15

الكمون الكهربائي

Electric potential

Introductionمقدمة

𝑉بأنه الطاقة الكامنة لواحدة الشحنة Electric potentialيعرف الكمون الكهربائي =𝑈

𝑞كما .

تعرف الطاقة الكامنة الكهربائية على أنها العمل الذي تبذله قوة محافظة لتحريك شحنة كهربائية من موضع

𝑑𝑊إلى آخر = �� . 𝑑𝑟 ونفول أن القوة محافظهconservative عندما ال يتعلق العمل الذي تنجزه هذه

القوة في تحريك شحنة كهربائية )أو نقطة مادية ( بالطريق المسلوك وإنما بالوضعين البدائي والنهائي فقط.

Electric Potential Due to Point Chargeالكمون الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية .2.1

الكمون الكهربائي بأنه يعرف الكامنة لواحدة الشحنة. كما لطاقةذكرنا أعاله أن الكمون الكهربائي يمثل ا

Cqoالعمل المبذول لنقل واحدة الشحنات الموجبة 1

r، في حقل كهربائي ، من الالنهاية إلى مسافة

.)بعكس جهة الحقل(

(. الكمون الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية1)الشكل

على الشحنة q +تؤثر الشحنة

oq بقوة تعطى حسب كولونFc = qo. E q . ولحساب العمل

الذي تقوم به هذه القوة لنقل الشحنة

oq من الالنهاية إلى النقطة التي تبعد عن+q بقدرr :نكتب

الثانيالفصل

16

Vr

qk

r

qqk

rqqk

r

rdqqkrd

r

qkq

rdEqrdFCosdrFrdFW

o

r

o

rr

oo

r

o

r

C

rr

1

0..

22

EqFFحيث oc

urdrd, و

،�� ، شعاع الواحدة على المحور الحامل𝑞0 = 1 𝐶

منها بالعالقة: rعلى بعد qيحسب كمون الشحنة . إذن

(1) 𝐕 = 𝐤 𝐪

𝐫

ا مع قيمة الشحنة هو مقدار سلمي، تتناسب قيمته طرد qنستنتج مما سبق أن الكمون الكهربائي للشحنة النقطية

وعكسا مع بعد النقطة التي يحسب فيها الكمون عن الشحنة المدروسة.

:الشكلبقيمتها يمكن كتابة العالقة السابقة ب kباستبدال

(2) 𝐕 =𝟏

𝟒𝛑𝛆𝟎

𝐪

𝐫

من الفراغ تبعد عن Mفي نقطة ما iqلتوزع منفصل من الشحنات النقطية TVيحسب الكمون المحصل

:, بالعبارة التالية irمسافات iqالشحنات

i i

i

i

iTr

qkVV

(1مثال )

مة المطلقة، أوجد الكمون الكهربائي في مركز مربع وفي رؤوسه، إذا علمت أن خمس شحنات متساوية في القي

:الشكل أربعة منها سالبة مثبتة على رؤوس المربع، واألخرى موجبة في مركزه، وذلك كما هو موضح في

في إيجاد مايلي:الشكل الحل: نستفيد من تناظر

V1 .كمون الشحنات األربعة في نقطة تواجد إحدى الشحنات السالبة

d

qk

d

qk

d

qk

d

qk

d

qkV )2

2

1()

2

121(

2221

V2 .كمون الشحنات األربعة السالبة في نقطة تواجد الشحنة الموجبة

d

qkV 42

17

(. الكمون الناتج عن عدة شحنات كهربائية2)الشكل

والحقل الكهربائيالعالقة بين الكمون الكهربائي .2.2

Relation between Electric Potential and Electric Field

( فنجد:2لنأخذ تفاضل الطرفين في العالقة )

𝑑𝑉 =𝑞

4𝜋𝜀0. 𝑑 (

1

𝑟)

= −1

4𝜋𝜀0

𝑞

𝑟2𝑑𝑟

إذا:

(3 ) 𝑑𝑉 = −𝐸. 𝑑𝑟

أو

(4 ) 𝐸 = −𝑑𝑉

𝑑𝑟

, �� (𝐄𝐱والكمون منسوبان لجملة إحداثيات ديكارتية، أي وإذا كان الحقل 𝐄𝐲, 𝐄𝐳) و

𝐕(𝐕𝐱 , 𝐕𝐲, 𝐕𝐳) عندئذ يمكننا كتابةdV :من جهة، وفق الصيغة ،

𝑑𝑉 = −�� . 𝑑𝑟

𝑑𝑉 = −𝐸𝑥𝑑𝑥 − 𝐸𝑦𝑑𝑦 − 𝐸𝑧𝑑𝑦

:ومن جهة أخرى، تكتب وفق الصيغة

( 5 ) 𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦 𝑑𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑑𝑦

+q

18

بمقارنة العالقتين السابقتين نجد أن:

(6 ) 𝐸𝑥 = −𝜕𝑉

𝜕𝑥 ,=-

𝜕𝑉

𝜕𝑦 𝐸𝑦 ,

𝜕𝑉

𝜕𝑧 𝐸𝑧= -

يمكن كتابة العالقات الثالث على النحو اآلتي:

( 7 ) �� = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉

تدرج الكمون. –أي أن الحقل الكهربائي يساوي:

Electric Potential Differanceالكهربائي فرق الكمون .2.3

على اعتبار أن الكمون الكهربائي النانج عن شحنة نقطية يتعلق ببعد النقطة المعتبرة عن موقع الشحنة،

Aلذلك هناك فرق في الكمون بين أي نقطتين تقعان في حقل الشحنة الكهربائية. بفرن أن الكمون في النفطة

لكمون بين النقطتين رياضيا بمكاملة عندئذ يمكننا أن نصيغ فرق ا 𝑉𝐵يساوي Bوفي النقطة 𝑉𝐴يساوي

𝑑𝑉طرفي العالقة = −𝐸. 𝑑𝑟

(8 ) 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = ∫ �� . 𝑑𝑟 𝑩

𝑨

يسدداوي إلددى �� واقعتددين فددي حقددل كهربددائي سدداكن B و A أي أن فددرق الكمددون بددين نقطتددين

.جوالن الحقل عند انتقال الشحنة بين النقطتين

) أي فدددي الالنهايدددة ( مدددع افتدددران Bعلدددى مسدددافة كبيدددرة جددددا مدددن النقطدددة Aإذا اخترندددا النقطدددة

عددددم وجدددود شدددحنات كهربائيدددة أخدددرى بدددين النقطتدددين، واعتبرندددا أن الكمدددون فدددي الالنهايدددة صدددفرا ) مبددددأ

𝑉𝐵الكمون ( عندئذ − 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑉 ( على النحو اآلتي 8وبالتالي يمكن كتابة العالقة ):

(9 ) 𝑉 = ∫ �� . 𝑑𝑟 𝐵

∞

النقطة. ( جوالن الحقل الكهربائي من الالنهاية إلى تلك-يساوي ) Bأي أن الكمون في نقطة

19

Electric Potential Energy Due to Point الطاقة الكامنة الكهربائية لشحنة نقطية .2.4

Charge

qوي قيمة تسا Uطاقة كامنة 'qمن شحنة نقطية أخرى rالموضوعة على مسافة qتمتلك الشحنة النقطية

،qفي نقطة تواجد 'qمضروبا بكمون

:الشكلونعبر عن ذلك ب

r

qqk

r

qkq

r

qkqVqU q

''..

أو

(10 )𝐔 =𝟏

𝟒𝛑𝛆𝟎

𝐪.𝐪′

𝐫

(11 )𝐔 = 𝐪. 𝐕

، وبالتالي هناك Uطاقة كامنة جديدة qتمتلك ��مسافة 'qإلى موضع آخر يبعد عن qوعندما تنتقل الشحنة

بين الموضعين الثاني واألول. ونكتب: qفرق في الطاقة الكامنة للشحنة

ΔU = U − U = q(V − V)

يمكن qمن شحنة نقطية 𝑟𝑖موضوعة على مسافات iqمن جهة أخرى، إذا كان لينا عدة شحنات نقطية

على النحو اآلتي: qكتابة صيغة الطاقة الكامنة التي تمتلكها الشحنة

𝐔 = 𝐪.∑𝐕𝐢 = 𝐪.∑ 𝐤𝐪𝐢𝐫𝐢𝐢

𝐢

.Cوالشحنة بالكولون Vواحدته الطاقة الكامنة الجول عندما نقيس الكمون بالفولط

Potential equivalent surface سطوح تساوي الكمون .2.5

الهندسدددي لمجموعدددة نقدددداط الفدددراغ التدددي يكددددون لهدددا نفدددس الكمددددون أنهدددا سددددطحالشددددكل نقدددول عدددن

تساوي كمون ونكتب:

V(x,y,z)= const

كل قيمة للثابت تقابل سطحا معينا.

علددددى سددددبيل المثددددال، سددددطوح تسدددداوي الكمددددون الناتجددددة عددددن شددددحنة نقطيددددة هددددي كددددرات مراكزهددددا

؟(. )لماذا qموضع الشحنة النقطية

( تكون سطوح تساوي 3) الشكل ومن أجل شحنتين متساويتين بالقيمة المطلقة ومتعاكستين باإلشارة ، كما في

يتوسطها سطح تساوي كمون عبارة عن لقطوع مخروطية ناقصة )إهليلجية( جسمات الكمون عبارة عن م

20

وعند تماثلهما باإلشارة نحصل على سطح يمثل اجتماع للسطحين، ونحصل .0Vكمونه معدوم مستوي

0maxفي نقطة اتصال المجسمين )الذروة( فقط، ويكون عندها maxVعلى قيمة عظمى للكمون V

0max، و للشحنتين الموجبتين V .للشحنتين السالبتين

(. سطوح تساوي الكمون 3)الشكل

تمرين:

Eن جوالن الحقل الكهربائي( استنتج أ8انطالقا من العالقة )

من سطح تساوي كمون Bو Aبين نقطتين

.يساوي الصفر

B

A

rdE 0

(2مثال)

q= 4.5X 𝟏𝟎−𝟕فااي أي نقطااة ماان الفاارال يكااون الكمااون المتولااد عاان الشااحنة النقطيااة

coul 450مساويا V؟

الحل:

𝑽 من العالقة =𝟏

𝟒𝝅𝜺𝟎

𝒒

𝒓

21

نجد:

𝟏

𝟒𝛑𝛆𝟎

𝐪

𝐕= 𝟗 𝐗 𝟏𝟎𝟗

𝟒.𝟓 𝐗 𝟏𝟎−𝟖

𝟒𝟓𝟎= 𝟎. 𝟗 𝐦 𝐫 =

جموعة م، بمعنى آخر V 450يكون الكمون فيها مسدددداويا cm 90بمقدار qإذا كل نقطة تبعد عن الشددددحنة

r= 90 cmهي نقاط سددطح كرة مركزها الشددحنة ونصددف قطرها V 450النقاط التي يتولد فيها كمونا قدره

وهي تشكل سطح تساوي الكمون.

مالحظة

ية. إن كامنة الكهربائ قة ال فرق الكمون يجب التمييز بين المفهومين: فرق الكمون الكهربائي، والفرق في الطا

توزع مثال، ويعتمد علىموجود بمجرد وجود مصددددر كمون أي شدددحنة كهربائية نقطية Bو Aبين النقطتين

غير شددددحنات المصدددددر. من جهة أخرى، يتوقف وجود طاقة كامنة الكهربائية على توفر شددددحنتين أو أكثر، وتت

ة مشدددابهة لحالة قيمة الطاقة الكامنة فقط عندما تتحرك الشدددحنة بالنسدددبة إلى بقية الشدددحنات في النظام. هذه الحال

بينما قوة أن الحقل الكهربائي يتشددددددكل بمجرد وجود شددددددحنة كهربائية،الحقل الكهربائي والقوة الكهربائية. إذ

كولون الكهربائية ال تتواجد إال إذا وجدت شحنة كهربائية أخرى في حقل الشحنة األولى.

Electric Difference between Capacitor Platesفرق الكمون بين لبوسي مكثفة .2.6

عند شحن مكثفة فإن كمية الشحنة الموزعة على كال اللبوسين تكون متساوية. لحساب فرق الكمون بين لبوسي

نحسدددددب العمل المبذول في نقل وحدة الشدددددحنات الموجبة Bو Aمكثفة

oq تحت تأثير الحقل المنتظم ،E

،

CFمن اللبوس السالب إلى الموجب )بعكس قوة

كولون المؤثرة(.

(. فرق الكمون بين لبوسي مكثفة:4)الشكل

A

B

o

A

B

C

A

B

A

B

rdEqrdFCosrdFrdFW

A B

d

22

Cqoوبما أن شدة الحقل بين اللبوسين ثابتة ) الحقل داخل اللبوسين منتظم( و 1 نكتب العالقة السابقة على

النحو اآلتي:

dEdEqrdEqW o

B

A

o ..

لعالقة اآلتية:اوفق إذا فرق الكمون بين اللبوسين، والذي يساوي العمل المبذول لنقل واحدة الشحنة، يعطى

(12 )dEWVVVV ABqq.

مالحظة: يمكننا حساب فرق الكمون بين اللبوسين بحساب جوالن الحقل الكهربائي بينهما B

A

AB rdEV

(.8)العالقة

Eلكهربائيبما أن خطوط الحقل الكهربائي عمودية على سطوح تساوي الكمون، فإن جوالن الحقل ا :نتيجة

.من سطح تساوي كمون يساوي الصفر Bو Aبين نقطتين

(14 )

B

A

rdE 0

محلولةتمارين غير

𝑞1لدينا شحنة كهربائية نقطية -1 = 40 𝑋 10−9 𝐶𝑂𝑈𝐿 موضوعة في النقطةA وشحنة أخرى ،

𝑞2 = −30 𝑋 10−9 𝐶𝑂𝑈𝐿 موضوعة في النقطةB بحيث أنAB= 10 cm :والمطلوب

حساب الكمون الكهربائي المتولد عن الشحنتين السابقتين في النقاط اآلتية:

النقطةC منتصفAB.

النقطةD التي تبعد cm 8 1عنq و cm 6 2عنq.

النقطةE الواقعة على محورAB 10وتبعد مسافة cm .عن كل من الشحنتين

𝑦على محور العينات في النقطتين 𝑞2 و 𝑞1 شحنتان نقطيتان متساويتانتوضع -2 = ±𝑎

والمطلوب:

ماهي قيمة الكمون في مبدأ اإلحداثيات؟ (1

تصبح قيمة الكمون مساوية نصف قيمته في المبدأ. x -من أجل أي قيمة ل (2

23

، موضوعة على رؤوس مثلث r=5 cmنصف قطر كل منها ،ةثالث كرات معدنية مشحون -3

، فإذا cm 20متساوي األضالع طول ضلعه

علمت أن:

: aشحنة الكرة

𝑞𝑎 = 1.6. 𝑋 10−9 𝑐𝑜𝑙

:bشحنة الكرة

𝑞𝑏 = −3.2 𝑋 10−9 𝑐𝑜𝑙

c: 𝑉𝑐الكمون الكلي للكرة = 0 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠

:والمطلوب

.cاحسب شحنة الكرة (1

؟bو aاحسب الكمون الكلي للكرتين (2

𝒒𝟐 d وو 𝒒𝟏 بداللة V) أحسب Mأدناه ثم احسب الكمون الكهربائي في النقطة الشكل الحي -4

(a و

لمزيد من المعلومات:

Physics for Sientists and Engineers with Modern Physics 9th edi. 2015, P.746-765

م2010الفيزياء اإللكترونية د. صالح الدين نور الدين منشورات جامعة تشرين

/http://ar.wikipedia.org/wikiاإلطالع على الموقع

24

إضافات مدرس المقرر