Embed Size (px)
Citation preview
3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
1.1. Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α → III , β → IV , γ → I , δ → II2. α → Γ , β → Α , γ → Β , δ → Γ3. α → IV , β → I , γ → III , δ → II
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) Έστω x ο αριθμός. Η ζητούμενη παράσταση είναι 3x+12. β) Έστω x, y οι δύο αριθμοί. Η παράσταση είναι 9(x+y)γ) Έστω x m το μήκος του. Τότε το πλάτος του είναι x–2 m και η περίμετρός του είναι
2x+2(x–2) m
2. α) Έστω ότι το 1 κιλό πατάτες κοστίζει x €. Τότε για τα 5 κιλά θα πληρώσουμε 5x €.β) Έστω x € η αναγραφόμενη τιμή του προϊόντος. Τότε η τελική του τιμή είναι:
x x x x x+ = + =19
1000 19 1 19, ,
3. α) 17x, β)–16α, γ)27y, δ)4ω, ε)–2x+1, στ)–2β
4. α) 2x–4y+3x+3y=2x+3x–4y+3y=5x–yβ) 6ω–2ω+4α+3ω+α=6ω–2ω+3ω+4α+α=7ω+5αγ) x+2y–3x–4y=x–3x+2y–4y=–2x–2yδ) –8x+ω+3ω+2x–x=–8x+2x–x+ω+3ω=–7x+4ω
5. α) A=3(x+2y)–2(2x+y)=3x+6y–4x–2y=–x+4y=–1+4(–2)=–1–8=–9β) Β=5(2α–3β)+3(4β–α)=10α–15β+12β–3α=7α–3β=7(–3)–3·5=–21–15=–36
6. α) Α=2(α–3β)+3(α+2β)=2α–6β+3α+6β=5α=5·0,02=0,1
β) B x y x y y x y x y y x y x y=3( +2 )+2(3 + )+ =3 +6 +6 +2 + =9 +9 =9( + )=9 19
⋅ = 1
7. α) Ο αριθμός Bυ2 για τον Γιώργο είναι:
Bυ2 2
871 75
873 0625
28 408= =, ,
,
algevra_teliko.indd 3 31/3/2008 6:47:51 πµ
4
Επειδή το 28,408 βρίσκεται στο διάστημα 25–29,9 ο Γιώργος κατατάσσεται στον πρώτο βαθμό παχυσαρκίας.
β) Ο αριθμός Bυ2 για την Αλέκα είναι:
Bυ2 2
641 42
642 0164
31 74= =, ,
, . Επειδή ο αριθμός 31,74
είναι μεγαλύτερος από 40, η Αλέκα κατατάσσεται στον τρίτο βαθμό παχυσαρκίας.
1.2. Εξισώσεις α΄ βαθμού
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α) 30 β) 7 γ) 24 δ) –3 ε) –9 στ) 72. α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ3. α) III β) IV γ) 1 δ) II
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) Για να είναι το x=–7 λύση της εξίσωσης –2x+3=21 πρέπει –2(–7)+3=21 ή 14+3=21 ή 17=21 αδύνατο
β) Επειδή 3·0,5+5=7,5 1,5+5=7,5 6,5=7,5 αδύνατο το x=0,5 δεν είναι λύση της εξίσωσης 3x+5=7,5
γ) Επειδή –3·1+4=7·1–6 ή 1=1 που ισχύει το x=1 είναι λύση της εξίσωσης –3x+4=7x–6
2. α) 2x+21=4+x–5 ή 2x–x=4–5–21 ή x=–22β) − + + = −
+ + = +=
= =
9 7 1 2
7 2 1 9
10 10
1010
1
y y y
y y y
y
y
γ) 3 3( +1) +2( +1)+1t t t t
t t t t
t t
t
t
− =− − = + + +
− − − = += −
= − =
3 3 3 2 2 1
3 2 1 2
3 6
63
−−2
3. α) 4 2 1 6 1 3 2
8 4 6 6 3 6
8 6 3 4
4
4
( ) ( ) ( )x x x
x x x
x x x
x
x
+ − − = +
+ − + = +− − = −
− = −=
β) 3 1 2 4 2 6
3 3 2 8 2 6
3 6 3 8
4 11
114
( ) ( ) ( )y y y y
y y y y
y y
y
y
+ + − = − −
+ + − = − ++ = − +=
=
algevra_teliko.indd 4 31/3/2008 6:47:51 πµ
5
γ) 6 2 3 3 2 4
6 12 2 8
6 2 8 12
8 4
48
12
( ) ( )ω ωω ωω ωω
ω
+ + = − −+ = − ++ = −= −
= − = −
4. α) 2 32
3 54
42 3
24
3 54
2 2 3 3 5
4 6 3 5
4 3 5 6
x x
x x
x x
x x
x x
+ = −
⋅ + = ⋅ −
⋅ + = −+ = −− = − −
( )
xx = −11
β) 7 63
5 24
4 7 6 3 5 2
28 24 15 6
28 15 6 24
13 30
x x
x x
x x
x x
x
x
− = +
− = +− = +− = +
⋅ =
( ) ( )
== 3013
γ) 2 1 22
1 34
42 2 2
24
1 34
2 2 4 1 3
4 8 1 3
4 3
( )
( )
x x
x x
x x
x x
x
− − = −
⋅ − − = ⋅ −
⋅ − = −− = −+ xx
x
x
= +=
=
1 8
7 9
97
5. α) x x x
x x x
x x
+ − − = − −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ − − ⋅
+ −
45
43
1 315
2
154
515
43
151 3
1515 2
3 4 5( ) ( −− = − −+ − + = − −− + = − − −
= −
4 1 3 30
3 12 5 20 1 3 30
3 5 3 1 30 12 20
61
) x
x x x
x x x
x
β) y y
yy
y yy
y
y y
− − + = + −
⋅ − − ⋅ + = ⋅ + ⋅ −
− − + =
13
2 76
1 32
61
36
2 76
6 61 3
22 1 2 7( ) ( ) 66 3 1 3
2 2 2 7 6 3 9
6 9 3 2 7
3 12
123
4
y y
y y y y
y y
y
y
+ −
− − − = + −− + = + +
=
= =
( )
γ) 14
4 7 117
234
2814
4 28 7 28 117
282
( ) ( )
( ) ( )
ω ω ω
ω ω ω
+ − = − ⋅ + −
⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − 334
7 4 196 4 1 7 23
7 28 196 4 4 7 161
4 4 161
( ) ( ) ( )ω ω ω
ω ω ωω
+ − = − + −
+ − = − + −= − + 1196 28
4 11
114
−=
=
ω
ω
algevra_teliko.indd 5 31/3/2008 6:47:52 πµ
6
6. α) 323
5 63
2
323
5 63
2
323
5 83
3 3
xx x
xx x
xx x
− −
= − −
− + = − +
− + = −
⋅ xxx x
x x x
x x x
x
x
− ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅
− + = −− + = −=
=
323
3 5 3 8 33
9 2 15 24
9 2 24 15
8 9
98
β) 5
12
1 23
125
6
51
21 2
312
56
6
− + + +
= − − +
− + − + = − + +
⋅
t tt
t
t tt
t
55 61
26
1 23
6 12 6 65
630 3 1 2 1 2 72 6
− ⋅ + − ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
− + − + = − +
t tt
t
t t t t( ) ( ) ++− − − − = − + +
− − + − = + − + +− =
=
5
30 3 3 2 4 72 6 5
3 4 6 72 5 30 3 2
2 52
52
t t t t
t t t t
t
t−−
= −2
26
7. α) 12
114
13
12
44
14
13
1254
13
4 12 5
13
3 2 1 5 1
6
2
+
+=
+
+=
+
=
+⋅
=
⋅ + = ⋅
x
x
x
x
x
( )
( )
++ == −
= −
= −
6 5
6 5 6
66
16
16
x
x
x
x
β) 213
212
12
212
63
13
42
12
22 242
12
6 1352
2232
2 6
tt
t t
t t
t
−
+=
−
−
−
+=
−
−
−
=
−
( −−⋅
= −⋅
− = −
− = −− = −
13 5
2 22 3
12 215
23
3 12 2 15 2
36 6 30 15
3
) ( )
( ) ( )
t
t t
t t
t t
66 15 30 6
51 36
3651
1217
t t
t
t
+ = +=
= =
algevra_teliko.indd 6 31/3/2008 6:47:53 πµ
7
8. α) A B
x x
x x
x
x
=− = −+ = +=
=
5 3 12 2
5 2 12 3
7 15
157
β) A B
xx
x x
x x
=
⋅ − + ⋅ = ⋅ + ⋅
− + ⋅ = +− + = +
6 2 1 632
6 6 63
12 1 3 3 36 2
12 12 9 36 2
12
( )
( )
xx x
x
x
x
− = + −=
=
=
2 36 12 9
10 39
1010
3910
3 9,
9. α) Για μ=2 η εξίσωση γίνεται: β) Για x=7 η εξίσωση γίνεται:2 6 2 2 2 1 2
2 12 2 3 2
2 10 3 2
2 3 2 10
8
( ) ( )x x
x x
x x
x x
x
x
+ − = ⋅ − ++ − = ++ = +− = −
− = −= 88
µ µµ µµ µµ
µ
( ) ( )7 6 2 2 1 7 2
13 2 14 7 2
13 14 7 2 2
3
3
+ − = − ⋅ +− = − +− = − + +
− = −=
γ) Για μ=1 η εξίσωση γίνειται: 1 6 2 2 1 1 2
6 2 2
6 2 2
4 2
⋅ + − = ⋅ − ++ − = +− ==
( ) ( )x x
x x
αδύνατη
10. α) Πρέπει ΑΒ=ΑΓ ή 2x+3=x+5 ή 2x+x=5–3 άρα x=2 Τότε ΑΒ=2·2+3=7, ΑΓ=2+5=7 και ΒΓ=2·2+1=5
β) Πρέπει ΑΓ=ΒΓ ή x+5=2x+1 ή x–2x=1–5 ή –x=–4 ή x=4. Τότε ΑΒ=2·4+3=11, ΑΓ=4+5=9 και ΒΓ=9.
γ) Πρέπει ΑΒ=ΒΓ ή 2 3 2 1x x+ = + ή 3=1 αδύνατη
11. Πρέπει 3 1 11
3 1 11
3 11 1
3 12
123
4
x
x
x
x
x
− =− == +=
= =
, 2 3 15 2
2 3 15 2
2 2 15 3
4 12
124
3
y y
y y
y y
y
y
+ = −+ = −+ = −=
= =
και 2 40 90
2 40 90
2 90 40
2 130
1302
65
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ο ο
ο ο
ο ο
ο
ο
ο
− =
− =
= +
=
=
=
algevra_teliko.indd 7 31/3/2008 6:47:54 πµ
8
1.3. Επίλυση τύπων
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1→ Γ , 2 → Β , 3 → Γ , 4 → Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. L = 2πρ ή L2
22ππρπ
= ή ρπ
= L2
2. Ρ = +2 2x y ή P x y− =2 2 ή yP x= − 2
2
3. E = 2πρυ ή Ε
222πυπρυπυ
= ή ρπυ
= Ε2
4. α β γx y+ + = 0 ή β α γy x= − − ή yx= − −α γβ
5. Ε = + +2( )xy y xω ω ή E
xy y x2
= + +ω ω ή E
xy y x2
2
− ∪ = +( )ω ή
ω( )y xE xy+ = − 2
2 ή ω =
−
+= −
+
E xy
y xE xy
y x
22 2
2( )
6. ust
= ή u t s⋅ = ή u tu
su
⋅ = ή tsu
=
7. Ε = +( )β υΒ2
ή 2Ε Β= ⋅ + ⋅β υ υ ή 2Ε Β− ⋅ = ⋅υ β υ ή
β υυ
υυ
⋅ = − ⋅2Ε Β άρα β υ
υ= − ⋅2Ε Β
8. S =−α
λ1 ή S ⋅ − =( )1 λ α ή S S− ⋅ =λ α ή S S− =α λ ή
SS
SS
− =α λ άρα λ α= −S
S
9. Ρ Ρ= +0 εh ή Ρ Ρ− =0 εh ή εε εh = −Ρ Ρ0
ή h = −Ρ Ρ0
ε
10. Q m c= ⋅ ⋅ θ ή Q
mm cmθ
θθ
= ⋅ ⋅⋅
ή cQ
m=
θ
algevra_teliko.indd 8 31/3/2008 6:47:57 πµ
9
11. F Kq q
rc= ⋅1 2
2 ή F r r Kq q
rc⋅ = ⋅ ⋅
⋅2 2 1 22 ή F r K q qc⋅ = ⋅⋅2
1 2 ή F rK q
K q qK qc
c
c
⋅⋅
= ⋅⋅
⋅2
2
1 2
2 ή q
F rK qc
1
2
2
= ⋅⋅
12. s u t gt= +021
2⋅ ή s gt u t
∪− = ⋅
2 12
20 ή u t
s gt0
222
⋅ = − ή
u tt
s gt
t0
222⋅ =
− ή u
s gtt0
222
= −
13. α) V V
VV
V
V
VV
= +
=+
= +
0
0
0
0
0
1273 15
1273 15
1273 15
27
θ
θ
θ
θ
,
,
,
33 151
273 15
273 15
0
0
0
0
0
0
,
,
, ( )
= −
= −
= ⋅ −
V VV
V VV
V VV
θ
θ
β) θ = −273 15 30 25
25, ( ) ή
θ = ⋅ =273 15 525
273 155
1
5
, ,
ή
θ = 54 63,
Η ζητούμενη θερμοκρασία είναι 54,63οC
14. α) για h=0 είναι D=0,155·0+11=11Οπότε σ’ έναν παραθαλάσσιο τόπο χιονίζει 11 ημέρες.
β) D h=0,155 +11 ή D h−11=0,155 ή D h− =110 155
0 1550 155,,,
ή hD= − 110 155,
Για D = 180 είναι h m= − =180 110 155
1690 155
1090 3, ,
,
Για D = 360 είναι h m= − =360 110 155
3490 155
2251 6, ,
,
1.4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. Δ 2. Β
algevra_teliko.indd 9 31/3/2008 6:47:59 πµ
10
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Έστω xo μία οξεία γωνία. Τότε η άλλη είναι 2xo.Ισχύει: x x
x
x
x
+ + == −=
= =
2 90 180
3 180 90
3 90
9030
30
Άρα οι δύο οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου είναι 30o και 60o.
2. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:2x+2(x–7)=2x+2x–14=4x–14Η περίμετρος του τριγώνου είναι: 3x.Πρέπει 4x–14=3x 4x–3x=14 x=14Τότε το ορθογώνιο έχει μήκος 14 και πλάτος 14–7=7.
3. Έστω ότι x χρόνια μετά, η ηλικία του πατέρα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου.Τότε, ο πατέρας είναι 44+x ετών και ο γιος 8+x ετών.Ισχύει: 44+x=3(8+x) 44+x=24+3x x–3x=24–44 –2x=–20 x=10
4. Έστω x € το αρχικό ποσό. Τότε ο πρώτος πήρε το 14
x , ο δεύτερος το 13
x και ο τρίτος το 13
100x + . Ισχύει: 14
13
13
100
1214
1213
1213
12 100 12
3 4 4
x x x x
x x x x
x x x
+ + + =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
+ + + 11200 12
1200
1200
=− = −
=
x
x
x .
Το αρχικό ποσό ήταν 1200€, από τα οποία, ο πρώτος πήρε 14
1200 300⋅ = €, ο δεύτερος πήρε 13
1200 400⋅ = € και ο τρίτος 13
1200 100 500⋅ + = €
algevra_teliko.indd 10 31/3/2008 6:48:00 πµ
11
5. Έστω ότι το ρεζερβουάρ του 2ου αυτοκινήτου περιέχει x λίτρα βενζίνης. Τότε το ρεζερβουάρ του 1ου, περιέχει 2x λίτρα βενζίνης.Είναι 2x–34=x–7
2x–x=–7+34 x=27
Το δεύτερο αυτοκίνητο περιέχει 27 λίτρα και το πρώτο 54 λίτρα βενζίνης.
6. Έστω x τα λεωφορεία των 8 ατόμων. Τότε τα λεωφορεία των 14 ατόμων είναι 12–x.Τα x λεωφορεία των 8 ατόμων μεταφέρουν 8x άτομα και τα 12–x λεωφορεία των 14 ατόμων μεταφέρουν 14(12–x) άτομα.Είναι: 8 14 12 126
8 168 14 126
8 14 126 168
6 42
426
x x
x x
x x
x
x
+ ⋅ − =+ − =
− = −− = −
= −−
( )
== 7
Τα λεωφορεία των 8 ατόμων είναι 7 και των 14 ατόμων είναι 5.
7. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E m= ⋅ =8 12 96 2 . Έστω ότι η μικρή διάσταση αυξάνεται κατά x m. Τότε η μεγάλη διάσταση είναι 12 4 16m m m+ = και το εμβαδόν του είναι: 16 8 2⋅ +( )x m . Πρέπει: 16 8 2 96
128 16 192
16 192 128
16 64
6416
4
( )+ = ⋅+ =
= −=
= =
x
x
x
x
x m
8. Έστω ότι ο Σάκης αμείβεται με x € την ώρα. Τότε ο Πέτρος αμείβεται με x+2 €. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρες αμείβεται με 7(x+2) € και ο Σάκης για τις 5 ώρες αμείβεται με 5x €. Επειδή ο Σάκης κερδίζει 26 € λιγότερα από τον Πέτρο, έχουμε:
5 7 2 26
5 7 14 26
5 7 14 26
2 12
1212
6
x x
x x
x x
x
x
= + −= + −
− = −− = −
= −−
=
( )
Οπότε ο Σάκης αμείβεται με 6 € την ώρα και ο Πέτρος με 8 € την ώρα.
9. Έστω x όλα τα στυλό. Επειδή όλα εκτός από 3 είναι μπλε, τα μπλε στυλό είναι x–3.Όμοια τα κόκκινα είναι x–4 και τα μαύρα x–5.
algevra_teliko.indd 11 31/3/2008 6:48:00 πµ
12
Επειδή όλα τα στυλό είναι x, έχουμε: x x x x
x x x x
x
x
− + − + − =+ + − = + +
=
= =
3 4 5
3 4 5
2 12
122
6
Έχω 6 στυλό.
10. α) Επειδή ο αγώνας ποδηλασίας γίνεται σε τετραπλάσια απόσταση απ’ αυτήν του αγώνα δρό-μου, η απόσταση στον αγώνα ποδηλασίας είναι 4x Km.Επειδή ο αγώνας δρόμου γίνεται σε απόσταση που είναι κατά 8,5Km μεγαλύτερη από την απόσταση στον αγώνα κολύμβησης, η απόσταση στον αγώνα κολύμβησης είναι x–8,5Km.
β) Ισχύει x x x
x
x
x Km
− + + == +=
= =
8 5 4 51 5
6 51 5 8 5
6 60
606
10
, ,
, ,
Ο αθλητής στην κολύμβηση διάνυσε 10–8,5=1,5Km, στην ποδηλασία διάνυσε 4·10=40Km και στον αγώνα δρόμου 10Km.
1.5. Ανισώσεις α΄ βαθμού
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α) x + <3 6 β) x2
32
< − γ) x − >3 2 δ) x
−≥ −
32
ε) 2 4x ≥ − στ) 32
6x < ζ) − > −3 21x η) − ≥4 2x
2. α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ, στ) Λ, ζ) Σ, η) Λ, θ) Λ.
algevra_teliko.indd 12 31/3/2008 6:48:02 πµ
13
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) 8 4 16 5
8 5 16 4
3 12
123
4
x x
x x
x
x
+ ≤ +− ≤ −≤
≤ =
β) x
x
x
+ > −> − −> −
3 2
2 3
5
γ) − − > −− + > −
− >− >
<
( )1 2 1
1 2 1
2 0
0
0
x x
x x
x x
x
x
δ) − + ≤ −− + ≤ −− ≤
≥−
= −
7 3 4
7 4 3
6 1
16
16
x x
x x
x
x
2.
α) 3 1 2
3 3 2
3 2 3
2 1
12
( )ω ωω ωω ωω
ω
− > −− > −− > − +>
>
β) 2 2 2 4
2 2 2 4
2 4 2 2
2 0
0
x x x
x x x
x x x
x
x
+ − − ≥ −+ − + ≥ −− + ≥ − −≥
≥
( )
γ) 3 1 2 2 2 1
3 1 2 2 4 1
3 2 4 1 1 2
0 8
y y y
y y y
y y y
y
− − + < + +− − − < + +− − < + + +<
( ) ( )
ισχύει για κάθε y.
δ) 4 5 4
4 20 4
4 4 20
3 24
243
8
( )t t
t t
t t
t
t
t
+ < −+ < −− < − −< −
< −
< −
algevra_teliko.indd 13 31/3/2008 6:48:03 πµ
14
3. α) 3 44
23
1
123 4
412
23
12 1
3 3 4 4 2 12
9 12 8
x x
x x
x x
x
− − − >
⋅ − − ⋅ − > ⋅
− − − >− − +
( ) ( )
44 12
9 4 12 12 8
13 32
1313
3213
3213
x
x x
x
x
x
>+ > + +>
>
>
β) 2 1
32
12
2 2 1 232
1 22
4 4 3 3
4 3
( ) ( )
( ) ( )
x xx
x xx
x x x
x x x
+ − + >
⋅ + − ⋅ + > ⋅
+ − − >− − >> −> −
3 4
0 1x
ισχύει για κάθε x.
γ) xx x
xx x
x x x
+ + + − + >
⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ + >
+ + + − + >
32
21
30
6 6 3 62
26
13
0
6 18 3 2 2 1( ) ( ) 00
6 18 3 6 2 2 0
6 3 2 18 6 2
7 22
227
x x x
x x x
x
x
+ + + − − >+ − > − − +> −
> −
δ)
12
12
13
76
2
14
16
76
2
121
412
16
12
x x x
x x x
x x
+ + +
− + >
+ + + − + >
⋅ + + ⋅ + − ⋅⋅ + > ⋅
+ + + − + >+ + + − − >> −
x
x x x
x x x
x
76
12 2
3 1 2 1 2 7 24
3 3 2 2 2 14 24
3 24
( ) ( ) ( )
33 2 14
3 33
333
11
− +>
> =
x
x
ε) ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
− − < − − −
⋅ − ⋅ − < ⋅ − − ⋅ −
− − < − −
22
12
34
4 42
24
12
43
44 2 2 2 1( ) ( ) (ωω
ω ω ω ωω ω ω ω
ω
−− + < − − +− − + < − + −
< −
3
4 2 4 2 2 3
4 2 2 2 3 4
3
)
στ) t
t t t
tt t t
t t
+ + > − +
⋅ + ⋅ + > ⋅ − + ⋅
+ +
14
2 17
2728
28 281
428
2 17
282728
28 7 1( ) >> − ++ + > − ++ − − > − −
> −
4 2 1 27
28 7 7 8 4 27
28 7 8 27 4 7
0 11
( )t t
t t t t
t t t t
t
ισχύει για κάθε t.
algevra_teliko.indd 14 31/3/2008 6:48:04 πµ
15
4. α) x
x
x
− << +<
4 1
1 4
5
και 2 3
3 2
1
1
− <− < −− <
> −
x
x
x
x
β) 2 1 6 2
2 2 6 2
2 2 6 2
5 4
45
( )x x x
x x x
x x x
x
x
+ + > −+ + > −+ + > −>
>
και 7 8 3 3 7
7 8 3 9 7
7 3 9 7 8
4 24
244
6
x x
x x
x x
x
x
− > + +− > + +− > + +>
> =
( )
άρα − < <1 5x άρα x > 6
γ) 3 1 2 1 7
3 1 2 2 7
3 2 2 7 1
5 10
105
2
x x
x x
x x
x
x
− > − +− > − ++ > + +>
> =
( ) και 3 1 6
3 3 6
3 6 3
3
33
1
( )− ≥− ≥
− ≥ −− ≥
≤−
= −
x
x
x
x
x
Οι ανισώσεις δεν έχουν κοινές λύσεις.
δ) 3 1525
2
5 3 5 15 525
2
15 75 2 4
15 2 4 75
13
y y
y y
y y
y y
y
− > +
⋅ − ⋅ > ⋅ +
− > +− > +>
( )
( )
779
7913
y >
και 23
521
5
2123
21521
21 21 5
7 2 5 21 105
14 21 10
y y
y y
y y
y y
− < −
⋅ − ⋅ < ⋅ − ⋅
⋅ − < +− < 55 5
7 110
1107
+− <
>−
y
y
άρα y > 7913
algevra_teliko.indd 15 31/3/2008 6:48:05 πµ
16
ε) 2 1 7
2 7 1
2 8
82
4
x
x
x
x
− << +<
< =
και 3 1 6
3 3 6
3 6 3
3 3
33
1
( )x
x
x
x
x
− > −− > −> − +> −
> − = −
και x x
x x
x x
x
x
≥ −≥ −− ≥ −
− ≥ −
≤ −−
=
3 2
3 6
3 6
2 6
62
3
( )
άρα − < ≤1 3x
στ) 3 12
2 13
63 1
26
2 13
3 3 1 2 2 1
9 3 4 2
9 4 2
x x
x x
x x
x x
x x
− > +
⋅ − > ⋅ +
− > +− > +− > +
( ) ( )
33
5 5
55
1
x
x
>
> =
και 2 3 1 2 5 1
6 2 2 10 1
6 2 10 1 2
9 9
9
( ) ( )x x x
x x x
x x x
x
x
− + > − + −− + > − − −+ + > − − +> −
> −99
1= −
και 3 2 3
3 2 6
2 6 3
9
9
+ < −+ < −− < − −
− < −>
x x
x x
x x
x
x
( )
άρα x > 9
5. α) − < + ≤7 2 1 19x β) − < − <1 1 2 3x− < +− − <
> −
> − = −
7 2 1
7 1 2
2 8
82
4
x
x
x
x
και 2 1 19
2 19 1
2 18
182
9
x
x
x
x
+ ≤≤ −≤
≤ =
− < −< +<
< =
1 1 2
2 1 1
2 2
22
1
x
x
x
x
και 1 2 3
2 3 1
2 2
22
1
− <− < −− <
>−
= −
x
x
x
x
άρα − < ≤4 9x άρα − < <1 1x
algevra_teliko.indd 16 31/3/2008 6:48:07 πµ
17
γ) 3 5 1 8≤ + ≤x
3 5 1
3 5 1
3 1 5
5 2
25
≤ +≤ +− ≤≥
≥
x
x
x
x
x
και 5 1 8
5 8 1
5 7
75
x
x
x
x
+ ≤≤ −≤
≤
άρα 25
75
≤ ≤x
6. Πρέπει Α<0 ή 2 3 4 0
2 6 4 0
2 10 0
2 10
102
5
( )µµµµ
µ
− − <− − <− <<
< =
Επειδή ο μ είναι θετικός ακέραιος και μ<5, είναι: μ=1 ή 2 ή 3 ή 4.
7. Επειδή η ανίσωση έχει λύση τον αριθμό 2, ισχύει:2 2 3 1 2 1
4 3 1
3 4 1
4 5
54
54
⋅ − + > ⋅ −− + >− − > − −
− > −
< −−
=
α αα α
α αα
α
( )
8. Έστω ότι η Μαρία έχει x €.Επειδή η Άννα έχει τριπλάσια χρήματα, έχει 3x €Επειδή η Άννα ξόδεψε 14 €, της έμειναν 3x–14 €Είναι 3 14
3 14
2 14
142
7
x x
x x
x
x
− <− <<
< =
Δηλαδή η Μαρία έχει λιγότερα από 7 €.
9. Έστω ότι ο βαθμός του Γιώργου στο τρίτο διαγώνισμα είναι x. Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι: 12 14
326
3+ + = +x x
algevra_teliko.indd 17 31/3/2008 6:48:08 πµ
18
Πρέπει 26
314
+ >x ή 3
263
3 14⋅ + > ⋅x ή 26 42+ >x ή x > − =42 26 16
Στο τρίτο διαγώνισμα πρέπει να γράψει πάνω από 16.
10. Έστω ότι κάποιος πελάτης θα μιλήσει x λεπτά. Τότε το κόστος στο πρώτο πακέτο είναι: 0 254 7 5, ,x + €, ενώ στο δεύτερο πακέτο είναι: 0 204 15, x + €.Για να συμφέρει το δεύτερο πακέτο πρέπει:0 204 15 0 254 7 5
0 204 0 254 7 5 15
0 050 7 5
7 5
, , ,
, , ,
, ,
,
x x
x x
x
x
+ < +− < −
− < −
> −−−
=0 05
150,
Από 150 λεπτά και πάνω χρόνου ομιλίας, συμφέρει το δεύτερο πακέτο.
11. Έστω x m το πλάτος του ορθογωνίου.Επειδή είναι περίμετρος < 240m, ισχύει:
2 2 80 240
2 160 240
2 240 160
2 80
802
40
x
x
x
x
x
+ ⋅ <+ <
< −<
< =
Επειδή είναι: εμβαδόν>3000m2, ισχύει: 80 3000
300080
37 5
⋅ >
>
>
x
x
x ,Οπότε το πλάτος πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 37,5m και μικρότερο από 40m.
algevra_teliko.indd 18 31/3/2008 6:48:09 πµ
19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο
ΠρΑΓΜΑτΙΚΟΙ ΑρΙΘΜΟΙ
2.1. τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α) Α β) Α γ) Β 2. Γ 3. 9 3→ , 16 4→ , 4 2→ , 25 5→ , 36 6→4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ στ) Λ ζ) Λ η) Σ θ) Λ ι) Λ5. 1. Β 2. Β 3. Ε 4. Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) 81 9 0 81 0 9 8100 90= = =, , , ,
β) 4 2 0 04 0 2 400 20 40000 200= = = =, , , , ,
γ) 121 11 1 21 1 1 12100 110 0 0121 0 11= = = =, , , , , , ,
δ) 94
32
14425
125
40049
207
36121
611
= = = =, , ,
2. α) 36 6= γιατί 6 362 = β) 18 18 36 6+ = =
γ) 18 18 18 182⋅ = = δ) 18 182( ) =
3. α) Έστω ότι 4 2
3x= , τότε:
4 23
2
x=
ή 4 4
9x=
άρα x = 9 . Δηλαδή
4
9
23
=
β) Έστω ότι x( ) =2
5 , τότε x=5, αφού 5 52
=
γ) Έστω ότι x + =3 6 , τότε: x + =3 62 ή x + =3 36 ή x = − =36 3 33. Άρα 33 3 6+ =
δ) Έστω ότι x + =2 11, τότε x = −11 2 ή x = 9 άρα x = =9 812 , γιατί 81 9=
ε) Έστω ότι 2 0− =x , τότε x = 2 , και x = =2 42 γιατί 4 2=
στ) Έστω ότι x y( ) + =2
6 . Τότε x y+ = 6
algevra_teliko.indd 19 31/3/2008 6:48:12 πµ
20
Επειδή ο x είναι θετικός ακέραιος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του 6. Οπότε:
αν x=0 τότε 0 6+ =y ή y = 6 άρα y = =6 362
αν x=1 τότε 1 6+ =y ή y = 5 άρα y = =5 252
αν x=2 τότε 2 6+ =y ή y = 4 άρα y = =4 162
αν x=3 τότε 3 6+ =y ή y = 3 άρα y = =3 92
αν x=4 τότε 4 6+ =y ή y = 2 άρα y = =2 42
αν x=5 τότε 5 6+ =y ή y = 1 άρα y = =1 12
αν x=6 τότε 6 6+ =y ή y = 0 άρα y = 0
4. α) 42
922
3 1 3 4 2+ = + = + = =
β) 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2+ + = + + = + = + = =
γ) 7 2 1 9 7 2 1 3 7 2 4
7 2 2 7 4 7 2 9 3
+ + + = + + + = + + =
= + + = + = + = =
5. Είναι x2 2 26 8 36 64 100= + = + = άρα x = =100 10
Είναι 13 122 2 2= +y ή y2 2 213 12 169 144 25= − = − = άρα y = =25 5
Είναι 5 32 2 2= +β ή β2 2 25 3 25 9 16= − = − = άρα β = =16 4
Είναι α2 2 221 20 441 400 841= + = + = άρα α = =841 29 (29 =841)2
Είναι γ2 2 212 37+ = ή γ2 2 237 12 1369 144 1225= − = − = άρα γ = =1225 35 (35 =1225)2
Είναι ω2 2 236 85+ = ή ω2 2 285 36 7225 1296= − = − ή ω2 5929= , άρα ω = =5929 77 (77 =5929)2
algevra_teliko.indd 20 31/3/2008 6:48:16 πµ
21
6. α) Επειδή 32=9, είναι: x2=9 ή x2=32 ή x=3β) Επειδή 52=25, είναι: x2=25 ή x2=52 ή x=5γ) Επειδή 82=64, είναι: x2=64 ή x2=82 ή x=8
δ) Επειδή 109
10081
2
= , είναι x2 10081
= ή x2210
9=
ή x = 109
7. Έστω υ το ύψος του τριγώνου.Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμεΑΔ2+ΔΓ2=ΑΓ2 ή υ2+1,22=3,72 ήυ2=3,72–1,22=13,69–1,44=12,25Άρα υ= 12 25 3 5, ,= γιατί 3 5 12 252, ,= .
8. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε ΑΓ2=ΑΒ2+ΒΓ2 ή δ2=652+722+ ή δ2=4225+5184=9409 Άρα δ= 9409 97= m αφού 97 94092 = .
9. Έστω x ο θετικός αριθμός.Το τετράγωνό του αυξημένο κατά 8, είναι ο αριθμός x2+8.Επειδή το τριπλάσιο του τετραγώνου του είναι ο 3x2, ισχύει: x x
x x
x
x
2 2
2 2
2
2
8 3
3 8
2 8
82
4
+ =
− =
=
= =άρα x = =4 2
10. Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στα διάφορα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος, έχουμε:
α2 2 24 3 16 9 25= + = + = , άρα α = =25 5 .
β α2 2 213+ = ή β2 25 169+ = ή β2 169 25 144= − = .
γ β2 2 9 144 81 225= + = + = άρα γ = =225 15 .
x2 2 217+ =γ ή x2 225 289+ = ή x2 289 225 64= − =
άρα x = =64 8 .
algevra_teliko.indd 21 31/3/2008 6:48:19 πµ
22
11. α) Για α=4 είναι: 4 2= και α2 24 16= = οπότε α α α< < 2
Για α=9 είναι: 9 3= και α2 29 81= = οπότε α α α< < 2
Για α=16 είναι: 16 4= και α2 216 256= = οπότε α α α< < 2
β) Για α = 14
είναι α = =14
12
και α2 116
= , οπότε α α α2 < < . Για α = 1
9 είναι α = =1
913
και α2 181
= , οπότε α α α2 < < . Για α = 1
16 είναι α = =1
1614
και α2 1256
= , οπότε α α α2 < < .
12. α β α β α β⋅ αβ
9 4 3 2 6 6
36 49 6 7 42 42
Συμπεραίνουμε ότι α β αβ⋅ =
13.
α β α βαβ
αβ
4 16 2 412
12
25 36 5 656
56
Συμπεραίνουμε ότι αβ
αβ
=
14. α β α β α β+ α β+9 16 3 4 7 564 36 8 6 14 10
Συμπεραίνουμε ότι α β α β+ ≠ +
algevra_teliko.indd 22 31/3/2008 6:48:22 πµ
23
2.2. Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) Σ2. α) Δ β) Ε γ) Γ δ) Β
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) ρητός: 22 γιατί: 2 2
2= και άρρητος: 2
β) ρητός: − 49
2
γιατί: − = −49
23
2
και άρρητος: 45
γ) άρρητος είναι ο 18 και ρητοί οι 182
9 3= = και 18 182
= .
3. α) Είναι 1 3 4< < οπότε 1 3 2< < . Επειδή 1 7 2 892, ,= και 1 8 3 242, ,= , είναι 1 7 3 1 8, ,< < Επειδή 1 73 2 99292, ,= και 1 74 3 02762, ,= , είναι 1 73 3 1 74, ,< < , οπότε 3 1 73 , .
β) Είναι 4 5 9< < οπότε 4 5 9< < , δηλαδή 2 5 3< < . Επειδή 2 2 4 842, ,= και 2 3 5 292, ,= , είναι 2 2 5 2 3, ,< < Επειδή 2 23 4 97292, ,= και 2 24 5 292, ,= , είναι 2 23 5 2 24, ,< < . Οπότε 5 2 23 , .
γ) Είναι 4 7 9< < οπότε 4 7 9< < , δηλαδή 2 7 3< < . Επειδή 2 6 6 762, ,= και 2 7 7 292, ,= , είναι 2 6 7 2 7, ,< < Επειδή 2 64 6 96962, ,= και 2 65 7 02252, ,= , είναι 2 64 7 2 65, ,< < . Οπότε 7 2 64 , .
δ) Είναι 4 8 9< < οπότε 4 8 9< < , δηλαδή 2 8 3< < . Επειδή 2 8 7 842, ,= και 2 9 8 412, ,= , είναι 2 8 8 2 9, ,< < Επειδή 2 82 7 95242, ,= και 2 83 8 00892, ,= , είναι 2 82 8 2 83, ,< < . Οπότε 8 2 82 , .
4. α) x2 0= άρα x = 0
β) x2 5= άρα x = ± 5
γ) x2 3= − αδύνατη
δ) x2 17= άρα x ± 17
5. Έστω α cm η πλευρά του τετραγώνου.Το εμβαδόν του είναι: E = α2
Πρέπει α2 12= άρα α = 12 Επειδή 9 12 16< < , είναι 9 12 16< < ή 3 12 4< <Επειδή 3 4 11 562, ,= και 3 5 12 252, ,= , είναι 3 4 12 3 5, ,< <
algevra_teliko.indd 23 31/3/2008 6:48:27 πµ
24
Επειδή 3 46 11 97162, ,= και 3 47 12 04092, ,= , είναι 3 46 12 3 47, ,< < , οπότε 12 3 46 , . Άρα α 3 46, cm
6. Έστω α cm η πλευρά του τετραγώνου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:
α α2 2 212+ = ή 2 1442α = ή α2 1442
72= =
α) Επειδή 64 72 81< < , είναι 64 72 81< < δηλαδή 8 72 9< < Επειδή 8 4 70 562, ,= και 8 5 72 08012, ,= , είναι 8 4 72 8 5, ,< < Επειδή 8 48 71 91042, ,= και 8 49 72 08012, ,= , είναι 8 48 72 8 49, ,< < , οπότε
72 8 48 , και α = =72 8 48, cm
β) Ε = =α2 272cm
2.3. Προβλήματα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:ΑΒ2+ΑΓ2=ΒΓ2 ήx2+(2x)2=202 ήx2+4x2=400 ή 5x2=400
άρα x2 4005
80= =
Το σχήμα αποτελείται από 5 ίσα τετράγωνα πλευράς xcm, που το καθένα έχει εμβαδόν:E x cm2
2 280= =Οπότε το εμβαδόν του σχήματος είναι:E cm= ⋅ =5 80 400 2
2. Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:ΑΒ2+ΒΓ2=ΑΓ2 ήx2+x2=102 ή2x2=100 άρα x2 100
250= = ή x = =50 7 07,
Το ανάπτυγμα της πυραμίδας αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευράς x και από 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα.
algevra_teliko.indd 24 31/3/2008 6:48:30 πµ
25
Το τετράγωνο έχει εμβαδόν E xτετρ = =2 50Έστω υ=ΚΖ το ύψος του τριγώνου ΚΑΒ. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΖ, έχουμε:KZ AZ KA
x
2 2
2
2
82
464
504
64
64504
2
+ =
=
+ =
+ =
= − =
xυ +2
υ
υ
υ
2
2
2
2 556 504
2064
51 5− = = , .
Άρα υ= 51,5 7 17,Το καθένα από τα 4 ισοσκελή τρίγωνα έχει εμβαδόν:
Ex
τριγ = ⋅ = ⋅ =υ2
7 07 7 172
25 34, ,
,
Οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι:E = + ⋅ = + =50 4 25 34 50 101 36 151 36, , , .
3. Είναι ΚΛ ΚΑ ΑΛ
ΚΜ ΟΚ ΟΜ
ΛΜ ΛΒ ΒΜ
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2 1 4 5
2 1 4 1 5
= + = + = + =
= + = + = + =
= +
,
,22 2 23 1 9 1 10= + = + =
Επειδή ΚΛ ΚΜ ΛΜ2 2 25 5 10+ = + = = ,λόγω του πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο στο Κ.
4. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ, έχουμε:
Α∆ Β∆ ΑΒ2 2 2+ =
−
Α∆ +6 =12
Α∆ +36=144 Α∆ =144 36=108
2 2 2
2 2
Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΕ, έχουμε
ΒΕ Β∆ ∆Ε Α∆
Α∆
2 2 2 22
2
62
364
361084
36 27 63
= + = +
=
= + = + = + =
Άρα ΒΕ = 63 7 93 , cm
algevra_teliko.indd 25 31/3/2008 6:48:33 πµ
26
5. Αν οι κάθετες πλευρές του τριγώνου έχουν μήκος 8cm, 10cm αντίστοιχα, τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:x2 2 28 10 64 100 164= + = + = , άρα x cm= 164 12 81 , .
Αν η υποτείνουσα του ορθογωνίου είναι 10cm και η μία κάθετη πλευρά του 8cm, τότε από το πυθαγόρειο, έχουμε:
x2 2 28 10+ = ή x2 =100 − =64 36
άρα x= 36 6= cm
6. α) Ι. Το τμήμα ΑΒ έχει μήκος 2cm γιατί από το πυθαγόρειο ισχύει:
ΑΒ2 2 21 1 1 2= + + ==1 άρα ΑΒ= 2 .
ΙΙ. Το ΓΔ έχει μήκος 5cm γιατί από το πυθαγόρειο έχουμε:
Γ∆2 2 22 1 1 5= + + ==4 άρα Γ∆= 5cm
ΙΙΙ. Το ΕΖ έχει μήκος 18 γιατί από το πυθαγόρειο έχουμε:
EZ2 2 22 3 9 13= + + ==4 άρα EZ= 13cm
β) Ι. Το τετράγωνο είναι το ΗΘΙΚ ΙΙ. Το ΛΜΝΞ
7. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΓ, έχουμε:ΚΓ2+ΑΓ2=ΚΑ2 ή ΚΓ2+302=602 ήΚΓ2+900=3600 ή ΚΓ2=3600–900=2700
Άρα ΚΓ = =2700 51 96, cm
algevra_teliko.indd 26 31/3/2008 6:48:35 πµ
27
Η απόσταση του Κ από το έδαφος είναι το ΚΔ, για το οποίο ισχύει: Κ∆ ΚΓ Γ∆= + = + =51 96 2 2 5196, ,cm m m
8. Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ.
Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμε:
Α∆ ∆Γ ΑΓ2 2 2+ = ή Α∆ +(0,3) =(2,1)2 2 2 ή
Α∆2 +0,09=4,41 ή Α∆ =4,41 =4,322 2− 0 09, m
Άρα Α∆ = =4 32 2 08, ,m m
Για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει: E m dmτριγ = ⋅ = =0 6 2 080 624 62 42 2, ,, ,
2
Το ορθογώνιο έχει εμβαδόν: Εορθ = ⋅ = =0 2 2 3 0 46 462 2, , , m dm
Οπότε το συνολικό εμβαδόν του ενός βέλους, είναι: 62 4 46 108 4 2, ,+ = dm
Επειδή 540:108,4 5 , με το 1 κιλό κίτρινου χρώματος μπορούμε να βάψουμε περίπου 5 βέλη.
9. Για να μπορέσει το φορτηγό να κάνει αναστροφή πρέπει η διαγώνιος του δ να είναι μικρότερη από τα 8m που είναι το πλάτος του δρόμου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:δ2 2 27 5 2 4 56 25 5 76 62 01= + = + =, , , , ,άρα δ = <62 01 7 87 8, , m m .Οπότε το φορτηγό μπορεί να κάνει αναστροφή.
algevra_teliko.indd 27 31/3/2008 6:48:37 πµ
28
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο
ΣΥΝΑρτΗΣΕΙΣ
3.1. Η έννοια της συνάρτησης
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. β, 2. γ, 3. γ, 4. β 5. ( )α → ii , ( )β → i , ( )γ → iii
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) Αν x=–3 τότε y=3·(–3)–2=–11Αν x=–2 τότε y=3·(–2)–2=–8Αν x=–1 τότε y=3·(–1)–2=–5Αν x=0 τότε y=3·0–2=–2Αν x=2 τότε y=3·2–2=4
β) Αν x=–1 τότε y = − − = −1 12
1
Αν x=0 τότε y = − = −0 12
12
Αν x=2 τότε y = − =2 12
12
Αν x=4 τότε y = − =4 12
32
Αν x=5 τότε y = − =5 12
2
2. α) Αν x=–3 τότε y=(–3)2+1=10Αν x=–1 τότε y=(–1)2+1=2Αν x=0 τότε y=(0)2+1=1Αν x=2 τότε y=22+1=5Αν x=5 τότε y=52+1=26
β) Αν x=–3 τότε y=(–3)2+3(–3)–2=–2Αν x=–2 τότε y=(–2)2+3(–2)–2=–4Αν x=0 τότε y=02+3·0–2=–2Αν x=1 τότε y=12+3·1–2=2Αν x=3 τότε y=32+3·3–2=16
x –3 –2 –1 0 2y –11 –8 –5 –2 4
x –1 0 2 4 5
y –1 − 12
12
32
2
x –3 –1 0 2 5y 10 2 1 5 26
x –3 –2 0 1 3y –2 –4 –2 2 16
algevra_teliko.indd 28 31/3/2008 6:48:38 πµ
29
3. Αν η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι x €, τότε ο φόρος που το επιβαρύνει είναι 8
1000 08x x= ,
και η νέα του τιμή, είναι y x x x= + =0 08 1 08, , .
4. Τα χρήματα που εισπράττει ο πωλητής όταν το ποσό των πωλήσεων που πραγματοποιεί είναι
x €, είναι: 7
1000 07x x= , .
Επειδή έχει και μισθό 600€, το συνολικό ποσό που εισπράττει είναι: y x= +600 0 07, .
5. α) Αν η περίμετρός του είναι 60cm, ισχύει ότι:
2 2 60x y+ = ή 2 60 2y x= − ή
yx= −60
222
ή y x= −30
β) Επειδή το εμβαδόν του είναι: E=x·y, έχουμε:
x y⋅ = 100 ή
x yx⋅ = 100
x ή
y
x= 100
6. Π=x+x+x+x=4x και E=x2
Για x=1 είναι Ε=12=1 και Π=4·1=4Για x=2 είναι Ε=22=4 και Π=4·2=8Για x=2,5 είναι Ε=2,52=6,25 και Π=4·2,5=10Για x=5 είναι Ε=52=25 και Π=4·5=20Για x=0,3 είναι Ε=0,32=0,09 και Π=4·0,3=1,2
7. Για x=2 είναι y = ⋅ − = − =3 2 5 6 5 1
Για y=7 είναι 7=3x–5 ή 3x=7+5 ή 3x=12 ή x = =123
4
Για x=–3 είναι y = ⋅ − − = − − = −3 3 5 9 5 14( )
Για y=–2 είναι –2=3x–5 ή 3x=–2+5 ή 3x=3 ή x = =33
1
8. α) Επειδή κινείται με 70 χιλιόμετρα την ώρα, σε 2 ώρες θα έχει διανύσει:2·70=140Km και σε 5 ημέρες=5·24=120 ώρεςθα έχει διανύσει: 70·120=8.400Km.
β) Σε t ώρες η απόσταση S που θα έχει διανύσει είναι S=70t
x 1 2 2,5 5 0,3Ε 1 4 6,25 25 0,09Π 4 8 10 20 1,2
x 2 4 –3 1y 1 7 –14 –2
algevra_teliko.indd 29 31/3/2008 6:48:39 πµ
30
3.2. Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική Παράσταση συνάρτησης
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. Α → ( , )2 3 , Β → −( , )2 3 , Γ → − −( , )2 3 , ∆ → −( , )2 3
2. Σημείο Α
Συμμετρικό του Α ως προς τον x΄x
Συμμετρικό του Α ως προς τον y΄y
Συμμετρικό του Α ως προς τον O
(–2,3) (–2,–3) (2,3) (2,–3)(3,5) (3,–5) (–3,5) (–3,–5)(–3,5) (–3,–5) (3,5) (3,–5)(–3,–5) (–3,5) (3,–5) (3,5)(3,–5) (3,5) (–3,–5) (–3,5)
3. Από το πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε:ΑΓ2=ΑΔ2+ΓΔ2=52+42=25+16=41 άρα ΑΓ= 41
Στο τρίγωνο ΑΕΒ έχουμε:ΑΒ2=ΑΕ2+ΕΒ2=12+52=1+25=26 άρα ΑΒ= 26Οπότε ΑΒ<ΑΓ
4. α) Έστω ΑΔ ύψος του τριγώνου.Από το πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε:ΑΒ Α∆ ∆Β2 2 2 2 25 5= + = + =50
Στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε:ΑΓ Α∆ ∆Γ2 2 2 25 25= + = + =50Επειδή ΒΓ=3+7=10, ισχύει ότι ΑΒ ΑΓ2 2 50 50+ = + =100=10 =ΒΓ2 2
οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ ικανοποιεί το πυθαγόρειο θεώρημα, επομένως είναι ορθογώνιο με Α =90. Απάντηση: Β
β) εφθ = = =Α∆∆Γ
55
1. Απάντηση: Δ
γ) ΑΒ ΑΓ= = 50 . Απάντηση: Β
δ) εφφ = = =Α∆∆Β
55
1. Απάντηση: Γ
5. α) Γ, β) Δ, γ) Δ, δ) Α
algevra_teliko.indd 30 31/3/2008 6:48:41 πµ
31
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Α(2,3), Β(4,0), Γ(–3,3), Δ(0,–4), Ε(–4,–2), Ζ(5,–3), Η(–2,1), Θ(–5,0)2.
3. Το συμμετρικό του Α ως προς τον x΄x είναι το Α΄(–3,–4),ως προς τον y΄y είναι το Α΄΄(3,4)ως προς τον Ο είναι το Α΄΄΄(3,–4).
Το συμμετρικό του Β ως πρός τον x΄x, είναι το Β΄ 272
,
ως πρός τον y΄y, είναι το Β΄΄ − −
272
,
ως πρός τον Ο, είναι το Β΄΄΄ −
272
,
4. α) Α(1,3), Β(–2,–1), Γ(–2,3)β) Ι) Α, ΙΙ) Βγ) ΑΓ2+ΒΓ2=32+42=9+16=25=52=ΑΒ2, άρα ΑΒ=5
5. Η απόσταση του Α από τον x΄x είναι η ΑΔ=5 και από τον y΄y είναι η ΑΕ=3.
Η απόσταση του Β από τον x΄x είναι η ΒΗ=2 και από τον y΄y είναι η ΒΖ=3.
Η απόσταση του Γ από τον x΄x είναι η ΓΟ=4 και από τον y΄y είναι μηδέν.
algevra_teliko.indd 31 31/3/2008 6:48:44 πµ
32
6. α) ( ) ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − = + − = + =5 3 1 5 2 4 4 16 202 2 2 2
β) ( ) ( ( )) ( ) ( )ΑΒ = − − + − − = + − = + =2 2 3 1 4 4 16 16 322 2 2 2
γ) ( ) ( ) ( ( )) ( )ΑΒ = − − + − − − = − + = =2 3 5 5 5 0 25 52 2 2 2
δ) ( ) ( ( )) ( ( ))ΑΒ = − − − + − − = + = =5 5 2 7 0 9 9 92 2 2 2 2
7. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΠΚΛ, έχουμε:
ΠΛ ΠΚ ΚΛ2 2 2 2 215 8 289= + = + ==225+64
άρα ΠΛ= 289 17=Δηλαδή το πλοίο απέχει από το λιμάνι Λ, 17 μίλια. Επειδή κινείται με ταχύτητα 8 μίλια την ώρα, και σε t ώρες διανύει 8t μίλια, ισχύει:
8 17t = =178
t ώρες ή t = ⋅ + = +2 8 1
82
18
ώρες
Όμως το 18
της ώρας είναι 60min:8=7,5min ή 7min30sec.
Οπότε ο συνολικός χρόνος είναι 2 ώρες 7 λεπτά και 30 δευτερόλεπτα.
8. β) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει h=1,5 έχει Ρ=64.Οπότε η πίεση σε ύψος 1,5Km είναι 64cm Hg.
γ) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει Ρ=70 έχει h=0,75.Οπότε η πίεση είναι 70cm Hg σε ύψος 0,75Km ή 750 μέτρων.
9. β) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει h=500m=0,5Km έχει Τ=19οC.
γ) Το σημείο που έχει Τ=12οC έχει αντίστοιχο h=1,6Km
algevra_teliko.indd 32 31/3/2008 6:48:46 πµ
33
10.
3.3. Η συνάρτηση y=α·x
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α) β) Γx 2 4 6y 5 10 15
2. Η ευθεία του πρώτου σχήματος που διέρχεται από το σημείο (1,3)3. δ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. α) Είναι yx
= =62
3 .
Οπότε για x=1 είναι y1
3= ή y=3
Για x=5 είναι y5
3= ή y=15
Για y=21 είναι 21
3x
= ή 3χ=21 ή x = =213
7
Για y=30 είναι 30
3x
= ή 3χ=30 ή x = =30
310
β) Επειδή yx
= 3 είναι y x= 3 .
γ) Η ευθεία y x= 3 διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από τα σημεία (1,3), (2,6), (5,15), (7,21), (10,30) που προκύπτουν από τον πίνακα τιμών.
x 1 2 5 7 10y 3 6 15 21 30
algevra_teliko.indd 33 31/3/2008 6:48:48 πµ
34
2. y x= 2
x 0 1y 0 2
y x= 3
x 0 1y 0 3
y x= 2
x 0 1y 0 5
3. y x= 12
x 0 2y 0 1
y x= 12
x 0 2y 0 –1
4. Επειδή το κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα 5m sec , σε 1 sec διανύει απόσταση 5m, και σε t sec, διανύει απόσταση 5·t m. Άρα S=5t.
t 0 1S 0 5
5. Αν η ευθεία έχει κλήση α, η εξίσωσή της είναι: y=αx. Επειδή διέρχεται από το σημείο Α(2,6),
ισχύει: 6=α·2 ή 2α=6 ή 22
62
α = ή α=3.
Άρα είναι η y x= 3 .
algevra_teliko.indd 34 31/3/2008 6:48:50 πµ
35
6. Η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξό-
νων και έχει κλήση 32
είναι η y x= 32
.
Για x=2 είναι y = ⋅ =32
2 3 , δηλαδή η ευθεία
αυτή διέρχεται από το σημείο (2,3).
7. Αν η ευθεία έχει κλίση α, η εξίσωσή της είναι η y=αx. Επειδή διάρχεται από το σημείο Α(–1,3), ισχύει:3=α·(–1) ή –α=3 ή α=–3. Άρα η ευθεία έχει κλίση –3.
8. Η αύξηση των τιμών των προϊόντων είναι: 20100
0 2x x= , . Οι νέες τιμές είναι όσο οι παλιές συν
την αύξηση. Δηλαδή y x x x= + =0 2 1 2, , .
β) x 0 5y 0 6
γ) Ι. Αν x=7€ τότε y=1,2 7=8,4
II. Αν y=7€ τότε 7 1 21 21 2
71 2
5 83= ⋅⋅
=,,,. ,
,xx
x .
9. α) Είναι yx
= 112100
ή yx
= 1 12, ή y x= ⋅1 12,
β) Το εισιτήριο που κοστίζει 250€, σε δολάρια κοστίζει 280$.
γ) Το εισιτήριο που κοστίζει 250$, η τιμή του σε ευρώ είναι 220€ περίπου.
3.4. Η συνάρτηση y=αx+β
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. Γ 2. ε1 2 2→ = +y x , ε2 2→ =y x , ε3 2 1→ = −y x3. AB y→ = 2 , ΑΓ → = −x 3 , Γ∆ → = −y 2 , Β∆ → =x 3
4. α) Β, β) Δ, γ) Β 5. Γ
algevra_teliko.indd 35 31/3/2008 6:48:53 πµ
36
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. y x= 12
x 0 2y 0 1
y x= +12
2
x 0 2y 2 3
y x= −12
3
x 0 2y –3 –2
2. y x= − +3 2
α) x 0 1y 2 –1
β) Για y = 0 είναι: 0 3 2= − +x ή 3 2x = ή x = 23
Η y x= − +3 2 τέμνει τον x΄x στο A23
0,
και για
x ≥ 0 ή γραφική της παράσταση είναι η ημιευθεία
του διπλανού σχήματος.
algevra_teliko.indd 36 31/3/2008 6:48:56 πµ
37
γ) Για x = −2 είναι y = − ⋅ − + =3 2 2 8( ) και
για x = 5 είναι y = − ⋅ + = −3 5 2 13 .
Η γραφική παράσταση της y x= − +3 2
όταν − ≤ ≤2 5x είναι το τμήμα ΒΓ, όπου
Β(–2,8) και Γ(5,–13).
3. Έστω ότι η ζητούμενη ευθεία έχει κλίση α και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0,β). Η εξίσωσή της είναι η y=αx+β.Όμως η ζητούμενη ευθεία έχει κλίση 2 και τέμνει τον y΄y στο σημείο (0,–3), οπότε: α=2, β=–3 και η εξίσωσή της είναι η y x= −2 3 .
4. α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:
ΑΒ ΑΓ ΒΓ2 2 2 2 21 2 5= + = + ==1+4 άρα ΑΒ= 5
2ος τρόπος: ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − = + =2 1 3 1 1 4 52 2 .
β) Επειδή τα σημεία Α(1,1) και Β(2,3) επαληθεύουν την y x= −2 1 η ευθεία αυτή διέρχεται από τα Α και Β.
5. Για μια διαδρομή x χιλιομέτρων θα πληρώσουμε 0,5x€ και 0,2€ για τη σημαία. Δηλαδή y x= +0 5 0 2, , .
6. Για y = 0 είναι 2 6x = ή x = =62
3 .
Η ευθεία τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο (3,0).
Για x=0 είναι: − =3 6y ή y =−
= −63
2 .
Η ευθεία τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0,–2).
7. Για x = 0 είναι y = 2 και για y = 0 είναι x = 2 .Η ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(0,2) και Β(2,0).
algevra_teliko.indd 37 31/3/2008 6:48:59 πµ
38
8. Είναι Α(–2,2), Β(1,2), Γ(1,3) και Δ(–2,3).
Για το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου έχουμε Ε=ΑΒ·ΒΓ.
Όμως ΑΒ=2+1=3 και ΒΓ=1, οπότε E=3·1=3.
9. α) Για την κατασκευή x υπολογιστών, το κόστος είναι 200x€. Επειδή το εργοστάσιο έχει και έξοδα 100€ για την ενοικί-αση μιας αποθήκης, τα συνολικά έξοδα y, είναι: y x= +200 100 € ημερησίως.
β) x 10 20y 2100 4200
10. α) Αν x είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων, τότε 20–x είναι οι λανθασμένες απαντήσεις. άρα ω=20–x.
β) Για τις σωστές απαντήσεις κερδίζει 100x€, ενώ για τις λά-θος χάνει: 50 20 1000 50⋅ − = −( )x x €. Άρα το συνολικό κέρδος του παίκτη είναι: y x x= + − −1000 100 1000 50( ) ή y x x x= + − + =1000 100 1000 50 150 με 0 20≤ ≤x .
γ) x 0 20y 0 3000
3.5. Η συνάρτηση y=α/χ – υπερβολή.
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ
1. α, γ 2. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Σ
3. α → =yx3
, β → =yx2
, γ → =yx1
algevra_teliko.indd 38 31/3/2008 6:49:01 πµ
39
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Επειδή τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, ισχύει:
x y⋅ = ⋅ =3 4 12 ή yx
= 12
Για x=1 είναι y = =121
12 .
Για x=2 είναι y = =122
6 .
Για x=4 είναι y = =124
3 .
Για x=6 είναι y = =126
2 .
Για x=12 είναι y = =1212
1.
2. α) yx
= 3
x 1 2 3 6 –6 –3 –2 –1
y 332
112
− 12
–1 − 32
–3
β) yx
= 5
x 1 2 5 10 –10 –5 –2 –1
y 552
112
− 12
–1 − 52
–5
γ) yx
= 20
x 1 2 4 5 10 –10 –5 –4 –2 –1y 20 10 5 4 2 –2 –4 –5 –10 –20
x 1 2 3 4 6 12y 12 6 4 3 2 1
algevra_teliko.indd 39 31/3/2008 6:49:03 πµ
40
3. yx
= 12
x 1 2 3 4 6 12 –12 –6 –4 –3 –2 –1y 12 6 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –6 –1
yx
= − 12
x 1 2 3 4 6 12 –12 –6 –4 –3 –2 –1y –12 –6 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 6 12
4. α) Αν ο πύραυλος κινείται με υ Km/h, τότε σε t ώρες θα έχει διανύσει απόσταση S=υ·t.Επειδή είναι t=3 ημέρες=3·24=72h, και S=380.000Km, έχουμε:
380.000=υ·72 ή 72
72380 000
72⋅ =υ .
ή υ = =380 00072
5277 78.
, Kmh .
β) Είναι S=υ·t ή υ·t=380.000 ή υ ⋅ =tt t
380 000. ή υ = 380 000.
tKm
h .
5. α) Επειδή τα ορθογώνια έχουν εμβαδόν 36cm2, ισχύει: x·y=36 ή yx
= 36.
x 1 2 3 4 6 12 18 36y 36 18 12 9 6 3 2 1
Για x=1 είναι y = =361
36 .
Για x=2 είναι y = =362
18 .
Για x=3 είναι y = =363
12 .
Για x=4 είναι y = =364
9 .
algevra_teliko.indd 40 31/3/2008 6:49:06 πµ
41
Για x=6 είναι y = =366
6 .
Για x=12 είναι y = =3612
3 .
Για x=18 είναι y = =3618
2 .
Για x=36 είναι y = =3636
1.
β) yx
= 36
γ)
algevra_teliko.indd 41 31/3/2008 6:49:07 πµ
42
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο
4.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ τΗΣ ΣτΑτΙΣτΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ – ΔΕΙΓΜΑ
ΕρΩτΗΣΗ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 88
1. γ) 2. δ) 3. β)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 89
1. α) 72 β) 30 γ) 20 δ) 7 ε) 16 στ) 72
2. α) 12 β) 24 γ) 42 δ) 60 ε) 9 στ) 50
3. (β) του αριθμού 60
4. (α) το 30
5. 3002000
320
15100
15= = = %
6. Το άθροισμα των ατόμων που ρητήθηκαν είναι 360+280+160=800
Το ποσοστό του Α΄ υποψηφίου είναι 360800
0 45= , ή 45%
Το ποσοστό του Β΄ υποψηφίου είναι 280800
0 35= , ή 35%
Το ποσοστό του Γ΄ υποψηφίου είναι 160800
0 2= , ή 20%
7. Συνολικά στο σχολείο φοιτούν 120+180=300 μαθητές
α) Το ποσοστό των κοριτσιών στο σχολείο είναι: 180300
0 6= , ή 60%
β) Το ποσοστό των μαθητών της Β΄ Γυμνασίου είναι: 90300
0 3= , ή 30%
8. Ο πληθυσμός είναι το σύνολο των οπαδών που υποστηρίζουν τις ομάδες ποδοσφαίρου. Το δείγμα είναι τα 1000 άτομα που ρωτήσαμε στον Πειραιά.Το δείγμα δεν είναι αξιόπιστο γιατί ρωτήσαμε άτομα από συγκεκριμένη περιοχή τα οποία προ-φανώς στης πλειοψηφία τους θα υποστηρίζουν μια ομάδα της περιοχής αυτής.
9. Θα πρέπει να ρωτήσει άτομα από διαφορετικές ηλικές και σε διάφορες περιοχές.
algevra_teliko.indd 42 31/3/2008 6:49:08 πµ
43
4.2. ΓρΑΦΙΚΕΣ ΠΑρΑΣτΑΣΕΙΣ
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 94
1. 1. Γ, 2. Β, 3. Β, 4. Δ, 5. Γ, 6. Β2. 1. Α, 2. Β, 3. Β, 4. Γ, 5. Δ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 96
1. α) Σύνολο: 480.000
β) 160 000480 000
0 333..
,= περίπου 33,3%.
γ)
2. Από το εικονόγραμμα προκύπτει ο παρακάτω πίνακας
α) Έχει συνολικά 300 μαθητές
β) 72300
0 24= , ή 24%
γ)
Έτος Αρ. Βιβλίων2000 80.0002001 110.0002002 160.0002003 130.000
Σύνολο 480.000
τρόπος Μετακίνησης Αριθ. ΜαθητώνΛεωφορείο 72Αυτοκίνητο 24Ποδήλατο 36Παπάκι 48
Με τα πόδια 120Σύνολο 300
algevra_teliko.indd 43 31/3/2008 6:49:09 πµ
44
3. α) Για τον τύπο Α η αντίστοιχη γωνία του κυκλικού
διαγράμματος είναι: 10100
360 36o o=
Για το τύπο Β είναι 30100
360 108o o=
Για το τύπο Γ είναι 40100
360 144o o=
Για το τύπο Δ είναι 20100
360 72o o=
Οπότε έχουμε το διπλανό κυκλικό διάγραμμα.
β) Από τον τύπο Α υπάρχουν: 10100
400 40= τηλέφωνα.
Από τον τύπο Β υπάρχουν: 30100
400 120= τηλέφωνα.
Από τον τύπο Γ υπάρχουν: 40100
400 160= τηλέφωνα.
Από τον τύπο Δ υπάρχουν: 20100
400 80= τηλέφωνα.
4. α) Είναι 35+12+8+2=57, οπότε 4 ημέρες απουσίασαν 60–57=3 μαθητές. Το ποσοστό των μαθη-
τών που απουσίασαν 4 ημέρες είναι 360
0 05= , ή 5%.
β) Θα υπολογίσουμε τις γωνίες του κυκλικού διαγράμματος:
Για τις 0 ημέρες είναι 3560
360 210⋅ =o o .
Για τις 1 ημέρα είναι 1260
360 72⋅ =o o .
algevra_teliko.indd 44 31/3/2008 6:49:12 πµ
45
Για τις 2 ημέρες είναι 860
360 48⋅ =o o .
Για τις 3 ημέρες είναι 260
360 12⋅ =o o .
Για τις 4 ημέρες είναι 360
360 18⋅ =o o .
5. α) Η γωνία ω είναι: 724
360 105⋅ =o o
β) φωνήεντα 0000000σύμφωνα 00000000000000000
6. α)
β) Τουλάχιστον 90 λεπτά μελετούν το 80% των αγοριών και το 84% των κοριτσιών. Το πολύ 120 λεπτά μελετά το 83% των αγοριών και το 76% των κοριτσιών.
4.3. ΚΑτΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟτΗτΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕτΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟτΗτΩΝ
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ σελ 100
1. 1. Γ, 2. Α, 3. Β, 4. Δ, 5. Α
2. Συχνότητες Σχετ. συχνότητες (%)401030207030
20515103515
Σύνολο 200 100
algevra_teliko.indd 45 31/3/2008 6:49:13 πµ
46
ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 100
1. Αριθ. Παιδιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. %01234
4101484
1025352010
Σύνολο 40 100
Αρ. Απουσιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. %0123456
38126641
7,520301515102,5
Σύνολο 40 100
2. α) Έτος Συχνότητα Σχετ. Συχν. %20002001200220032004
400250450500400
2012,522,52520
Σύνολο 2000 100
β)
γ) Αύξηση παρουσίασαν τα έτη 2002, 2003 ενώ μείωση παρουσίασαν τα έτη 2001, 2004.
algevra_teliko.indd 46 31/3/2008 6:49:13 πµ
47
3. α)
β) Οι γωνίες του κυκλικού διαγράμματος είναι:
0 ελαττωματικά: 310
360 108= o
1 ελαττωματικά: 410
360 144= o
2 ελαττωματικά: 310
360 108= o
γ)
4. α) Αποτελ. Συχνότητα Σχετ. Συχν. %ΗΝΙ
8818
23,5323,5352,94
Σύνολο 34 100
β) 834
360 84 7o o= ,
1834
360 190 6o o= ,
Ελαττωμ. Προϊόντα Συχνότητα Σχετ. Συχν. %012
343
304030
Σύνολο 10 100
algevra_teliko.indd 47 31/3/2008 6:49:16 πµ
48
5. α)
β) Περισσότερα από 3 μηνύματα ήταν: 5+6+2+2=15 ημέρες.
γ) Το ποσοστό των ημερών που τα μηνύματα ήταν το πολύ 3 είναι: 3,23+6,45+25,81+16,13=51,62%
δ)
6. α) Ομάδα Αίματος Συχνότητα Σχετ. Συχν. %ΟΑΒΑΒ
51163
20442412
Σύνολο 25 100
β) Το ποσοστό των μαθητών που έχουν ομάδα αίματος Α ή Β είναι 44+24=68%.
γ) Στο δείγμα εμφανίζεται λιγότερο η ομάδα αίματος ΑΒ με ποσοστό 12%
7. α) Σωστές Απαντήσεις Σχετ. Συχν. %01234
8,325
41,716,78,3
Σύνολο 100
β) Βαθμολογία μικρότερη ή ίση του 10 θα έχουν οι μαθητές που απάντησαν σωστά το πολύ σε 2 ερωτήσεις. Το ποσοστό αυτών είναι: 8,3+25+41,7=75%
Αρ. Μηνυμ. Συχνότητα Σχετ. Συχν. %01234567
12855622
3,236,4525,8116,1316,1319,356,456,45
Σύνολο 31 100
algevra_teliko.indd 48 31/3/2008 6:49:16 πµ
49
8. α) Η εταιρεία πούλησε συνολικά: 4000+7000+4000+5000=20.000 υπολογιστές
β) Μάρκα Η/Υ Συχνότητα Σχετ. Συχν. %ΑΒΓΔ
4000700040005000
20352025
Σύνολο 20000 100
γ) Το ποσοστό των υπολογιστών που δεν είναι μάρκα Α ή Β θα είναι το άθροισμα των ποσο-στών που είναι Γ ή Δ δηλαδή 20+25=45%
4.4. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑρΑτΗρΗΣΕΩΝ
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ σελ 104
1. 1. Β, 2. Γ, 3. Δ
2. Κλάσεις 0–4 4–8 8–12 12–16 16–20Συχνότητες 1 4 5 6 14Σχετ. συχν. 0,05 0,2 0,25 0,3 0,2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 105
1. α) Είναι 12+36+48=96 β)Οπότε η συχνότητα που λείπει είναι 120–96=24
2. α) β) Κλάσεις Συχνότητα0–22–44–66–88–10
8151584
Σύνολο 50
algevra_teliko.indd 49 31/3/2008 6:49:17 πµ
50
3. α) β)
4. α) β)
5.
Είναι 35100
80 28= , 40100
80 32= , 15100
80 12= , 10100
80 8=
4.5. ΜΕΣΗ τΙΜΗ – ΔΙΑΜΕΣΟΣ
ΕρΩτΗΣΕΙΣ ΚΑτΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 110
1. Δ, 2. Γ, 3. Β 4. α) Α, β) Γ, γ) Δ 5. Δ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 111
1. α) x = ⋅ =6 76
7
β) x = + + + + + + + + + = =1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
5510
5 5,
Κλάσεις Συχνότητα0–44–88–1212–1616–20
154128
Σύνολο 30
Κλάσεις Συχνότητα200–220220–240240–260260–280280–300
84774
Σύνολο 30
Ημέρες Ασθένειας
Ποστοστό Συχνότητα
0–1010–2020–3030–40
35401510
283212880
algevra_teliko.indd 50 31/3/2008 6:49:19 πµ
51
γ) x = − − − + + + + = −3 2 2 0 1 1 17
47
δ) x =+ + + + +
=+ + + + +
=+ + +
=
12
13
12
14
15
13
6
12
12
13
13
14
15
6
123
14
15
6
=+ + +
= =
6060
4060
1560
1260
6
127606
127360
2. α) − −2, 1, 1, 2 , 3, 4 οπότε η διάμεσος δ είναι δ = + =1 22
1,5
β) 1, 2, 2, 2 , 3, 3, 4 άρα δ=2
γ) 98, 99, 100, 101, 101, 102, 103 οπότε δ=101
δ) − − −5, 4, 2, 0 , 1, 3 και δ = − + = −2 02
1
3. α) Ο μέσος όρος της βαθμολογίας του Α΄ μαθητή είναι:
xΑ = + + + + + + + + + + + + + = =18 17 16 19 20 16 17 19 18 18 19 18 19 1714
25114
17 9,
Ενώ ο μέσος όρος της βαθμολογίας του Β΄ μαθητή είναι:
xΒ = + + + + + + + + + + + + + = =19 19 18 18 19 20 18 17 19 19 18 19 18 2014
26114
18 6,
β) Καλύτερη επίδοση έχει ο Β΄ μαθητής.
γ) Για τη διάμεσο του Α΄ μαθητή έχουμε:16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18 , 18, 19, 19, 19, 19, 20
οπότε η διάμεσος είναι δΑ = + =18 182
18
Για το μαθητή Β΄ αντίστοιχα έχουμε:17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19 , 19, 19, 19, 19, 20, 20
οπότε η διάμεσος είναι δΑ = + =19 192
19
4. α) Το μέσο ύψος της ομάδας είναι:
x cm= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + = =192 2 197 2 198 2 200 2 201 204 205 20612
239912
199 9,
algevra_teliko.indd 51 31/3/2008 6:49:20 πµ
52
β) Για να βρούμε τη διάμεσο διατάσουμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά:
192, 197, 197, 198, 198, 200, 200 , 201, 201, 204, 205, 206 οπότε η διάμεσος είναι
δ = + =200 2002
200
γ) Το νέο μέσο ύψος θα είναι:
x cm= − + = =2399 192 20012
240712
200 58, .
5. α) Θερμοκρασία Συχνότητα Σχετ. Συχν. %101214161718
559623
16,6716,673020
6,6610
Σύνολο 30 100
β) Η μέση τιμή της θερμοκρασίας το μήνα Νοέμβριο είναι
x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =10 5 12 5 14 9 16 6 17 2 18 330
42030
14
Για να βρούμε τη διάμεσο διατάσουμε τις θερμοκρασίες κατά αύξουσα σειρά:
10, , , , , , , , , , , , , , 10 10 10 10 12 12 12 12 12 14 14 14 14 14,, , , , ,
, , , , , , , , , ,
14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 17 17 18 18 18
και η διάμεσος είναι δ = + =14 142
14
6. α) Ηλικία Παιδιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. %0–22–44–66–88–1010–12
504060301010
2520301555
Σύνολο 200 100
β) Η μέση ηλικία των παιδιών είναι
x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =1 50 3 40 5 60 7 30 9 10 11 10200
880200
4 4,
algevra_teliko.indd 52 31/3/2008 6:49:21 πµ
53
7. Η μέση τιμή της ηλικίας των φιλάθλων είναι
x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =12 24 18 48 24 56 30 36 36 24 42 12200
4944200
24 72, έτη
8. α) i) τιμές Συχνότητα45464748495051525354
1121432312
Σύνολο 20
ii) Η μέση τιμή είναι
Μ = + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = =45 46 2 47 48 4 49 3 50 2 51 3 52 53 2 5420
99820
49 9,
β) i) Κλάσεις Συχνότητα45–4747–4949–5151–5353–55
23753
Σύνολο 20
ii) Η μέση τιμή είναι
Μ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =46 2 48 3 50 7 52 5 54 320
100820
50 4,
iii) Η πραγματική μέση τιμή είναι Μ=49,9€
algevra_teliko.indd 53 31/3/2008 6:49:21 πµ
