207

( 2تطبيقات التكامل المحدد في الهندسة والميكانيك )

درسنا في المحاضرة السابقة حساب مساحة السطوح المستوية بالشكل الديكارتي، والوسيطي، والقطبي وأيضا

.وسيطياو المساحات الدورانية ديكارتياو أطوال المنحنيات. وفي هذه المحاضرة ندرس الهجوم الدورانيةب حسا

:حساب الحجوم الدورانية-14.1

هي إحدى أهم التطبيقات للتكامل المحدد والحجم الدوراني ينشأ من دوران مساحة حول محور يسمى محور

21yالدوران إذا أدارت المساحة المحددة بالمنحني x لسينات تكون ومحور السينات حول محور ا

:لنعالج حالتين نتيجة الدوران عبارة عن كرة.

14.1.1- ً حساب الحجوم الدورانية ديكارتيا

)لتكن :نظرية )y f x دالة متصلة على[ , ]a b ومنحنيf يقع إلى جانب واحد من محور السينات.عندئٍذ

)اشئ عن دوران المساحة المحددة بالمنحنيالحجم الن )y f x ومحور السينات والمستقيمين

,x a x b حول محور السينات يعطى بالعالقة:

2 2( )

b b

a a

V f x dx y dx

21yأوجد الحجم الناشئ من دوران المساحة المحددة بالمنحني :(1مثال ) x ومحور السينات دورة

كاملة حول محور السينات.

نوجد نقاط تقاطع المنحني مع محور السينات وذلك بجعل :الحل

21 21 0 0x x y

(1,0)أي أن المنحني يقطع محور السينات في نقطتين , ( 1,0) ويكون الحجم الناشئ من الدوران و

:يعطى بالعالقة

1

2 2

1

(1 )

b

a

V y dx V x dx

الرابعة عشرالمحاضرة

208

12

1

4

3 3

xx

أوجد الحجم الناشئ عن دوران القطع الناقص :(2مثال )2 2

2 21

x y

a b .حول أحد محوريه

xنفرض أن الدوران حول محور السينات فيكون التكامل من :الحل a إلىx a ولدينا

22 2 2

2( )

by a x

a ويكون:

22 2 2

2( )

a a

a a

bV y dx a x dx

a

2 3 22

2

4

3 3

a

a

b x b aa x

a

aإذا كان :حالة خاصة b r فإننا نحصل على حجم الكرة34

3

rV

التي نصف قطرهاr.

قة المحددة بنفس طريقة برهان النظرية يمكننا أن نبرهن أن الحجم الناتج عن دوران المنط :(1مالحظة )

)بالمنحني )x g y ومحور الصادات والمستقيمين,y d y c حول محور الصادات يعطى بالعالقة:

2[ ( )]

d

c

V g y dy

رض أن الدوران حول محور الصادات فيكونبف :(3مثال )

22 2 2

2( ) ,

ax b y b y b

b

2 2 3 22 2 2 2

2 2

4( )

3 3

bb b

b b b

a a y a bV x dy b y dy b y

b b

)إذا طلب منا حساب الحجم الناشئ من دوران منطقة محصورة بين منحنيين :(2مالحظة ) )y f x و

( )y g x بينa وb :فإنه يساوي

209

2 2( ) ( )

b

a

V f x g x dx

)حيث يمثل الحد األول الحجم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحني )y f x ومحور السينات حول

)محور السينات والثاني يمثل الحجم الناشئ عن دوران المنطقة المحدودة بالمنحني )y g x ومحور السينات

من بعض يعطي الحجم المطلوب. حول محور السينات وطرح الحجمين

أوجد الحجم الناشئ من دوران المنطقة المحصورة بين المنحنيين :(4مثال )2 4y x و

2 4x y حول

محور السينات.

كما في الشكل: (4,4)و (0,0) ين ويتقاطعان عند النقطتينالمنحنيان قطعين مكاف :الحل

2( ) 2 ( ) 4f x x f x x

22( ) 4

4

xy g x y x

وبالتالي حجم المجسم المطلوب يساوي

2 44 2 52

0 0

964 2

4 80 5

x xV x dx x

رانية وسيطياً:حساب الحجوم الدو-14.1.2

:إذا كانت الدالة معطاة وسيطيا بالمعادالت اآلتية

( ) , ( ) ;y t x t t

فإن الحجم الناشئ من الدوران:

2 2( ). '( ) ( ). 'V t t dt y t x dt

.oxأوجد الحجم الناشئ من دوران السيكلوئيد حول المحور :(5مثال )

يطية للسيكلوئيد تعطى بالعالقاتإن المعادالت الوس :الحل

( sin ) , (1 cos ) ; 0 2x a t t y a t t

210

:بالتعويض في العالقة السابقة نجد أن

2 2

2 2 3 3

0 0

(1 cos ) . (1 cos ) (1 cos )V a t a t dt a t dt

2

3 6 3 6

0 0

8sin 16 sin2

ta dt a u du

وذلك بفرض أن:2

tu 0عندما 0u t 2وعندماt كونيu و

2dt du

واآلن نحسب6

6

0

sinI u du

:وذلك حسب قانون التدريج

1

2

cos sin 1n

n n

u u nI I

n n

5 3

6 4 4

cos sin 5 cos sin 3;

6 6 4 4

u u u uI I I I

2 0 0

0

cos sin 1;

2 2

u uI I I du

6:وبالتعويض والحساب نجد أن 4 2

15 3, ,

48 8 2I I I

أي أن6

5

16I

ومنه

3 2 3516 5

16V a a

:حساب المساحات الدورانية -14.2

حساب المساحات الدورانية ديكارتياً: -14.2.1

)يقصد بالمساحة الدورانية بأنها المساحة الناتجة عن دوران منحني )y f x ةفي فتر[ , ]a b حول محور

السينات وتعطى هذه المساحة الدورانية بالعالقة:

211

2 22 ( ) 1 ' ( ) 2 1 '

b b

a a

S f x f x dx y y dx

)إذا كان المنحني في الصورة :مالحظة )x g y وكان المطلوب حساب مساحة السطح الدوراني حولoy

yمن c إلىy d :فإن

22 ( ) 1 ' ( )

d

c

S g y g y dy

21yأوجد المساحة الدورانية الناتجة من دوران المنحني :(6مثال ) x حول محور السيناتox من

1x 1إلىx

ثم نعوض y'أوال نحسب الحل:

2

21 '

1

xy x y

x

21 112

2 1

1 1

2 1 1 2 2 41

xS x dx dx x

x

14.2.2- ً :حساب المساحة الدورانية برامتريا

إذا اعطيت الدالة بمعادلتها الوسيطية اآلتية:

( ) , ( ) ;y t x t t

:نية لهذا المنحني تعطى بالعالقةفإن المساحة الدورا

2 22 ( ) ( '( )) ( '( ))S t t t dt

sinأوجد المساحة الدورانية للمنحني :(7مثال ) , cost ty e t x e t 0 حيث2

t

)' :الحل ) sin cost ty t e t e t

'( ) cos sint tx t e t e t

212

22 2

0

2 ( ) ( '( )) ( '( ))S y t x t y t dt

22 2

0

2 sin ( cos sin ) ( sin cos )t t t t te t e t e t e t e t dt

22 2 2

0

2 sin 2 (cos sin )t te t e t t dt

2

0

2 2 .sin .t te t e dt

22 22

0 0

2 2 sin 2 2 (2sin cos )5

tt e

e t dt t t

2 2(2 1)

5e

14.2.2- ً :حساب المساحة الدورانية قطبيا

إن المساحة الدورانية ، ف، حيث إذا كان المنحني معطى بالشكل القطبي، أي بالمعادلة

:لهذا المنحني تعطى بالعالقة

احسب مساحة السطح الدوراني الناتج عن دوران منحني ليملنسكات بيرونولي المعطى بالمعادلة (: 8مثال)

.ox، حول المحور القطبي )]14-1(انظر الشكل [

(1-14)الشكل

( )r f

2 22 sinS r r r d

2 2 cos2r a

aa4

x

y

o

213

Xداثية المتعامدة ومبدأ اإلحداثيات. في هذه الحالة تعطى إن منحني الدالة متناظر حول المحاور اإلح :الحل

عالقة مساحة السطح الدوراني بالعالقة:

ومنه نجد:

وبالتعويض، نجد:

عزم العطالة -3. 14

بالنسبة لنقطة أو بالنسبة لمحور، يساوي m، كتلتها Aنعلم من الميكانيك أن عزم العطالة لنقطة مادية، مثل

نقطة مادية nفي مربع بعدها عن النقطة أو عن المحور. وفي الحالة التي يكون لدينا mتها حاصل جداء كتل

على الترتيب، نسمي عزم العطالة لمجموعة ، كتلها xoyفي المستوي اإلحداثي

سبة أو بالن Oأو بالنسبة لمحور، بحاصل جمع عزوم عطالة كل منها بالنسبة للنقطة Oهذه النقاط بالنسبة للنقطة

لمحور.

، وإذا رمزنا ، في اإلحداثيات الديكاريتة هي ، فإذا فرضنا أن إحداثيات النقطة

و ، ، بالرموز O، وبالنسبة للنقطة ، وللمحور لعزوم عطالة هذه المجموعة بالنسبة للمحور

على الترتيب، لكان لدينا:

2 22 sinS r r r d

2 1, , ,nA A A2 1, , ,nm m m

iA1, ,i n( , )i ix y

oxoyxI

yIOI

2 2 2 2

1 1 1

( ) ; ;n n n

O i i i x i i y i i

i i i

I m x y I m y I m x

214

وبفرض أن هذه الدالة ومشتقها األول ، منحني مادي معطى بالمعادلة ABلنفرض اآلن أن

، عندئذ، يعطى ، كما نفرض أن الكثافة الخطية لهذا المنحني ثابتة، وتساوي مستمران على المجال

بالعالقة اآلتية: Oبالنسبة لنقطة المبدأ ABعزم عطالة المنحني

2 2 2

0 1 '

b

a

I x y y dx

، كما ، وللمحور بالنسبة للمحور AB )المنحني(س وبشكل مشابه، يمكن التعبير عن عزم عطالة القو

يلي:

2 21 '

b

x

a

I y y dx

2 21 '

b

y

a

I x y dx

احسب عزم عطالة نصف دائرة مادية متجانسة بالنسبة لقطرها. :(9مثال )

ا هو مبدأ ينطبق على قطر هذه الدائرة، ومركزه oxالحل: بتطبيق العالقة السابقة، وبفرض أن المحور

اإلحداثيات، نجد أن:

2 21 '

b

x

a

I y y dx

هي الدالة: حيث

وبالتعويض، نجد:

( )y f x

[ , ]a b

oxoy

( )f x2 2( )f x y R x

215

تعيين مركز ثقل سلك مادي: -14.4

، ، ومستمر هو ومشتقه على المجال منحنيا ماديا يعطى بالمعادلة ABليكن لدينا المنحني

، عندئذ )أي أن السلك متجانس( م المنحني متساوية، وتساوي وبفرض أن الكثافة الخطية في جميع أقسا

:بالعالقات ، والذي سنرمز له بالنقطة ABيعطى مركز ثقل المنحني

، والتي تقع في الربع األول 2aاحسب مركز ثقل قوس ربع الدائرة التي نصف قطرها :(10مثال )

.(2-14)]الشكل [

(2-14)الشكل

xائرة التي مركزها مبدأ اإلحداثيات ونصف قطرها : إن معادلة الدالحلa2 :تعطى بالعالقة ،

ومنه: وبالتالي، يعطى قوس ربع الدائرة بالعالقة:

( )y f x[ , ]a b

( , )c cc x y

x2a

2a

y

o

2 2 24x y a

2 24y a x

216

السابقة نجد:cxوبالتعويض في عالقة

، فيعطى بالعالقة:أما الترتيب

أي مركز ثقل قوس الدائرة هو النقطة:

تمارين محلولة -5. 14

2xاوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحني (:1تمرين ) y والمستقيم

2y x .حول محور الصادات

2xبحل المعادلتين :الحل y 2وy x 1)ي التقاطعنحصل على نقطت, 1) , (4,2) كما في الشكل مع

:مالحظة أن

2 ( ) ( ) 2y g y f y y لجميع قيم [ 1,2]y

:لذا يكون الحجم المطلوب يساوي

2 2

22 2 2 4

1 1

2 2 4V y y dy y y y dy

.

23 2 5

1

724

3 2 5 5

y y yy

حة الدورانية الناش ة عن دوران القطع المكافئ أوجد المسا (:2تمرين )

cy

4 4,

a ac

217

2 2 ; [0, )y px x p حول محوره.

2yلدينا :الحل px ومنه

2 2' 1 ' 1

2 22

p p x py y

x xx

:بالتعويض في عالقة المساحة المعطاة ديكارتيا نجد

0

22 2

2

px p

S px dxx

3 2

2

0

1 22 . (2 ) (3 3 1)

3 3

p

pp x p

حول محور السينات من احسب مساحة السطح الدوراني الناتج من دوران المنحني (:3تمرين )

.أجل المجال

: إن السطح المطلوب يعطى بالعالقة:الحل

، أما حدود التكامل تصبح لحساب هذا التكامل، نغير المتحول، بفرض أن

على الشكل اآلتي:

التكامل كما يلي: ويصبح

نحسب هذا التكامل بطريقة التجزئة، بفرض أن:

siny x

[0, ]

2 2

0 02 1 2 sin 1 cosS y y dx x xdx

sin cosxdx dt x t

0 1 , 1x t x t

1 12 2

1 12 1 2 1S t dt t dt

218

وبالتعويض نجد:

:ومنه نجد

:ويصبح السطح الدوراني للمطلوب

احسب مساحة السطح الدوراني الناتج عن دوران قوس السكلوئيد المعطى بالمعادلتين اآلتيتين: (:4تمرين )

، و

حول محور السينات.

: بما أن المنحني، كما هو واضح، معطى بالشكل الوسيطي، لذلك نحسب كلالحل

:و من

وبالتعويض في عالقة مساحة السطح الدوراني، نجد أن:

(1 cos )y a t ( sin )x a t t 0 2t

txty(1 cos ) ; sinx a t y a t

219

إضافـات مـدرس المقـرر

220