Θεωρία De Broglie [1923]

• Αξίωμα De Broglie : Αφού τα φωτόνια είναι και κύματα και σωματίδια

γιατί να μην συμπεριφέρονται και τα σωματίδια ως κύματα ??

ΤΑ ΦΩΤΟΝΙΑ ενέργιας

Ε =h.ν ενέχουν ορμή :λλ

h

c

hc

c

hv

c

Ep ====

Ομοίως και σωματίδια ορμής p = m.υ συμπεριφέρονται ως κύματα που έχουν μήκος κύματος λ = h / p και συχνότητα f = Εσ / h

2

2

0

1c

m

h

m

h

υ

υυλ

−

⋅=

⋅=

Πειραματική Επαλήθευσης της θεωρίας De Broglie[Πείραμα Davisson-Germer και G.Tomson (1927)]

Τα κύματα De Broglie των e- περιθλώνται από τον στόχο όπως οι ακτίνες

χ περιθλώνται από τα επίπεδα ατόμων ενός κρυστάλου

Ανάλυση ΠειραμάτωνΣυνθήκη της εποικοδομητικής συμβολής των σκεδαζόμενων κυμάτων – ακτίνων χ από μία τέλεια περιοδική διάταξη ατόμων είναι η ακόλουθη Σχέση του Bragg

λϑ ⋅=⋅⋅ nd )sin(2

Για κύματα-e- που έχουν Ε = 54eV και περιθλώνται

από ένα μονοκρύσταλλο Ni εμφανίζουν μέγιστο

στην κατανομή τους σε γωνία φ = 50°

Επομένως για γωνίας πρόσπτωσης θ=(π-φ)/2=65°

και για d=0.091 nm (μέτρηση με χρήση ακτίνων χ)

το μήκος κύματος των e- πρέπει να είναι

λ = 0.165 nm

nmTm

h

m

he 166.0

2 0

=⋅

=⋅

=υ

λ

Ερμηνεία κβαντικών συνθηκών του Bohr βάσει της θεωρίας του De Broglie

Οι μόνες παρατηρούμενες – επιτρεπτέςτροχίες ενός e- στο άτομο είναι αυτές όπουτο κατά De Broglie κύμα που συνοδεύει τοe- είναι στάσιμο επί κυκλικής τροχίας 2πrδηλαδή:

Αρχή διατήρησης της στροφορμής κατά BOHR

h⋅=⋅⋅ nrm υ

h⋅=⋅⋅→⋅=⋅

⋅→⋅=⋅ nrmrm

hnrn υπ

υπλ 22

Τα e- κινούνται σε επιτρεπτές κβαντισμένες τροχίες χωρίς να εκπέμπούν Η/Μ ακτινοβολία

Σε μια χορδή μήκους L το μήκος

κύματος των στασίμων κυμάτων

παίρνει διακριτές τιμές λ

Ένα e- εγκλωβισμένο σε ένα κιβώτιο

μήκους L είτε σε ένα φρέαρ δυναμικού

εύρους L θα βρίσκεται σε ενεργειακές

καταστάσεις Ε

( )2

2

2

2

2

2

2

222

822

222

1n

mL

h

n

Lm

h

m

h

m

pmE ====⋅⋅=

λυ

n

L2=λ ,.....3,2,1=n

Τι είδους κύματα συνοδεύουν τα σωματίδια

Ταχύτητα φάσης

( ) )cos(2cos, kxtAvtAtx −==Ψ ωπ

vπω 2=

wvk

ω

λ

ω

λ

π===

2

Γωνιακή ταχύτητα

Κυματάριθμος

])()cos[()cos(21 xdkktdAkxtA +−++−=Ψ+Ψ=Ψ ωωω

−−=Ψ x

dkt

dkxtA

22cos)cos(2

ωω

υ

ω 2c

kw ==

Ταχύτητα ομάδας υω

==dk

du

ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ(x,t)

2

2

22

2 1

dt

d

dx

d Ψ=

Ψ

υ

)()cos(2cos),( kxtFkxtAvtAtx −=−==Ψ ωωπ

Η γενική λύση για αρμονικά κύματα με σταθερό πλάτος και γωνιακή συχνότητα

που διαδίδονται προς +x δίνεται ως:

)()( kxtiAekxtF

−−=−=Ψ ωω

12 −=i

Η κυματοσυνάρτηση Ψ ικανοποιεί τη κυματική εξίσωση που περιγράφει την

κίνηση κύματος που οδεύει με ταχύτητα υ στην κατεύθυνση x

( ) ),(),(, txBitxAtx ⋅+=Ψ

)sin()cos( kxtiAkxtA −−−=Ψ ωω

Σε μια χορδή μήκους L το μήκος κύματος των στασίμων κυμάτων παίρνειδιακριτές τιμές λ καθώς δύο αντίθετες και σύμφωνες κυμάνσεις διαδίδονταιταυτόχρονα σε πεπερασμένο μέσο με τελικό αποτέλεσμα η συνισταμένηκίνηση να περιγράφεται από τη συνάρτηση Ψ(x,t)

Στάσιμα εγκάρσια κύματα σε χορδή μήκους L

( ) ( )tfxtkxAtx ⋅=−=Ψ ψωcos)sin(2),(

Το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης δίνεται τελικά ως:

⋅⋅Α=

⋅⋅Α=

⋅Α=⋅= x

L

n

L

nkxAx

ππ

λ

πψ sin

2

2sin

2sin)sin(2)(

n

L2=λ

,.....3,2,1=n

21),( Ψ+Ψ=Ψ tx

)cos()cos(),( kxtAkxtAtx ++−=Ψ ωω

Κίνηση ελεύθερου e- - υλοκύμα De Broglie

Για ένα e- - κύμα de Broglie (υλοκύμα) που κινείται προς την κατεύθυνση +xμε σταθερή ταχύτητα υ ≡ ταχύτητα ομάδας u, η συνάρτηση κίνησης –κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t) μπορεί να εκφραστεί ως:

( ))()(2

)(,pxEt

ixti

kxtiAeAeAetx

−−−−−− ===Ψ hλ

νπω

νπν ⋅⋅=⋅= h2hE

pp

h hπλ

2==

Το υλοκύμα συνοδεύει ένα ελεύθερο σωμάτιο με ολική ενέργεια Ε που κινείται με σταθερή ορμή p. Όταν υ < c η ολική ενέργεια είναι το άθροισμα της κινητικής Τ και δυναμικής V ενέργειας του σωμάτιου

),(2

),(),(2

txVm

ptxVTtxE +=+=

ΑΡΧΗ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ του Heisenberg

Η κυματοσυνάρτηση δίνει μια κατανομή πιθανότητας όταν θέλουμε ναπροσδιορίσουμε την θέση του σωματιδίου

xxx ∆+=

Όπου <x> η αναμενόμενη θέση του – μέση τιμή των πιθανών καταστάσεων του

και Δx η απροσδιοριστία της θέσης – εύρος κατανομής πιθανών καταστάσεων

Η απροσδιοριστία είναι (α) χαρακτηριστικό των μετρούμενων μεγεθών [το κβάντοδράσης είναι h] και (β) σύμφυτη με την κυματική υφή των σωματιδίων [δεν υπαρχεισημειακό υλοκύμα]

( ))(

)(,

pxEti

kxtiAeAetx

−−−− ==Ψ hω

ΑΡΧΗ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ του Heisenberg

2

11

2

1

2

1=⋅→⋅== m

m

m kxk

x λ

2

1≥∆⋅∆ kx

ph

kh

pk ∆⋅=∆→

⋅==

ππ

λ

π 222

2

11

2

1=⋅→⋅= tt ω

ω

ωπνπω ⋅=→⋅=⋅=⋅ hEEhh 22

E∆=∆h

1ω

2

1≥∆⋅∆ tω

2

h≥∆⋅∆ tE

24

h≥≥∆⋅∆

π

hpx

( ))(

)(,

pxEti

kxtiAeAetx

−−−− ==Ψ hω

Εξίσωση SCHRÖDIGER

),(2

),(2

txVm

ptxE +=

Ψ⋅+Ψ∇⋅−=∂

Ψ∂⋅ V

mti

22

2

hh

Ψ⋅=Ψ∇⋅−↔Ψ−=∂

Ψ∂ 222

2

2

2

2

pp

xh

h

Ψ⋅=Ψ⋅−=∂

Ψ∂E

i

iE

t hh

1

Ψ⋅+Ψ⋅

=Ψ⋅ Vm

pE

2

2

Η εξίσωση δεν είναι Σχετικιστική [Dirac] και το Η/Μ πεδίο είναι συνεχές (V) ενώ

το Η/Μ κύμα είναι κβαντισμένο [Feynmann, QCD]

Για ένα e- - κύμα de Broglie (υλοκύμα) που κινείταιπρος την κατεύθυνση +x με συνάρτηση κίνησης –κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t) τότε αυτή θα πρέπει ναπληρεί την γενική εξίσωση ενός κύματος :

2

2

22

2 1

dt

d

dx

d Ψ=

Ψ

υ

Περιγράφει την κυματοσυνάρτηση

Ψ(x,t) για ένα e- - κύμα de Broglie

(υλοκύμα) που κινείται εντός

χρονικά μεταβαλλόμενου δυμανικού

V [V=V (x,y,z,t)] – Χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödiger

( ))(

,pxEt

i

Aetx−−

=Ψ h

ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΨΗ κυματοσυνάρτηση Ψ = Ψ (x,y,z,t) είναι μια μιγαδική συνάρτηση καιπεριγράφει την κίνηση του υλοκύματος που συνοδεύει σωμάτιο μάζαςm πάνω στην οποία ασκείται δυναμικό V = V (x,y,z,t)

222222)()( BABiAiBAiBA +=−=+⋅−=Ψ∗Ψ=Ψ

Η πιθανότητα P = P (x,y,z,t) να βρεθεί το σωματίδιο που περιγράφεται από την Ψ εντός

στοιχειώδους όγκου dV κάποια χρονική στιγμή dt ορίζεται ως:

dVdttzyxtzyxP2

),,,(),,,( Ψ=

Η Πυκνότητα πιθανότητας 2׀Ψ׀ ύπαρξης ενός σωματιδίου είναι μια πραγματική

συνάρτηση που προκύπτει από το γινόμενο δύο συζυγών κυματοσυναρτήσεων

( ) ),,,(),,,(,,, tzyxBitzyxAtzyx ⋅+=Ψ

12 −=iΨ⋅+Ψ∇⋅−=

∂

Ψ∂⋅ V

mti

22

2

hh

Εξίσωση SCHRÖDIGER

( ) )()(,)(

)(tfxeeAAeAetx

tiE

xip

pxEti

kxti ⋅=⋅⋅===Ψ−+−−

−− ψω hhh

)()(

2

2

2

2

xx

xψ

υ

ωψ⋅−=

∂

∂)()(

1)()( 2

22

2

tfxx

xtf ⋅⋅⋅−=

∂

∂ωψ

υ

ψ

( )( )VE

mp

phk −===

==

22

2

2

22

2

2

2 2

/

42

hh

π

λ

π

υ

ω

( ) )(2)(

22

2

xVEm

x

xψ

ψ⋅−−=

∂

∂

h

ψψψ ⋅=⋅+∇− EVm

22

2

hΠεριγράφει την μεταβολή του πλάτους ψ(x) τηςκυματοσυνάρτησης Ψ(x,t) για ένα e- - κύμα deBroglie (υλοκύμα) που κινείται εντός δυμανικούV που είναι σταθερό με τον χρόνο [V=V (x,y,z)] –Ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση Schrödiger

Το υλοκύμα συνοδεύει ένα ελεύθερο σωμάτιο με σταθερή με τον χρόνο ολικήενέργεια Ε που κινείται με σταθερή ορμή p. Όταν υ < c η ολική ενέργεια είναι τοάθροισμα της κινητικής Τ και δυναμικής V ενέργειας του σωμάτιου

)(2

)(2

xVm

pxE +=

2

2

22

2 1

dt

d

dx

d Ψ=

Ψ

υ

ΙΔΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψΗ ιδιοσυνάρτηση ψ = ψ (x,y,z) είναι επίσης μια μιγαδική συνάρτησηκαι περιγράφει την κίνηση του υλοκύματος που συνοδεύει σωμάτιομάζας m πάνω στην οποία ασκείται δυναμικό V = V (x,y,z) οπότε τοσωμάτιο βρίσκεται σε ενεργειακά στάσιμες καταστάσεις-ιδιοκαταστάσεις για διάφορες τιμές της ολικής του ενέργειαςιδιοτιμές Ε

12

=∫+∞

∞−

dVψ

Όταν διαφορετικές καταστάσεις του

σωματιδίου – ιδιοσυναρτήσεις έχουν

την ίδια ολική ενέργεια – ιδιοτιμή Ε

τότε καλούνται εκφυλισμένες

1...0),,(2

== ∫+∞

∞−

dVzyxP ψ

ψψψ ⋅=⋅+∇− EVm

22

2

h

Το σωματίδιο συνοδεύεται από ένα κύμα πιθανότητας Ρ

Πείραμα των δύο σχισμών

Η πιθανότητα P ανίχνευσης του e- όταν και οι δύο σχισμές είναι ανοιχτές

ϕcos2~ 21

2

2

2

1

2

21

2⋅Ψ⋅Ψ+Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=ΨP

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ένα κιβώτιο μήκους L είτε σε ένα φρέαρ δυναμικού εύρους L και απείρου βάθους

Ένα e- - υλοκύμα – κύμα de Broglie εγκλωβισμένοσε ένα κιβώτιο μήκους L είτε σε ένα φρέαρδυναμικού εύρους L και απείρου βάθους θαβρίσκεται σε ενεργειακές καταστάσεις ιδιοτιμέςΕ = h.f όπου f η συχνότητα de Broglie.

Για e- δέσμια με ολική ενέργεια Ε και συχνότητα fπου παραμένει σταθερή η συνάρτηση κίνησης –κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t) μπορεί να εκφραστεί ως:

( ) )()(,)(

tfxeeAAetxt

iEx

ippxEt

i

⋅=⋅⋅==Ψ−+−−

ψhhh

( ) )(2)(

22

2

xVEm

x

xψ

ψ⋅−−=

∂

∂

h

0 ≤ x ≤ L V = const = 0

0)(2)(

22

2

=⋅+∂

∂xE

m

x

xψ

ψ

h

+

= x

mEBx

mEA

hh

2cos

2sinψ

x = 0 V→∞ και ψ(0) = 0

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ένα κιβώτιο μήκους L είτε σε ένα φρέαρ δυναμικού εύρους L και απείρου βάθους

⋅Α=

Α= x

L

nx

mEx

n

n

πψ sin

2sin)(

h,....3,2,1=n

2

2

222

2

2

28n

mLn

mL

hE n

hπ==

,....3,2,1=nπnLmE

=⋅h

2

0=B

+

= x

mEBx

mEA

hh

2cos

2sinψ

x = L V→∞ και ψ(x)=0

Ιδιοτιμές ενέργειας Ε του συστήματος

,....3,2,1=n

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ένα κιβώτιο μήκους L είτε σε ένα φρέαρ δυναμικού εύρους L και απείρου βάθους

Οι ιδιοσυναρτήσεις ψn που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές ενέργειας Εn

0 ≤ x ≤ L V = const = 0

⋅Α=

Α= x

L

nx

mEx

n

n

πψ sin

2sin)(

h

2

2

222

2

2

28n

mLn

mL

hE n

hπ==

,....3,2,1=n

1)(2

=∫+∞

∞−

dxxψ

12

sin)()( 2

0

2

2

0

22==

== ∫∫∫

+∞

∞−

LAdx

L

xnAdxxdxx

LL πψψ

⋅⋅= x

L

n

Lxn

πψ sin

2)( ,....3,2,1=n

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ένα κιβώτιο μήκους L είτε σε ένα φρέαρ δυναμικού εύρους L και απείρου βάθους

Στάσιμο κύμα σε χορδή μήκους L

Ένα e- - υλοκύμα – κύμα de Broglie εγκλωβισμένο σε ορθογώνιο φρέαρ δυναμικούεύρους L και βάθους U περιγράφεται από την χρονικά ανεξάρτητη εξίσωσηSchrödiger

[ I ] x < 0

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού εύρους L και βάθους U

( ))(

2)(22

2

xUEm

x

xψ

ψ⋅

−−=

∂

∂

h

−−

−

⋅+⋅=x

EUmx

EUm

eBeAxhh

)(2)(2

)(ψ

[ II ] 0 ≤ x ≤ L

−⋅+

−⋅= x

EUmGx

EUmFxII

hh

)(2cos

)(2sin)(][ψ

−

⋅=x

EUm

I eAxh

)(2

][ )(ψ

[ IIΙ ] x > L

−−

⋅=x

EUm

III eBxh

)(2

][ )(ψ

Σωματίδιο εγκλωβισμένο σε ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού εύρους Lκαι βάθους U

Οριακές Συνθήκες

x = 0 ][][ III ψψ =dx

d

dx

d III ][][ ψψ=

x = L ][][ IIIII ψψ =dx

d

dx

d IIIII ][][ ψψ=