δμ , (2.35)

22

ysy

exc

sy

efexc m

MA

mw

MH Δ=−=

00

21μδ

δμ , (2.36)

zsz

exc

sz

efexc m

MA

mw

MH Δ=−=

00

21μδ

δμ , (2.37)

mMAH

s

efexc

rrΔ=

0

2μ . (2.38)

2.1.5 Енергія анізотропії aw

Розглянемо випадок одноосної анізотропії. Густина енергії має

вигляд:

]2221[

])(1[])(1[222222

22

zzxxzzyyyyxxzzyyxxu

zzyyxxuua

kmkmkmkmkmkmkmkmkmK

kmkmkmKkmKw

−−−−−−=

=++−=⋅−=rr

(2.39)

Тоді

]2221[ 2zxzyxyxxu

x

a

x

a kkmkkmkmKmw

mw

−−−=∂∂

=δδ

, (2.40)

]2221[ 2zyzyxxxyu

y

a

y

a kkmkkmkmKmw

mw

−−−=∂∂

=δδ

, (2.41)

]2221[ 2zyyzxxzzu

z

a

z

a kkmkkmkmKmw

mw

−−−=∂∂

=δδ

. (2.42)

Остаточно

]1222[ 2

0

−++= zxzyxyxxs

ux

efa kkmkkmkm

MKH

μ , (2.43)

]1222[ 2

0

−++= zyzyxxxys

uy

efa kkmkkmkm

MKH

μ , (2.44)

23

]1222[ 2

0

−++= zyyzxxzzs

uz

efa kkmkkmkm

MKH

μ . (2.45)

2.1.6 Енергія намагнічування в зовнішньому полі Hw

Об'ємна густина енергії зовнішнього поля Hw дорівнює

)(00ezz

eyy

exx

es

esH hmhmhmHMHMw ++−=−= μμrr

, (2.46)

де exh , e

yh , ezh – напрямляючі косинуси зовнішнього поля eH

r.

Тоді

ex

es

x

H

x

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=,

ey

es

y

H

y

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=, (2.47)

ez

es

z

H

z

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=.

Остаточно ex

ex

eefxH HhHH == ,

ey

ey

eefyH HhHH == , (2.48)

ez

ez

eefzH HhHH == .

Таким чином, напруженість ефективного зовнішнього поля efHHr

дорівнює eHr

.

24

2.1.7 Магнітостатична енергія mw

Об'ємна густина магнітостатичної енергії mw (енергії намагніченості

sMr

у власному полі mHr

) визначається виразом:

)(200

mzz

myy

mxxs

msm hmhmhmMHMw ++−=−= μμrr

(2.49)

Напрямляючі косинуси mxh , m

yh , mzh магнітостатичного поля mH

r рівні

( )∫ −−+−+−

−++=

S

zzyyxxmx dS

zzyyxxxxnmnmnmh '

])'()'()'[('

41

2/3222π

'])'()'()'[(

''''4

12/3222 dV

zzyyxxxx

zm

ym

xm

V

zyx

−+−+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

− ∫π

( )∫ −−+−+−

−++=

S

zzyyxxmy dS

zzyyxxyynmnmnmh '

])'()'()'[('

41

2/3222π

'])'()'()'[(

''''4

12/3222 dV

zzyyxxyy

zm

ym

xm

V

zyx

−+−+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

− ∫π (2.50)

( )∫ −−+−+−

−++=

S

zzyyxxmz dS

zzyyxxzznmnmnmh '

])'()'()'[('

41

2/3222π

'])'()'()'[(

''''4

12/3222 dV

zzyyxxzz

zm

ym

xm

V

zyx

−+−+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

− ∫π

Тут },,{ zyx nnnn =r – зовнішня нормаль до поверхні S яка обмежує тіло

об'ємом V .

Знайдемо варіацію mwδ густини магнітостатичної енергії mw . По визначенню

)()( mwmmww mmmrrr

−+= δδ (2.51)

25

Якщо записати напруженість магнітостатичного поля mHr

у вигляді

( ) ( ) '')('')(''

dVrrGmdSrrGnmHVS

m rrrrrrrrrrr−⋅⋅∇−−⋅⋅= ∫∫

(2.52)

де векторна функція )'( rrG rrr− дорівнює

3''

4)'(

rrrrMrrG srr

rrrrr

−

−=−

π (2.53)

тоді

( ) +−⋅⋅+⋅+−=+ ∫ ''))(()(2

)('

0 dSrrGnmmmmM

mmwS

sm

rrrrrrrrrr δδμ

δ

( ) ''))(()(

2'

0 dVrrGmmmmM

V

s rrrrrrrr−⋅+⋅∇⋅++ ∫ δδμ

(2.54)

( ) +−⋅⋅⋅−= ∫ '')(2

)('

0 dSrrGnmmM

mwS

sm

rrrrrrr μ

( ) '')(

2'

0 dVrrGmmM

V

s rrrrrr−⋅⋅∇⋅+ ∫

μ

(2.55)

Віднімаючи з (2.25) (2.27), одержуємо

( ) ( ) }'')('')({''

0 dVrrGmdSrrGnmmMwVS

smrrrrrrrrrrr

−⋅⋅∇−−⋅⋅−= ∫∫δμδ (2.56)

У такий спосіб ефективне магнітостатичне поле efmHr

дорівнює

26

( ) ( ) m

VS

m

s

efm HdVrrGmdSrrGnm

mw

MH

rrrrrrrrrrrr

r=−⋅⋅∇−−⋅⋅=−= ∫∫ '')('')(1

''0 δδ

μ (2.57)

напруженості магнітостатичного поля mHr

.

Підбиваючи підсумок всьому вищесказаному, ефективне поле efHr

можна записати в наступному виді:

mw

MHHm

MAH a

s

em

s

efr

rrrr

∂∂

−++Δ=00

12μμ (2.58)

Визначивши в явному виді ефективне поле можна безпосередньо приступати

до рішення рівняння Ландау-Лівшиця.

2.2 Використання методу кінцевих різниць для чисельного рішення

рівняння Ландау-Лівшиця

Для того, щоб чисельно вирішити рівняння Ландау-Лівшиця (2.11) з

ефективним полем (2.5), необхідно перетворити його у форму, для якої може

бути составлен алгоритм для комп'ютера, з кінцевими швидкістю та

пам'яттю.

Необхідно зменшити завдання виявлення безперервного рішення

одного з них з кінцевою розмірністю [19]. У методі кінцевих різниць (як

пізніше в методі кінцевих елементів) заміняємо безперервне рішення домена

дискретним набором точок гратки. У кожній точці гратки заміняємо будь-які

диференціальні оператори операторами кінцевих різниць. Умови на границі

домена повинні бути замінені їхніми дискретними еквівалентами.

Для деяких диференціальних рівнянь, типу рівнянь хвилі в одному

вимірі, навіть можливо будувати точні алгоритми відповідно до

нестандартних схем кінцевих різниць [20]. Однак, це відбувається рідко, і,

таким чином, метод кінцевих різниць дає тільки приблизне рішення.

27

2.2.1 Просторова дискретизація поля намагніченості ),( yxM s

r і

ефективного поля efHr

Для нашого завдання обчислення ефективного поля та інтегрування

рівняння Ландау-Лівшиця, необхідно дискретизувати час і простір у

регулярних гратках. Для просторової дискретизації була обрана регулярна

кубічна гратка, тому що вона найпростіша для реалізації, а нерегулярні

гратки більш ефективно обробляти за допомогою методу кінцевих елементів.

Для того, щоб обчислити внесок обмінної взаємодії в ефективне поле,

необхідно дискретизувати (2.5). Перша частинна похідна

222

2)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∇z

my

mx

mm xxx

x

апроксимована кінцевою різницею

,222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

zm

ym

xm xzxyxx

(2.59)

де zyx ΔΔΔ ,, позначають параметр кристалічної гратки в трьох вимірах

простору, що є ідентичним у регулярній кубічній гратці, тому будемо просто

писати xΔ . zyx ΔΔΔ ,, позначають оператори кінцевих різниць в x, y, і z

напрямках, відповідно.

Покладемо, що вектор намагніченості imr в точці гратки i та 1+imr у

сусідній точці гратки спрямовані по осі +x. Тоді, можемо переписати перший

член в (3.1) як:

2

2,,,1

2,1

2

2,,1

2,,1 2)(

xmmmm

xmm

xmm xixixixixixixixi

Δ

+−=

Δ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

− ++++

.

28

Із другого та третього члена в (2.5) одержуємо внесок у і z

компонентів вектора намагніченості. Тому що |m| = 1, можемо спростити і

одержати кінцеву різницю:

).22(12 ji mm

xrr

⋅−Δ (2.60)

Для другого та третього членів в (3.1), які являють собою внески

найближчих сусідів в у і z напрямку, одержуємо аналогічні вирази. Та ж сама

процедура може бути виконана для протилежних сусідів у негативних

напрямках простору. Потім беремо середнє арифметичне двох протилежних

найближчих сусідів. Остаточний результат для густини обмінної енергії:

),1(2 ∑ ∑∈

⋅−Δ

=i NNj

jiexc mmxAw rr

(2.61)

де NN стоїть для індекації найближчих сусідів.

Апроксимація частинних похідних кінцевими різницями дійсна тільки

для невеликих аргументів, а в нашому випадку - для невеликих кутів між

сусідніми векторами намагніченості. Інші подання обмінної енергії були

запропоновані та зрівняні в [21], але жодне з них не має істотної переваги

перед тим, що отримано вище.

))(1( 21 nmKw ia

rr⋅−= (2.62)

У дискретизованій формі [22] ефективне поле визначається як:

MH ef rr

∂∂

=ω

(2.63)

29

Для "обмінного поля" на ділянці гратки i одержуємо:

.22 ∑

∈Δ=

NNjj

s

exci m

xMAH rr

(2.64)

Інша складність є результатом обчислення поля, що розмагнічує. У

межах кожного обчислювального осередку, осередку Вігнера-Зейтса точки

гратки, намагніченість передбачається гомогенною. Тепер можна спробувати

дискретизувати рівняння Пуассона (2.13) і рівняння Лапласа (2.14). Головні

труднощі виникають через відкриті граничні умови. Однак, для сітки

однорідно намагнічених кубів є можливим обчислити поле, що розмагнічує,

аналітично [23]. Отримані вирази досить складні і в обчислювальному

відношенні вони дорогі для здійснення. Тому що обчислення поля, що

розмагнічує, за допомогою магнітного скалярного потенціалу дуже

ефективно здійснено в модулі кінцевих елементів, третя можливість була

обрана для програми кінцевих різниць. Ця апроксимація поля, що

розмагнічує, кожного обчислювального осередку за допомогою поля

магнітного диполя в центрі осередку з магнітним моментом 3xMm ii Δ=

rr [24,

25].

∑≠

−−=ij ij

ijjij

ij

jsm

RRmR

RmM

H 53

)(3

4

rrrrrr

π (2.65)

Погрішність не є великою, і щира природа далекої дії завдання

збережена [26]. Це відбувається через факт, що квадрупольний момент

однорідно намагніченого куба є рівним нулю. Тільки наступний член у

мультипольному розкладанні, октапольний член, дав би внесок, відмінний

від нуля [27].

30

2.2.2 Використання метода FFT (швидкого Фур’є перетворення) для

розрахунку магнітостатичного поля )(rH m rr

Багато дослідницьких груп у їхніх мікромагнітних моделюваннях

використовують метод кінцевих різниць. Обчислення поля, що розмагнічує,

часто робиться більше передовими методами, заснованими на аналітичному

рішенні для гомогенно намагніченого шестигранника [23] або на швидких

перетвореннях Фур'є [28, 29]. Однак, тверді моди спричиняють погіршення

норм збіжності [30].

Інша проблема є результатом складних конфігурацій (можливо із

кривими границями) і нерегулярних мікроструктур. Оскільки метод кінцевих

різниць вимагає використання регулярної гратки, важко обробляти вигнуті

границі, тому що вони завжди апроксимуються маленькими кроками. Тільки

недавно, "Впроваджений Метод Кривих Границь" превстиг у тім, що зробив

результати, подібні таким з методу кінцевих елементів.

Рисунок 2.1 ілюструє метод швидкого Фур'є перетворення (FFT -

метод).

Рисунок 2.1 – Схематична модель взаємодії поверхневих σ та об'ємних ρ

магнітних зарядів у зразку (пластині) розмірами NML ×× осередків

),,(),,(),,()( zyxzyxzyxr surm

volmmm Φ+Φ=Φ=Φ

r (2.66)

31

Позначимо в такий спосіб поверхневі заряди на різних поверхнях пластини:

нижня – botσ , верхня –

topσ , передня – frontσ ,

задня – backσ , ліва –

leftσ , права – rightσ

⎜⎝

⎛ +=Φ=Φ ∑ −−−

NML

nmlnkmjlinml

volkji

volm Czyx

,,

,,

222,,,,,, 4

1),,( ρπ

+++ −+−−−− ∑∑ 221

1,,

,

,,

221,,

,

,, kNmjli

ML

ml

frontmlkmjli

ML

ml

backml CC σσ

+++ −−+−−− ∑∑ 212

,1,

,

,,

212,,

,

,, nkjMli

NL

nl

topmlnkjli

NL

nl

botnl CC σσ

(2.67)

⎟⎠

⎞++ −−−+−− ∑∑ 122,,1

,

,,

122,,

,

,, nkmjiL

NM

nm

rightnmnkmji

NM

nm

leftnm CC σσ

Поверхневий потенціал surmΦ дорівнює сумі поверхневих потенціалів кожної

зі сторін зразка.

+Φ+Φ=Φ ),(),(),,( yxyxzyx backm

frontm

surm

),(),(),(),( zxzxzyzy botm

topm

rightm

leftm Φ+Φ+Φ+Φ (2.68)

Як приклад, на передній стороні розрахункової області поверхневий

потенціал задається виразом

⎜⎝

⎛ +=Φ=Φ ∑ −−

NML

nmlnmjlinml

frontji

frontm Cyx

,,

,,

221,,,,, 4

1),( ρπ

∑∑ +++ −−−−

ML

mlmjli

backml

ML

mlNmjli

frontml CC

,

,

2200,,,

,

,

220,,, σσ

∑∑ +++ −+−−

NL

nlNjMli

topnl

NL

nlNjli

botnl CC

,

,

211,1,,

,

,

211,,, σσ

(2.69)

32

⎟⎠

⎞++ ∑∑ −−+−

NM

nmNmjiL

rightnm

NM

nmNmji

leftnm CC

,

,

121,,1,

,

,

121,,, σσ

Аналогічні вираження можна одержати для інших доданків в (2.68).

Так називані коефіцієнти взаємодії 222С ,

221С , 220С і т.д., де верхні індекси

показують число інтегрувань уздовж осей x , y і z функції 000C (функція

Гріна для тривимірного завдання).

222

000

)'()'()'(1

zzyyxxС

−+−+−=

(2.70)

Явний вид функцій ijkС представлений нижче, де уведені наступні

позначення

222 )'()'()'( zzyyxxr −+−+−= ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=)'()'(ln

21'

xxrxxr

rxxarctghLx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=)'()'(ln

21'

yyryyr

ryyarctghLy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=)'()'(ln

21'

zzrzzr

rzzarctghLz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=

rxxzzyyarctgxxPx )'(

)')('()'( (2.71)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=

ryyzzxxarctgyyPy )'(

)')('()'(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=

rzzyyxxarctgzzPz )'(

)')('()'(

33

З використанням вище перерахованих функцій

rLxxС x −−= )'(100

)'()'(200 xxLxxC x −−−=

zyx PLxxLyyC −−+−= )'()'(110

ryyPxxLzzxxLyyxxC zyx )'(21)'())'()'((

21)')('( 22210 −−−−−−−+−−=

−−−+−−+−−= xyz LzzyyLzzxxLyyxxС )')('()')('()')('(111

))'()'()'((

21

zyx PzzPyyPxx −+−+−−

[ ]−−−−−+−−−−= yx LzzxxyyLzzyyxxС ))'()')(('())'()')(('(21 222220

))'(3(

61)')('( 22 rzzrPyyxx z −−+−−−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−+−−−= yx LzzxxzzLzzyyxxC 22211 )'(

31)'()'(

21)')(')('(

−−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−+ xz PxxLyyxxyy )'(

61)'(

31)'()'(

21 22

[ ] rzzyyPzzPyyxx zy )')('(31)'()'()'(

21

−−−−+−−− (2.72)

⎢⎣

⎡ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−−= xLzzyyxxzzС 22221 )'(

31)'()'()'(

21

+⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−+ yLzzxxyy 22 )'(

31)'()'(

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−−−+ zLyyxxyyxx 22222 ))'()'((

81)'()'(

31

[ ]+−+−+−−−− zyx PzzPyyPxxyyxx )'(3)'()'()')('(61

[ ]))'()'((52)'(241 222 yyxxrrzz −+−−−+

34

( )[ +−−−−−−−= 4422222 )'()'()'()'(6)'(241 zzyyzzyyLxxС x

( )+−−−−−−−+ 4422 )'()'()'()'(6)'( zzxxzzxxLyy y

( )−−−−−−−−+ 4422 )'()'()'()'(6)'( yyxxyyxxLzz z

[ ]+−+−+−−−−− zyx PzzPyyPxxzzyyxx )'()'()'()')(')('(61

( )[ ]2222224 )'()'()'()'()'()'(5

601 zzxxzzyyyyxxrr −−+−−+−−−+

Для обчислень (2.81) і (2.83) застосовується Фур'є перетворення, що

скорочує розрахунковий час від ( )( )2NMLO ×× до

( ) ( )( )NMLNMLO ×××× 2log .

Суть методу FFT у наступному: за допомогою швидкого Фур'є перетворення

одержують хвильове подання наступних величин (параметрів)

2223222 ~~ CFFTС D

xyz ∗⋅ ρρ

2212212221221 ~~,~~, CCFFTCC backfrontDxy

backfront ∗∗⋅⋅ σσσσ

1221222122122 ~~,~~, CCFFTCC rightleftDyz

rightleft ∗∗⋅⋅ σσσσ (2.73)

2122122212212 ~~,~~, CCFFTCC topbotDxz

topbot ∗∗⋅⋅ σσσσ

і т.д.

Потім роблять підсумовування в частотному просторі

+∗=Φ 222~~~ Cvolijk ρ

35

+∗+∗+ 221221 ~~~~ CC backfront σσ

+∗+∗+ 122122 ~~~~ CC rightleft σσ (2.74)

212212 ~~~~ CC topbot ∗+∗+ σσ

і трансформують назад у простір координат

ijkD

xyzvolijk FFTinv ΦΦ 3.~

(2.75)

36

3 РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКІВ

3.1 Опис моделі (геометрія, розміри, розподіл )(rM srr

, постійні для

пермалою)

Як об'єкт дослідження розглядали нанокомпозиційний матеріал

( 11103,1 −⋅=A Дж/м, 310790 ⋅=sM А/м, 0=K Дж/м3), що складається із часток

пермалою розмірами 101010 ×× нм, впроваджених у діамагнітну матрицю

(кремній, смола, текстоліт, поліетилен). Частки, що входять до складу

композиту, є однодоменними, тобто вони мають одну феромагнітну область,

намагнічену до насичення. Схематичне зображення частини даного

композиту представлено на рисунку 3.1.

a

ϕ eHr

Рисунок 3.1 - Схематичне зображення частини нанокомпозиту, що

містить 16 нанозерен розмірами аaa ×× , які розділені немагнітними

проміжками розмірами δ

Моделювання магнітних властивостей нанокомпозиційного матеріалу

проводили в програмі OOMMF (Object Oriented Micro Magnetic Framework).

37

3.2 Результати розрахунку

Розрахунок магнітних властивостей проводився в наступні три етапи:

1) одержання початкового стану намагніченості у відсутності

зовнішнього магнітного поля;

2) рішення динамічного рівняння Ландау-Лівшиця;

3) розрахунок кривих намагнічування.

Розрахунок вихідного стану.

Початковий розподіл намагніченості можна одержати двома

способами: нагріванням феромагнетику вище температури Кюрі CT або

перемагнічуванням його в зовнішньому змінному магнітному полі з убутною

амплітудою. Ми скористалися першим способом. Суть полягає в наступному:

тому що вище температури Кюрі CT магнітні моменти всіх атомів

феромагнетику хаотично разорієнтовані, то, задаючи в кожній з комірок

кінцево-різницевої сітки випадкову орієнтацію вектора спонтанної

намагніченості sMr

, можна домогтися повної разорієнтації магнітних

моментів. На рисунку 3.2 зображена така разорієнтація магнітних моментів в

частині нанокомпозиту.

38

Рисунок 3.2 – Хаотична разорієнтація магнітних моментів в частині

нанокомпозиційного матеріалу при CTT >

При температурі набагато нижче температури Кюрі мимовільно

(спонтанно) відбувається формування магнітної структури нанокомпозитів.

Так обмінна взаємодія буде прагнути орієнтувати магнітні моменти в об'ємах

нанозерен в одному напрямку, що буде задаватися дальнодіючою

магнітостатичною взаємодією. Отже, для знаходження початкового

розподілу у відсутності зовнішнього поля необхідно зробити (виконати)

чисельну мінімізацію вільної енергії феромагнетику, взявши як початкову

умову хаотичну разорієнтацію магнітних моментів.

Мінімізація енергії може відбуватися двома шляхами: рішенням

динамічного рівняння Ландау-Лівшиця для моменту часу ∞→t і шляхом

рішення рівняння Брауна або рівняння моментів 0=× efHMrr

. Ми

скористалися першим способом.

39

Рішення рівняння Ландау-Лівшиця.

Числове інтегрування рівняння Ландау-Лівшиця вели доти, поки

максимальне значення обертаючого моменту, що діє на вектор

намагніченості з боку ефективного поля, не ставало меншим, ніж 510− .

Отриманий в такий спосіб (за такою методикою) розподіл намагніченості

представлений на рисунку 3.3.

Рисунок 3.3 – Рівноважний розподіл намагніченості ),( zxM s

r частини

нанокомпозиту

Як можна помітити з рисунка, відмінною рисою конфігурації векторів

намагніченості нанокомпозиту є те, що середнє значення Mr

по об'єму

нанокомпозиту = 0. На рисунку 3.4 представлена топологія

магнітостатичного поля mHr

для розмагніченого стану. Оскільки ефективна

40

довжина обмінної взаємодії становить порядку 10 нм, то однорідний розподіл

намагніченості спостерігається тільки в межах наночастинки. В сусідніх же

зернах має місце неоднорідна (різна) орієнтація векторів sMr

. При переході

від одного зерна до іншого відбувається зміна векторів спонтанної

намагніченості через прагнення до мінімуму енергії магнітостатичних полів.

а)

3 2 1

4

5

8

10 9 8 7 6

, 105 А/м

б)

Рисунок 3.4 - а) конфігурація магнітостатичного поля mz

mx

mxz HHH

rrr+=

для розмагніченого стану магнітом’якого нанокомпозиційного матеріалу;

б) його величина 22 )()( mz

mx

mxz HHH +=

41

Основна крива намагнічування нанокомпозиту розраховувалася в

такий спосіб. Як початковий розподіл використовувався розподіл,

представлений на рисунку 3.3. Природно, що при включенні зовнішнього

поля змінювався енергетичний баланс системи або з'являвся додатковий

обертаючий момент із боку зовнішнього поля eHr

, що прагнув орієнтувати

вектори намагніченості в нанокомпозиті паралельно напрямку зовнішнього

поля. Для розрахунку кривої намагнічування ми варіювали величину поля eHr

від 0 до 50 кА/м кроком 5 кА/м. Для кожного значення поля знаходили

рівноважний розподіл намагніченості та будували середні значення

компоненти намагніченості, паралельної напрямку eHr

, залежно від його

величини. Поле орієнтували вздовж двох напрямків: вздовж вісі х, o0=ϕ

(дивись рисунок 3.1) і вздовж o45=ϕ .

Для одержання петлі магнітного гістерезису ми зменшували величину

напруженості зовнішнього поля в протилежному напрямку і виконували такі

ж обчислення, як і для кривої намагнічування нанокомпозиційного

матеріалу. При цьому в нас відбувається зміна напрямку намагніченості на

протилежний.

Крива намагнічування та петля гістерезису для випадку орієнтації

поля під кутом o0=ϕ до вісі х представлена на рисунку 3.5.

З рисунка 3.5 слідує, що при величині зовнішнього поля, що дорівнює

32 кА/м, відбувається повний поворот векторів намагніченості у всіх

нанозернах композиту по напрямку прикладеного поля, тобто матеріал

намагнічується до насичення. Подальше збільшення поля не робить ніякого

орієнтаційного впливу на намагніченість.

42

Рисунок 3.5 – Крива намагнічування і петля магнітного гістерезису

досліджуваного композиту для випадку орієнтації зовнішнього поля eHr

вздовж вісі х, o0=ϕ

На рисунку 3.6 зображені крива намагнічування та петля магнітного

гістерезису для випадку орієнтації зовнішнього поля eHr

вздовж напрямку o45=ϕ .

43

Рисунок 3.6 – Крива намагнічування і петля магнітного гістерезису

досліджуваного композиту для випадку орієнтації зовнішнього поля eHr

вздовж напрямку o45=ϕ

Якщо порівняти рисунки 3.5 і 3.6, то видно, що при намагнічуванні

зразка під кутом o45=ϕ насичений стан досягається при меньших зовнішніх

магнітних полях, ніж при намагнічуванні під кутом o0=ϕ . Але в процесі

перемагнічування зразка в зовнішньому полі під кутом o45=ϕ петля

магнітного гістерезису ширше, тому і втрати енергії на процес

перемагнічування будуть більшими. Такі розбіжності можна пояснити із

аналізу просторового розподілу магнітостатичного поля в матеріалі.

В досліджуваному композиті намагнічування та перемагнічування

відбувається за рахунок процесів обертання векторів намагніченості під дією

зовнішнього поля eHr

. Оскільки обмінна взаємодія між складовими

44

нанокомпозиту дуже слабка ( excl>>δ ), то розподіл векторів sMr

буде

визначатися тільки магнітостатичною взаємодією між складовими, а точніше

- величиною магнітостатичного поля )(rH m rr.

На рисунку 3.7 представлений рівноважний розподіл спонтанної

намагніченості )(rM srr

, що відповідає напрямку зовнішнього поля eHr

під

кутом o0=ϕ .

Рисунок 3.7 – Розподіл намагніченості в досліджуваному

нанокомпозиті в насиченому стані, зовнішнє поле орієнтовано під кутом o0=ϕ до вісі х

На рисунку 3.8 представлена топологія магнітостатичного поля mHr

для насиченого стану нанокомпозиційного матеріалу при орієнтації

зовнішнього поля eHr

під кутом o0=ϕ .

45

а)

3 2 1

4

5

8

10 9 8 7 6

, 105 А/м

б)

Рисунок 3.8 - а) конфігурація магнітостатичного поля mz

mx

mxz HHH

rrr+=

для насиченого стану досліджуваного матеріалу; б) його величина 22 )()( m

zmx

mxz HHH += . Зовнішнє поле орієнтовано під кутом o0=ϕ до вісі х

46

На рисунку 3.9 представлений рівноважний розподіл спонтанної

намагніченості )(rM srr

, що відповідає напрямку зовнішнього поля eHr

під

кутом o45=ϕ .

Рисунок 3.9 - Розподіл спонтанної намагніченості ),( zxM s

r в композиті в

насиченому стані ( 28110 =sHr

кА/м); o45=ϕ

На рисунку 3.10 представлена топологія магнітостатичного поля mHr

для насиченого стану нанокомпозиційного матеріалу при орієнтації

зовнішнього поля eHr

під кутом o45=ϕ .

47

а)

3 2 1

4

5

8

10 9 8 7 6

, 105 А/м

б)

Рисунок 3.10 - а) конфігурація магнітостатичного поля mz

mx

mxz HHH

rrr+= для насиченого стану досліджуваного матеріалу; б) його

величина 22 )()( mz

mx

mxz HHH += . Зовнішнє поле орієнтовано під кутом

o45=ϕ до вісі х

48

Оскільки в об'ємах нанозерен розподіл намагніченості однорідний,

тобто відсутня дивергенція намагніченості усередині кожного з елементів

нанокомпозиту, то магнітостатичне поле створюється стрибками нормальної

складової nM на вільних поверхнях нанозерен пермалою. Модель розподілу

поверхневих магнітних зарядів nm MΔ±= 0μσ у структурному елементі

досліджуваного композиту зображена на рисунку 3.9.

Left R

igh t

frontσ

backσrightσ

Рисунок 3.11 - Модель розподілу поверхневих магнітних зарядів

Оскільки намагніченість орієнтована в площині )(xz , то

магнітостатичне поле буде створюватися чотирьма вільними поверхнями, які

умовно позначені right, left, front, back. Причому θμσσ cos0 sleftm

rightm M=−= ,

θμσσ sin0 sbackm

frontm M=−= , де θ - кут, що становить намагніченість із віссю х,

зазначеної на рисунку системи координат. Вираз для компонентів

магнітостатичного поля, створюваних таким розподілом поверхневих

магнітних зарядів, має вигляд:

49

+⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−⋅−

−⋅−⋅=

222 )()()()()()(tan

4)cos(

:),,,,(__zbycxx

zbycaM

zyxleftrightH sx

ξξπθ

θξ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−+−⋅−

+⋅−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+++−⋅−

−⋅++

222222 )()()()()()(tan

)()()()()()(tan

zbycxxzbyca

zbycxxzbyca

ξξξξ

⎥⎥⎦

⎤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−⋅−

+⋅+222 )()()()(

)()(tanzbycxx

zbycaξξ

(3.1)

+⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−+−

−+++−++⋅=

222

222

)()()(

)()()(ln

4)cos(

:),,,,(__zbycxcy

zbycxcyMzyxleftrightH s

zξ

ξπ

θθξ

⎥⎥⎦

⎤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−++

++−+−+−+

222

222

)()()(

)()()(ln

zbycxcy

zbycxcy

ξ

ξ (3.2)

+⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−+−

−+−+++−⋅=

222

222

)()()(

)()()(ln

4)sin(

:),,,,(__η

ηπθ

θηzycaxcy

zycaxcyMzyxbackfrontH s

x

⎥⎥⎦

⎤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++++

−+++−+++

222

222

)()()(

)()()(ln

η

η

zycaxcy

zycaxcy (3.3)

+⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−⋅−

−⋅−⋅=

222 )()()()()()(tan

4)sin(

:),,,,(__ηηπ

θθη

zycaxzycxaa

MzyxbackfrontH s

z

50

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+++−⋅−

+⋅−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−++⋅−

−⋅+222222 )()()()(

)()(tan)()()()(

)()(tanηηηη zycaxz

ycxaazycaxz

ycxaa

⎥⎥⎦

⎤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++⋅−

+⋅+222 )()()()(

)()(tanηη zycaxz

ycxaa (3.4)

),,,,(__),,,,(__:),(__ θθ azyxleftrightHazyxleftrightHzxleftrightHx xx −−= (3.5)

),,,,(__),,,,(__:),(__ θθ azyxleftrightHazyxleftrightHzxleftrightHz zz −−= (3.6)

),,,,(__),,,,(__:),(__ θθ bzyxbackfrontHbzyxbackfrontHzxbackfrontHx xx −−= (3.7)

),,,,(__),,,,(__:),(__ θθ bzyxbackfrontHbzyxbackfrontHzxbackfrontHz zz −−=

(3.8)

),(__),(__:),( zxbackfrontHxzxleftrightHxzxHx += (3.9)

),(__),(__:),( zxbackfrontHzzxleftrightHzzxHz += (3.10)

На рисунку 3.12 представлена сітка кінцевих елементів, у кутах яких

обчислювали значення (величини) напруженості магнітного поля.

51

Рисунок 3.12 - Сітка кінцевих елементів

В станах магнітного насичення вектори спонтанної намагніченості в

кожному із елементів орієнтуються вздовж напрямку зовнішнього поля eHr

,

як показано на рис. 3.7 і 3.9. Оскільки значення розмагнічуючого поля при o45=ϕ менше, ніж при o0=ϕ , тому для його подолання потрібні менші

значення напруженості зовнішнього магнітного поля eHr

, і процес

намагнічування йде легше.

52

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Кекало И.Б,Самарин Б.А. “Фізичне матеріалознавство прицизійних

сплавів с особовимі магнітними свойствами”- М.: Мир, 1989.- 495 с.

2. Вонсовский С. В. Магнетизм. Магнітні властивості диа-, паро-,

ферро-, антиферро-, ферримагнетиков. - М: Наука, 1971.-1032 с.

3. Преображенський А.А. Теорія магнетизму, магнітні матеріали

і елементи.- М.: Вища школа, 1972.- 288 с.

4. Мишин Д.Д. Магнітні матеріали. - М.: Вища школа, 1991. -

384 с.

5. Тикадзуми С. Фізика феромагнетизму. II том. - М.: Мир, 1985. -

420 с.

6. Кринчик Г.С. Фізика магнітних явищ.- М.: МГУ,1976.-367 с.

7. Стародубцев Ю.Н.,Белозеров В.Я.”Магнітні властивості аморфних і

нанокристалічних сплавів”Екатеренбург, Издательство Уральского

университета 2002г.

8. Гусев А.И. “Нанокристалические материалі:методі получения и

свойства”,-Екатеренбург:1998г.,199с.

9. Макаров В.А., Арщелиевский М.А., Балдохин Ю.В. “Структура,

фазовій состав и свойства нанокристаллических магнитніх

сплавов.”Мусебауєровское, электронно-микроскопическое и магнитное

исследование.-ФММ:1991г.№9,39-149с.

10. Кекало И.Б.”Нанокристаллические магнито-мягкие материалы” Курс

лекций.-Москва 2000г.226с

11. Gear C. W. “Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential

Equations”.- Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1971. 321с.

12. Heisenberg W 1928 Z. Phys. 49 619

13. Bloch F 1929 Z. Phys. 57 545

14. Stoner E C 1938 Proc. R. Soc. A 165 372R890 Topical Review

53

15. Skomski R and Coey J M D 1999 Permanent Magnetism (Bristol: Institute

of Physics Publishing)

16. Craik D 1995 Magnetism: Principles and Applications (New York: Wiley)

17. Charles S W 1992 Studies of Magnetic Properties of Fine Particles and their

Relevance to Materials Science ed J L Dormann and D Fiorani (Amsterdam:

Elsevier) p 267

18. Moorjani K and Coey J M D 1984 Magnetic Glasses (Amsterdam: Elsevier)

19. V. D. Tsiantos, T. Schrefl, J. Fidler, and A. Bratsos, “Cost-Effective Way

toSpeed-up Micromagnetic Simulations in Granular media,” Applied

Numerical Mathematics, (2001) in press.

20. Bean C P and Livingston J D 1959 J. Appl. Phys. 30 120S

21. W. E and X.-P. Wang, SIAM Journal on Numerical Analysis 38 (2000)

1647.

22. Bloch F and Gentile G 1931 Z. Phys. 70 395

23. J. G. Zhu and H. N. Bertram, J. Appl. Phys. 66 (1989) 1291

24. Slater J C 1936 Phys. Rev. 49 537

25. Bethe H 1929 Ann. Phys., Lpz. 3 133

26. Dunlop D J 1990 Rep. Prog. Phys. 53 707

27. Bean C P and Livingston J D 1959 J. Appl. Phys. 30 120S

28. Brooks H 1940 Phys. Rev. 58 909

29. Coey J M D, Venkatesan M, Fitzgerald C B, Douvalis A P and Sanders I S

2002 Nature 420 156

30. Coehoorn R, de Mooij D B, Duchateau J P W B and Buschow K H J 1988 J.

Physique Coll. 49 C8 669

Міністерство науки і освіти України

Запорізький національний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

ОСНОВИ РОБОТИ З ПРОГРАМОЮ

(Object Oriented Micro Magnetic Framework)

ДЛЯ ЧИСЕЛЬНИХ РОЗРАХУНКІВ МАГНІТНИХ

ВЛАСТИВОСТЕЙ НАНОЧАСТИНОК

2006

2

Работа с программой OOMMF

(Object Oriented Micro Magnetic Framework)

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ

Запуск установленной программы осуществляется из локальной папки, например: C:\OOMMF путем клика по файлу oommf.tcl. При этом появляется окно с надписью localhost:

Ставим галочку в чекбоксе “localhost” щелчком левой клавишей мыши. При этом окно принимает вид:

Ставим галочку в следующем чекбоксе с именем пользователя, как в нашем случае, например ”bell”, при этом интерфейс программы принимает вид:

Рассмотрим подробнее описание кнопок:

- для хранения результатов решения и связи с разработчиками

3

- для визуализации текущих данных в ходе расчета. Таких как: номер итерации, максимальный вращающий момент, величины: компонент намагниченности поля, шаг по времени и время симуляции

- для визуализации в ходе решения распределения намагниченности в расчитуемом обьекте либо распределения.

- служит для визуализации, т.е. построения графиков в ходе проведения расчетов различных величин может быть, к примеру, зависимость компонент намагниченности от величины внешнего поля либо энергии. Имеет очень много вложений.

-создание (описание) настроек файла текущей (расчетной) проблемы (Problem)

- включает программу для решения уравнения Ландау- Лифшица в 2D области, что подразумевает: магнитный момент и вектор намагниченности имеет 3 степени свободы (3 координаты) и зависимость этих координат от расстояния задается по двум координатным осям

- служит для решения трехмерных задач

СОЗДАНИЯ НАСТРОЕК МАТЕРИАЛА

И РАСЧЕТА ЗАДАЧИ (PROBLEM)

Для создания настроек материала и расчета задачи (проблемы (Problem)) необходимо нажать на кнопку . В появившемся окне

Нажимаем кнопку - для выбора типов магнитных материалов со встроенными настройками их параметров:

Permalloy- кобальт

4Nickel- никель

Iron- железо

Cobalt- кобальт

и выбираем из выпавшего списка материалов, например, Iron (железо) При этом нижеописанные поля заполняться встроенными настройками параметров для железа.

Рассмотрим подробнее описание этих полей:

Material name- для ввода названия материала

Ms(A/m)– величина спонтанной намагниченности

A(Дж/м)- константа обменного взаимодействия

K1(Дж/м3)- константа кристаллической анизотропии

Damp Coef- α коэффициент затухания

Anisotropy type- тип анизотропии

• Uniaxial- одноосная • Cubic- кубическая

Anisotropy unit- позволяет задать направление осей легкого намагничивания в пространстве

• Constant- задает постоянное направление осей легкого намагничивания в пространстве для всего образца

• UniformXY- задает случайное направление осей легкого намагничивания в пространстве для всего образца

• UniformS2- задает случайное направление осей легкого намагничивания в пространстве для всего образца, но в 3D области

После задания типа материала, типа констант и направление осей легкого

намагничивания нажимаем кнопку , при этом появляеться окно:

Настройки которого определяют вид размагничивающего поля:

Предпочтительно использовать ConstMag

5Также существуют следующие параметры:

3dSlab- 3D пластины

3dCharge- 3D заряда

FastPipe- для описания пластин высота (толщина) которых во много раз больше длины и ширины.

нажимаем кнопку , при этом появляеться окно:

которое задает геометрические размеры расчетной области (тела)

Part Width- размер по оси x (ширина)

Part Height- размер по оси y (длина)

Part Thickness- размер по оси z (высота)

Cell Size: размер расчетной ячейки на которой и будет разбит весь обьем исследуемого тела

* желательно подбирать такие параметры длины и ширины чтобы они нацело делились на величину ячейки, иначе может возникать ошибка в ходе выполнения программы

Rectangle - прямоугольник

Ellipse – эллиптические области

Ellipsoid - эллиптические области

Oval – задается радиус

6Mask- можем придать нашей расчетной области любую форму, где форма задаеться в виде точечного монохромного рисунка в формате “bmp” где магнитные части обозначены черным цветом, а немагнитные- белым. При этом в окне file можно вводить название графического файла с расширением. Например: my_file.bmp

После ввода геометрических размеров расчетной области (тела) нажимаем

кнопку , при этом появляется окно:

которое задает начальное распределение намагниченности

Random- задает случайное распределение векторов спонтанной намагниченности в каждой расчетной ячейке

Uniform- однородная намагниченность по образцу, которая задаеться двумя углами: полярным углом- phi и азимутальным углом- theta. Например задавая угол phi=0, а theta= 90, можно задать распределение однородной намагниченности вдоль оси x

Avfile- брать распределение намагниченности из файла. При его нажатии активизируется поле с именем файла. В этом поле можно задавать имя файла в

7котором было заранее определено либо рассчитано распределение намагниченности и как правило имеет расширение .omf

1domain, 4domail, 7doman- моделируют области, задает распределение намагниченности в областях, состоящих из одного, четырех и семи доменов

Vortex- (с англ. вихрь) задает кольцеобразное распределение намагниченности по концентрическим окружностям в нашем исследуемом теле

Exvort- аналогично “Vortex”, только вектора намагниченности повернуты под углом 900 по отношению к “Vortex”.

Bloch- относятся к структуре междоменных стенок, стенка Блоха. задавая угол ориентации этой стенки можно моделировать междоменные структуры, искать распределение намагниченности в их обьемах

8

neel- относятся к структуре междоменных стенок, стенка Неля. задавая угол ориентации этой стенки и ширину можно моделировать междоменные структуры, искать распределение намагниченности в их обьемах

rightleft, crot, upoutdownheadtohead, uprightdownheadtohead- позволяют задавать специфические распределения спонтанной намагниченности в начальный момент времени , например область будет разделена на две части в которой векторы намагниченности будут к друг другу либо антипараллельны либо параллельны. Это начальное распределение можно увидеть поставив галочку и нажимая вкладку .

9

нажимаем кнопку При этом появляется окно:

служит для наложения на нашу систему внешнего магнитного поля He. По умолчанию стоит «0», то есть внешнее магнитное поле отсутствует. При передвижении ползунка вправо появляться поля для ввода значений внешнего магнитного поля. Таких полей может быть десять. Например, выставим ползунок на цифру «1» при этом область экрана разделяется и ниже появляються x, y, z слева и справа и в правом углу находится окно steps:

Выставим, например, значения в левом «x», значение «1», в правом «x» значение «-1» это означает, что мы моделируем процесс перемагничивания нашего образца в магнитном поле, которое будет изменяться от 1 Тесла до -1 Тесла и этот диапазон будет разбит на 100 частей, то есть мы будем искать равновесное распределение намагниченности при изменении магнитного поля с шагом 200 mT.

10

нажимаем кнопку При этом появляется окно:

Значения полей:

Base Output Filename- позволяет ввести имя файла в который будет вводиться отчет об ошибках. По умолчанию имя «test»

Magnetization Output Format- формат распределения намагниченности

Total Field Output Format- формат распределения полного магнитного поля Желательно ничего в окнах этой вкладки не изменять.

Нажимаем кнопку При этом появляется окно:

Задает нам условия при котором прекращается решение уравнение Ландау- Лифшица (необязательные параметры) Coverge hm× Value - определяется как максимальный вращающий момент и во всех точках нашего образца должен быть меньше чем 10-5 Randomozer Seed- позволяет задавать начальное значение генератора случайных чисел. По умолчанию стоит «0» Остальные параметры как User Comment (комментарии пользователя), Min Time Step (минимальный шаг по времени), Max Time Step (максимальный шаг по времени) являются необязательными. После задания параметров нажимаем кнопку

.При этом следует отметить, что вкладка остаеться открытой (не закрываем). При этом в основном окне под надписью Treads (поток) появилась надпись «mmProbEd <1>» с ее идентификатором. Сохранить настройки задачи (проблемы (Problem)) можно через пункт меню mmProbEd File→Save as→ ввести название файла с расширением .mif какой является текстовым файлом в котором описаны параметры нашей системы. После описания задачи необходимо запустить решение уравнения Ландау- Лифшица. Для двумерного случая необходимо запустить . После этого в потоках появляется идентификатор этого решателя, который необходимо активировать, поставив галочку. В появляющемся окне:

11

Во входящих потоках мы видим: Problem Description- описание проблемы В Source Threads – номер проблемы которая у нас настроена и готова к запуску Выбрав проблему с ее номером возле надписи Solver (решатель) нажимаем кнопку

. Подождав некоторое время когда решатель разобьет области на конечные

разности (на ячейки), а также инициализация в каждой из ячеек оси легкого намагничивания и задания в каждой из ячейки направление вектора спонтанной намагниченности в зависимости от типа начального состояния, описуемого во вкладке Initial Mag в конечном итоге окно принимает вид:

Следующее, что нам необходимо сделать это активизировать, поставив

галочку в чекбоксе с надписью Sheduled Outputs, где появляеться возможность вывода результатов на экран или файл. В появившихся окошках под надписью «Outputs»:

Total fields- полное эффективное магнитное поле Magnetization- намагниченность Data Table- вывод текущих результатов нашего расчета в виде чисел при

нажатии на кнопку Для визуализации этих параметров необходимо запустить программу

визуализации нажав кнопку . После нажатия кнопки во вкладке mmSolve2D в Destination Threads появляется чекбокс с надписью mmDisp и его идентификатором, который необходимо выделить щелчком мыши. Также под надписью Shedule имеется возможность визуализации по следующим параметрам:

Iteration- на каждом шаге решения уравнения Ландау- Лифшица, когда будут изменятся распределения векторов спонтанной намагниченности, если поставить галочку, то после каждой итерации будет происходить обновление векторов спонтанной намагниченности в окошке mmDisp. Этот процесс потребляет 30- 40% ресурсов процессора компьютера, поэтому для эффективности вычислений лучше галочку здесь не ставить. Также при активации окон ControlPoint и Interactive- можно обновлять окно каждую итерацию, каждые 10 итераций, каждые 100 итераций, а также на каждой контрольной точке. Под контрольной точкой понимают следующее: если мы накладываем внешнее магнитное поле которое у нас разбито во вкладке steps на n шагов, то система будет рассчитывать такие

12параметры как среднее значение компонент спонтанной намагниченности по трем осям при определенном значении внешнего магнитного поля которое фиксируется количеством шагов и диапазоном изменений этого поля то есть если мы задали изменение этого поля от 1Т до -1Т на 100 шагов, то при изменении внешнего поля на каждые 20 мТ у нас будет так называемая контрольная точка.

Interactive- интерактивное представление результатов расчетов. При выборе в Outputs→ Magnetization→каждую 1 итерацию нажимаем

кнопку . При этом мы наблюдаем вращение стрелок, то есть векторов спонтанной намагниченности. В конечном итоге после решения уравнения Ландау- Лифшица будет найдено устоявшееся распределение векторов спонтанной намагниченности. Мы можем сохранить это распределение нажав в mmDisp пункт меню File→Save as→ при этом возникают возможности выбора формата сохранения результатов: текстовый с регулярной и нерегулярной разбивкой и бинарный. Для того чтобы была возможность выбора нагладного отображения в каждой конкретно точке нашего образца направлен вектор спонтанной намагниченности то есть в каждой точки с координатами x, y, z сопоставить три компоненты вектора М Мx, Мy, Мz, необходимо выбрать в опциях сохраняющего файла Text (текстовый файл) → Irregular grid (нерегулярная сетка). При этом в сохраняемый файл будет иметь шесть колонок. Первая колонка будет отображать координаты по x, вторая по y, третья по z. Следующие будут определять проекции вектора намагниченности на координатные оси x, y, z.

Для вывода текущих результатов (визуализации) нашего расчета в виде чисел для этого необходимо нажать кнопку и .

Вкладка mmDataTable:

служит для текущей визуализации параметров расчета в виде числовых

данных. Для ее активации необходимо нажать пункт меню Data. При этом появляються такие пункты меню:

Iteration - номер итерации Fields Updates- обновление полей Sim Time- время симуляции в наносекундах

13Time step- шаг времени Step Size- размер шага Bx, By, Bz- компоненты индукции внешнего поля B- полная индукция внешнего поля Mx/Ms- среднее (по обьему) относительное значение х-вой компоненты

намагниченности My/Ms- среднее (по обьему) относительное значение y-вой компоненты

намагниченности Mz/Ms- среднее (по обьему) относительное значение z-вой компоненты

намагниченности Total Energy- полная энергия Exchange Energy- энергия обменного взаимодействия Anizotropy Energy- энергия анизотропии Demag Energy- энергия размагничивающего поля Zeeman Energy- энергия внешнего поля Max Angle- максимальный угол между соседними спинами Окно mmGraph:

Которое появляется при нажатии на кнопку позволяет рисовать

кривые различных величин от других величин в ходе процесса расчета. По оси X мы можем откладывать время симуляции (время расчета). Мы

можем сохранить наши графики в отдельный файл. Для этого необходимо нажать пункт меню File→Save as→. В появившемся окне существует чекбокс Autosave, что означает автосохранение. При проставлении на нем галочки будет производиться автоматическое сохранение данных кривых которые мы запрограммировали во вкладке mmSolve2D или в каждой итерации или в каждой расчетной точке. Следует отметить если выставлен пункт «в каждой итерации» тогда к файлу отчета будут дописываться данные и соответственно при длительных расчетах файлы отчета будут занимать значительное дисковое пространство, поэтому рекомендуется ставить пункт «контрольные точки».

Міністерство освіти й науки України

Запорізький національний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

РОЗРАХУНОК ПРОСТОРОВОГО РОЗПОДІЛУ

СПОНТАННОЇ НАМАГНІЧЕНОСТІ І ПЕТЛІ

ГІСТЕРЕЗИСУ НАНОЧАСТИНОК ПЕРМАЛОЮ

2006

2

АНОТАЦІЯ

В теорії мікромагнетизму числовими методами проведено

розрахунок особливостей розподілу спонтанної намагніченості ( )rМ Srv

та

петель магнітного гістерезису ( )еНМrr

ізольованих наночастинок пермалою

в формі прямокутних паралелепіпедів зі сторонами нм20200400 ×× .

Метою роботи є встановлення закономірностей розподілу

спонтанної намагніченості та деяких магнітних характеристик ізольованих

наночастинок пермалою Fe20Ni80 в залежності від напрямку зовнішнього

магнітного поля )( eHMrr

і особливостей їх початкового стану ( )rМ Srr

0 .

НАНОКОМПОЗИТ, МІКРОМАГНЕТИЗМ, РІВННЯ ЛАНДАУ-ЛІВШИЦЯ, РІВННЯ БРАУНА.

3

ВСТУП

Створення нанокристаличних м'яких магнітних сплавів і освоєння

їхнього випуску в промисловому масштабі явилось істотним проривом у

рішенні ряду проблем фізичного матеріалознавства магнітно-м'яких

сплавів і в задоволенні запитів сучасної техніки. Це обумовлено тим, що

нанокристаличні сплави не тільки мають гістерезисні магнітні властивості

(сплави типу пермаллоїв), але одночасно мають високу індукцію

насичення, в порівнянні з висококремнієвими електротехнічними сталями.

Такий прорив в галузі матеріалознавства м'яких магнітних матеріалів

удалося зробити в результаті розробки методів створення сплавів з

нанокристалічною структурою, що забезпечує умови для зменшення до

нуля - енергії магнітної кристалічної анізотропії. Ці сплави вже зараз

знаходять широке застосування у радіоелектронній техніці,

електромашинобудуванні й в інших галузях промисловості. Немає

сумніву, що саме ці матеріали, які вже розроблені та ще будуть відкриті,

багато в чому будуть визначати рівень успіху в рішенні завдань

матеріалознавства м'яких магнітних матеріалів, принаймні, у майбутьному.

Однак багато важливих і цікавих питань пов'язані із проблемою

наноматеріалів ще далекі від свого вирішення й зажадають ще багато

зусиль, щоб замість гіпотез і пропозицій, з'явилися прямі докази їхньої

справедливості.

До теперішнього часу практично реалізовано лише кілька типів

наноматеріалів-нанострукрура нікелева фольга, магнітом’який сплав

“Файнмет”, багатошарові напівпровідникові гетероструктури, надтверді

нітрідні плівки та ін. Це в основному результати прояву розмірних ефектів,

і ідеї ще очікують свого повного практичного втілення. Відмінно кілька

питань, що стоят перед дослідниками в області нанотехнології.

1. Які нові несподівані квантові властивості можуть бути в

наноструктур, особливо при кімнатних температурах?

4

2. Які основні відмінності у властивостях поверхонь розділу

наноматеріалів?

3. Які технологічні процеси можуть бути економічно вигідними для

виготовлення наноматеріалів з регульованими та заданими

параметрами форми, сполуки та властивостей?

На жаль, рівень нашого розуміння основних явищ, характерних для

наноструктурного стану, поки явно недостатній для однозначних

відповідей. За прогнозами, світовой ринок нанотехнологічної продукції

через 10-15 років складе близько 1 трлн доларів; частка наноматеріалів у

цьому досить значна. У цьому зв’язку поглиблення наших знань в області

розмірних ефектів і термічної стабільності, тобто питань , що є загальними

практично для всіх типів наноматеріалів, буде досить корисним.

Метою роботи є встановлення закономірностей розподілу

спонтанної намагніченості та деяких магнітних характеристик ізольованих

наночастинок пермалою Fe20Ni80 в залежності від напрямку зовнішнього

магнітного поля )( eHMrr

і особливостей їх початкового стану ( )rМ Srr

0 .

5

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

В останні два десятиріччя в наукову лексику стрімко ввірвався ряд

нових термінів із префіксом «нано»: наночастка, наноструктура,

нанотехнологія, наноматеріал, нанокластер, нанохімія, нанореактор і т.д. У

большесті випадків нові назви дані давно відомим об'єктам або явищам,

але з'явилися й нові об'єкти, які були недоступні дослідникам ще 20 років

тому.До них відносяться фуллерены, нанотрубки, наноплівки й

нанопровід, тобто об'єкти, розміри яких хоча б по одному вимірі лежать у

нанометровому діапозоні.

Підвищений інтерес дослідників до нанооб’єктів викликаний

виявленням у них незвичайних фізичних і хімічних властивостей, що

пов'язане із проявом так званих «квантових розмірних ефектів».Останні

виникають у тому випадку, коли розміри досліджуваних систем порівнянні

з довжинами де-бройлевских хвиль електронів, що поширюються в них,

фононів або екситонів.

Одніою з головних причин зміни фізичних і хімічних властивостей

малих часток у міру зменшення їх розмірів є зростання в них відносної

частки «поверхневих» атомів, що перебувають в інших умовах

(координаційне число, симетрія локального оточення й т.д.), ніж атоми

об'ємної фази.

Зараз інтенсивно вивчається унікальні фізичні властивості

наночасток. Особливе місце серед них займають магнітні характеристики,

у яких найбільше чітко виявляються розходження між масивними

(об'ємними) матеріалом і наноматеріалом. Зокрема, показано, що

намагніченість і магнітна анізотропія наночасток можуть бути помітно

більше, ніж у масивного зразка, а відмінності в у температурах

мимовільного встановлення паралельної або антипаралельної орієнтації

спінів, наночасток і відповідних макроскопічних фаз досягають сотень

градусів. Крім того, в магнітних наноматеріалах виявлений ряд

незвичайних властивостей: аномально великий магнитокалорічний ефект

6

та ін. Магнітні властивості наночасток визначаються багатьма факторами,

серед яких варто виділити хімічний склад, тип кристаличної гратки й

ступінь її дефектності, розмір і форму часток, морфологію, взаємодію

часток з навколишньою матрицею й сусідніми частками.Змінюючи

розміри, форму, сполуку й будову наночасток, можна в певних межах

управляти магнітними характеристиками матеріалів на їхній основі. Однак

контролювати всі ці фактори при синтезі приблизно однакового розміру і

хімічного складу наночасток вдається далеко не завжди, тому властивості

однотипних наноматеріалів можуть сильно розрізнятися.

1.1 Магнітні наноматеріали. Сучасні аспекти розвитку й використання.

До наноматеріалів відносяться матеріали, основні фізичні

характеристики яких визначаються утримуючими в них нанооб’єктами.

Наноматеріали поділяються на компактні й нанодисперсні матеріали. До

перших відносяться так звані «наноструктурні» матеріали, тобто ізотропні

по макросполуці матеріали, що повторюються; елементами структури яких

є контактуючі між собою об'єкти нанометрових розмірів. На відміну від

наноструктурних матеріалів, нанодисперсні складаються з однорідного

середовища диспергірування (вакуум, газ, рідина або тверде тіло) і

нанорозмірних включень, розподілених у цьому середовищі й ізольованих

один від одного. Відстань між нанооб’єктами в таких дисперсіях може

змінюватися в досить широких межах від десятків нанометрів до часток

нанометра. В останньому випадку ми маємо справу з нанопорошками,

зерна яких розділені тонкими шарами з легких атомів, перешкоджаючи їх

агломерації.

За останні роки в області розробки магнітних наноматеріалів

відбулися зміни, які ,без перебільшення , можна назвати революційними.

Це зв'язано як з розробкою ефективних методів одержання й стабілізації

магнітних часток нанометрових розмірів, так і з розвитком фізичних

7

методів дослідження таких часток. Наприклад, стало можливим одержання

нанометрових металевих або оксидних часток не тільки у вигляді

ферроридини, але й у вигляді часток, впроваджених у різні «тверді»

матриці ( полімери, цеоліти й ін.)

Уперше магнітні характеристики матеріалу, що складається з

немагнітної твердої діелектричної матриці й розподілених у ній магнітних

наночастинок, були описані в 1980р. Наявність у такому матеріалі

наночасток і їхня сполука були встановлені методами рентгенівського

малокутового розсіювання й мессбауэровской спектроскопії. Надалі ці

зразки були повторно досліджені сучасними методами, і отримані раніше

результати в основному підтвердилися.

Магнітні наночастки широко поширені в природі й зустрічаються в

багатьох біологічних об'єктах. Магнітні наноматеріали використовуються

в системах запису й зберігання інформації, у нових постійних магнітах, у

системах магнітного охолодження, як магнітні сенсори й т.д. Все це

пояснює великий інтерес фахівців різного профілю до таких систем.

Крім розміру на магнітні властивості часток впливають зовнішні умови

температура, тиск, а в ряді випадків і локальне оточення, тобто те

середовище, у якій перебуває частка: кристалічна або аморфна об'ємна

матриця, локальне кристалічне оточення, підкладка.

1.2 Методи дослідження магнітних властивостей і структури ультра

дисперсних порошків і наночасток.

1. Метод магнітної суспензії.

Суть методу порошкових фігур (фігур Акулова-Биттера) полягає в

наступному:

поліровану поверхню зразка наноситься тонкий шар магнітної суспензії.

Частки суспензії збираються в тих місцях, де неуважне поле найбільше

неоднорідно, а напруженість його максимальна. Звичайно ці місця

8

відповідають виходу ДГ на спостережувану в мікроскоп поверхня зразка

(див. рис 1.1).

Рисунок 1.1 - Схема спостереження доменної структури порошковим

методом.

При готуванні феромагнітних зразків, використовуваних для

спостереження доменів, варто враховувати два моменти. По-перше,

доменна структура може значно змінюватися залежно від форми зразка й

особливо залежно від кристалографічної орієнтації розглянутої площини.

По-друге, сильний вплив на доменну структуру робить деформація

поверхні. Маючи на увазі перше зауваження, для спостереження чіткої

доменної структури бажано використовувати по можливості або

полікристалі з максимально більшими кристалічними зернами, або

монокристалу.

Електролітично відполірований зразок поміщають над магнітом,

наносять на нього зверху за допомогою піпетки одну-дві краплі суспензії

й, наклавши зверху покривне скло, вивчають зразок під мікроскопом (рис.

9

1.1). Частки суспензії притягаються до границь між доменами, образуя тут

чорні лінії.

В описаній вище методиці використовувався оптичний мікроскоп,

тому збільшення не могло бути дуже більшим.

2. Магнітооптичний метод

Магнітооптичний метод спостереження доменів за допомогою

магнітооптичних ефектів Керра або Фарадея не вимагає використання

проміжного середовища типу суспензії, тому він зручний для дослідження

доменів при різних температурах.

Ефект Фарадея (M. Faraday, 1845р.) укладуться в обертанні площини

поляризації світла, що поширюється в речовині уздовж постійного

магнітного поля, у якому це переломлення для ліво- і для право

поляризованого світла при наявності магнітного поля будуть різні, що й

викликає обертання площини поляризації й поява еліптичності лінійно

поляризованого світла.

3. Метод електронної мікроскопії

Одним з ефективних способів спостереження доменної структури є

метод лорентцевскої просвітчастої електронної мікроскопії (ЛПЭМ).

Схема спостереження зображена на рис. 1.2.

10

Рисунок 1.2 - Принцип спостереження магнітної структури за допомогою

ЛПЭМ.

Електрони, що випускаються джерелом у просвітчастому електронному

мікроскопі (ПЭМ), прискорюються до потрібної енергії (звичайно 100-300

кэВ, швидкість 164000 км/с, довжина хвилі 0.0388 o

A ) і проходячи через

магнітну тонку плівку випробовують вплив сили Лоренца,

MVeF eL

rrr×−= 0μ . Зміна напрямку вектора намагніченості M

r приводить до

зміни напрямку сили Лоренца. Як ілюструється на рисунку 1.2, електрони,

що проходять через плівку в сусідніх магнітних доменах, відхиляються в

різні сторони, що приводить або до згущення, або до ослаблення

інтенсивності на екрані.

Цей простий принцип і лежить в основі ЛПЭМ. Недолік

лорентцовскої мікроскопії полягає в тому, що досліджувані зразки повинні

мати невелику товщину, оскільки описаний метод застосуємо тільки до

зразків, крізь які може проходити електронний пучок.

4. Метод растрової електронної мікроскопії

Для спостереження за допомогою електронного мікроскопа

доменів на поверхні товстого зразка, крізь який не проходить електронний

11

пучок, застосовують метод растрової електронної мікроскопії. Його суть

полягає в наступному. Електронний пучок сканує поверхня зразка, і на

екрані електронопроміневої трубки відтворюється зображення, яскравість

якого пропорційна інтенсивності електронного пучка, що відбився від

поверхні. Перевага такого методу полягає в тім, що він дає можливість

одержувати об'ємні зображення навіть для зразків із сильно шорсткуватою

поверхнею.

5. Метод скануючої зондової мікроскопії.

Магнітно-силова мікроскопія

Магнітно-силовий мікроскоп (МСМ) був винайдений И.Мартіном і

К.Викрамасингхом в 1987 р. для дослідження локальних магнітних

властивостей зразків. Даний прилад являє собою атомно-силовий

мікроскоп, у якого зонд покритий шаром феромагнітного матеріалу з

намагніченістю )(rM rr

.

Рисунок 1.3 - Зонд МСМ у магнітному полі зразка.

1.3 Теоретичне моделювання та прогнозування властивостей

наноматеріалів.

Магнітно-м'які матеріали крім їхнього класичного застосування в

трансформаторах, перетворювачах і магнітному екрануванні стали

важливим необхідним компонентом для датчиків, що використовуються

для голівок магнітних пристроїв і останніх розробок в області

12

нанокристалличних високопроницаемих і високоэрцитивных матеріалів. У

всіх цих випадках процеси намагнічування, які ведуть до реверсії

намагнічування, становлять основний інтерес. Характерні параметри петлі

гістерезису у вигляді коерцитивного поля, залишкової намагніченісті і

форми петлі гістерезису, залежать від параметрів магнітного матеріалу, від

мікроструктури, а також від форми й розмірів зразка. За допомогою

рішення в явному виді мікромагнітних рівнянь можна вирішити тільки

невелике коло проблем. Широко відомими прикладами є границі області в

нескінченному просторі, закон підходу до феромагнітної насиченості й

поля дрібних одиночних часток, у яких утворяться ядра.Що стосується

тонких плівок або безлічей нанокристалличних зерен, то рішення в явному

виді мікромагнітних рівнянь відсутні. Крім того, дотепер границі області

не можуть бути виведені, як рішення мікромагнітних рівнянь. Всі

підрахунки, виконані дотепер, починаються з емпіричного підходу, де

геометрія границь області обрана таким чином, що розташування областей

гарантує низькі або навіть зникаючі поля розсіювання, тобто об'ємні

заряди (-) div Js і поверхневі заряди, σ = n • Js зведені до мінімуму (Js =

спонтанна поляризація, а n = нормаль до поверхні). Справжня процедура

стає сумнівної, коли ми розглядаємо питання, що стосується дрібних

часток або тонких плівок, де може існувати ряд метастабільних

конфігурацій області, утворення яких залежить від попередньої магнітної

обробки, такий, наприклад, як тип циклів намагнічування. Дійсно, останні

дослідження конфігурацій намагнічування в тонких пластинках і дрібних

частках показали, що, загалом, всі типи магнітної енергії, такі, наприклад,

як енергія взаімообміна, магнитокристаллична енергія, біполярна енергія й

магнитостатична енергія є що збуджуються, що не дозволяє одержати

строге рішення мікромагнітних рівнянь .

У цей час нелінійні мікромагнітні рівняння можна вирішити за

допомогою наявних у наявності широких комп'ютерних можливостей.

Метод кінцевих елементів був визначений, як досить ефективний метод.

13

Метод кінцевих елементів дозволяє обчислити основні магнітні стани й

криві намагнічування дрібних часток і систем часток, як безлічей зерен.

Ціль полягає в поданні деяких результатів, отриманих на спин

конфігураціях у тонких пластинках, і результатів внутрішніх процесів

намагнічування під впливом зовнішнього магнітного поля. Ці розрахунки

дозволяють обчислити внутрішні коерцитивні поля, які визначаються

винятково границями області й формою зразка. І, навпаки, у матеріалах з

дефектними структурами закріплення границь області визначає

коэрцитивність. Для обчислення коерцитивних полів у цих двох випадках

повинні застосовуватися абсолютно різні методи. Систематичне

дослідження процесів намагнічування у феромагнітних матеріалах, як

правило, починається з рішення мікромагнітних рівнянь, які для статичних

або квазистатических завдань задаються загасаючим механічним

моментом, що впливає на спонтанну поляризацію Js

[Jsx Нэфф] = 0 (1)

а для динамічних завдань задаються рівнянням Гильберта [10]

[ ] [ ]sss

effss JJ

JHJ

dtJd rrrrr

×−×=αγ (2)

де γ відповідає гіромагнітному відношенню, а α позначає коефіцієнт

загасання. Діюче поле эффНr , визначається по зміні магнітної вільної

энтальпії, g, стосовно поляризації

Sэфф JgНrr

δδ /−= (3)

Динамічні явища стають важливими при високих частотах зовнішнього

поля, якщо ці частоти порівнянні із частотою прецесії w = γ• Р эфф. Що

стосується запису з високою щільністю, то при записуванні й читанні

14

варто враховувати рішення рівняння (2). Рівняння (1) звичайно треба з

мінімізації загальної вільної энтальпії при обмеженні у вигляді |JS| = JS =

обмеження.

У м'яких магнітних матеріалах спин-розташування головним чином

визначається по енергії поля розсіювання, оскільки в магнитотвердих

матеріалах домінуючої є енергія анизотропності. Що стосується магнітно-

м'яких матеріалів, те цифрова обробка поля розсіювання Нрасс – це

вирішальний момент.

Становить інтерес порівняння таких параметрів для магнітно-м'яких і

магнитотвердих матеріалів, таких як пермаллой (Ni80Fe20) і Nd2Fe14B .Що

стосується пермаллоя, те мінімальна критична довжина – це l = 5,7 нм

тоді, як для Nd2Fe14B мінімальна критична довжина - це lк = 1,3 нм.

Оскільки у великих зонах даного зразка можна виявити більш-менш

однорідне розташування JS, те в цьому випадку довжини сітки не повинні

бути менш l. Однак, у зонах різкої зміни напрямку JS менші довжини сітки

повинні вводитися шляхом так званого додаткового стоншення сітки. Це

можна зробити або шляхом розподілу чотирикутника навпіл за рахунок

введення нових вузлових крапок на кутах чотирикутника, або шляхом

переміщення вузлових крапок у напрямку до зон з більше високими

градієнтами намагнічування. Іноді обоє ці способу поєднують для того,

щоб досягти оптимальної мінімізації G.

15

2. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МІКРОМАГНЕТИЗМУ

Мікро магнетизм -це класична феноменологична макроскопічна

теорія. Вона не претендує на пояснення природи спонтанної

намагніченості, магнітної анізотропії, магнітострикції й інших ефектів,

властивих з речовинам; таке пояснення можливо, звичайно, тільки на

мікроскопічному рівні. Взаємодії, який визначаються ці ефекти, у теорії

мікромагнетизму постулюється й ураховуються відповідним чином

записаними вираженнями для енергії або вільної енергії або інших

термодинамічних функцій. Але, з іншої сторони мікромагнетизм має

справа з параметрами речовини, усередненими по ”більшим” об'ємах, і

навіть не з доменами й стінками, наявність яких постулюється.Ця теорія

ставить своїм завданням знайти дійсні залежності цієї намагніченості від

координат і часу. Таким чином, структура доменів і стінок і їхньої зміни в

часі, включаючи гістерезисні явища й швидкоперемінні процеси, повинні

з'явитися результатом теорії мікромагнетизму. Явище магнітного

резонансу в з речовинах, як однорідного , так і неоднорідного , і спінові

хвилі в класичній межі ka<<1(де k-хвильове число, a-постійна решітка)

перебувають у рамках цієї теорії Мікромагнетизм це континуальна теорія

для обробки процесів намагнічування у феромагнітних матеріалах.

Мікромагнетизм описує процеси намагнічування для значних рівнів

довжин, які досить великі, щоб замінити атомні спіни безперервним

вектором намагніченості та досить малих розмірів, щоб визначити перехід

між різними доменами. Вектор намагніченості Mr

є магнітним моментом

одиниці об'єму. У рамках мікромагнетизму магнітний момент

представляється як класичний вектор.

Теорія мікромагнетизму починається з повної вільної енергії. Ефект

змагання внесків в енергію при мінімізації визначає рівноважний розподіл

намагніченості. Мінімізація феромагнітної обмінної енергії вирівнює

магнітні моменти паралельно друг до друга, а мінімізація

16

магнитостатичної -приводить до існування магнітних доменів. Енергія

кристалічної магнітної анізотропії описує взаємодію намагніченості із

кристалічною граткою. Її мінімізація орієнтує намагніченість переважно

уздовж певних кристалографічних напрямків. Мінімізація Зеємановської

енергії намагніченості в зовнішнім полі повертає намагніченість

паралельно до прикладеного поля.В мікромагнетизмі, як правило,

приймаються в увагу наступні шість правил:

1.Обмінна енергія, названа так через її походження від елементарних

взаємодій, відповідальних за феромагнетизм. У наближенні

мікромагнетизму вона може бути представлена у вигляді позитивно певної

квадратичної форми часток похідних від компонентів намагніченості по

просторовим змінним. Вона визначає “твердість” вектора намагніченості

стосовно різких просторових змін.

2.Енергія анізотропії, що описує взаімодія між анізотропною

решіткою й намагніченістю.Орієнтація намагніченості, обумовлені

елементарними спин-орбітальними взаимодія, у різних кристалографічних

напрямках енергетично не рівноцінні. Енергія анізотропії звичайно

розкладається по сферичних функціях, і залежно від симетрії кристала

члени об’єднуються тим або іншому способу.

3. Енергія полів розсіювання, з огляду на той факт , що “магніт”може

створювати магнітні поля. Намагніченість і магнітне поле разом

визначають магнітну індукцію В=Н+4, для якої справедливе рівняння

Максвела .

4. У зовнішнім магнітному полі намагніченість володіє

магнитостатичною енергією.У багатьох випадках необхідно також

ураховувати енергію зв'язку намагніченості з механічними

перекручуваннями решітки.

5. Енергію магнитострикционных напруг Еms, 6. Енергію взаємодії намагніченості з напругами

немагнітного походження.

17

2.1 Основні мікромагнітні рівняння

Рівняння Эйлера-Лагранжа

0=+∂∂

− mmdt

dm

r&rr λω

δδω (1)

0)(

=⋅∇∂∂

+∂∂ n

mmr

rrrωε

(2)

можна використовувати для опису руху будь-якої мікромагнітної системи,

тому що при їхньому висновку використовувалися найбільш загальні

варіаційні принципи (принцип Гамильтона).

З рівнянь (1) і (2) можна одержати рівняння, що описують стани статичної

рівноваги в магнітних системах, без явного завдання функціональних

залежностей Лагранжевых шільностей ω і ε . У цьому випадку об'ємна

щільність кінетичної енергії T дорівнює нулю й похідні намагніченості m&r

за часом теж дорівнюють нулю (магнітні моменти mr всіх розглянутих

атомів спочивають). Тоді енергія магнітної системи буде складатися з

потенційної енергії, що зручно представити у вигляді

∫ ∫+=V S

rdrwdE rr ε (3)

У стані рівноваги енергія (3) повинна бути мінімальної, тобто 0=Eδ .

Множачи векторно (1) на ×mr одержуємо

0=×mwm r

r

δδ (4)

Якщо ввести наступну величину (у системі СИ) пропорційну варіаційної

похідної від об'ємної щільності енергії w по намагніченості mr й

розмірність, що має, магнітного поля [ ]A/м

mw

MH

s

efr

r

δδ

μ0

1−= (5)

яка називається ефективним полем, то рівняння, що описує розподіл

намагніченості в об'ємі тіла в стані статичної рівноваги має вигляд

0=× efHMrr

(6)

18

Вираження (6) у теорії мікромагнетизму зветься рівняння Брауна й описує

рівноважний розподіл поля намагніченості )(rM rr усередині тел.

Гіромагнітне рівняння, що описує рух намагніченості ),( trM rr у твердому

тілі має вигляд

efHMt

M rrr

×−=∂∂

0γ (7)

Варто помітити, що величина й напрямок ефективного поля efHr

залежить

від напрямку вектора намагніченості Mr

в кожній крапці розглянутої

магнітної системи. Тому вектори намагніченості прецессирують навколо

миттєвого напрямку поля efHr

, що змінюється в кожний момент часу t .

Рівняння Ландау-Лівшиця.

Для того щоб за допомогою рівняння (7) описати перехід магнітної

системи в стан термодинамічної рівноваги (стан з мінімумом сповненої

енергії min=E ) необхідно ввести в (7) диссипативный член

відповідальний за загасання прецесії вектора намагніченості Mr

навколо

напрямку ефективного поля efHr

. Якщо у вираження для поля efHr

ввести

доданок виду

tM

M s ∂∂

−r

0γα (8)

яке б орієнтувало вектор намагніченості Mr

в напрямку efHr

, то рівняння

(13.9) трансформується в наступне

tMM

MHM

tM

s

ef

∂∂

×+×−=∂∂

rrrr

rαγ 0 (9)

Коефіцієнт α в (8) і (9) зветься константи загасання. Рівняння (9) зветься

рівняння Ландау-Лівшиця з диссипативным членом у формі Гильберта

(або рівняння Ландау-Лівшиця-Гильберта) і описує загасаючі

19

прецессионные коливання векторів намагніченості )(rM rr навколо

напрямку ефективного поля )(rH ef rr.

Множачи векторно (9) на ×Mr

можна одержати еквівалентну форму

рівняння, що і була спочатку отримана Ландау й Лівшицем.

tMMHMM

tMM s

ef

∂∂

−××−=∂∂

×r

rrrr

rαγ )(0 (10)

Вираження для ефективного поля efHr

.

По визначенню ефективне поле efHr

являє собою варіаційну похідну від

сповненої енергії w по намагніченості mr

mw

MH

s

efr

r

δδ

μ0

1−= (11)

Енергія (об'ємна щільність) w ферромагнетика є сумою наступних

доданків: енергії обмінної взаємодії excw , енергії кристалографічної

анізотропії aw , магнитостатичної енергії mw й енергії ферромагнетика в

зовнішнім полі Hw .

Hmaexc wwwww +++= (12)

Тому ефективне поле efHr

також може бути записане як сума доданків:

ефективного поля обмінної взаємодії efexcHr

, ефективного поля

кристалографічної анізотропії efaHr

, ефективного магнитостатического поля efmHr

, ефективного зовнішнього поля efHHr

.

efH

efm

efa

efexc

Hmaexc

s

ef HHHHm

wmw

mw

mw

MH

rrrrrrrr

r+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

δδ

δδ

δδ

δδ

μ0

1 (13)

2.2 Ефективне магнітне поле і його складове

20

Об'ємна щільність енергії обмінної взаємодії excw залежить від

просторових похідні намагніченості mrr∇ в такий спосіб:

Запишемо варіаційну похідну енергії обмінної взаємодії excw по

намагніченості mr

)( mw

mw

mw excexcexc

rrr

rr∇∂∂

∇−∂∂

=δδ

або по компонентах декартовим компонентам

mMAH

s

efexc

rrΔ=

0

2μ

(14.4)

Ефективне зовнішнє поле efHHr

Об'ємна щільність енергії зовнішнього поля Hw дорівнює

)(00ezz

eyy

exx

es

esH hmhmhmHMHMw ++−=−= μμrr

де exh , e

yh , ezh – напрямні косинуси зовнішнього поля eH

r.

Тоді

ex

es

x

H

x

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=

ey

es

y

H

y

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=

ez

es

z

H

z

H hHMmw

mw

0μδδ

−=∂∂

=

Остаточно ex

ex

eefxH HhHH ==

ey

ey

eefyH HhHH ==

ez

ez

eefzH HhHH ==

Таким чином, напруженість ефективного зовнішнього поля efHHr

дорівнює eH

r.

Ефективне магнитостатичне поле efmHr

21

Об'ємна щільність магнитостатичної енергії mw (енергії намагніченості sMr

у власному полі mHr

) визначається вираженням

)(200

mzz

myy

mxxs

msm hmhmhmMHMw ++−=−= μμrr

Підбиваючи підсумок всьому вищесказаному, ефективне поле efHr

можна

записати в наступному виді

mw

MHHm

MAH a

s

em

s

efr

rrrr

∂∂

−++Δ=00

12μμ

Визначивши в явному виді ефективне поле можна безпосередньо

приступати до рішення рівняння Ландау-Лівшиця.

Уведемо для зручності чисельних і аналітичних розрахунків наступні

безрозмірні величини:

– намагніченість sMMm /rr

= ;

– магнітне поле sMHh /rr

= ;

– об'ємна щільність енергії 20/ sMw μω = ;

– час sMt 0γτ = .

У цьому випадку рівняння Ландау-Лівшиця й вхідні в нього параметри

приймають наступний вид

– рівняння Ландау-Лівшиця τ

ατ ∂

∂×+×−=

∂∂ mmhmm ef

rrrr

r

)()1( 2 efef hmmhmtm rrrrrr

××−×−=∂∂

+ αα

– ефективне поле m

h efr

r

δδω

−=

– обмінна енергія 22

)(2

mexcrr

∇Λ

=ω

– енергія анізотропії ])(1[2

2kmQa

rr⋅−=ω

– магнитостатическая енергія mm hmrr

⋅−=21ω

22

– енергія зовнішнього поля eH hm

rr⋅−=ω

Тут 20

2

sMA

μ=Λ – довжина обмінної взаємодії, 2

0

2

sMKQ

μ= – магнітна

твердість матеріалу.

Далі трансформуємо векторне рівняння Ландау-Лівшиця в систему рівнянь

для компонентів намагніченості im . У кожній крапці rr досліджуваного

тіла, напрямок вектора намагніченості mr в сферичній системі координат

може бути задане за допомогою двох кутів: азимутального кута ϕ й

полярного кута θ .

ρϕϕθθρρ eemememm rrrrr=++=

Тоді похідна τdmd /r запишеться як

ϕθ τϕθ

τθ

τe

dde

dd

dmd rrr

sin+=

З огляду на раніше уведені позначення, полярний efhθr

і азимутальний efhϕr

компоненти ефективного поля рівні

θω

θ ∂∂

−=efh і ϕω

θϕ ∂∂

−=sin

1efh

Підставляючи вираження для похідних кутів за часом спочатку в перше

рівняння, а потім у друге, будемо мати

ϕω

θθωαα

τθα ϕθ ∂

∂−

∂∂

−=+=+sin

1)1( 2 efef hhdd

ϕω

θα

θω

θα

θτϕα ϕθ ∂

∂−

∂∂

=+−=+ 22

sinsin1)(

sin1)1( efef hh

dd

Якщо розглядається плоска ( 2/πθ = ) мікромагнітне завдання, то остання

система зв'язних диференціальних рівнянь перетвориться в одне рівняння

виду

ϕω

αα

τϕ

∂∂

+−= 21d

d

23

Використовуючи поняття обертаючого моменту L , що діє на

намагніченість mr із боку ефективного поля efhr

efhmLrr

×=∂∂

−=ϕω

рівняння руху приймає вид

Ldd

21 αα

τϕ

+=

24

3. РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ

Як об'єкт досліджуваного матеріалу розглядаємо частку пермалою

розмірами 400200× нм із наступним значенням константи

мДжА /1012 12−⋅=

мАМ S /1079.0 6⋅=

Кu=0

Чисельний експеримент проводився по наступних етапах:

1. Розрахунок початкових магнітних станів досліджуваних часток.

2. Розрахунок криві намагнічування для різних початкових магнітних

станів.

3. Розрахунок петель гістерезису в постійних полях для двох різних

орієнтацією напрямку різного поля:

а) поле прикладене уздовж довгої сторони х Н ║ і уздовж короткої

сторони Н⊥

Рисунок 3.1 Схематичне зображення частки пермалоя (Fe20Ni80)

розмірами сва 222 ××

25

Моделювання магнітних властивостей даних наночасток проводили за

допомогою програми ООММF.(Object Oriented Micro Magnetic Framework)

3.1 Розрахунки розподілу спонтанної намагніченості )(rM srr

в зразку

Fe20Ni80 розмірами 400200× нм для різних значень зовнішнього поля eHr

Одержання початкових станів.

Досліджувана часточка розбивається сіткою кінцевих різницев на ячейки

розмірами 22× нм; у кожний з ячеєк початковий момент часу t=0

задавалась деяка орієнтація вектора намагнічування, у такий спосіб щоб

середнє значення намагнасті частки рівнялося нулю. За допомогою

рішення рівняння Ландау Лифшица шляхом його чисельного інтегрування

розраховуємо магнітний стан, що характеризується мінімумом повної

вільної енергії. В наночастках пермолою із зазначеними розмірами,

можуть існувать три різни типи розподілу спонтанної намагніченості в

рівноважному стані.

Структура Повна енергія і її складові

1.Landau

ω tot=14208.3 Дж/м3

ω exc=6468.76 Дж/м3

ω m=7739.54 Дж/м3

Mx/Ms=0

My/Ms=0

Mz/Ms=0

2.Diamond

ω tot=15972.4 Дж/м3

ω exc=10179.8 Дж/м3

ω m=5792.58 Дж/м3

Mx/Ms=0

My/Ms=0

Mz/Ms=-0

26

3.Cross-tie

ω tot=17122.7 Дж/м3

ω exc=10941.1 Дж/м3

ω m=6181.65 Дж/м3

Mx/Ms=0

My/Ms=0

Mz/Ms=-0.00878859

Як можна бачити з таблиці даний стан трохи різний по величині вільної

енергії ωtot.

Однак характерною рисою розрахунку станів є те, що середнє значення

вектора намагнічування частки дорівнює нулю. Найбільше часто буде

реалізовуватися магнітна структура типу 1 оскільки вона має меншу

енергію, структура 2-3 буде метастабільними станами.

3.2 Криві намагнічування та петлі гістерезису для наночастинки пермолою. Надалі ми розраховуємо криву намагніченості, де в якості

вихідного початкового стану застосовуємо зазначений вище розподіл.

Зміна намагніченості частки у фазовому стані показана на рисунку 2.2.

Початковий розподіл намагніченості можна одержати двома способами:

нагріванням феромагнетику вище температури Кюрі CT або

перемагнічуванням його в зовнішньому змінному магнітному полі з

убивающей амплітудою. Ми скористалися першим способом. Суть полягає

в наступному: тому що вище температури Кюрі CT магнітні моменти всіх

атомів феромагнетику хаотично разорієнтовані, то, задаючи в кожному з

ячеек кінцево-різницевої сітки випадкову орієнтацію вектора спонтанної

намагніченості sMr

, можна домогтися повної разорієнтації магнітних

моментів.

При температурі набагато нижче температури Кюрі (спонтанно)

відбувається формування магнітної структури наночасток. Так обмінна

27

взаємодія буде прагнути орієнтувати магнітні моменти в об'ємах нанозерен

в одному напрямку, що буде задаватися дальнодіючою магнітостатичною

взаємодією. Отже, для знаходження початкового розподілу у відсутності

зовнішнього поля необхідно зробити чисельну мінімізацію вільної енергії

феромагнетику, взявши як початкову умову хаотичну разорієнтацію

магнітних моментів.

Рисунок 3.2 – Крива намагнічування наночастки Fe20Ni80 для різних

типів почасткового розподілу векторів SМr

в розмагніченому стані.

Як можна помітити з рисунка, відмінною рисою конфігурації векторів

намагніченості нанокомпозиту є те, що середнє значення Mr

по об'єму

наночастиц = 0. Для розрахунку кривої намагнічування ми варіювали

величину поля eHr

від 0 до 100 мТл кроком 5 мТл. Для кожного значення

поля еНrзнаходили рівноважний розподіл намагніченості та будували

середні значення компоненти намагніченості, паралельної напрямку eHr

,

28

залежно від його величини. З рисунка 2.2 слідує, що при величині

зовнішнього поля, рівної 30 мТл, відбувається повний поворот векторів

намагніченості по напрямку прикладеного поля, тобто матеріал

намагнічується до насичення. Подальше збільшення поля не робить

ніякого орієнтаційного впливу на намагніченість. Як помітно з рисунка 2.2

процес намагнічування відбувається найбільше легко, якщо на початку в

частці була реалізована магнітна структура типу Diamond. Дві інші криві

намагнічування 1-3 практично совподают між собою й процес

намагнічування часток з такою початковою магнітною структурою

відбувається повільніше в порівнянні зі структурою типу Diamond.

Застосовуючи методики кінцевих елементів для рішення рівнянь

мікромагнітної рівноваги, включаючи параметри, що залежать від часу,

для дрібних пластинок визначаються межі намагнічування, а також

процеси намагнічування Що стосується пермалою, те мінімальна критична

довжина – це l = 5,7 нм. Оскільки у великих зонах даного зразка можна

виявити більш-менш однорідне розташування JS, те в цьому випадку

довжини сітки не повинні бути менш l. Однак, у зонах різкої зміни

напрямку JS менші довжини сітки повинні вводитися шляхом так званого

додаткового стоншення сітки. Це можна зробити або шляхом розподілу

чотирикутника навпіл за рахунок введення нових вузлових крапок на кутах

чотирикутника, або шляхом переміщення вузлових крапок у напрямку до

зон з більше високими градієнтами намагнічування. Іноді обоє ці способу

поєднують для того, щоб досягти оптимальної мінімізації G. Як ми бачимо

з рисунка процес намагнічування структури типу Diamond відбувається в

такий спосіб в інтервалі зовнішніх магнітних полів від 0 до 16 mT

відбувається рух вихрів у різних напрямках

29

( рис. Н=0mT і Н=16mT), при цьому відбувається збільшення об'єму

облостей у яких намагніченість ориентуеться уздовж напрямку

зовнішнього поля. При подальшому збільшенні зовнішнього поля Н

відбувається зникнення вихрових структур на бічних поверхнях частки й

намагніченість ориентуеться уздовж напрямку поля за винятком невеликих

облостей у яких має місце невелике відхилення від напрямку поля Н е .

При цьому таке перебудування магнітної структури частки приводить

до різкого збільшення ( стрибкоподібних) середнього значення М/Мs від

0,5 до 0,9.

Існування таких облостей Н=18mT обумовлюеться впливом

розмагніченого поля. Подальший процес намагнічування являє собою

поворот векторів намагніченості в цих облостях у напрямку намагніченого

поля. У двох інших випадках процес намагнічування відбувається

наступним оброзом: у структурі 1 Landau відбувається рух вихря в

напрямку перпендикулярно напрямку зовнішнього поля

(Н=26 Н=0) при більше Н=28 ( С-структура) вихор зникає і

утворюється структура подібна вище описаної.

30

Структура, яка чим то нагадує букву С при подальшому збільшенні

поля, відбувається доворот векторів Мs біля поверхні, частка приходить у

стан насичення.

Відмінність поводження структури три типу Cross-tie відризняеться

двома вихрами в якіх напрямок обертання векторів поля однаков ( тобто за

годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки)

У процесі намагнічування спочатку відбувається невеликий зсув цих

вихрів перпендикулярно напрямку зовнішньому полю потім вихри

зливаються в один. Процес відбувається подібно процесу структури типу

Ландау

Якщо мова йде про стани високої залишкової намагніченості, то ми

маємо справу з так званими С- або S-станами. В обох випадках на передніх

сторонах пластинки утворяться так звані квазиобласти в зоні шириною l,

аналогічні замикаючим областям у макрозразках. Структура типу С

формується в тому випадку, якщо ми починаємо зі стану, симетричного

стосовно осі поздовжньої симетрії пластинки, а стан S формується при

31

порушенні симетрії шляхом незначного повороту намагнічування стосовно

осі симетрії. Цікаво відзначити, що обоє стану мають приблизно однакову

енергію, що головним чином генерується енергією поля розсіювання .

Структури з низькою залишковою намагніченістю виводяться на

підставі широковідомої моделі Ландау. Очевидно, що структура Ландау із

границею області є енергетично найбільш підходящою конфігурацією. Що

стосується всіх структур, то енергія поля розсіювання є домінуючою

умовою. Різні конфігурації з низькою залишковою намагніченістю

виходять шляхом відповідної зміни основної вихідної конфігурації, що

складається із двох областей . Цікавим фактом цих результатів є те, що

можуть існувати різні метастабільні спин-конфігурації даної геометрії в

тому випадку, якщо перехід між цими конфігураціями явно неможливий

через наявність потужних енергетичних бар'єрів. У реально існуючому

матеріалі з дефектами, можливо, центри утворення ядра місцями знижують

ці енергетичні бар'єри й тому ставати можливим підійти до конфігурації

мінімальної глобальної енергії, що у представленому випадку, уважається

структурою Ландау із границями області. Починаючи з магнітного поля

+50 мТ і поступово знижуючи його на 1мТ у противоположенном

напрямку до 50 мТ, ми спостерігаємо реверсивне обертання JS на передніх

сторонах пластинки. На протилежному полі 16 мт намагнічування в центрі

пластинки повертається реверсивно в напрямку зовнішнього поля, тоді як

намагнічування на довгих крайках все-таки нагадує конфігурацію стану

залишкової намагніченості.

Як видно якщо значення поля дорівнює 50 мт, те намагнічування

буде повністю перетворено в структуру, що має форму S.

Відповідна петля гістерезису зображена на рисунку 2.3, де ми

бачимо потужний стрибок намагнічування при намагнічуванні центральної

частини конфігурації типу S при 30 мт реверсивно в протилежному

напрямку. Оскільки магнітне поле злегка нахилене для того, щоб

стабілізувати конфігурацію типу S, те спостерігається невелика різниця

32

між ділянками спаду й наростання петлі гістерезису, тому що орієнтація

магнітного поля стосовно квази-областей на передніх сторонах

відрізняється для обох ділянок

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

μ0H, mT

M/Ms

Рисунок 3.3. Криві перемагнічування наночастки пермалоя Fe20Ni80

для двох різних напрямках зовнішнього поля.

Для одержання петлі магнітного гістерезису мі зменшували величину

напруженості зовнішнього поля в протилежному напрямку й виконували

такі ж обчислення, як і для кривої намагнічування нанокомпозиційного

матеріалу. При цьому в нас відбувається зміна напрямку намагніченості на

протилежний. Далі представлені зміни магнітної структури частки в

процесі її перемагнічування.

На початку при перемагнічуванні відбувається збільшення облості з

неоднорідною намагніченістю поблизу кутів наночастки.

33

Далі ці облості в намагнічуванні збільшуються в об'ємі Н=8.

Потім об’єднуються, чотири облості претворюються у дві (Н=6)

при подальшому збільшенні поля ці облості ростуть (Н=30Н=38) У стані з

М=0 коорцитивною силою поля частка розбита на чотири облості дві з

яких симетричны дві не симетричны .

У цьому стані середнє значення намагнічування рано 0., а величина

зовнішнього поля зветься коорцитивною силою, відбувається поворот

векторів намагнічування.

34

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Кекало И.Б,Самарин Б.А. “Физическое материалознавство

прицинзионных сплавов с особенными магнитними свойствами”- М.:

Мир, 1989.- 495 с.

2. Вонсовский С. В. Магнетизм. Магнитные особенности диа-, пари-,

ферро-, антиферро-, ферримагнетиков. - М: Наука, 1971.-1032 с.

3. Преображенський А.А. Теория магнетизму, магнитные материали

и элементы.- М.: Выщая школа, 1972.- 288 с.

4. Мишин Д.Д. Магнитные материали. - М.: Выщая школа, 1991. -

384 с.

5. Тикадзуми С. Физика феромагнетизма. II том. - М.: Мир, 1985. -

420 с.

6. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений.- М.: МГУ,1976.-367 с.

7. Гусев А.И. “Нанокристалические материалы: методы получения и

свойства”,-Екатеренбург:1998г.,199с.

8. Макаров В.А., Арщелиевский М.А., Балдохин Ю.В. “Структура,

фазовый состав и свойства нанокристаллических магнитних

сплавов.”Мусебауєровское, электронно-микроскопическое и

магнитное исследование.-ФММ:1991г.№9,39-149с.

9. Кекало И.Б.”Нанокристаллические магнито-мягкие материалы” Курс

лекций.-Москва 2000г.226с

10. Киттель Ч.Физическая теория ферромагнитных облостей

самопроизвольной намагниченности // Сб. ст. Физика

ферромагнитных облостей под ред.Вонсовского С.В.-М.: Изд-во

ин.лит-ры, 1951.-324с.

11. Киттель Ч. Физическая теория ферромагнитных областей

самопроизвольной намагниченности // Сб. ст. Физика

35

ферромагнитных областей под ред. Вонсовского С.В. – М.: Изд-во

ин. лит-ры, 1951. – 324 с.

12. Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. М.-Л.,

Госэнергоиздат, 1962.

13. Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма./ Магнитные характеристики

и практические применения/ - М.: Мир, 1987. – 420 с.

14. Преображенский А.А., Бишард Е.Г. Магнитные материалы и

элементы. - М.: Высш. школа, 1986. – 351 с.

15. Чечерников В.И. Магнитные измерения. – М.: МГУ, 1963. – 286 с.

16. Кринчик Г.С.Физика магнитных явлений. – М.: МГУ, 1976. – 367 с.

17. Киренский А.В. Магнетизм.– М.: Акад. Наук СССР, 1963. – 142 с.

18. Вонсовский С. В. Природа магнетизма. – М.: Знание, 1964. – 40 с.

19. Hubert A., Schäfer R. Magnetic domains. The analysis of magnetic

microstructures. – Berlin.: Springer, 1998. – 696 c.

20. Вильямс Х., Бозорт Р., Шокли В. – В кн.: Физика ферромагнитных

областей. – М.: ИИЛ, 1951. – с.19-116

Міністерство освіти і науки України

Запорізький національний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

РОЗРАХУНОК ВИКРИВЛЕНИХ МІЖДОМЕННИХ

СТІНОК БЛОХА В АМОРФНИХ МАТЕРІАЛАХ З

ЛІНІЙНОЮ АНІЗОТРОПІЄЮ

2006

2

АНОТАЦІЯ

Проводився розрахунок параметрів блохівської границі заданої форми

в аморфних плівках, з великою константою магнітострикції, типу Metglass.

Метою дипломної роботи є отримання рівнянь в теорії

мікромагнетизму, що описують просторовий розподіл спонтанної

намагніченості sMr

усередині стінок Блоха заданої форми, а також енергії ε і

ширини δ цих границь в аморфних плівках з великою константою

магнітострикції sλ та їх розв’язок чисельними методами. Порівняння

результатів розрахунку досліджуваних параметрів міждоменних стінок у

випадку плоскої стінки Блоха та стінки довільної форми.

МАГНІТНИЙ ДОМЕН, МІЖДОМЕННА СТІНКА БЛОХА,

НАВЕДЕНА АНІЗОТРОПІЯ, МАГНІТОСТАТИЧНА ЕНЕРГІЯ,

МАГНІТОСТРИКЦІЯ, СПОНТАННА НАМАГНІЧЕНІСТЬ

3

ВСТУП

Структура плоских o180 - них міждоменних стінок Блоха вперше була

розглянута в роботі Ландау Л.Д. і Лівшиця Е.М. [1], яка містить аналітичний

розрахунок розподілу намагніченості sMr

таких границь і їх енергії.

Однак в сучасних аморфних матеріалах спостерігається доменна

структура з викривленими доменними границями, підтвердженням чого є

робота Schäfera R. [2]. Доменна структура такого типу є наслідком дії

внутрішніх розтягуючих і стискаючих напруг. Намагніченість sMr

при цьому

орієнтується вздовж локальних осей легкого намагнічування, які

співпадають з напрямом внутрішніх механічних напружень.

Оскільки процеси намагнічування і перемагнічування багатодоменних

зразків здійснюються шляхом зсуву доменних границь і повороту векторів

намагніченості sMr

, то структура доменних границь буде впливати на

процеси зсуву.

У зв'язку із цим насамперед необхідно детальне дослідження

властивостей доменних границь і визначення їхньої структури, тобто

розрахунок розподілу намагніченості sMr

, ширини δ і енергії ε .

4

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

1.1 Доменна структура. Причини появи та її вплив на процеси

намагнічування

У наш час існує велика кількість наукових робіт, що розглядають

фізичні причини утворення доменної структури (див. посилання [3,4,5,6]).

Перша кількісна теорія, що дозволяє довести існування доменів і описати їхні

розміри та форму, була розроблена в 1935 році в класичній роботі Л.Д.

Ландау і Є.М. Лівшиця. Вони показали, що існування окремих елементарних

областей, намагнічених у протилежних напрямках, зобов'язано винятково,

ефекту розмагнічування поверхні, а число та розміри цих областей повністю

визначаються розмірами тіла.

При відсутності доменів, тобто в тому випадку, коли феромагнетик

намагнічений однорідно, сума обмінної енергії excε і енергії анізотропії aε

мінімальна. Звичайно, передбачається, що намагніченість спрямована уздовж

кристалографічної осі, що відповідає мінімуму aε . Але при цьому енергія,

пов'язана з виникненням навколо зразка магнітного поля mε - максимальна.

Ця енергія для однорідного намагніченого зразка пропорційна його об'єму V.

При великих розмірах зразка mε може приймати дуже великі значення, а це

говорить про те, що однорідне намагнічування великих зразків є невигідним

[7,8]. Вказана енергія може бути істотно зменшена, якщо зразок розіб'ється

на ряд намагнічених до насичення областей, наприклад, з антипаралельним

напрямком Mr

. Саме з можливістю зменшення магнітостатичної енергії при

утворенні доменної структури і зв'язана її поява. Однак доменна структура

буде утворюватися тільки при тих умовах, коли зменшення повної

магнітостатичної енергії кристала приводить до зменшення повної енергії

зразка. Відомо, що доменна структура складається з елементарних областей

намагнічених до насичення - доменів, відділених один від одного перехідним

5

шаром - доменними границями. Оскільки практично всі зміни напрямку Mr

відбувається в доменній границі, останні повинні мати деяку енергію. У

зв'язку із цим зменшення енергії магнітостатичного поля, що відбувається

при утворенні доменної структури, одночасно повинне приводити до

збільшення енергії феромагнетику, що пов'язано з утворенням доменних

границь. Таким чином, доменна структура буде утворюватися тільки в тому

випадку, коли сума енергій доменних границь і намагніченості в

магнітостатичному полі mHr

виявиться менше магнітостатичної енергії

однорідно намагніченого зразка [9,10].

Намагнічування феромагнітного зразка, що має при відсутності

зовнішнього поля нульовий сумарний магнітний момент , відбувається за

рахунок зміни форми і орієнтації доменів. У слабких полях спостерігається

збільшення об'єму "вигідно" розташованих щодо зовнішнього поля доменів,

за рахунок доменів з "невигідною" орієнтацією, тобто відбувається процес

зсуву (руху) границь доменів. При малих полях процес зсуву оборотний,

тобто якщо зняти зовнішнє поле, то домени відновлять вихідну форму та

розміри. Оборотному зсуву границь доменів можуть, наприклад,

перешкоджати дефекти кристалічної структури. Щоб перебороти їхню дію,

доменна границя повинна одержати від зовнішнього поля досить велику

енергію. Це приводить до ефекту Баркгаузена (1919р.) - при плавному

збільшенні Нr

намагніченість Mrзмінюється стрибкоподібно. Якщо зняти

поле, що намагнічує, то дефекти перешкодять доменним границям

повернутися у вихідне положення [11].

Оскільки процеси намагнічування і перемагнічування багатодоменних

зразків здійснюються шляхом зсуву міждоменних стінок і повороту векторів

намагніченості sMr

, то структура міждоменних стінок (енергія ε , ширина δ ,

розподіл намагніченості sMr

) буде впливати на процеси зсуву. У зв'язку із

цим насамперед необхідно детальне дослідження властивостей доменних

границь, визначення їхньої структури і енергії [12,13].

6

1.2 Сучасні аморфні магнітом’які матеріали та особливості доменної

структури в них

Аморфні металеві сплави, знайшли застосування в автомобільних

котушках запалювання, системах безперебійного живлення,

перешкодозахисних фільтрах для автомобільних звукових систем, сердечниках

керуючих обмоток трансформаторів, при створенні магнітних голівок

звуковідтворюючих пристроїв, магнітних екранів, ріжучого інструменту,

пакувальних стрічок і канатів, припоїв і інших виробів.

Всі ці застосування можливі через більш швидке перемагнічування, низькі

магнітні втрати і більш універсальний стан, що досягається в аморфних сплавах.

Значні поліпшення в економії енергії, були досягнуті в пристроях, де

традиційні трансформатори були замінені елементами на основі аморфного

металу. Рисунок 1.1 показує порівняння ефективності між трансформаторами

навантаження на основі аморфного металу та традиційними трансформаторами

2000 kVA.

Рисунок 1.1 - Порівняння ефективності сухого трансформатора

2000 kVA.

Низькі питомі втрати в ультразвуковому діапазоні частот, властиві

аморфним сплавам важливі там, де використовується повна потужність

7

трансформатора в цьому частотному діапазоні, а саме в різних

перетворювачах, інверторах, великі питомі втрати які б приводили до

неприпустимого розігріву сердечника, а потім і самого трансформатора.

Одним із серйозних перешкод по широкому застосуванню аморфних сплавів

у трансформаторах є їхня висока вартість.

Ще одним відомим застосуванням аморфних металевих сплавів є

системи безперебійного живлення та контрольно-вимірювальні прилади для

високошвидкісних поїздів типу японського Nozomi [14].

Магнітні поля промислової частоти розглядаються як один з

несприятливих екологічних факторів для навколишнього середовища.

Один з найбільш яскравих прикладів впливу полів промислової частоти -

це "тремтіння" зображення на екранах електронно-променевих моніторів.

Матеріали для захисту від постійних магнітних полів і полів промислової

частоти 50 Гц повинні мати максимально високі магнітні властивості.

Традиційно використовувані для захисту від магнітних полів кристалічні

сплави пермалоєвого класу (79НМ, 80НМА) і Fe-Si досягли межі своїх

екрануючих властивостей, і вже не задовольняють жорстоким вимогам по

ступеню захисту. Аналіз сучасних тенденцій в області розробки нових

матеріалів показує, що є реальна перспектива їхньої заміни на аморфні.

Проведені дослідження дозволили вибрати оптимальну конструкцію екрана,

що складається з термооброблених стрічок сплавів АМАГ-172 і 2НСР.

Створено експериментальні зразки виробів у вигляді захисного жилета та

екранованого силового кабелю. При проведенні випробувань захисного жилета

і екранованого кабелю було з'ясовано, що в області тіла людини при

використанні захисного одягу на основі аморфних матеріалів вдається знизити

поле в середньому в 20 разів і в такий спосіб виключити перевищення

гранично припустимого рівня магнітних полів для даної категорії працівників,

при використанні екранів з аморфних сплавів у силових кабелях вдається

знизити поле в 200 - 500 разів і в такий спосіб забезпечити необхідний рівень

0.5 µТ магнітного поля промислової частоти 50 Гц [15].

8

Серед магнітом’яких матеріалів текстурована сталь є найбільш відомою

тому, що розроблена та оптимізована в повному розумінні структури

магнітних доменів. Це було можливо тому, що кристалічна анізотропія

відіграє важливу роль у формуванні доменів у матеріалах на основі заліза.

У масивному матеріалі з нульовою анізотропією не очікується поява

чітко виражених доменів і стінок, однак поверхневе дослідження вихрових

стінок у різних магнітом’яких матеріалах (див. рис.1.2) показує, що тут

стінки локалізовані та мають кінцеву ширину.

Рисунок 1.2 - Поверхневе дослідження вихрових стінок у різних

магнітом’яких матеріалах.

9

Це, звичайно ж, справедливо для стінок в FeSi, що обумовлено

великою кристалічною анізотропією. Поверхнева ширина стінки

збільшується в 2 рази в магнітострикційних аморфних стрічках, і в 10 разів у

номінально вільному від анізотропії металевому склі, нанокристалічних

стрічках і листах пермалоя. Ці спостереження можуть бути пояснені лише

тим фактом, що реальні магнітом’які матеріали ніколи не бувають

безанізотропними, навіть у випадку надвисокої проникності.

Маленька кристалічна анізотропія може існувати в NiFe-матеріалах,

але певно не може існувати в металевому склі. Проте, скоріше регулярні

домени, ніж безперервні області, все - таки існують у таких стрічках, що

знову обумовлено залишковою анізотропією. Як показано на рисунку 1.3,

домени завжди додержуються певних напрямків після розмагнічування, чітко

вказуючи на присутність локально флуктуючих легких осей.

Рисунок 1.3 – Доменна структура в стрічках магнітострикційних

( 61025 −⋅=sλ ) аморфних матеріалів в розмагніченому стані ( 0=eHr

).

Намагніченість sMr

орієнтується вздовж локальних осей легкого

намагнічування які співпадають з напрямом внутрішніх механічних

напружень.

10

]7600[),()( 1783 VCBSiFeCo ]7505[),( 2476 VCBSiFe

61030 −⋅+=λ 61035 −⋅+=λ

]4040[),,( 2239 VCCBSiNi ]6030[),(),,( 2377 VCBSiFeCo K

6108 −⋅+=λ 6102.0 −⋅=<λ

Рисунок 1.4 - Типові доменні області в аморфних стрічках товщиною в

20 мμ з різними константами магнітострикції.

11

Основне джерело анізотропії - внутрішні напруження, заморожені

швидким загартуванням. Намагнічування пов'язане з напругою через

константу магнітострикції формула (1.1), тому домени в загартованих

стрічках залежать від магнітострикції (див.рис.1.4).

ϕσλωσ2cos

23

s−= (1.1)

де ϕ - кут між вектором намагніченості та вектором розтягуючої напруги.

Типові два види доменних структур: широкі викривлені домени з o180 -

ними стінками, які завжди додержуються осей легкого намагнічування

(викликаних домінуванням напруг розтягання для позитивної

магнітострикції), і вузькі домени схожі на відбиток пальця. «Відбитки

пальця» є замикаючими доменами, що лежать перпендикулярно поверхні, це

обумовлено стискаючою напругою, що породжує легкі осі перпендикулярні

поверхні. Внутрішнє напруження може також змінюватися і у глибину. Це

приводить до багаторівневих доменних структур (рис.1.5). Багаторівнева

анізотропія з викривленими легкими осями показана на рисунку 1.4а.

Зсув o180 - них стінок, що триває в області «відбитка пальця» доводить,

що широкі домени зміщають «відбитки пальця» з поверхні усередину.

Очевидно, присутні два види напруг: стискаюча біля поверхні та домінуюча

усередині – напруга, що розтягує.

12

Рисунок 1.5 – (а) розмагнічений стан магнітострикційної аморфної

стрічки; (б) зміна доменної структури при накладанні незначного магнітного

поля.

Навіть безмагнітострикційне металеве скло виявляє регулярні (але

широкі) домени в загартованому стані (рис.1.4г), які часто вибудовуються

уздовж осі стрічки. Вони можуть бути обумовлені наведеною магнітною

анізотропією, що виникла на відхиленнях від довільної орієнтації пар

компонентів матеріалу. Анізотропія додержуються напрямку намагнічування

прикладеного під час загартування, що фіксується під час охолодження при

переході через точку Кюрі і спрямовано уздовж осі стрічки. Такі наведені

анізотропії також присутні і у магнітострикційних матеріалах, у яких їх

складно відрізнити від наведених напруг, через їхню довільну природу.

Залишкові анізотропії можуть бути обумовлені плином частин під час

загартування, поверхневою структурою стрічок (через пори на поверхні

охолоджувального барабана) та через різні швидкості охолодження на різних

ділянках стрічки.

13

У масивних матеріалах з високою проникністю залишкові анізотропії,

навіть якщо вони малі, мають значний вплив на магнітну мікроструктуру, що

веде до утворення регулярних доменів, що неможливо передбачити теорією

через невідомий розподіл та величину анізотропії [2].

1.3 Основи теорії міждоменних стінок

На границі двох доменів спіни поступово міняють свою орієнтацію від

напрямку, паралельного вектору намагніченості першого домену, до

напрямку, паралельного вектору намагніченості другого. Такий перехідний

шар, де міняється напрямок спінів, називають доменною стінкою. На честь

Блоха, що першим докладно досліджував цей шар, доменну стінку називають

також блохівською стінкою.

Причина поступового повороту спінів у доменній стінці полягає в

тому, що обмінна енергія спінів пропорційна квадрату кута ϕ між ними і,

отже, різка зміна напрямку спінів у стінці викликає швидке збільшення

обмінної енергії.

Користуючись простою моделлю, розрахуємо спочатку енергію, що

накопичується в стінці. Розглянемо зображену на рисунку 1.6 доменну

стінку, у якій спіни протягом N атомних шарів поступово міняють напрямок,

роблячи поворот на o180 .

Рисунок 1.6 - Поворот спінів у доменній стінці

14

Будемо приблизно вважати, що кут повороту в кожному атомному шарі

той самий і дорівнює Nπ . Розглянемо просту кубічну гратку з постійною

гратки, рівною a . На одиницю поверхні атомного шару доводиться в цьому

випадку 2

1a

атомів, тому обмінна енергія, запасена в одиниці поверхні такої

доменної стінки, виражається формулою

Na

JSaN

ijоб 2

22

2

πωε == (1.2)

тобто зі збільшенням товщини N перехідного шару обε зменшується.

Таким чином, якщо враховувати лише обмінну енергію, то найбільш

вигідним можна вважати більш повільний поворот спінів. З цього погляду

найбільш вигідною була б доменна стінка нескінченної товщини. Викликано

це тим, що енергія ijω пропорційна 2ijϕ . Якби залежність від

2ijϕ була

лінійної, то енергія обε в (1.2) не залежала б від N і спіни могли без

перехідного шару миттєво повернутися на o180 .

Разом з тим при відхиленні спінів від осі легкого намагнічування

зростає енергія магнітокристалічної анізотропії. При максимальному

відхиленні спінів від легкої осі енергія анізотропії зростає приблизно на

величину К у розрахунку на одиницю об'єму, де К- константа

магнітокристалічної анізотропії. У моделі, що показана на рисунку 1.6, на

одиницю площі доменної стінки доводиться 2aN атомів, а відповідний об'єм

становить aNaaN

⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

2 .

Отже, енергія анізотропії ( що доводиться на одиницю площі стінки)

дорівнює в цьому випадку

15

KNaa =ε (1.3)

З формули (1.3) видно, що зі зменшенням N, тобто зі звуженням

доменної стінки, енергія анізотропії зменшується. Товщина доменної стінки в

реальному випадку визначається умовою балансу двох енергій: обмінної

енергії, ізольований розгляд якої приводить до висновку, що стінка повинна

бути як можна товстішою, і енергії анізотропії, аналізуючи вид якої, можна

зробити висновок, що стінка повинна бути як можна тонше. Умова балансу

визначається мінімізацією повної енергії

KNaNa

JSaоб +=+= 2

22πεεε (1.4)

Вирішуючи рівняння

022

22

=+−=∂∂ Ka

NaJS

Nπε

,

одержуємо

3

2

KaJSN π= . (1.5)

Отже, товщина доменної стінки дорівнює

KaJSNa

2

πδ == (1.6)

Підставляючи (1.5) в (1.4), виведемо формулу для обчислення енергії,

що відповідає цьому випадку:

16

a

KJSa

KJSa

KJS 222

2πππε =+= (1.7)

Але у наведених вище розрахунках передбачалося, що поворот спінів у

доменній стінці відбувається рівномірно, але це не вірно. У дійсності

напрямок спінів у різних точках доменної стінки визначається з умови

мінімуму повної енергії в теорії мікромагнетизму [16].

Мікромагнітна теорія виходить з існування у феромагнетику

спонтанної намагніченості і описує її класичним векторним полем:

)()( rrMM s

rrrrα⋅= 1

3

1

2 =∑=i

iα (1.8)

Звичайно вдалині від точки Кюрі та при не дуже великих

зовнішніх полях можна додатково припустити, що величина цього

вектора sM не залежить від просторових координат і при даній температурі

є постійною. Таким чином, розподіл намагніченості можна описати

одиничним вектором αr ; рівноважний розподіл )(rrrα визначається з теорії

мікромагнетизму. Це можна найбільш просто сформулювати у вигляді

варіаційного принципу: при дійсному розподілі намагніченості повна вільна

енергія, що складається з різних доданків, повинна бути мінімальною.

У мікромагнетизмі приймаються до уваги наступні чотири члени

вільної енергії: енергія обмінної взаємодії excω , анізотропії aω ,

магнітостатична енергія mω та енергія намагніченості у зовнішньому полі

Hω .

Обмінна енергія – енергія кулонівської взаємодії електронів сусідніх

атомів, яка залежить від орієнтації спінів sr в них. У наближенні

мікромагнетизму вона може бути представлена у вигляді позитивно

визначеної квадратичної форми частинних похідних від компонентів

17

намагніченості по просторовим змінним. Вона визначає «жорсткість»

вектора намагніченості по відношенню до різких просторових змін.

У кубічних кристалах квадратична форма обмінної енергії ізотропна і

густина цієї енергії має такий вигляд:

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=3

1,

2

ki k

iexc x

A αω (1.9)

Константа обмінної взаємодії А має порядок величини мДж /10 11− . Для

гексагональних і кристалів з низькою симетрією використовується кілька

констант обмінної взаємодії.

Енергія анізотропії описує взаємодію між анізотропною кристалічною

решіткою та намагніченістю. Орієнтації намагніченості, що визначаються

елементарними спин-орбітальними взаємодіями, у різних кристалографічних

напрямках енергетично не рівноцінні. Енергія анізотропії звичайно

розкладається по сферичним функціям, і залежно від симетрії кристала члени

поєднуються тим чи іншим способом. Найчастіше використовують наступні

форми запису для густини енергії анізотропії: для кубічного кристала

( ) ...23

22

212

23

22

23

21

22

211 ++++⋅= αααααααααω KKa (1.10)

для гексагонального кристала

( ) ...)( 222

212

22

211 ++++⋅= ααααω KKa (1.11)

В останніх формулах iα – направляючі косинуси вектора намагніченості по

відношенню до осей легкого намагнічування, константи кристалографічної

анізотропії 1K та 2K залежать від матеріалу і можуть змінюватися в межах 61 1010 ÷ Дж/м3.

18

Енергія полів розсіювання, що враховує той факт, що «магніт» може

створювати магнітні поля. Намагніченість і магнітне поле разом визначають

магнітну індукцію )(0 MHBrrr

+= μ , для якої справедливе рівняння Максвелла

0=Bdivr

. Звідси отримуємо

MdivHdivrr

−= (1.12)

Таким чином, якщо дивергенція намагніченості Mr

відмінна від нуля,

то виникають джерела магнітного поля, так званого поля розсіювання, повну

енергію якого можна одержати в наступних двох формах шляхом

інтегрування по всьому простору R або відповідно по об'єму зразка V :

∫ ∫∫ ⋅−===R V

mmV

mm dVMHdVHdVWrr

22020 μμω (1.13)

Поле розсіювання mHr

визначається у свою чергу з теорії потенціалу по

його джерелах: Mdivm

r0μρ −= ; при цьому необхідне інтегрування за всім

зразком. Енергія полів розсіювання обчислюється з розподілу намагніченості

шляхом дворазового інтегрування по об'єму зразка, тоді як для розрахунку

енергії анізотропії та обмінної енергії необхідно лише однократне

інтегрування. Таким чином, енергія полів розсіювання обумовлює

дальнодіючу взаємодію між напрямками намагніченості в різних точках

зразка, що часто дуже ускладнює вирішення задачі.

У зовнішньому eHr

магнітному полі намагніченість володіє

магнітостатичною енергією, густину якої можна записати в простій формі

eH HM

rr0μω −= (1.14)

У багатьох випадках необхідно також враховувати енергію зв'язку

намагніченості з механічними спотвореннями решітки. Цю енергію, як і

19

енергію магнітних полів, можна розділити на дві частини: енергію

магнітострикційних напруг msω , енергію взаємодії намагніченості з

напругами немагнітного походження σω .

Варіаційний принцип мікромагнетизму записується у вигляді

( ) 0=+++++∫ dVmsHmaexc ωωωωωωδ σα (1.15)

де під символом αδ варто розуміти варіацію по компонентах намагніченості

iα за умови 12 =iα . З погляду мікромагнетизму немає ніякої різниці між

феромагнетизмом і ферімагнетизмом. Вирішальним є існування спонтанної

намагніченості, тобто вектора який повністю описує макроскопічний стан

матеріалу. Крім того, з погляду мікромагнетизму не має значення, чи

визначається намагніченість на атомному рівні повністю паралельними або

частково антипаралельними спинами. Тому весь подальший розгляд

однаково добре застосовується як до феромагнітних металів, так і до феритів

або інших «магнітних» матеріалів.

Таким чином подальший розгляд магнітної структури та енергії

міждоменних стінок вільної форми будемо проводити в теорії

мікромагнетизму [17,18,19].

20

2. МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ БЛОХІВСЬКИХ ДОМЕННИХ ГРАНИЦЬ

ВІЛЬНОЇ ФОРМИ

2.1 Фізична модель o180 -ної викривленої границі

Розглянемо плівку з аморфного сплаву типу Metglass 2605Co

(Fe67Co18B14Si) товщиною 2h=20 мкм з досить великою константою

магнітострикції 61035 −⋅=sλ див. рисунок 2.1.

Рисунок 2.1 – Типовий вид доменної структури в плівках аморфних

магнітострикційних магнетиків. У відсутності зовнішніх полів в цих

аморфних плівках виникають широкі домени в яких орієнтація вектора

намагніченості sMr

співпадає з напрямом дії локальних механічних напругσ .

Магнітні домени (сірі та білі смуги) відокремлені викривленими o180 -

ними стінками.

Особливістю таких міждоменних границь є те, що на відміну від

плоских блохівських границь, вони є джерелами магнітостатичного поля mHr

,

що створюється неоднорідностями намагніченості 0≠sMdivr

усередині

21

стінок. Тому енергія totε таких (вигнутих) стінок повинна відрізнятися від

енергії «класичних» стінок Блоха на величину магнітостатичної енергії mε ,

яку можна розрахувати по наступній формулі

∫∫−−

⋅−==2/

2/

02/

2/ 2

δ

δ

δ

δ

μωε dzHMdz m

mm

rr (2.1)

де )(rM rr- розподіл векторів намагніченості в об'ємі стінки, що відповідає

мінімуму енергії totω , )(rH m rr– магнітостатичне поле, створюване

рівноважним розподілом намагніченості, δ – ширина міждоменної границі.

Так як поле )(rH m rr визначається трикратним інтегруванням по просторових

координатах ',',' zyx його джерел (неоднорідностей )',','( zyxMdiv s

rу кожній

точці стінки), то аналітичне рішення варіаційної задачі виду

0}''

)'()'(8

))(1({

'3

0

22

3

1,

2

2

=−

−⋅⋅+

+⋅−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

∫

∑=

V

sski k

i

stot

dVrr

rrrMdivM

nMMK

xM

MA

rr

rrrrr

rr

πμ

δδω (2.2)

для вигнутої границі довільної форми не представляється можливим.

Аналітичний підхід до рішення подібного роду завдань ґрунтувався на

постулюванні «грубих» (некоректних) моделей розподілу векторів sMr

усередині доменної границі з метою спрощення виразів для енергії mω . У

теперішній час із розвитком обчислювальної техніки з'явилася можливість

розраховувати магнітну структуру і параметри доменних стінок, чисельними

методами не прибігаючи до спрощень.

Для початку розглянемо модель вигнутої границі (рис. 2.2) в аморфній

плівці. Нехай під дією напруг σ , що розтягують, спрямованих уздовж лінії

22

)/exp()( 20

20 λxzxz −⋅= відбувається плавне скривлення форми магнітних

доменів (сірі області на рисунку 2.2) , а також вигин o180 - них доменних

границь.

Для геометричного опису моделі введемо прямокутну декартову

систему координат ),,( zyx , як показано на рисунку 2.2. Поворот векторів

намагніченості sMr

усередині стінки від одного напрямку (у лівому домені)

до протилежного (у правому домені) відбувається в площинах, паралельних

поверхні ),( yxz . Орієнтацію намагніченості )(rM s

rr в об'ємі доменної

границі будемо задавати двома кутами: азимутальним кутом ϕ і полярним

кутом θ (див. рис. 2.3). Для спрощення розрахунків приймемо, що розподіл

векторів sMr

однорідний по осі y . Таке припущення справедливо при

виконанні умови DWh δ>>2 , (у нашому випадку 202 =h мкм, 35.0=DWδ мкм).

Рисунок 2.2 – Схематичне зображення викривленої o180 – ної

міждоменної стінки (біла область).

Таким чином, розподіл векторів намагніченості sMr

в об’ємі стінки

можна описати співвідношенням

]),(sin),(sin),(cos),(sin),([cos zyxss ezxzxezxezxzxMM rrrr⋅+⋅+⋅= ϕθϕϕθ (2.3)

23

де ),( zxθ та ),( zxϕ – кути між вектором sMr

та осями x , y відповідно;

xer , yer , zer – орти декартової прямокутної системи координат.

Рисунок 2.3 – Орієнтація векторів намагніченості )(rM s

rr усередині

викривленої доменної границі

2.2 Повна вільна енергія та її складові

Згідно (1.8) для визначення дійсного розподілу ),( zxM s

r в стінці

необхідно знайти варіацію від функціоналу повної енергії та дорівняти її до

нуля.

В нашому випадку вільна енергія являє собою суму енергії обмінної

взаємодії excω , енергії наведеної лінійної анізотропії aω та магнітостатичної

енергії mω . Розглянемо кожен доданок окремо.

З урахуванням (1.2) та (2.3) вираз для енергія обмінної взаємодії excω

приймає вид

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=2222

2sinzxzx

Aexc

ϕϕθθϕω (2.4)

Енергію наведеної лінійної анізотропії aω запишемо у вигляді

24

( ){ }21 nmKua

rr⋅−=ω (2.5)

де σλsuK23

= – константа наведеної анізотропії, обумовлена дією внутрішніх

напруг σ , nr – одиничний вектор, що задає орієнтацію осі легкого

намагнічування в просторі і дорівнює

zx

zx

exex

edxdzedxdzxn

rr

rrr

⋅+⋅=

=⋅+⋅=

)(sin)(cos

))/(sin(arctan))/(cos(arctan)(

00 θθ (2.6)

У (2.6) введено наступне позначення )/arctan()(0 dxdzx =θ . Остаточно для

(2.5) маємо

))(cossin1(23

022 θθϕσλω −−= sa (2.7)

Об’ємна густина магнітостатичної енергії mω дорівнює

)(2

0 mzz

mxxm HMHM +−=

μω (2.8)

Компоненти магнітостатичного поля mxH та m

zH , що входять до (2.8)

записуються у вигляді

( ) ( )∫ ∫− −= 0

0

0

0

2/

2/,,,

λ

λ

δ

δηξηξ ddzxGMdivH xs

mx

r (2.9)

( ) ( )∫ ∫− −= 0

0

0

0

2/

2/,,,

λ

λ

δ

δηξηξ ddzxGMdivH zs

mz

r (2.10)

25

( )( ) ( )( ) ( ) ( )222222

,,,ηξηξ

ξπ

ηξ−+−+−+−

−−=

zxhzxxhzxGx (2.11)

( )( ) ( )( ) ( ) ( )222222

,,,ηξηξ

ηπ

ηξ−+−+−+−

−−=

zxhzxzhzxGz (2.12)

2.3 Мінімізація вільної енергії. Рівняння Ейлера

Визначивши, у явному виді, вирази для складових повної вільної

енергії totω перейдемо до її мінімізації. Для цього, використовуючи

визначення варіаційної похідної

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇∂∂

∇−∂∂

≡)( MMM

rrr

rrδδ (2.13)

знайдемо варіації обмінної енергії excω , енергії лінійної анізотропії aω і

магнітостатичної енергії mω по кутах θ і ϕ .

Мінімізація обмінної енергії excω .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

∂∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

∂∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇∂

∂∇−

∂∂

=

2

2

2

22sin2

)/()/()(

zxA

zzxxexcexcexcexcexc

θθ

θω

θω

θω

θω

δθδω

rr

(2.14)

26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

∂∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

∂∂∂

−∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇∂

∂∇−

∂∂

=

2

2

2

222

22sin

)/()/()(

zxA

zxA

zzxxexcexcexcexcexcexc

ϕϕθθϕ

ϕω

ϕω

ϕω

ϕω

ϕω

δϕδω

rr

(2.15)

Мінімізація енергії анізотропії aω

)sin(sin23

02 θθϕσλ

θω

δθδω

−−=∂∂

= saa (2.16)

)(cos2sin23

02 θθϕσλ

ϕω

δϕδω

−−=∂∂

= saa (2.17)

Мінімізація магнітостатичної енергії mω

( )mx

mzs

m HHM ⋅−⋅−= ϕθϕθμ

δθδω

sinsinsincos2

0 (2.18)

( )mz

mxs

m HHM ⋅+⋅−= ϕθϕθμ

δϕδω

cossincoscos2

0 (2.19)

Таким чином, остаточно одержуємо два інтегрально-диференціальних

рівняння (рівняння Ейлера)

( ) 0sinsinsincos2

)sin(sin23sin2

0

02

2

2

2

22

=⋅−⋅+

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

mx

mzs

s

HHM

zxA

ϕθϕθμ

θθϕσλθθϕ

(2.20)

27

( ) 0cossincoscos2

)(cos2sin2322sin

0

02

2

2

2

222

=⋅+⋅−

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

mz

mxs

s

HHM

zxA

zxA

ϕθϕθμ

θθϕσλϕϕθθϕ

(2.21)

Вирішуючи останні рівняння (2.20), (2.21) можна визначити

рівноважний розподіл (залежності кутів ),( zxθ і ),( zxϕ ) векторів

намагніченості усередині міждоменної стінки.

2.4 Числові методи розв’язку інтегрально-диференційного

рівняння Ейлера

Як вже було відзначено вище, аналітичне рішення рівнянь (2.20), (2.21)

не представляється можливим, тому скористаємося чисельними методами

[21-29] (методом кінцевих різниць[20]). Для цього розіб'ємо об'єм

досліджуваної міждоменної границі на комірки розмірами }2,,{ ., hzx jiji ΔΔ в

яких будемо вважати орієнтацію векторів sMr

постійною, тобто в межах

комірки кути ji ,θ і ji ,ϕ не змінюються. У термінах кінцевих різниць, вирази

для енергій і рівняння Ейлера приймають вид:

⎥⎦

⎤

Δ+−

+Δ

+−+

+⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+−

+Δ

+−=

++++

++++

2,

2,,1,

21,

2,

2,,,1

2,1

2,

2,,1,

21,

2,

2,,,1

2,1

,2

,

22

22sin

ji

jijijiji

ji

jijijiji

ji

jijijiji

ji

jijijijijijiexc

zx

zxA

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

θθθθθθθθϕω

(2.22)

))(cossin1(23 0

,,2

,2

, jijijisjia θθϕσλω −−= (2.23)

28

)sinsinsin(cos2 ,,,,,,

0,

mjizjiji

mjixjiji

sjim HHM

ϕθϕθμ

ω +−= (2.24)

В останньому виразі величини mjixH , и m

jizH , визначаються формулами

lklklkjixlk

lklklklk

lk

lklklklk

lk

lklklklk

Nx

k

Nz

llk

lklklklk

mjix

zxzxzxGz

z

xxH

,,,

,,1,,

,

,,1,,

,

,,1,,

0 0,

,,1,,,

),,,()coscos

sinsin

coscossinsin(

ΔΔΔ

−+

+Δ

−−

−Δ

−+

Δ

−−=

+

+

+

= =

+∑∑

ϕϕϕθ

θθϕθ

ϕϕϕθ

θθϕθ

(2.25)

lklklkjizlk

lklklklk

lk

lklklklk

lk

lklklklk

Nx

k

Nz

llk

lklklklk

mjiz

zxzxzxGz

z

xxH

,,,

,,1,,

,

,,1,,

,

,,1,,

0 0,

,,1,,,

),,,()coscos

sinsin

coscossinsin(

ΔΔΔ

−+

+Δ

−−

−Δ

−+

Δ

−−=

+

+

+

= =

+∑∑

ϕϕϕθ

θθϕθ

ϕϕϕθ

θθϕθ

(2.26)

29

Тоді рівняння Ейлера в дискретному виді:

( ) 0sinsinsincos2

)sin(sin23

22sin2

,,,,,,0

0,.,

2

2,

1,,1,

2,

,1,,1,

2

=⋅−⋅+

+−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+−

+Δ

+− ++−+

mjixjiji

mjizjijis

jijijis

ji

jijiji

ji

jijijiji

HHM

zxA

ϕθϕθμ

θθϕσλ

θθθθθθϕ

(2.27)

( ) 0cossincoscos2

)(cos2sin23

222

222sin

,,,,,,0

0,,

2,

2,

1,,1,

2,

,1,,1

2,

2,,1,

21,

2,

2,,,1

2,1

,

=⋅+⋅−

−−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ+−

+Δ

+−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ

+−+

Δ

+−

−+−+

++++

mjizjiji

mjixjijis

jijijis

ji

jijiji

ji

jijiji

ji

jijijiji

ji

jijijijiji

HHM

zxA

zxA

ϕθϕθμ

θθϕσλ

ϕϕϕϕϕϕ

θθθθθθθθϕ

(2.28)

Кінцево-різницеві рівняння (2.27) і (2.28) вирішували ітераційним методом

),( ,,1,1

,n

jin

jin

jin

ji f ϕθθθ +=+ (2.29)

),( ,,2,1

,n

jin

jin

jin

ji f ϕθϕϕ +=+ (2.30)

де функції ),( ,,1n

jin

jif ϕθ і ),( ,,2n

jin

jif ϕθ є рівняння Ейлера з відкинутою правою

частиною. У якості початкового розподілу приймали наступне:

30

0,

0, jin

ji θθ == (2.31)

( )( )AKzi,jn

ji /tanhasin0, ==ϕ (2.32)

Тобто вектори намагніченості орієнтувалися паралельно поверхням стінки

(умова (2.31)), а поворот на 180градусів здійснювався як в плоскій

блохівській границі.

31

3 РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ

3.1 Просторовий розподіл намагніченості ),( zxM s

r всередині

досліджуваної доменної границі, величини поверхневої енергії ε та

ширини DWδ

Представлені і обговорювані нижче результати отримані для плівки з

аморфного сплаву типу Metglass 2605Co (Fe67Co18B14Si) товщиною 2h=20

мкм з досить великою константою магнітострикції 61035 −⋅=sλ в

розмагніченому стані ( 0=eHr

).

Для даного зразка розраховувався розподіл векторів намагніченості sMr

і енергії у вигнутій стінці форма якої задавалася наступним рівнянням

)/exp()( 20

20 λxzxz −⋅= , (3.1)

де 0z - максимальний прогин доменної границі (20 мкм), 0λ - область, де

викривляється стінка по осі х (200 мкм).

В результаті розв’язку рівнянь Ейлера (2.27) і (2.28) були отримані

рівноважні розподіли кутів θ і ϕ (див. рис. 3.1), які визначають орієнтацію

намагніченості усередині викривленої стінки.

32

Рисунок 3.1 – Залежності азимутального ϕ і полярного θ кутів

орієнтації векторів намагніченості sMr

у рівноважному стані )0( =totδω

для випадку викривленої стінки (крива 1) і для плоскої

доменної границі (крива 2) в аморфній магнітострикційній

плівці )1035( 6−⋅=sλ для розтягуючих напруг 26 Н/м1025 ⋅=σ

33

На рисунку 3.2 показані особливості просторового розподілу

спонтанної намагніченості sMr

усередині вигнутої стінки в досліджуваному

зразку аморфного сплаву.

Рисунок 3.2 - Розподіл спонтанної намагніченості sMr

усередині

вигнутої стінки у плівці з аморфного сплаву типу Metglass 2605Co

(Fe67Co18B14Si) товщиною 2h=20 мкм

Використовуючи розподіл кутів (див.рис.3.1) були розраховані

компоненти намагніченості згідно формули (2.3). Залежності компонент

намагніченості yx mm rr , від координати z для вигнутої стінки із зазначеними

вище параметрами і для плоскої стінки з 26 Н/м1025 ⋅=σ , представлені на

рисунку 3.3.

34

Рисунок 3.3 - Залежності компонент намагніченості xmr , ymr від

координати z для вигнутої стінки (1) і для плоскої стінки (2) з 26 Н/м1025 ⋅=σ

35

Як видно з цих рисунків, поворот векторів намагніченості sMr

усередині вигнутої стінки відбувається швидше (в менших об'ємах), ніж у

плоскій стінці, при однакових значеннях внутрішніх розтягуючих напруг.

Для випадку вигнутої стінки об'ємні густини доданків повної енергії

усередині стінки не рівні один одному (на відміну від плоскої стінки Блоха).

У цьому випадку рівноважний розподіл намагніченості усередині вигнутої

стінки визначається рівністю нулю обертаючих моментів (див. рис. 3.4),

тобто: 0=++= maexc LLLLrrrr

.

Рисунок 3.4 – Залежності складових повного обертаючого моменту Lr

від координати z в стані термодинамічної рівноваги векторів

намагніченості sMr

усередині викривленої стінки: 1 – обертаючий момент

обмінної взаємодії excLr

, 2 - обертаючий момент енергії анізотропії aLr

, 3 -

обертаючий момент магнітостатичної енергії mLr

36

У стані рівноваги обертаючі моменти енергії обмінної взаємодії excLr

врівноважуються з обертаючі моменти енергії анізотропії aLr

і обертаючими

моментами магнітостатичної енергії mLr

.

Розрахунок ширини міждоменної стінки здійснюється в такий спосіб.

На кривих ( )zϕ (див. рис. 3.1), де ( )zmxarcsin=ϕ , у точці 0=z проводимо

дотичні, тоді ширина границі визначається як сума відрізків 21 zzz Δ+Δ=Δ

( 1zΔ , 2zΔ - координати точок перетину дотичних до кривих розподілу кутів і

прямих рівних 2πϕ ±= ), які отримувались при рішенні системи з двох

алгебраїчних рівнянь такого типу:

20

πϕ±=

=zdzd

(3.2)

Поверхневу густину енергії обчислювали по наступній формулі:

∫∫+

−

+

−

++=2

2

2

2

)(δ

δ

δ

δ

ωωωω dzdz maexctot (3.3)

По знайденому розподілу намагніченості sMr

, були визначені об'ємні

густини складових вільної енергії totω викривленої доменної границі, що

показано на рисунках 3.5, 3.6, 3.7.

37

Рисунок 3.5 - Об’ємна густина енергії обмінної взаємодії excω

викривленої доменної границі з параметрами форми 200 =z мкм,

2000 =λ мкм в аморфному сплаві типу Metglass 2605Co при

значенні внутрішніх напружень 26 Н/м1025 ⋅=σ

Рисунок 3.6 - Об’ємна густина енергії наведеної анізотропії aω

викривленої доменної границі з параметрами форми 200 =z мкм,

2000 =λ мкм в аморфному сплаві типу Metglass 2605Co при

значенні внутрішніх напружень 26 Н/м1025 ⋅=σ

38

Рисунок 3.7 – Об'ємна густина магнітостатичної енергії mω густини

складових вільної енергії totω викривленої доменної границі з

параметрами форми 200 =z мкм, 2000 =λ мкм в аморфному

сплаві типу Metglass 2605Co при значенні внутрішніх напружень 26 Н/м1025 ⋅=σ .

На рисунках 3.5, 3.6, 3.7 індекси ji, позначають координати вузлів сітки

кінцевих різниць. Розмір розрахункової комірки 1010×=Δ×Δ zx нм.

3.2 Співставлення параметрів викривлених доменних границь з

параметрами плоских стінок Блоха

Результати розрахунку ширини δ і енергії ε для плоскої та вигнутої

доменної границі в матеріалі типу Metglass 2605Co (Fe67Co18B14Si)

представлені в таблиці 3.1

39

40

Як відомо, для плоскої блохівської міждоменної стінки (для якої

uAK4=ε , uK

Aπδ = ) з підвищенням uK товщина доменної стінки δ

зменшується, а енергія збільшується, що добре видно з формул.

Якщо ж розглядати вигнуту міждоменну границю, то для неї енергія

визначається в основному формою стінки. Тобто в залежності від параметрів

форми ( 00 ,λz ), які визначають величину магнітостатичної взаємодії моментів

в об’ємі стінки, енергія буде пропорційна не uK , а буде визначатися

слідуючим співвідношенням:

( )du KKA += 4ε , (3.4)

де dK - константа анізотропії викликана формою, причому ud KK >> .

Прагнення до мінімуму магнітостатичної енергії призводить до

зменшення зони плавного повороту векторів намагніченості усередині

доменної границі, при цьому відбувається деяке збільшення енергії обмінної

взаємодії і зменшення магнітостатичної енергії і енергії анізотропії. Тому

енергія і ширина вигнутих міждоменних границь відрізняється від енергії і

ширини плоских стінок Блоха.

41

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. К теории дисперсии магнитной

проницаемости ферромагнитных тел // Phys. Zs. Sowjet., 1935, Bd 8, S.153.

2. Schäfer R. Domains in 'extremely' soft magnetic materials // JMMM., 2000. V.

215 – 216, p. 652-663.

3. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А. В мире магнитных доменов.- Киев: Наукова

думка, 1986.

4. Вонсовкий С.В. Магнетизм. - М.: Наука.- 1971. - 1032 с.

5. Вонсовский С.В. Магнитная структура ферромагнетиков.- М.:

Иностранная литература, 1959.- 514с.

6. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений.- М.: Изд-во Моск. Ун-та,

1985.- 336с.

7. Бучельников В.Д. Физика магнитных доменов // Соросовский

образовательный журнал.-1997.-№ 12.- с. 92.

8. Мишин Д.Д. Магнитные материалы.- М.: Высш. шк., 1991.- 384с.

9. Зайкова В.А., Старцева И.Е., Филипов Б.Н. Доменная структура и

магнитные свойства электротехнических сталей.- М.: Наука, 1992.- 272с.

10. Вонсовский С.В. Физика ферромагнитных областей.- М.: Иностранная

литература, 1951.- 324с.

11. Преображенский А.А., Бишард Е.Г. Магнитные материалы и элементы.-

М.: Высш. шк., 1986.- 352с.

12. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А. Магнетизм что это?- Киев: Наукова думка,

1981.- 205с.

13. Киттель Ч., Галт Я. Теория ферромагнитных областей // В кн.: Магнитная

структура магнетиков.- М., 1959.

14. Hasegawa R. Present status of amorphous soft magnetic alloys // JMMM.,

2000. V. 215 – 216. P. 240-245.

42

15. Кузнецов П.А., Аскинази А.Ю., Песков Т.В. Исследование аморфных

магнитомягких материалов для изготовления на их основе эффективных

средств защиты от магнитных полей промышленной частоты. - С.-П.:

Прометей, 2005.

16. Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и

практические применения.- М.: Мир, 1987.- 419с.

17. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах.- М.: Мир,

1977.

18. Hubert A., Schafer R. Magnetic domains: the analysis of magnetic

microstructures. Springer, Berlin, 1998.- 696p.

19. Вонсовский С.В., Шур Я.С. Ферромагнетизм.- М.: Гостехиздат, 1948.-

816с.

20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы.- М.:

Бином, 2006.- 636с.

21. Rave W., Ramstöck K. Micromagnetic calculation of the grain size dependence

of remanence and coercitivy in nanocrystalline permanent magnets // JMMM.,

1997, V. 171, p. 69-82

22. Филипов Б. Н., Корзунин Л.Г. Нелинейная динамика вихревых доменных

стенок в магнитных пленках с плоскостной анизотропией //ФТТ.-1996.-

Т.38, №8.- с.2442-2450.

23. Бозорт Р. Ферромагнетизм.- М.: Иностранная литература, 1956.-

784с.

24. Чиченин Н.Г.Влияние внутренних полей рассеяния на высокочастотные

свойства магнитных тонких пленок // ФТТ.- 2004.- Т.46, №3.- с.466-470.

25. Aharoni A. Magnetic domain walls in thick iron films // Rapid

communications. Physical review., 1991, V. 43, №1.

26. Aitchison P.R., Chapman J.N. High resolution measurement and modeling of

magnetic domain structures in epitaxial FePd (001) 01L films with

perpendicular magnetisation // JMMM., 2001, V. 223, p.138-146.

43

27. Браун У.Ф. Микромагнетизм.- М.: Наука, 1979.- 160с.

28. Arrot A.S. Phenomenology of anisotropy in the ferromagnetism of ultrathin

films // JMMM., 1991, V. 93, p. 571-586.

29. Berkov D.V., Gorn N.L. Numerical simulation of the magnetization structures

in thin polycrystalline films with the random anisotropy and intergrain

exchange // Journal of applied physics., 1998, V. 83, №11.