ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

САМАРА 2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРТСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Методические указания

САМАРА

2015

УДК 510.2

ББК 22.1

Составители И.В. Семенова, М.В. Морозова

Рецензент Р.М. Рудман

Бинарные отношения: метод. указания / сост. И.В. Семенова, М.В.

Морозова. – Самара, 2015. –18 с.

В пособии изложены основы такого раздела дискретной математики

как «Бинарные отношения». Помимо основных понятий и теоретических

результатов, пособие включает также методы, алгоритмы и примеры

решения типовых задач.

Предназначено для студентов специальностей «Фундаментальная

математика и механика», «Математическое обеспечение и

администрирование информационных систем», изучающих данную тему по

курсам «Дискретная математика» и «Математический анализ».

УДК 510.2

ББК 22.1

И.В. Семенова, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................. 2

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ................................................................................................................. 3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ........................................................................................................................ 5

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................. 8

3. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ .................................................................................................................. 9

4. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ............................................................................. 15

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ....................................................................................... 16

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ .................................................................................................. 18

2

ВВЕДЕНИЕ

Термин «дискретная математика» начал входить в научный обиход на рубеже

50-х и 60-хгг. XXв. для обозначения системы новых математических дисциплин,

таких, как теория булевых функций, теория конечных автоматов, теория графов,

теория кодирования и др. Иногда в него вкладывают и более широкий смысл,

полагая, что если в основе математики лежит понятие множества, то в основе

дискретной математики лежит понятие дискретного множества.

Дискретная математика имеет широкий спектр приложений, прежде всего в

областях, связанных с информационными технологиями и компьютерами. Эта

область математики привлекательна для решения задачи на компьютере в терминах

аппаратных средств и программного обеспечения с привлечением организации

символов и манипуляции данными.

Целью пособия является изложить основы раздела дискретной математики

«Бинарные отношения» в доступной форме. Помимо основных понятий и

теоретических результатов, данное пособие включает методы, алгоритмы и

примеры решения типовых задач, а также примеры практического применения,

рассмотренных понятий и методов, контрольные вопросы и задания.

Контрольные задания и упражнения с достаточной полнотой отражают

содержание темы и являются хорошим средством самоконтроля и проверки знаний

студентов.

Приведенный в конце пособия список литературы позволяет познакомиться с

трудами основоположников данного раздела дискретной математики и в сравнении

с трудами современников, сформировать представление об историческом развитии

дисциплины и эволюции ее понятий и методов.

3

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Обозначение Применение Пример

Числовые множества

N Натуральные числа 1, 2, 3

Z Целые числа 0, 1, -1, 2, -2

Q Рациональные числа 3

1,

2

1

R Вещественные числа 1.0, 1.5, 2 ,

Множества

А, B … Z Неупорядоченные множества

различных элементов А={1, 2, 3}

U Универсальное множество

Пустое множество

naaa ,...,,

21

Элементы неупорядоченного

множества 1, 2, 3, …, n

|| A Мощность множества А 3|A|},3,2,1{A

Aa Элемент а принадлежит множеству

А }3,2,1{1

Aa Элемент а не принадлежит

множеству А }3,2,1{4

BA А включено в В (А – подмножество

В) }3,2,1{}3,2{

BA А не включено в В }3,2,1{}4,2{

BA Равные множества }3,2,1{}1,2,3{

BA Неравные множества }3,2,1{}4,2,1{

BA Объединение А и В }3,2,1{}3,2{}2,1{

4

BA Пересечение А и В }2{}3,2{}2,1{

BA \ Разность А и В }1{}3,2{\}2,1{

A∸B Симметрическая разность }2,1{ ∸ }3,1{}3,2{

A Абсолютное дополнение А }3,2,1{\UA},3,2,1{A

BA Декартово произведение А и В ,2,1{}3,2{}2,1{

}3,2,2,2,3,1

Отношения

<х, у> Упорядоченная пара элементов <1, 2>

naaa ,...,,

21 Упорядоченная n-ка <1, 2, …, n>

Бинарное отношение

/ ,{ yx

}sin ;2

,2

, xyyx

D Область определения бинарного

отношения

R Область значений бинарного

отношения

1 Обратное бинарное отношение

12 Композиция бинарных отношений

]x[ Класс эквивалентности,

порожденный элементом x

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Упорядоченная пара yx , – это совокупность, состоящая из двух

элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Декартовым произведением множеств A и B называется множество

} , | ,{ ByAxyxBA .

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется

любое подмножество множества BA .

Если есть некоторое отношение и пара yx , принадлежит этому

отношению, то наряду с записью yx , употребляется запись x y.

Областью определения бинарного отношения называется множество

} , |{ yxyxD .

Областью значений бинарного отношения называется множество

} , |{ yxxyR

Обратным отношением для бинарного отношения называется множество

}, | ,{1 xyyx .

Композицией отношений 1 и 2 называется множество

}, и , z | ,{ 2112 yzzxyx .

Диагональю множества A2 называется график

ΔA = {(x,x) / Ax }.

Бинарное отношение называется рефлексивным на множестве X, если для

любого xxXx .

Бинарное отношение называется симметричным на множестве X, если для

любых Xyx, из xyyx .

Бинарное отношение называется транзитивным на множестве X, если для

любых Xzyx ,, из yx и zxzy .

Отношение называется антисимметричным на множестве X, если для

любых x, y X из x y и y x следует x = y.

6

Отношение называется cвязным на множестве X, если для любых x, y X

из x ≠ y следует x y или y x.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X

называется отношением эквивалентности.

Пусть – отношение эквивалентности на множестве X и x X. Классом

эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество

множества X, состоящее из тех элементов y X, для которых x y. Класс

эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [x].

Таким образом, } |{][ yxXyx .

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X, т. е. систему

непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых

совпадает со всем множеством X.

Отношение называется отношением частичного порядка (или просто

частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и

транзитивно на множестве X. Множество X в этом случае называют частично

упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом ≼.

Отношение частичного порядка на множестве Х, для которого любые два

элемента сравнимы, т.е. для любых x, y X x ≼ y или y ≼ x, называется

отношением линейного порядка.

Отношение называется отношением линейного порядка, если оно является

отношением частичного порядка и связно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно

антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если оно

— связное отношение строгого порядка.

Множество Х с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется

частично (линейно) упорядоченным.

7

Фактор-множеством множества A по отношению эквивалентности

называется множество всех различных классов эквивалентности, которое

обозначается A / .

Мощность фактор-множества A / называется индексом разбиения,

порождённого отношением .

8

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 2.1. Пусть }sin ;2

,2

, | ,{ xyyxyx . Найдем для этого

отношения , , RD .

Решение.

Очевидно, что 2

,2

D , 2

,1R .

По определению

}.)(sin sin | ,{}sin и sin ,2

,2

, , | ,{

} , и , ,2

,2

, , | ,{

yxyxzyxzzyxzyx

yzzxzyxzyx

Пример 2.2. Выяснить, является ли рефлексивным, симметричным,

транзитивным отношение }число четное - , , |,{ yxZyxyx .

Решение.

Разность двух целых чисел четна тогда и только тогда, когда оба числа либо

одновременно четны, либо одновременно нечетны.

Итак, yx , имеют вид либо nm 2 ,2 , либо 12 ,12 nm . Тогда

)(2 nmyxz – четно. В этом случае 0xx – четно, т.е. отношение

рефлексивно.

Если nm 2 ,2 (либо 12 ,12 nm ), то mn 2 ,2 (либо

12 ,12 mn ), значит – симметрично.

Если yx – четно и zy тоже четно, то zx – четно, т.к. вид чисел x и z

определяется видом числа y. Поэтому x и z либо одновременно четны, либо

одновременно нечетны. Таким образом, отношение транзитивно.

9

3. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

3.1. Найти геометрическую интерпретацию множеств:

1) ],[],[ dcba , где ],[ ba и ],[ dc – отрезки действительной прямой R

2) 2],[ ba , где ],[ ba – отрезок действительной прямой R;

3) 3],[ ba , где ],[ ba – отрезок действительной прямой R.

3.2. Построить BAAAAAA , , , где А={0, 1}, B={2, 3, 4}.

3.3. Доказать, что существуют A, B и C такие, что:

1) ABBA ;

2) CBACBA )()( .

3.4. Доказать, что если A, B, C и D не пусты, то:

1) BA и DBCADC ;

2) BA и DBCADC ;

3) )()()()( DBCADCBA .

3.5. Доказать:

1) );()()( CBCACBA

2) );(\)()\( CBCACBA

3) ).()()()( DBCADCBA

4) )()()( CABACBA ;

5) )()()()()()( DBDACBCADCBA ;

6) )(\)()\( CABACBA ;

7) )()( BCDABA , где A С и B D.

3.6. Доказать, что )()()()( DBCADCBA . При каких A, B, C и D

получается равенство?

3.7. Пусть A, B и DCABBA )()( . Доказать, что A = B = C = D.

3.8. Пусть 1 – отношение между множествами {1, 2, 3} и {1, 2, 3, 4}, заданное

перечислением пар: }4 3, ,1 3, ,4 2, ,3 2, ,1 1,{1 .

10

1) Кроме того, 2 -отношение между множествами {1, 2, 3, 4} и {1, 2},

состоящее из пар: 2={<1. 1>, <1, 2>, <2, 1>, <3, 1>, <4, 2>}.

2) Вычислите 11 , 1

2 и 21 . Проверьте, что 11

12

121 )( .

3.9. Найти 111 ; ; ; , , RD , если

1) 2}9 ..., ,2 ,1{}9 ,8 ,7 ,6 ,6 ,5 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,1{ ;

2) 2}5 ..., ,2 ,1{}3 ,5 ,2 ,4 ,2 ,3 ,4 ,1 ,3,1 ,2 ,1 ,1 ,1{

3) }0 ;, |,{ yxRyxyx ;

4) }sin ];2

;2

[, |,{ xyyxyx ;

5) }32 ;, |,{ yxRyxyx ;

6) } делит и , |,{ yxNyxyx ;

7) } делит и , |,{ xyNyxyx .

3.10. Доказать, что для любых бинарных отношений справедливы следующие

тождества:

1) 12

11

121 )( ;

2) 12

11

121 )( ;

3) 11)( ;

4) ;

5) 321321 )()( ;

6) 11

12

121 )( .

3.11. Отношение = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>, <2, 1>} определено на

декартовом квадрате множества А={1, 2, 3}. Доказать, что – отношение

эквивалентности. Выписать классы эквивалентности.

3.12. Найти область определения, область значений отношения . Является ли

отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?

1) }1 , , |,{ 22 yxRyxyx ;

2) число} четное - , , |,{ yxZyxyx ;

11

3) число} нечетное - , , |,{ yxZyxyx ;

4) число} четное - , , |,{ xyxZyxyx ;

5) yxNyxyx делит , , |,{ ;

6) } , , |,{ yxZyxyx .

7) =«Делится на», М – множество натуральных чисел;

8) = « < », М - множество действительных чисел;

9) = « ≤ », М - множество действительных чисел;

10) = «Быть подмножеством», М - множество подмножеств трехэлементного

множества;

11) = «Быть дочерью», М - множество жителей Самары;

12) = «Предшествовать», М - множество слов в толковом словаре;

13) = «Быть однофамильцем», М - множество учащихся СамГУ;

14) = «Сонаправленность», М - множество лучей на плоскости;

15) = «Быть ровесником», М - множество учащихся данной группы;

16) = «Конгруэнтность», М - множество окружностей на плоскости;

17) = «Иметь общую точку», М - множество прямых на плоскости;

18) = «Отличаться ровно одной буквой», М - множество слов русского языка;

19) = «Равновеликость», М - множество многоугольников на плоскости;

20) = «Перпендикулярность», М - множество плоскостей в пространстве;

21) = «Противоположность», М - множество целых чисел;

22) = «Быть длиннее», М - множество отрезков на луче, отложенных от его

начала;

23) = «Симметричность относительно данной оси», М - множество точек

плоскости;

24) = «Жить этажом выше», М - множество жильцов одного дома;

25) = «Следование», М - множество формул логики высказываний;

26) = «Равносильность», М - множество формул логики высказываний.

12

3.13. Установить, является ли каждое из перечисленных ниже отношений на А

отношением эквивалентности. Для каждого отношения эквивалентности построить

классы эквивалентности.

1) А – множество целых чисел, и есть отношение, заданное условием: <a,b>

, если a+b=0;

2) А – множество целых чисел, и есть отношение, заданное условием: <a,b>

, если a+b=5;

3) А – множество всех подмножеств множества {a, b, c, d} и есть отношение,

заданное условием: <s,t> , если s и t содержат одинаковое количество элементов;

4) А - декартовый квадрат множества натуральных чисел, отличных от

единицы и есть отношение, заданное условием: <x, y> , если и только если x и y

имеют общие делители, отличные от единицы;

5) А={1, 2, 3} и = {<2,2>, <1,1>};

6) А={1, 2, 3} и = {<1,1>, <2,2>, <3,3>, <1,2>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <1,3>,

<3,1>};

3.14. Построить бинарное отношение:

1) рефлексивное, симметричное, нетранзитивное;

2) рефлексивное, несимметричное, транзитивное;

3) рефлексивное, антисимметричное, транзитивное;

4) нерефлексивное, антисимметричное, транзитивное.

3.15. Доказать, что если отношения 1 и 2 рефлексивны, то рефлексивны

отношения 21 , 21 , 11 , 21 .

3.16. Доказать, что если отношения 1 и 2 симметричны, то симметричны

отношения 21 , 21 , 11 , 1

11 .

3.17. Доказать, что если отношения 1 и 2 антисимметричны, то

антисимметричны отношения 21 , 11 .

3.18. Доказать, что любое отношение , симметричное и антисимметричное

одновременно, является транзитивным.

13

3.19. На множестве R действительных чисел определим отношение

следующим образом:

( – ) – рациональное число.

Доказать, что – отношение эквивалентности.

3.20. Доказать, что если есть отношение эквивалентности, то -1

также есть

отношение эквивалентности.

3.21. Доказать, что всякое частично упорядоченное множество содержит не

более одного наибольшего (наименьшего) элемента.

3.22. Доказать, что если – задает частичный порядок, то 1 – также задает

частичный порядок.

3.23. Доказать, что любое конечное множество можно линейно упорядочить.

3.24. Доказать, что всякий частичный порядок R на конечном множестве А

может быть продолжен до линейного порядка R Q на множестве А.

3.25. Для данного отношения , построенного на множестве Х =

{1,2,3,4,5}:

1. Построить для стрелочную диаграмму.

2. Достроить до отношения эквивалентности, указать фактор-множество.

3. Достроить до отношения частичного порядка, указать максимальные,

минимальные элементы, а также пары несравнимых элементов.

4. Достроить до отношения линейного порядка, указать наибольший и

наименьший элементы.

5. Достроить до отношения строгого порядка.

6. Достроить до отношения строгого линейного порядка.

Замечание: отношение достраивается с помощью введения минимально

необходимого числа дополнительных рёбер.

1) = {<1,2>, <3,2>, <2,4>}

2) = {<2,1>, <5,1>, <4,2>}

3) = {<1,2>, <3,4>, <4,5>}

4) = {<3,1>,<2,5>, <5,4>}

14

5) = {<1,5>, <5,4>, <4,3>}

6) = {<2,3>, <3,5>, <5,1>}

7) = {<1,2>, <4,3>, <4,5>}

8) = {<3,5>, <4,2>, <1,2>}

9) = {<1,2>, <2,3>, <2,4>, <4,5>}

10) = {<1,2>, <2,3>, <4,5>, <5,3>}

11) = {<1,2>, <1,5>, <1,4>}

12) = {<1,2>, <1,3>, <3,2>, <4,5>}

13) = {<1,2>, <2,3>, <3,4>, <5,5>}

14) = {<4,3>, <5,1>, <1,2>}

15) = {<1,3>, <3,4>, <1,4>, <2,5>}

16) = {<2,3>, <4,3>, <3,5>}

17) = {<3,2>, <1,2>, <5,3>}

18) = {<2,3>, <4,5>, <5,1>}

19) = {<4,2>, <3,1>, <1,5>}

20) = {<2,1>, <1,5>, <5,4>}

21) = {<3,4>, <4,1>, <1,2>}

22) = {<2,3>, <5,4>, <5,1>}

23) = {<4,1>, <5,3>, <2,3>}

24) = {<2,3>, <4,5>, <3,4>, <1,1>}

25) = {<4,3>, <3,1>, <1,2>}

26) = {<5,2>, <2,4>, <4,3>, <1,1>}

27) = {<3,4>, <1,5>, <5,2>}

28) = {<5,4>, <4,3>, <5,3>, <2,1>}

29) = {<2,4>, <3,4>, <4,1>}

30) = {<4,2>, <5,2>, <1,4>}

15

4. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ

1. Понятие «отношение» может использоваться при решении любой задачи, в

которой необходимо строгое математическое описание любых связей между

элементами множеств.

2. Отношения эквивалентности и частичного порядка широко используются в

математике и информатике.

3. n-арные (или многоместные) отношения используются в теории баз данных.

В реляционной базе данных вся информация хранится в виде набора таблиц, а

каждую таблицу можно трактовать как отношение.

4. Язык бинарных и n-арных отношений широко используется в

математической лингвистике и математической биологии.

16

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что называют упорядоченной парой?

2. Что такое декартово произведение множеств А и В?

3. Что можно сказать о непустых множествах А и В, если имеет место равенство

А В=В А? Непустые множества А, В и С удовлетворяют соотношению А В=А С.

Следует ли отсюда, что В = С? Объясните свой ответ.

4. Какова разница между квадратом (декартовым произведением множества

самого на себя) некоторого непустого множества А и множеством всех

двухэлементных подмножеств множества А?

5. Что называют бинарным отношением, между элементами множеств А и В?

6. Для бинарного отношения }3 и , делит , , | ,{ xyxAyxyx выпишите

упорядоченные пары, принадлежащие этому отношению, если A={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

7. Верно ли, что пустое множество также является бинарным отношением?

8. Найдите область определения и область значений отношения = {<1, 5>, <1,

6>, <1, 7>}.

9. Что называют обратным отношением к ?

10. Что называют композицией отношений 1 и 2?

11. Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и = {<1, 2>, <2,1>, <2,

3>, <1, 3>, <3, 1>, <3, 2>}. Является ли отношение рефлексивным, симметричным,

транзитивным, антисимметричным?

12. Докажите, что пересечение рефлексивных отношений рефлексивно.

13. На множестве прямых на плоскости рассмотрим отношения:

а) параллельности прямых;

б) перпендикулярности прямых.

14. Определить, будут ли эти отношения отношениями эквивалентности на этом

множестве.

17

15. Определить, является ли заданное на множестве A= {1, 2, 3, 4} бинарное

отношение = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>, <4,4>}отношением

частичного порядка.

18

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ

1. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – М.:

Гостехиздат. 1948.

2. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.:

Наука, 1977.

3. Беран Л. Упорядоченные множества. - М.: Наука, 1981. – 64с.

4. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. – М.: Мир, 1970.

5. Озкарахан Э. Машины баз данных и управление базами данных. – М.: Мир,

1989. – 695с.

6. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982.

Учебное издание

Семенова Ирина Владимировна

Морозова Марина Валериевна

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Методические указания