Upload
others
View
28
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Лекция 1. Свободные колебания простых одномерных осцилляторов
2
“В науке необходимо воображение. Она не исчерпывается целиком ни математикой, ни логикой, в ней есть что-то от красоты и поэзии”
М. Митчелл, 1860
3
Физический маятник. Анимация
4
Гармоническое колебание
5
“Разные” колебания
6
Колебания “бегут” – “Волны”
Реакция Белоусова –Жаботинского
Волны при протекании реакцииБелоусова - Жаботинского
9
Маятник часов
10
11
Антракт
Энергия
гармонического
осциллятора
Wп
Wк
t
t
0
0
Скорость
максимальна
Деформации
нет
2
)(2 tkx
2
)(2 txm
t
WW0
WкWп
t
Wп + Wк= const
§ 1. продолжение …
Некоторые аналогии
Механический осциллятор
Электрический осциллятор
Смещение, x () Заряд, q
скорость, ( ) Сила тока, I ( )
Потенциальная энергия Энергия электрического поля конденсатора
Кинетическая энергия Энергия магнитного поля катушки
масса, m индуктивность, L
жёсткость пружины, k величина, обратная
электроёмкости конденсатора, 1/C
Сила (момент силы) ЭДС
x q
2
2kxU
С
qW
e2
2
2
2vmT
2
2
м
LIW
-2
0
0 5 10 15 20 25
0
2
тепловое расширение
кристаллов
!0
0r растёт !
Наиболее вероятное
расстояние между
атомами
1.5. Ангармонизм колебаний нелинейного осциллятора
4
Ангармонизм колебаний
Изохронность / Неизохронность
T = constИзохронность
Неизохронность !T const
А1
А2
А1
А2
Амплитуды разные
g
2)(
2gthty
2
)(2 tkxU
tAtx 02,1 cos)(
Лекция 2. Колебания в системе связанных осцилляторов
2.1. Симметричная система связанных осцилляторов
X
X
k1 kk
21
x10 x20
m
8
Нормальные колебания – “моды”
Симметричная система связанных
осцилляторов
а
б Противофазно
Синфазно
Антракт
Биения Симметричная система со слабой связью k1 << k
1(t)
t
2(t)
Связанные электрические контуры
Ёмкостная связь контуров
LI1
C–
+
C1
q
I2
+
–
–
+
L
C
направление
обхода
направление
обхода
q1 q2
Связанные электрические контуры
Ёмкостная связь контуров
а)
I1
I2
Синфазно
б)
I1
I2
Противофазно
Линейные молекулы CO2
Колебания молекул
1351 см-1
672 см-1
2396 см-1
2= 672 см-
1
1= 1351 см-
1
3= 2396 см-1
Симметричная мода
Три фундаментальные моды молекулы СО2:
1 - Симметричная валентная мода;
2 - деформационная мода
3 - антисимметричная валентная мода;
Антисимметричная мода
Деформационная мода
Колебания молекул Н2О
1= 3660 см-1 3= 3760 см-1 2= 1650 см-1
Молекулярная колебательная спектроскопия
ИК спектры
5000 4000 3000 2000 1000
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
as prepared PS
annealed PS
oxided PS
Bend. Si-O
& O-H
1630 cm-1
Si-O
1070 cm-1-
1145 cm-1
bend
- 630 cm-1
Str OH
3660-3750 cm-1
,
Str H2O
3400-3550 cm-1
Str
SiH, SiH2
2090, 2120 cm-1
Tra
nsm
itta
nce
, a.
u.
Wavenumber, cm-1
Молекулярная колебательная спектроскопия
ИК спектры
ИК спектроскопия The infra-red (IR) spectroscopy of porous silicon
5000 4000 3000 2000 1000
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
as prepared PS
annealed PS
oxided PS
Bend. Si-O
& O-H
1630 cm-1
Si-O
1070 cm-1-
1145 cm-1
bend
- 630 cm-1
Str OH
3660-3750 cm-1
,
Str H2O
3400-3550 cm-1
Str
SiH, SiH2
2090, 2120 cm-1
Tra
nsm
itta
nce
, a.
u.
Wavenumber, cm-1
Absorption line,
(cm-1)
Types of vibration mode
3745 SiOH
3610 OH stretching vibrations (in SiOH)
3452 OH stretching vibrations (in H2O)
2958 CH stretching vibrations (in CH3)
2927 CH stretching vibrations (in CH2)
2856 CH stretching vibrations (in CH)
2197 SiH stretching vibrations (in
SiO2SiH)
2140 Si-H3 stretching vibrations (in
SiH2SiH)
2116 SiH2 stretching vibrations (in
Si2HSiH)
1720 C=O
1056-1160 SiO stretching vibrations (in SiOSi
и CSiO)
980 SiF stretching vibrations
979 SiH bending vibrations (in Si2HSiH)
950 SiF stretching vibrations
948 SiH bending vibrations (in Si2HSiH)
827 SiO bending vibrations (in SiOSi)
800 SiCH3
624 SiH bending vibrations (Si3SiH)
617 SiSi
18
деформационные
валентные
Спектр комбинационного рассеяния света воды
Спектры комбинационного рассеяния света c-Si
Кремний (Si)
Оптические фононы
акустические фононы
Спектры КРС арсенида галлия (GaP)
21
Спектры КРС воды
Валентные колебания
22
Спектр комбинационного рассеяния света
23
Спектры комбинационного рассеяния света
Лекция 3 Свободные затухающие колебания
Малое затухание: < 0
)(cos)(0c0
teAt t
02 2
0 ω
Малое затухание: < 0
а) r = 0,02 кг/c
б) r = 0,20 кг/c
Энергия осциллятора с затуханием
1 - потециальная энергия
2 - кинетическая энергия
3 - Полная энергия осциллятора с затуханием
teWtW 2
0)(
Большое затухание:
> 0
в) r = 0,80 кг/c
2/
1/
)(
tt
eBeAt
а)
б) = 0 «Критический режим»
tetBAt
)()(
0
Лекция 4. Вынужденные колебания
Энергия осциллятора с затуханием
1 - потециальная энергия
2 - кинетическая энергия
3 - Полная энергия осциллятора с затуханием
teWtW 2
0)(
К выводу уравнения вынужденных
колебаний
m
0
k
Xx
(t) = cos tF
F
0F
L
C+
–
R
u(t) = u0cos t
Амплитудная резонансная зависимость
5
Амплитудные и фазовые зависимости
р
6
22
0
2
)(
R
R()
22222
0
22222
0
0
0
4)(
2
4)(2
1)(
ββ
fFtP
222
0
22
0
4)(
2)(
βr
FtP
Кривая Лоренца
Резонанс
Лекция 5. Вынужденные колебания в электрических
цепях. Переменный ток
Генератор переменного тока
)2/cos(
cos)(cos)(
tBSdt
d
tBStBSt
i
)2/cos()(
tR
BS
RtI i
Генератор переменного тока
)2/cos(
cos)(cos)(
tBSdt
d
tBStBSt
i
)2/cos()(
tR
BS
RtI i
F
~U0cost
I0cos(t)
l
“R, L, C”
“R, L, C”
“R, L, C”
Цепь переменного тока
К выводу уравнения вынужденных
колебаний
m
0
k
Xx
(t) = cos tF
F
0F
L
C+
–
R
u(t) = u0cos t
RL C
~U0cost
I0R I0/CI0L
I
Резонанс в последовательном контуре
Амплитудная резонансная зависимость
8
Амплитудные и фазовые зависимости
р
9
Резонансный трансформатор Тесла
I. Лекция 6. Упругие волны
II. Лекция 7. Электромагнитные волны
“Путешественнику на корабле
кажется, что океан состоит из
волн, а не из воды”
А. Эддингтон, 1929
Лекция 6
1
),( txn
2),(),(
2
2
2
1
l
xl
xtxtlxn
2),(),(
2
2
2
1
l
xl
xtxtlxn
(1)уравнение Волновое
)()( 11 nnnnn ккm
nn–1 n+1 NN–11 2
X
l
xx–l x+l
l
12
n–1 n n+1 N–1
2
2
22
2
2
xt
v
2
2
2
2
2
2
:""
zyxЛапласаоператор
2
2
2
vt
или
Это “Классическое Дифференциальное Волновое Уравнение”
2
22
2
2
xкl
tm
(2)уравнение Волновое
22
v
Обозначим
mкl
Уравнением волны называется соотношение,
описывающее зависимость ξ (например, смещения частиц)
от координат и времени в явной форме:
),,,(),( tzyxилиtx
Уравнение волны – вид решения волнового уравнения
2
2
2
2
2
xt
v
v/xна иезапаздыван
X
nn–1 n+1 NN–11 2
l
xx–l x+l
l1
2 n–1 n n+1 N–1N
;/cos),( vxtAtx
;)cos(),( kxtAtx
;)(cos),( tAtx
tAt cos),0(
;2
T
2:"" kчислоВолновоеx
T
xx
22
vv
TволныДлина v:""
xtT
Atxили
22cos),(
)cos(),( kxtAtx
Продольные волны
)cos(),( kxtAtx
Поперечные волны
Волновой поверхностью называют такую поверхность, колебания во всех точках которой происходят в одной и той же фазе
Волновая поверхность, служащая «передней» границей «возмущенной» области пространства, называется волновым фронтом
Если фронт волны и волновые поверхности – плоскости, то волну называют плоской
)( источникаразмерDDx
rkrkxk cos
)cos(),( rktAtr
Плоская волна
волновая поверхность
xO
X
r v
k
Если волновые поверхности имеют сферическую
форму, волну называют сферической
rxD ,
)cos(),( 0 krtr
Atr
Сферическая волна
(нет поглощения средой)
3
;2
2
m
кlv
lx
txtlxдеформация
),(),(:
;22
222
x
lкl
x
кU
2
)( 2деформациякU
22
2
x
mU
v
4
;2
22
x
mU
v
волныупругойэнергия наяпотенциаль
n n+1
nn+1
xn0 x(n+1)0
2
)( 2деформациякU
lx
txtlxдеформация
),(),(:
;22
222
x
lкl
x
кU
;2
2
m
кlv
4
;2
2
t
mT
22
2
2 xt
mW
v
;UTW ;2
22
x
mU
v
волныупругойЭнергия
)( энергииплотностьwdV
dW
22
2
2 xtw
v
5
)(sin22
2222
kxtAt
wкин
)(sin22
222222
kxtkAx
wпот
vv
)(sin2
222)/( kxtAwпотk
vучётомс
;поткин www )(sin222 kxtAw
волныупругойЭнергия
кинw
потw
волныупругойЭнергия
Плотность потока энергии – энергия, переносимая волной в
единицу времени через «единичную площадку»,
перпендикулярную направлению распространения волны
v )()( twtS
Интенсивностью волны называется среднее по времени
значение плотности потока её энергии
vv 22
2
1 AwSI
tt
22222
2
1)(sin AkxtAw
tt
),( txww
6
волныупругойЭнергия
7
Вектор Умова:
«векторная интенсивность»:
v )(twS
vv 22
2
1 AwS
Поток энергии:
sSsS n dd
Лекция 7
Однородная непроводящая среда
""),(
),(волнаплоская
txBB
txEE
""
00
""
""""
22
11
)II(
)I(;
sdEt
ldB
sdBt
ldE
C
C
К выводу уравнения электромагнитной
волны
x Xx+dx
Y
Z
1y
z
z+dz
y+dy23
4
5
67
8
контур
“С1”
контур
“С2”
“1”
“2”
1n
2n
;)(),(
2
1
dydxxEldE y
;),(),(
1
4
3
2
ldEldE
dxdyx
EdyxEdxxEldE
y
yy
C
)()(),(
1
;)(),(
4
3
dyxEldE y
)1( at
B
x
Ezy
)2(00 at
E
x
B yz
1
4
4
3
3
2
2
1
),(1
ldEC
)I(1
s
dB
tldE
C
;
1
dxdyx
EldE
y
C
;1
dxdyBdB z
s
,)()(2
dxdzx
BdzxBdxxBldB z
zz
C
.2
dxdzESdE y
)II(00
2
s
dE
tldB
C
x
B
tx
Ezy
2
2
x
E
tx
B yz002
2
00
1
v
,2
2
2
2
2
:
x
E
t
E yy
Итог
v
2
22
2
2
x
B
t
B zz
v
Вибратор Герца
Связанные электро-магнитные поля
E(x,t) = E0 ∙cos(t – kx); B(x,t) = B0 ∙cos(t – kx + )
kE0sin(t – kx) = B0 sin(t – kx + )
kB0sin(t – kx + ) = E0 00sin(t – kx)
)1( at
B
x
Ezy
)2(00 at
E
x
B yz
;0
2
02
00
B
E .)(
)(,)(
)(0
22
0v
tEtB
tBtE
0
v00
22
0
EBB
Ewww BE
0
2
20
BE 2
2
0EwE
0
2
2
BwB
0
)()( = )()(
tBtEtwtS v
0
00
2)()(
BEtwtSI v
Вектор Пойнтинга
0
],[)()(
BEtwtS
v
0
00
2
],[)()(
BEtwtS
v
Поток
волнынитнойэлектромагЭнергия
Плотность потока энергииИнтенсивность
ss dSdS n
Φ
ss dtSdtS n )()(Φ
n
c
00
1
v
смс /1031 8
00
n
2
2
2
2
2
x
E
t
E
v