Субботний семинар 7 класс

Логика

1. Петя сказал: “Если кот шипит, то рядом собака, и наоборот, если собаки рядом нет, то кот нешипит”. Не сказал ли Петя чего-то лишнего?

2. Вася написал на доске натуральное число. После этого Катя и Маша сказали: — У этого числа четная сумма цифр. — У этого числа число нечетных цифр нечетно.Сколько среди этих утверждений верны?

3. Среди 5 школьников A, B, C, D, E двое всегда лгут, а трое всегда говорят правду. Каждый из нихсдавал зачет, причем все они знают, кто сдал зачет, а кто — нет. Они сделали следующие утверждения.A: ”B не сдал зачет”. B: “C не сдал зачет”. C: “A не сдал зачет”. D: “E не сдал зачет”. E: “D не сдал зачет”. Сколько из них зачет сдали?

4. В школе прошёл забег с участием 5 спортсменов, и все заняли разные места. На следующий денькаждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 5.Сумма их ответов оказалась равна 22. Какое наименьшее число врунишек могло быть?

5. На острове живут племя рыцарей и племя лжецов. Однажды каждый житель острова заявил: “Вмоем племени у меня больше друзей, чем в другом”. Может ли рыцарей быть меньше, чем лжецов?

6. Четырехзначное чиcло таково, что все его цифры различны, а также известно, что числа 5860, 1674,9432, 3017 содержат ровно по две цифры, принадлежащие этому числу, однако ни одна из них не стоитв том же месте, что и в этом числе. Найдите его.

7. 2011 школьников и студентов встали по кругу. Каждый из них по очереди произнес фразу “Оба моисоседа — школьники”. Если про студента солгали, он обижается и становится школьником. Если прошкольника сказали правду, он радуется и становится студентом. Когда школьников было больше — вначале, или в конце?

8. В поселке некоторые дома соединены проводами. Соседями называются двое, дома которых связаныпроводом. Всегда ли удастся поселить в каждый дом по одному человеку: лжецу или рыцарю — так,чтобы каждый на вопрос: “Есть ли среди ваших соседей лжецы?” ответил положительно? (Каждыйзнает про каждого из своих соседей, лжец он или рыцарь).

Листок 19. Симметрия

1 Расположите в кружочках (см. рис.) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чиселих сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центраокружности).

2 Ожерелье состоит из 10 бусин, расположенных по окружности на одинаковом расстоянии друг отдруга. Закрасьте некоторые бусины из ожерелья так, чтобы ожерелье не имело оси симметрии.3 Число называется симметричным, если оно одинаково читается слева направо и справа налево(например: 1001 или 2992). Какое наибольшее количество четырёхзначных симметричных чисел можетидти подряд?4 а) На доске 25 ⇥ 25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительноодной из двух главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

б) Расположение шашек теперь симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что однаиз них расположена в центральной клетке.5 Придумайте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру,имеющую ось симметрии.

6 В квадрате 8⇥8 можно закрашивать клетки по одной так, чтобы каждый раз получающаяся фигураимела ось симметрии. Можно ли таким образом закрасить 28 клеток?7 Можно ли правильный шестиугольник (т.е. такой, у которого вершины расположены по окружностина одинаковом расстоянии друг от друга) разрезать на пять остроугольных треугольников?

8 Дана доска 15 ⇥ 15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезкамитак, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной издиагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

25

Листок 17. Примеры и контрпримеры

Если утверждение верно всегда, то докажите его, а если хоть в одном случае неверно, то покажите,что это за случай (приведите контрпример).1 Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений. а) Все простые числа � нечет-ные. б) Все прямоугольники являются квадратами. в) Каждое натуральное число либо простое, либосоставное. г) Все четырехугольники, у которых все стороны равны, являются квадратами.2 Вася думает, что если площадь первого прямоугольника больше площади второго, а также периметрпервого больше периметра второго, то из первого можно вырезать второй. Прав ли он?3 Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов.Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов вхорошие?4 Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5 ⇥ 8 и проведите в каждой выбранной клетке одну издиагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.5 Барон Мюнхгаузен утверждает, что может для некоторого N так переставить числа 1, 2, . . . , N вдругом порядке и затем выписать их все подряд без пробелов, что в результате получится многозначноечисло-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Не хвастает ли барон?6 На доске написаны три различных числа от 1 до 9. Одним ходом разрешается либо прибавить кодному из чисел 1, либо вычесть из всех чисел по 1. Верно ли, что всегда можно добиться того, чтобына доске остались только нули, сделав не более 23 ходов?7 Рома придумал теорему: Если число A является квадратом натурального числа B, а также каж-дая цифра числа A делится на 3, то и каждая цифра числа B делится на 3. Верна ли ромина теорема?

23

Субботний семинарПоследовательности

7 апреля 2018

Задача 1Найдите недостающие числа:

Задача 2Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен,склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок?

Задача 3Продолжите последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, …

Задача 4Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый –большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д.Какой палец будет по счету 2004-м?

Задача 5На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду— 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа. _ _|_|_ _|_|_|_|_ _|_|_|_|_|_|_ |_|_|_|_|_|_|_| ..................... _ _ _ _ _ _ _ _ |_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|

Рис. 1

Задача 6Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел -положительной?

Задача 7Найдите наибольший член последовательности .

Задача 8Замените знаки вопроса соответствующим числом:

Задача 9Точные квадраты. Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д. (в середину предыдущего числавставляется число 15).

Задача 10Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, завторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?

Задача 11Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

Задача 12Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три равные по весу кучки.

Задача 13а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет.б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

Задача 14Петя вынимает из мешка чёрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цветазапрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, — красные, а двадцать пятая — чёрная. Какого цвета двадцать шестаявыложенная карточка?

Задача 15Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдется член, в котором есть 100 девяток подряд.

Задача 16Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.

Задача 17Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213...

Задача 18Найти сумму. Найти сумму

.

Задача 19В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладаютстранным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев,растущих через три от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома?

Задача 20

Докажите, что при любом натуральном n   

Задача 21Последовательность {xn} определяется условиями:  

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.

Задача 22Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.

Задача 23а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькимиспособами Леша может подняться по лестнице?

б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он можетспуститься по этой лестнице?

Задача 24Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой жетреугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше, чем Саше, а Сашас ним не согласен. Кто из мальчиков прав?

Задача 25Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечкубольше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

Задача 26Можно ли в записи  20132 – 20122 – ... – 22 – 1  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения сталоравно 2013?

Задача 27Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.   б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Задача 28Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых  370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг  (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг),на семи трёхтонках?

Задача 29Докажите тождество

+ +..+ = = + +..+ .

Задача 30В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли вэтой последовательности:

  а) набор цифр 1234; 3269;   б) вторично набор 1975;   в) набор 8197?

Задача 31Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

Задача 32По кругу записано больше трех натуральных чисел, сумма которых равна 37. Известно, что суммы любых трех последовательных чиселравны между собой. Какие числа написаны по кругу?

Задача 33Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Задача 34На какую цифру оканчивается число 19891989? А на какие цифры оканчиваются числа 19891992, 19921989, 19921992?

Задача 35Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:  e1 = 2, en =e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2). Все ли числа en являются простыми?

Задача 36В десятичной записи числа 1/7 зачеркнули 2013-ю цифру после запятой (а другие цифры не меняли).

Как изменилось число: увеличилось или уменьшилось?

Задача 37В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

Задача 38Найдите последнюю цифру числа 77

7.

Задача 39Дана квадратная таблица. В каждой её клетке стоит либо плюс, либо минус, причём всего плюсов и минусов поровну.

Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов.

Задача 40Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому –столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому ипятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?

Задача 41Мальвина записала по порядку 2016 обыкновенных правильных дробей: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, ... (в том числе, и сократимые). Дроби, значениекоторых меньше чем 1/2, она покрасила в красный цвет, а остальные дроби – в синий. На сколько количество красных дробей меньшеколичества синих?

Задача 42В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количествучисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.

  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).   б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Задача 43Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всехпредыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению. 

Задача 44В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клеткув любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (k-й сдвиг происходит на 2k-1 клеток). Тот, ктоне может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

Задача 45На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеетвозможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда нестало четырёхзначным? 

Задача 46Заменим в произведении 100· 101·102·...·200 все числа на 150. Увеличится или уменьшится произведение? Тот же вопрос для суммы.

Задача 47По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Суммавсех чисел равна 1. Найти эти числа.

Задача 48а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел,складываем. Сколько получится?

б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Задача 49a1 = a2 = 1,  an+1 = anan–1 + 1.  Доказать, что an не делится на 4.

Задача 50``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматнуюдоску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

        

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Задача 51В волейбольном турнире команды играют друг с другом по одному матчу. За победу дается одно очко, за поражение – ноль. Известно, что водин из моментов турнира все команды имели разное количество очков. Сколько очков набрала в конце турнирапредпоследняя команда, и какона сыграла с победителем?

Задача 52  а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.   б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

Разбиения на пары и группы

Задача 1Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Задача 2Докажите, что   1/2 – 1/3 + 1/4 – 1/5 + ... + 1/98 – 1/99 + 1/100 > 1/5.

Задача 3Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, чтоа) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.Прав ли он в обоих случаях? Почему?

Задача 4Каких чисел больше среди всех чисел от 100 до 999: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифраменьше обеих крайних?

Задача 5Назовём шестизначное число счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всехсчастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Задача 6Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.

Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?

Задача 7Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.

В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Задача 8При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?

Задача 9В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другувсе известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Задача 10Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:

Задача 11Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Задача 12Докажите, что  1 + 277 + 377 + ... + 199677  делится на 1997.

Задача 13Докажите, что составное число n всегда имеет делитель, больший 1, но не больший   .

Задача 14Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них - мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротивдруга.

Задача 15

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний,проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

Задача 16Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

Задача 17Доказать: число делителей n не превосходит 2 .

Задача 18Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Задача 19Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

Задача 20Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;   2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Задача 21Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел изнабора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Задача 22У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Задача 23Дана шахматная доска. Ее вертикали перенумерованы числами от 1 до 8, а горизонтали обозначены латинскими буквами от a до h.Рассматриваются покрытия доски доминошками, содержащими две соседние клетки. Каких разбиений больше - тех, которые содержатдоминошку a1-a2, или тех, которые содержат доминошку b2-b3?

Задача 24Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

Задача 25Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают и каждая садится на одно из соседнихдеревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?

Задача 26Докажите, что число  11999 + 21999 + ... + 161999  делится на 17.

Задача 27Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Задача 28На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которыепопарно касаются друг друга, равна 10  г. Найдите суммарную массу всех 18  монет на границе треугольника.

Задача 29В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что

  а) число членов чётно.   б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

Задача 30Двое играют на шахматной доске 8×8. Начинающий игру делает первый ход – ставит на доску коня. Затем они по очереди его передвигают (пообычным правилам), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигравшим считается тот, кому некуда ходить. Ктовыигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр?

Задача 31В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего неположили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2006 шкатулок с содержимым.Сколько пустых?

Разбиения на пары и группы

Задача 1Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Задача 2Докажите, что   1/2 – 1/3 + 1/4 – 1/5 + ... + 1/98 – 1/99 + 1/100 > 1/5.

Задача 3Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, чтоа) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.Прав ли он в обоих случаях? Почему?

Задача 4Каких чисел больше среди всех чисел от 100 до 999: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифраменьше обеих крайних?

Задача 5Назовём шестизначное число счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всехсчастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Задача 6Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.

Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?

Задача 7Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.

В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Задача 8При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?

Задача 9В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другувсе известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Задача 10Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:

Задача 11Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Задача 12Докажите, что  1 + 277 + 377 + ... + 199677  делится на 1997.

Задача 13Докажите, что составное число n всегда имеет делитель, больший 1, но не больший   .

Задача 14Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них - мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротивдруга.

Задача 15

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний,проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

Задача 16Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

Задача 17Доказать: число делителей n не превосходит 2 .

Задача 18Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Задача 19Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

Задача 20Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;   2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Задача 21Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел изнабора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Задача 22У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Задача 23Дана шахматная доска. Ее вертикали перенумерованы числами от 1 до 8, а горизонтали обозначены латинскими буквами от a до h.Рассматриваются покрытия доски доминошками, содержащими две соседние клетки. Каких разбиений больше - тех, которые содержатдоминошку a1-a2, или тех, которые содержат доминошку b2-b3?

Задача 24Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

Задача 25Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают и каждая садится на одно из соседнихдеревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?

Задача 26Докажите, что число  11999 + 21999 + ... + 161999  делится на 17.

Задача 27Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Задача 28На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которыепопарно касаются друг друга, равна 10  г. Найдите суммарную массу всех 18  монет на границе треугольника.

Задача 29В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что

  а) число членов чётно.   б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

Задача 30Двое играют на шахматной доске 8×8. Начинающий игру делает первый ход – ставит на доску коня. Затем они по очереди его передвигают (пообычным правилам), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигравшим считается тот, кому некуда ходить. Ктовыигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр?

Задача 31В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего неположили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2006 шкатулок с содержимым.Сколько пустых?

Разбиения на пары и группы

Задача 1Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Задача 2Докажите, что   1/2 – 1/3 + 1/4 – 1/5 + ... + 1/98 – 1/99 + 1/100 > 1/5.

Задача 3Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, чтоа) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.Прав ли он в обоих случаях? Почему?

Задача 4Каких чисел больше среди всех чисел от 100 до 999: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифраменьше обеих крайних?

Задача 5Назовём шестизначное число счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всехсчастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Задача 6Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.

Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?

Задача 7Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные.

В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Задача 8При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?

Задача 9В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другувсе известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Задача 10Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:

Задача 11Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Задача 12Докажите, что  1 + 277 + 377 + ... + 199677  делится на 1997.

Задача 13Докажите, что составное число n всегда имеет делитель, больший 1, но не больший   .

Задача 14Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них - мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротивдруга.

Задача 15

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний,проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

Задача 16Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

Задача 17Доказать: число делителей n не превосходит 2 .

Задача 18Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Задача 19Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

Задача 20Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:

  1) на поле e4 пешку ставить нельзя;   2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4?

Задача 21Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел изнабора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Задача 22У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Задача 23Дана шахматная доска. Ее вертикали перенумерованы числами от 1 до 8, а горизонтали обозначены латинскими буквами от a до h.Рассматриваются покрытия доски доминошками, содержащими две соседние клетки. Каких разбиений больше - тех, которые содержатдоминошку a1-a2, или тех, которые содержат доминошку b2-b3?

Задача 24Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

Задача 25Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают и каждая садится на одно из соседнихдеревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?

Задача 26Докажите, что число  11999 + 21999 + ... + 161999  делится на 17.

Задача 27Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Задача 28На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которыепопарно касаются друг друга, равна 10  г. Найдите суммарную массу всех 18  монет на границе треугольника.

Задача 29В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что

  а) число членов чётно.   б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

Задача 30Двое играют на шахматной доске 8×8. Начинающий игру делает первый ход – ставит на доску коня. Затем они по очереди его передвигают (пообычным правилам), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигравшим считается тот, кому некуда ходить. Ктовыигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр?

Задача 31В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего неположили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2006 шкатулок с содержимым.Сколько пустых?