iesperefontdevila.catiesperefontdevila.cat/mates/mat2bat/santillana/tema1.pdf · 4 Esquema de la unitat 22 Unitat 1 Matrius 23 20 Considera k un nombre natural i considera la matriu:

��2��

��

��

��

��

��

��

��

��

174708p001a006.indd 1 13/2/09 09:22:51

2

Índex

1. Matrius .................................................................... 6

Abans de començar... Recorda ......................................... 7

Matrius ..................................................................... 8

Suma de matrius ...................................................... 11

Producte de matrius per nombres ............................. 12

Producte de matrius ................................................. 13

Matriu transposada ................................................... 16

Rang d’una matriu .................................................... 18

Matriu inversa .......................................................... 20

Problemes resolts ............................................................ 22

Activitats ........................................................................ 26

Prepara la Selectivitat ..................................................... 32

2. Determinants .......................................................... 34

Abans de començar... Recorda ......................................... 35

Determinants d’ordre 2 i 3 ....................................... 36

Propietats dels determinants ..................................... 37

Menor complementari i adjunt ................................. 41

Determinants de qualsevol ordre .............................. 42

Càlcul del rang d’una matriu .................................... 44

Càlcul de la inversa d’una matriu ............................. 46

Problemes resolts ............................................................ 48

Activitats ........................................................................ 52

Prepara la Selectivitat ..................................................... 58

3. Sistemes d’equacions lineals .................................. 60

Abans de començar... Recorda ...................................... 61

Sistemes d’equacions lineals ..................................... 62

Mètode de Gauss per resoldre sistemes ..................... 64

Expressió matricial d’un sistema ............................... 67

Teorema de Rouché-Frobenius ................................. 68

Regla de Cramer ....................................................... 70

Generalització de la regla de Cramer ........................ 72

Sistemes homogenis ................................................. 73

Sistemes d’equacions amb un paràmetre ................... 74

Resolució de problemes amb sistemes ...................... 74

Problemes resolts ........................................................ 78

Activitats ................................................................... 82

Prepara la Selectivitat ................................................. 84

Activitats d’Àlgebra lineal a la Selectivitat .............................................. 90

4. Geometria en l’espai ............................................... 98

Abans de començar... Recorda ..................................... 99

Vectors en l’espai ..................................................... 100

Combinació lineal de vectors ................................... 101

Coordenades d’un vector ......................................... 102

Operacions en coordenades ..................................... 103

Aplicacions dels vectors .......................................... 105

Equacions de la recta en l’espai ............................... 106

Equacions del pla en l’espai ..................................... 108

Posicions relatives de dues rectes ............................. 110

Posicions relatives de recta i pla .............................. 112

Problemes resolts ....................................................... 116

Activitats .................................................................. 120

Prepara la Selectivitat ................................................ 126

5. Producte escalar. Aplicacions ................................ 128


Producte escalar ...................................................... 130

Aplicacions del producte escalar .............................. 132

Feixos de plans ........................................................ 135

Angles en l’espai ...................................................... 136

Projeccions ortogonals ............................................. 138

Punts simètrics ........................................................ 140

Distàncies ................................................................ 142


Activitats .................................................................. 150


6. Productes vectorial i mixt. Aplicacions ................. 158


Producte vectorial ................................................... 160

Aplicacions geomètriques del producte vectorial ..... 162

Producte mixt .......................................................... 166

Aplicacions geomètriques del producte mixt ........... 168

Àrees i volums ......................................................... 172

L’esfera .................................................................... 176


Activitats .................................................................. 184


Activitats de Geometria a la Selectivitat ................................................. 196

174708p001a006.indd 2 13/2/09 09:22:51

3

7. Límits i continuïtat de funcions ............................. 202 Abans de començar... Recorda ...................................... 199 Límits. Càlcul de límits............................................. 200 Operacions amb límits ............................................. 202 Indeterminacions ..................................................... 203 Resolució d’algunes indeterminacions ...................... 204 Límit d’una funció en l’infinit ................................... 207 Límit d’una funció en un punt .................................. 208 Continuïtat en un punt ............................................ 211 Continuïtat en un interval ........................................ 213 Teorema de Bolzano ................................................. 214 Teorema de Weierstrass ............................................ 215 Problemes resolts ....................................................... 216 Activitats .................................................................. 220 Prepara la Selectivitat ................................................ 226

8. Càlcul de derivades ................................................ 228 Abans de començar... Recorda ..................................... 229 Taxa de variació mitjana .......................................... 230 Derivada d’una funció en un punt ........................... 231 Interpretació geomètrica de la derivada ................... 232 Derivades laterals .................................................... 234 Derivabilitat i continuïtat ......................................... 235 Funció derivada. Derivades successives ................... 236 Operacions amb derivades ...................................... 237 Regla de la cadena ................................................... 238 Càlcul de derivades .................................................. 239 Tèniques de derivació .............................................. 242 Problemes resolts .......................................................... 244 Activitats .................................................................. 248 Prepara la Selectivitat ................................................ 254

9. Aplicacions de les derivades ................................. 256 Abans de començar... Recorda ..................................... 257 Creixement i decreixement ...................................... 258 Màxims i mínims relatius ........................................ 259 Concavitat i convexitat ............................................ 261 Punts d’inflexió ....................................................... 262 Optimització de funcions ........................................ 264 Teorema de Rolle ..................................................... 266 Teorema del valor mitjà ........................................... 267 Teorema del valor mitjà generalitzat ........................ 268 Regla de L’Hôpital .................................................... 269 Problemes resolts ....................................................... 272 Activitats .................................................................. 276 Prepara la Selectivitat ................................................ 282

10. Representació de funcions ................................... 284 Abans de començar... Recorda ..................................... 285 Domini i punts de tall ............................................. 286 Simetries ................................................................. 287 Periodicitat .............................................................. 288 Branques infinites. Asímptotes ................................ 289 Creixement i drecreixement d’una funció ................ 293 Concavitat i convexitat d’una funció ........................ 294 Funcions polinòmiques ........................................... 295 Funcions racionals .................................................. 296 Funcions amb radicals ............................................. 297 Funcions exponencials ............................................ 298 Funcions logarítmiques ........................................... 299 Funcions definides a trossos .................................... 300 Funcions amb valor absolut .................................... 301 Problemes resolts ....................................................... 302 Activitats .................................................................. 306 Prepara la Selectivitat ................................................ 312

11. Integrals indefinides .......................................... 314 Abans de començar... Recorda ..................................... 315 Funció primitiva d’una funció ................................. 316 Integral d’una funció ............................................... 317 Integrals de les funcions elementals ......................... 318 Integració per parts ................................................. 324 Integrals de funcions racionals ................................ 325 Integració per canvi de variable ............................... 330 Problemes resolts ....................................................... 332 Activitats .................................................................. 336 Prepara la Selectivitat ................................................ 340

12. Integrals definides ................................................ 342 Abans de començar... Recorda ..................................... 343 Àrea sota una corba .................................................. 344 Integral definida ....................................................... 348 Propietats de la integral definida .............................. 349 Teorema del valor mitjà ............................................ 351 Teorema fonamental del càlcul integral ..................... 352 Regla de Barrow ....................................................... 353 Àrea tancada sota una corba ..................................... 355 Àrea compresa entre dues funcions .......................... 356 Volum d’un cos de revolució .................................... 357 Problemes resolts ....................................................... 358 Activitats .................................................................. 362 Prepara la Selectivitat ................................................ 368

Activitats d’Anàlisi a la Selectivitat .......................................................... 370

174708p001a006.indd 3 13/2/09 09:22:51

4

Esquema de la unitat

22 Unitat 1 23Matrius

20 Considera k un nombre natural i considera la matriu:

A1 1 10 1 00 0 1

Calcula Ak.

SOLUCIÓ

PRIMER. Calculem A2, A3, A4…

A A A21 1 10 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 1

1 2 20 1 00 0 1

A A A3 21 2 20 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 11

1 3 30 1 00 0 1

A A A4 31 3 30 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 11

1 4 40 1 00 0 1

SEGON. Deduïm una regla general en la qual puguem relacionar l’exponent amb els elements de la matriu.

En aquest cas, si calculem les diferents potències ens adonem que tots els elements de la matriu es mantenen invariants, tret de a12 i a13, que coincideixen amb l’exponent de la matriu.

A2 → a12 2 a13 2A3 → a12 3 a13 3A4 → a12 4 a13 4

Per tant, deduïm que:

Ak k

k10 1 00 0 1

TERCER. Per demostrar que això és cert suposem que aquesta expressió és vàlida per a Ak i la comprovem per a Ak 1. (Aquest mètode l’anomenem mètode d’inducció.)

Ak 1 A Ak k

k10 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 1

k k

Aquesta expressió és vàlida per a k 1. Així, podem afirmar que:

Ak k

k10 1 00 0 1

Operacions amb matrius

1. COM CALCULEM LA POTÈNCIA D’UNA MATRIU

22 Donades les matrius: A 1 20 1

I1 00 1

Troba dues constants i que compleixin que A2 A I. SOLUCIÓ

PRIMER. Efectuem les operacions del primer i del segon membre de la igualtat.

A2 1 20 1

1 20 1

1 40 1

A 1 20 1

20

I1 00 1

00

SEGON. Imposem la condició del problema.A2 A I

1 40 1

20

00

20

TERCER. Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema d’equacions que en resulta.

12 4

0 01

Com que la 1a i la 4a equació són iguals, en podem suprimir una. La 3a equació és una igualtat.

Resolem el sistema 12 4

12

que en resulta.

3. COM DETERMINEM UNA COMBINACIÓ LINEAL DE MATRIUS

2. COM RESOLEM OPERACIONS ENTRE MATRIUS

21 Considera les matrius A 1 1 21 1 2

i Bk12

.

Calcula, si és possible, la matriu M B Bt At A.

SOLUCIÓ

PRIMER. Trobem les matrius necessàries.

At1 11 12 2

Bt (k 1 2)

SEGON. Resolem les operacions aplicant-hi la jerarquia de les operacions.

M B Bt At Ak

k12

1 21 11 12 2

( ) 1 1 21 1 2

k k kkk

2 21 2

2 2 4

2 2 02 2 00 0 8

k k kk

k

2 2 2 22 1 2

2 2 4

23 Considera la matriu Ap q0 1 . Troba els valors de

p i q que fan que es verifiqui que A2 A.

SOLUCIÓ

PRIMER. Calculem les matrius que han de complir la condició.

A A Ap q p q

p qpq

2 0 1 0 1pp q2

SEGON. Imposem la condició del problema.

A A p qpq p q p q

22

0 1

TERCER. Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema d’equacions que en resulta.

pq

pq pp q q

01

2

A la 1a i la 2a equació obtenim la solució p 0 i q 1, i comprovem si aquesta solució és vàlida per a les altres equacions.

Si és vàlida, aquesta és la solució del sistema. I si la solució no es compleix, el sistema no té solució.

pq p ⎯⎯→ 0 1 0p q2 q → 0 12 1

Així, la solució del sistema és p 0 i q 1.

4. COM CALCULEM ELEMENTS D’UNA MATRIU PERQUÈ ES COMPLEIXI UNA CONDICIÓ

24 Digues si l’afirmació següent és certa o falsa, i justifica la resposta.Si A i B són dues matrius quadrades qualssevol, aleshores (A B)(A B) A2 B2 .

SOLUCIÓ

PRIMER. Desenvolupem tots dos membres a la igualtat, si és possible.

(A B)(A B) A2 AB BA B2

A2 B2 no es pot desenvolupar.

SEGON. Igualem els membres i reduïm.(A B)(A B) A2 B2

A2 AB BA B2 A2 B2 → BA AB

TERCER. Analitzem els resultats.La igualtat es compleix si BA AB, és a dir, si es verifica la propietat commutativa del producte.

5. COM COMPROVEM CERTES PROPIETATS DE LES MATRIUS

6. COM RESOLEM PROBLEMES REALS MITJANÇANT OPERACIONS AMB MATRIUS

25 La matriu següent expressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles, A, B, C i D, que provenen de les fàbriques f 1, f 2 i f 3.

P

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

Si representem una comanda amb un vector fila C (x y z t), què representa cadascun dels elements del resultat del producte C · P? Si volem comprar 25 unitats de A, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix un preu millor?

SOLUCIÓ

PRIMER. Interpretem la informació que ens proporcionen les matrius.

f1 f2 f3

P

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

F Preus del producte AF Preus del producte BF Preus del producte CF Preus del producte D

Preus per unitat dels diferents productes A, B, C i D a la fàbrica f 1

C (x y z t) → Unitats demanades de A, B, C i D

SEGON. Interpretem les operacions que portarem a terme entre si.

C P x y z t( )

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

34x 11y 23z 25t40x 8y 27z 21t36x 12y 32z 30t

34x 11y 23z 25t → Cost de la comanda a f140x 8y 27z 21t → Cost de la comanda a f236x 12y 32z 30t → Cost de la comanda a f3

TERCER. Resolem el problema mitjançant les operacions adequades.

( )25 30 60 75

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

( . . . )4 435 4 435 5 430

El preu de la comanda a f1 es 4.435 , el mateix preu a f2, i 5.430 en f3.

Els preus millors ens els ofereixen les fàbriques f 1 i f 2.

F

PROBLEMES RESOLTS(Activitats reals de Selectivitat)


Hi ha matrius quadrades que no tenen matriu inversa.

Una matriu quadrada d’ordre n només té inversa si rang (A) n.

7.1. PropietatsLa inversa de la matriu inversa és la matriu original.

(A 1) 1 A

La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses de les matrius canviant-ne l’ordre.

(A B) 1 B 1 A 1

La inversa de la transposada d’una matriu és igual a la transposada de la matriu inversa.

(At) 1 (A 1)t

Matriu inversa7

La d’una matriu quadrada A d’ordre n és una matriu A–1 del mateix ordre que compleix que:

A A 1 In A 1 A In

en què In és la matriu identitat d’ordre n.

Les matrius que tenen matriu inversa les anomenem o , i les que no en tenen, .

Només les matrius quadrades poden tenir matriu inversa.

No te n’oblidis

19 Calcula, si és possible, la matriu inversa de la matriu A 3 14 1

.

Fem servir la definició de matriu inversa i efectuem el producte de matrius:

A A 1 In

3 14 1

1 00

11 12

21 22

a aa a 11

3 34 4

11 21 12 22

11 21 12

a a a aa a a aa22

1 00 1

Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema en què les incògnites són els elements de la matriu inversa:

3 13 04 04 1

11 21

12 22

11 21

12 22

a aa aa aa a

a a a a11 21 12 221 4 1 3

Si el sistema té solució, la matriu formada per aquesta solució és la matriu inversa. I si el sistema no té solució, la matriu inicial no té matriu inversa.

La matriu inversa de la matriu A és: A 1 1 14 3

Exemple

ACTIVITATS

25 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes matrius mitjançant la definició:

a) 1 22 4

b) 3 51 2

26 Determina, si és possible, la inversa d’aquesta matriu:

2 3 13 1 10 1 0

7.2. Mètode de Gauss-JordanEl per determinar la matriu inversa consisteix a con-vertir la matriu inicial en la matriu identitat, per mitjà de transformacions ele-mentals. Si apliquem les mateixes transformacions a la matriu identitat, acon-seguim la matriu inversa.

ACTIVITATS

27 Calcula, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa d’aquestes matrius:

a) 16 212 5

b) 3 72 5

28 Troba, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu:

3 0 12 3 10 1 1

COM CALCULEM LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT EL MÈTODE DE GAUSS-JORDAN

Calcula, si és possible, la matriu inversa d’aquesta matriu: A2 1 24 3 16 4 2

PRIMER. Escrivim la matriu A i la matriu identitat del mateix ordre que A separades per una línia. Si a11 0, intercanviem la primera fila amb alguna fila el primer element de la qual sigui diferent de zero.

2 1 24 3 16 4 2

1 0 00 1 00 0 1

Com que a11 0, no intercanviem files.

SEGON. Efectuem operacions en totes les files, excepte en la primera, a fi que el primer element de cadascuna sigui zero.

2 1 24 3 16 4 2

1 0 00 1 00 0 1

⎯⎯⎯⎯⎯→F2 F2 2F1

F3 F3 3F1

2 1 20 1 50 1 4

1 0 02 1 03 0 1

TERCER. Comprovem que a22 0; si no ho fos, hauríem d’intercanviar la fila amb alguna fila el segon element de la qual fos diferent de zero. De la mateixa manera, fem zero el segon element de cada fila, excepte el de la segona fila.

2 1 20 1 50 1 4

1 0 02 1 03 0 1

⎯⎯⎯⎯⎯→F1 F1 F2

F3 F3 F2

2 0 70 1 50 0 1

3 1 02 1 01 1 1

QUART. Repetim el mateix procés per a la resta de files de la matriu inicial.

2 0 70 1 50 0 1

3 1 02 1 01 1 1

⎯⎯⎯⎯⎯→F1 F1 7F3

F2 F2 5F3

2 0 00 1 00 0 1

10 6 7

7 4 51 1 1

CINQUÈ. Dividim cada fila entre l’element que figura a la seva diagonal per aconseguir la matriu identitat.

2 0 00 1 00 0 1

10 6 7

7 4 51 1 1

⎯⎯⎯⎯→F F1 1

1

2F2 F2

F3 F3

1 0 0

0 1 00 0 1

5 372

7 4 51 1 1

SISÈ. Els elements que hi ha a la dreta de la línia formen la inversa de la matriu inicial.

Fes-ho així

Per expressar la matriu inicial i la matriu identitat en el mètode de Gauss ho escrivim:

(A In)

Quan utilitzem aquest mètode efectuem aquesta transformació:

(A In) → (In A 1)

Ho escrivim així

Les operacions elementals que podem dur a terme per trobar la matriu inversa són les mateixes que per calcular el rang d’una matriu.

Intercanviar l’ordre de la fila i per la fila j.

Fi ↔ Fj

Substituir la fila i pel resultat de multiplicar o dividir tots els elements per un nombre a 0.

Fi aFi

Substituir la fila i o la fila j per la suma de totes dues, multiplicades per nombres a i b no nuls.

Fi aFi bFj

Recorda-te’n

A 1

5 37

27 4 51 1 1

7Matrius

Els jardins xifratsDe la paret del fons sortia un llarg passadís dèbilment il·luminat; el vaig recórrer i, al final, em vaig trobar davant d’una porta que s’obria amb combinació: al costat de la porta, sota una petita pantalla quadrada, hi havia nou botons numerats, col·locats en tres files de tres. Em va fer pensar en el quadrat màgic. El nan m’havia dit que el con-tingut de la capseta m’obriria més d’una porta, i no tenia per què referir-se només a música. Vaig treure el quadrat de metall [una reproducció del quadrat de nombres que apareix al gravat de Dürer titulat La malenconia] i el vaig examinar sota la feble llum del passadís. Les combinacions de les portes acostumaven a tenir quatre xifres, i els nombres més significatius d’aquell quadrat eren el 15 i el 14 del centre de l’última fila: 1514 era l’any en què Dürer havia fet La malenconia, i el Bosch havia mort per aquelles dates, potser aquell mateix any. Vaig marcar el 1514 i les xifres van anar apa-reixent a la pantalleta quadrada: les tres primeres, a la fila superior, i el 4, a sota del primer 1. Després d’alguns segons, les xifres van desaparèixer sense que passés res. Aleshores vaig pensar que havia d’emplenar la pantalla i marcar, per tant, nou xifres. La probabilitat d’encertar-les era remotíssima. Vaig marcar les nou primeres xifres del meu quadrat màgic i, després, les nou últimes. Després ho vaig intentar amb els nom-bres de l’1 al 9 en l’ordre en què apareixien al quadrat: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Ho vaig intentar amb diverses combinacions més, però sense èxit.

Aleshores, quan ja era a punt de renunciar-hi, se’m va ocórrer una altra possibilitat: el quadrat màgic que tenia a la mà podia ser simplement un model, un referent. Com que havia d’emplenar una pantalla de tres per tres i hi havia nou botons numerats de l’1 al 9, potser hauria de compondre amb aquests nombres un quadrat màgic d’ordre tres: distribuir els nou dígits de manera que totes les files, les columnes i les diagonals sumessin el mateix. [...] Estava cansat i atabalat, i el meu primer impuls va ser mirar de resoldre el quadrat màgic per tempteig. Però la petita pissarra manual que tenia no em permetia fer massa assajos... De sobte, vaig pensar en el mètode de Holmes: descartar allò impossible. Què passaria si l’1 estigués a la primera casella?, em vaig preguntar. En aquest cas, com que totes les files i les columnes havien de sumar 15, caldria posar a la primera fila dos nombres que sumessin 14, i... [...]

Vaig marcar els nombres en aquest ordre i el quadrat màgic es va formar a la panta-lla. Amb un brunzit suau, la porta es va obrir.

CARLO FRABETTI

Construeix el quadrat màgic que va permetre obrir la porta al protagonista d’aquesta novel·la. Un quadrat o un rectangle de nombres com aquest (tot i que no compleixi cap propietat especial) l’anomenem matriu. Hi ha algunes situacions que podem representar mitjançant una matriu. Descobreix-ne alguna.

Matrius1L I T E R AT U R A I M AT E M ÀT I Q U E S

MatriusOperacions amb matriusMatriu transposadaRang d’una matriuMatriu inversa

ABANS DE COMENÇAR... RECORDA

Per resoldre un sistema del tipus: x y zx y zx y z

2

53

3 02 3 5

2 1

Primer, aïllem una de les incògnites en qualsevol equació i en substituïm el valor a les altres dues equacions:

x y zx y zx y z

2

53

3 02 3 5

2 1

x 2y z2(2y z ) y 3z 5 5y 5z 5(2y z ) 5y 2z 1 3y z 1

Resolem el sistema que formen les dues equacions:

5 5 53 13y zy z

5⎯⎯⎯→ +

10y 0 → y 0

5 515 5

55

yy

zz

5y 5z 5 y 0⎯⎯⎯→ 5z 5 → z 1

Substituïm aquests valors en qualsevol de les equacions del sistema inicial i calculem la variable que falta:

x 2y z 0 y 0, z 1⎯⎯⎯⎯⎯→ x 1 0 → x 1

La solució del sistema és x 1, y 0, z 1.

Per resoldre un sistema del tipus:

2 02 4

15

x yx yx yx y

2222

Agafem tantes equacions no proporcionals com incògnites té el sistema i resolem el sistema que en resulta. En aquest cas, com que tenim dues incògnites, agafem dues equacions, per exemple les dues primeres:

2 02 4x yx y

( 1)⎯⎯⎯→ +

2y 4 → y 2

22

04

xx

yy

2x y 0 y 2⎯⎯⎯→ 2x 2 → x 1

Substituïm aquests valors a les equacions restants i comprovem si es compleixen les igualtats:

x y 1 x 1, y 2⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 2 1

x 2y 5 x 1, y 2⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 2 2 5

Si la solució és vàlida per a totes les equacions, és la solució del sistema. En aquest cas, x 1, y 2.Si no és vàlida per a alguna de les equacions, el sistema no té solució.

Resolució de sistemes d’equacions lineals amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites

1 Resol aquests a) x y zx y zx y z

333 0

2 2 43 2 4

b) 2 12 3 0

5 7

33

3

y zx y zx y z

sistemes:

Repassa

2 Resol aquests a) x yx yx y

2 02 52 3 1

2 b) x y

x yx yx y

44

02 33 4 1

2 3

sistemes:

Repassa

Resolució de sistemes d’equacions lineals amb més equacions que incògnites

Literatura i matemàtiques

Presenta un fragment d’una obra literària coneguda a partir del qual comprovaràs la relació de les matemàtiques amb altres àmbits de la cultura.

Abans de començar... Recorda

Aquesta pàgina recull els continguts i els procediments necessaris per entendre la unitat i activitats per practicar-los.

Problemes resolts

Cada unitat té quatre pàgines en les quals hi ha problemes que han aparegut a les PAU i s’hi desenvolupen, pas a pas, els procediments habituals per resoldre’ls.

Pàgines de continguts

Aquestes pàgines treballen els continguts i els procediments de la matèria recolzats en nombrosos exemples resolts.

Per destacar alguns procediments, hi hem inclòs l’apartat FES-HO AIXÍ, que desenvolupa mètodes generals de resolució pas a pas.

174708p001a006.indd 4 13/2/09 09:22:58

5

Final de bloc

ACTIVITATS


Matrius

29 Classifica les matrius i determina’n la dimensió:

A (1 2 2) B 017

C 0 2 34 3 12 0 1

D 2 00 2

E 1 00 1

F 3 0 00 1 00 1 1

G 0 1 21 0 3

H 1 1 10 1 30 0 2

J 3 04 8

30 Una empresa d’autobusos té tres línies: A, B i C. Dilluns van sortir 5 autobusos a la línia A, 3 a la B

i 4 a la C. Dimarts van sortir 2 autobusos a la línia A, 1 a la B i 4 a la C. Dimecres en van sortir 1 a la línia A, 3 a la B i 5 a la C.Representa-ho en forma de matriu.

31 Una fàbrica elabora dos tipus de productes, X i Y, que ven a tres empreses, A, B i C. Al principi distribuïa 1.000 unitats de cada producte a cadascuna, però aquest mes l’empresa A va rebre 600 unitats de X i 300 de Y; l’empresa B va rebre 400 unitats de X i 800 de Y, i l’empresa C va rebre 900 unitats de X i 700 de Y. Representa mitjançant una matriu les disminucions percentuals que s’han produït en la distribució dels productes a aquestes empreses.

32 Són triangulars les matrius següents? Per què?

3 2 00 1 40 1 1

0 4 21 0 0

3 0 00 1 09 0 1

33 Posa dos exemples d’aquestes matrius:

a) Matriu columna. d) Matriu quadrada.b) Matriu fila. e) Matriu triangular superior.c) Matriu diagonal. f ) Matriu triangular inferior.

34 Troba els valors de a i b perquè les matrius siguin iguals:

A 1 33 1 09 4 1

b B

1 5 31 1 0

9 4 1a


35

Considera les matrius:

A 0 1 61 4 3

B 9 1 61 8 9

Comprova amb aquestes matrius la propietat commutativa de la suma.

36 Considera les matrius: A0 54 11 3

i B5 54 22 3

.

Quina relació hi ha entre A B i B A?

37 Considera les matrius:

A 1 1 40 1 3

B 0 1 21 0 3

C 2 1 21 4 3

Calcula:a) A B C c) A B C e) A (B C )b) A B C d) A B C f ) C (A B)

38 Determina una matriu X que verifiqui que A X B,

en què A 6 1 21 0 4

i B 0 1 21 9 3

.


A 3 04 8

B 2 1 11 0 3

C4 1 20 5 31 0 2

Efectua, si és possible, els productes següents:a) A B b) B A c) A C d) B C

40 Comprova que, en general, el producte de matrius no compleix la propietat commutativa multiplicant aquestes matrius:

A2 0 21 5 32 0 2

B1 2 15 1 30 0 2

41 Comprova que es compleix la propietat distributiva del producte de matrius respecte de la suma mitjançant aquestes matrius:

A 3 04 8

B 3 10 2

C 2 11 0

42 Expressa la condició que han de complir dues matrius M i N perquè se’n pugui efectuar la suma. I, si el que volem fer és multiplicar-les, quina condició han de complir les matrius?(Activitat real de Selectivitat)

43 Amb les matrius A 1 13 2

, B 2 01 4

i C 1 04 1

, calcula, si és possible:

a) 2A 3B b) 2A 3B c) A (B C ) d) A 3B

44 Amb les matrius següents:

A 1 1 00 2 3

, B1 20 53 8

i C 0 12 6

,

calcula, si és possible:

a) A B C b) 2A B c) A (B C ) d) B 3C

45 Calcula A B i B A; les matrius són:

A (1 3 1 2) B

3102

(Activitat real de Selectivitat)

46 Considera A una matriu m n.

a) Existeix una matriu B de manera que B · A sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té?

b) Podem trobar una matriu B de manera que A · B sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té?

c) Busca una matriu B que verifiqui que B A (0 0),

en què A1 10 10 0

.


47 Donades les matrius A 1 12 1

i B 1 14 1

:

a) Calcula A B i B A.

b) Comprova que (A B)2 A2 B2.


48 Amb les matrius A0 0 21 4 12 0 0

i B0 1 15 1 30 0 2

,

calcula (A B)2 i A2 2A B B2. Per què no coincideixen els resultats? Quina seria la fórmula correcta per al quadrat d’una suma de matrius?


A2 2 11 1 11 2 2

I1 0 00 1 00 0 1

Demanem:

a) Troba (A I )2.

b) Calcula A4 a partir de l’apartat anterior.


50 Considera M0 1 10 0 10 0 0

i N M I, en què I indica

la matriu identitat d’ordre n. Calcula N2 i M3.


51 Considera A una matriu de dimensió 5 3, B una matriu de dimensió m n i C una matriu de dimensió 4 7. Si sabem que podem obtenir la matriu A B C, quines són les dimensions de B i de A B C ?

52 Donades tres matrius A, B i C, sabem que A B C és una matriu de dimensió 2 3 i que B C és una matriu de dimensió 4 3. Quin és l’ordre de A?(Activitat real de Selectivitat)

53 Considera la matriu A 1 10 1

. Calcula A10.


54 Considera la matriu A 1 03 1

i n un nombre natural qualsevol.Determina el valor de An per a cada n i troba A350 A250.(Activitat real de Selectivitat)

55 Considera la matriu A0 1 00 0 11 0 0

. Determina la regla

del càlcul de les potències successives de A, és a dir, de An per a qualsevol nombre natural n.

56 Donada la matriu A1 0 10 1 00 0 1

, troba A3, A5 i An.

57 Calcula A2.000, si A0 0 20 2 02 0 0

.


.

a) Comprova que A3 2A2 0.b) Troba An.(Activitat real de Selectivitat)

59 Considera A 1 10 2

. Calcula An.

60 Considera la matriu A a10 1

:

a) Per a cada nombre natural n, troba An.b) Calcula A22 12A2 2A. (Activitat real de Selectivitat)

61 Considera la matriu Aa

a0 00 00 0 0

. Troba An

per a qualsevol enter positiu n.(Activitat real de Selectivitat)

ACTIVITATS D’ÀLGEBRA A LA SELECTIVITAT

88 89Àlgebra

Matrius

1 Considera les matrius següents:

P1 1 01 0 11 1 1

A1 0 00 1 00 0 2

Troba, de manera raonada, la matriu B si saps que BP A.

2 Resol l’equació matricial AX B A2 i determina la matriu X si:

A0 1 11 0 00 0 1

B1 1 11 1 01 2 3

3 Considera la matriu A a bc0

. Calcula el determinant

de A si saps que A2 2A Id 0, en què Id és la matriu identitat i 0 és la matriu nul·la.

4 Considera les matrius B 5 33 2

i C 13 88 5

.

Calcula la matriu A si saps que A2 B i A3 C.

5 Considera les matrius A 6 41 1

i X xy

.

a) Troba, de manera raonada, tots els valors de

per als quals 00

és l’única solució de l’equació

matricial AX X.

b) Resol l’equació matricial AX 2X.

6 Considera A, B i I les matrius:

A0 1 11 1 01 0 0

B6 3 43 2 14 1 5

I1 0 00 1 00 0 1

Estudia si existeix algun valor R per al qual es verifiqui que (A I)2 B.

7 Calcula totes les matrius A tals que A A1 11 0

1 11 0

.

Determina, d’entre aquestes matrius, les que tenen la suma de tots els seus elements igual a 0.

8 Determina totes les matrius X que verifiquen que AX XA,

en què A 1 11 1

.

9 Troba les matrius A quadrades d’ordre 2 que verifiquen la igualtat:

A A1 01 1

1 01 1

.

10 a) Siguin A, B i C tres matrius de manera que el producte A B C és una matriu 3 2 i el producte A C t és una matriu quadrada, en què C t és la transposada de C. Calcula les dimensions de A, B i C i raona la resposta.

b) Si M 1 01 1

, , troba totes les matrius X

que commuten amb M, és a dir, que verifiquen que XM MX.

c) Calcula la matriu Y que verifica que MY M 1Y I, en què M és la matriu de l’apartat b), M 1 és la inversa de M i I és la matriu unitat d’ordre 2.

11 Digues si les afirmacions següents són verdaderes o falses i justifica la resposta.

a) Si A i B són dues matrius quadrades qualsevol, es compleix que (A B)2 A2 B2 2AB.

b) Si A és una matriu quadrada que compleix que A2 0, aleshores ha de ser A 0.

c) Si A és una matriu quadrada qualsevol, es compleix que (A I) (A I) A2 I.

Nota: 0 representa la matriu nul·la de la mateixa dimensió que A. Anàlogament, I representa la matriu identitat.

Determinats

12 Prova que 1 1 1

2 2 2

a b ca b c

b a c a c b( )( )( ) .

13 Si tens en compte que x y z1 0 21 1 3

1, determina

el valor de

x

y

z

1

44

0 41

212

.

14 Si la matriu Aa b cd e fg h i

té determinant k,

quins són els valors dels determinants següents:

a) d e fa b cg h i

222

b) a b b cd e e fg h h i

222

15 Si la matriu Aa b cd e fg h i

té el determinant igual a n,

esbrina, a partir de les propietats dels determinants, el valor del determinant de les matrius següents:

Bd e fg h ia b c

6 4 23 29 6 3

Cd f e f ea c b c bg i h i h

16 La matriu quadrada B és el resultat d’efectuar a la matriu quadrada A les transformacions que descrivim a continuació. Primer canviem entre si la fila segona i la tercera. Després multipliquem per la segona columna. Finalment, sumem a la primera fila la segona fila multiplicada per 5 més la quarta fila multiplicada per 3. Si sabem que el determinant de la matriu A val 5, calcula de manera raonada el determinant de la matriu B.

17 Considera A una matriu 2 2 de columnes C1, C2 i determinant 4. Considera B una altra matriu 2 2 de determinant 2. Si C és la matriu de columnes C1 C2 i 3C2, calcula el determinant de la matriu B C 1.

18 a) Siguin F1, F2 i F3 les files primera, segona i tercera, respectivament, d’una matriu quadrada M d’ordre 3 i det (M) 2. Calcula el valor del determinant de la matriu les files de la qual són F1 F2, 2F1 i F2 F3.

b) Considera la matriu C 1 12 1

. Troba dues matrius X i Y que verifiquin:

X Y 1 CX Y 1 C t

en què C t és la transposada de C.

19 Resol les equacions següents en la variable x.

a) 0 1

11

0x

x xx x

b) 1 1 11 11 1

02

xx

20 Considera la matriu Aa ab abab a bab b a

2

2 2

2 2

.

a) Sense utilitzar la regla de Sarrus, calcula el determinant d’aquesta matriu.

b) Estudia el rang de A en el cas en què b a.

21 Troba totes les matrius A (aij) quadrades d’ordre tres de manera que a21 a32 0 i A At 4I, en què I és la matriu identitat d’ordre tres i At és la matriu transposada de A; a més, sabem que el seu determinant val 10.

22 Considera la matriu A 1 0 00 1 2

.

Raona per què ⏐BA⏐ 0 per a qualsevol matriu B de mida 3 2 que verifiqui que ⏐AB⏐ 1.

23 Considera A 1 22 3

.

Determina els valors de m per als quals A mI no és inversible (I denota la matriu identitat).


B xxxx

( )2 4 6

2 3 3 64 4 2 6

C yyyy

( )3 5 7 122 3 3 63 4 2 6

a) Calcula el determinant de la matriu 3B(x) i troba el valor de x per al qual aquest determinant valgui 162.

b) Demostra que la matriu C( y) no té inversa per a cap valor real de y.

25 A és una matriu 3 × 3 tal que A22 1 01 0 11 1 2

i A31 0 22 1 02 2 3

.

Et demanem:a) Calcula el determinant de la matriu A3 i la matriu inversa

de A3.

b) Calcula la matriu fila X (x, y, z) que és solució de l’equació matricial XA3 BA2, on B és la matriu fila B (1, 2, 3).

c) Calcula la matriu inversa de A.


PREPARA LA SELECTIVITAT

Donada la matriu Am

m0 1

1 00 1 0

a) Calcula els valors del paràmetre m per als quals A té inversa. b) Per a m 0, calcula A3 i A25.c) Per a m 0, calcula la matriu X que verifica X A B, en què B (0 1 1).

a) IDEA CLAU

Perquè una matriu tingui inversa ha de ser quadrada i el rang ha de ser igual que el seu ordre.

A és una matriu quadrada d’ordre 3. Estudiem el rang de A.

mm

0 11 00 1 0

⎯⎯⎯→F2 ↔ F1

1 0

0 10 1 0

mm ⎯⎯⎯⎯⎯→

F2 F2 mF1

1 00 0 10 1 0

2

mm

⎯⎯⎯→F3 ↔ F2

1 00 1 00 0 1 2

m

m

Si 1 m2 0 → m 1 → rang (A) 2 → A no té inversa.

Si 1 m2 0 → m 1 → rang (A) 3 Ordre (A) → A té inversa.

b) IDEA CLAU

Per calcular una potència elevada d’una matriu, trobem les potències successives: A2, A3, A4, …, i n’estudiem les regularitats.

A A A20 0 11 0 00 1 0

0 0 11 00 00 1 0

0 1 00 0 11 0 0

A A A3 20 1 00 0 11 0 0

0 00 11 0 00 1 0

1 0 00 1 00 0 1

I

A4 A3 A I A A A6 A5 A A2 A A3 I A8 A7 A A A A2

A5 A4 A A A A2 A7 A6 A I A A A9 A3 I A10 A4 AA25 A perquè el residu de dividir 25 entre 6 és 1.

c) IDEA CLAU

Per resoldre una equació matricial, aïllem X, igual com si fos una equació numèrica, però hem de tenir en compte que el producte de matrius no és commutatiu.

X A B → X A A 1 B A 1 → X B A 1

Calculem A−1.

0 0 11 0 00 1 0

1 0 00 1 00 0 1

⎯⎯→F2 ↔ F1

1 0 00 0 10 1 0

0 1 01 0 00 0 1

⎯⎯→F3 ↔ F2

1 0 00 1 00 0 1

0 1 00 0 11 0 0

⎯⎯→F2 F2

1 0 00 1 00 0 1

0 1 00 0 11 0 0

X ( ) (0 1 10 1 00 0 11 0 0

1 00 1)

Procura que a la diagonal

de la matriu no aparegui el

paràmetre. Per aconseguir-

ho, pots intercanviar les

files de la matriu.

Si Ap I, aleshores:

Ap Ar

en què r és el residu

de la divisió de q

entre p.

1 Donades les matrius Ak t

k00 00 0 0

i Bk t

k10 10 0 1

a) Troba A10. b) Calcula la matriu inversa de B. c) En el cas particular k 0, troba B10.

2 Considera A la matriu A a10 1

. Per a cada nombre natural n, troba An. Calcula A22 12A2 2A.

3 Donades les matrius A1 0 01 0 01 0 0

i C1 0 02 1 03 2 2

, troba les matrius X que verifiquin XC A C A2.

4 Troba les matrius A i B, si saps que verifiquen aquestes equacions matricials:

2 33

A B MA B N

, en què M1 1

1

8 4 718 11 6

8 3 13 i N

1 1

1

9 2 617 1 10

9 4 13


.

a) Comprova que verifica que A3 I 0, amb I com a matriu identitat i 0 com a matriu nul·la.

b) Calcula A13.

c) Sobre la base dels apartats anteriors i sense recórrer al càlcul d’inverses, troba la matriu X que verifica la igualtat A2X I A.

6 Considera A, B i I les matrius: A0 1 11 1 01 0 0

B6 3 43 2 14 1 5

I1 0 00 1 00 0 1

Estudia si hi ha cap valor de R per al qual es verifiqui que (A I)2 B.

7 Donada la matriu Am

mm

0 00 00 1 1

:

a) Estudia, segons els valors de m, el rang de A.

b) Per a m 1, calcula la matriu X que verifica XA A 2I, en què I és la matriu unitat d’ordre 3.

Posa’t a prova

Abans de començar... Recorda

Aquesta pàgina recull els continguts i els procediments necessaris per entendre la unitat i activitats per practicar-los.

Prepara la Selectivitat

Al final de la unitat, hi ha una activitat representativa d’alguna convocatòria de les PAU que engloba els continguts propis de la unitat i d’unitats anteriors. S’hi han marcat pautes generals i s’hi reflexiona sobre els diversos aspectes que has de tenir en compte per resoldre-la.

Posa’t a prova

Proposta d’activitats extretes de les PAU que aglutinen continguts de la unitat i d’unitats anteriors.

Activitats del bloc a la Selectivitat

Activitats extretes de les PAU sobre els continguts del bloc que acabes d’estudiar.

Activitats

Exercicis i problemes organitzats per continguts i per grau de dificultat. Hi trobaràs moltes qüestions i problemes proposats a les PAU.

174708p001a006.indd 5 13/2/09 09:23:06

Els jardins xifratsDe la paret del fons sortia un llarg passadís dèbilment il·luminat; el vaig recórrer i, al final, em vaig trobar davant d’una porta que s’obria amb combinació: al costat de la porta, sota una petita pantalla quadrada, hi havia nou botons numerats, col·locats en tres files de tres. Em va fer pensar en el quadrat màgic. El nan m’havia dit que el con-tingut de la capseta m’obriria més d’una porta, i no tenia per què referir-se només a música. Vaig treure el quadrat de metall [una reproducció del quadrat de nombres que apareix al gravat de Dürer titulat La malenconia] i el vaig examinar sota la feble llum del passadís. Les combinacions de les portes acostumaven a tenir quatre xifres, i els nombres més significatius d’aquell quadrat eren el 15 i el 14 del centre de l’última fila: 1514 era l’any en què Dürer havia fet La malenconia, i el Bosch havia mort per aquelles dates, potser aquell mateix any. Vaig marcar el 1514 i les xifres van anar apa-reixent a la pantalleta quadrada: les tres primeres, a la fila superior, i el 4, a sota del primer 1. Després d’alguns segons, les xifres van desaparèixer sense que passés res. Aleshores vaig pensar que havia d’emplenar la pantalla i marcar, per tant, nou xifres. La probabilitat d’encertar-les era remotíssima. Vaig marcar les nou primeres xifres del meu quadrat màgic i, després, les nou últimes. Després ho vaig intentar amb els nom-bres de l’1 al 9 en l’ordre en què apareixien al quadrat: 3, 2, 5, 8, 9, 6, 7, 4, 1. Ho vaig intentar amb diverses combinacions més, però sense èxit.

Aleshores, quan ja era a punt de renunciar-hi, se’m va ocórrer una altra possibilitat: el quadrat màgic que tenia a la mà podia ser simplement un model, un referent. Com que havia d’emplenar una pantalla de tres per tres i hi havia nou botons numerats de l’1 al 9, potser hauria de compondre amb aquests nombres un quadrat màgic d’ordre tres: distribuir els nou dígits de manera que totes les files, les columnes i les diagonals sumessin el mateix. [...] Estava cansat i atabalat, i el meu primer impuls va ser mirar de resoldre el quadrat màgic per tempteig. Però la petita pissarra manual que tenia no em permetia fer massa assajos... De sobte, vaig pensar en el mètode de Holmes: descartar allò impossible. Què passaria si l’1 estigués a la primera casella?, em vaig preguntar. En aquest cas, com que totes les files i les columnes havien de sumar 15, caldria posar a la primera fila dos nombres que sumessin 14, i... [...]

Vaig marcar els nombres en aquest ordre i el quadrat màgic es va formar a la panta-lla. Amb un brunzit suau, la porta es va obrir.

Carlo Frabetti

Construeix el quadrat màgic que va permetre obrir la porta al protagonista d’aquesta novel·la. Un quadrat o un rectangle de nombres com aquest (tot i que no compleixi cap propietat especial) l’anomenem matriu. Hi ha algunes situacions que podem representar mitjançant una matriu. Descobreix-ne alguna.

Matrius1L I T E R AT U R A I M AT E M ÀT I Q U E S

MatriusOperacions amb matriusMatriu transposadaRang d’una matriuMatriu inversa

174708p006a033.indd 6 13/2/09 09:26:05

7Matrius

Matrius

ABANS DE COMENÇAR... RECORDA

Per resoldre un sistema del tipus: x y zx y zx y z

− + =+ − =− + = −

2

53

3 02 3 5

2 1

Primer, aïllem una de les incògnites en qualsevol equació i en substituïm el valor a les altres dues equacions:

x y zx y zx y z

− + =+ − =− + = −

2

53

3 02 3 5

2 1

x = 2y z2(2y z ) + y 3z = 5 5y 5z = 5(2y z ) 5y + 2z = 1 3y + z = 1

Resolem el sistema que formen les dues equacions:

5 5 53 13

y zy z

− =− + = −

⋅ 5⎯⎯⎯→ +

−10y � = 0 → y = 0

5 515 5

55

yy

zz

− =− + = −

5y −�5z = 5 y = 0⎯⎯⎯→ −5z = 5 → z = −1

Substituïm aquests valors en qualsevol de les equacions del sistema inicial i calculem la variable que falta:

x�−�2y�+�z�=�0 y�=�0, z�=�−1⎯⎯⎯⎯⎯→ x�−�1�=�0� →� x�=�1

La solució del sistema és x�=�1, y�=�0, z�=�−1.

Per resoldre un sistema del tipus:

2 02 4

15

x yx yx yx y

− =+ =

− + =+ =

2222

Agafem tantes equacions no proporcionals com incògnites té el sistema i resolem el sistema que en resulta. En aquest cas, com que tenim dues incògnites, agafem dues equacions, per exemple les dues primeres:

2 02 4

x yx y

− =+ =

⋅ (−1)⎯⎯⎯→ +

−2y = −4 → y = 2

22

04

xx

yy

− =− − = −

2x�−�y�=�0 y = 2⎯⎯⎯→ 2x�=�2 → x�=�1

Substituïm aquests valors a les equacions restants i comprovem si es compleixen les igualtats:

−x�+�y�=�1 x�=�1, y�=�2⎯⎯⎯⎯⎯→ −1�+�2�=�1

x�+�2y�=�5 x�=�1, y�=�2⎯⎯⎯⎯⎯→ 1�+�2�⋅�2�=�5

Si la solució és vàlida per a totes les equacions, és la solució del sistema. En aquest cas, x�=�1, y�=�2.Si no és vàlida per a alguna de les equacions, el sistema no té solució.

Resolució de sistemes d’equacions lineals amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites

1 Resol aquests a) x y zx y zx y z

+ + =− − =− + =

333 0

2 2 43 2 4

b) − + = −+ − =− =

−

2 12 3 0

5 7

33

3

y zx y zx y z

sistemes:

Repassa

2 Resol aquests a) − + =+ =− =

x yx yx y

2 02 52 3 1

2 b) x y

x yx yx y

− =+ =− = −

− − = −

44

02 33 4 1

2 3

sistemes:

Repassa

Resolució de sistemes d’equacions lineals amb més equacions que incògnites

174708p006a033.indd 7 13/2/09 09:26:10

8 Unitat 1

Matrius1

Una matriu de m files i n columnes és una taula de m × n nombres reals ordenats en m files i n columnes d’aquesta manera:

A =

a a a aa a a aa a a a

n

n

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33

...

...

... 33

1 2 3

n

m m m mna a a a... ... ... ... ...

...

Els nombres aij són els elements de la matriu, en els quals el subíndex i indica la fila que ocupen, i el subíndex j, la columna.

La dimensió d’una matriu de m files i n columnes és m × n.

1 Determina la dimensió d’aquesta matriu i identifica els elements a23 i a32.

A = −− −

−

− −

4 5 2 10 2 1 52 3 0 4

La matriu A està formada per 3 files i 4 columnes; per tant, la seva dimensió és 3 × 4.

Ens fixem en la fila i la columna que indiquen els subíndexs.

2 La taula mostra els esports que practiquen un grup d’amics:

Natació Tennis Bàsquet

Noies 3 4 2

Nois 2 1 5

Escriu i interpreta la informació de la taula en forma de matriu.

Podem escriure la taula com una matriu de dimensió 2 × 3.

a12 = 4 → Hi ha 4 noies que practiquen tennis.a21 = 2 → Hi ha 2 nois que practiquen natació.a11�+�a12�+�a13�=�Nombre total de noies que hi ha al grup.a13�+�a23�=�Nombre d’amics que practiquen bàsquet.

Exemples

Per expressar de manera abrevia-da una matriu, escrivim:

A = (aij)

Si hi volem afegir la dimensió, indiquem:

A = (aij)m×n

Ho escrivim així

1 Escriu una matriu que compleixi les condicions següents:

• Dimensió 3 × 2.• a32 = −a21 = a11 = 1• a22 = a12 = −a31 = −2

2 Venen llistons de dues qualitats i de dues longituds. Els llistons grans de baixa qualitat costen 0,75 €, i els d’alta qualitat, 1 €, mentre que els llistons petits de baixa qualitat costen 0,45 €, i els d’alta qualitat, 0,60 €. Escriu aquestes dades en forma de matriu.

ACTIVITATS

a23 = 1

Fila ColumnaF F

a32 = 3

Fila ColumnaF F

NoisFA =

3 4 22 1 5

Natació Tennis Bàsquet

NoiesFF FF

174708p006a033.indd 8 13/2/09 09:26:11

9Matrius

aij = bij significa que a11 = b11,a12 = b12, …, amn = bmn.

Ho escrivim aixíDues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i, a més, els ele-ments coincideixen terme a terme.

A i B iguals → aij = bij per a qualsevol valor de i, j

1.1. Matrius iguals

1.2. Classificació de matrius• Una matriu fila és una matriu amb una única

fila i n columnes. Té com a dimensió 1 × n.

• Una matriu columna és una matriu amb m files i una única columna. La dimensió d’aquesta matriu és m × 1.

• Una matriu nul·la, o matriu zero, és una ma-triu en la qual tots els elements són zeros. La representem per 0.

• Una matriu quadrada té el mateix nombre de files que de columnes, és a dir, està formada per n files i n columnes. Si la seva dimensió és n × n, direm que és d’ordre n.

• Una matriu que no és quadrada l’anomenem rectangular.

4 Classifica les matrius següents: A = (−2 7 0) B =

42

C =

0 00 00 0

A és una matriu fila de dimensió 1 × 3.B és una matriu columna de dimensió 2 × 1.C és una matriu nul·la de dimensió 3 × 2.

Exemple

A

aa

am

=

11

21

1

...

0

0 0

=

… 00 0 … 0… … … …0 0 … 0

A

a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22

1 2

……

… … … ……

2

3 Classifica aquestes matrius: A =

3 33 33 3

B =

3 3 33 3 3

C x=

3 333 3

Les matrius A i B no són iguals, perquè no tenen la mateixa dimensió.Dimensió de A → 3 × 2 Dimensió de B → 2 × 3

Les matrius A i C tenen la mateixa dimensió i seran iguals x = 3.

Exemple

A�=�(a11 a12 … a1n)

Hi ha una matriu nul·la per a cada dimensió.

A =

00

Matriu nul·la de dimensió 2 × 1

A =

0 0 00 0 0

Matriu nul·la de dimensió 2 × 3

A =

0 00 0

Matriu nul·la d’ordre 2

Fixa-t’hi

ACTIVITATS

3 Troba el valor de cada incògnita perquè les dues matrius siguin iguals:

xz x z

++ + −

1 3 01 2 1

2 1 02 3

yy y

++

4 Escriu un exemple de les matrius següents:

a) Una matriu fila amb quatre columnes.b) Una matriu columna amb quatre files.c) Una matriu quadrada d’ordre 4.

174708p006a033.indd 9 13/2/09 09:26:15

10 Unitat 1

1.3. Tipus de matrius quadrades

Segons els elements que la formen, una matriu quadrada pot ser:

• Matriu triangular superior: quan tots els elements situats per sota de la diagonal principal són zeros.

• Matriu triangular inferior: quan tots els elements situats per damunt de la diagonal principal són zeros.

• Matriu diagonal: quan tots els ele-ments situats fora de la diagonal principal són zeros.

• Matriu identitat o matriu unitat: quan és diagonal i tots els elements de la diagonal principal són uns. Ho indiquem per I.

A

a a a aa a a

a a

n

n

n=

11 12 13 1

22 23 2

33 3

00 0

0 0 0

………

… … … … ……… ann

A

aa aa a a

a a an n n

=

11

21 22

31 32 33

1 2 3

0 0 00 0

0

………

… … … … ……… ann

A

aa

a

ann

=

11

22

33

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

………

… … … … ……

I =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

………

… … … … ……

ACTIVITATS

5 Escriu matrius que compleixin les condicions següents:

a) Matriu diagonal d’ordre 4 que compleixi que aii = 7.b) Matriu identitat amb tres files.

6 Escriu matrius que compleixin aquestes condicions:

a) Diagonal d’ordre 3.b) Triangular superior amb tres columnes, de manera que

els elements diferents de 0 compleixin que aij = i + j.

La diagonal principal d’una matriu quadrada està composta per tots els elements de la forma aii.

Diagonal principal

Hi ha una matriu identitat de cada ordre.

I =

1 00 1

Matriu identitat d’ordre 2

I =

1 0 00 1 00 0 1

Matriu identitat d’ordre 3

No te n’oblidis

5 Determina de quin tipus és cadascuna d’aquestes matrius quadrades:

Exemple

A = −

2 0 00 7 00 0 1

B =

1 00 1

C =

−

3 0 0 02 4 0 07 5 1 04 6 9 6

D = −

7 10 10

Matriu diagonal Matriu identitat Triangular inferior Triangular superior

A

a a a aa a a aa a a a

n

n

n=

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

………

… … …… … ……a a a an n n nn1 2 3

174708p006a033.indd 10 20/2/09 07:25:05

11Matrius

PropietatsCom que la suma de matrius es porta a terme element a element, compleix propietats similars amb les de la suma de nombres reals.

• Commutativa: A + B = B + A

• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Element neutre: l’element neutre de la suma és la matriu nul·la.A�+�0�=�A

• Element oposat: per a cada matriu A, existeix la seva matriu oposada –A, formada pels oposats dels elements de A.

A + (−A) = 0

6 Suma, si és possible, les matrius següents:

A =−

−3 3 27 5 6

B =− −

− −4 5 02 6 3

C =

3 2 4 22 5 2 37 6 1 2

La dimensió de A i de B és la mateixa, 2 × 3; per tant, les podem sumar:

A + B =−

+

− −

=− − −3 3 2

7 5 64 5 02 6 3

33 4 3 5 2 07 2 5 6 6 3

+ + ++ − − + + −

=

( ) ( )

=

7 8 25 1 3

No és possible sumar C ni amb A ni amb B, perquè les dimensions són diferents.

Exemple

7 Determina la matriu oposada de A = −−

−−

1 3 40 2 4

.

Comprova que és el seu element oposat respecte de la suma.

− = − −−

−

A 1 3 40 2 4

A A+ − = − + + − + −+ + − − +

( ) ( ) ( )( )

1 1 3 3 4 40 0 2 2 4 4

=

0 0 00 0 0

Exemple

Suma de matrius2

La suma de dues matrius, A i B, de la mateixa dimensió és una matriu A + B de la mateixa dimensió els elements de la qual són la suma dels ele-ments de A i B que ocupen la mateixa posició.

A + B = C, en què cij = aij + bij.

ACTIVITATS

7 Efectua l’operació amb matrius següent:

−−

− − −

−

−−

−− −

1 2 10 3 1

2 2 31 0 1 + −

−

1 4 02 2 1

8 Determina els elements que falten si A + B = C.

Aa b

=

3 4 55

B c de

=−

23 1

C f=−

−7 61 1 0

Per restar dues matrius, sumem a la primera l’oposada de la segona.

A − B = A + (−B)

Fixa-t’hi

Per poder sumar dues matrius, cal que tinguin la mateixa dimensió.

No te n’oblidis

174708p006a033.indd 11 13/2/09 09:26:21

12 Unitat 1

8 Considera les matrius A =3 3 3

0 1 2 i B =

49 56

21 0. Calcula les operacions

següents:

a) (−2) ⋅ A =

− ⋅ − ⋅ − − ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2 32 0 2 1 2 2

=

− −− −−

−6 6 60 2 4

b) 17

⋅ B =⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

1

749

1

756

1

721

1

70

( )

= −

−

7 83 0

Exemple

9 Comprova les propietats distributives per a A =

4 31 0

, B =

2 51 3

, a = 2 i b = −1.

• a(A + B) = aA + aB

a A B( )+ = ⋅

=

2 6 8

2 312 164 61 1 aA aB+ =

+

=8 6

2 012 14 10

2 6166

4 61 1

• (a + b)A = aA + bA

( )a b A+ = ⋅

=

1

4 31 0

4 31 0

aA bA+ =

+

− −− −

8 62 0

4 31 0

==

4 31 0

Exemple

PropietatsCom que el producte de matrius per nombres es porta a terme element a ele-ment, compleix propietats similars amb les del producte de nombres reals.

• Distributiva del producte d’un nombre per una suma de matrius:a(A + B) = aA + aB

• Distributiva del producte d’una suma de nombres per una matriu:(a + b)A = aA + bA

ACTIVITATS

9 Fes aquesta operació amb matrius:

23 3 11 2 01 5 2

34 0 4

⋅ −− −

− ⋅

− −−

− − −−− −

−

−

−

−−

− −−1 1 2

0 2 3

1 0 22 3 11 1 0

10 Efectua aquestes operacions:

A =−

−1 31 2

B =− −

− −2 03 1

C = −−

−−

2 31 2

a) 2(A − B) + 3C b) (−2)(A − C ) − 3(B + 2C )

Si una matriu diagonal amb tots els elements de la diagonal iguals la multipliquem per l’invers d’aquest nombre, obtenim la matriu identitat.

10 0

0 00 0

1 0 00 1 00 0 1k

kk

k⋅

=

Fixa-t’hi

Producte de matrius per nombres3

El producte d’un nombre real k per una matriu A és una matriu de la mateixa dimensió que A, de la qual obtenim els elements quan multipli-quem k per cadascun dels elements de A.

k ⋅ A = C, en què cij = k ⋅ aij.

174708p006a033.indd 12 13/2/09 09:26:25

13Matrius

10 Determina si podem efectuar els productes A ⋅ B, C ⋅ A i C ⋅ B, en què:

A = (6 2 1) B =−

−−

231

C = (2 1 0 4)

La matriu A és una matriu fila de dimensió 1 × 3, i B és una matriu columna de dimensió 3 × 1; per tant, les podem multiplicar.

A ⋅ B = (6 2 1) ⋅ −−−

231

= 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−1) = 17

La matriu C és una matriu fila de dimensió 1 × 4; per tant, només la podem multiplicar per una matriu de dimensió 4 × 1. No la podem multiplicar ni per A ni per B.

11 Els espàrrecs que arriben a una fàbrica de conserves provenen de tres plantacions. En aquesta taula s’indiquen els quilos que hi han arribat i el percentatge d’espàrrecs que són de primera qualitat:

Quilos De 1a qualitat

Plantació 1 4.820 40 %



Quants quilos de primera qualitat hi han arribat?

Per resoldre aquest problema podem multiplicar la matriu fila, composta pel nombre de quilos que han obtingut en cada plantació, per la matriu columna, que té com a elements els percentatges d’espàrrecs de primera qualitat.

(4.820 3.780 6.030) ⋅ 0 40 60 3

,,,

=�4.820 ⋅ 0,4�+�3.780 ⋅ 0,6�+�6.030 ⋅ 0,3�=�6.005 kg

Exemples

Producte de matrius

4.1. Producte d’una matriu fila per una matriu columna

4

El producte d’una matriu fila, de dimensió 1 × n, per una matriu columna, de dimensió n × 1, és un nombre que obtenim quan en multi-pliquem els elements, terme a terme, i sumem els resultats.

( ... )a a a

bb

b

n

n

11 12 1

11

21

1

⋅

…

= ⋅ + ⋅ + + ⋅a b a b a bn n11 11 12 21 1 1…

ACTIVITATS

11 Calcula l’operació amb matrius següent:

2 3 1 4 5012

3 3 1 4⋅ ⋅ ⋅−

− ⋅ ⋅

−−

−( ) ( )

5510

−

−

12 Troba el valor de x en aquesta igualtat de matrius:

( ) ( )1 11

1 9310

− ⋅

− ⋅ −

−

−

x x

= 0

Per multiplicar una matriu fila per una matriu columna cal que la quantitat de columnes de la primera sigui igual que la quantitat de files de la segona.

No te n’oblidis

174708p006a033.indd 13 13/2/09 09:26:27

14 Unitat 1

4.2. Producte de dues matrius

El producte d’una matriu A, de dimensió m × n, per una matriu B, de dimensió n × p, és una altra matriu, C, de dimensió m × p, l’element cij de la qual l’obtenim quan multipliquem la fila i-èsima de la primera ma-triu per la columna j-èsima de la segona.

A ⋅ B = C, en què cij = ai1 ⋅ b1j + ai2 ⋅ b2j + … + aim ⋅ bmj

ACTIVITATS

13 Efectua els productes que siguin possibles entre les matrius A, B i C.

A =− −

− −1 0 22 1 3

B = −−

− −−

−

3 01 22 3

C = −

−

1 43 2

14 Determina la dimensió de la matriu que resulta d’aquesta operació i, després, comprova-ho efectuant les operacions.

2 2 1 03 0 1

3 2 13 0

4⋅ −

+ ⋅ −

⋅

− −55 1

2 1 3

• Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera ha de ser igual que el nombre de files de la segona.

• La matriu producte que en resulta té el nombre de files de la primera i el nombre de columnes de la segona.

No te n’oblidis

COM CALCULEM EL PRODUCTE DE DUES MATRIUS

Calcula el producte A · B d’aquestes matrius.

A = −

−

5 3 40 1 2

B =

4 20 51 3

primer. Comprovem que es poden multiplicar: el nombre de columnes de la primera ha de coincidir amb el nombre de files de la segona.

Dimensió de A: 2 × 3Dimensió de B: 3 × 2

El nombre de columnes de A coincideix amb el nombre de columnes de B; per tant, les matrius es poden multiplicar.

La matriu A · B tindrà el mateix nombre de files que A i el nombre de columnes de B.

5 3 40 1 2

4 20 51 3

−−

⋅

==

c cc c

11 12

21 22

segon. Efectuem el producte de la primera fila de la matriu A per la primera columna de la matriu B. Obtenim el primer element de la matriu producte.

A B⋅ =

⋅

−−

5 3 40 1 2

401

253

=

⋅ + − ⋅ + ⋅5 4 3 0 4 1 12

21 22

( ) cc c

terCer. Multipliquem la primera fila de la matriu A per la resta de columnes de la matriu B.

5 3 40 1 2

401

253

−−

⋅

==

⋅ + − ⋅ + ⋅24 5 2 3 5 4 321 22

( )c c

quart. Repetim el procés amb la resta de files de la primera matriu i de columnes de la segona.

5 3 40 1 2

4 20 51 3

−−

⋅

==

=

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅24 7

0 4 1 0 2 1 0 2 1 5 2 324 72 111

Fes-ho així

174708p006a033.indd 14 13/2/09 09:26:30

15Matrius

4.3. PropietatsSi les dimensions de les matrius A, B i C són de tal manera que ens permeten efectuar-ne els productes, es compleixen aquestes propietats:

• Associativa: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)

• Element neutre: l’element neutre de la multiplicació d’una matriu A, de dimensió m × n, és la matriu identitat I d’ordre n si multipliquem per la dreta, o d’ordre m si multipliquem per l’esquerra.

Im ⋅ A = A ⋅ In = A

• Distributiva respecte del producte:Per la l’esquerra: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ CPer dreta: (B + C) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A

El producte de dues matrius, normalment, no és commutatiu.

A ⋅ B ≠ B ⋅ A

12 Calcula, si és possible, el producte d’aquestes matrius i comprova si és commutatiu en algun cas.

a) A = −

−

3 3 30 1 2

B = −

−

4 71 2

b) A = −

−

3 3 30 1 2

B =

2 13 02 4

a) Com que la dimensió de A és 2 × 3 i la de B és 2 × 2, no podem efectuar el producte A · B; en canvi, sí que podem efectuar B ⋅ A.

B A⋅ =

⋅

=− −

− −4 71 2

3 3 30 1 2

122 19 23 1 71 1

− −− −

b) En aquest cas, la dimensió de A és 2 × 3 i la de B és 3 × 2, i podem calcular tots dos productes, A ⋅ B i B ⋅ A.

A B⋅ =

⋅

−3 3 30 1 2

2 13 02 4

=

3 157 81

B A⋅ =

⋅

−−

2 13 02 4

3 3 30 1 2

=

−−−

6 5 89 9 96 2 14

11

Com que A ⋅ B ≠ B ⋅ A, no es compleix la propietat commutativa.

Exemple

ACTIVITATS

15 Comprova si es compleix que A · (B + C) = B · A + C · A, en què:

A =−

−1 12 3

B = −−

−−

3 12 1

C =−

−3 01 1

Si no és certa, aplica correctament la propietat.

16 Extreu en primer lloc factor comú de la matriu A i efectua l’operació B · A + C · A:

A = − −

− −

− −

2 01 30 2

B = − −

− −

− −

2 0 41 3 53 1 1

C =−

−−

− −− −− −

1 3 22 0 31 1 5

Quina propietat has aplicat quan has extret factor comú?

A ⋅ B → A multiplica a B per l’esquerra

B ⋅ A → A multiplica a B per la dreta

Ho escriurem així

Perquè existeixi el producte de tres matrius, A · B · C, les seves dimensions han de ser:

Dimensió de A: m × nDimensió de B: n × pDimensió de C: p × q

La dimensió de A ⋅ B ⋅ C serà m × q.

Recorda-te’n

174708p006a033.indd 15 13/2/09 09:26:34

16 Unitat 1

13 Troba la transposada de la matriu A = −

−

3 3 30 1 2

i determina’n la dimensió.

At = −

−

−

3 03 13 2

Com que la dimensió de A és 2 × 3, la dimensió de At és 3 × 2.

Exemple

14 Comprova que es compleix que (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At per a aquestes matrius:

A = −

−

3 3 30 1 2

B =

2 13 02 4

A B⋅ =

⋅

−−

3 3 30 1 2

2 13 02 4

=

⋅ =

−3 15

7 83 7

15 81→ ( )A B t

B At t⋅ =

⋅ −

−

−

2 3 21 0 4

3 03 13 2

=

13 715 8

Així doncs, es verifica que (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At.

Exemple

5.1. PropietatsLa transposada de la matriu transposada és la matriu original.•

(At)t = A

La transposada de la suma de dues matrius és la suma de les matrius transposades.•(A + B)t = At + Bt

La transposada del producte d’un nombre real per una matriu és el producte •del nombre real per la transposada de la matriu.

(k ⋅ A)t = k ⋅ At

Com que el producte de matrius no és commutatiu, quan transposem un •producte hem de canviar l’ordre de les matrius.

(A ⋅ B)t = Bt ⋅ At

ACTIVITATS

17 Calcula (A ⋅ B)t, si A i B són les matrius següents:

A =−

−−

1 70 35 4

B = −

−

4 15 8

18 Efectua aquesta operació amb matrius:

−−

− −−

−−

⋅ −

−

5 01 93 7

0 13 42 3

t

+ −

−5 1 78 2 0

t

Si una matriu és quadrada, la seva matriu transposada té el mateix ordre.

Fixa-t’hi

Matriu transposada5

La matriu transposada, At, d’una matriu A de dimensió m × n és una ma-triu de dimensió n × m que obtenim quan canviem a A les files per les co-lumnes o les columnes per les files.

Si A = (aij), aleshores At = (aji).

174708p006a033.indd 16 13/2/09 09:26:37

17Matrius

5.2. Matrius simètriques i antisimètriques

Una matriu quadrada • A és simètrica si coincideix amb la seva transposada.A = At → aij = aji

Una matriu quadrada • A és antisimètrica si la seva oposada coincideix amb la seva transposada.

−A = At → −aij = aji

15 Determina si aquestes matrius són simètriques o antisimètriques:

a) A =

3 5 35 2 13 1 6

b) B = −

−

3 3 30 1 2

c) C =−

−0 77 0

a) At =

3 5 35 2 13 1 6

=�A → A és una matriu simètrica.

b) La matriu B no és quadrada; per tant, no pot ser ni simètrica ni antisimètrica.

c) C Ct =

≠−

−0 77 0

i C Ct =

= −−

−0 77 0

→ C és una matriu antisimètrica.

Exemple

16 Comprova que la matriu A =

4 28 3

es pot descompondre en la suma d’una

matriu simètrica i una d’antisimètrica com: AA A A At t

= + + −2 2

A At+ =

+

=4 2

8 34 82 3

8 10101

116

A At+=

2

4 55 3

⎯→ Simètrica

A At− =

−

= −

−4 28 3

4 82 3

0 66 0

A At−= −

−2

0 33 0

→ Antisimètrica

A A A At t++

−=

+ −

−2 24 55 3

0 33 0 =

=4 2

8 3A

Exemple

ACTIVITATS

19 Completa la matriu següent perquè sigui antisimètrica:

a bc

d e

10 3

2−

20 Estudia si la matriu A + B és simètrica:

A = −− −

− −−

3 4 12 2 13 3 0

B = −−

−1 4 10 2 13 3 0

Com que la dimensió d’una matriu A, simètrica o antisimètrica, és la mateixa que la de la seva matriu transposada, cal que A sigui quadrada.

Fixa-t’hi

Propietats

En una matriu simètrica, els elements simètrics •respecte de la diagonal principal són iguals.

En una matriu antisimètrica, els elements de la •diagonal principal són zeros i els elements si-mètrics respecte d’aquesta diagonal són oposats.

Aa m nm b vn v c

=

Am n

m vn v

= −− −

00

0

174708p006a033.indd 17 13/2/09 09:26:42

18 Unitat 1

17 Determina les files linealment A = − −− −

−−

2 3 1 71 4 3 1

independents d’aquesta matriu:

Perquè F1 depengui linealment de F2 s’ha de complir que F1 = kF2, és a dir, que els elements de F1 siguin múltiples dels de F2. Com que en aquest cas no és així, diem que les dues files de la matriu A són linealment independents.

Exemple

18 Determina el rang de la matriu A =−

−−

−−−

2 0 3 43 5 2 38 10 7 2

1.

F1 no depèn linealment de F2 ni de F3, ja que qualsevol múltiple de la primera fila tindria el segon element igual a zero. Passa el mateix amb F2 i F3.

Vegem si F1 depèn linealment de F2 i F3 alhora, és a dir, si F1�=�k1F2�+�k2F3.

Si agafem els dos primers elements de les files tenim que:

a k a k aa k a k a

k11 1 21 2 31

12 1 22 2 32

12 3= += +

=→ ++= − + −

= − =80 5 10

2 12

1 21 2

kk k

k k( )

→

Comprovem si es compleixen la resta d’igualtats per a aquests valors de k1 i k2.

a13�=�k1a23�+�k2a33 → 3�=�−2 ⋅ 2�+�1 ⋅ 7a14�=�k1a24�+�k2a34 → −4�=�−2 ⋅ 3�+�1 ⋅ 2

Per tant, F1�=�−2F2�+�F3, és a dir, F1 depèn linealment de F2 i F3.

Així, F2 i F3 són linealment independents i F1 depèn de F2 i F3 → rang (A)�=�2

Exemple

6.2. Rang d’una matriu

En una matriu, el rang per files sempre és igual que el rang per columnes.

ACTIVITATS

21 Completa els elements que falten a la matriu perquè les files siguin linealment dependents:

− −−

3 1 29 0

ba c

22 Determina el rang de les matrius següents:

a) 1 1 3 02 1 1 10 3 7 1

−−

− −

− −− −

− b)

1 1 32 2 63 3 9

−−−

Rang d’una matriu

6.1. Combinacions lineals de les files d’una matriu

6

Una fila no nul·la Fi d’una matriu depèn linealment de les files Fj1, Fj2, …, Fjm

si es compleix que:Fi�=�k1Fj1�+�k2Fj2�+�…�+�kmFjm

Una fila d’una matriu és linealment independent quan no depèn lineal-ment d’altres files de la matriu.

El rang d’una matriu A, rang (A), és el nombre de files o de columnes no nul·les linealment independents que té la matriu.

• Una columna no nul·la Ci d’una matriu depèn linealment de les columnes Cj1, Cj2, …, Cjm si es compleix que:

Ci =�k1Cj1�+�k2Cj2�+�…�+�kmCjm

• Una columna d’una matriu és linealment independent quan no depèn linealment d’altres columnes de la matriu.

No te n’oblidis

174708p006a033.indd 18 13/2/09 09:26:44

19Matrius

6.3. Mètode de GaussEl mètode de Gauss per determinar el rang d’una matriu consisteix a conver-tir la matriu inicial en una matriu que tingui zeros com a elements per sota de la diagonal, per mitjà de les transformacions elementals adequades. El rang de la matriu serà el nombre de files no nul·les que té la matriu triangular que hem obtingut.

Les transformacions elementals que es poden efectuar a la matriu són:

Intercanviar l’ordre de la fila • i per la fila j. Ho escrivim: Fi ↔ Fj.

Substituir la fila • i pel resultat de multiplicar o dividir tots els elements per un nombre a ≠ 0. Ho escrivim: Fi = aFi.

Substituir la fila • i o la fila j per la suma de totes dues, multiplicades per nombres a i b no nuls. Ho escrivim: Fi = aFi + bFj.

ACTIVITATS

23 Calcula el rang per mitjà del mètode de Gauss:

− −−

−−

−

3 2 70 1 25 3 0

24 Troba el rang mitjançant el mètode de Gauss:

1 3 5 78 3 2 142 1 4 0

1

1

−− −

−

−

−

COM CALCULEM EL RANG D’UNA MATRIU MITJANÇANT EL MÈTODE DE GAUSS

Determina el rang de la matriu A =−− −−

−

−

0 2 2 42 1 1 12 2 0 3

.

primer. Si a11 = 0, intercanviem la primera fila amb alguna fila el primer element de la qual sigui diferent de zero, si existeix. Efectuem operacions en totes les files, menys en la primera, perquè el primer element de cadascuna sigui zero.

0 2 2 42 12 2 0 3

1 1−

−−

−

−−

⎯⎯⎯⎯⎯→

F2�↔�F1

2 1 1 10 22 2 0 3

2 4− −

−−−

−

El primer element de la segona fila ja és zero. Ara hem de fer zero el primer element de la tercera fila.

2 1 1 10 22 2 0 3

2 4− −

−−−

−

⎯⎯⎯⎯⎯→

F3�=�F3�−�F1

2 1 1 10 20 1 1 2

2 4− −

−−−

−

segon. Comprovem que a22�≠�0, i si no ho fos caldria intercanviar aquesta fila amb alguna fila que no tingués zero com a segon element, si existeix. De la mateixa manera, fem zero el segon element de cada fila, tret del de la primera i la segona fila.

2 1 1 10 20 1 1 2

2 4− −

−−−

−

⎯⎯⎯⎯⎯→

F F F3 3 21

2= −

2 1 1 10 20 0 0 0

2 4− −

−− −−

terCer. Repetim el mateix procés per a la resta de files de la matriu inicial fins que aconseguim una matriu en la qual tots els elements per sota de la seva diagonal siguin zeros. El nombre de files no nul·les que té la matriu és el rang de la matriu.

En aquest cas, obtenim dues files no nul·les → rang (A) = 2

Fes-ho així

Com que el rang d’una matriu i de la seva transposada és el mateix, en el cas que la matriu tingui més files que columnes podem escurçar el procés si calculem el rang de la transposada.

rang

2 21 07 21 3

=

= rang

!2 1 !7 !1!2 0 !2 !3

"#$

%&'

Fixa-t’hi

174708p006a033.indd 19 13/2/09 09:26:47

20 Unitat 1

Hi ha matrius quadrades que no tenen matriu inversa.

Una matriu quadrada d’ordre n només té inversa si rang (A) = n.

7.1. PropietatsLa inversa de la matriu inversa és la matriu original.•

(A−1)−1 = A

La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses de les •matrius canviant-ne l’ordre.

(A ⋅ B)−1 = B−1 ⋅ A−1

La inversa de la transposada d’una matriu és igual a la transposada de la •matriu inversa.

(At)−1 = (A−1)t

Matriu inversa7

La matriu inversa d’una matriu quadrada A d’ordre n és una matriu A–1 del mateix ordre que compleix que:

A ⋅ A−1 = In A−1 ⋅ A = In

en què In és la matriu identitat d’ordre n.

Les matrius que tenen matriu inversa les anomenem matrius regulars o invertibles, i les que no en tenen, matrius singulars.

Només les matrius quadrades poden tenir matriu inversa.

No te n’oblidis

19 Calcula, si és possible, la matriu inversa de la matriu A =

3 14 1

.

Fem servir la definició de matriu inversa i efectuem el producte de matrius:

A ⋅ A−1 = In

3 14 1

1 00

11 12

21 22

⋅

=a a

a a 113 34 4

11 21 12 22

11 21 12

+ ++ +

→ a a a aa a a aa22

1 00 1

=

Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema en què les incògnites són els elements de la matriu inversa:

3 13 04 04 1

11 21

12 22

11 21

12 22

a aa aa aa a

+ =+ =+ =+ =

= − = = = −→ a a a a11 21 12 221 4 1 3

Si el sistema té solució, la matriu formada per aquesta solució és la matriu inversa. I si el sistema no té solució, la matriu inicial no té matriu inversa.

La matriu inversa de la matriu A és: A− =−

−

−−

1 1 14 3

Exemple

ACTIVITATS

25 Calcula, si és possible, la inversa d’aquestes matrius mitjançant la definició:

a) 1 22 4

b) −

−−

−

3 51 2

26 Determina, si és possible, la inversa d’aquesta matriu:

2 3 13 1 10 1 0

−

−−

174708p006a033.indd 20 13/2/09 09:26:49

21Matrius

7.2. Mètode de Gauss-JordanEl mètode de Gauss-Jordan per determinar la matriu inversa consisteix a con-vertir la matriu inicial en la matriu identitat, per mitjà de transformacions ele-mentals. Si apliquem les mateixes transformacions a la matriu identitat, acon-seguim la matriu inversa.

ACTIVITATS

27 Calcula, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa d’aquestes matrius:

a) 16 212 5

b) −

−

−−

3 72 5

28 Troba, pel mètode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu:

3 0 12 3 10 1 1

−

−−

COM CALCULEM LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT EL MÈTODE DE GAUSS-JORDAN

Calcula, si és possible, la matriu inversa d’aquesta matriu: A =−− −

− −

− −−

−

2 1 24 3 16 4 2

primer. Escrivim la matriu A i la matriu identitat del mateix ordre que A separades per una línia. Si a11 = 0, intercanviem la primera fila amb alguna fila el primer element de la qual sigui diferent de zero.

− −−

−

−− −

− −

2 1 24 3 16 4 2

1 0 00 1 00 0 1

Com que a11�≠ 0, no intercanviem files.

segon. Efectuem operacions en totes les files, excepte en la primera, a fi que el primer element de cadascuna sigui zero.

− −−

−

−− −

− −

2 1 24 3 16 4 2

1 0 00 1 00 0 1

⎯⎯⎯⎯⎯→

F2�=�F2�−�2F1

F3�=�F3�+�3F1

2 1 20 1 50 1 4

−− −

−

− −

−

−−

1 0 02 1 03 0 1

terCer. Comprovem que a22�≠ 0; si no ho fos, hauríem d’intercanviar la fila amb alguna fila el segon element de la qual fos diferent de zero. De la mateixa manera, fem zero el segon element de cada fila, excepte el de la segona fila.

2 1 20 1 50 1 4

−− −

−

− −

−

−−

1 0 02 1 03 0 1

⎯⎯⎯⎯⎯→F1�=�F1�−�F2

F3�=�F3�+�F2

2 0 70 1 50 0 1

− −

−− −

−

−−

− −

−−

3 1 02 1 01 1 1

quart. Repetim el mateix procés per a la resta de files de la matriu inicial.

2 0 70 1 50 0 1

− −

−− −

−

−−

− −

−−

3 1 02 1 01 1 1

⎯⎯⎯⎯⎯→F1�=�F1�+�7F3

F2�=�F2�−�5F3

2 0 00 1 00 0 1

− −−

−−

−

10 6 77 4 51 1 1

− −

− − −− − −

Cinquè. Dividim cada fila entre l’element que figura a la seva diagonal per aconseguir la matriu identitat.

2 0 00 1 00 0 1

− −−

−−

−

10 6 77 4 51 1 1

− −

− − −− − −

�

⎯⎯⎯⎯→F F1 1

1

2=

F2�=�−F2

F3�=�−F3

1 0 0

0 1 00 0 1

− −

− −− − −

5 372

7 4 51 1 1

sisè. Els elements que hi ha a la dreta de la línia formen la inversa de la matriu inicial.

Fes-ho així

Per expressar la matriu inicial i la matriu identitat en el mètode de Gauss ho escrivim:

(A | In)

Quan utilitzem aquest mètode efectuem aquesta transformació:

(A | In) → (In | A−1)

Ho escrivim així

Les operacions elementals que podem dur a terme per trobar la matriu inversa són les mateixes que per calcular el rang d’una matriu.

• Intercanviar l’ordre de la fila i per la fila j.

Fi ↔ Fj

• Substituir la fila i pel resultat de multiplicar o dividir tots els elements per un nombre a�≠ 0.

Fi = aFi

• Substituir la fila i o la fila j per la suma de totes dues, multiplicades per nombres a i b no nuls.

Fi = aFi + bFj

Recorda-te’n

A− =− − −

1

5 37

27 4 51 1 1

174708p006a033.indd 21 13/2/09 09:26:55

22 Unitat 1

20 Considera k un nombre natural i considera la matriu:

A =

1 1 10 1 00 0 1

Calcula Ak.

SOLUCIÓ

primer. Calculem A2, A3, A4…

A A A21 1 10 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 1

= ⋅ =

⋅

=

1 2 20 1 00 0 1

A A A3 21 2 20 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0

= ⋅ =

⋅

11

1 3 30 1 00 0 1

=

A A A4 31 3 30 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0

= ⋅ =

⋅

11

1 4 40 1 00 0 1

=

segon. Deduïm una regla general en la qual puguem relacionar l’exponent amb els elements de la matriu.

En aquest cas, si calculem les diferents potències ens adonem que tots els elements de la matriu es mantenen invariants, tret de a12 i a13, que coincideixen amb l’exponent de la matriu.

A2 → a12 = 2 a13 = 2A3 → a12 = 3 a13 = 3A4 → a12 = 4 a13 = 4

Per tant, deduïm que:

Ak k

k =

10 1 00 0 1

tercer. Per demostrar que això és cert suposem que aquesta expressió és vàlida per a Ak i la comprovem per a Ak+1. (Aquest mètode l’anomenem mètode d’inducció.)

Ak+1 = ⋅ =

⋅

A Ak k

k10 1 00 0 1

1 1 10 1 00 0 1

=

=+ +

1 1 10 1 00 0 1

k k

Aquesta expressió és vàlida per a k + 1. Així, podem afirmar que:

Ak k

k =

10 1 00 0 1


1. COM CALCULEM LA POTÈNCIA D’UNA MATRIU

22 Donades les matrius: A =

1 20 1

I =

1 00 1

Troba dues constants α i β que compleixin que A2 = αA + βI. SOLUCIÓ

primer. Efectuem les operacions del primer i del segon membre de la igualtat.

A2 1 20 1

1 20 1

1 40 1

=

⋅

=

α α α αα

A = ⋅

=

1 20 1

20

β β ββ

I = ⋅

=

1 00 1

00

segon. Imposem la condició del problema.A2 = αA + βI

1 40 1

20

00

=

+

α αα

ββ = +

+

α β αα β

20

tercer. Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema d’equacions que en resulta.

α βα

α β

+ ===

+ =

12 4

0 01

Com que la 1a i la 4a equació són iguals, en podem suprimir una. La 3a equació és una igualtat.

Resolem el sistema α βα

βα

+ ==

= −=

12 4

12

→ que en resulta.

3. COM DETERMINEM UNA COMBINACIÓ LINEAL DE MATRIUS

2. COM RESOLEM OPERACIONS ENTRE MATRIUS

21 Considera les matrius A =− −

− −1 1 21 1 2

i Bk

=

12

.

Calcula, si és possible, la matriu M = B ⋅ Bt − At ⋅ A.

SOLUCIÓ

primer. Trobem les matrius necessàries.

At =−−

−

1 11 12 2

Bt = (k 1 2)

segon. Resolem les operacions aplicant-hi la jerarquia de les operacions.

M = B ⋅ Bt − At ⋅ A =

=

⋅ −

−−

−

kk1

21 2

1 11 12 2

( )

⋅

− −

=− −1 1 2

1 1 2

=

−

k k kkk

2 21 2

2 2 4

2 2 02 2 00 0 8

=

− −− −

−

k k kk

k

2 2 2 22 1 2

2 2 4

PROBLEMES RESOLTS(Activitats reals de Selectivitat)

174708p006a033.indd 22 20/2/09 07:26:13

23Matrius

23 Considera la matriu Ap q

=

0 1 . Troba els valors de

p i q que fan que es verifiqui que A2 =�A.

SOLUCIÓ

primer. Calculem les matrius que han de complir la condició.

A A Ap q p q

p qpq

2 0 1 0 1= ⋅ =

⋅

=

pp q+

2

segon. Imposem la condició del problema.

A A p qpq p q p q

22

0 1=+

=

→

terCer. Igualem les matrius, element a element, i resolem el sistema d’equacions que en resulta.

pq

pq pp q q

===

+ =

01

2

A la 1a i la 2a equació obtenim la solució p = 0 i q = 1, i comprovem si aquesta solució és vàlida per a les altres equacions.

Si és vàlida, aquesta és la solució del sistema. I si la solució no es compleix, el sistema no té solució.

pq�=�p� ⎯⎯→� 0�⋅�1�=�0p�+�q2�=�q� →� 0�+�12�=�1

Així, la solució del sistema és p�=�0 i q�=�1.

4. COM CALCULEM ELEMENTS D’UNA MATRIU PERQUÈ ES COMPLEIXI UNA CONDICIÓ

24 Digues si l’afirmació següent és certa o falsa, i justifica la resposta.Si A i B són dues matrius quadrades qualssevol, aleshores (A�+�B)(A�−�B)�=�A2�−�B2 .

SOLUCIÓ

primer. Desenvolupem tots dos membres a la igualtat, si és possible.

(A�+�B)(A�−�B)�=�A2�−�AB�+�BA�−�B2

A2�−�B2 no es pot desenvolupar.

segon. Igualem els membres i reduïm.(A�+�B)(A�−�B)�=�A2�−�B2

A2 �−�AB�+�BA�−� B2 �=� A2 �−� B2 � →� BA�=�AB

terCer. Analitzem els resultats.La igualtat es compleix si BA�=�AB, és a dir, si es verifica la propietat commutativa del producte.

5. COM COMPROVEM CERTES PROPIETATS DE LES MATRIUS

6. COM RESOLEM PROBLEMES REALS MITJANÇANT OPERACIONS AMB MATRIUS

25 La matriu següent expressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles, A, B, C i D, que provenen de les fàbriques f 1, f 2 i f 3.

P =

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

Si representem una comanda amb un vector fila C = (x y z t), què representa cadascun dels elements del resultat del producte C · P? Si volem comprar 25 unitats de A, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix un preu millor?

SOLUCIÓ

primer. Interpretem la informació que ens proporcionen les matrius.

f1 f2 f3

P =

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

F Preus del producte AF Preus del producte BF Preus del producte CF Preus del producte D

Preus per unitat dels diferents productes A, B, C i D a la fàbrica f 1

C�=�(x y z t)� → Unitats demanades de A, B, C i D

segon. Interpretem les operacions que portarem a terme entre si.

C P x y z t⋅ = ⋅

( )

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

=

=

34x�+�11y�+�23z�+�25t40x�+�� 8y�+�27z�+�21t36x�+�12y�+�32z�+�30t

34x + 11y + 23z + 25t → Cost de la comanda a f140x + 8y + 27z + 21t → Cost de la comanda a f236x + 12y + 32z + 30t → Cost de la comanda a f3

terCer. Resolem el problema mitjançant les operacions adequades.

( )25 30 60 75

34 40 3611 8 1223 27 3225 21 30

⋅

= ( . . . )4 435 4 435 5 430

El preu de la comanda a f1 es 4.435 €, el mateix preu a f2, i 5.430 € en f3.

Els preus millors ens els ofereixen les fàbriques f 1 i f 2.

F

174708p006a033.indd 23 13/2/09 09:27:04

24 Unitat 1

26 Una matriu A és ortogonal si verifica que:A ⋅ At = I

At és la transposada de A.I és la matriu identitat.

Per a quins valors de a i b és ortogonal la matriu següent?

A =a 0 00 cos b sin b0 -sin b cos b

SOLUCIÓ

primer. Calculem la matriu transposada.

At =a 0 00 cos b -sin b0 sin b cos b

segon. Efectuem el producte A ⋅ At.

A At =a 0 00 cos b sin b0 sin b cos b

a 0 00 cos b -sin b0 sin b cos b

=

=a2 0 00 cos2 b + sin2 b 00 0 sin2 b + cos2 b

=

=

a2 0 00 1 00 0 1

tercer. Igualem aquest producte a la identitat i resolem el sistema que en resulta.

a2 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

=

Perquè aquestes dues matrius siguin iguals s’ha de complir que:

a2 = 1 → a = ±1

quart. N’extraiem conclusions.

La matriu A és ortogonal si és de la forma:

A =1 0 00 cos b sin b0 -sin b cos b

A =1 0 00 cos b sin b0 -sin b cos b

per a qualsevol valor de b.

Matriu transposada

1. COM DETERMINEM SI UNA MATRIU ÉS ORTOGONAL

Rang d’una matriu

1. COM ESTUDIEM EL RANG D’UNA MATRIU EN FUNCIÓ D’UN PARÀMETRE


Aa

=

0 1 21 0 21 1

i Ba a

=+

0 1 21 0 21 1

32

1

Estudia, en funció de a, el rang de les matrius A i B.

SOLUCIÓ

primer. Apliquem el mètode de Gauss per calcular el rang d’una matriu.

• Matriu A

0 1 21 0 21 1a

⎯⎯⎯→

F2 ↔ F1

1 0 20 1 21 1a

⎯⎯⎯⎯→

F3 = F3 − F1

1 0 20 1 20 1a −

⎯⎯⎯⎯→F3 = F3 − aF2

1 0 20 1 20 0 1 2− −

a

• Matriu B

Les tres primeres columnes de la matriu B són iguals que la matriu A; per tant, es compleix que:

Si rang (A) = 3 → rang (B) = 3

Si rang (A) = 2 o 1, hem d’estudiar el rang de B.

segon. Estudiem el nombre de files no nul·les que té la matriu en funció del paràmetre.

• Matriu A

Si − − = =−1 2 01

2a a→ :

1 0 20 1 20 0 0

→ rang (A) = 2

Si − − ≠ ≠−1 2 01

2a a→ → rang (A) = 3

• Matriu B

Si a ≠−1

2 → rang (A) = 3 = rang (B)

Si a =−1

2:

0 1 2 31 0 2 2

11

21

1

2−

⎯⎯⎯⎯⎯→F2 ↔ F1

F3 = F3 − F1

1 0 2 20 1 2 30 0 0 0

Per tant, tenim que rang (B) = 2.

PROBLEMES RESOLTS

F F F3 3 21

2= +

(Activitats reals de Selectivitat)

174708p006a033.indd 24 20/2/09 07:26:45

25Matrius

28 Donada la matriu A xx

=−

−

1 0 10 34 1

,

en què x és un nombre real, troba els valors de x perquè la matriu A tingui inversa.

SOLUCIÓNprimer. Calculem el rang de la matriu.

1 0 10 34 1

−

−

−x

x ⎯⎯⎯⎯→

F3 = F3 − 4F1

1 0 10 30 1 4

−

− +

x

x

⎯⎯⎯⎯→F2 ↔ F3

1 0 10 1 40 3

−− +

x

x

⎯⎯⎯⎯→F3 = F3 − xF2

1 0 10 1 40 0 3 4

−− +

− − +

x

x x( )

Si 3�−�x(−x�+�4)�=�0� →� x2�−�4x�+�3�=�0 → xx

==

31→ rang (A) = 2

Si 3�−�x(−x�+�4)�≠�0� �→� Si x�≠�3 i x�≠�1 →� rang (A) = 3

segon. Només existeix inversa de la matriu si té el rang igual que l’ordre.Existeix inversa de A si x�≠�3 i x�≠�1.

Matriu inversa

1. COM ESTUDIEM SI UNA MATRIU TÉ INVERSA EN FUNCIÓ D’UN PARÀMETRE

29 Considerem les matrius A =−

2 00 1

i B = −−

8 96 7

.

Troba una matriu X que verifiqui que AXA−1 = B.

SOLUCIÓprimer. Aïllem X a l’equació matricial.Multipliquem per A−1 per l’esquerra i per A per la dreta.

AXA−1�=�B� →� A−1AXA−1A�=�A−1BA� →� X�=�A−1BA

segon. Calculem A−1.

2 00 1−

1 00 1

⎯⎯⎯⎯→

1 00 1

1/2 00 1−

A−1

terCer. Resolem el producte X�=�A−1BA.

X�=−

⋅ −

−

⋅

−1/2 00 1

8 96 7

2 00 1

=

− −

812 7

9/2

2. COM RESOLEM UNA EQUACIÓ MATRICIAL DEL TIPUS AXA−1 = B

31 Donades les matrius A =

0 22 4

i B = −

−

1 12 1

,

resol el sistema 2 24 3

X Y AX Y B

+ =+ =

, en què X i Y

són dues matrius d’ordre 2 × 2.

SOLUCIÓ

primer. Resolem el sistema.

2 24 3

X Y AX Y B

+ =+ =

�⋅ (−2)⎯⎯→+�−4X�−�4Y�=�−2A

4X�+�3Y�=�B

−Y�=�−2A�+�B

2X�+�2Y�=�A Y�=�2A�−�B⎯⎯⎯⎯⎯→ X B A= −

1

22 3( )

segon. Calculem X i Y.

Y�=�2A�−�B� → Y =

− −

= −

− −2 0 2

2 41 12 1

1 52 7

X B A X= − =

− −

−1

22 3

1

22 0 2

2 43 1 1

2 1( ) →

=

= −−

= −1

23 72 5

33/2 7/25/2−

1

4. COM RESOLEM UN SISTEMA D’EQUACIONS MATRICIALS

3. COM RESOLEM UNA EQUACIÓ MATRICIAL DEL TIPUS AX + B = C, SI EXISTEIX A−1

30 Donades les matrius A =−

1 22 1

i B =

55

,

troba una matriu X que verifiqui que AX + B = 0.

SOLUCIÓ

primer. Aïllem X a l’equació matricial.AX�+�B�=�0� →� AX�=�−B

Multipliquem per A−1 per l’esquerra.A−1AX�=�A−1(−B)� →� X�=�A−1(−B)

segon. Calculem A−1.

1 22 1

−−

1 00 1

⎯⎯⎯⎯→

F2 = F2 − 2F1

1 20 5

−−

−−

1 02 1

⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 00 1

1/5 2/52/5 1/5−

A−1

terCer. Resolem el producte.

X�=�A−1(−B)� →� X =−

⋅ −

−

=1/5 2/5

2/5 1/555

−−−

31

F F

F F

1 1

3 3

1

2=

= −

F F F

F F

1 1 2

2 2

2

51

5

= +

=

174708p006a033.indd 25 13/2/09 09:27:18

ACTIVITATS

26 Unitat 1

Matrius

29 Classifica les matrius i determina’n la dimensió:

A = (1 2 2) B = 017

C =

−−

− −

−−

0 2 34 3 12 0 1

D = 2 00 2

E = 1 0

0 1

F =

3 0 00 1 00 1 1

G = −−

0 1 21 0 3

H = 1 1 10 1 30 0 2

−

−−

J = 3 0

4 8−−

30 Una empresa d’autobusos té tres línies: A, B i C. Dilluns van sortir 5 autobusos a la línia A, 3 a la B

i 4 a la C. Dimarts van sortir 2 autobusos a la línia A, 1 a la B i 4 a la C. Dimecres en van sortir 1 a la línia A, 3 a la B i 5 a la C.Representa-ho en forma de matriu.

31 Una fàbrica elabora dos tipus de productes, X i Y, que ven a tres empreses, A, B i C. Al principi distribuïa 1.000 unitats de cada producte a cadascuna, però aquest mes l’empresa A va rebre 600 unitats de X i 300 de Y; l’empresa B va rebre 400 unitats de X i 800 de Y, i l’empresa C va rebre 900 unitats de X i 700 de Y. Representa mitjançant una matriu les disminucions percentuals que s’han produït en la distribució dels productes a aquestes empreses.

32 Són triangulars les matrius següents? Per què?

3 2 00 1 40 1 1

0 4 2

1 0 0

3 0 00 1 09 0 1

33 Posa dos exemples d’aquestes matrius:

a) Matriu columna. d) Matriu quadrada.b) Matriu fila. e) Matriu triangular superior.c) Matriu diagonal. f ) Matriu triangular inferior.

34 Troba els valors de a i b perquè les matrius siguin iguals:

A = 1 33 1 09 4 1

b

B =

1 5 31 1 0

9 4 1−

a


35

Considera les matrius:

A =−

−0 1 61 4 3

B =−

−9 1 61 8 9

Comprova amb aquestes matrius la propietat commutativa de la suma.

36 Considera les matrius: A = −

−

−

0 54 11 3

i B = −

−

−

5 54 22 3

.

Quina relació hi ha entre A − B i B − A?


A = −−

1 1 40 1 3

B =−

−0 1 21 0 3

C = −−

2 1 21 4 3

Calcula:a) A + B − C c) −A − B + C e) A − (B − C )b) A − B + C d) −A + B + C f ) C − (A + B)

38 Determina una matriu X que verifiqui que A + X = B, �

en què A = −−

6 1 21 0 4

i B =

0 1 21 9 3

.


A =−

−3 04 8

B = −−

2 1 11 0 3

C =−−

−

4 1 20 5 31 0 2

Efectua, si és possible, els productes següents:a) A ⋅ B b) B ⋅ A c) A ⋅ C d) B ⋅ C

40 Comprova que, en general, el producte de matrius no compleix la propietat commutativa multiplicant aquestes matrius:

A =−−

−

2 0 21 5 32 0 2

B = −

−

−

1 2 15 1 30 0 2

41 Comprova que es compleix la propietat distributiva del producte de matrius respecte de la suma mitjançant aquestes matrius:

A =−

−3 04 8

B =

3 10 2

C = −−

2 11 0

42 Expressa la condició que han de complir dues matrius M i N perquè se’n pugui efectuar la suma. I, si el que volem fer és multiplicar-les, quina condició han de complir les matrius?(Activitat real de Selectivitat)

43 Amb les matrius A = −−

1 13 2

, B =

2 01 4

i C = −−

1 04 1

, calcula, si és possible:

a) 2A − 3B b) 2A ⋅ 3B c) A ⋅ (B + C ) d) A − 3B

174708p006a033.indd 26 13/2/09 09:27:28

27Matrius

44 Amb les matrius següents:

A = −−

1 1 00 2 3

, B =−

−−

1 20 53 8

i C = −

−

0 12 6

,

calcula, si és possible:

a) A ⋅ B ⋅ C b) 2A ⋅ B c) A ⋅ (B − C ) d) B ⋅ 3C

45 Calcula A ⋅ B i B ⋅ A; les matrius són:

A�=�(1� � −3� � −1 2) B =

−

−−−

3102


46 Considera A una matriu m × n.

a) Existeix una matriu B de manera que B · A sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té?

b) Podem trobar una matriu B de manera que A · B sigui una matriu fila? Si existeix, quina dimensió té?

c) Busca una matriu B que verifiqui que B�⋅�A�=�(0 0),

en què A =

1 10 10 0

.


47 Donades les matrius A = −−

1 12 1

i B =−

1 14 1

:

a) Calcula A�⋅�B i B�⋅�A.

b) Comprova que (A�+�B)2�=�A2�+�B2.


48 Amb les matrius A =−−

−

0 0 21 4 12 0 0

i B = −

−

−

0 1 15 1 30 0 2

,

calcula (A�+�B)2 i A2�+�2A�⋅�B�+�B2. Per què no coincideixen els resultats? Quina seria la fórmula correcta per al quadrat d’una suma de matrius?


A =−

− −− −

− −−−

2 2 11 1 11 2 2

I =

1 0 00 1 00 0 1

Demanem:

a) Troba (A�−�I )2.

b) Calcula A4 a partir de l’apartat anterior.


50 Considera M =

0 1 10 0 10 0 0

i N�=�M�+�I, en què I indica

la matriu identitat d’ordre n. Calcula N2 i M3.


51 Considera A una matriu de dimensió 5 × 3, B una matriu de dimensió m × n i C una matriu de dimensió 4 × 7. Si sabem que podem obtenir la matriu A ⋅ B ⋅ C, quines són les dimensions de B i de A ⋅ B ⋅ C ?

52 Donades tres matrius A, B i C, sabem que A ⋅ B ⋅ C és una matriu de dimensió 2 × 3 i que B ⋅ C és una matriu de dimensió 4 × 3. Quin és l’ordre de A?(Activitat real de Selectivitat)

53 Considera la matriu A =

1 10 1

. Calcula A10.



1 03 1

i n un nombre natural qualsevol.Determina el valor de An per a cada n i troba A350�−�A250.(Activitat real de Selectivitat)


0 1 00 0 11 0 0

. Determina la regla

del càlcul de les potències successives de A, és a dir, de An per a qualsevol nombre natural n.

56 Donada la matriu A =

1 0 10 1 00 0 1

, troba A3, A5 i An.

57 Calcula A2.000, si A =

0 0 20 2 02 0 0

.

58 Considera la matriu A =−−−

2 2 22 2 22 2 2

.

a) Comprova que A3�−�2A2�=�0.b) Troba An.(Activitat real de Selectivitat)

59 Considera A =

1 10 2

. Calcula An.

60 Considera la matriu A a=

10 1

:

a) Per a cada nombre�natural n, troba An.b) Calcula A22�−�12A2�+�2A. (Activitat real de Selectivitat)

61 Considera la matriu Aa

a=

0 00 00 0 0

. Troba An

per a qualsevol enter positiu n.(Activitat real de Selectivitat)

174708p006a033.indd 27 13/2/09 09:27:34

ACTIVITATS

28 Unitat 1

62 Considera la matriu A a=− −

− −− −

0 0 10 01 0 2

.

Troba el valor o els valors de a perquè es compleixi la identitat A2�+�2A�+�I�=�0, en què I és la matriu identitat d’ordre 3, i 0, la matriu nul·la d’ordre 3.(Activitat real de Selectivitat)

63 Considera A, I i B les matrius donades per:

A =

0 1 11 1 01 0 0

I =

1 0 00 1 00 0 1

B =− −

−−

−− −− −

6 3 43 2 14 1 5

Contesta de manera raonada aquesta pregunta: Existeix cap valor de λ ∈ R de manera que la igualtat (A − λI )2 = B sigui certa?En cas afirmatiu, troba aquest valor de λ.(Activitat real de Selectivitat)

64 Determina α i β i demostra que la matriu A =

2 11 2

verifica una equació del tipus A2 + αA + βI = 0, (I indica la matriu identitat).(Activitat real de Selectivitat)

65 Considera I i A les matrius quadrades:

I =

1 00 1

A =− −

− −17 2910 17

Escriu les operacions necessàries i calcula: a) Les matrius A2 i A5. b) Els nombres reals α i β per als quals es verifica

(I + A)3 = α I + βA .(Activitat real de Selectivitat)

Matriu transposada

66 Calcula la matriu transposada de cadascuna d’aquestes matrius:

A = (1 7 2) B =

017

C =−

−

−−

− −

5 4 34 3 12 8 9

D =

4 00 4

E =−

−0 1 71 9 3

67 Amb les matrius A = −

−

2 10 4

i B = −

−

0 13 1

, comprova

que es compleixen les propietats següents:

a) (At)t = Ab) (A + B)t = At + Bt

c) (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At

68 Determina quines matrius són simètriques o antisimètriques, i efectua els càlculs que indiquem, si és possible:

A =−

−

−− −

−

2 1 21 5 32 3 2

B =

2 00 2

C =−

− −

−

− −

0 1 21 0 32 3 0

D =

1 00 11 1

E =−

−1 11 1

a) At ⋅ C c) (B + E )t e) At ⋅ C t

b) C ⋅ Dt d) D ⋅ Dt f ) (3E )t

69 Respon aquestes preguntes:

a) Existeix sempre el producte At ⋅ A, en què A és una matriu qualsevol? Per què?

b) El producte de dues matrius simètriques de la mateixa dimensió, també és una matriu simètrica? Per què?

70 Considera A, B i C tres matrius que verifiquen que el producte A ⋅ B ⋅ C és una matriu de dimensió 3 × 2 i que el producte A ⋅ C t és una matriu quadrada, en què C t és la transposada de C. Calcula les dimensions de A, B i C, i raona’n la resposta.(Activitat real de Selectivitat)

Rang d’una matriu

71 En cadascuna de les matrius següents, determina mentalment quin és el nombre més gran de files i de columnes linealment independents:

A = (1 2 3) B = 013

C =

1 4 52 5 73 6 9

D = 2 00 2

E = − −

− −

2 0 61 0 3

F = 1 3 40 0 02 6 8

72 Calcula el rang de les matrius següents:

A =−

−

−−

− −

1 22 43 6

B = −

−

−

1 4 01 3 22 2 0

C =−

− −

−

− −

0 1 21 0 32 3 0

D = −

−

−

2 1 01 0 13 4 0

E =−

−−

1 2 3 4 50 1 1 2 31 2 1 3 4

73 Quin és el nombre més gran de columnes linealment

independents de la matriu A = 1 0 20 1 12 1 3

−−−

?

74 Si saps que el rang de la matriu següent és 2, determina el valor de a.

A = − − −− − −− −

11

1 0 17 2 1

11 4 a

174708p006a033.indd 28 13/2/09 09:27:43

29Matrius

75 Determina el valor de a perquè el rang de la matriu A sigui igual a 2:

Aa

=−

−−

−−

1 2 3 02 3 0 14 1 6


76 Troba el valor de k, si existeix, perquè el rang

de la matriu A k=−

−−

−−−

3 1 65 101 2

1

1/3 sigui 1.

77 Determina, segons el valor de a, el rang de la matriu:

Aa

=

1 2 12 1 30 1


78 Calcula el rang de A segons els valors del paràmetre a:

Aa

=

1 2 32 4 6 83 6 9 12


79 Calcula el rang de la matriu A en funció dels valors del paràmetre k:

Ak

= −−

− −−

−

1 1 22 0 1 11 1 1 0

((Activitat real de Selectivitat)

80 Determina el rang de la matriu Ak

k=−

−

1 11 21 3 0

segons els valors de k.


81 Calcula el rang de A segons els diferents valors del paràmetre real a:

Aa

a= − −

+ − −

− −−

−

2 0 21 0 1 35 4 4 3


82 Determina, en funció del nombre real m, el rang

de la matriu Am

m= +− −

2 11 2 3

2 1 2.


83 Considera la matriu A mm

=−−

1 0 14 10 3

. Determina els

valors de m per als quals rang (A) < 3. Pot ser rang (A) = 1 per a algun valor de m?


84 Considera la matriu A m m mm m m

=

1 1 12 2

2

. Troba els valors

de m per als quals el rang de A és més petit que 3.(Activitat real de Selectivitat)

85 Considera A

a bb a

b aa b

= ++

0 01 0 0

0 1 00 0

.

a) Prova que, per a qualsevol valor de a i b, rang (A) ≥ 2.b) Determina un parell de valors reals de a i b

perquè rang (A) = 3, i un altre parell de valors a i b de manera que rang (A) = 4.


86 Considera les matrius A = −

−

1 14 2

i B =−

−1 04 1

.

Veiem que totes dues tenen rang màxim, o sigui 2. Determina els valors de c de manera que la matriu A + cB no tingui rang 2. Quin és el rang que tenen les matrius suma respectives?(Activitat real de Selectivitat)

87 Considera les matrius A i B:

A =

1 0 10 2 01 1 0

B =

0 1 11 1 00 0 2

És fàcil comprovar que totes dues tenen el rang màxim, o sigui 3. Però, què passa si les combinem linealment? En concret, estudia el rang de la matriu A + λB segons els valors del paràmetre λ.(Activitat real de Selectivitat)

88 Donades les matrius A = −

1 01 12 2

i B = −−

−−

2 2 03 1 1

,

és cert que rang (AB) = rang (A) ⋅ rang (B)? Justifica la resposta. (Activitat real de Selectivitat)


1 0 00 1 0

,

troba dues matrius, B i C, de mida 3 × 2 i de rang 2, que verifiquin que el rang de AB sigui 2 i que el rang de AC sigui 1.(Activitat real de Selectivitat)

90 Una matriu quadrada d’ordre 3 té rang 2.

a) Quin és el rang de la matriu que en resulta quan traiem una fila?

b) Quin és el rang de la matriu que en resulta si eliminem una columna?

c) Què passaria en els casos anteriors si el rang de la matriu inicial fos 3?

174708p006a033.indd 29 13/2/09 09:27:48

ACTIVITATS

30 Unitat 1

Matriu inversa

91 Calcula la matriu inversa de les matrius següents:

A = −−

−−

2 41 4

B = −−

− −−

−

1 0 11 2 32 0 1

C =

1 0 00 1 00 0 1

92 Troba la inversa de la matriu A =

1 2 10 1 12 1 0

.


93 Calcula, si és possible, la inversa d’aquesta matriu:

A =−

− −−

− −−

− −

1 2 21 3 10 2 1


94 Donades les matrius A = −

−

1 21 0

i B = −−

−−

0 21 3

, calcula

(A−1)−1 i B−1 ⋅ B. Per què obtenim aquest resultat?

95 Considera les matrius A = −−

−−

2 41 4

i B =

1 20 1

.

a) Comprova que (A ⋅ B)−1 = B−1 ⋅ A−1.b) Calcula (B2)−1, de la manera més ràpida possible.


1 23 4

, calcula (AtA−1)2 A.


97 Comprova que la inversa de la matriu A =−

−−

1 1 20 2 11 1 1

és la matriu A− = ⋅− −−

−

−− −

− −

1 1

4

1 3 51 1 12 2 2

.


98 Considera la matriu Amm

m=

1 21 1

0 1, en què m ∈ R.

Determina per a quins valors de m la matriu A és regular (té inversa).(Activitat real de Selectivitat)

99 Estudia per a quins valors de m la matriu següent té inversa:m

m m

0 10 1 1

0

En cas que sigui possible, troba’n la inversa per a m = −1.(Activitat real de Selectivitat)

100 Considera les matrius A k=

1 020 1

i B k= −

−

0 11 1 2

.

a) Estudia, en funció dels valors reals de k, si la matriu B ⋅ A té inversa.

b) Fes el mateix per a la matriu A ⋅ B.(Activitat real de Selectivitat)

101 Considera les matrius A m=− −

−1 21 1 1

i B m=

1 20

0 2, en què m és un nombre real.

Troba els valors de m per als quals A ⋅ B té inversa. (Activitat real de Selectivitat)

102 En la matriu A, determina a, b i c perquè la seva transposada coincideixi amb la seva inversa.

Aa b c

=

1 0 00 1/ 2 1/ 2

103 Comprova-ho i contesta:

a) Si A és una matriu no singular i (B − C )A = 0, en què 0 és la matriu nul·la, comprova que B = C.

b) Segons el resultat de l’apartat anterior,

quan A = −−

2 61 3

, l’única matriu X

que verifica l’equació XA = 0 és la matriu nul·la. És certa aquesta afirmació? Per què?

(Nota: matriu singular és aquella que no té inversa.)(Activitat real de Selectivitat)

Equacions matricials

104 Aïlla la matriu X de l'equació A ⋅ X = B i calcula-la;

A =−

−1 20 1

i B =−

−1 2 30 1 1

.

105 Donades les matrius P = −− −

− −−

1 1 01 0 11 1 1

i A =−

−

−−− −

1 0 00 1 00 0 2

,

troba raonadament la matriu B si saps que BP = A.(Activitat real de Selectivitat)

106 Calcula la matriu A que fa que:

1 34 2

2 15 3

= ⋅

A


107 Calcula la matriu X de manera que A2X = A, en què A =

1 21 1

.


174708p006a033.indd 30 13/2/09 09:27:56

31Matrius

108 Troba una matriu inversa X, de manera que A−1X A = B, on:

A =− −

− −3 12 1

B = −

−

1 12 1


109 Determina, si existeix, una matriu A que verifiqui que:

−

⋅ ⋅

−

=

−

−1 10 3

1 22 0

0 22 0

A

110 Troba una matriu X que verifiqui que A X + B = I,

en què A = −

−

0 11 0

, B =

1 23 4

i I és la matriu identitat.

111 Considera aquestes matrius:

A =−

−−

1 1 12 1 20 0 1

B =

0 0 10 1 11 1 1

Calcula la matriu X que verifica que X A + B = I, en què I representa la matriu identitat.


112 Resol l’equació matricial A X + B = C,

en què A =−

−−

0 3 02 0 10 3 2

, B = −−

−−

4 2 15 1 3

i C =− −

− −1 0 51 4 6

.

113 Resol l’equació matricial A X + C = B,

en què A =−

−4 11 0

, B = −− −

− −−

1 2 0 12 1 1 0

i C = −−

−−

0 1 2 11 0 3 0

.


114 Raona si existeix la matriu inversa de A =−

−−

1 1 00 1 02 0 1

i, en cas afirmatiu, calcula-la.

Resol l’equació matricial A X + 2A = I, en què X és una matriu d’ordre 3 × 3 i I és la matriu identitat d’ordre 3 × 3.


115 Considera les matrius A =

123

, B =−

722

, C =

0 0 00 1 00 0 1

i E =

253

. Calcula Mxyz

=

perquè verifiqui

l’equació (A B t + C )M = E.


116 Considera X una matriu 2 × 2, I la matriu identitat 2 × 2

i B =

2 10 1

. Troba X si saps que BX + B = B2 + I.


117 Resol l’equació matricial B(2A + I ) = AXA + B, en què

A = −

−

1 10 1

, B =− −

− −1 21 1

i I =

1 00 1

.


118 Calcula una matriu quadrada X si saps que verifica XA2 + BA = A2,en què:

A =−

−−

− −− −

− −

0 0 10 1 01 0 0

B =−

−−

− −− −

− −

0 0 20 2 02 0 0


119 Considera les matrius A x=

12 1

i B =

0 11 2

.

Troba x perquè es compleixi A B2 2 8 86 12

1+ =

.

120 Resol els sistemes matricials següents:

a) 2 1 01 1

X Y+ =−

− b) X Y+ =−

−2 44 2

X Y− =−

−1 35 4

3 2 812 2

Y X− = −

121 Resol aquest sistema matricial:

2 3 4 87 11

1A B+ =

5 2 10 18 18

11

A B− =


122 Raona si les solucions de les equacions matricials següents són correctes. Considerem 0 com la matriu nul·la.

a) X 2 = 0 ⎯→ Solució X = 0b) XA = 0 ⎯→ Solució X = 0c) X 2 = AX → Solució X = A

123 Si una matriu quadrada A verifica que A2 + 7A = I, en què I és la matriu unitat, calcula A−1 en funció de A.

124 Considera A una matriu quadrada d’ordre n de manera que A2 = A, I la matriu unitat d’ordre n i B = 2A − I. Calcula B2.

125 Si A i B són dues matrius quadrades d’ordre 3 i A és diagonal, es verifica que AB = BA per a qualsevol matriu de B? Com hauria de ser A perquè es complís aquesta igualtat?

174708p006a033.indd 31 13/2/09 09:28:06

32 Unitat 1

PREPARA LA SELECTIVITAT (Activitats reals de Selectivitat)

Donada la matriu Am

m=−

0 11 00 1 0

a) Calcula els valors del paràmetre m per als quals A té inversa. b) Per a m = 0, calcula A3 i A25.c) Per a m = 0, calcula la matriu X que verifica X ⋅ A = B, en què B = (0 −1 −1).

a) IDEA CLAU

Perquè una matriu tingui inversa ha de ser quadrada i el rang ha de ser igual que el seu ordre.

A és una matriu quadrada d’ordre 3. Estudiem el rang de A.

mm

−−−

0 11 00 1 0

⎯⎯⎯→F2 ↔ F1

1 0

0 10 1 0

−−−

mm ⎯⎯⎯⎯⎯→

F2 = F2 − mF1

1 00 0 10 1 0

2

−− −−

mm

⎯⎯⎯→F3 ↔ F2

1 00 1 00 0 1 2

−

−−

−

m

m

Si 1 − m2 = 0 → m = ±1 → rang (A) = 2 → A no té inversa.

Si 1 − m2 ≠ 0 → m ≠ ±1 → rang (A) = 3 = Ordre (A) → A té inversa.

b) IDEA CLAU

Per calcular una potència elevada d’una matriu, trobem les potències successives: A2, A3, A4, …, i n’estudiem les regularitats.

A A A20 0 11 0 00 1 0

0 0 11= ⋅ =

−

⋅

−−

−−00 0

0 1 0

0 1 00 0 11 0 0−

=

−

−

−− −

−

A A A3 20 1 00 0 11 0 0

0= ⋅ =

−

−

⋅

−− −

−

−00 11 0 00 1 0

1 0 00 1 00

−− −

− −−−

=−

−−− −

= −

0 1I

A4 = A3 ⋅ A = −I ⋅ A = −A A6 = A5 ⋅ A = −A2 ⋅ A = −A3 = I A8 = A7 ⋅ A = A ⋅ A = A2

A5 = A4 ⋅ A = −A ⋅ A = −A2 A7 = A6 ⋅ A = I ⋅ A = A A9 = A3 = −I A10 = A4 = −AA25 = A perquè el residu de dividir 25 entre 6 és 1.

c) IDEA CLAU

Per resoldre una equació matricial, aïllem X, igual com si fos una equació numèrica, però hem de tenir en compte que el producte de matrius no és commutatiu.

X ⋅ A = B → X ⋅ A ⋅ A−1 = B ⋅ A−1 → X = B ⋅ A−1

Calculem A−1.

0 0 11 0 00 1 0

−−−

1 0 00 1 00 0 1

⎯⎯→

F2 ↔ F1

1 0 00 0 10 1 0

−−−

0 1 01 0 00 0 1

⎯⎯→

F3 ↔ F2

1 0 00 1 00 0 1

−

−−

0 1 00 0 11 0 0

⎯⎯→

F2 = −F2

1 0 00 1 00 0 1

0 1 00 0 11 0 0

−

−−

X = − − ⋅ −

= −

−

−( ) (0 1 1

0 1 00 0 11 0 0

1 00 1)

Procura que a la diagonal

de la matriu no aparegui el

paràmetre. Per aconseguir-

ho, pots intercanviar les

files de la matriu.

Si Ap = I, aleshores:

Ap = Ar

en què r és el residu

de la divisió de q

entre p.

174708p006a033.indd 32 20/2/09 07:27:34

33Matrius

1 Donades les matrius Ak t

k=

00 00 0 0

i Bk t

k=

10 10 0 1

a) Troba A10. b) Calcula la matriu inversa de B. c) En el cas particular k = 0, troba B10.

2 Considera A la matriu A a=

10 1

. Per a cada nombre natural n, troba An. Calcula A22 − 12A2 + 2A.

3 Donades les matrius A =

1 0 01 0 01 0 0

i C =

1 0 02 1 03 2 2

, troba les matrius X que verifiquin XC + A = C + A2.

4 Troba les matrius A i B, si saps que verifiquen aquestes equacions matricials:

2 33

A B MA B N

+ =− + =

, en què M = −

1 1

1

8 4 718 11 6

8 3 13 i N =

−−

−−− −

1 1

1

9 2 617 1 10

9 4 13

5 Considera la matriu A =− − −

− −

− − −−

1 2 21 2 10 1 1

.

a) Comprova que verifica que A3 − I = 0, amb I com a matriu identitat i 0 com a matriu nul·la.

b) Calcula A13.

c) Sobre la base dels apartats anteriors i sense recórrer al càlcul d’inverses, troba la matriu X que verifica la igualtat A2X + I = A.

6 Considera A, B i I les matrius: A =

0 1 11 1 01 0 0

B =− −

−−

−− −− −

6 3 43 2 14 1 5

I =

1 0 00 1 00 0 1

Estudia si hi ha cap valor de λ ∈ R per al qual es verifiqui que (A − λI)2 = B.

7 Donada la matriu Am

mm

=− +

−−

0 00 00 1 1

:

a) Estudia, segons els valors de m, el rang de A.

b) Per a m = −1, calcula la matriu X que verifica XA + A = 2I, en què I és la matriu unitat d’ordre 3.

Posa’t a prova

174708p006a033.indd 33 13/2/09 09:28:15

Documents

iesperefontdevila.catiesperefontdevila.cat/mates/mat2bat/santillana/tema1.pdf · 4 Esquema de la unitat 22 Unitat 1 Matrius 23 20 Considera k un nombre natural i considera la matriu: